数学物理方法第十章球函数
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Pk0(x) 0
递推公式的证明
u(x, r)
0Pl ( x)rl
1 1 2rx r2
ur (x, r)
0 Pl
( x)l
r l 1
(1
xr 2rx r 2 )3/ 2
(x r)
0 Pl
(
x)r
l
（x r (1
)(1 2rx 2rx r 2 )3
r2
/2
)
(1 2rx r 2 )
u |ra f ( )
u 0
(r2R' )'l(l 1)R 0
(sin' )'l(l 1) sin 0 (0),( )有界
x cos
r2R"2rR'l(l 1)R 0
[(1 x2 )' ]'l(l 1) 0 (1)有界
R Al rl Bl rl1
Pl ( x)
f ( ) l0 Rl (a)Pl (cos )
0
0
r
l
k
l
,k
N
2 k
1 [ln(1 r) ln(1 r)] r
– 正交性公式 –模 – 正交性应用例题
完备性
– 完备性公式 – 广义傅立叶系数 – 完备性应用例题
勒让德多项式的正交性
正交性
1
Pk ( x)Pl ( x)dx 0, Pk (cos )Pl (cos ) sin d 0, (k l)
1
0
模
1 Pl ( x)Pl ( x)dx
1
Pl (cos )Pl (cos ) sin d
数学物理方法
第十章 球函数
球函数
轴对称问题和勒让德多项式 转动对称问题和连带勒让德函数 一般问题和球函数 本章小结
轴对称问题和勒让德多项式
轴对称拉普拉斯方程的求解 勒让德多项式 勒让德多项式的母函数和递推公式 勒让德多项式的性质 勒让德多项式的应用
解轴 对 称 拉 普 拉 斯 方 程 的 求
Pl ( x)
1 2l l!
dl dxl
(x2
1)l
Pl ( x)
1
2i
1 2l
( z 2 1)l ( z x)l 1
dz
代数表达式
图象
勒让德多项式的代数表达式
Pl ( x)
(1)k (2l 2k )! 2l k!(l k )!(l 2k )!
xl2k
1 2l l!
dl dxl
C
( z 2 1)l ( z x)l 1
dz
rl
1
dz
2i C z x
( z 2 1)l rl 0 2l (z x)l
1
dz
2i C z x
1 1 ( z 2 1) r
2( z x)
1 2i
C
dz
(z
x)
1 2
(z2
1)r
奇点：
z
1 (1 r
1 2xr r2 )
1
2i
0 Pl
(0)r
l
1 1 r2
(1)k (2k 1)!! r2k 0 (2k )!!
Pl
(0)
(
1)k (2k 1)!! (2k )!!
,
l
2k
0,
l 2k 1
(2k)!! 2 46 (2k) (2k 1)!! 135 (2k 1) 0!! (1)!! 1
基本递推公式
(k 1)Pk1(x) (2k 1)xPk (x) kPk1(x) Pk1' (x) (k 1)Pk (x) xPk ' (x) kPk (x) xPk ' (x) Pk1' (x) (x2 1)Pk ' (x) kxPk (x) kPk1(x)
母函数和递推公式
母函数
– 定义：u(x, r) =∑ Pl (x) r l – 形式：u(x, r) = ( 1－2rx + r2 )-1/2 – 推导 – 应用
递推公式
– 基本递推公式 – 证明 – 应用
母函数的推导
u(x, r)
0 Pl
(
x)r
l
u( x, r)
1 1
0 2i 2l
k 0 P1(x) xP0(x) 0 x
k 1 2P2(x) 3xP1(x) P0(x) 3x2 1
k
2
3P3( x)
5xP2 (x)
2 P1 ( x)
15 2
x3
9 2
x
勒让德多项式的性质
奇偶性
Pl(-x) = (-1)l Pl(x) 零点定理
L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。 正交性
u l0 Rl (r)Pl (cos )
勒让德多项式
定义
斯 — 刘问题[(1(1x)有 2 )界' ]'l(l 1) 0 的本征函数
一般表示
级数表示
Pl ( x)
2l
(1)k (2l 2k )! k!(l k )! (l 2k )!
x l 2 k
微分表示
积分表示
具体形式
0
N
2 l
2 2l 1
正交性应用例题
1 Pl ( x)dx
1
P0 ( x)Pl ( x)dx
l
,0
N
2 0
2 l,0
1
1
1 xPl ( x)dx
1
1 1
P1( x)Pl ( x)dx
l,1N12
2 3
l
,1
1 1
x2 Pl ( x)dx
1 1
(
2 3
P2
1 3
P0 )Pl dx
2i 1
1 zr
|z z
1 1 2xr r2
母函数的应用
u(x, r)
0 Pl
(
x)r
l
1 1 2rx r2
u(1, r)
0Pl (1)rl
1 1 r
r l
0
Pl (1)
1
u(1, r)
0Pl (1)rl
1 1 r
(1)l rl
0
Pl (1)
(1)l
u(0, r)
0 Pl
(
x)l
r
l
Baidu Nhomakorabea
1
0
xPl
rl
Pl
r l 1
0 l Pl
r l 1
2lxPl
rl
l Pl
r l 1
xPk Pk1 (k 1)Pk1 2kxPk (k 1)Pk1
(k 1)Pk1 (2k 1)xPk k Pk1 0
递推公式的应用
(k 1)Pk1(x) (2k 1)xPk (x) kPk1(x)
2 3
l
,2
N
2 2
1 3
l
,0
N
2 0
勒让德多项式模的计算
u(x, r)
0Pl ( x)rl
1 1 2rx r2
1 1
0 Pl
(
x)r
l
0 Pk
(
x)r
k
dx
1 1
dx 1 2rx r2
0
rlk
0
1 1
Pl
( x)Pk
( x)dx
1 2r
ln(1
2rx
r2
)
|11
(x2
1)l
P0(x) 1
P1(x) x cos
P2 ( x)
1 2
(3x2
1)
1 4
(3 cos 2
1)
P3( x)
1 2
(5x3
3x)
1 8
(5 cos 3
3cos
)
P4 ( x)
1 8
(35x4
30x2
3)
1 64
(35 cos 4
20 cos 2
9)
勒让德多项式的图象
勒 让 德 多 项 式 的 图 象
递推公式的证明
u(x, r)
0Pl ( x)rl
1 1 2rx r2
ur (x, r)
0 Pl
( x)l
r l 1
(1
xr 2rx r 2 )3/ 2
(x r)
0 Pl
(
x)r
l
（x r (1
)(1 2rx 2rx r 2 )3
r2
/2
)
(1 2rx r 2 )
u |ra f ( )
u 0
(r2R' )'l(l 1)R 0
(sin' )'l(l 1) sin 0 (0),( )有界
x cos
r2R"2rR'l(l 1)R 0
[(1 x2 )' ]'l(l 1) 0 (1)有界
R Al rl Bl rl1
Pl ( x)
f ( ) l0 Rl (a)Pl (cos )
0
0
r
l
k
l
,k
N
2 k
1 [ln(1 r) ln(1 r)] r
– 正交性公式 –模 – 正交性应用例题
完备性
– 完备性公式 – 广义傅立叶系数 – 完备性应用例题
勒让德多项式的正交性
正交性
1
Pk ( x)Pl ( x)dx 0, Pk (cos )Pl (cos ) sin d 0, (k l)
1
0
模
1 Pl ( x)Pl ( x)dx
1
Pl (cos )Pl (cos ) sin d
数学物理方法
第十章 球函数
球函数
轴对称问题和勒让德多项式 转动对称问题和连带勒让德函数 一般问题和球函数 本章小结
轴对称问题和勒让德多项式
轴对称拉普拉斯方程的求解 勒让德多项式 勒让德多项式的母函数和递推公式 勒让德多项式的性质 勒让德多项式的应用
解轴 对 称 拉 普 拉 斯 方 程 的 求
Pl ( x)
1 2l l!
dl dxl
(x2
1)l
Pl ( x)
1
2i
1 2l
( z 2 1)l ( z x)l 1
dz
代数表达式
图象
勒让德多项式的代数表达式
Pl ( x)
(1)k (2l 2k )! 2l k!(l k )!(l 2k )!
xl2k
1 2l l!
dl dxl
C
( z 2 1)l ( z x)l 1
dz
rl
1
dz
2i C z x
( z 2 1)l rl 0 2l (z x)l
1
dz
2i C z x
1 1 ( z 2 1) r
2( z x)
1 2i
C
dz
(z
x)
1 2
(z2
1)r
奇点：
z
1 (1 r
1 2xr r2 )
1
2i
0 Pl
(0)r
l
1 1 r2
(1)k (2k 1)!! r2k 0 (2k )!!
Pl
(0)
(
1)k (2k 1)!! (2k )!!
,
l
2k
0,
l 2k 1
(2k)!! 2 46 (2k) (2k 1)!! 135 (2k 1) 0!! (1)!! 1
基本递推公式
(k 1)Pk1(x) (2k 1)xPk (x) kPk1(x) Pk1' (x) (k 1)Pk (x) xPk ' (x) kPk (x) xPk ' (x) Pk1' (x) (x2 1)Pk ' (x) kxPk (x) kPk1(x)
母函数和递推公式
母函数
– 定义：u(x, r) =∑ Pl (x) r l – 形式：u(x, r) = ( 1－2rx + r2 )-1/2 – 推导 – 应用
递推公式
– 基本递推公式 – 证明 – 应用
母函数的推导
u(x, r)
0 Pl
(
x)r
l
u( x, r)
1 1
0 2i 2l
k 0 P1(x) xP0(x) 0 x
k 1 2P2(x) 3xP1(x) P0(x) 3x2 1
k
2
3P3( x)
5xP2 (x)
2 P1 ( x)
15 2
x3
9 2
x
勒让德多项式的性质
奇偶性
Pl(-x) = (-1)l Pl(x) 零点定理
L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。 正交性
u l0 Rl (r)Pl (cos )
勒让德多项式
定义
斯 — 刘问题[(1(1x)有 2 )界' ]'l(l 1) 0 的本征函数
一般表示
级数表示
Pl ( x)
2l
(1)k (2l 2k )! k!(l k )! (l 2k )!
x l 2 k
微分表示
积分表示
具体形式
0
N
2 l
2 2l 1
正交性应用例题
1 Pl ( x)dx
1
P0 ( x)Pl ( x)dx
l
,0
N
2 0
2 l,0
1
1
1 xPl ( x)dx
1
1 1
P1( x)Pl ( x)dx
l,1N12
2 3
l
,1
1 1
x2 Pl ( x)dx
1 1
(
2 3
P2
1 3
P0 )Pl dx
2i 1
1 zr
|z z
1 1 2xr r2
母函数的应用
u(x, r)
0 Pl
(
x)r
l
1 1 2rx r2
u(1, r)
0Pl (1)rl
1 1 r
r l
0
Pl (1)
1
u(1, r)
0Pl (1)rl
1 1 r
(1)l rl
0
Pl (1)
(1)l
u(0, r)
0 Pl
(
x)l
r
l
Baidu Nhomakorabea
1
0
xPl
rl
Pl
r l 1
0 l Pl
r l 1
2lxPl
rl
l Pl
r l 1
xPk Pk1 (k 1)Pk1 2kxPk (k 1)Pk1
(k 1)Pk1 (2k 1)xPk k Pk1 0
递推公式的应用
(k 1)Pk1(x) (2k 1)xPk (x) kPk1(x)
2 3
l
,2
N
2 2
1 3
l
,0
N
2 0
勒让德多项式模的计算
u(x, r)
0Pl ( x)rl
1 1 2rx r2
1 1
0 Pl
(
x)r
l
0 Pk
(
x)r
k
dx
1 1
dx 1 2rx r2
0
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0
1 1
Pl
( x)Pk
( x)dx
1 2r
ln(1
2rx
r2
)
|11
(x2
1)l
P0(x) 1
P1(x) x cos
P2 ( x)
1 2
(3x2
1)
1 4
(3 cos 2
1)
P3( x)
1 2
(5x3
3x)
1 8
(5 cos 3
3cos
)
P4 ( x)
1 8
(35x4
30x2
3)
1 64
(35 cos 4
20 cos 2
9)
勒让德多项式的图象
勒 让 德 多 项 式 的 图 象