华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 复习题》教学案例_3
第22章 一元二次方程复习教案 华东师大版 教案
教后感
小结：谈一下你有哪些收获？
作业：复习指导用书上的相关题。
独立思考后请学生谈想法，
各抒己见。
（五）板书设计
课题：一元二次方程
一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）
直接开平方法
一解法因式分解法
元配方法
二求根公式法
次b2—4ac>0两个不相等的实数根
方
程根的判别式：b2—4ac=0两个不相等的实数根
b2—4ac<0没有实数根
（二）自主探究与合作交流研究利用等式性质变形、一元一次方程、方程组的解法。
例1：
已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，求m的值.
分析：根据根的意义，把x=0代入方程，可得m2－4=0
则m1=2 , m2=—2，但应注意m－2≠0，则m≠2因此m=—2
例2：
解下列方程:
第22章一元二次方程复习教案华东师大版
教学内容
一元二次方程
课型
复习课
课时
课标要求
1．了解一元二次方程的有关概念。
2．能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
3．会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
4．掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。
5．通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想，并会应用；进一步培养分析问题、解决问题的能力。
7．写一个根为x=1，另一个根满足—1<x<1的一元二次方程是
本部分内容作Biblioteka 课堂检测用，时间为15分钟。小组内互批。当时知道结果，有利于学生的学习。
九年级数学上册22一元二次方程复习教案(新版)华东师大版
课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
（老师读，学生读，加深理解。
九年级数学上册第22章一元二次方程22.1一元二次方程教案华东师大版(2021年整理)
重庆市沙坪坝区虎溪镇九年级数学上册第22章一元二次方程22.1 一元二次方程教案（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（重庆市沙坪坝区虎溪镇九年级数学上册第22章一元二次方程 22.1 一元二次方程教案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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一元二次方程课题名称 一元二次方程三维目标 1.知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02=++c bx ax （a ≠0）2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识3。
会用试验的方法估计一元二次方程的解重点目标 一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数"难点目标 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性导入示标 1。
知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02=++c bx ax （a ≠0)2。
会用试验的方法估计一元二次方程的解目标三导 学做思一：问题 1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少？问题2学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7。
2万册。
求这两年的年平均增长率。
思考、讨论:这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1)和（2）。
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 根的判别式》公开课教案_3
一元二次方程根与系数的关系55号教学目标：（一）知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
（二）过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
（三）情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。
教学重点：根与系数关系及运用教学难点：定理的发现及运用。
教学过程：一、 创设情境，激发探究欲望我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理。
那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？探究规律 先填空，再找规律：思考：观察表中1x +2x 与1x .2x 的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？ 二、 得出定理并证明（韦达定理）若一元二次方程a 2x +bx+c=0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，则1x +2x = -b a 1x . 2x =ca特殊的：若一元二次方程2x +px+q=0的两根为1x 、2x ，则1x +2x =-p 1x . 2x =q证明此处略（师生合作完成） 三、 运用定理解决问题练习：不解方程说出下列方程的两根的和与两根的积各是多少？⑴ X 2－3X+1=0 ⑵ 3X 2－2X=2 ⑶ 2X 2+3X=0 ⑷ 3X 2=1 1.已知方程x 2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.2.方程2x 2-3x+1=0的两根记作x 1,x 2，不解方程，求：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。
3.（2013•荆州）已知：关于x 的方程kx 2－(3k －1)x +2(k －1)=0（1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x 1，x 2, 且│x 1－x 2│=2,求k 的值. 四、 课堂小结：让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨。
华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》教学设计
华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》教学设计一. 教材分析《一元二次方程》是华师大版数学九年级上册第22章的内容，本章主要让学生掌握一元二次方程的解法、性质和应用。
一元二次方程是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。
通过本章的学习，学生能理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能运用一元二次方程解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于方程的概念和解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的性质和应用，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程，并通过例子让学生感受一元二次方程的应用。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法。
2.理解一元二次方程的性质，能运用一元二次方程解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生运用数学解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的概念和性质。
2.一元二次方程的解法。
3.一元二次方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。
2.利用数形结合法，帮助学生理解一元二次方程的性质。
3.运用实例讲解法，让学生感受一元二次方程的应用。
4.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生学习一元二次方程。
2.准备一元二次方程的例题，用于讲解一元二次方程的解法。
3.准备一元二次方程的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过呈现一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。
例如，某商品打8折后售价为120元，求原价。
2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的定义和性质，让学生了解一元二次方程的概念。
同时，通过例子讲解一元二次方程的解法，让学生掌握解一元二次方程的方法。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些一元二次方程的练习题，巩固所学知识。
2023九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法3公式法教案(新版)华东师大版
作用与目的：
-巩固学生在课堂上学到的“一元二次方程的解法--公式法”知识点和技能。
-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解一元二次方程的解法--公式法的基本概念和原理。
重点难点及解决办法
重点：一元二次方程的公式法及其应用。
难点：理解并运用公式法求解实际问题，掌握公式法与判别式之间的关系。
解决办法：
1.通过具体实例，引导学生理解一元二次方程的公式法，让学生在实际问题中体会公式的运用。
2.利用数形结合，让学生直观地理解公式法与判别式之间的关系，突破难点。
3.设计梯度性练习题，让学生在练习中逐步掌握公式法的运用，巩固知识点。
-学生能够运用公式法求解一元二次方程，并正确运用判别式判断方程的解的情况。
-学生能够在实际问题中运用公式法，求解实际问题，并能够解释结果的实际意义。
2.过程与方法：
-学生能够通过自主探索和小组合作的方式，积极主动地参与课堂学习和实践活动。
-学生能够通过听讲、思考和讨论，深入理解一元二次方程解法--公式法的内涵和应用。
3.在线学习平台：利用在线学习平台，提供丰富的学习资源和练习题，方便学生自主学习和巩固知识。
4.实物教具：使用实物教具，如数学模型、图形展示等，帮助学生更好地理解和掌握一元二次方程的解法。
5.练习册与评价工具：提供练习册和评价工具，及时检测学生的学习效果，为学生提供反馈和指导。
教学实施过程
1.课前自主探索
-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。
【新华东师大版】九年级数学上册：22章《一元二次方程》章末复习学案(含答案)
第22章知识升华本章内容主要分为三部分，第一部分是一元二次方程的有关概念；第二部分是一元二次方程的解法；第三部分是实际与探索（即一元二次方程的应用），该章是初中数学中十分重要的一个内容，是各地中考基本题、中档题和高分题命题的一个热点题源•主要题型有：（1）不解方程，判断方程根的情况；（2）求方程中的参系数值、范围或相互关系；（3）验根、求根或确定方程根的符号（5）求与方程根有关的代数式的值；（6）列方程解应用题•应用题主要讨论行程问题、工程问题等及其他类型的常见应用问题•近年出现的一些与市场经济、社会重大问题等有关的新颖情境问题层出不断，且已成为中考命题的方向.一、知识脉络图二、重点、难点与关键重点：一元二次方程的解法；难点：一元二次方程的应用；关键：通过分析题意，从中提炼有用信息，确定问题中各量之间的数量关系，建立一元二次方程模型.三、主要知识解读1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程.它的一般形式是ax2bx c 0 a 02、一元二次方程的解法根.五、典型例题解析2例1方程 m 1 x m 2m 1 7x m 0是一元二次方程，则 m = ___________________ . 命题意图：考查一元二次方程的概念及其成立的条件（二次项系数 a 不为零）.思路分析：首先根据一元二次方程的定义得，m 2 2m 12 ；再由一元二次方程2ax bx c 0 a 0的定义中a 0这一条件得 m 1 0来求m 的值.解：m 3.例2.请写出一个根为 x 1，另一个根满足 1 x 1的一元二次方程 _______________________ . 命题意图：本题考查一元二次方程根的定义.思路分析：本题是道开放型试题，答案不唯一.首先要明确一元二次方程的概念及其解的含义，其次要 选用恰当的方法一一待定系数法，即可以先假定 ax 2 bx c 0中a, b, c 中一个数的值已给定，然后将方程的根代入原方程，求得另两个数，从而求得 a, b, c 的值.解：因为另一个根满足1 x 1，所以不妨设另一根为 0，那么满足条件的方程可以为 x2 x 0 .例3•用配方法解方程：x 2 6x 7 0 .命题意图：本题考查用配方法解一元二次方程. 思路分析：用配方法解一元二次方程的关键是： 首先将二次项系数化为 1,并将常数项移到方程右边后，关键是方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后写出完全平方的形式，用直接开平方法求得 x .解：x 2 6x 327 32 , x 3 2 2，所以 x 3 门, 所以x 1 3 三,X 2 3 二.例4.某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为 200kg ，出油率为50% （即每100千克花生可加工成花生油50 kg ）.现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132 kg ，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长1率的1，求新品种花生亩产量的增长率.22、 直接开平方，得两一半的平方 个一次方程；4、原方程变为 x m3、 解一元一次方程得 原方程的两个根3、求出b 2 4ac 的值3、令每个因式等于a, b, c 的值代入b 4b ~4ac2a得两个一元一次方:4、解这两个一元一命题意图：考查学生运用增长率解决实际问题的能力.思路分析：增长率问题在近年中考试题中频频出现，解决此类问题应掌握:（1）增长率是指增长数与基准数的比;（2）如果设基准数为a，增长率为x，那么第一次增长后的亩产量为a 1 x .解：设新品种花生亩产量的增长率为x，根据题意，得200 1 x ? - 132.2解得x1 0.2 20%, x 2 3.2 （不合题意舍去）.答：新品种花生亩产量的增长率为20% .例5•某百货商场服装柜在销售中发现“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元•为了迎接“六•一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存•经市场调查发现；如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件•要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？命题意图：本题考查一元二次方程解应用题及分析问题和解决实际问题的能力.思路分析：解决本题的关键是根据“每天所卖童装件数x每件童装赢利=每件赢利1200元”关系式建立方程•不妨设每件降价x元，可知在每天售20件，每天盈利40元的基础上，根据每降价4元，就多售8件得降价x元，多售2x 件，即售20 2x件，相应每件盈利减少x元，即盈利40 x元，列出方程并求解，对所求结果，还要结合“减少库存”进行取舍，从而得到最后结果.解:设降价x元，贝V 20 2x 40 x 1200,解得x1 10, x2 20 ,由于要减少库存，故降价越多，售出越多，库存越少，故取x 20 .答：每件降价20元.章末测试题一、选择题：1、庆“五一”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有__________ 队参加比赛•A.12B.11C. 9 D10选D.2、下列四个说法中，正确的是一、、2暑A. —兀二次方程x 4x 5 有实数根；2答案：AB .一兀二次方程x 2 4x 53有实数根;2C. 一兀二次方程X 2 4x 5于有实数根; D .一兀二次方程 2 ”、x +4x+5=a(a > 1)有实数根.关于x 的方程（a — 5）x 2 — 4x — 1 = 0有实数根，则a 满足（ A . a > 1 B . a >1且a z 5 C . a > 1 且 a z 5 D . a z 5已知m,n 是方程x 2 2x 1 0的两根,且(7m 2 14m a)(3n 26n 7） 8，则a 的值等于A .B.5C.-9D.9已知反比例函数 ab,当x > 0时,xy 随x 的增大而增大，则关于x 的方程2ax2x b 0的根的情况是（ A.有两个正根 B.有两个负根C.有一个正根一个负根D.没有实数根答案：C6、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (min) 之间满足:2y 0.1x 2.6x 43 0 x 30，则当y =59时所用的时间x 为（A 、10或16分钟 、10分钟、16分钟、8或16分钟答案：A7、三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方 程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是 35）拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是（ A. x x 2 35 B.35 4 C. x x 235 4 D.35 4 4斤十2兀十2、填空题:9、如图是一张长 9cm 宽5cm 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底2面积是12 cm 的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为 xcm ，则可列出关于x 的方程为2 2x +( 2m + 1) x + 1 — m=0 无实数根，则5答案：v — 5413、 如果x 2 2(m 1)x m 2 5是一个完全平方式，则 m _______ 14、 已知3,2是方程x 2 mx 7 ___________ 0的一个根，则m= ，另一根为15、 已知一个小灯泡的额定功率为 1.8 w ，额定电压小于 8v .当它与一个30 的电阻并联后接 入电路时，干流电路的电流是 0.5 A ，且灯泡正常发光，则小灯泡的额定电压是 _____________ •P U(提示：干流电路的电流计算公式为IU R16、 国家为了加强对香烟产销的宏观管理，对销售香烟实行征收附加税政策.现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为 70元，不加收附加税时，每年产销 100万条.若国家征收附加税，每销 售100元征税x 元(叫做税率X %,则每年的产销量将减少 10x 万条.要使每年对此项经营收取 附加税金为168万元，并使香烟的产销量得到宏观控制，年产销量不超过 50万条，则税率应确定为 _______ . _______10、关于 x 的一元二次方程一m 的取值范围是11、设A 是方程x 2,2003x 5200的所有根的绝对值之和，则12、若一元二次方程 ax 2bx c 0 a 0有一个根为1,则aA 2 = .b c =；若有一个根为-1，则b 与a,c 之间的关系为若有一个根为零，则 c = .11、 408312、a b c 0,b a c, c 0. 13、解答题:18、在一块长16m,宽12m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半, F 面分别是小华与小芳的设计方案答案:14、 -6,15、6.提示:设小灯泡的额定电压为 U ，根据题意，得0.5A 匕空 — U 30，解得 U 1 6,U 29(舍去)，因额定电压小于 8V ,所以U =6.16、6%.提示：由题意，易得 70 100 10x x%168，整理后得x 1 210x 24 0 ,解得洛 6, X 2 4，当 X 2 4 时,100- 10X 4=60> 50 , 不符合题意，舍去.当X 16 时，100 — 10X 6=40 V 50,故税率应确定为 6%.17、 (1)4xx 2 16x 15 (2x 5)2(x 4)2 0答案：(1) x 13,x 2 1；4(2) X 115, X 2(3) X 113,x29.16m图9-116m图9一2我的设计方寒：如團¥-1,矩眾荒 地四牛角均为两直角边分别是6m .Sm 的直角三角形.找的设计方獎：如團9-2. 其中花园闷周小路的宽度 均为lm.小芳解：(1)不符合•设小路宽度均为x m ,根据题意得：(16 2x)(12 2x) — 16 12，解这个2方程得：X 1 2,X 2 12.但X 2 12不符合题意，应舍去，••• x 2. •••小芳的方案不符合条件， 小路的宽度均为2m. (2)答案不唯一.例如：19、长沙市某楼盘准备以每平方米 5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望•为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平 方米4050元的均价开盘销售.(1) 求平均每次下调的百分率； (2)某人准备以开盘均价购买一套 100平方米的房子•开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月 1.5元，请问哪种方案更优惠？ 21 11 解：(1)设平均每次下调的百分率为x,根据题意，得5000 1 — x 4050，解得x 1 , x 210 10(不合题意舍去).所以平均每次下调的百分率为0.1.(2)方案①购房少花 4050X 100X 0.02 = 8100 (元)，但需要交两年的物业管理费1.5 X 100 X 12X 2 = 3600 (元)，实际得到的优惠是 8100 — 3600= 4500 (元)；方案②省两年物业管理费1.5 X100X 12X 2 = 3600 (元).因此方案①更优惠. 20、在某次数字变换游戏中，我们把整数0, 1, 2,…，200称为“旧数”，游戏的变换规则是：将旧数先平方，再除以 100,所得到的数称为“新数”. (1) 请把旧数60按照上述规则变成新数； (2)是否存在这样的旧数，经过上述规则变换后，新数比旧数大 75,如果存在，请求出这个旧数; 如果不存在，请说明理由. 解: 6。
华师大版数学九年级数学上册22.1：一元二次方程优秀教学案例
2.培养学生面对困难时，勇于挑战、坚持不懈的精神，锻炼学生的意志力。
3.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识和实践能力。
4.通过对一元二次方程的学习，培养学生具有良好的学习习惯，例如认真审题、仔细计算、总结经验等。
三、教学策略
（一）情景创设
1.以生活情境引入一元二次方程的学习，例如通过实际问题，让学生感受到一元二次方程在现实生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.采用探究式学习方法，引导学生主动发现一元二次方程的解法，提高学生的自主学习能力。
3.利用小组合作学习，让学生在讨论和交流中掌握一元二次方程的解法，培养学生的团队协作能力。
4.设计具有梯度的练习题，让学生在实践中不断提高解题能力，培养学生的运算能力和解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.通过一元二次方程的学习，培养学生对数学的兴趣，使学生能够积极主动地参与数学学习。
2.教授一元二次方程的解法，包括因式分解法、求根公式法等，使学生能够灵活运用各种方法解一元二次方程。
3.培养学生运用一元二次方程解决实际问题的能力，例如在几何、物理、化学等领域中的应用。
4.通过对一元二次方程的学习，使学生能够理解和掌握数学中的符号语言，提高学生的数学表达能力。
（二）过程与方法
1.通过生活情境的引入，让学生感受一元二次方程的实际意义，培养学生的应用意识。
（四）总结归纳
1.邀请各小组代表汇报讨论成果，总结一元二次方程的解法及其应用。
华东师大版九年级数学上册《22章一元二次方程直接开平方法和因式分解法》教学案例_0
课题 备课时间
23.2 一元二次方程的解法 （因式分解法）
组长签字
14
主备人
领导签字
班级
小组
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【学习目标】 1、会用因式分解法（提公因式法、公式法）
解一元二次方程 .
2、能根据一元二次方程的特征，选择适当方
法，体会解决问题的灵活性和多样性 .
【自学指导】 （按以下流程进行学习） 认真自学课本 20 页下半部分及 22 页例 2，
【课后作业】 解下列一元二次方程
(1) x 2-4x=0
（2） x2-2 3 x=0
（ 8） (2 x 1) 2 ＝ 2（2x＋ 1）．
(3) (x-4) 2=(5-2x) 2 (4) 16y 2-8y+1=0 【 课堂感悟】
（ 5）（ x＋ 1）（ x 2) x 2 0
2、说出下列方程的根：
（ 1） x( x 8) 0 ； （ 2） (3 x 1)(2 x 5) 0 ；
(3)3x(2x+1)=4x-2 (4) 3x
2-12x=-12
（ 3） (t 2)( t 1) 0 ； （ 4） x2 3x ；
2、解下列方程
（ 1） 3x2 2x 0 (2) 5 x2 4 x 0
要求 : 研读课本内容，会用因式分解法（提公因
式法、公式法）解一元二次方程。 【自学检测】
1、重点知识归纳： （要求熟练掌握）
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
（ 1）将方程右边化为
，左边分解因式；
（ 2）令每个因式分别为
，得两个一元一
次方程；
（ 3）解这两个一元一次方程，它们的解就是
原方程的解。
【问题探究】 解下列方程：
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 配方法》教学案例_3
（1）为什么要移项？
结论：使方程左边只有含未知数的项，便于配方。
（2）为什么方程左边都加上32?加上其它的数行吗？
结论：左边缺完全平方式的常数项，右边也要加，保持等式平衡，加其他数左边不能配成完全平方式。
（3）我们该如何确定这个常数项呢？
我们先观察完全平方公式
并填空使他们成为完全平方的形式。
教学目标
知识与技能目标
1、理解配方法，能用配方法解数字系数的一元二次方程。
数学思考与问题解决
1.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，使学生体会转化的思想。
在理解配方法的基础上，熟练应用配方法解一元二次方程，培养学生用转化的数学思想解决问题的能力。
情感态度
启发学生学会观察、分析，寻找解题的途径，提高他们分析问题、解决问题的能力。
学生分析、思考完成此练习。
师生共同：
我们现在来总结一下，什么样的方程可以用直接开平方解呢？
结论:能直接或间接化成完全平方式的。
如果设宽为x，则长为（x+6），怎样列方程呢？
提问学生得出方程
题中有两个未知的量，如果设长为x呢？宽为多少？面积呢？
由此我们可以看出所设未知数不同，得到的方程也不一样？
化简后
规律：二次项系数化为1
常数要往右边移
一次系数一半方
符号一致一次项
两边加上最恰当
配方法背后隐含的数学思想
降次和化归
先回忆配方法的一般步骤，再根据关键词填空：
常数项移到方程右边
两边都加上一次项系数一半的平方
根据平方根的意义，方程两边开平方
解一元一次方程，写出解
大家现在想一想，配方法涉及到什么数学思想呢？
这是方程原来的形式，经过这样的变化，得到完全平方的形式，这就是配方。
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 配方法》教学案例_3
22.2.2一元二次方程的解法(2)----------配方法一、认真看一看，好好想一想 这三个方程有什么联系？你会解几个？同学们可以互相交流下。
教师讲解：总结：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 二、探究规律（如何进行配方）： 配方的根本——配成完全平方形式 完全平方公式:总结归律: ()259x +=210259x x ++=21016x x +=-()2a∙∙∙∙=2222(x )x xy y y ±+=±22____)(____+=++x px x 2)2(p 2p对于x2+px,再添上一次项系数一半的平方,就能配出一个含未知数的一次式的完全平方式.体现了从特殊到一般的数学思想方法。
三、例题讲解：用配方法解一元二次方程的步骤通过例1，通过观察并利用等式的基本性质，处理例2.总结：用配方法解一元二次方程的步骤：（1）二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数（2）移项:把常数项移到方程的右边（3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 （4）开方:根据平方根意义,方程两边开平方 （5）求解:求出方程的解 四、反馈练习，巩固新知用配方法解下列方程: (1)x2+8x-15=0 (2)x2-5x-6=0 (3)2x2-5x-6=0(4) x2+px+q=0(p2-4q ＞ 0) 五、运用拓展2、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x ²-4x+3＝0 的解，求这个三角形的周长。
3.用配方法说明：不论k 取何实数，多项式k2－3k ＋5的值必定大于零.4.把方程x2-3x+p=0配方得到(x+m)2=1/2 (1)求常数p,m 的值； (2)求方程的解。
六、课堂小结小结：1、配方法：通过配方,将方程的左边化成一个含未知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直接开平方求出方程的解的方法。
华东师大版九年级数学上册教案《22.2一元二次方程—3.公式法》
《公式法》一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。
我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。
初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。
我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。
很多实际问题都需要通过列、解一元二次方程来解决。
而我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。
解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是降次。
本节课由简到难的展开学习，使学生认识即配方法、公式法后又一种新的解法因式分解法的基本原理并掌握其具体方法。
【知识与能力目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.【过程与方法目标】通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系.【情感态度价值观目标】经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用.【教学难点】一元二次方程求根公式的推导.课件，多媒体，练习本一、情境导入，初步认识用配方法解方程：（1）x 2+3x+2=0 （2）2x 2-3x+5=0解：（1）x 1=-1,x 2=-2 （2）无解二、思考探究，获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题 已知ax 2+bx+c=0（a ≠0），试推导它的两个根1x =，2x = 【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a,b,c 也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a,b,c 而定，因此:（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a,b,c代入式子x=就得到方程的根，当b2-4ac＜0时,方程没有实数根.（2）x=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示.例1 用公式法解下列方程：①2x2-4x-1=0 ②5x+2=3x2③（x-2）（3x-5）=0 ④4x2-3x+1=0解：①x1,x2②x1=2,x2=-1 3③x1=2,x2=5 3④无解【教学说明】（1）对②、③要先化成一般形式；（2）强调确定a,b,c的值，注意它们的符号；（3）先计算b2-4ac的值，再代入公式.三、运用新知，深化理解1.用公式法解下列方程：（1）x2+x-12=0（2）x214=0（3）x2+4x+8=2x+11（4）x（x-4）=2-8x（5）x2+2x=0（6）x2x+10=0解：（1）x1=3,x2=-4;（2）x1,x2；（3）x1=1,x2=-3;（4）x1，x2；（5）x1=0,x2=-2;（6）无解.【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式.四、师生互动，课堂小结1.求根公式的概念及其推导过程.2.公式法的概念.3.应用公式法解一元二次方程.五、知识梳理六、随堂练习见课件略。
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一元二次方程复习
教学目标
知识技能:
灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，运用一元二次方程解决简单的实际问题．
数学思考:
经历运用知识、技能解决问题的过程，发展学生的独立思考能力和创新精神．
解决问题:
了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想．
情感态度:
培养学生对数学的好奇心与求知欲，养成质疑和独立思考的学习习惯．
重难点、关键
重点：运用知识、技能解决问题
难点：解题分析能力的提高．
关键：引导学生参与解题的讨论与交流
教学过程
一、知识回顾
知识网络图表
一元二次方程解
法
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
判别式
应
用
列方程或方程组解应用题
1．方程中只含有一个•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．
2．解一元二次方程的一般解法有
（1）_________；（2）________；（•3）•_________；•（•4）•求根公式法，•求根公式是______________．
3．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根．
二、考点一讲解：一元二次方程的解法
（一）例1：１、用直接开平方法解方程：(x+2)2=９
2、用配方法解方程：4x2-8x-5=0
（二）随堂巩固一：
已知关于x的二次方程3x2-(2a-5)x-3a-1=0,有一个根为x=2，求另一个根为 .
活动方略：
学生独立思考、独立解题．
设计意图：
为学生提供实际演练的机会，加强对已学知识的复习并检查对新知识的掌握情况.
三.考点二讲解：一元二次方程根的判别式
一元二次方程y=ax2+bx+c 根的判别式是Δ=b2-4ac
Δ=b2-4ac>0 两个不相等实根
Δ=b2-4ac=0 两个相等实根
Δ=b2-4ac<0 无实根(无解)
1.若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．
分析：根据题意得：△=42-4a＞0，即16-4a＞0.
解得：a＜4
2.若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是．
分析：根据题意得：△=16-12k≥0，且k≠0.
则k的非负整数值为1．
解得：k≤4/3
四．考点三讲解：一元二次方程的应用
练
习：
设计意图：
提高学生建立一元二次方程的数学模型解决实际问题的能力。
五．小结
引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．
设计意图：通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识。
六．作业布置
1.（A层）《学习指要》章末测试；
2.（B层）思考题：（2010重庆改编）今年9月第1周的蔬菜销售价格为2.4元/千克，若第1周共销售100吨此种蔬菜．从9月份的第2周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第1周销量的基础上每周减少a %，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第1周仅上涨0.8 a %．若在这一举措下，此种蔬菜在第2周的总销售额与第1周刚好持平.
则根据题意可列方程为。