【精品】草原鼠患问题2

对于老鼠的数量影响主要受三方面因素限制：1、灭鼠药2、老鼠的天敌3、茂密的牧草种植。其中撒灭鼠药，引入老鼠天敌短时间见效，撒灭鼠药长期不宜使用，引入天敌以现今的技术不能大规模使用,人工种植牧草可以长期实施，可以产生效益，具有周期性。
草原鼠患问题中老鼠是影响生态的主要因素，暂且不考虑其它的因素或将其他影响的因素看作相对稳定。
注意；草原区域选定，老鼠狐狸习性，草场生长周期，对每种方法深入研究，每种方法在实施过程中会相互制约（是否为线性规划）。
五、符号说明
q(t)表示任意时刻老鼠的数量;
b为出生率;
d为自然死亡率;
是第n次投药后老鼠死亡率;
C表示老鼠与天敌的接触几率;
六、模型的建立与求解
模型一：对草原鼠的数量进行预测
（1）不考虑鼠的迁移，建立某一区域鼠的增长预测模型
第（2）种方案会明显限制老鼠的增长率，但是一次性引入天敌的数量不易掌握。
第（3）种单独使用不能控制鼠患。
鼠患主要由两方面造成：
（1）天敌被大量捕杀;
（2）天气干旱，牧草稀少，为了长期有效解决鼠患问题，我们提出以下方案：
在种草最佳时机靠前一段时间投放鼠药（有一个最佳投放量），初见药效随之种草，在药效衰减到不能间接危害到老鼠天敌的时候引入银狐来灭鼠。
第二步：等灭鼠药见效后，大批老鼠死亡，然后人工种植牧草（这样一来等牧草生长茂密，老鼠就无法生存，虽然会有少量活的老鼠吃牧草籽，但老鼠毕竟是少量的，而牧草是大量的，所以老鼠对牧草的影响可以忽略，而之所以不能马上引入天敌是因为老鼠药会对他们造成间接伤害）
第三步：灭鼠药药效衰减到不能对老鼠的天敌进行间接伤害时，再逐步引入狐（因为狼会造成社会问题，而鹰不能产生经济效益），来起到遏制因为灭鼠药所带来的负作用，减缓老鼠的增长趋势或者制止老鼠的增长。而且待牧草长好以后可以配合起来解决鼠患。控制老鼠天敌的数量，使达到新的生态平衡，重建稳定的生物链，限制草原老鼠在一个不能形成鼠患的范围之内！
关键词：短时间中长期微分方程差分方程出生率、死亡率、生育率。
二、问题重述
2.1建立恰当数学模型，对上述灭鼠方法的效果进行评估分析，要考虑到短时间和长期的效果以及资金投入的问题；
2.2对控制草原鼠患，恢复生态平衡，提出你认为切实可行的建议；
2.3通过网络或其它途径（如公开出版的文献、研究论文等）搜集、收集实际数据，验证你的模型及结果。
植草后鼠量变化率：
，
在不引进天敌和用药的情况下，不断种草相当于给老鼠储粮，老鼠数量将持续增加，在草没有对老鼠造成危胁之前，草种已经被老鼠当粮食吃掉。
单从分别利用方案（1）（2）（3）后老鼠增长率这个指标看，短期内使用灭鼠药是可行的，但是考虑到抗药性以及食用中毒老鼠的动物的二次中毒，方案（1）是不宜多次或长期使用的。
是该区母鼠的总和生育率：
记
得，
则我们得到该区鼠的个数差分方程模型为：
表示为矩阵形式为：
记
则，
模型二：完成任务1即对三种灭鼠方案的评估：
多次使用灭鼠药后鼠的增长率：
第一次投药后鼠量的增长率：
第二次投药后鼠量的增长率：
第n次投药后鼠量的增长率：
由于鼠对一种药的抗药性，使得有如下关系式：
引入天敌后鼠量变化率：
解决方案：考虑到三种方法的各自优势及长短时间效应。我们建议在种草最佳时机靠前一段时间投放鼠药（有一个最佳投放量），初见药效随之种草，在药效衰减到不能间接危害到老鼠天敌的时候引入银狐来灭鼠。
第一步：先使用灭鼠药（因为这种方法在短时间内是最有效的且使用费用极少，而引入天敌的方法费用太过昂贵，人工种植牧草冒然使用反而会使老鼠增多）
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草原鼠患问题
一、摘要
针对题目所提要求，我们建立了两个模型，分别用于对鼠患发展趋势做短时间和中长期的预测。基本完成题目中所给的任务。
为了对鼠患问题做短时间的预测，考虑到题目所给的数据资料的不全面，我们由网上资料得到启发，针对现今的草原鼠患的特点，把老鼠的增长率对鼠患问题起主要作用的因素作为建模的关键参数，我们建立了两个模型，对鼠的数量做了合理的预测和分析，其中用到了微分方程和差分方程模型。在附件中没有给出草原近年鼠患的情况下，建立了短时间内预测鼠患的微分方程模型。得到鼠在第t月有i个月大的出生率、死亡率、生育率，第(t+1)月有(i+1)月大的数量等。较准确的估计出了老鼠增长的关键参数，使得建立的鼠患短时间预测模型符合实际。
三种方案的层次分析图：
由我们现阶段所得的材料和知识我们分阶段实施三种方案，且三种方案搭配实施。
上图纵轴表示鼠的数量级数是 个，横轴表示实施方案的时期长度。我们在初始开始投放鼠药（即0——1阶段），紧接着种草（即1——9阶段），当我们检测到鼠药失效后引进鼠的天敌（据我们推测大约在6——10阶段）。
（，其中有些由于母鼠死亡无人喂养而死，能活到七月的鼠子数是,因此，就是年到t月的鼠子死亡数，记鼠子的死亡率为,则
于是第t月的鼠子数：
（3）
由(1)(2)(3)式得在(t＋1)年的一岁大的鼠的个数为：
（4）
令（5）
其中，是生育模式，用以调整育龄母鼠在不同年龄时的生育率高低：
三、模型的假设
假设1：我们的天气预报能够较准确的预测几天内的气候情况；
假设2：所施鼠药是目前最普及最有效的化学鼠药(性价比较好);
假设3：草的退化周期是固定的；
假设4：草原鼠生活在固定区域不会迁移;
假设5：草原鼠以长爪沙鼠为主;
四、问题的分析
草原鼠患问题不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被，草原上几乎所有的人工种草都会在一定时间内自动退化，所以在一段时间内退化是有周期性的，要周期性补种。
我们从所得资料知，鼠的最大年龄为2~3年（即24~36月），最大年龄为m=3;为第t月有i个月大的鼠数量，为第t月有i个月大的死亡率。由鼠的死亡率数据为所占该类年龄段的百分比。鼠在第t月有i个月大的死亡率为：
,
则第(t+1)月有(i+1)月大的数量为：
（1）
记为该区第t月有i个月大母鼠生育率，该生育率表示所有i个月母平均生育鼠个数，生育率为该年龄母鼠生育子女与该类年龄母鼠的百分比，为育龄区间（根据资料知7月大到36月（3岁）大为育龄区间），为该区第t月有i个月大母鼠的数量比率，则该区第t月的出生个数f(t)为：