非线性_new

a a a 2 2k arcsin 1 ( ) A A A

2. sin t a ) 0
0 t a a t a
a t
由于死区特性是对称的奇函数

第一节 控制系统的典型非线性特性 饱和非线性特性： 影响－降低在大信号时的增益，增加过渡过程时 间和稳态误差。
y B k -a O a x
-B

kx y ka sgn x
x a x a
a ---线性区宽度 k---线性区斜率

死区特性： 影响－导致出现静态误差
y k -a O -B
（c）理想的继电器特性： a=0
y
O -B
x

继电器非线性特性的影响：用作改善系统性能的 切换元件。
非线性系统的特点： 1）非线性系统的稳定性和初始条件有关； 2）系统可能存在自持振荡，发生这种振荡时 系统是稳定的； 3）叠加原理不能应用于非线性系统； 4）在频域对非线性系统进行研究主要考虑系 统输出的基波分量。
y B
a

1 N ( A)

A
4a a
1 (
a A
) j
2

4a
O
x
-B
（2）无滞环有死区的继电器特性 a>0, m=1
1 N ( A)
A
4a a
1 1 ( a A )
2
A a时， A 时，
1 N ( A) 1 N ( A)

极大值

1 N ( A)

研究方法： 1）描述函数法（频域） 2）相平面分析法（时域） 3）李亚普诺夫第二法（时域）
第二节 描述函数法
1.描述函数法的使用条件： a. 系统的线性部分和非线性部分可以分离；
r(t) + 非线性 c(t)
x(t) -
环节
线性部分
a) r(t) R(s) + x(t) X(s) b) N(A) y(t) Y(s) G(j ) c(t) C(s)
1 arctan
arctan

1 N ( A)

如果b aa
2 2a ma 2 a 2 2a ) 1 ( ) j ( m 1) 1 ( 2 A A A A

1 N ( A)

2a ma 2 a 2 a 1 ( ) 1 ( ) A A A
The Principle of Automatic Control
作业：p179:7-2,7-4
第七章 非线性系统分析

非线性系统 系统包含1个或以上的非线性静特性的元件 或期间。 y
O A1 B1
x
图7-1 伺服电动机控制系统
非线性系统的分类： （1）非本质非线性系统 能用微偏法对非线性进行线性化处理的系 统。 （2）本质非线性系统 不能用线性理论处理的系统。
x0 x0 x a x0 x0
0 y B B B
a—继电器吸合电压 ma—继电器释放电压 B—饱和输出电压
（a） 具有滞环的继电器非线性特性： m=-1
y B
a
O
x
-B
（b） 具有死区的继电器非线性特性： m=1
y B B -a a x
-B
a
x
0 y k ( x a sgn x)
x a x a
a---死区宽度 k---线性输出特征的斜率

间隙非线性： 影响－系统输出在相位上出现滞后，PM减小，动态 特性变坏，并扩大了稳态误差。
y B
-a O a
k x
-B
k ( x a ) k ( x a ) y B B
Y(s)
G(S) 线性部分
C(t)
闭环频率特性
Y j） （ N ( A)G ( j ) R(j ) 1 N ( A)G ( j )
闭环特征方程：
1 N ( A)G( j ) 0
＝>
G ( j )
1 N ( A)
相当于线性系统中G(jω)=-l的情况, 将可能产生 等幅的周期性振荡。上式表示G(jω)和-1/N(A)曲 线相交。
非线性系统的稳定性的判定方法： 在复平面上同时作出线性部分的频率特性G(jω) （最小相位）及非线性部分描述函数的负倒特性1/N(A)， 则 (1)如果在复平面上, -1/N(A)曲线不被G(jω)曲线所包围, 如图(a)所示, 则非线性系统是稳定的。 (2)如果在复平面上, -1/N(A)曲线被G(jω)曲线所包围,如 图(b)所示,则非线性系统不稳定。 (3)如果在复平面上, -1/N(A)曲线与G(jω)曲线相交, 如图 (c)所示, 则在非线性系统中可能产生稳定的自持振荡, 若有自振，则振荡的振幅由-1/N(A)曲线交点处对应 的A值决定, 振荡的频率由G(jω)曲线交点处的ω值决 定。
4b
0
A
4b
y B O -B x

1 N ( A)
Im
A 0
O
Re
a)
b)

第三节 用描述函数法分析非线性系统 非线性系统分析
－描述函数法对系统稳定性、产生自振荡的条件、 自振荡的振幅及频率、消除自振荡的途径等问题, 都 可得出较为符合实际的结果。
R(s) + N(A) 非线性部分
A a
2k a a a 2 N ( A) 1 ( ) arcsin A A A A Y1
-1/N(A)称为描述函数的负倒数特性
Im
1 N ( A)
( A
a ) -1/k
O
Re

1 N ( A)

1 2k a a a 2 arcsin 1 ( ) A A A
则非线性环节输出为：
y1 A1 cos nt B1 sin nt Y1 sin(t 1 ) Y1e
Y1 A1 B1
2 2
j 1
1 arctan
A1 B1
则非线性环节的描述函数为：
N ( A) Y1 Y1 A A1 B1
2 2
e
j 1
1 arctan
A0 0 A1 0 2kA a a a 2 B1 1 ( ) arcsin 2 A A A y (t ) Y1 sin(t 1 ) B1 sin t 2k a a a 2 N ( A) 1 ( ) arcsin 2 A A A
2
A
k 2a 2a N ( A) arcsin(1 ) 2(1 ) 2 A A A1 B1
4ka
1 arctan
arctan
A
(1
a A
) a ( ) A A a
2
系统是有滞后的
k 2a 2a arcsin(1 ) 2(1 ) 2 A A
0 t

2
式中
a arcsin(1
2a A
);

2
t a
a t
k—回环特性的斜率； a—回环特性的宽度。
y(t ) B1 sin t A1 cos t
kA A 2a A 2a B1 arcsin 2 2 A A a ( ) A A a
2
2 2ka( a A) 4ka A1 A A
a A A
N ( A)
Y1 A
e
j 1

B1 A1
2
2
j tan
A 1 B1
e

B1 A
j
A1 A a 4ka a ( ) j (1 ) A A A A a
b. 非线性特性具奇对称特性，且输入输出关系为静特 性。 c. 线性部分应具良好的低通滤波特性。

若满足以上条件，描述函数可定义为非线性环节 输出基波分量与输入正弦量的复数比.
N ( A) Y1 A e
j 1
1—非线性环节输出的基波分量与输入正弦信号的相角差；
A —输入正弦信号的振幅值。
Y1— 非线性环节输出的基波分量幅值；
2b ma 2 a 2 B1 ) 1 ( ) 1 ( A A A1 1


2
y (t ) cos td (t )
2
0


a2
b cos td (t )
a1
2b ma 2 a 2 2ab N ( A) j 1 ( ) 1 ( ) j ( m 1) 2 A A A A A A B1 A1 a A1 B1 ( m 1) A ma 2 a 2 ) 1 ( ) 1 ( A A 1 2b ma 2 a 2 2ab 1 ( ) 1 ( ) j ( m 1) 2 A A A A
2
y (t ) cos ntd (t ) y (t ) sin ntd (t )
0 2
Yn
An Bn
2
2

n arctan
An Bn
0
(1) 假设:非线性特性环节的特性曲线具有中心对称性质， 即y(t) 为奇函数，则A0=0. (2) 忽略高次谐波。
y1 A1 cos nt B1 sin nt y1 sin(t 1 )

式中k—饱和特性线段斜率； a—饱和特性线区的宽度；
arcsin
a A
y(t ) B1 sin nt A1 cos t