平面弯曲习题解答1

..第8-9章 平面弯曲主要知识点：（1）平面弯曲的概念；（2）平面弯曲内力——剪力和弯矩； （3）剪力图和弯矩图； 平面弯曲内力——剪力和弯矩1. 计算下图所示各梁1、2、3、4截面上的剪力和弯矩。

解：a) （1）考虑整体平衡，可解A 、D 支座反力03251321,0)(21=⨯+⋅⨯-⋅⨯⨯-=∑=D ni i A F m kN m kN F M 得 kN F D 83.3=0513,01=+-⨯-=∑=D A ni iy F kN kN F F得 kN F A 17.4=（2）计算截面1处的剪力和弯矩假想截面在1处把梁截开，考虑左段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。

013,011=-⨯-=∑=Q A ni iy F kN F F得 kN F Q 17.11=011321,0)(1121=+⨯-⋅⨯⨯-=∑=M F m kN F M Q ni i A 得 m kN M ⋅=67.21(3) 计算截面2处的剪力和弯矩假想截面2在处把梁截开，考虑左段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。

013,021=-⨯-=∑=Q A ni iy F kN F F得 kN F Q 17.12=011321,0)(2221=+⨯-⋅⨯⨯-=∑=M F m kN F M Q ni i A 得 m kN M ⋅=67.22(4) 计算截面3处的剪力和弯矩假想截面在3处把梁截开，考虑右段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。

05,031=+-=∑=D Q ni iy F kN F F得 kN F Q 17.13=01,0)(31=⨯+-=∑=D ni i C F M F M得 m kN M ⋅=83.33(5) 计算截面4处的剪力和弯矩假想截面在4处把梁截开，考虑右段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。

0,041=+=∑=D Q ni iy F F F得 kN F Q 83.34-=01,0)(41=⨯+-=∑=D ni i C F M F M得 m kN M ⋅=83.34b) （1）考虑整体平衡，可解A 、C 支座反力05.41244,0)(1=⋅⨯⨯-⨯+⋅=∑=m kN F m kN F M C ni i A得 kN F C 25.1=012,01=⨯-+=∑=kN F F F C A ni iy得 kN F A 75.0=..（2）计算截面1处的剪力和弯矩假想截面在1处把梁截开，考虑左段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。

0,011=-=∑=Q A ni iy F F F得 kN F Q 75.01=02,0)(111=+⨯-=∑=M F F M Q ni i A得 m kN M ⋅=5.11 (3) 计算截面2处的剪力和弯矩假想截面2在处把梁截开，考虑左段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。

0,021=-=∑=Q A ni iy F F F得 kN F Q 75.02=042,0)(221=+⋅+⨯-=∑=M m kN F F M Q ni i A得 m kN M ⋅-=5.22(4) 计算截面3处的剪力和弯矩假想截面在3处把梁截开，考虑右段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。

012,031=⨯-+=∑=kN F F F C Q ni iy得 kN F Q 75.03=01221,0)(231=⋅⨯⨯--=∑=m kN M F M ni i C得 m kN M ⋅-=13(5) 计算截面4处的剪力和弯矩假想截面在4处把梁截开，考虑右段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。

0)(1A =∑=i n i M F l M F M l F ==+⋅-B B 00)(1B =∑=i ni M F l M F M l F ==+⋅-A A 0)0()(A Q a x l M F x F ≤≤==)()(A Q l x a lMF x F ≤≤==)0( )(Q l x lMx F ≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≤=)()()0()(l x a x l l Ma x x l Mx M012,041=⨯-=∑=kN F F Q ni iy得 kN F Q 24=01221,0)(241=⋅⨯⨯--=∑=m kN M F M ni i C得 m kN M ⋅-=14截面1 2 3 4 剪力（kN ）0.75 0.75 0.75 2 弯矩(m kN ⋅)1.5 -2.5 -1 -1剪力图和弯矩图2. 建立图示梁的剪力方程和弯矩方程，并画剪力图和弯矩图。

（a ） （b ）解：a)（1）求支座反力（2）求剪力方程和弯矩方程（分段建立方程）AC 段CB 段（3）作剪力图和弯矩图弯矩图是两斜直线，在C 截面处有突变，突变量为M 。

)0()(Aa x x l M x F x M ≤≤=⋅=)()()()(B l x a x l lMx l F x M ≤≤--=-⋅=..b) （1）求支座反力由整体平衡方程（见图8-2b ）：0)(1=∑=ni i A F M ， 03102=⋅⨯+⨯-m kN F B ， kN F B 15=0)(1=∑=ni i B F M ， 01102=⋅⨯+⨯-m kN F A ， kN F A 5-=（2）求剪力方程和弯矩方程梁上任取一截面(见图8-2b)，到支座A 的距离为x ，由截面法得该截面的剪力方程和弯矩方程AB 段：kN x F Q 5)(-=， x x M 5)(-=， （m x 20<≤）BC 段： kN x F Q 10)(=， ）（x x M --=310)(，即3010)(-=x x M ，（m x m 32≤<）图8-2b（3）作剪力图和弯矩图：AB 、BC 段剪力都为常数，剪力图各为一水平直线。

AB 、BC 段弯矩方程是x 的一次函数，弯矩图各为一斜直线。

两点可以确定一条直线，当0=x 时，0)0(=M ；当m x 2=时，m kN M ⋅-=10)2(；当m x 3=时，0)3(=M ，连A 、B 两点可得AB 段弯矩图，连B 、C 两点可得BC 段弯矩图，如图8-2b 所示。

3. 剪力和弯矩的正负号如何确定？梁在集中力、集中力偶及均布载荷作用下的剪力图和弯矩图有何特点？答：在计算内力时，为了使考虑左段梁平衡与考虑右段梁平衡的结果一致，对剪力和弯矩的正负号作以下规定： 剪力：使截面绕其内侧任一点有顺时针转趋势的剪力为正，反之为负。

弯矩：使受弯杆件下侧纤维受拉为正，使受弯杆件上侧纤维受拉为负。

或者使受弯杆件向下凸时为正，反之为负。

(1) 当梁上有集中力作用时，剪力图在集中力作用处有突变，突变量是集中力的大小； 弯矩图在集中力作用处产生尖角。

(2) 当梁上有集中力偶作用时，剪力图在集中力偶作用处不变；弯矩图在集中力偶作用处有突变，突变量是集中力偶的大小。

（3）梁的某一段内有均布载荷作用，则剪力)(x F Q 是x 的一次函数，弯矩)(x M 是x 的二次函数。

剪力图为斜直线；若)(x q 为正值，斜线向上倾斜；若)(x q 负值，斜线向下倾斜。

弯矩图为二次抛物线，当)(x q 为正值，弯矩图为凹曲线；当)(x q 为负值，弯矩图为凸曲线。

4. 什么是剪力、弯矩和载荷集度的微分关系？如何利用微分关系作梁的剪力图和弯矩图？答：载荷集度)(x q 、剪力)(x F Q 和弯矩)(x M 之间的微分关系如下：)(d )(d x q x x F Q = )(d )(d x F x x M Q =)(d )(d 22x q x x M =利用微分关系作梁的剪力图和弯矩图：1. 无分布载荷作用的梁段（q =0）由于0)(=dx x dF Q ，因此)(x F Q =常数，即剪力图为水平直线。

而)()(x F dxx dM Q =为常数，)(x M 是x 的一次函数，即弯矩图为斜直线，其斜率由)(x F Q 值确定。

(1) 当梁上仅有集中力作用时，剪力图在集中力作用处有突变，突变量是集中力的大小；弯矩图在集中力作用处产生尖角。

(2) 当梁上仅有集中力偶作用时，剪力图在集中力偶作用处不变；弯矩图在集中力偶作用处有突变，突变量是集中力偶的大小。

2. 均布载荷作用的梁段（)(x q 为常数）由于q x q =)(，因此q dxx dF Q =)(，即)(x F Q 是x 的一次函数，M(x)是x 的二次函数，所以剪力图为斜直线，其斜率由q 确定；弯矩图为二次抛物线。

当分布载荷向上（即q >0）时，q xd x M d =22)(>0，弯矩图为凹曲线；反之，当分布载荷向下（即q <0）时，q xd x M d =22)(<0，弯矩图为凸曲线。

5. 指出下图所示各弯矩图的错误，画出正确的弯矩图。

解：a ）弯矩图的斜率、起点错误，图8-5a 为正确的弯矩图；b ）弯矩图应该是斜直线，图8-5b 为正确的弯矩图；.图8-5解：c）弯矩图中间一段不为0，图8-5c为正确的弯矩图；d）弯矩图在支撑处没有突变，图8-5d为正确的弯矩图（设l>2a）。

图8-56. 利用剪力、弯矩与载荷集度的微分关系作图示各梁的剪力图和弯矩图。

解：a)（1）求支座反力由整体平衡方程（见图8-6a）：.01=∑=ni iy F ， 0=--qa qa F A ， qa F A 2=0)(1=∑=ni i A F M ， 05.2=⨯-⨯--a qa a qa M A ， 25.3qa M A -=图8-6a（2）作剪力图AC 段剪力图是水平线，大小为2qa ，CD 段剪力图也是水平线，大小为qa ，DB 是斜直线，确定两个控制点qa F QD =，0=QB F ，作剪力图如图8-6a 所示。

（3）作弯矩图AC 段与CD 段的弯矩图是斜直线，求出以下控制截面的弯矩25.3qa M A -=，25.1qa M C -=，25.0qa M D -=，可作这两段斜直线。

DB 段由于有均布载荷作用，弯矩图是一段抛物线，如图8-6a 所示。

b) （1）求支座反力由整体平衡方程（见图8-6b ）：0)(1=∑=ni i A F M ， 0322=⨯++⨯⨯-a F qa a a q B ， 得3qaF B = 01=∑=ni iy F ， 02=+⨯-B A F a q F ， 得35qaF A =..图8-6b（2）作剪力图CB段剪力图是水平线，大小为3qa-。

AC段剪力图是斜直线，确定两个控制点35qaFQA=，=QCF3qa-。

作剪力图如图8-6b所示。

（3）作弯矩图CB段的弯矩图是斜直线，求出以下控制截面的弯矩：231qaMC=+，0=BM，作出这段斜直线。

AC段由于有均布载荷作用，弯矩图是一段抛物线。

当剪力为0时（见图7-21所示D点），弯矩出现极值，即当ax35=时，2max389.1)35(qaaM=。