高二线性回归方程试题及答案

回归直线方程
1、某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的. [附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
.] （1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
（2）试估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
（3）该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入(单位:万元) 1 2 3 4 5 销售收益(单位:万
元)
2 3 2
7
由表中的数据显示,与之间存在着线性相关关系,请将（2）的结果填入空白栏,并求出关于的回归直线方程.
401
2
2
1
ˆˆˆ,n
i i
i n
i
i x y nx y
b
a
y bx x
nx ==-==--∑∑4x y x y y x
2、某校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取160名理科学生，想调查男生、女生对“坐标系与参数方程”与“不等式选讲”这两道题的选择倾向性，调研中发现选择“坐标系与参数方程”的男生人数与选择“不等式选讲”的总人数相等，且选择“坐标系与参数方程”的女生人数比选择“不等式选讲”的女生人数多25人，根据调
（）完成列联表，并判断在犯错误的概率不超过的前提下，能否认为选题与性 别有关.
（Ⅰ）按照分层抽样的方法，从选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的学生中
共抽取8人进行问卷.若从这8人中任选3人，记选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的人数的差为，求的分布列及数学期望． 附： ，其中．
ξξE ξ()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++n a b c d =+++
3、面向全市招聘事业编工作人员，由人事、劳动、纪检等部门联合组织招聘考试，招聘考试分为两个阶段：笔试和面试.现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．
（Ⅰ）求出上表中的x，y，z，s，p的值；
（Ⅱ）按规定，笔试成绩不低于90分的应聘人员可以参加面试，且面试的方式采用单循环，以参加面试人员胜出的场数决定是否录用（即参加面试的所有人员中每两人必需进行一个场次的PK比赛）．已知松山区有两名应聘人员取得面试资格，在所有的比赛中，求有松山区选手参加比赛的概率．
答案
1、某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的. [附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
.] （1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
（2）试估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
（3）该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入(单位:万元) 1 2 3 4 5 销售收益(单位:万
元)
2 3 2
7
由表中的数据显示,与之间存在着线性相关关系,请将（2）的结果填入空白栏,并求出关于的回归直线方程.
解：（1）设各小长方形的宽度为,由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1,可知
,故，即图中各小长方形的宽度为
2. …3分
（2）由（1）知各小组依次是, 其中点分别为,
对应的频率分别为,
故可估计平均值为.7分 （3）由（2）可知空白栏中填5.
由题意可知, ，
401
2
2
1
ˆˆˆ,n
i i
i n
i
i x y nx y
b
a
y bx x
nx ==-==--∑∑4x y x y y x m (0.080.10.140.120.040.02)0.51m m +++++⋅==2m =[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]1,3,5,7,9,110.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.0410.1630.250.2870.2490.08110.045⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1234523257
3, 3.855
x y ++++++++=
===
,
,
根据公式,可求得 ………………10分
, ………………11分 所以所求的回归直线方程为. ………………12分
2、某校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取160名理科学生，想调查男生、女生对“坐标系与参数方程”与“不等式选讲”这两道题的选择倾向性，调研中发现选择“坐标系与参数方程”的男生人数与选择“不等式选讲”的总人数相等，且选择“坐标系与参数方程”的女生人数比选择“不等式选讲”的女生人数多25人，根据调
（）完成列联表，并判断在犯错误的概率不超过的前提下，能否认为选题与性
别有关.
（Ⅰ）按照分层抽样的方法，从选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的学生中
共抽取8人进行问卷.若从这8人中任选3人，记选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的人数的差为，求的分布列及数学期望． 附： ，其中．
【解析】（Ⅰ）
5
1122332455769i i
i x y
=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==∑5
2222221
1234555i
i x
==++++=∑26953 3.812
1.2,555ˆ310
b
-⨯⨯===-⨯3.8 1.230ˆ.2a
=-⨯= 1.20.2y x =+ξξE ξ()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++n a b c d =+++
，故不能认为选题与性别有关．…………………5分
（Ⅱ）选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的人数比例为100：60＝5：3， 所以抽取的8人中倾向“坐标系与参数方程”的人数为5，倾向“不等式选讲”的人 数为3．
依题意，得，，，
， ． …………………9分 故的分布列如下:
所以． …………………12分 3、面向全市招聘事业编工作人员 ，由人事、劳动、纪检等部门联合组织招聘考试，招聘考试分为两个阶段：笔试和面试.现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．
（Ⅰ）求出上表中的x ，y ，z ，s ，p 的值；
（Ⅱ）按规定，笔试成绩不低于90分的应聘人员可以参加面试，且面试的方式采用单循环，以参加面试人员胜出的场数决定是否录用（即参加面试的所有人员中每两人必需进行一个场次的 PK 比赛）．已知松山区有两名应聘人员取得面试资格，在所有的比赛中，求有松山区选手参加比赛的概率． 解：（1）由题意知，参加招聘考试的人员共有p =
= 50人， ∴x =
= 0.18， 2
2
160(9001800) 3.74 5.0241055510060
K -=≈<⨯⨯⨯3,1,1,3=--ξ33381
(3)56C P C =-==ξ12533815(1)56
C C P C =-==ξ21533830
(1)56C C P C ===ξ30
533810(3)56
C C P C ===ξξ11530103
3(1)135********
E =-⨯
+-⨯+⨯+⨯=ξ16
0.32
9
50
y = 50×0.38 = 19， Z = 50﹣9﹣19﹣16 = 6， S = = 0.12 ----------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）由（Ⅱ）知，参加面试的应聘人员共6人.
若参加面试的6人分别记为：S 1 , S 2 , a , b , c , d .( 其中S 1 , S 2 表示松山区的参赛选手，a , b , c , d 表示其他旗、县的选手)
则所有的比赛为： （S 1 , S 2 ） （S 1 , a ） （S 1 ,b ） （S 1 ,c ） （S 1 , d ） （S 2 , a ） （S 2 , b ） （S 2 , c ） （S 2 ,d ） （a , b ） （ a , c ） （ a , d ） （ b , c ） （b , d ） （c , d ） 共十五个场次的比赛，有松山区选手出现的比赛有9场. 若有松山区选手参加比赛的事件为：A 则P (A ) =
-------------------------------12分
6
50
3
5。