2019精品广义矩估计化学

n 1 n
1 n
z1iei
i

z 2i ei

i


i zJiei
• Arg , Argument, 自变量、宗数
• W矩阵的阶数：J×J
以多元线性模型为例
yi 0 1x1i 2 x2i 3 x3i i
i 1,2,, n
• 其它选择的含义
Eviews 中GMM方程设定页面选择“time series”， 在HAC optons的Kernel options中选择Bartlett， 然后在Bandwidth selection中选择 Fixed，如果 填写1个具体的数字，例如2，表示L=2。
Eviews 中GMM方程设定页面选择“time series”， 在HAC optons的Kernel options中选择Bartlett， 然后在Bandwidth selection中选择 Andrews， 表示采用Andrews1991年论文中提出的选择方法。
• 如果x2为随机变量，z1为它的工具变量，IV的正 规方程组为：




yi (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆ3 x3i ) 0 yi x1i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆ3 x3i )x1i 0 yi z1i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆ3 x3i )z1i 0
yi x3i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆ3 x3i )x3i 0
该方程组 是如何得
到的？
如何从矩条 件出发得到 该方程组？
如何求 解该方 程组？
yi 0 1x1i 2 x2i 3 x3i i
i 1,2,, n
n
z jii 0
i 1
j 1,2,, k
n
z ji ( yi h( X i , )) 0
i 1
j 1,2,, k
• 一组矩条件，工具变量估计的正规方程组。
e( yi , X i ; ) yi h( X i , )
m( ) 1
n
i
Zi e( yi , X i ; )
Eviews 中GMM方程设定页面选择“time series”，在HAC optons的Kernel options中 选择Bartlett，然后在Bandwidth selection中 选择 Fixed，再填写NW即为该情况。 其中Kernel options选择Bartlett，即是：
w(l) 1 l L 1
ˆ arg min (m( )'W 1m( ))
权矩阵可根据每个样本矩条件估计的精确程度来设 置（用方差来度量）。例如，对估计较精确的矩条 件给予较大的权重，对估计较不精确的矩条件给予 较小的权重。
W

1 n2
i
Cov[Zi i , Z j j ]
j
• 如此构造权矩阵体现了上述设置权矩阵的原则。 • 权矩阵调整的是J个矩条件之间的关系，而不是n
⒈ 估计方法的原理
yi h( X i , ) i i 1,n
n
x ji i 0
i 1
j 1,2,, k
n
x ji ( yi h( X i , )) 0
i 1
j 1,2,, k
• 一组矩条件，普通最小二乘估计的正规方程组。
yi h( X i , ) i i 1,n
（原点）矩，然后去估计总体一阶矩和总体二阶 矩，再进一步计算总体参数（期望和方差）的估 计量。
X
(1)

1 n
n i 1
yi
X (2)

1 n
n i 1
yi2
样本的一阶 矩和二阶矩
Mˆ (1)

E(Y )

X (1)

1 n
n i 1
yi
总体一阶矩和总体
Mˆ
(2)
E(Y 2 )
j
1
n2 i
j

ij
Zi
Z
' j

1 n2
Z ' Z
L. Hansen, 1982: Large Sample Properties of GMM Estimation, Econometrica 50, p1029-1054
• 若随机误差项存在异方差且不存在自相关， White(1980)提出权矩阵的估计量为：
r
Q( ) ( X (i) M (i) ( )) 2 i 1
⒋计量经济学模型的广义矩估计
• 如果模型的设定是正确，则存在一些为0的条件矩。 广义矩估计的基本思想是利用矩条件估计模型参数。
• 等于0的条件矩的数目大于待估计模型参数的数目。 • 求解二次型。
二、计量经济学模型的广义矩估计
of GMM Estimation, Econometrica 50, p1029-1054 • 关于GMM 的总结 A. Pagan and M. Wickens, 1989: A Survey of Some Recent Economertic Methods, Economic Journal 99, p962-1025
– 经验信息（样本数据）的充分利用。 – 具有包容性：实际上是已有估计方法的概括和一般化。 – 适用于大样本并显示其优越性。
⒈几个重要的性质
• 从技术角度
– 无须要求正规方程组中方程数目与待估参数数目相等。 – 无须进行高阶矩阵的求逆运算。
⒉参数的矩估计
• 参数的矩估计就是用样本矩去估计总体矩。 • 用样本的一阶原点矩作为期望的估计量。 • 用样本的二阶中心矩作为方差的估计量。 • 从样本观测值计算样本一阶（原点）矩和二阶
• 如果满足所有基本假设，OLS的正规方程组为：




yi (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆ3 x3i ) 0 yi x1i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆ3 x3i )x1i 0 yi x2i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆ3 x3i )x2i 0
• 如果l>K，这时根据W选取的不同，有不同的解 βGMM，但只要W是对称正定矩阵，估计结果都满 足一致性。
• 尽管不同的权矩阵W都可得到的一致估计量，但 估计量的方差矩阵可能是不同的。因此，可以选 择最佳的W，以使估计量更有效(有小的方差)。
⒊权矩阵的选择
• 关于权矩阵的选择，是GMM估计方法的一个核心 问题。
(X’ZWZ’X)KK非奇异，于是有： β=(X’ZWZ’X)-1X’ZWZ’Y
即为原模型Y=X+的一个广义矩估计量。
• 如果l=K，这时Z’X为KK方阵且可逆。于是： β=(Z’X)-1W-1(X’Z)-1X’ZWZ’Y =(Z’X)-1Z’Y
可见，βGMM=βIV, 这时W的选择对结果无影响。
⒉ GMM估计量
• min Q(β)=[(1/n)Z’(Y-Xβ)]’W[(1/n)Z’(Y-Xβ)]的1 阶极值条件（偏导为0）：
-2X’ZWZ’Y+2X’ZWZ’Xβ=0
X’ZWZ’Xβ=X’ZWZ’Y 这是一个有K个未知参数，K个方程的线性方程组。 • 当lK时，Z’X是一个列满秩于K的矩阵。从而


yi z2i
(ˆ0 ˆ1 x1i ˆ2 x2i ˆ3 x3i )z2i 0
yi x3i (ˆ0 ˆ1 x1i ˆ2 x2i ˆ3 x3i )x3i 0
该方程组是如何 得到的？
5个等于0的 矩条件，求 解4个参数
如何求 解该方 程组？
Eviews 中GMM方程设定页面选择“cross section”，即为该情况。
• 若随机误差项存在自相关，Newey和West(1987) 提出权矩阵的估计量为：
Wˆ

1 n
S

1 n
(S
0

L
w(l)(Sl
l 1

S
' l
))
w(l) 1 l L 1
Newey and West, 1987: A Simple positive semidefinite, heteroskedasticity and Autocorrelation consisitent covariance matrix, Econometrica 55,703-708
• 关于GMM发展的讨论
R. Davidson and J. MacKinnon, 1993: Estimation and Inference in Econometrics, New York Oxford Univ. Press
一、广义矩估计的概念
⒈几个重要的性质
• 从方法论角度
– 变量设定的相对性：直接与间接、内生与外生、随机 与确定。
Andrews,1991: Heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix estimation, Econometrica 59, 817-858
1 Z 'e( y n
, X;)
1

m(
)


m1 m2
mk
( (

(
) )
)



n 1 n
1 n
z1i ei
i

z2i ei

i


i zkiei