高中数学知识点精讲精析 简单复合函数的求导法则
高中数学复合函数的求导规则及应用实例
高中数学复合函数的求导规则及应用实例一、引言在高中数学中，复合函数是一个重要的概念。
它是由两个或多个函数组合而成的函数，通过对复合函数的求导，可以帮助我们解决一些实际问题。
本文将介绍复合函数的求导规则，并通过实例来说明其应用。
二、复合函数的求导规则1. 链式法则复合函数的求导可以使用链式法则进行计算。
链式法则可以表示为：设函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为dy/dx=f'(u)g'(x)。
其中，f'(u)表示函数f(u)对u的导数，g'(x)表示函数g(x)对x的导数。
2. 基本导数公式在使用链式法则求导之前，我们需要掌握一些基本的导数公式。
例如，常数函数的导数为0，幂函数的导数为n*x^(n-1)，指数函数的导数为a^x*ln(a)。
三、应用实例1. 实例一：求复合函数的导数考虑函数y=(2x+1)^3，我们需要求其导数。
首先，我们可以将函数表示为y=u^3，其中u=2x+1。
然后，对u求导得到u的导数为du/dx=2。
接下来，对y求导，根据链式法则，dy/dx=3u^2*du/dx=3(2x+1)^2*2=6(2x+1)^2。
2. 实例二：求复合函数的导数考虑函数y=sin(3x)，我们需要求其导数。
首先，我们可以将函数表示为y=f(u)，其中u=3x，f(u)=sin(u)。
然后，对u求导得到u的导数为du/dx=3。
接下来，对y求导，根据链式法则，dy/dx=f'(u)g'(x)=cos(u)*3=3cos(3x)。
四、总结通过本文的介绍，我们了解了复合函数的求导规则及其应用实例。
在求解复合函数的导数时，我们可以使用链式法则来简化计算过程。
通过掌握基本的导数公式，我们可以更加灵活地应用链式法则。
在实际问题中，复合函数的求导可以帮助我们解决一些复杂的数学问题，提高问题的解决效率。
五、应用建议对于高中学生和他们的父母来说，掌握复合函数的求导规则及其应用是非常重要的。
复合函数求导过程
复合函数求导过程复合函数求导是微积分中的一个重要知识点，也是解析几何中的一个重要工具。
通过复合函数求导，我们可以找到复杂函数的导数，从而可以更好地理解函数的性质和变化规律。
本文将详细介绍复合函数求导的过程，包括链式法则、隐函数求导等。
一、链式法则链式法则是复合函数求导的基础，它给出了复合函数导数的表达式。
设有函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du表示y对u的导数，du/dx表示u对x的导数。
链式法则告诉我们，复合函数的导数等于外函数的导数乘以内函数的导数。
下面通过一个例子来说明链式法则的应用。
例1：设有函数y=sin(2x)，求dy/dx。
解：此题相当于求复合函数y=sin(u)的导数，其中u=2x。
根据链式法则的定义，我们知道：dy/dx = dy/du * du/dx先求内函数的导数du/dx。
由于u=2x，所以du/dx=2、然后求外函数的导数dy/du。
由于y=sin(u)，所以dy/du=cos(u)。
将上述结果代入链式法则的公式中，得到：dy/dx = cos(u) * 2进一步整理得到：dy/dx = 2cos(u)将u=2x代入，得到最终结果：dy/dx = 2cos(2x)所以，函数y=sin(2x)的导数为dy/dx = 2cos(2x)。
链式法则是求导中的一个基本工具，可以用来求解各种复合函数的导数。
下面我们将介绍一些常见的复合函数求导的应用。
二、反函数求导反函数求导是复合函数求导的一个特殊应用，在求解函数的导数时非常有用。
设有函数y=f(x)和反函数x=f^(-1)(y)，则反函数的导数可以表示为：dx/dy = 1 / (dy/dx)其中，dy/dx表示函数f(x)的导数。
反函数求导的思想是，在已知函数f(x)的导数的基础上，通过倒数的方式求得反函数的导数。
下面通过一个例子来说明反函数求导的过程。
简单复合函数求导法则
简单复合函数求导法则根据链式法则，如果y是一个由u=g(x)和v=f(u)组成的复合函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du 是函数f对u的导数，du/dx 是函数g对x的导数。
下面我们将介绍一些常见的简单复合函数求导法则。
一、常数倍数法则如果 f(x) 是一个可导函数，而 c 是一个常数，则 cf(x) 的导数是c * f'(x)。
根据这个法则，我们可以推导出以下常见的函数求导法则。
二、和差法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和f(x)+g(x)的导数是f'(x)+g'(x)差f(x)-g(x)的导数是f'(x)-g'(x)。
三、乘积法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积f(x)g(x)的导数是f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
四、商法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，且g(x)≠0，则它们的商f(x)/g(x)的导数是[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]²。
如果f(u)是一个可导函数，而u=g(x)是一个可导的函数，则复合函数y=f(g(x))的导数是dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)。
这个法则是链式法则的核心，也是复合函数求导的关键。
对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 是一个正实数，则它的导数是f'(x) = (ln a) * a^x。
对于对数函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 是一个正实数且a ≠ 1，则它的导数是 f'(x) = 1 / (x * ln a)。
这是一些常见的简单复合函数求导法则。
在实际应用中，我们经常会遇到更复杂的函数，需要根据特定函数的性质和结构来应用合适的求导法则。
掌握这些法则可以帮助我们更准确地计算各种复合函数的导数，并应用于相关问题的求解中。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则1.基本公式：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的复合函数为$h(x)=f(g(x))$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{df}}{{dg}} \cdot\frac{{dg}}{{dx}}$$或者可以写成简洁的形式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这个公式是复合函数导数的基本公式，也是后续运算法则的基础。
2.反函数法则：设有函数$y=f(x)$，如果$f(x)$的反函数存在且可导，那么反函数$f^{-1}(x)$的导数可以表示为：$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{{f'(f^{-1}(x))}}$$3.乘积法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的乘积为$h(x) = f(x) \cdot g(x)$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$这个公式可以直接应用于两个或多个函数的乘积的导数运算。
4.商法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的商为$h(x) =\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}}{{(g(x))^2}}$$这个公式可以用于计算两个函数的商的导数。
5.复合函数的高阶导数：复合函数的高阶导数是指对复合函数进行多次求导的结果。
根据基本公式，我们可以计算复合函数的高阶导数。
例如，对于三次导数，我们可以应用基本公式三次，得到如下的表达式：$$h''(x) = [f'(g(x)) \cdot g'(x)]' = f''(g(x)) \cdot(g'(x))^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$$类似地，我们可以计算更高阶的导数。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式极其运算法则同学们还记得吗，如果不记得了，请往下看。
下面是由小编为大家整理的“复合函数导数公式及运算法则”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数导数公式.常用导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。
高等数学 第2章 第三节 反函数的导数 复合函数的求导法则
记y1 f (sin2 x)
y2 g(cos 2 x)
以抽象形式给出的函 数求导数
y1' f (sin2 x) sin2 x f '(sin2 x) 2sin x cos x
f (sin2 x) sin2x
y2 ' g(cos 2 x)( sin2x)
y ' f (sin2 x) sin2x g'(cos 2 x)( sin2x)
第三节 反函数的导数
复合函数的求导法则
一、反函数求导法则
设：x ( y)单调连续并在点y可导，且'( y) 0 x ( y)的反函数y f ( x)在对应点x处可导，则
f '(x) 1
'( y)
或者记为dy 1 dx dx
dy
注意：1、这里反函数的记法，并不把自变量按习惯记作x.
2、反函数关系是相互的。
2
.
例6 ：y (2 x tan x)2 , 求y '
解： y ' 2(2x tan x) (2x tan x)' 2(2x tan x) (2 sec2 x)
例7 f ( x) sinnx cos n x (n R) 求f '( x).
解： f '( x) sinnx'cosn x sinnx (cosn x)'
du
dv v
dv
dw
1
cos w,
dw
dx
x2
dy dx
eu
1 v
cos w
1 x2
ln sin 1
ex
1 1
sin
cos
1 x
1
x2
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。
2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。
3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。
4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。
5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。
下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。
例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。
解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式1.链式法则：链式法则是用于求解复合函数导数的基本法则。
设y=f(u)，u=g(x)为两个可导函数，且y=f(u)和u=g(x)均是一对一函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则求得。
链式法则的公式为：dy/dx=dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数y=f(u)对u的导数，du/dx表示函数u=g(x)对x的导数。
例如，设y=sin(x^2)，我们需要求解dy/dx。
首先，令u=x^2，y=sin(u)，则dy/du=cos(u)=cos(x^2)。
其次，求解du/dx=2x。
最后，根据链式法则，dy/dx=dy/du * du/dx = cos(x^2) * 2x = 2x*cos(x^2)。
2.乘积法则：乘积法则用于求解两个函数乘积的导数。
设y=u*v为两个可导函数的乘积，则乘积函数y=u*v的导数可以通过乘积法则求得。
乘积法则的公式为：dy/dx = u * dv/dx + v * du/dx例如，设y=x*sin(x)，我们需要求解dy/dx。
根据乘积法则，将u=x，v=sin(x)代入上述公式，dy/dx = x * cos(x) + sin(x)。
3.商规则：商规则用于求解两个函数的商的导数。
设y=u/v为两个可导函数的商，则商函数y=u/v的导数可以通过商规则求得。
商规则的公式为：dy/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2例如，设y=(x^2+1) / x，我们需要求解dy/dx。
根据商规则，将u=x^2+1，v=x代入上述公式，dy/dx = ((x) * (2x) - (x^2+1) * (1)) / (x^2)^2 = (x^2 - 1) / x^4小结：复合函数求导法则包括链式法则、乘积法则和商规则。
链式法则适用于求解复合函数的导数，乘积法则适用于求解两个函数乘积的导数，商规则适用于求解两个函数的商的导数。
高等数学入门——复合函数的求导法则
高等数学入门——复合函数的求导法则一、复合函数的定义在高等数学中，复合函数是由两个函数通过组合而成的新函数。
假设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为f(g(x))。
其中，g(x)是内层函数，f(x)是外层函数。
二、复合函数的求导法则对于复合函数f(g(x))，我们希望求出它的导数。
根据链式法则，复合函数的导数可以通过内层函数和外层函数的导数相乘来计算。
具体的求导法则如下：1. 内层函数求导：首先求出内层函数的导数g'(x)。
2. 外层函数求导：然后求出外层函数对内层函数的导数f'(g(x))。
3. 乘积求导：将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，即可求得复合函数的导数。
三、示例分析为了更好地理解复合函数的求导法则，我们来看一个具体的示例。
假设有两个函数f(x) = x^2和g(x) = 2x + 1，我们希望求出复合函数f(g(x))的导数。
求出内层函数g(x)的导数：g'(x) = 2然后，求出外层函数对内层函数的导数f'(g(x))：f'(g(x)) = 2g(x) = 2(2x + 1) = 4x + 2将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，得到复合函数的导数：[f(g(x))]'= f'(g(x)) * g'(x)= (4x + 2) * 2= 8x + 4因此，复合函数f(g(x))的导数为8x + 4。
四、总结通过以上示例分析，我们可以总结出复合函数的求导法则：1. 求出内层函数的导数。
2. 求出外层函数对内层函数的导数。
3. 将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，得到复合函数的导数。
复合函数的求导法则在微积分中具有重要的应用价值，它可以帮助我们计算复杂函数的导数。
通过理解和掌握复合函数的求导法则，我们可以更好地应用微积分知识解决实际问题。
希望本文能够对读者理解复合函数的求导法则有所帮助。
简单复合函数的求导法则
简单复合函数的求导法则复合函数的求导是微积分中的重要概念之一，常用于解决实际问题中的导数计算。
在本文中，将介绍简单复合函数和复合函数的求导法则，以及一些例题的解答。
简单复合函数指的是由一个基本函数和一个简单函数复合而成的函数。
例如，如果有一个函数y=f(u)和另一个函数u=g(x)，那么可以通过将这两个函数进行复合得到一个新的函数y=f(g(x))。
我们可以使用链式法则来计算这个复合函数的导数。
链式法则是求导中最基本的方法之一，它可以帮助我们计算复合函数的导数。
链式法则的表达式为：(dy/dx) = (dy/du)*(du/dx) 或者 f'(g(x))=f'(u)*g'(x)其中，dy/dx表示函数y关于x的导数，dy/du表示函数y关于u的导数，du/dx表示函数u关于x的导数。
举个例子，如果y=sin(3x)和u=3x，那么我们可以将它们复合为y=sin(u)，然后利用链式法则求导。
首先通过求导公式得到dy/du=cos(u)，然后通过将du/dx代入得到dy/dx=cos(u)*3、因此，我们得出了函数y=sin(3x)的导数为dy/dx=3*cos(3x)。
复合函数指的是由两个以上的函数复合而成的函数。
与简单复合函数不同，复合函数的求导需要使用多次链式法则来计算。
下面是一些常见的复合函数求导法则：1.和法则如果一个函数可以表示为两个函数之和的形式，那么它的导数等于这两个函数的导数之和。
即，如果y=f(x)+g(x)，那么dy/dx=f'(x)+g'(x)。
比如，对于函数y=x^2+3x，我们可以将其分解为f(x)=x^2和g(x)=3x两个函数的和。
然后分别求导得到f'(x)=2x和g'(x)=3、最后，将两个导数相加得到dy/dx=2x+32.差法则如果一个函数可以表示为两个函数之差的形式，那么它的导数等于这两个函数的导数之差。
复合函数求导法则
复合函数求导法则复合函数是指由两个或多个函数进行组合而成的新函数。
例如，将函数f(x)和g(x)组合而成的函数h(x)可以表示为 h(x) = f(g(x))。
对于这样的函数，我们如何求导呢？下面我们来介绍一下复合函数的求导法则。
一、链式法则复合函数的求导法则可以用数学上的"链式法则"来表示。
链式法则的含义是：如果y 是一个由x的函数所决定的变量，并且z是y的函数，那么z对x的导数等于z对y的导数乘以y对x的导数。
换句话说，链式法则就是把导数分解成两个因子的乘积的法则，其中一个因子是从外面求导，另一个因子是从里面求导。
以y = f(g(x))为例，我们来看一下如何应用链式法则来计算y对x的导数：首先，我们把复合函数y表示成两个单独的函数g和f的乘积，即：y = f(g(x)) = f(u)其中u = g(x)，表示g(x)作为中间变量。
然后，我们对f(u)求导，即：其中f'(u)表示f关于u的导数，即f的斜率，它等于f在u处的切线斜率。
u' = g'(x)把上述式子代入y' = f'(u) * u'，即可得到y对x的导数：这就是链式法则的公式，它告诉我们如何计算一个复合函数的导数。
二、实例演练为了更好地理解链式法则，我们在这里介绍一个例子，假设有一个复合函数：f(x) = e^(3x^2 + 2x + 1)其中，u'表示u关于x的导数，即u' = 6x + 2这就是函数f(x)的导数了。
三、结论通过上述分析，我们可以得出以下结论：1. 对于由两个或多个函数组合而成的复合函数，我们可以用链式法则来求导。
2. 链式法则的公式为y' = f'(g(x)) * g'(x)，其中f和g分别表示外层和内层的函数，f'和g'分别表示它们的导数。
3. 在应用链式法则时，需要将复合函数表示成两个单独的函数的乘积，并对它们分别求导。
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 引言复合函数求导是微积分中的一个常见问题，它涉及到函数的复合运算和导数的求解。
在实际问题中，我们经常需要利用复合函数求导来解决各种复杂的计算问题。
本文将深入探讨复合函数求导的公式运算法则，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
2. 复合函数的定义首先，我们回顾一下复合函数的定义。
设有两个函数f(f)和f(f)，则它们的复合函数f(f)=f[f(f)]定义为先对f应用f(f)，然后再将结果代入f(f)中得到的函数。
复合函数的符号通常表达为f(f)=f(f(f))。
3. 复合函数求导的基本公式接下来，我们将介绍复合函数求导的基本公式。
设有复合函数f(f)=f(f(f))，则它的导数可以表示为：$$ F'(x) = f'(g(x)) \\cdot g'(x) $$这个公式是复合函数求导的基本规律，它表明了复合函数的导数等于外层函数在内层函数的导数点乘上内层函数的导数。
4. 复合函数求导的具体运算法则在实际应用中，我们经常会遇到更加复杂的复合函数，此时需要灵活运用复合函数求导的公式和法则。
以下是一些常见的复合函数求导法则：4.1. 链式法则链式法则是复合函数求导的核心法则之一，它适用于多层复合函数的求导计算。
链式法则表述为：若f=f(f)，f=f(f)，则有$\\frac{dy}{dx}=\\frac{dy}{du} \\cdot\\frac{du}{dx}$。
这个法则可以推广到多个函数相互嵌套的情况，帮助我们简化复杂函数的导数计算。
4.2. 反函数法则当我们需要求解复合函数的反函数的导数时，可以利用反函数的求导法则。
设有函数f=f(f)，如果f与f有反函数f=f(f)的关系，那么有$\\frac{dx}{dy} =\\frac{1}{\\frac{dy}{dx}}$。
这个法则对于一些特定的函数反函数求导问题非常有用。
4.3. 高阶导数的求导法则在某些情况下，我们需要计算复合函数的高阶导数，即导数的导数。
复合函数求导法则与隐函数的求导
1 2 x
.
例11 设 y sin 3 (2 x 1)，求y'. 解
y' (sin (2 x 1))'
3
3 sin 2 (2 x 1) (sin3 (2 x 1))' 3 sin 2 (2 x 1) cos( 2 x 1) (2 x 1)' 3 sin (2 x 1) cos( 2 x 1) 2
f' (u ) g' ( x).
复合函数的求导法则一般称为链式法则，它也适 用于多层复合的情况.比如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)，则 只要满足相应的条件，复合函数y=f(g(h(x)))就可导， 且有
dy dy du dv f' (u ) g' (v)h' ( x). dx du dv dx
1 ( sin x) cos x tan x .
例10 设 y e
tan x
，求y' .
y e u , u tan v，v x .则 解 令
dy dy du dv dx du dv dx
e sec v
u 2
1 2 x
2
e
tan x
sec
x
1 x
若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在
对初等函数求导时，就可以“一步到位”. 例14 计算 [ln( x 2 1 x)]' . 解 [ln( x 2 1 x)]'
1
x2 1 x 2 x2 1
(
1
2 x 1)
1 x ( 2 1) 2 x 1 x x 1 1 x 1
高考数学复合函数求导公式总结
高考数学复合函数求导公式总结高考数学中，复合函数求导是一个重要的知识点。
在解题过程中，掌握求导的公式和方法，可以大大减少解题的时间和复杂度。
下面我将总结高考数学中常见的复合函数求导公式。
一、基本复合函数求导法则1.基本求导法则对于单个函数的求导，我们可以用基本求导法则来求解。
例如，对于常数函数 f(x) = c (c为常数)，其导函数为 f'(x) = 0。
而对于多项式函数 f(x) = x^n (n为自然数)，其导函数为 f'(x) = nx^(n-1)。
另外，对于指数函数 f(x) = e^x，其导函数为 f'(x) = e^x。
在求导时，还需要注意链式法则和乘积法则等。
2.复合函数求导法则复合函数是由一个函数的输出作为另一个函数的输入而形成的函数。
在求复合函数的导数时，我们需要先求外函数的导数，然后再乘上内函数的导数。
例如，对于复合函数f(g(x))，其导数可以通过以下公式求解：[f(g(x))]′=f′(g(x))g′(x)这个公式称为复合函数求导的链式法则。
二、特殊复合函数求导公式1.反函数设y=f(x)是x=g(y)的反函数，则有以下公式：[g(f(x))]′=[f'(x)]⁻¹2.自然对数函数的复合设 y = ln(u)，则有以下公式：[ln(u)]′= u' / u3.幂函数的复合设y=u^v，其中u是关于x的函数，v是关于x的函数，则有以下公式：[u^v]′= v' u^(v-1) + v ln(u)u^v u'其中v'是v的导数，u'是u的导数。
4.指数函数的复合设y=a^u，其中a是常数，u是关于x的函数，则有以下公式：[a^u]′= ln(a) a^u u'其中u'是u的导数。
5.对数函数的复合设 y = log_a(u)，其中 a 是常数，u 是关于 x 的函数，则有以下公式：[log_a(u)]′= 1 / (ln(a) u) u'其中u'是u的导数。
复 合 函 数 的 求 导 法 则
1 u
c
1 os2
v
1 2
1
1
1
tan( x ) cos2 ( x ) 2
24
24
2
sin(
x
1 )c
os(x
)
1 sin(x
)
sec
x.
24 24
2
熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心， 由外及里、逐层求导。
(A) 例6 求y (3x 2)5 的导数
所以
yx
yu
u
x
1 u
(2x)
2x x2 1
(A) 例3 求函数 y cos2 x 的导 数
解：设 y u 2 则 u cos x
因为
yu
2u,
u
x
sin
x
所以
yx
yu
u
x
2u(sin x) 2cosxsin x sin 2x
10 x(1
1
x) 3
(5x 2
4) 1
(1
2
x) 3
(1)
3
10x3 1 x 1 (5x2 4) 1 .
3
3 (1 x)2
（2） y (x sin2 x)4 解 ：y 4(x sin 2 x)3 (x sin 2 x)
4(x sin 2 x)3[x (sin 2 x)] 4(x sin 2 x)3[1 2sin x(sin x)] 4(x sin 2 x)3 (1 2sin x cos x) 4(x sin 2 x)3 (1 sin 2x)
高考数学中的复合函数导数法则与应用
高考数学中的复合函数导数法则与应用高考数学作为一种重要的考试科目，涉及到很多数学知识和技巧。
其中，复合函数导数法则是一项非常重要的技巧之一。
在本篇文章中，我们将探讨这一技巧的基本原理以及在高考数学中的应用。
一、复合函数导数法则的基本原理复合函数导数法则是指当一个函数嵌套在另一个函数中时，如何求出它们组合后的导数。
具体来说，假设有函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为f(g(x))，也就是f和g两个函数组合之后的结果。
那么，如何求出这个复合函数的导数呢？答案就是使用复合函数导数法则。
具体地，设有函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))可以表示为：y=f(g(x))=f(u)|u=g(x)这里表示在f(u)中，u=g(x)。
根据链式法则，复合函数的导数可以表示为：dy/dx =dy/du×du/dx也就是说，复合函数的导数等于外函数对内函数的导数的乘积。
如果用符号来表示，就是：(d/dx)f(g(x))=f'(g(x))×g'(x)其中f'(g(x))表示f关于g(x)的导数，g'(x)表示g关于x的导数。
这就是复合函数导数法则的基本原理。
二、复合函数导数法则的应用举例了解了复合函数导数法则的基本原理，下面我们来看一些应用实例。
1、求解多项式函数的导数多项式函数包括常数函数、一次函数、二次函数等等。
举例来说，假设有多项式函数f(x)=x^2+2x+3，我们要求其导数，则可以使用复合函数导数法则。
具体来说，设g(x)=x+1，则f(x)=g(x)^2+1，即f(x)=g(x)^2+g(1)^2-1。
根据复合函数导数法则，可得f'(x)=2g(x)g'(x)，即：f'(x)=2(x+1)因此，f(x)的导数为2x+2。
2、求解反三角函数的导数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等等，它们的求导方式与一般的函数有所不同。
一句话总结复合函数求导法
一句话总结复合函数求导法
复合函数求导法是微积分中的重要概念，它描述了两个函数复合后求导的方法。
下面列举了十个关于复合函数求导法的总结：
1. 复合函数的求导法则：对于复合函数f(g(x))，其导数等于外层函数f'(g(x))乘以内层函数g'(x)。
2. 复合函数求导的链式法则：对于复合函数f(g(x))，其导数等于
f'(g(x))乘以g'(x)。
3. 复合函数求导的应用：复合函数求导法可以用于求解复杂函数的导数，如指数函数、对数函数等。
4. 复合函数求导的基本思想：将复合函数视为两个函数的组合，先求内层函数的导数，再求外层函数的导数。
5. 复合函数求导的步骤：首先求内层函数的导数，然后求外层函数的导数，最后将两个导数相乘。
6. 复合函数求导的注意事项：在求导过程中，需要注意函数的定义域和导数的存在性。
7. 复合函数求导的例子：例如，对于复合函数f(g(x))=sin(x^2)，其导数等于2x*cos(x^2)。
8. 复合函数求导的推广：复合函数求导法可推广到多个函数的复合，依然使用链式法则进行求导。
9. 复合函数求导与反函数求导的关系：复合函数求导与反函数求导是相互关联的，可以通过链式法则进行推导。
10. 复合函数求导与高阶导数的关系：复合函数求导法可以推广到
高阶导数的计算，依然使用链式法则进行推导。
通过上述总结，可以清晰地了解复合函数求导法的基本原理和应用方法。
掌握这一知识点对于解决复杂函数求导问题非常重要，有助于进一步理解微积分的概念和方法。
希望上述内容能对你有所帮助！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5 简单复合函数的求导法则
1． 设函数)(u f y =与函数)(x u ϕ=构成复合函数))((x f y φ=；如果 ① 函数)(x u ϕ=在点x 处可导；
② 函数)(u f y =在对应点)(x u ϕ=可导；
则复合函数))((x f y ϕ=在点x 处可导，且
)()())((x u f x f x u x ϕ''='，即 x u x u y y ''='
，或 . 证 设x 有增量0Δ≠x ，则相应地函数u = φ (x )有增量Δu ，从而函数y = f (u )有增量Δy ，由②及极限与无穷小的关系知 )(u f u 'α+∆∆=∆∆=→∆u
y u y u 0
lim （其中00→⇒→∆αu ）, 当0≠∆u 时有 u
u u f y u ∆+∆'=∆α)(；
(1)
当0=∆u 时，规定α = 0，上式仍成立。
两边同除以x Δ，得 ⑵
由于)(x u ϕ=点x 可导，必定在点x 连续，于是
00)()(0→⇒→-∆+=∆⇒→∆αϕϕx x x u x ；
再由①知，(2)式令0Δ→x 取极限，即得 x u x u u f x
y x x x u x ∆∆⋅+∆∆'=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim )(lim α)()(x u f x u ϕ'⋅'=， 即
x d u d u d y d x d y d ⋅=. x
u x u u f x y u ∆∆α∆∆∆∆+'=)(x
d u d u d y d x d y d ⋅=
复合函数的求导法则也形象地称为链式法则——函数对自变量的导数=函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
它是微分运算技巧的重要基础。
1．2sin x y =，求
x
d y d . 【解析】
设 2x u =，则u y sin =，所以 22cos 22)(cos )()(sin x x x u x u x
d u d u d y d x d y d =⋅=''=⋅=. 注 熟练后不必写出中间变量了，但一定注意不能漏掉对中间变量的求导：
. 2．x y tan ln =，求
x
d y d . 【解析】 x x x u x u x
d u d u d y d x d y d tan sec sec 1)(tan )(ln 22=⋅=''=⋅=. 注 链式法则可以推广到有限多个函数：设函数)(,)(,)(x h v v g u u f y ===均可导，
则有
)()()(x h v g u f dx dv v d u d u d y d x d y d '⋅'⋅'=⋅⋅=. 3． )e cos(ln x y =，求
y d . 【解析】 . 4．x y 1sin e =，求
x
d y d . 【解析】
.
5． μx y = ( x > 0 )，求y '.
x x x x x x x e x d y d e tan e )()e sin ()e (cos 1)e (cos )
e (cos 1-='⋅-='=2222cos 22cos )(cos x x x x x x x d y d =⋅='⋅=x x x x x x x x d y d x x x x 1cos e 1)1()1(cos e )1(1cos e )1(sin e 1sin 221sin 1sin 1sin ⋅-=-⋅⋅='⋅⋅='⋅=
【解析】
1ln ln ln )ln ()()(-=='='='='μμμμμμμμx x e x e e x y x x x .
注 将幂函数转化为指数函数，和将幂指函数转化为指数的复合函数的方法是求极限和导数常用的方法。