河南省郑州市2011年高中毕业年级第二次质量预测

郑州市2011年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．设函数y M ，集合N ＝｛y ｜y ＝2x ，x ∈R}，则M ∩N ＝A ．φB ．NC ．[1，＋∞）D ．M 2．计算cos42°cos18°－cos48°cos72°的结果等于A ．12 B C D3．已知向量a 与b 的夹角为3π，｜a a 在b 方向上的投影为A B 2 C 2 D 4．已知△ABC 中，sinA ：sinB ：sinC ＝1 ：1 2 A ．60° B ．90° C ．120° D ．135° 5．已知正方体的外接球的体积是43π，则这个正方体的棱长是A ．3 B ．33 C ．23 D ．36．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题： ①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α； ②若a ∥α，a ⊥β，则α⊥β； ③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α或a ⊂α； ④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β 其中正确命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．47．已知随机变量ξ服从正态分布N （1，2σ），P （ξ≤4）＝0．84，则P （ξ≤－2）＝A ．0．16B ．0．32C ．0．68D ．0．84 8．要得到函数y ＝cos2x 的图象，只需将函数y ＝sin （2x ＋3π）的图象沿x 轴A ．向左平移12π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移6π个单位D ．向右平移12π个单位9．右面的程序框图给出了计算数列{n a }的前8项和S 的 算法，算法执行完毕后，输出的S 为A ．8B ．63C ．92D ．12910．5位同学站成一排准备照相的时候，有两位老师碰巧路过，同学们强烈要求与老师合影留念，如果5位同 学顺序一定，那么两位老师与同学们站成一排照相的 站法总数为A ．6B ．20C ．30D ．4211．设f （x ）＝1232,12,x e x x x ⎧⎪⎨(),⎪⎩－ ＜2,log － ≥则不等式f （x ）<2的解集为A ．B ．（－∞，1）∪[2 C ．（1，2] D ．（11012．设双曲线42x t -2y ＝（t ≠0）的两条渐近线与直线x 2界）为D ，P （x ，y ）为D 内的一个动点，则目标函数z ＝12x －y 的最小值为 A ．－2B ．－2C ．0D ．－2第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，共20分） 13．若复数z ＝11i i ＋－＋mi （i 为虚数单位）为 实数，则实数m ＝_______________． 14．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为__________________． 15．设抛物线2x ＝4y 的焦点为F ，经过点P （1，4）的直线l 与抛物线相交于A 、B两点，且点P 恰为AB 的中点，则｜AF｜ ＋｜BF｜＝________________．16．设f （x ）是R 上的奇函数，且f （－1）＝0，当x>0时，（2x ＋1）f （x ）－2xf （x ）<0，则不等式f （x ）>0的解集为______________．三、解答题（共70分） 17．（本小题满分12分）已知数列{n a }的前n 项和n S ＝2－n a ，数列{n b }满足b 1＝1， b 3＋b 7＝18，且1n b －＋1n b ＋＝2n b （n ≥2）．（Ⅰ）求数列{n a }和{n b }的通项公式； （Ⅱ）若n c ＝nnb a ，求数列{nc }的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整数）如下表所示：（Ⅰ）试分别估计两个班级的优秀率；（Ⅱ）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75％的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．19．（本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1＝2．（Ⅰ）求三棱锥C －A 1B 1C 1的体积V ；（Ⅱ）求直线BD 1与平面ADB 1所成角的正弦值；（Ⅲ）若棱AA 1上存在一点P ，使得AP ＝λ1PA，当二面角A －B 1C 1－P 的大小为30°时，求实 数λ的值．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点P （x ，y ）为动点，已知点A 0），B 0），直线PA 与PB 的斜率之积为定值－12． （Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程； （Ⅱ）若F （1，0），过点F 的直线l 交轨迹E 于M 、N 两点，以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，求直线l 的方程．21．（本小题满分12分） 已知x>12，函数f （x ）＝2x ，h （x ）＝2e lnx （e 为自然常数）． （Ⅰ）求证：f （x ）≥h （x ）；（Ⅱ）若f （x ）≥h （x ）且g （x ）≤h （x ）恒成立，则称函数h （x ）的图象为函数f （x ），g （x ）的“边界”．已知函数g （x ）＝－42x ＋px ＋q （p ，q ∈R ），试判断“函数f （x ），g （x ）以函数h （x ）的图象为边界”和“函数f （x ），g （x ）的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立?若能同时成立，请求出实数p 、q 的值；若不能同时成立，请说明理由．请考生22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4—1：（本小题满分10分）几何证明选讲如图，在△ABC 中，∠C 为钝角，点E ， H 分别是边AB 上的点，点K 和M 分别 是边AC 和BC 上的点，且AH ＝AC ，EB＝BC ，AE ＝AK ，BH ＝BM ．（Ⅰ）求证：E 、H 、M 、K 四点共圆；（Ⅱ）若KE ＝EH ，CE ＝3，求线段KM 的长．23．选修4－5：（本小题满分10分）不等式选讲已知实数a 、b 、c 、d 满足221a b +=，222c d +=，求ac ＋bd 的最大值．理科数学 参考答案一、选择题BACCD DAACD BB 二、填空题13.1； 14.(5π； 15.10； 16.(,1)(0,1)-∞-⋃. 三、解答题17.解：⑴由题意2n n S a =-， ①当2n ≥时，112n n S a --=-， ②①-②得 11n n n n n a S S a a --=-=-， 即 112n n a a -=，--------3分 又11112,1a S a a ==-∴=， 故数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，所以112n n a -=；--------4分 由112(2)n n n b b b n -++=≥知，数列{}n b 是等差数列，设其公差为d ，则5371()92b b b =+=，所以5124b b d -==，1(1)21n b b n d n =+-=-； 综上，数列{}n a 和{}n b 的通项公式为11,212n n n a b n -==-．--------7分⑵1(21)2n nn nb c n a -==-⋅，1230121=123252(21)2,n nn T c c c c n -=++++⨯+⨯+⨯++-⨯ ③1212 1232(23)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ， ④③-④得 123112(2222)(21)2n nn T n --=+++++--⋅ ，--------9分整理得 2212(21)2(23)2312nn n n T n n --=+⨯--⋅=--⋅--， 所以(23)23n n T n =-⋅+．--------12分18.解：⑴由题意，甲、乙两班均有学生50人，------------------- 1分甲班优秀人数为30人，优秀率为3060%50=，----------- 2分 乙班优秀人数为25人，优秀率为2550%50=，----------- 4分 所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%．------------------- 5分 ⑵---------- 7分注意到22100(30252025)1001.0105050554599K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，---------------- 11分所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助. ------------------- 12分19.解：⑴在1Rt A AD ∆中，11190,2,1,A AD A A AD A D ∠===∴=--------1分 注意到点C 到面111A B C 的距离即为四棱柱1111ABCD A BC D -的高1A D 的长， 所以1111111326V A B B C A D =⨯⨯⨯⨯=．--------3分 ⑵以点D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系O xyz -， 则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),D A B A ，111(0,1(1(1,1B D C --，-----5分11(2,1(1,0,0),(0,1BD DA DB ∴=--==，设平面1ADB 的法向量(,,)m x y z =，由10m DA m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得平面1ADB的一个法向量为(0,m = ，--------7分 记直线1BD 与平面1ADB 所成的角为α，则11sin ||||||BD m BD m α⋅==⋅ ，所以直线1BD 与平面1ADB--------8分⑶11,(,0,)11AP PA P λλλ=∴++ ，又11113(1,0,0),(,1,)11B C B P λλ=-=--++ ，设平面11B C P 的法向量(,,)n a b c =，由1110n B C n B P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得平面11B C P的一个法向量为(0,n = ，--------10分则31cos30||||m n m n +⋅==注意到0λ>，解得2λ=为所求．--------12分20.12=-，----------- 2分整理得2212x y +=， 所以所求轨迹E 的方程为221(0)2x y y +=≠，------ 4分 ⑵当直线l 与x 轴重合时，与轨迹E 无交点，不合题意； 当直线l 与x 轴垂直时，:1l x =，此时(1,M N ，以MN 为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为(1，不合题意； --------------- 6分当直线l 与x 轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线:(1)(0)l y k x k =-≠，1122(,),(,),M x y N x y MN 的中点1212(,(1))22x x x xQ k ++-， 由22(1),1,2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得2222(21)4220k x k x k +-+-=，由21222242(21),4,2(21)k x k k x k ⎧+=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩得212221224,2122,21kx x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩ -------------------8分所以2222(,)2121k kQ k k -++， 则线段MN 的中垂线m 的方程为：22212()2121kk y x k k k +=--++， 整理得直线2:21x km y k k =-++， 则直线m 与y 轴的交点2(0,)21kR k +， 注意到以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，当且仅当RM RN ⊥,即112222(,)(,)02121kkRM RN x y x y k k ⋅=-⋅-=++，----------------10分 2121212222()021(21)kk x x y y y y k k +-++=++， ① 由22121212212122[()1],212(2),21k y y k x x x x k k y y k x x k ⎧=-++=-⎪⎪+⎨⎪+=+-=-⎪+⎩② 将②代入①解得 1k =±，即直线l 的方程为(1)y x =±-，综上，所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．------------12分21.解：⑴证明：记2()()()2ln u x f x h x x e x =-=-，则2()2eu x x x'=-，----------------2分 令()0u x '>，注意到12x >，可得x >所以函数()u x在1(2上单调递减，在)+∞上单调递增．-------4分min ()0u x u f h e e ==-=-=，即()0u x ≥，所以()()f x h x ≥． --------------------------------5分 ⑵由⑴知，()()f x h x ≥对12x >恒成立，当且仅当x = 记2()()()2ln 4v x h x g x e x x px q =-=+--，则“()0v x ≥恒成立”与“函数(),()f x g x 的图象有且仅有一个公共点”同时成立， 即()0v x ≥对12x >恒成立，当且仅当x = 所以函数()v x 在x e =------------------------7分注意到2282()8e x px e v x x p x x-+'=+-=，由0v '=，解得10p e =，------------------------9分此时8()()2()ex e x v x x--'=，由12x >知，函数()v x在1(2上单调递减，在)+∞上单调递增，即min ()5v x v h g e q ==-=--=0，5q e =-，--------11分综上，两个条件能同时成立，此时5p q e ==-．--------12分选做题22. 证明：⑴连接CH ，,AC AH AK AE == ， ∴四边形CHEK 为等腰梯形， 注意到等腰梯形的对角互补，故,,,C H E K 四点共圆，----------- 3分第 10 页 共 10 页 金太阳新课标资源网同理,,,C E H M 四点共圆，即,,,E H M K 均在点,,C E H 所确定的圆上，证毕．--------------- 5分⑵连结EM ，由⑴得,,,,E H M C K 五点共圆，----------- 7分 CEHM 为等腰梯形，EM HC ∴=， 故MKE CEH ∠=∠，由KE EH =可得KME ECH ∠=∠， 故MKE CEH ∆≅∆，即3KM EC ==为所求． -------------------10分23.解：2222222()()()2()()()()ac bd ac bd abcd ac bd ad bc +=++≤+++ 2222()()2a b c d =++=，-----5分||ac bd ∴+≤22ac bd -+≤ ，--------8分当且仅当ad bc =，即2c da b==2 ， 综上ac bd +2 --------------------------------10分。