2017年高考理科数学全国2卷-含答案

输出S K=K+1
a =a S =S +a ∙K 是否
输入a S =0,K =1结束
K ≤6开始2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(全国2卷)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.
31i
i
+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2.设集合{}1,2,4A =，{}
2
40x x x m B =-+=．若{}1A
B =，则B =（）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π
5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最小值是（）
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9 6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9.若双曲线C:22221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2
224x y -+=所
截得的弦长为2，则C 的离心率为（）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．
23
10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）
A
B
C
11.若2x =-是函数2
1`
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1 12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（） A.2- B.32-
C. 4
3
- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二
等品件数，则D X =．
14.函数(
)23sin 4f x x x =+-
（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是． 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k
S ==∑． 16.已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考
生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）ABC ∆的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B A
C +=． (1)求cos B (2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b
18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）其频率分布直方图如下：
旧养殖法
/kg
O
/kg
新养殖法
O
（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法
的箱产量不低于50kg ”,估计A 的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19.（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠=E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求
二面角M -AB -D 的余弦值
20.（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，
过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
(1) 求点P 的轨迹方程；
(2) 设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
21.（12分）已知函数2
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为
cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知3
3
0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）5
5()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(Ⅱ)试题答案
一、选择题
1.D
2.C
3.B
4.B
5.A
6.D
7.D
8.B
9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题
13. 1.96 14. 1 15. 2n
1
n + 16. 6 三、解答题 17.解：
（1）由题设及2
sin 8sin 2
A B C B π
π++==得，故
sin 4-cosB B =（1）
上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15cosB=cosB 17
1（舍去），= （2）由158cosB sin B 1717==
得，故14
a sin 217
ABC S c B ac ∆== 又17
=22
ABC S ac ∆=，则
由余弦定理及a 6c +=得
2222
b 2cos a 2(1cosB)
1715362(1)
217
4
a c ac B
ac =+-=-+=-⨯⨯+=（+c ）
所以b=2 18.解：
（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ” 由题意知()()()()P A P BC P B P C == 旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为
0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62++++⨯（）
故()P B 的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为
0.0680.0460.0100.0085=0.66+++⨯（）
故()P C 的估计值为0.66
因此，事件A 的概率估计值为0.620.660.4092⨯= （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
()2
2
2006266343815.705
10010096104
K ⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯
由于15.705 6.635>
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图面积为
()0.0040.0200.04450.340.5++⨯=<，
箱产量低于55kg 的直方图面积为
()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++⨯=>
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
0.5-0.34
50+
2.35kg 0.068
（）
≈5． 19.解：
（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ．
因为E 为PD 的中点，所以EF AD ,12EF AD =
,由90BAD ABC ∠=∠=︒得BC AD ∥，
又1
2
BC AD = 所以EF BC ∥．四边形BCEF 为平行四边形，CE BF ∥． 又BF PAB ⊂平面，CE PAB ⊄平面，故CE PAB ∥平面
（2）
由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则
则(000)A ，，，(100)B ，，，(110)C ，，，(01P ，，
(10PC =，，,(100)AB =，，则
(x 1),(x 1BM y z PM y z =-=--，，，，
因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而(00)=n ，，1是底面ABCD 的法向量，所以
0cos ,sin 45BM =n
=
即（x-1）²+y ²-z ²=0
又M 在棱PC 上，设,PM PC λ=则
x ,1,y z λ===
由①，②得x x y y ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪
⎪⎪=-=
⎪⎪⎩⎩
=1+=1-22=1(舍去)，=1
z z 22
所以
M 1-,1⎛ ⎝⎭
，从而1-,1⎛= ⎝⎭
AM
设()000,,x y z m =是平面ABM 的法向量，则
(
000020
0即00
⎧⎧++
==⎪⎪⎨
⎨=⎪⎪=⎩⎩x y AM AB x m m
所以可取m =（0，
2）.于是cos 10=
=m n
m,n m n
因此二面角M-AB-D
20.解
（1）设P （x,y ）,M （x 0,y 0）,设N （x 0,0）, ()()00,,0,=-=NP x x y NM y
由2=
NP NM
得00=,=
x x y y 因为M （x 0,y 0）在C 上，所以22
122
+=x y
因此点P 的轨迹方程为222+=x y
（2）由题意知F （-1,0）.设Q （-3，t ）,P(m,n),则
()()3,1,,33t =-=---=+-OQ ,PF m n OQ PF m tn ， ()(),3,==---OP m,n PQ m,t n
由1=OP PQ 得22-31-+-=m m tn n ，又由（1）知22+=2m n ，故 3+3m-tn=0
所以0=OQ PF ，即⊥OQ PF 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.解：
（1）()f x 的定义域为()0，
+∞ 设()g x =ax -a -lnx ，则()()()≥f x =xg x ,f x 0等价于()0≥g x 因为()()()()()1
1=0，0,故1=0,而,1=1,得1≥=--=g g x g'g'x a g'a a x
若a =1，则()1
1-
g'x =x
.当0＜x ＜1时，()()＜0,g'x g x 单调递减；当x ＞1时，()g'x ＞0，()g x 单调递增.所以x=1是()g x 的极小值点，故()()1=0≥g x g 综上，a=1
（2）由（1）知()2ln ,'()22ln f x x x x x f x x x =--=-- 设()1
22ln ,则'()2h x x x h x x
=--=-
当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
时，()'＜0h x ；当1,+2
x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭
时，()'＞0h x ，所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
单调递减，在1,+2
⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
单调递增
又()
()21＞0,＜0,102h e h h -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，所以()h x 在10,2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭有唯一零点x 0，在1,+2
⎡⎫
∞⎪⎢⎣⎭
有唯一零点1，且当
()00,x x ∈时，()＞0h x ；当()0,1x x ∈时，()＜0h x ，当()1,+x ∈∞时，()＞0h x .
因为()()'f x h x =，所以x=x 0是f(x)的唯一极大值点 由()()000000'0得ln 2(1),故=(1)f x x x f x x x ==-- 由()00,1x ∈得()01'＜
4
f x 因为x=x 0是f(x)在（0,1）的最大值点，由()()
110,1,'0e f e --∈≠得
()()
120＞f x f e e --=
所以()2-20＜＜2e f x - 22.解：
（1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθ
ρ，M 的极坐标为()()1
1
，＞0ρθρ，由题设知
cos 14
=，=
ρρθ
OP OM = 由16OM OP =得2C 的极坐标方程()
cos =4＞0ρθρ 因此2C 的直角坐标方程为
()()2
2240x y x -+=≠
（2）设点B 的极坐标为()()，＞0B B
ρα
ρ,由题设知
cos =2，=4B ραOA ,于是△OAB 面积
1
=
sin 2
4cos sin 32sin 232B S OA AOB ρ
πααπα∠⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭⎛⎫=--
⎪⎝⎭≤+
当=-12
π
α时，S 取得最大值
所以△OAB 面积的最大值为 23.解： （1）
()()
(
)
()
(
)
5
56556
2
33
3344
2
2
2
244
++=+++=+-++=+-≥a b a
b a ab a b b a b
a b ab a b ab a b
（2）因为
()()()()
()3
3223
2
3
3323+3+3+2+
+24
4
a +=+++=+≤=+
b a a b ab b ab a b a b a b a b
所以()3
+8≤a b ，因此a+b≤2.。