高二精选题库 数学9-3北师大版
高二精选题库数学 课堂训练_1-3北师大版
第1章 第3节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·广东汕头质量测评一]如果命题“綈(p 或q )”为假命题，则( ) A. p 、q 均为真命题 B. p 、q 均为假命题C. p 、q 中至少有一个为真命题D. p 、q 中至多有一个为真命题 答案：C解析：因为“綈(p 或q )”为假命题，所以p 或q 为真命题，即p 、q 中至少有一个为真命题． 2. 已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.下列结论中正确的是( )A. 命题“p ∧q ”是真命题B. 命题“p ∧綈q ”是真命题C. 命题“綈p ∧q ”是真命题D. 命题“綈p ∨綈q ”是假命题 答案：C解析：解答此类问题的关键是对命题p 与q 的真假判断，然后再确定相应命题的真假． ∵|sin x |≤1，∴命题p 是假命题，綈p 是真命题． 又x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34>0，∴命题q 是真命题，綈q 是假命题， 故“綈p ∧q ”是真命题．3. [2012·潍坊市摸底考试]命题p ：∃x ∈R ，x 2－5x ＋6<0，则( ) A. 綈p ：∃x ∈R ，x 2－5x ＋6≥0 B. 綈p ：∀x ∈R ，x 2－5x ＋6<0 C. 綈p ：∀x ∈R ，x 2－5x ＋6>0D. 綈p ：∀x ∈R ，x 2－5x ＋6≥0 答案：D解析：存在性命题的否定是全称命题．4. [2012·河南省辉县一中质检]下列命题中是假命题的是( ) A. ∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·x m 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减B. ∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点C. ∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD. ∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 答案：D解析：∃φ＝π2，使f (x )为偶函数，故选D.5. [改编题]设命题p ：函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的定义域为R ，命题q ：函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的值域为R ，若命题p 、q 有且仅有一个为真，则c 的取值范围为( )A. ØB. (－∞，－1)C. [－1，＋∞)D. R答案：D解析：若函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的定义域为R ，则不等式x 2＋2x －c >0对任意x ∈R 恒成立，则有Δ＝4＋4c <0，解得c <－1；若函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的值域为R ，则g (x )＝x 2＋2x －c 应该能够取到所有的正实数，因此Δ＝4＋4c ≥0，解得c ≥－1.当p 为真、q 为假时，有c <－1；当p 为假、q 为真时，有c ≥－1. 综上，当命题p 、q 有且仅有一个为真时，c 的取值范围为R .故选D. 6. 下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >cb”的逆否命题是真命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题为( )A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④ 答案：A解析：由x 2＋2x >4x －3推得x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log 2x ＋log x 2≥2成立需要x >1，故②正确；由a >b >0得0<1a <1b，又c <0，可得c a >cb ，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p 是真命题，命题q 是真命题，所以p ∧綈q 为假命题．所以选A.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·北京丰台]命题“∃x ∈R ，x ≤1或x 2>4”的否定是__________． 答案：∀x ∈R ，x >1且x 2≤4解析：已知命题为特称命题，故其否定应是全称命题．8. [2012·龙岩质检]若命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －3)x ＋4<0”为假命题，则实数a 的取值范围是__________．答案：[－1,7]解析：依题意得，对任意x ∈R ，都有x 2＋(a －3)x ＋4≥0，则Δ＝(a －3)2－4×4≤0，解得－1≤a ≤7.9. [2012·山西省忻州一中月考]若命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析：若对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0，则Δ＝a 2＋16a <0，即－16<a <0；若对于任意实数x ，都有x 2－2ax ＋1>0，则Δ＝4a 2－4<0，即－1<a <1，故命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是真命题时，有a ∈(－1,0)．而命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，故a ∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)．三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假． (1)所有的实数a 、b ，方程ax ＋b ＝0恰有惟一解． (2)存在实数x 0，使得1x 20－2x 0＋3＝34.解：(1)∀a 、b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有惟一解． 当a ＝0，b ＝0时方程有无数解，故该命题为假命题． (2)∃x 0∈R ，使得1x 20－2x 0＋3＝34.∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2， ∴1x 2－2x ＋3≤12<34.故该命题是假命题．11．[2012·湖南湘西州联考]已知命题p ：曲线x 2a －2－y 26－a ＝1为双曲线；命题q ：函数f (x )＝(4－a )x 在R 上是增函数；若命题“p ∨q ”为真，命题“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围．解：p 真时，(a －2)(6－a )>0，解得2<a <6. q 真时，4－a >1，解得a <3.由命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，可知命题p ，q 中一真一假． 当p 真，q 假时，得3≤a <6. 当p 假，q 真时，得a ≤2.因此实数a 的取值范围是(－∞，2]∪[3,6)．12．[2012·山东日照调研]设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0，当a ＝1时，解得1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3， 即q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3. 若p ∧q 为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是2<x <3.(2)p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ，且p ⇒/ q ， 设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则A B ， 又B ＝(2,3]，当a >0时，A ＝(a,3a )； a <0时，A ＝(3a ，a )．所以当a >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3<3a ，解得1<a ≤2；当a <0时，显然A ∩B ＝Ø，不合题意． 所以实数a 的取值范围是1<a ≤2.。
2017-2018学年高二数学北师大版必修三习题：课下能力提升(九) Word版
一、选择题1．想泡茶喝，当时的情况是：火已经生起了，凉水和茶叶也有了，开水没有，开水壶要洗，茶壶和茶杯要洗，下面给出了四种不同形式的算法过程，你认为最好的一种算法是( )A ．洗开水壶，灌水，烧水，在等待水开时，洗茶壶、茶杯、拿茶叶，等水开了后泡茶喝B ．洗开水壶，洗茶壶和茶杯，拿茶叶，一切就绪后，灌水，烧水，坐等水开后泡茶喝C ．洗开水壶，灌水，烧水，坐等水开，等水开后，再拿茶叶，洗茶壶、茶杯，泡茶喝D ．洗开水壶，灌水，烧水，再拿茶叶，坐等水开，洗茶壶、茶杯，泡茶喝3．下列叙述能称为算法的个数为( )①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤．②顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100.③从枣庄乘火车到徐州，从徐州乘飞机到广州．④3x >x ＋1.⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….A ．2B ．3C ．4D ．54．下列所给问题中：①二分法解方程x 2－3＝0(精确到0.01)；②解方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋5＝0，x －y ＋3＝0；③求半径为2的球的体积；④判断y ＝x 2在R 上的单调性．其中可以设计一个算法求解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．45．已知算法：1．输入n ；2．判断n 是否是2，若n ＝2，则n 满足条件；若n ＞2，则执行第3步；3．依次检验从2到n －1的整数能不能整除n ，若不能整除n ，满足条件．上述满足条件的数是( )A ．质数B ．奇数C ．偶数D ．4的倍数二、填空题6．下列关于算法的说法，正确的个数有________．①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果．7．给出下列算法：1．输入x 的值．2．当x >4时，计算y ＝x ＋2；否则执行下一步．3．计算y ＝4－x .4．输出y .当输入x ＝10时，输出y ＝__________.8．已知直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，写出求斜边c 的算法步骤．1．________________________________________________________________________；2．________________________________________________________________________；3．________________________________________________________________________.三、解答题9．请设计求18的所有正约数的算法．10．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1 x ≤－，log 2x ＋－1<x ，x 2 x，试设计一个算法，输入x 的值，求对应的函数值．答 案1. 解析：选A 解决一个问题可以有多种算法，可以选择其中最优、最简单、步骤尽可能少的算法．选项中的四种算法中都符合题意，但算法A 运用了统筹法原理，因此这个算法要比其余的三种算法科学．2. 解析：选C 算法指的是解决一类问题的方法或步骤，选项C只是一个纯数学问题，没有解问题的步骤，不属于算法．3. 解析：选 B 根据算法的含义和特征：①②③都是算法．④⑤不是算法．其中④，3x>x ＋1不是一个明确的逻辑步骤，不符合逻辑性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有穷性矛盾．4. 解析：选C 由算法的特征可知①②③都能设计算法．对于④，当x＞0或x＜0时，函数y＝x2是单调递增或单调递减函数，但当x∈R时，由函数的图像可知在整个定义域R上不是单调函数，因此不能设计算法求解．5. 解析：选A 由质数的定义知，满足条件的是质数．6. 解析：由算法的特征(有限性、确定性、有序性等)可知②③④正确，但解决某一类问题的算法不一定是唯一的，故①错．答案：37. 解析：∵x＝10＞4，∴计算y＝x＋2＝12.答案：128. 解析：先输入a、b的值，再根据勾股定理算出斜边c的长，最后输出c的结果．答案：输入两直角边长a、b的值计算c＝a2＋b2输出斜边长c的值9. 解：1.18＝2×9；2．18＝2×32；3．列出18的所有正约数：1,2,3,32,2×3,2×32.10. 解：算法如下：1．输入x的值．2．当x≤－1时，计算y＝2x－1；否则执行第三步．3．当x<2时，计算y＝log2(x＋1)，否则执行第四步．4．计算y＝x2.5．输入y.。
北师大版高二数学必修三第三章概率练习(含解析)
北师大版高二数学必修三第三章概率练习（含解析）数学是应用符号言语研讨数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。
查字典数学网为大家引荐了高二数学必修三第三章概率练习，请大家细心阅读，希望你喜欢。
一、选择题1.某人将一枚硬币延续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，那么()A.概率为0.6B.频率为0.6C.频率为6D.概率接近于0.6【解析】延续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，只能说明频率是0.6，只要停止少量的实验时才可估量概率.【答案】B2.以下说法错误的选项是()A.频率反映事情的频繁水平，概率反映事情发作的能够性大小B.做n次随机实验，事情A发作m次，那么事情A发作的频率mn就是事情A的概率C.频率是不能脱离n次实验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于实验次数的实际值D.频率是概率的近似值，概率是频率的动摇值【解析】依据频率与概率的意义可知，A正确;C、D均正确，B不正确，应选B.【答案】B3.从寄存号码区分为1,2，，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到的次数138576131810119那么取到号码为奇数的频率是()A.0.53B.0.5C.0.47D.0.37【解析】mn=13+5+6+18+11100=0.53.【答案】A4.(2021沈阳检测)某彩票的中奖概率为11 000意味着()A.买1 000张彩票就一定能中奖B.买1 000张彩票中一次奖C.买1 000张彩票一次奖也不中D.购置彩票中奖的能够性是11 000【解析】中奖概率为11 000，并不意味着买1 000张彩票就一定中奖，中一次奖或一次也不中，因此A、B、C均不正确.【答案】D5.2021年山东省高考数学试题中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只要1个选项是正确的，那么随机选择其中一个选项正确的概率为14，某家长说：要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，那么一定有3题答对这句话()A.正确B.错误C.不一定D.无法解释【解析】把解答一个选择题作为一次实验，答对的概率是14，说明做对的能够性大小是14.做12道选择题，即停止了12次实验，每个结果都是随机的，那么答对3题的能够性较大，但是并不一定答对3道，也能够都选错，或仅有2,3,4题选对，甚至12个题都选择正确.【答案】B二、填空题6.样本容量为200的频率散布直方图如图3-1-1所示.依据样本的频率散布直方图估量，样本数据落在[6,10)内的频数为________，数据落在[6,10)内的概率约为________.图3-1-1【解析】样本数据落在[6,10)内的频率为0.084=0.32，频数为2021.32=64.由频率与概率的关系知数据落在[6,10)内的概率约为0.32.【答案】64 0.327.在5张不同的彩票中有2张奖票，5团体依次从中各抽取1张，各人抽到奖票的概率________(填相等不相等).【解析】由于每人抽得奖票的概率均为25，与前后的顺序有关.【答案】相等8.假设袋中装有数量差异很大而大小相反的白球和黑球(只是颜色不同)，每次从中任取一球，记下颜色后放回并搅匀，取了10次有9次白球，估量袋中数量最多的是________.【解析】取了10次有9次白球，那么取出白球的频率是910，估量其概率约是910，那么取出黑球的概率是110，那么取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估量袋中数量最多的是白球 .【答案】白球三、解答题9.(1)设某厂产品的次品率为2%，问从该厂产品中恣意地抽取100件，其中一定有2件次品这一说法对不对?为什么?(2)假定某次数学检验，全班50人的及格率为90%，假定从该班中恣意抽取10人，其中有5人及格是能够的吗?【解】(1)这种说法不对，由于产品的次品率为2%，是指产品是次品的能够性为2%，所以从该产品中恣意地抽取100件，其中有能够有2件次品，而不是一定有2件次品.(2)这种状况是能够的.10.(2021课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t盈余300元.依据历史资料，失掉销售季度内市场需求量的频率散布直方图，如图3-1-2所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单位：t,100150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.图3-1-2(1)将T表示为X的函数;(2)依据直方图估量利润T不少于57 000元的概率.【解】(1)当X[100,130)时，T=500X-300(130-X)=800X-39 000.当X[130,150]时，T=500130=65 000.所以T=800X-39 000，100130，?65 000，130150.(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120210.由直方图知需求量X[120, 150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估量值为0.7.11.在消费进程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量，单位：mm)共有100个数据，将数据分组如下表：分组频数[1.30,1.34)4[1.34,1.38)25[1.38,1.42)30[1.42,1.46)29[1.46,1.50)10[1.50,1.54)2总计100(1)画出频率散布直方图;(2)估量纤度落在[1.38,1.50)mm中的概率及纤度小于1.42的概率是多少.【解】(1)频率散布直方图，如图：(2)纤度落在[1.38,1.50)mm中的频数是30+29+10=69，那么纤度落在[1.38,1.50)mm中的频率是69100=0.69，所以估量纤度落在[1.38,1.50)mm中的概率为0.69.纤度小于1.42 mm的频数是4+25+30=59，那么纤度小于1.42 mm的频率是59100=0.59，所以估量纤度小于1.42 mm的概率为0.59.小编为大家提供的高二数学必修三第三章概率练习，大家细心阅读了吗?最后祝同窗们学习提高。
2023年最新北师大版高二数学综合练习
2023年最新北师大版高二数学综合练习2023年最新北师大版高二数学综合练习一、第一章函数与方程1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会求函数的定义域和值域。
2.了解函数的单调性、奇偶性和周期性，会判断函数的各种性质。
3.掌握常见函数图像的画法及图像变换，理解函数图像的性质及意义。
4.掌握函数与方程的关系，熟悉函数零点与方程根的关系，会用二分法求方程的近似解。
5.了解指数函数、对数函数和幂函数的性质，会解指数不等式、对数不等式和幂不等式。
6.掌握函数与方程在实际问题中的应用，会用所学知识解决实际问题。
二、第二章数列1.理解数列的概念，掌握数列的通项公式和递推公式，会求数列的前n项和。
2.了解等差数列和等比数列的概念、性质和判定方法，会求等差数列和等比数列的通项公式和前n项和。
3.掌握数列的极限概念，理解数列的收敛性和发散性，会求数列的极限。
4.了解数列的应用，会用数列知识解决实际问题。
三、第三章三角函数1.掌握三角函数的概念、性质和图像，会求三角函数的值域和最值。
2.了解两角和与差的正弦、余弦和正切公式，会进行简单的三角函数运算。
3.理解正弦定理和余弦定理的概念和应用，会解三角形。
4.掌握三角函数在实际问题中的应用，会用三角函数知识解决实际问题。
四、第四章向量与复数1.掌握向量的概念、性质和运算，会用向量表示向量投影和向量的数量积。
2.理解复数的概念、表示方法和运算，会求复数的模和辐角。
3.掌握复数与向量之间的关系，会用复数表示向量并进行向量运算。
4.了解复数在实际问题中的应用，会用复数知识解决实际问题。
五、第五章解析几何1.掌握直线、圆、椭圆、双曲线等常见曲线的方程和性质，会求曲线的交点、距离和面积。
2.理解直线的斜率和截距的概念及求解方法，会求直线的方程。
3.掌握圆的方程和性质，会求圆的标准方程和一般方程。
4.理解椭圆、双曲线和抛物线的方程和性质，会求椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。
5.掌握解析几何在实际问题中的应用，会用解析几何知识解决实际问题。
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第7章第4节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．下列命题中正确的是()A．过平面外一点作此平面的垂面是唯一的B．过直线外一点作此直线的垂线是唯一的C．过平面的一条斜线作此平面的垂面是唯一的D．过直线外一点作此直线的平行平面是唯一的答案：C解析：A、D中满足条件的平面是无数个，B中满足条件的直线也有无数条，故选C.2. 如图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是()A. 平面ABC⊥平面ABDB. 平面ABD⊥平面BDCC. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED. 平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案：C解析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC 平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.所以选C.3. [2011·浙江卷]下列命题中错误的是()A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，，α∩β＝l，那么l⊥平面γD. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案：D解析： 不妨取一个长方体，面ABB 1A 1⊥面A 1B 1C 1D 1，而 C 1D 1 平面A 1B 1C 1D 1，C 1D 1∥面ABB 1A 1，从而D 错误，故选D.4．已知正四面体A －BCD ，设异面直线AB 与CD 所成的角为α，侧棱AB 与底面BCD 所成的角为β，侧面ABC 与底面BCD 所成的角为γ，则( )A ．α>β>γB ．α>γ>βC ．β>α>γD ．γ>β>α答案：B解析：如图，取底面BCD 的中心为点O ，连接AO ，BO ，易知∠ABO ＝β，取BC 的中点E ，连接AE 、OE ，易知∠AEO ＝γ，易知0<β<γ<π2，延长BO 交CD 于F ，则BF ⊥CD ，又AO ⊥CD ，∴CD ⊥平面ABF ，∴CD ⊥AB ，即α＝π2，∴α>γ>β，故选B.5. m 、n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．下列命题中，①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；④若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ.正确的命题是( ) A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④答案：C解析：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中AA 1⊥平面ABCD ，A 1B 1∥平面ABCD ，则AA 1⊥A 1B 1，故①正确；平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，平面BB 1C 1C ⊥平面ABCD ，而平面ABB 1A 1∩平面BB 1C 1C ＝BB 1，故②错误；A 1B 1∥平面ABCD ，B 1C 1∥平面ABCD ，而A 1B 1∩B 1C 1＝B 1，故③错误；由α∥β，β∥γ，则α∥γ，如AA 1⊥平面ABCD ，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，则AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，故若m ⊥α，则m ⊥γ，故①④正确．选C.6. [2012·海淀模拟]如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值构成的集合是 ( )A. {2}B. {255}C. {t |2≤t ≤22}D. {t |255≤t ≤2}答案：C解析：由下图可知，点F 在线段C 1D 1，C 1C 中点的连线段MP 上，不妨设正方体棱长为2，线面角为α，则tan α＝B 1C 1C 1F ＝2C 1F ，∵C 1F ∈[22，1]，∴tan α∈[2,22]．二、填空题(每小题7分，共21分)7．已知平面α，β和直线m ，n ，给出条件： ①m ∥α；②m ⊥α；③m α；④α⊥β；⑤α∥β. (1)当满足条件________时，有m ∥β； (2)当满足条件________时，有m ⊥β.(填所选条件的序号) 答案：(1)③⑤ (2)②⑤解析：若m α，α∥β，则m ∥β；若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β.8. 如图，设平面α∩β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥α，垂足分别为B ，D ，若增加一个条件，就能推出BD ⊥EF .现有①AC ⊥β；②AC 与α，β所成的角相等；③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上；④AC ∥EF .那么上述几个条件中能成为增加条件的是______． 答案：①②③解析：①AC ⊥β可以得到AC ⊥EF ，又CD ⊥EF ，可得EF ⊥面ABDC ，推得BD ⊥EF .②③也可以推得BD ⊥EF ；④若AC ∥EF ，则AC 与BD 异面垂直才能推出BD ⊥EF ，又因为AB ∥CD ，故不可能成立．9. [2011·全国]已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于__________．答案：23解析：延长FE 、CB 相交于点G ，连结AG ，设正方体的棱长为3，则GB ＝BC ＝3，作BH ⊥AG 于H ，连结EH ，则∠EHB 为所求二面角的平面角．∵BH ＝322，EB ＝1，∴tan ∠EHB ＝EB BH ＝23.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. [2011·广东]如图，在锥体P －ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB ＝60°，P A ＝PD ＝2，PB ＝2，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．(1)证明：AD ⊥平面DEF ； (2)求二面角P －AD －B 的余弦值．解：(1)证明：取AD 的中点O ，连结OP ，OB . ∵四边形ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB ＝60°， ∴△ABD 是边长为1的正三角形，得OB ⊥AD ，且OB ＝32. ∵P A ＝PD ＝2，∴PO ⊥AD ，且OP ＝72，∴AD ⊥面POB ，∵E ，F 分别是BC ，PC 的中点，∴EF ∥PB ，BE 綊DO ，即四边形DEBO 为平行四边形，得DE ∥BO ， ∴面DEF ∥面POB ，∴AD ⊥面DEF .(2)由(1)知：∠POB 为二面角P －AD －B 的平面角，又PB ＝2， ∴cos ∠POB ＝OP 2＋OB 2－PB 22OP ·OB＝74＋34－42×72×32＝－217，即二面角P －AD －B 的余弦值为－217. 11. [2011·全国]如图，四棱锥S －ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形．AB ＝BC ＝2，CD ＝SD ＝1.(1)证明：SD ⊥平面SAB ；(2)求AB 与平面SBC 所成的角的正弦值．解：(1)证明：取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE ＝CB ＝2， 连结SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝ 3. 又SD ＝1，故ED 2＝SE 2＋SD 2， 所以∠DSE 为直角，由AB ⊥DE ，AB ⊥SE ，DE ∩SE ＝E ，得 AB ⊥平面SDE ，所以AB ⊥SD . SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直． 所以SD ⊥平面SAB .(2)由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE .作SF ⊥DE ，垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，SF ＝SD ×SE DE ＝32，作FG ⊥BC ，垂足为G ，则FG ＝DC ＝1， 连结SG ，则SG ⊥BC .又BC ⊥FG ，SG ∩FG ＝G ，故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG . 作FH ⊥SG ，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC . FH ＝SF ×FG SG ＝37，即F 到平面SBC 的距离为217.由于ED ∥BC ，所以ED ∥平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也为217. 设AB 与平面SBC 所成的角为α， 则sin α＝d EB ＝217.12．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ＝2，平面PBC ⊥平面ABCD ，O 是BC 的中点，AO 交BD 于点E .(1)试探求直线P A 与BD 的位置关系；(2)点M 为直线P A 上的一点，当点M 在何位置时有P A ⊥平面BDM?(3)判定平面P AD 与平面P AB 的位置关系． 解：(1)P A ⊥BD .下面给出证明：∵PB ＝PC ，且O 是BC 的中点，∴PO ⊥BC ，又∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，∴PO ⊥平面ABCD .∵BD 平面ABCD ，∴PO ⊥BD .在梯形ABCD 中，可得Rt △ABO ≌Rt △BCD ，∵∠BEO ＝∠OAB ＋∠DBA ＝∠DBC ＋∠DBA ＝90°，即AO ⊥BD . ∵PO ∩AO ＝O ，∴BD ⊥平面P AO . 又P A 平面P AO ，∴P A ⊥BD .(2)取P A 的中点M ，连接BM 、DM ，由于AB ＝PB ，则P A ⊥BM .又P A ⊥BD ，所以P A ⊥平面BDM .故当点M 为P A 的中点时，P A ⊥平面BDM . (3)平面P AD ⊥平面P AB .下面给出证明：取PB 的中点N ，连接CN .∵PC ＝BC ，∴CN ⊥PB ， ① ∵AB ⊥BC ，且平面PBC ⊥平面ABCD ， ∴AB ⊥平面PBC .∵AB 平面P AB ，∴平面PBC ⊥平面P AB . ② 由①、②可知CN ⊥平面P AB . 连接MN ，则由MN ∥AB ∥CD ，MN ＝12AB ＝CD ，得四边形MNCD 为平行四边形．∴CN ∥DM ，∴DM ⊥平面P AB .∵DM 平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB .。
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第6章第6节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. 用反证法证明“如果a>b，那么3a>3b”假设内容应是()A. 3a＝3b B.3a<3bC. 3a＝3b且3a<3b D.3a＝3b或3a<3b答案：D解析：因为3a>3b的否定是3a≤3b，即3a＝3b或3a<3b.2. [2012·潍坊质检]设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A. 恒为负值B. 恒等于零C. 恒为正值D. 无法确定正负答案：A解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0，故选A.3. a，b，c为互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc，则下列关系中可能成立的是()A. a>b>cB. b>c>aC. b>a>cD. a>c>b答案：C解析：由a2＋c2>2ac⇒2bc>2ac⇒b>a，可排除A、D，令a＝2，b＝52c＝1或4，可知C可能成立．4. 设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a，b，c三数()A．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2 答案：C解析：a＋b＋c＝x＋1y＋y＋1z＋z＋1x≥6，因此a，b，c至少有一个不小于2.5. [2012·济南调研]若实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是( ) A. 0<t ≤2 B. 0<t ≤4 C. 2<t ≤4 D. t ≥4答案：C解析：由题意得，2(2x＋2y)＝4x＋4y＝(2x＋2y )2－2·2x·2y， ∵2x ·2y ≤14(2x ＋2y )2，令t ＝2x ＋2y ，于是原式可化为2t ≥t 2－12t 2，解得0≤t ≤4.结合函数y 1＝2x ，y 2＝4x 的图像间的关系，由实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1可知，x ，y 至少有一个为非负数，故t >2.综上可知2<t ≤4.6. 设定义域为R 的函数f (x )满足下列条件：①对任意x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0；②对任意x 1，x 2∈[1，a ]，当x 1>x 2时，有f (x 1)>f (x 2)>0，则下列不等式不一定成立的是( )A. f (a )>f (0)B. f (1＋a2)>f (a )C. f (1－3a 1＋a )>f (－3)D. f (1－3a 1＋a)>f (－a )答案：C解析：由题意易知，f (x )为奇函数，且f (x )在(1，a ]和[－a ，－1]内单调递增，f (0)＝0，f (a )>0，故A 正确；因为a >1＋a 2>a >1，所以选项B 正确；因为1－3a 1＋a －(－a )＝(a －1)21＋a >0，故－a <1－3a 1＋a <－1，所以D 也正确，排除A 、B 、D ，故选C.二、填空题(每小题7分，共21分)7. 某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12.那么它的反设应该是________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：“∃x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|且|f (x 1)－f (x 2)|≥12”8. [2012·湛江模拟]命题：“若空间两条直线a ，b 分别垂直平面α，则a ∥b .”学生小夏这样证明：设a ，b 与面α分别相交于A 、B ，连接A 、B .∵a ⊥α，b ⊥α，AB α① ∴a ⊥AB ，b ⊥AB, ② ∴a ∥b .③这里的证明有两个推理，即：①⇒②和②⇒③.老师评改认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是__________．答案：②⇒③解析：空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行，可能相交，还可能异面，因此推理②⇒③不正确．9. 如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________． 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b解析：∵a a ＋b b >a b ＋b a ⇔(a －b )2(a ＋b )>0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b . 三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.证明：要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即只需证bc ＋c 2＋a 2＋abab ＋b 2＋ac ＋bc ＝1，而A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°，∴b 2＝a 2＋c 2－ac .∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋abab ＋a 2＋c 2＋bc＝1.从而原式得证． 11. 已知三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0，其中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．解：若三个方程都无实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0Δ2＝(a －1)2－4a 2<0Δ3＝4a 2＋4×2a <0，解得－32<a <－1，故当三个方程至少有一个方程有实根时，实数a 的取值范围为{a |a ≤－32或a ≥－1}．12. (1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3；(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．(1)证明：x 是正实数，由均值不等式知 x ＋1≥2x ，x 2＋1≥2x ，x 3＋1≥2x 3，故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)． (2)解：若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立． 由(1)知，当x >0时，不等式成立； 当x ≤0时，8x 3≤0，而(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)[(x －12)2＋34]≥0，此时不等式仍然成立．。
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答案：等边三角形
15．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
如下图所示，则k的取值范围是1<k<3.
答案：1<k<3
16．下面有五个命题：
①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
C．2cos5D．2sin5
解析：＋
＝＋
＝|sin5＋cos5|＋|sin5－cos5|
＝－(sin5＋cos5)－(sin5－cos5)
＝－2sin5.
答案：A
3．设点P是函数f(x)＝29sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是
()
A．2πB．π
()
解析：根据题意，可得f(x)＝|π－x－x|＝|π－2x|，图象即为选项A.
答案：A
9．如下图所示，函数y＝2sin(ωx＋θ)(|θ|<)的图象，那么
()
A．ω＝，θ＝B．ω＝，θ＝－
C．ω＝2，θ＝D．ω＝2，θ＝－
解析：由图知周期T＝π－(－)＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝2sin(2x＋θ)，
②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝，k∈Z}；
③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；
④把函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位得到y＝3sin2x的图象；
⑤函数y＝sin(x－)在[0，π]上是减函数．
其中真命题的序号是________．
解析：①y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，故最小正周期为π，①正确．
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第7模块第4节[知能演练]一、选择题1．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是() A．异面B．相交C．平行D．不确定解析：由线面平行的性质定理容易推出，该直线应该与交线平行．答案：C2．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题是真命题的是()①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②m⊥n，m⊥β，则n∥β；③α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.A．①③B．②③C．③④D．④解析：①中m、n可能异面，②中n可能在平面β内，③中m可能在平面α或β内．答案：D3．下列命题正确的是() A．直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行B．如果两条直线与平面α所成的角相等，则这两条直线平行C．垂直于同一直线的两个平面平行D．直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直解析：当直线a在平面α内时，它与平面α不平行，但a可以与平面α内的一些直线平行，故选项A错误；两条直线与平面α所成的角相等时，这两条直线可以平行，但也可能相交或异面，故选项B错误；直线a与平面α不垂直，但直线a可以与平面α内的一些直线垂直，故选项D错误，只有选项C正确．答案：C4．给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ；④若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β. 其中为假命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：①为真，依据的是异面直线的判定法则；②为真，l ，m 在α内的射影为两相交直线l ′，m ′，可知l ′∥l ，m ′∥m ，又n ⊥l ，n ⊥m ，所以n ⊥l ′，n ⊥m ′，所以n ⊥α；③中l 、m 可能平行，也可能相交或异面，为假命题；④由两平面平行的判定定理可知为真命题，故假命题为③.答案：C 二、填空题5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 为重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ＝________.解析：如下图，在△ABC 中，由余弦定理知BC ＝39，∵BC ∥α，∴MN ∥BC ，又G 是△ABC 的重心，∴MN ＝23BC ＝2393.答案：23936．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.解析：如图所示，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD ， ∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC ， 又∵AP ＝a3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23，∴PQ ＝23AC ＝223a . 答案：223a三、解答题7．如下图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点．(1)求证：EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)求证：平面BDF ∥平面B 1D 1H .解：(1)取B 1D 1的中点O ，连结GO ，OB ，易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥GE ，由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由正方体得BD ∥B 1D 1.如图，连结HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D ，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .8．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD .解：∵BE ⊥PC ，∴EC ＝BC 2－BE 2＝a 2－2a 23＝33a .在Rt △PBC 中，BE 2＝EP ·EC ，∴EP ＝BE 2EC ＝23a 233a ＝233a ，∴PE EC ＝2.当AFFB ＝2时，可以使EF ∥平面P AD .证明：如下图．在PD 上取一点G ，使PG GD ＝2，连结EG ，AG ，则有EG 綊23AB綊23CD ，∴EG 綊AF ，∴四边形AFEG 为平行四边形．∴EF ∥AG ，又∵AG ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，∴EF ∥平面P AD .[高考·模拟·预测]1．下列命题中正确的个数是( )①若直线a 不在α内，则a ∥α；②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ⑤若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点； ⑥平行于同一平面的两直线可以相交． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①②中a 可与α相交，③中l ∥α，只能说明有一系列的平行线与l 平行，④中另一条线可能在面内，⑤正确，⑥正确．答案：B2．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1、l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是() A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2解析：因m⊂α，l1⊂β，若α∥β，则有m∥β且l1∥α，故α∥β的一个必要条件是m∥β且l1∥α，排除A.因m，n⊂α，l1，l2⊂β且l1与l2相交，若m∥l1且n∥l2，因l1与l2相交，故m与n也相交，故α∥β；若α∥β，则直线m与直线l1可能为异面直线，故α∥β的一个充分而不必要条件是m∥l1且n∥l2，故选B.答案：B3．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是() A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β解析：对于选项A、B、D均可能出现l∥β，而对于选项C是正确的．答案：C4．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误．．的为()A．O－ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角为45°D．二面角D－OB－A为45°解析：将原图补为正方体不难得出B为错误，故选B.答案：B5．如下图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q 分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值． 解：(1)因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点， 所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ， 由于PQ ⊄平面ACD ，DC ⊂平面ACD 从而PQ ∥平面ACD . (2)如下图，连接CQ ，DP .因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ， 所以CQ ⊥AB .因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ， 所以EB ⊥平面ABC . 因此CQ ⊥EB ， 故CQ ⊥平面ABE .由(Ⅰ)知PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形， 故DP ∥CQ ，因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角． 在Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1， sin ∠DAP ＝55. 因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55. [备选精题]6．如图平面内两正方形ABCD 与ABEF ，点M 、N 分别在对角线AC 、FB 上，且AM ∶MC＝FN ∶NB ，沿AB 折成直二面角．(1)证明：折叠后MN ∥平面CBE ；(2)若AM ∶MC ＝2∶3，在线段AB 上是否存在一点G ，使平面MGN ∥平面CBE ？若存在，试确定点G 的位置．解：(1)如图，设直线AN 与BE 交于点H ，连接CH ，∵△ANF ∽△HNB ， ∴FN NB ＝AN NH ，又AM MC ＝FN NB ， ∴AN NH ＝AMMC，∴MN ∥CH . 又MN ⊄平面CBE ，CH ⊂平面CBE ， ∴MN ∥平面CBE .(2)存在，过M 作MG ⊥AB ，垂足为G ，连接NG ， 则MG ∥BC ， ∴MG ∥平面CBE .又MN ∥平面CBE ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MGN ∥平面CBE ，即G 在AB 线上，且AG ∶GB ＝AM ∶MC ＝2∶3.。
北京师范大学第三附属中学高二数学文联考试题含解析
北京师范大学第三附属中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 平面内有两个定点F1（﹣5，0）和F2（5，0），动点P满足条件|PF1|﹣|PF2|=6，则动点P的轨迹方程是（）A．﹣=1（x≤﹣4）B．﹣=1（x≤﹣3）C．﹣=1（x＞≥4）D．﹣=1（x≥3）参考答案：D【考点】双曲线的定义；双曲线的标准方程．【分析】由条件知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹的方程即可．【解答】解：由|PF1|﹣|PF2|=6＜|F1F2|知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线右支，得c=5，2a=6，∴a=3，∴b2=16，故动点P的轨迹方程是﹣=1（x≥3）．故选D．2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=，a=2，b=1，则c等于（）A．B．C．D．1参考答案：B【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理列出关系式，将cosC，a与b的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．【解答】解：∵C=，a=2，b=1，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=4+1﹣2=3，又c为三角形的边长，则c=．故选B3. 若复数为纯虚数，则实数的值为（）A．-1 B．0 C．1D．-1或1参考答案：A略4. 已知集合，集合，A∩B=A. [0,3]B. [2,3]C. [2,+∞)D. [3,+∞)参考答案：B【分析】化简集合A，根据交集的定义写出即可．【详解】集合，集合，则．故选：B．【点睛】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目．5. 已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A．B．C．D．参考答案：D略6. 虚数的平方是 ( )(A)正实数; (B)虚数；(C)负实数；(D)虚数或负实数.参考答案：D略7. 在空间四边形中，，在线段上，且，为的中点，则A． B． C． D．参考答案：A8. 5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为 ( )A．18 B．24 C．36 D．48参考答案：C9. 双曲线C：﹣=1的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线上一点P满足|PF2|=7，则△F1PF2的周长等于（）A．16 B．18 C．30 D．18或30参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的a=3，c=5，运用双曲线的定义，可得||PF1|﹣|PF2||=2a，解方程得|PF1|=13，即可得到△F1PF2的周长．【解答】解：双曲线C：﹣=1的a=3，c=5由双曲线的定义可得：||PF1|﹣|PF2||=2a=6，即有||PF1|﹣7|=6，解得|PF1|=13（1舍去）．∴△F1PF2的周长等于7+13+10=30．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义和方程，注意定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．10. 在中，若则为（）或或参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 把数列的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，则可记为__________。
高二精选题库 数学9-2北师大版
第9模块第2节[知能演练]一、选择题1．运行下面的程序时，WHILE循环语句的执行次数是()A．3B．4C．15 D．19解析：解读程序时，可采用一一列举的形式：(1)N＝0＋1＝1；N＝1×1＝1；(2)N＝1＋1＝2；N＝2×2＝4；(3)N＝4＋1＝5；N＝5×5＝25.故选A.答案：A2．下面程序的运行结果是()A．10,200 B．11,200C．11,210 D．12,210解析：采用一一列举的形式，寻求规律：答案：D3．用辗转相除法求713和207的最大公约数时，需要做除法的次数是()A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：713＝3×207＋92， 207＝2×92＋23， 92＝4×23，需要做3次除法．故答案是C. 答案：C4．将三进制数2 化为十进制数为 ( )A ．3n －1 B.3n－12C.2(10n －1)9D.10n －19解析：三进制数＝2＋2·3＋2·32＋…＋2·3n －1＝3n －1.选A. 答案：A 二、填空题5．已知f (x )＝3x 6＋4x 5＋5x 4＋6x 3＋7x 2＋8x ＋1.(1)用秦九韶算法计算函数值时，首先将f (x )化为__________．(2)用秦九韶算法求f (0.4)的值时，需要进行__________次乘法运算，__________次加法运算；(3)按照秦九韶算法计算公式v 0＝a n ，v 1＝v 0x ＋a n －1，…，v n ＝v n －1x ＋a 0，计算f (0.4)的过程中可得到一个数列{v n }，则数列{v n }为________．答案：(1)f (x )＝(((((3x ＋4)x ＋5)x ＋6)x ＋7)x ＋8)x ＋1) (2)6 6(3)3,5.2,7.08,8.832,10.5328,12.21312,5.885248.6．下面的程序运行后，其输出的n 的值是__________．解析：程序执行如下：(1)j ＝1＋1＝2，j ＝2＋1＝3；(2)j ＝3＋1＝4，n ＝0＋1＝1，j ＝4＋1＝5； (3)j ＝5＋1＝6，j ＝6＋1＝7；(4)j ＝7＋1＝8，n ＝1＋1＝2，j ＝8＋1＝9； (5)j ＝9＋1＝10，j ＝10＋1＝11；(6)j ＝11＋1＝12，n ＝2＋1＝3，j ＝12＋1＝13. 答案：3 三、解答题7．(1)把六进制数5342化为十进制数； (2)把九进制数387化为五进制数．解：(1)因为5342(6)＝5×63＋3×62＋4×6＋2＝1214， 所以六进制数5342化为十进制数是1214.(2)把九进制数387化为十进制数：387(9)＝3×92＋8×9＋7＝322， 把十进制数322化为五进制数：所以387(9)＝2442(5)．8．数列{a n }满足a n ＝a n －1＋a n －22(n ＝3,4，…)，已知a 3＝0．25，a 4＝－0.125.试编写程序列出数列的前20项，并求前20项的和． 解：首先直接用公式计算出a 2＝－0.5，a 1＝1， 编写程序如下：[高考·模拟·预测]1．下边方框中为一个求20个数的平均数的程序，则在横线上应填的语句为( )A ．i >20B ．i <20C ．i >＝20D ．i <＝20解析：加完第20个数，i ＝21，应是第1次满足条件，故选A. 答案：A2．下图是把二进制数11111(2)化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是( )A ．i >5B ．i ≤4C ．i >4D ．i ≤5 解析：s ＝1×24＋1×23＋1×22＋1×21＋1＝((((2×1＋1)×2＋1)×2＋1)×2＋1)×2＋1(秦九韶算法)． 循环体需执行4次后跳出，故选C. 答案：C3．下边的程序语句输出的结果S 为( )A ．17B ．19C ．21D ．23解析：I 从1开始，依次取3,5,7,9，…，当I<8时，循环继续进行，故当I ＝9时，跳出循环．故输出S ＝2×7＋3＝17，选A .答案：A4．给出一个算法：根据以上算法，可求得f (－1)＋f (2)＝__________.解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≤0，2x ，x >0，∴f (－1)＋f (2)＝－4＋22＝0. 答案：05．为了在运行下面的程序之后得到输出y ＝25，键盘输入x 应该是__________．解析：程序对应的函数是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x <0，(x －1)2，x ≥0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，(x ＋1)2＝25或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，(x －1)2＝25， 得x ＝－6或x ＝6. 答案：6或－66．设函数f (x )＝15x 5－16x ＋c .(1)求函数f (x )的极值点a ，b (a <b )；(2)若方程f (x )＝0在[a ，b ]内有解，求c 的取值范围C ；(3)设常数c 0＝0，试写出用二分法求f (x )＝0的精确度为0.0001的近似解的程序框图和程序．解：(1)f ′(x )＝x 4－16＝(x 2－4)(x 2＋4)， ∴方程f ′(x )＝0的解为x ＝±2.∵当x <－2或x >2时，f ′(x )>0，当－2<x <2时，f ′(x )<0. ∴f (x )的极大值点a ＝－2，极小值点b ＝2.(2)若方程f (x )＝0在[a ，b ]内有解，即c ＝－15x 5＋16x ，故c 的取值范围C 即为y ＝－15x 5＋16x (－2≤x ≤2)的值域．∵y ＝－15x 5＋16x 在[－2,2]上单调递增，∴C ＝{c |－1285≤c ≤1285}．(3)程序框图如下图所示．程序如下：。
北师大版高二数学上试题及答案.doc
高二数学试题（选修2-1）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共36分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，在试题卷上作答无效。
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
） 1.下列命题是真命题的是A 、“若0=x ，则0=xy ”的逆命题；B 、“若0=x ，则0=xy ”的否命题；C 、若1>x ，则2>x ；D 、“若2=x ，则0)1)(2(=--x x ”的逆否命题 2.已知p:522=+，q:23>，则下列判断中，错误．．的是 A 、p 或q 为真，非q 为假； B 、p 且q 为假，非p 为真； C 、p 且q 为假，非p 为假；D 、p 且q 为假，p 或q 为真；3．对抛物线24y x =，下列描述正确的是A 、开口向上，焦点为(0,1)B 、开口向上，焦点为1(0,)16C 、开口向右，焦点为(1,0)D 、开口向右，焦点为1(0,)164．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ⌝是B ⌝的A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件5.经过点)62,62(-M 且与双曲线13422=-y x 有共同渐近线的双曲线方程为 A ．18622=-y x B ．18622=-x y C ．16822=-y x D ．16822=-x y 6.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆13432=+y x 上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是A.23B. 8C.34D. 47．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若11,,,CA a CB b CC c A B ====则 A ．-+ B ．+- C ．-+- D ．++- 8. 关于曲线||||1x y -=所围成的图形，下列判断不正确．．．的是 A ．关于直线y = x 对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x 轴对称9. 若抛物线22(0)y px p =>上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点横坐标为 A ．6 B ．8 C ．1或9 D ．10 10．下列各组向量中不平行．．．的是 A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a B ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g11. 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形12. 抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于A ．2B ．23C ．25D ．3二.填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。
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第8章第3节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. 直线ax＋by－b＋a＝0与圆x2＋y2＋x－3＝0的位置关系是()A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法判断答案：A解析：直线方程化为a(x＋1)＋b(y－1)＝0，可知直线过定点(－1,1)，将(－1,1)代入圆的方程，(－1)2＋12－1－3＝－2<0，则定点在圆内，所以直线与圆总相交．2. [2012·山东淄博]“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案：A解析：“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”⇔“圆心(a，b)到直线y＝x＋2的距离d＝r”，即|a－b＋2|2＝2，|a－b＋2|＝2，解得a－b＝0或a－b＝－4.所以，“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的充分不必要条件．3. [2012·武汉联考]若直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2恰有一个公共点，则b的取值范围是()A. b∈[－1,1]B. b＝－ 2C. b＝±2D. b∈(－1,1]或b＝－ 2答案：D解析：由x＝1－y2知，曲线表示如图所示的半圆，让直线y＝x＋b在图形中运动，可知，当－1<b≤1时与半圆有一个公共点；当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，此时|b|2＝1，求得b＝2(舍去)或b＝－ 2.故选D.4．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是() A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0答案：D解析：两圆关于直线l 对称，则直线l 为两圆圆心连线的垂直平分线．圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，圆x 2＋y 2－6x ＋6y ＋14＝0的圆心为P (3，－3)，则线段OP 的中点为Q (32，－32)，其斜率k OP ＝－32－032－0＝－1，则直线l 的斜率为k ＝1，故直线l 的方程为y －(－32)＝x －32，即x －y －3＝0，故选D.5．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A 、B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝0答案：A解析：结合圆的几何性质处理会更简捷．由圆的一般方程可得圆心O (－1,2)，由圆的性质易知O (－1,2)，C (－2,3)的连线与弦AB 垂直，故有k AB ×k O C ＝－1⇒k AB ＝1，故直线AB 的方程为：y －3＝x ＋2整理得：x －y ＋5＝0.6. [2012·广东揭阳]已知直线l ：x ＋y －6＝0和圆M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，点A 在直线l 上，若直线AC 与圆M 至少有一个公共点C ，且∠MAC ＝30°，则点A 的横坐标的取值范围是( )A. (0,5)B. [1,5]C. [1,3]D. (0,3] 答案：B 解析：如图，设点A 的坐标为(x 0,6－x 0)，圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4，圆心M 到直线AC 的距离为d ，则d ＝|AM |sin30°，因直线AC 与圆M 有交点，所以d ＝|AM |sin30°≤2⇒(x 0－1)2＋(5－x 0)2≤16⇒1≤x 0≤5，故选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，其中的劣弧最短时，直线l 的方程为________．答案：x －2y ＋3＝0解析：设圆心为N ，点N 的坐标为(2,0)，由圆的性质得直线l 与MN 垂直时，形成的劣弧最短，由点斜式得直线l 的方程为x －2y ＋3＝0.8. [2012·东北联考]若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为__________．答案：2 3解析：由题意可知圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为24－(c a 2＋b2)2，由于a 2＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3.9．设直线3x ＋4y －5＝0与圆C 1：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，若圆C 2的圆心在线段AB 上，且圆C 2与圆C 1相切，切点在圆C 1的劣弧AB 上，则圆C 2的半径的最大值是________．答案：1解析：圆C 1的圆心C 1(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离为|0＋0－5|32＋42＝1，圆C 1的半径为2，AB 弧上的点到直线3x ＋4y －5＝0距离最大为2－1＝1，因此圆C 2的半径最大为1.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 已知以点C (t ，2t )(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． 解：(1)∵圆C 过原点O ，∴r 2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2.令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴A (2t,0)，B (0，4t )，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12·|2t |·|4t |＝4，即△OAB 的面积为定值4.(2)∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程是y ＝12x ，∴2t ＝12t ，解得t ＝2或－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点；当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，∴t ＝－2不符合题意，舍去． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.11．已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？解：(1)直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4m m 2＋1，直线l 的斜率k ＝m m 2＋1，∴|k |≤|m |m 2＋1.①m ＝0时，k ＝0. ②m ≠0时，0<|k |＝1|m |＋|1m |≤12(当且仅当|m |＝1时等号成立) ∴－12≤k ≤12且k ≠0.综合①②，∴－12≤k ≤12，所以斜率k 的取值范围是[－12，12]．(2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x －4)，其中|k |≤12.圆C 的圆心为C (4，－2)，半径r ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k 2. 由|k |≤12，得d ≥45>1，即d >r 2.从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3.所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧．12．已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA 、QB 分别切⊙M 于A 、B 两点． (1)如果|AB |＝423，求直线MQ 的方程； (2)求动弦AB 的中点P 的轨迹方程． 解：(1)由P 是AB 的中点，|AB |＝423， 可得|MP |＝|MA |2－(|AB |2)2＝1－(223)2＝13.由射影定理，得|MB |2＝|MP |·|MQ |，得|MQ |＝3， 在Rt △MOQ 中，|OQ |＝|MQ |2－|MO |2|＝32－22＝ 5. 故Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)所以直线MQ 的方程是：2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)连结MB ，MQ ，设P (x ，y )，Q (a,0)，点M 、P 、Q 在一条直线上，当a ≠0时，得2－a ＝2－y－x .②由射影定理有|MB |2＝|MP |·|MQ |， 即x 2＋(y －2)2·a 2＋4＝1.③ 由②及③消去a ，并注意到y <2，可得 x 2＋(y －74)2＝116(y <2)．当a ＝0时，易得P 点为(0，32)，满足方程x 2＋(y －74)2＝116(y <2)．即中点P 的轨迹方程为x 2＋(y －74)2＝116(y <2)．。
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第4章 第3节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. 已知两个单位向量a 与b 的夹角为135°，则|a ＋λb |>1的充要条件是( ) A. λ∈(0，2) B. λ∈(－2，0)C. λ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)D. λ∈(－∞，0)∪(2，＋∞) 答案：D解析：由|a ＋λb |>1，得a 2＋2λa ·b ＋λ2b 2>1， 化简得λ2－2λ>0， 解得λ<0或λ>2，故选D.2. [2012·潍坊模考]已知非零向量a ·b 满足|a |＝3|b |，若函数f (x )＝13x 3＋|a |x 2＋2a ·bx ＋1在x ∈R 上有极值，则〈a ，b 〉的取值范围是( )A. [0，π6]B. (0，π3]C. (π6，π2]D. (π6，π]答案：D解析：∵f (x )＝13x 3＋|a |x 2＋2a ·bx ＋1在x ∈R 上有极值，∴f ′(x )＝0有不相等的实根．∵f ′(x )＝x 2＋2|a |x ＋2a ·b ，∴x 2＋2|a |x ＋2a ·b ＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a |2－8a ·b >0，即a ·b <12|a |2，∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |，|a |＝3|b |，∴cos 〈a ，b 〉<12|a |2|a ||b |＝32，∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴π6<〈a ，b 〉≤π，故选D. 3. [2012·湖北联考]已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a ·b ＝0，若向量c 与a －b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )A. 2B. 1C.22D. 12 答案：A解析：∵c 与a －b 共线，设c ＝λ(a －b )＝λa －λb (λ≠0)，则|a ＋c |＝|a ＋λa －λb |＝|(1＋λ)a－λb |，∴|a ＋c |2＝(1＋λ)2|a |2－2λ(1＋λ)a ·b ＋λ2|b |2＝4(2λ2＋2λ＋1)，当λ＝－12时，|a ＋c |的最小值是 2.4. 已知平面向量a ，b ，c 满足：a ⊥c ，b ·c ＝－2，|c |＝2，若存在实数λ使得c ＝a ＋λb ，则λ的值为( )A. －4B. －2C. 2D. 4答案：B解析：由已知a ⊥c 得a ·c ＝0，又c ·c ＝(a ＋λb )·c ，即|c |2＝a ·c ＋λb ·c .又|c |＝2，a ·c ＝0，b ·c ＝－2，所以－2λ＝4，即λ＝－2.5. 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，若O 为△ABC 内部的一点，且满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则AO →·BC →＝( )A. 12 B. 25 C. 13 D. 14答案：C解析：由题意知O 为△ABC 的重心，取BC 的中点D ，∴AO →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，BC →＝AC →－AB →，∴AO →·BC →＝13(AB →＋AC →)(AC →－AB →)＝13(AC →2－AB →2)＝13.6. [2011·福建]设V 是全体平面向量构成的集合．若映射f ：V →R 满足： 对任意向量a ＝(x 1，y 1)∈V ，b ＝(x 2，y 2)∈V ，以及任意λ∈R ，均有 f (λa ＋(1－λ)b )＝λf (a )＋(1－λ)f (b )， 则称映射f 具有性质P . 现给出如下映射：①f 1：V →R ，f 1(m )＝x －y ，m ＝(x ，y )∈V ； ②f 2：V →R ，f 2(m )＝x 2＋y ，m ＝(x ，y )∈V ； ③f 3：V →R ，f 3(m )＝x ＋y ＋1，m ＝(x ，y )∈V .其中，具有性质P 的映射的序号为__________．(写出所有具有性质P 的映射的序号) 答案：①③解析：由题意知λa ＋(1－λ)b ＝λ(x 1，y 1)＋(1－λ)(x 2，y 2)＝(λx 1＋(1－λ)x 2，λy 1＋(1－λ)y 2)，对于①：f 1(λa ＋(1－λ)b )＝λx 1＋(1－λ)x 2－λy 1－(1－λ)y 2，而λf 1(a )＋(1－λ)f 1(b )＝λ(x 1－y 1)＋(1－λ)(x 2－y 2)＝λx 1＋(1－λ)x 2－λy 1－(1－λ)y 2，∴f 1(λa ＋(1－λ)b )＝λf 1(a )＋(1－λ)f 1(b )，故①中映射具有性质P ；对于②：f 2(λa ＋(1－λ)b )＝[λx 1＋(1－λ)x 2]2＋λy 1＋(1－λ)y 2，而λf 2(a )＋(1－λ)f 2(b )＝λ(x 21＋y 1)＋(1－λ)(x 22＋y 2)＝λx 21＋(1－λ)x 22＋λy 1＋(1－λ)y 2，∴f 2(λa ＋(1－λ)b )≠λf 2(a )＋(1－λ)f 2(b )，故②中映射不具有性质P ；对于③：f 3(λa ＋(1－λ)b )＝λx 1＋(1－λ)x 2＋λy 1＋(1－λ)y 2＋1，而λf 3(a )＋(1－λ)f 3(b )＝λ(x 1＋y 1＋1)＋(1－λ)(x 2＋y 2＋1)＝λx 1＋(1－λ)x 2＋λy 1＋(1－λ)y 2＋1.∴f 3(λa ＋(1－λ)b )＝λf 3(a )＋(1－λ)f 3(b )，故③中映射具有性质P ，综上可知具有性质P 的映射的序号为①③.二、填空题(每小题7分，共21分)7.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________．答案：(－53，0)∪(0，＋∞)解析：∵a 与a ＋λb 均不是零向量，且其夹角为锐角，∴a ·(a ＋λb )>0，即5＋3λ>0，∴λ>－53.当a 与a ＋λb 共线时，可设a ＋λb ＝ma (m ∈R)，即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m 2＋λ＝2m ，解得λ＝0，即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，∴λ≠0. ∴λ的取值范围为(－53，0)∪(0，＋∞)．8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，那么c ＝________.答案： 2解析：由题意知AB →·AC →＋BA →·BC →＝2，即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →)＝(AB →)2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2.9. [2011·湖南]在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2B D →，CA →＝3C E →，则AD →·B E →＝__________.答案：－14解析：如图，由题意得D 为BC 中点，E 为AC 三等分点，∴AD →·B E →＝12(AB →＋AC →)·(AE →－AB →)＝(12AB →＋12AC →)·(23AC →－AB →) ＝－12AB →2＋13AC →2＋13AB →·AC →－12AB →·AC →＝－12AB →2＋13AC →2－16AB →·AC →＝－12＋13－16×12＝－312＝－14.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0x 2＋y 2＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4， ∴c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.11．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )． (1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若∠ABC 为锐角，求实数m 的取值范围．解：(1)∵向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )， ∴AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，由三点共线知3(1－m )＝2－m ，解得m ＝12.(2)由题设知BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m )， ∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0，解得m >－34.又由(1)可知，当m ＝12时，∠ABC ＝0°，故m ∈(－34，12)∪(12，＋∞)．12. 已知函数f (x )＝a ·b －1，其中a ＝(3sin2x ，cos x )，b ＝(1,2cos x )(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f (A )＝2，a ＝3，b ＝3，求边长c 的值．解：(1)依题意得f (x )＝a ·b －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)，∴函数f (x )的最小正周期T ＝π，由2kπ－π2≤2x ＋π6≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得函数f (x )的单调递增区间为[kπ－π3，kπ＋π6]，k ∈Z .(2)∵f (A )＝2，∴2sin(2A ＋π6)＝2，即sin(2A ＋π6)＝1，∴A ＝kπ＋π6，k ∈Z.又∵A 为三角形的内角，∴A ＝π6.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即c 2－33c ＋6＝0，∴c ＝3或2 3.。
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单元质量检测(七)一、选择题1．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：在空间中，两条直线没有公共点，可能是两条直线平行，也可能是两条直线异面，两条直线平行则两条直线没有公共点，∴“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件．答案：B2．如下图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物是()解析：由三视图及空间想象可知选A.答案：A3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④解析：正方体的三视图都是正方形，不合题意；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，符合题意；三棱台的正视图和侧视图、俯视图各不相同，不合题意；正四棱锥的正视图和侧视图都是三角形，而俯视图是正方形，符合题意，所以②④正确．答案：D4．已知某个几何体的三视图如图(正视图中的弧线是半圆)，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是()A．(4＋2π)cm2B．(6＋2π)cm2C．(4＋3π)cm2D．(6＋3π)cm2解析：由三视图可知，该几何体是底面直径和高均为2 cm的放倒的半个圆柱，其中轴截面的面积为4 cm2，半个侧面的面积为2πcm2，两底面的面积之和为π cm2，所以这个几何体的表面积是(4＋3π)cm2，故应选C.答案：C5．用平行于圆锥底面的截面去截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是12，则小圆锥的高与大圆锥的高的比是() A.12B．1C.22 D. 2解析：设小圆锥的高，底面半径，母线长分别为h，r，l，大圆锥的高，底面半径，母线长分别为H，R，L，则122πrl122πRL＝12，∴rlRL＝(rR)2＝12，∴rR＝22，∴hH＝rR＝22.答案：C6．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为() A．0 B．1C．2 D．3解析：对于①，由直线l⊥平面α，α∥β，则l⊥β，又直线m⊂平面β，∴l⊥m，故①正确；对于②，由条件不一定得到l∥m，还有l与m相交和异面的情况，故②错误；对于③，可知正确．故正确命题的个数为2.答案：C7．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是() A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥αD．若n⊥α，n⊥β，则α∥β解析：对于选项A：垂直于同一平面的两个平面也可以相交，如正方体相邻的两个平面，故A错；对于选项B：设平面α与平面β相交于直线l，则在这两个平面内都存在与交线平行的直线，此时这两直线也平行，故B也错；对于选项C：应有n∥α或n⊂α两种情形；对于选项D：由线面垂直性质知，垂直于同一直线的两平面平行，故D正确．答案：D8．正六棱锥P—ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为() A．1∶1 B．1∶2C．2∶1 D．3∶2解析：由题意可知三棱锥V B－GAC＝V P－GAC，V B－GAC＝V G－BAC，V D－GAC＝V G－ADC，又因为三棱锥G－BAC与三棱锥G－ADC等高，且S△BAC∶S△ADC＝1∶2，综上可知V D－GAC∶V P－GAC＝2∶1，故选C.答案：C9．如右图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，这个条件不可能是下面四个选项中的( )A ．AC ⊥βB ．AC ⊥EFC ．AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上 D ．AC 与α、β所成的角相等解析：选项A 、B 、C 均可推出EF ⊥平面ABCD ，从而可推出BD ⊥EF ；而由选项D 并不能推出BD ⊥EF ，故选D.答案：D10．若二面角M －l －N 的平面角大小为2π3，直线m ⊥平面M ，则平面N 内的直线与m 所成角的取值范围是( )A ．[π6，π2]B ．[π4，π2]C ．[π3，π2]D ．[0，π2]解析：直线m 与平面N 内的直线所成角最小为m 与平面N 所成的角π6，显然m 与N 内直线所成角最大为π2，因为N 内一定有直线与m 垂直．答案：A11．如下图所示，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是下图中的( )A ．四个图形都正确B ．只有(2)(3)正确C ．只有(4)错误D ．只有(1)(2)正确解析：在面ABCD 上的射影为图(2)；在面B 1BCC 1上的射影为图(3)，在任何一个面上的射影都不会是图(1)和图(4)．答案：B12．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，其棱长为1，下列命题中，正确的命题个数为( )①A 1C 1和AD 1所成角为π3；②点B 1到截面A 1C 1D 的距离为233；③正方体的内切球与外接球的半径之比为1∶ 2 A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：连接BC 1，则BC 1∥AD 1，∴∠A 1C 1B 为异面直线A 1C 1与AD 1所成角，显然∠A 1C 1B ＝π3. 到平面A 1C 1D 的距离为233的点是B 不是B 1.正方形的内切球与外接球半径之比为1232＝1∶ 3.答案：C 二、填空题13．如右图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为________．解析：由三视图可知，原几何体为底面直径为1，母线长也为1的圆柱，故由圆柱侧面积公式可得S ＝2π×12×1＝π.答案：π14．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上移动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是________．解析：由题意，当P 点移动时，AP 确定的平面与BD 1垂直，∴点P 应在线段B 1C 上． 答案：线段B 1C15．如下图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为PC 的中点，则BE 与平面P AD 的位置关系为________．解析：取PD 的中点F ，连接EF ，AF ，由题中条件易得四边形ABEF 为平行四边形，从而进一步可推出BE ∥AF ，根据线面平行的判定定理可得BE ∥平面P AD (或取CD 的中点M ，连接EM ，BM ，由条件可推出平面BEM ∥平面P AD ，进一步也可得出BE ∥平面P AD )．答案：平行16．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD ＝60°，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动．则MN 中点P 的轨迹与该直平行六面体的表面所围成的几何体中体积较小的几何体的体积为________．解析：连接PD ，可得PD ＝1，即点P 的轨迹为以点D 为球心，半径为1的球截直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的部分(如右图所示)．由DD 1⊥平面ABCD 及∠ADC ＝2π3，可得该几何体为球体的13×12＝16，所以其体积为V ＝16×43π×13＝2π9. 答案：2π9三、解答题17．已知圆锥的底面半径为r ，高为h ，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′内接于圆锥，求这个正方体的棱长．解：设正方体棱长为a . 如右图作出组合体的轴截面． 则OS ＝h ，OP ＝r ，OA ＝2a 2， ∵△SO ′A ′∽△SOP ， ∴O ′A ′OP ＝SO ′SO ，即2a 2r ＝h －ah，∴a ＝2rh 2r ＋2h ，即正方体的棱长为2rh2r ＋2h.18．如右图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC ＝6，BD ＝8，E 是PB 上任意一点，△AEC 面积的最小值是3.(1)求证：AC ⊥DE ；(2)求四棱锥P －ABCD 的体积．解：(1)连接BD ，设AC 与BD 相交于点F .因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD . 又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥AC .而PD ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面PDB .E 为PB 上任意一点，DE ⊂平面PDB ，所以AC ⊥DE . (2)连接EF .由(1)知AC ⊥平面PDB ， EF ⊂平面PDB ，所以AC ⊥EF .S △ACE ＝12AC ·EF ，在△ACE 面积最小时，EF 最小，则EF ⊥PB .此时S △ACE ＝3，12×6×EF ＝3，解得EF ＝1.由△PDB ∽△FEB ，得PD EF ＝PBFB .由于EF ＝1，FB ＝4，所以PB ＝4PD .又PB ＝PD 2＋64，∴PD 2＋64＝4PD ， 解得PD ＝81515.∴V P －ABCD ＝13S 菱形ABCD ·PD＝13×24×81515＝641515.图甲19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直(右图甲)，图乙为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图乙所给的正视图、侧视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积．图乙(2)图丙中，E 为棱PB 上的点，F 为底面对角线AC 上的点，且BE EP ＝CFF A ，求证：EF ∥平面PDA .图丙解：(1)该四棱锥的俯视图为内含对角线，边长为6 cm 的正方形，如下图．其面积为36 cm 2.(2)连接BF 并延长交AD 于G ，连接PG ， 则在正方形ABCD 中，BF FG ＝CF F A .又CF F A ＝BE EP ，∴BF FG ＝BE EP， ∴在△BGP 中，EF ∥PG .又EF ⊄平面PDA ，PG ⊂平面PDA ， ∴EF ∥平面PDA .20．如右图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，且SA ＝AB ，点E 为AB 的中点，点F 为SC 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)求证：平面SCD ⊥平面SCE . 证明：(1)连结AC 、AF 、BF 、EF . ∵SA ⊥平面ABCD ，∴AF 为Rt △SAC 斜边SC 上的中线， ∴AF ＝12SC .又∵ABCD 是正方形，∴CB ⊥AB . 而由SA ⊥平面ABCD ，得CB ⊥SA ， 又AB ∩SA ＝A ，∴CB ⊥平面SAB .∴CB ⊥SB ， ∴BF 为Rt △SBC 斜边SC 上的中线，∴BF ＝12SC . ∴△AFB 为等腰三角形，EF ⊥AB .又CD ∥AB ，∴EF ⊥CD .(2)由已知易得Rt △SAE ≌Rt △CBE ，∴SE ＝CE ，即△SEC 是等腰三角形，∴EF ⊥SC .又∵SC ∩CD ＝C ，∴EF ⊥平面SCD .又EF ⊂平面SCE ，∴平面SCD ⊥平面SCE .21．如下图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是正方形BCC 1B 1的中点，点F ，G 分别是棱C 1D 1，AA 1的中点．设点E 1，G 1分别是点E ，G 在平面DCC 1D 1内的正投影．(1)求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面DCC 1D 1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；(2)证明：直线FG 1⊥平面FEE 1；(3)求异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值．解：(1)由题意知EE 1⊥平面DCC 1D 1，且四边形FGAE 在平面DCC 1D 1内的正投影为四边形FG 1DE 1.∵点E 是正方形BCC 1B 1的中心，∴EE 1＝1.∵SFG 1DE 1＝SDCC 1D 1－S △FD 1G 1－S △E 1C 1F －S △DCE 1， 由题设知点E 1、G 1分别是CC 1、DD 1的中点，∴SFG 1DE 1＝22－12×1×1－12×1×1－12×1×2＝2. 故所求的四棱锥体积为VE －FG 1DE 1＝13SFG 1DE 1×EE 1＝13×2×1＝23. (2)由(1)知，△E 1C 1F 与△G 1D 1F 均为等腰直角三角形，∴∠G 1FE 1＝π2⇒G 1F ⊥FE 1. ∵EE 1⊥平面DCC 1D 1，FG 1⊂平面DCC 1D 1，∴EE 1⊥FG 1.又∵EE 1∩FE 1＝E 1，∴FG 1⊥平面FEE 1.(3)由(1)的解答知E 1G 1∥AB ，∴∠EAB 即为E 1G 1与EA 所成的角． 连接EB ，由题意得EB ＝ 2.∵AB ⊥平面BCC 1B 1，∴△EBA 为直角三角形， ∴EA ＝EB 2＋AB 2＝(2)2＋22＝6，∴sin ∠EAB ＝EB EA ＝26＝33. 22．已知四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1(如右图)中，底面ABCD 是正方形，且DD 1⊥底面ABCD ，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值；(2)试在平面ADD 1A 1中确定一个点F ，使得FB 1⊥平面BCC 1B 1；(3)求二面角F －CC 1－B 的余弦值(F 满足(2))． 解：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2a,0,0)，B 1(a ，a ，a )，D 1(0,0，a )，B (2a,2a,0)，C (0,2a,0)，C 1(0，a ，a )．(1)∵AB 1→＝(－a ，a ，a )，DD 1→＝(0,0，a )，∴cos 〈AB 1→，DD 1→〉＝AB 1→·DD 1→|AB 1→||DD 1→|＝a 23a 2 a 2＝33，即直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33. (2)设F (x,0，z )，∵BB 1→＝(－a ，－a ，a )，BC →＝(－2a,0,0)，FB 1→＝(a －x ，a ，a －z )，由FB 1⊥平面BCC 1B 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ FB 1→·BB 1→＝0FB 1→·BC →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ －a (a －x )－a 2＋a (a －z )＝0－2a (a －x )＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a z ＝0， ∴F (a,0,0)，即F 为DA 的中点．(3)由(2)知FB 1→＝(0，a ，a )为平面BCC 1B 1的一个法向量．设n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面FCC 1的一个法向量， CC 1→＝(0，－a ，a )，FC →＝(－a,2a,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CC 1→＝0，n ·FC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－ay 1＋az 1＝0－ax 1＋2ay 1＝0. 令y 1＝1得x 1＝2，z 1＝1，∴n ＝(2,1,1)，cos 〈n ，FB 1→〉＝n ·FB 1→|n ||FB 1→|＝ a ＋a 6·2a2＝33，即二面角F －CC 1－B 的余弦值为33.。
【高二数学试题精选】北师大版高中数学选修3
北师大版高中数学选修2
5
c
(时间100分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是( )
A．若a∥b，b∥c，则a与c所在直线平行
B．向量a，b，c共面即它们所在直线共面
c．空间任意两个向量共面
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
解析选c对于A当b＝0时，a与c所在直线可重合、平行、相交或异面；当b≠0时，a与c所在直线可重合，排除A；对于B它们所在直线可异面，排除B；对于Db＝0时不满足，排除D 2．已知两非零向量e1，e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R 且λ，μ≠0)，则( )
A．a∥e1
B．a∥e2
c．a与e1，e2共面
D．以上三种情况均有可能
解析选c对于Aa∥e1，所以a＝e1，得μ＝0，λ＝，与已知矛盾．对于Ba∥e2，所以a＝e2，得μ＝，λ＝0，与已知矛盾．故选c
3．已知A(0，0，0)，B(1，1，1)，c(1，2，－1)，下列四个点中在平面ABc内的点是( )
A．(2，3，1) B．(1，－1，2)
c．(1，2，1) D．(1，0，3)。
北京师范大学第三附属中学高二数学理月考试题含解析
北京师范大学第三附属中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 将两个数交换,使,下面语句正确一组是 ( )参考答案：B无2. 1．一枚硬币，连掷两次，至少有一次正面朝上的概率为（）A. B. C. D.参考答案：D3. 用数学归纳法证明“凸n变形对角线的条数f（n）=”时，第一步应验证（）A．n=1成立B．n=2成立C．n=3成立D．n=4成立参考答案：C【考点】RG：数学归纳法．【分析】根据多边形的边数最少为3即可得出答案．【解答】解：因为多边形至少有3条边，故第一步只需验证n=3结论成立即可．故选C．4.编号为1，2，3，4，5的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为（）A．120 B.119 C.110 D.109 参考答案：D5. 已知点A（﹣1，0）、B（1，0），P（x0，y0）是直线y=x+2上任意一点，以A、B为焦点的椭圆过点P．记椭圆离心率e关于x0的函数为e（x0），那么下列结论正确的是（）A．e与x0一一对应B．函数e（x0）无最小值，有最大值C．函数e（x0）是增函数D．函数e（x0）有最小值，无最大值参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】由题意可得c=1，椭圆离心率e=，由椭圆的定义可得PA+PB=2a，a=，再由PA+PB 有最小值而没有最大值，从而得出结论．【解答】解：由题意可得c=1，椭圆离心率e==．故当a取最大值时e取最小，a取最小值时e取最大．由椭圆的定义可得PA+PB=2a，a=．由于PA+PB 有最小值而没有最大值，即a有最小值而没有最大值，故椭圆离心率e 有最大值而没有最小值，故B正确，且 D不正确．当直线y=x+2和椭圆相交时，这两个交点到A、B两点的距离之和相等，都等于2a，故这两个交点对应的离心率e相同，故A不正确．由于当x0的取值趋于负无穷大时，PA+PB=2a趋于正无穷大；而当当x0的取值趋于正无穷大时，PA+PB=2a也趋于正无穷大，故函数e（x0）不是增函数，故C不正确．故选B．【点评】本题主要考查椭圆的定义、以及简单性质的应用，属于中档题．6. 的值是A．B．C．D．参考答案：D7. 在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）A. 30B. 36C. 60D. 72参考答案：C【分析】记事件位男生连着出场，事件女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为，再利用排列组合可求出答案。
九师联盟高二联考数学试题及答案
九师联盟高二联考数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(1)的值。
A. 3B. -1C. 5D. 1答案：B2. 已知等差数列{an}的公差d=3，且a1=2，求a5的值。
A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A3. 已知三角形ABC的三边长分别为3, 4, 5，求三角形ABC的面积。
A. 3B. 6C. 2.5D. 4答案：C4. 函数y=x^3-3x+1的导数是：A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3C. 3x^2 + 3D. x^3 - 3答案：A5. 已知向量a=(2,3)，向量b=(-1,2)，求向量a与向量b的点积。
A. 4B. 1C. -1D. 0答案：A6. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 6x + 8y - 24 = 0，求圆心坐标。
A. (3, -4)B. (-3, 4)C. (3, 4)D. (-3, -4)答案：A7. 已知函数f(x) = sinx + cosx，求f(π/4)的值。
A. √2B. 1C. 0D. -1答案：A8. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∩B。
A. {1,2}B. {1,3}C. {2,3}D. {3,4}答案：C9. 已知函数f(x) = 2^x，求f(-1)的值。
A. 1/2B. 2C. 1/4D. 1答案：A10. 已知复数z = 1 + i，求z的共轭复数。
A. 1 - iB. 1 + iC. -1 + iD. -1 - i答案：A二、填空题（每题5分，共20分）11. 已知等比数列{bn}的公比q=2，且b1=1，求b3的值。
答案：812. 求函数y = x^2 - 4x + 4在x=2处的导数值。
答案：-413. 已知直线方程为y = 3x + 1，求该直线与x轴的交点坐标。
答案：(-1/3, 0)14. 已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，求向量a与向量b的叉积。
高二精选题库2 12. 数学 数学doc北师大版
高二精选题库2 12. 数学数学doc北师大版高二精选题库2-12.数学数学doc北师大版模块2第12节[知能演练]一、多项选择题1．如下图，阴影部分面积为A.C[f(x)－g(x)]dxA.b.?c[g（x）－f（x）]dx＋？B[f（x）－g（x）]dxaCc.?cx＋b？[f（x）－g（x）]da[g(x)－f(x)]dxcDB[g(x)－f(x)]dx答案：B解析：本题应画图求解，更为清晰，故选c.,?2f（x）dx＝0？一2x2dx＋？？（2－x）dx1＝13x3 | 11220＋(2x－2x)|1＝13＋(4－2－2＋12)＝56.答案：c 3.设f（x）=？十、sintdt，则f[f(π2)]等于0a．－1b、一,c．－cos1d、 1－cos1解析：由于?x?sintdt＝（－成本）|x0＝1－cosx.0∴f（x）＝1－cosx。
∴f（ππ2）＝1－cos2＝1.()()()π∴f[f（）]＝f（1）＝1－cos1。
2答案：d十、4．函数f(x)＝?t(t－4)dt在[－1,5]上a、最大值为0，没有最小值32b、有最大值0和最小值-332c．有最小值－，无最大值三d．既无最大值也无最小值xx解析：f(x)＝?t(t－4)dt＝?(t2－4t)dt0 013132x2＝（t－2t）|0＝x－2x，x∈[－1,5]．33令f′(x)＝x(x－4)＝0，∴x1＝0，x2＝4，七∴f(－1)＝－，f(0)＝0，三万三千二百二十五f(4)＝－，f(5)＝－.3332最大值为0，最小值为-3回答：B 2。
填空5．汽车以v＝3t＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的路程是________．三千二百二十二解析：s＝?(3t＋2)dt＝(t＋2t)|1?1233＝× 4＋4－(＋2)22713＝10－＝m。
22答案：6.5米17116.如果f（x）是主函数，以及？F（x）DX=5，XF（x）DX=，那么函数F（x）的解析式是？？0.06分析：设f（x）=ax+B（a）≠ 0),111然后（ax＋b）dx＝（ax2＋bx）|10＝a＋b＝5。
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第9模块 第3节[知能演练]一、选择题1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式解析：两条直线平行，同旁内角互补大前提 ∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角小前提 ∠A ＋∠B ＝180°结论 答案：A2．“所有9的倍数(M )都是3的倍数(P )，某奇数(S )是9的倍数(M )，故此奇数(S )是3的倍数(P )”，上述推理是( )A ．小前提错B ．结论错C ．正确的D ．大前提错解析：大前提正确，小前提正确，故命题正确． 答案：C3．已知a i ，b i ∈R (i ＝1,2,3，…，n )，a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝1，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的最大值为( )A ．1B ．2C ．n 2D ．2n解析：此结论为“若a ，b ，c ，d ∈R ，a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，则ac ＋bd ≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝1”的推广，类比可得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 21＋b 212＋a 22＋b 222＋…＋a 2n ＋b 2n2＝1.答案：A4．如右图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2008次跳后它将停在的点是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：记a n 表示青蛙第n 次跳后所在的点数，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝1，a 5＝2，a 6＝4，…，显然{a n }是一个周期为3的数列，故a 2008＝a 1＝1，答案为A.答案：A 二、填空题5．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是________．解析：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即n 2－n 2个．因此第n 行第3个数是全体正整数中的第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.答案：n 2－n ＋626．有一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：(1)在9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1到9这9个数填满整个格子；(2)每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九宫格里也要有1到9的数字，并且一个数字在每行每列及每个小九宫格里只能出现一次，即不能重复也不能少，那么A 处应填入的数字为__________；B 处应填入的数字为__________．解析：依题意从第二行看，A 处可填入1,2,4,6,8，从第三列看，A 处可填入1,3,5,7,9，所以A 处填入1；同理可推出B 处可填入1,3，而B 的左边应填入1，进而可知B 处应填3.答案：1 3 三、解答题7．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明． 解：一般性的命题为sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32.证明如下：左边＝1－cos(2α－120°)2＋1－cos2α2＋1－cos(2α＋120°)2＝32－12[cos(2α－120°)＋cos2α＋cos(2α＋120°)] ＝32＝右边． ∴结论正确．8．在△ABC 中，射影定理可以表示为a ＝b cos C ＋c cos B ，其中a 、b 、c 依次为角A 、B 、C 的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想．解：如右图，在四面体P －ABC 中，S 1、S 2、S 3、S 分别表示△P AB 、△PBC 、△PCA 、△ABC 的面积，α、β、γ依次表示面P AB 、面PBC 、面PCA 与底面ABC 所成角的大小，我们猜想将射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1cosα＋S2cosβ＋S3cosγ.[高考·模拟·预测]1.把正整数按一定的规则排成了如右图所示的三角形数表．设a ij是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若a ij＝2009，则i与j的和为() A．105B．106C．107D．108解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.答案：C2．广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离(单位：百公里)见下表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是()A.20.6C．22 D．23解析：由于“以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次”，并且求“最短路线的距离”，由选项判断，A中20.6在表中只有C和E之间的距离8.6是出现小数部分的，故CE必定是经过的路线，又因为A为起点，E为终点，故如果A正确，那么路线必然是：1.A－B－D－C－E或2.A－D－B－C－E，进行验证：线路1的距离之和为5＋6＋9＋8.6＝28.6，故线路1不符合；线路2的距离之和为5＋6＋7＋8.6＝26.6，线路2也不符合，故排除A；再验证选项B，发现线路A－C－D－B－E的距离之和为4＋9＋6＋2＝21符合，故选B.答案：B3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为__________．解析：由类比推理得，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.下面计算验证．假设两个正四面体的棱长分别为1和2，如右图，正四面体ABCD 的棱长为1，取BC的中点E ，作AO ⊥ED 于O ，则OD ＝23ED ＝23×32＝33，又在Rt △AOD 中，AO ＝1－OD 2＝1－(33)2＝63， 则V 正四面体ABCD ＝13S △BCD ·AO ＝13×34×1×63＝212；同理可算得棱长为2的正四面体的体积V 正四面体A ′B ′C ′D ′＝223.∴V 正四面体ABCD ∶V 正四面体A ′B ′C ′D ′＝212223＝18.答案：1∶84．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，__________，__________，T 16T 12成等比数列．解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12，T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 85．(南通第一次调研)根据下面一组等式：可得S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝__________.解析：从已知数表得S 1＝1，S 1＋S 3＝16＝24，S 1＋S 3＋S 5＝81＝34， 从而猜想S 1＋S 3＋…＋S 2n －1＝n 4. 答案：n 46．已知数列{a k }的前k 项和为S k ，且S k ＝12ka k ＋1，其中a 1＝1.(1)求证a k ≠0(k ∈N )； (2)求数列{a k }的通项公式；(3)对任意给定的正整数n (n ≥2)，数列{b n }满足b k ＋1b k ＝k －na k ＋1(k ＝1,2，…，n －1)，b 1＝1，求b 1＋b 2＋…＋b n .解：(1)当k >1时，由a k ＝S k －S k －1＝12ka k ＋1－12(k －1)a k ，得(k ＋1)a k ＝ka k ＋1.若存在a m ＝0(m >1)，由ma m －1＝(m －1)a m ，m >1，得a m －1＝0， 从而有a m －2＝0，…，a 2＝0，a 1＝0，与a 1＝1矛盾，所以a k ≠0.(2)由(1)知，a k ＋1a k ＝k ＋1k ，得a k ＝a k a k －1·a k －1a k －2·…·a 2a 1·a 1＝k .(3)因为a k ＝k ，所以b k ＋1b k ＝－n －k a k ＋1＝－n －kk ＋1.所以b k ＝b k b k －1·b k －1b k －2·…·b 2b 1·b 1＝(－1)k －1·(n －k ＋1)(n －k ＋2)…(n －1)k ·(k －1)·…·2·1·1＝(－1)k －1·1n C k n (k ＝1,2，…，n )，故b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1n [C 1n －C 2n ＋C 3n －…＋(－1)n －1·C n n ]＝1n{1－[C 0n －C 1n ＋C 2n －…＋(－1)n ·C n n ]}＝1n.。