初三数学上学期单元练习题及解析：旋转
数学九年级上册 旋转几何综合单元测试卷(含答案解析)
数学九年级上册 旋转几何综合单元测试卷（含答案解析）一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）1．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．【答案】（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【解析】【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点，//PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．2．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若161A E EC=，求n m 的值． （3）如图二，在（2）的条件下，直线AB 上有一点P ，BP=2，点E 是直线DC 上一动点，在BE左侧作矩形BEFG且始终保持BE nBG m=，设AB=33，试探究点E移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）5π；（2）3；（3）存在，63+【解析】【分析】（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出∠ABA1，得到旋转角即可解决问题；（2）由△BCE∽△BA2D2，推出222A DCE nCB A B m==，可得CE=2nm，由161A EEC=-推出16A CEC=，推出A1C=26nm•，推出BH=A1C=26nm•，然后由勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；（3）当A、P、F，D，四点共圆，作PF⊥DF，PF与CD相交于点M，作MN⊥AB，此时PF 的长度为最小值；先证明△FDG∽△FME，得到3FGFFM FED==，再结合已知条件和解直角三角形求出PM和FM的长度，即可得到PF的最小值.【详解】解：（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．∴AD=HA1=n=1，在Rt△A1HB中，∵BA1=BA=m=2，∴BA1=2HA1，∴∠ABA1=30°，∴旋转角为30°， ∵BD=22125+=，∴D 到点D 1所经过路径的长度=30551806ππ⋅⋅=； （2）∵△BCE ∽△BA 2D 2， ∴222A D CE n CB A B m==， ∴2n CE m=， ∵161EA EC =-， ∴16A C EC=， ∴A 1C=26n m⋅， ∴BH=A 1C=2226n m n m -=⋅， ∴42226n m n m-=⋅， ∴m 4﹣m 2n 2=6n 4， ∴242416n n m m-=•， ∴3n m =（负根已舍去）． （3）当A 、P 、F ，D ，四点共圆，作PF ⊥DF ，PF 与CD 相交于点M ，作MN ⊥AB ，此时PF 的长度为最小值；由（2）可知，3BE n BG m ==， ∵四边形BEFG 是矩形，∴3FG FE =， ∵∠DFG+∠GFM=∠GFM+∠MFE=90°，∴∠DFG=∠MFE ，∵DF ⊥PF ，即∠DFM=90°，∴∠FDM+∠GDM=∠FDM+∠DFM=∠FDM+90°，∴∠FDG=∠FME ，∴△FDG ∽△FME ，∴3FG F FM FE D ==，∵∠DFM=90°，tan FD FMD FM ∠==， ∴∠FDM=60°，∠FMD=30°，∴FM DM =；在矩形ABCD 中，有3AD AB ==3AD =， ∵MN ⊥AB ，∴四边形ANMD 是矩形，∴MN=AD=3，∵∠NPM=∠DMF=30°，∴PM=2MN=6，∴NP=AB =，∴DM=AN=BP=2，∴222FM DM ==⨯=∴6PF PM MF =+=+【点睛】本题考查点的运动轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题，中考常考题型．正确作出辅助线，正确确定动点的位置，注意利用数形结合的思想进行解题.3．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 、Q 分别是边AB 、BC 上的两个动点（与点A 、B 、C 不重合），且始终保持BP BQ =，AQ QE ⊥，QE 交正方形外角平分线CE 于点E ，AE 交CD 于点F ，连结PQ ．（1）求证：APQ QCE ∆∆≌；（2）证明：DF BQ QF +=；（3）设BQ x =，当x 为何值时，//QF CE ，并求出此时AQF ∆的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当222x =-+//QF CE ；AQF S ∆442=-+．【解析】【分析】（1）判断出△PBQ 是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE ，再求出AP=CQ ，然后利用“角边角”证明即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ ，判断出△AQE 是等腰直角三角形，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得F AB '∆，再证明()F AQ FAQ SAS '∆∆≌；（3）连结AC ，设QF CE ，推出QCF ∆是等腰直角三角形°，再证明()ABQ ADF SAS ∆∆≌，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF ，AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=︒，分别用x 表示出DF 、CF 、QF ，然后列出方程求出x ，再求出△AQF 的面积．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =，90B BCD DCM ∠=∠=∠=︒，∵BP BQ =，∴PBQ ∆是等腰直角三角形，AP QC =，∴45BPQ ∠=︒，∴135APQ ∠=︒∵CE 平分DCM ∠，∴45DCE ECM ∠=∠=︒，∴135QCE ∠=︒，∴135APQ QCE ∠=∠=︒，∵AQ QE ⊥，∴90AQB CQE ∠+∠=︒．∵90AQB BAQ ∠+∠=︒．∴BAQ CQE ∠=∠．∴()APQ QCE ASA ∆≌．（2）由（1）知APQ QCE ∆∆≌．∴QA QE =．∵90AQE ∠=︒，∴AQE ∆是等腰直角三角形，∴45QAE ∠=︒．∴45DAF QAB ∠+∠=︒，如图4，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得F AB '∆，其中点D 与点B 重合，且点F '在直线BQ 上，则45F AQ '∠=︒，F A FA '=，AQ AQ =，∴()F AQ FAQ SAS '∆∆≌．∴QF QF BQ DF '==+．（3）连结AC ，若QF CE ，则45FQC ECM ∠=∠=︒．∴QCF ∆是等腰直角三角形，∴2CF CQ x ==-，∴DF BQ x ==．∵AB AD =，90B D ∠=∠=︒，∴()ABQ ADF SAS ∆∆≌．∴AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=︒，∴AC 垂直平分QF ，∴22.5QAC FAC QAB FAD ∠=∠=∠=∠=︒，2FQ QN =，∴22FQ BQ x ==．在Rt QCF ∆中，根据勾股定理，得222(2)(2)(2)x x x -+-=．解这个方程，得1222x =-+ 2222x =--（舍去）．当222x =-+时，QF CE ．此时，QCF QEF S S ∆∆=，∴212QCF AQF QEF AQF AQE S S S S S AQ ∆∆∆∆∆+=+==， ∴()2222111222AQF AQE QCF S S S AQ CQ AQ CQ ∆∆∆=-=-=- ()222112(2)4244222x x x x ⎡⎤=+--=⋅==-+⎣⎦ 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于（3）作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列出方程．4．在△AOB 中，C ，D 分别是OA ，OB 边上的点，将△OCD 绕点O 顺时针旋转到△OC′D′． （1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB ，C ，D 分别为OA ，OB 的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB 为任意三角形且∠AOB=θ，CD ∥AB ，AC′与BD′交于点E ，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析【解析】试题分析：（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，由SAS 证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．试题解析：（1）证明：①∵△OCD 旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB ，C 、D 为OA 、OB 的中点，∴OC=OD ，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．5．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现（1）某小组做了有一个角是120︒的等腰三角形DAC和等边三角形GEB纸片，=，让两个三角形如图①放置，点C和点G重合，点D，点E在AB的同侧，AC DA DC和GB 在同一条直线上，点F 为AB 的中点，连接DF ，EF ，则DF 和EF 的数量关系与位置关系为：________；数学思考（2）在图①的基础上，将GEB 绕着C 点按顺时针方向旋转90︒，如图②，试判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，并说明理由；类比探索（3）①将GEB 绕着点C 任意方向旋转，如图③或图④，请问DF 和EF 的数量关系和位置关系改变了吗？无论改变与否，选择图③或图④进行证明；②GEB 绕着点C 旋转的过程中，猜想DF 与EF 的数量关系和位置关系，用一句话表述：________.【答案】（1）3EF DF =，DFEF ； （2）3EF DF =，DFEF ,理由见解析; （3）①3EF DF =，DFEF ;②旋转过程中3EF DF =，DF EF 始终成立.【解析】【分析】 （1）由题意过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，利用等边三角形和中点性质设DM a =，2GB b =，结合相似三角形判定和性质进行综合分析求解； （2）根据题意要求判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，并综合利用垂直平分线定理以及矩形和等边三角形性质与三角函数进行综合分析；（3）①根据题意延长DF 并截取FN DF =，连接NE ，连接NB 并延长交CE 于点P ，交DC 的延长线于点O ，连接DE ，并利用全等三角形判定和性质以及三角函数进行分析证明；②由题意可知结合①猜想可知旋转过程中3EF DF =，DFEF 始终成立. 【详解】解：（1）3EF DF =，DF EF ；如解图，过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，AD CD =，EGB 为等边三角形. AM MC ∴=，GN BN =.又点F 为AB 的中点，AF BF ∴=.()12MF CF NC NB AC AM CB MC NC +=++=+=+∴. MF NC NB ∴==，CF CN FN AM +==.设DM a =，2GB b =，120ADC ∠=︒，DA DC =，3AM a ∴=，3FN a =，MF NC NB b ===.tan 33EGB NE GN GN b =⋅==∠.在DMF 和FNE 中，33DM FN a==， 33MF NE b==， 又90DMF FNE ∠=∠=︒，DMF FNE ∴∽. MDF NFE ∴∠=∠，3DF DM FE FN ==，即3EF DF =. 90MDF DFM ∠+∠=︒，90DFM NFE ∴∠+∠=︒.90DFE ∴∠=︒.3EF DF ∴=且DFEF . （2）3EF DF =，DF EF . 理由如下：如解图，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，当旋转角是90︒时，则90ACB ∠=︒，在Rt ACB △中，点F 是AB 的中点，CF BF ∴=.又CE EB=，EF ∴垂直平分BC.同理，DF 垂直平分AC ，∴四边形LCMF 为矩形，90DFE ∴∠=︒.DF EF ∴⊥，//AC EF .DA DC =，120ADC =∠︒，30DCA ∴∠=︒.GEB 为等边三角形，60ECB ∴∠=︒.∴∠DCA+∠ACB+∠ECB=180^∘ ∴D ，C ，E 三点共线.30DCA DEF ∴∠=∠=︒.∴在Rt DEF △中，3tan 33DE DF F F E DF ===∠； （3）①3EF DF =，DFEF .选择题图进行证明：如解图，延长DF 并截取FN DF =，连接NE ，连接NB 并延长交CE 于点P ，交DC 的延长线于点O ，连接DE ，在ADF 和BNF 中，AF BF AFD BFN DF NF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ADF BNF ∴≅.AD NB ∴=，ADF BNF ∠=∠.//AD NB ∴.18060O ADC ∴∠=︒-∠=︒.又CPO BPE ∠=∠，60O CEB ∠=∠=︒，OCP OBE ∴∠=∠.DCE NBE ∴∠=∠.又GEB 是等边三角形，GE BE ∴=，又AD BN CD ==，()SASDCE NBE∴≅.DE NE∴=，BEN CED∠=∠.BEN BED CED BED∴∠+∠=∠+∠，即60NED BEC∠=∠=︒.DEN∴是等边三角形.又DF FN=，DF EF∴⊥，60FDE∠=︒.tan3E EF DF DFFD∴∠=⋅=.或选择图进行证明，证明如下：如解图，延长DF并延长到点N，使得FN DF=，连接NB，DE，NE，NB与CD 交于点O，EB与CD相交于点J，在ADF 和BNF中，AF BFAFD BFNDF NF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SASADF BNF∴≅.AD NB∴=，ADF BNF∠=∠.//AD NB∴.120NOC ADC∴∠=∠=︒.60BOJ∴∠=︒，60JEC∠=︒.又OJB EJC∠=∠，OBE ECJ∴∠=∠.AD CD=，AD NB=，CD NB∴=.又GEB是等边三角形，CE BE∴=.()SASDCE NBE∴≅.DE NE∴=，BEN CED∠=∠.BEN BED CED BED∴∠-∠=∠-∠，即60NED BEC∠=∠=︒.DEN∴是等边三角形.又DF FN=，DF EF ∴⊥，60FDE ∠=︒.tan 3E E F DF DF FD ∴∠=⋅=.②旋转过程中3EF DF =，DFEF 始终成立.【点睛】本题考查几何图形的综合探究题，难度大，运用数形结合思维分析以及掌握并灵活利用全等三角形判定和性质以及三角函数、相似三角形判定和性质等是解题关键.错因分析：①未掌握旋转的性质，即旋转前后线段、角度均不变；②不能合理利用类比关系，由浅到深解决问题.6．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC ＝∠DAE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ，则BD ＝CE ,(1)在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：(2)如图2，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BDC ＝60°，求证：AD+CD ＝BD ；(3)如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝m°，点E 为△ABC 外一点，点D 为BC 中点，∠EBC ＝∠ACF ，ED ⊥FD ，求∠EAF 的度数（用含有m 的式子表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =12m°. 【解析】 分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC ，只要证明△DAB ≌△EAC 即可；（2）如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE ．首先证明△BDE 是等边三角形，再证明△ABD ≌△CBE 即可解决问题；（3）如图3中，将AE 绕点E 逆时针旋转m°得到AG ，连接CG 、EG 、EF 、FG ，延长ED 到M ，使得DM=DE ，连接FM 、CM ．想办法证明△AFE ≌△AFG ，可得∠EAF=∠FAG=12m°. 详（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE ，∴∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC ，∴BD=EC ．（2）证明：如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE．∵DB=DE ，∠BDC=60°，∴△BDE 是等边三角形，∴∠BD=BE ，∠DBE=∠ABC=60°，∴∠ABD=∠CBE ，∵AB=BC ，∴△ABD ≌△CBE ，∴AD=EC ，∴BD=DE=DC+CE=DC+AD ．∴AD+CD=BD ．（3）如图3中，将AE 绕点E 逆时针旋转m°得到AG ，连接CG 、EG 、EF 、FG ，延长ED 到M ，使得DM=DE ，连接FM 、CM ．由（1）可知△EAB≌△GAC，∴∠1=∠2，BE=CG，∵BD=DC，∠BDE=∠CDM，DE=DM，∴△EDB≌△MDC，∴EM=CM=CG，∠EBC=∠MCD，∵∠EBC=∠ACF，∴∠MCD=∠ACF，∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，∴∠1=3=∠2，∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，∵CF=CF，CG=CM，∴△CFG≌△CFM，∴FG=FM，∵ED=DM，DF⊥EM，∴FE=FM=FG，∵AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG，∴∠EAF=∠FAG=12 m°．点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．7．(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为 .(2)拓展探究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.(3)解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B 的位置的变化,直接写出PC 的范围.【答案】(1) AD=BE ，AD⊥BE．(2) AD=BE ，AD⊥BE．(3) 5-32≤PC≤5+32．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），得AD=BE ，∠EBC=∠CAD ，延长BE 交AD 于点F ，由垂直定义得AD ⊥BE ．（2）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，由垂直定义得∠OHB=90°，AD ⊥BE ；（3）作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，PC=BE ，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE ；当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE ，故5-32≤BE≤5+32.【详解】（1）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图1中，∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠EBC=∠CAD延长BE 交AD 于点F ，∵BC ⊥AD ，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF ，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．∴AD=BE，AD⊥BE．故答案为AD=BE，AD⊥BE．（2）结论：AD=BE，AD⊥BE．理由：如图2中，设AD交BE于H，AD交BC于O．∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE，在Rt△ACD和Rt△BCE中AC BCACD BCECD CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD⊥BE，∴AD=BE，AD⊥BE．（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，∴PC=BE，图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-32，图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+32，∴5-32≤BE≤5+32，即5-32≤PC≤5+32．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．8．如图，矩形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，点B的坐标为（4，m）（5≤m≤7），反比例函数y＝16x（x＞0）的图象交边AB于点D．（1）用m的代数式表示BD的长；（2）设点P在该函数图象上，且它的横坐标为m，连结PB，PD①记矩形OABC面积与△PBD面积之差为S，求当m为何值时，S取到最大值；②将点D绕点P逆时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在x轴上时，求m的值．【答案】（1）BD＝m﹣4（2）①m＝7时，S取到最大值②m＝5【解析】【分析】（1）先确定出点D横坐标为4，代入反比例函数解析式中求出点D横坐标，即可得出结论；（2）①先求出矩形OABC的面积和三角形PBD的面积得出S＝﹣12（m﹣8）2+24，即可得出结论；②利用一线三直角判断出DG＝PF，进而求出点P的坐标，即可得出结论．【详解】解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴AB⊥x轴上，∵点B（4，m），∴点D的横坐标为4，∵点D在反比例函数y＝16x上，∴D（4，4），∴BD＝m﹣4；（2）①如图1，∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，m），∴S矩形OABC＝4m，由（1）知，D（4，4），∴S△PBD＝12（m﹣4）（m﹣4）＝12（m﹣4）2，∴S ＝S 矩形OABC ﹣S △PBD ＝4m ﹣12（m ﹣4）2＝﹣12（m ﹣8）2+24， ∴抛物线的对称轴为m ＝8，∵a ＜0，5≤m≤7，∴m ＝7时，S 取到最大值； ②如图2，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，过点D 作DG ⊥FP 交FP 的延长线于G ，∴∠DGP ＝∠PFE ＝90°，∴∠DPG+∠PDG ＝90°，由旋转知，PD ＝PE ，∠DPE ＝90°，∴∠DPG+∠EPF ＝90°，∴∠PDG ＝∠EPF ，∴△PDG ≌△EPF （AAS ），∴DG ＝PF ，∵DG ＝AF ＝m ﹣4，∴P （m ，m ﹣4），∵点P 在反比例函数y ＝16x， ∴m （m ﹣4）＝16，∴m ＝2+25或m ＝2﹣25（舍）．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定，构造出全等三角形是解本题的关键．9．在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，以点A 为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD ，旋转角为(0180)αα<<，得到矩形AEFG ，点B 、点C 、点D 的对应点分别为点E 、点F 、点G ．()1如图①，当点E 落在DC 边上时，直写出线段EC 的长度为______；()2如图②，当点E 落在线段CF 上时，AE 与DC 相交于点H ，连接AC ，①求证：ACD ≌CAE ；②直接写出线段DH 的长度为______．()3如图③设点P 为边FG 的中点，连接PB ，PE ，在矩形ABCD 旋转过程中，BEP 的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．【答案】（1）23；（2）①见解析；34②；（3）存在，PBE 的面积的最大值为21，理由见解析 【解析】【分析】 ()1如图①中，在Rt ADE 中，利用勾股定理即可解决问题；()2①证明：如图②中，根据HL 即可证明ACD ≌CAE ； ②如图②中，由ACD ≌CAE ，推出ACD CAE ∠∠=，推出AH HC =，设AH HC m ==，在Rt ADH 中，根据222AD DH AH +=，构建方程即可解决问题； ()3存在.如图③中，连接PA ，作BM PE ⊥交PE 的延长线于M.由题意：PF PC 1==，由AG EF 1==，G F 90∠∠==，推出PA PE 2==PBE 12S PE BM 22=⋅⋅=，推出当BM 的值最大时，PBE 的面积最大，求出BM 的最大值即可解决问题；【详解】()1四边形ABCD 是矩形，AB CD 2∴==，BC AD 1==，D 90∠=，矩形AEFG 是由矩形ABCD 旋转得到，AE AB 2∴==，在Rt ADE 中，22DE 213=-=故答案为23-．()2①当点E 落在线段CF 上，AEC ADC 90∠∠∴==，在Rt ADC 和Rt AEC 中，{AC CACD AE ==， Rt ACD ∴≌()Rt CAE HL ；ACD ②≌CAE ，ACD CAE ∠∠∴=，AH HC ∴=，设AH HC m ==，在Rt ADH 中，222AD DH AH +=，2221(2m)m ∴+-=，5m 4∴=， 53DH 244∴=-=， 故答案为34； ()3存在．理由如下：如图③中，连接PA ，作BM PE ⊥交PE 的延长线于M ，由题意：PF PC 1==，AG EF 1==，G F 90∠∠==，PA PE 2∴==PBE 12S PE BM BM 22∴=⋅⋅=， ∴当BM 的值最大时，PBE 的面积最大，BM PB ≤，PB AB PA ≤+，BM22∴≤+，∴的最大值为22BM+，∴的面积的最大值为21PBE+．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．10．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0°< <360°)得到正方形，如图2．①在旋转过程中，当∠是直角时，求的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由．【答案】（1）DE⊥AG （2）①当∠为直角时，α=30°或150°.②315°【解析】分析：（1）延长ED交AG于点H，证明≌，根据等量代换证明结论；（2）根据题意和锐角正弦的概念以及特殊角的三角函数值得到，分两种情况求出的度数；（3）根据正方形的性质分别求出OA和OF的长，根据旋转变换的性质求出AF′长的最大值和此时的度数．详解：如图1，延长ED交AG于点H，点O是正方形ABCD两对角线的交点，，，在和中，，≌，，，，，即；在旋转过程中，成为直角有两种情况：Ⅰ由增大到过程中，当时，，在中，sin∠AGO=，，，，，即；Ⅱ由增大到过程中，当时，同理可求，．综上所述，当时，或．如图3，当旋转到A、O、在一条直线上时，的长最大，正方形ABCD的边长为1，，，，，，，此时．点睛：考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数，旋转变换的性质的综合应用，有一定的综合性，注意分类讨论的思想.。
人教版九年级上册数学《旋转》单元综合测试(带答案)
附加题(20分，不计入总分)
26.如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
(1)试猜想线段BG和AE 数量系是_____;
(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α(0°＜α≤360°)，
人教版数学九年级上学期
《旋转》单元测试
(满分120分，考试用时120分钟)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.下列图形是中心对称图形的是【】
A. B. C. D.
2.观察下列图案，能通过左图顺时针旋转90°得到的()
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，点M(3，－5)关于原点对称的点的坐标是()
8. 如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为()
A. 4，30°B. 2，60°C. 1，30°D. 3，60°
9.如图，在 中， ．将 绕点 按顺时针方向旋转 度后得到 ，此时点 在 边上，斜边 交 边于点 ，则 的大小和图中阴影部分的面积分别为()
C. 黑(3，3)，白(3，1)D. 黑(3，1)，白(3，3)
7.有两个完全重合 矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②……则第10次旋转后得到的图形与图①~④中相同的是().
A 图①B.图②C.图③D.图④
【答案】D
人教版九年级数学上册《旋转》单元测试含答案
人教版九年级数学上册《旋转》单元测试一、单选题（共10题；共30分）1、如图所示，下图可以看作是一个菱形通过几次旋转得到的，每次可能旋转（）。
A、30°B、60°C、90°D、150°2、平面直角坐标系内一点（-3，4）关于原点对称点的坐标是（）A、（3，4）B、（-3，-4 ）C、（3，-4）D、（4，-3)3、如图，在正方形网格中，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则下列旋转方式中，符合题意的是（）A、顺时针旋转90°B、逆时针旋转90°C、顺时针旋转45°D、逆时针旋转45°4、如下图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C ，连结AC并延长到D ，使CD＝CA ，连结BC并延长到E ，使CE＝CB ，连结DE ， A、B的距离为（）A、线段AC的长度B、线段BC的长度C、线段DE长度D、无法判断5、如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为（）A、3B、1.5C、D、6、已知a＜0，则点P（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点P′在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限7、（2016春•无锡校级月考）已知点A（1，x）和点B（y，2）关于原点对称，则一定有（）A、x=﹣2，y=﹣1B、x=2，y=﹣1C、x=﹣2，y=1D、x=2，y=18、有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，…，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（）A、图①B、图②C、图③D、图④9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）A、70°B、80°C、60°D、50°10、如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为（2，1）．如果将矩形0ABC绕点O旋转180°旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点B1的坐标为（）A、（2，1）B、（﹣2，1）C、（﹣2，﹣1）D、（2，﹣l）二、填空题（共8题；共25分）11、已知点P（﹣b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称，则a=________ ，b=________ ．12、如图，在直角坐标系中，点Ａ在y轴上，△OAB是等腰直角三角形，斜边OA=2，将△OAB 绕点O逆时针旋转90°得△，则点的坐标为________13、如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=________ ．14、如图，在△ABC中，∠BAC=35°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，得到△AB′C′，则∠B′AC的度数是________．15、如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是________．16、如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为________．17、如图所示，△ABC中，∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为________．18、有六张分别印有三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为________．三、解答题（共5题；共35分）19、如下图所示，利用关于原点对称的点的坐标特征，作出与线段AB关于原点对称的图形．20、在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．⑴画出△ABC关于点O的中心对称的△A1B1C1；⑵如果建立平面直角坐标系，使点B的坐标为（－5，2），点C的坐标为（－2，2），求点A1的坐标；⑶将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2，并求线段BC扫过的面积.21、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C （1，﹣1）．（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）（1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所经过的路径长．22、如图，将其补全，使其成为中心对称图形．23、如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90゜，得到△A′B′C′，画图，并写出点A的对应点A′的坐标及B点的对应点B′的坐标．四、综合题（共1题；共10分）24、（2012•贺州）如图，△ABC的三个顶点都在格点上，每个小方格边长均为1个单位长度，建立如图坐标系．(1)请你作出△ABC关于点A成中心对称的△AB1C1（其中B的对称点是B1， C的对称点是C1），并写出点B1、C1的坐标．(2)依次连接BC1、C1B1、B1C．猜想四边形BC1B1C是什么特殊四边形？并说明理由．参考答案一、单选题1、【答案】 B【考点】利用旋转设计图案【解析】【解答】设每次旋转角度x°，则6x=360，解得x=60，∴每次旋转角度是60°，故选B.【分析】图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．根据所给出的图，6个角正好构成一个周角，且6个角都相等，即可得到结果．2、【答案】 C【考点】关于原点对称的点的坐标【解析】【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答，故平面直角坐标系内一点P（-3，4)关于原点对称点的坐标（3，-4).【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特征，熟记特征是解题的关键。
(人教版)九年级上册数学《旋转》单元测试题(含答案)
一．选择1. （ 20XX?广东）在以下交通标记中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（））度，才能与自己重合．2. 一个等边三角形绕其旋转中心起码旋转（A． 30°B ． 60°C ． 120XXD ． 180°【评论】本题考察旋转对称图形的观点：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这类图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．3．在平面直角坐标系中，点(3 ，－ 2) 对于原点对称点的坐标是()A．(3,2)B．(－3，－2)C．(－3,2)D．(－3，－2)4.如图，正方形ABCD经过旋转获得正方形AB′C′D′，则旋转的角度为（）A． 30 ° B.45 °C． 60°D． 90°5.在等边三角形、平行四边形、矩形和圆这四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）Ａ．1个Ｂ．2 个Ｃ．3 个Ｄ．4 个【答案】B6. （ 20XX?苏州）如图，△AOB为等腰三角形，极点 A 的坐标（ 2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点 B 按顺时针方向旋转必定角度后得△A′ O′ B′，点A 的对应点A′在x 轴上，则点 O′的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，4）∴O′D=4×=，7. （ 20XX·浙江金华）如图，将Rt △ ABC绕直角极点顺时针旋90°，获得△ A′B′C，连转结 AA′，若∠1=20XX则∠ B 的度数是【】A．70°B．65°C．60°D．55°在 Rt △ ABC中，∠ B=90° - ∠BAC=90°-25 ° =65°【评论】本题考察了旋转的性质和等腰三角形的性质，娴熟掌握旋转的性质是重点8.（ 20XX?天津）如图，在△ ABC 中， AC=BC，点 D、 E 分别是边 AB、AC的中点，将△ ADE 绕点 E 旋转 180°得△ CFE，则四边形ADCF必定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形9.（南通中考）如 Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，且 AC在直 l 上，将△ ABC点 A 旋到①，可获得点P1，此 AP1=2；将地点①的三角形点P1旋到地点②，可获得点P2，此 AP2=2+ 3 ；将地点②的三角形点P2旋到地点③，可获得点P3，此 AP3=3+ 3 ；⋯按此律旋，直到点P20XX止，AP20XX等于（）A． 20XX+6713B． 20XX+6713C． 20XX+6713D． 20XX+671310.（ 20XX?孝感）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（ 5， 3）在边 AB上，以 C为中心，把△ CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点 D′的坐标是（）A．（ 2， 10） B ．（﹣ 2， 0） C ．（ 2，10）或（﹣ 2， 0） D ．（ 10， 2）或（﹣ 2， 0）二．填空题11.（20XX?益阳）如图，将等边△绕极点A 顺时针方向旋转， 使边 AB 与 重合得△ ，ABCACACD的中点E 的对应点为，则∠的度数是．BC F EAF【答案】 60°【考点】旋转的性质【分析】由旋转的性质找到旋转角即可．12（. 20XX 年广东汕尾）如图，把△ ABC 绕点C 按顺时针方向旋转35°，获得△ A ′ B ′ C ，A ′ B ′交 AC 于点D ．若∠ A ′ DC =90°，则∠A =．13. （ 20XX?铁岭）如图，在△ ABC 中， AB=2， BC=3.6，∠ B=60°，将△ ABC 绕点 A 按顺时针旋转必定角度获得△ ADE，当点 B 的对应点 D 恰巧落在BC边上时，则CD的长为．【答案】 1.614.（ 20XX?邵阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点 A（3，4），将 OA绕坐标原点 O 逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是．15.（ 20XX?广东）如图，△ABC绕点A顺时针旋转 45°获得△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中暗影部分的面积等于．∵A B=AC三．解答题16. （ 20XX?毕节）在以下网格图中，每个小正方形的边长均为 1 个单位．在Rt △ ABC中，∠C=90°， AC=3， BC=4．（1）试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；（2）若点 B 的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、 C两点的坐标；（3）依据（ 2）的坐标系作出与△ABC对于原点对称的图形△A2B2C2，并标出B2、C2两点的坐标．17.（ 20XX?扬州）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△ DBE后，再把△ ABC沿射线平移至△ FEG， DF、 FG订交于点 H．（1）判断线段DE、FG的地点关系，并说明原因；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．（2）依据旋转和平移的性质可得找出对应线段和角，而后再证明是矩形，后依据邻边相等可得四边形 CBEG是正方形．【解答】（1）解：FG⊥E D原因：【评论】本题主要考察了图形的旋转和平移，娴熟掌握旋转和平移的性质是解决本题的重点。
九年级上册数学《旋转》单元测试(附答案)
人教版数学九年级上学期《旋转》单元测试(满分120分,考试用时120分钟)一、选择题1.将下面图按顺时针方向旋转90°后得到的是( )A. B. C. D.2.某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛,从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案,你认为符合条件的是( )A. 等腰三角形B. 正三角形C. 等腰梯形D. 菱形3.如图,在4×4的正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1,则其旋转中心可能是( )A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D4.如图,把矩形OABC放在直角坐标系中,OC在x轴上,OA在y轴上,且OC=2,OA=4,把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′,则B′的坐标为( )A. (2,4)B. (-2,4)C. (4,2)D. (2,-4)5.将点P(-2,3)向右平移3个单位得到点P1,点P2与点P1关于原点对称,则P2的坐标是( )A. (-5,-3)B. (1,-3)C. (-1,-3)D. (5,-3)6.在方格纸中,选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑,与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是【】A. ①B. ②C. ③D. ④7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C′使得点A′恰好落在AB 上,则旋转角度为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 150°8.如图,在矩形ABCD中,AD=4,DC=3,将△ADC按逆时针绕点A旋转到△AEF(A、B、E在同一直线上),连接CF,则CF的长为( )A. B. 5 C. 7 D.9.如图,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到△A′B′C,设点A的坐标为(a,b),则点A′的坐标为( )A. (-a,-b)B. (-a,-b-1)C. (-a,-b+1)D. (-a,-b-2)10.如图,在△ABC中,∠CAB=70°．在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,那么∠BAB′的度数为( )A. 30°B. 35°C. 40°D. 50°二、填空题11.如图,五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O至少经过____次旋转而得到的,每一次旋转____度．12.如图,点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上,若是由绕点O按顺时针方向旋转而得到的,则旋转的角度为__．13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2cm．现在将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C′,使得点A′恰好落在AB上,连接BB′,则BB′的长度为_____．14.如图,△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD,若∠A=110°,∠D=40°,则∠的度数是_______15.已知点P(a,-3)和Q(4,b)关于原点对称,则=_____．16.如图,直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′,则点B′的坐标是________．17.如图,在等边△ABC中,D是AC边上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED,若BC=10,BD=9,则△AED的周长是______．18.如图所示,两个边长都为4cm的正方形ABCD和正方形OEFG,O是正方形ABCD的对称中心,则图中阴影部分的面积为_______cm2．三、解答题19. 如图所示,正方形ABCD中,E是CD上一点,F在CB的延长线上,且DE=BF．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)问：将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合,旋转中心是什么？20.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线．(1)画出与△ACD关于点D成中心对称的三角形；(2)找出与AC相等的线段；(3)探究：△ABC中AB与AC的和与中线AD之间有何大小关系？并说明理由．(4)若AB=5,AC=3,求线段AD的长度范围．21.如图,P是矩形ABCD下方一点,将△PCD绕点P顺时针旋转60°后,恰好点D与点A重合,得到△PEA,连接EB,问：△ABE是什么特殊三角形？请说明理由．22.如图,把一副三角板如图①放置,其中,∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6cm,DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图②)．(1)求∠OFE1的度数；(2)求线段AD1的长．23.在△AOB中,C,D分别是OA、OB边上的点,将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．如图,若∠AOB=90°,OA=OB,C,D分别为OA,OB的中点．求证：(1)AC′=BD′；(2)AC′⊥BD．24.平面内有一等腰直角三角板(∠ACB=90°)和一直线MN,过点C作CE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时(如图①),易证：AF+BF=2CE；当三角板绕点A顺时针旋转至图②、图③的位置时,上述结论是否仍然成立？若成立,请给予证明；若不成立,线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想,请直接写出你的猜想,不需证明．参考答案一、选择题1.将下面图按顺时针方向旋转90°后得到的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据旋转的意义,找出图中眼,眉毛,嘴5个关键处按顺时针方向旋转90°后的形状即可选择答案．【详解】根据旋转的意义,图片按顺时针方向旋转90度,即正立状态转为顺时针的横向状态,从而可确定为A 图．故选A．【点睛】本题考查了图形的旋转变化,学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转,旋转多少度,难度不大,但易错．2.某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛,从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案,你认为符合条件的是( )A. 等腰三角形B. 正三角形C. 等腰梯形D. 菱形【答案】D【解析】等腰三角形是轴对称图形,正三角形是轴对称图形,等腰梯形是轴对称图形,菱形既是中心对称图形又是轴对称图形,故选D.3.如图,在4×4的正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1,则其旋转中心可能是( )A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D【答案】B【解析】试题分析:旋转对称图形是指：把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后,与初始的图形重合,这种图形就叫旋转对称图形,这个定点就叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角.按照定义的要求旋转角度=360°/n.A选项中旋转的角度是0°,不成立；B项旋转角度是90°,则n=4,所以符合题目,故选B；C选项中,旋转不成立；D项旋转角度得出n不为整数,所以也不成立.考点：本题考查旋转对称图形,要掌握图形变换的知识.点评：本题难度较大,主要是空间立体要求严格.4.如图,把矩形OABC放在直角坐标系中,OC在x轴上,OA在y轴上,且OC=2,OA=4,把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′,则B′的坐标为( )A. (2,4)B. (-2,4)C. (4,2)D. (2,-4)【答案】C【解析】【分析】根据矩形的特点和旋转的性质来解决．【详解】如图,矩形的对边相等,B′C′=OA=4,A′B′=OC=2,∴点B′的坐标为(4,2)故选C．【点睛】需注意旋转前后线段的长度不变,第一象限内点的符号为(+,+)．5.将点P(-2,3)向右平移3个单位得到点P1,点P2与点P1关于原点对称,则P2的坐标是( )A. (-5,-3)B. (1,-3)C. (-1,-3)D. (5,-3)【答案】C【解析】分析：点P(－2,3)向右平移3个单位得到点P1,则,点与点关于原点对称,则故选C．考点：1、关于原点对称的点的坐标；2、坐标与图形变化——平移．【此处有视频,请去附件查看】6. 在方格纸中,选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑,与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是【】A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】B【解析】根据中心对称图形的概念,中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.因此,通过观察发现,当涂黑②时,所形成的图形关于点A中心对称.故选B.7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C′使得点A′恰好落在AB 上,则旋转角度为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 150°【答案】B【解析】试题分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠A=60°,根据旋转的性质可得AC=A′C,然后判断出△A′AC是等边三角形,根据等边三角形的性质求出∠ACA′=60°,然后根据旋转角的定义即可得旋转角为60°．故选B．考点：旋转的性质．【此处有视频,请去附件查看】8.如图,在矩形ABCD中,AD=4,DC=3,将△ADC按逆时针绕点A旋转到△AEF(A、B、E在同一直线上),连接CF,则CF的长为( )A. B. 5 C. 7 D.【答案】A【解析】【分析】由于△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF,显然△ADC≌△AEF,则有∠EAF=∠DAC,AF=AC,那么∠EAF+∠EAC=∠DAC+∠EAC,即∠FAC=∠BAD=90°．在Rt△ACD中,利用勾股定理可求AC,同理在Rt△FAC中,利用勾股定理可求CF．【详解】∵△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF,∴△ADC≌△AEF,∴∠EAF=∠DAC,AF=AC,∴∠EAF+∠EAC=∠DAC+∠EAC,∴∠FAC=∠BAD,又∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ADC=90°,∴∠FAC=90°,又∵在Rt△ADC中,AC=,∴在Rt△FAC中,CF=．故选A.【点睛】本题利用了勾股定理、全等三角形的性质等知识．9.如图,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到△A′B′C,设点A的坐标为(a,b),则点A′的坐标为( )A. (-a,-b)B. (-a,-b-1)C. (-a,-b+1)D. (-a,-b-2)【答案】D【解析】【分析】设点A的坐标是(x,y),根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称,再根据中点公式列式求解即可．【详解】根据题意,点A、A′关于点C对称,设点A的坐标是(x,y),则=0, =-1,解得x=-a,y=-b-2,∴点A的坐标是(-a,-b-2)．故选D．【点睛】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化,根据旋转的性质得出点A、A′关于点C成中心对称是解题的关键10.如图,在△ABC中,∠CAB=70°．在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,那么∠BAB′的度数为( )A. 30°B. 35°C. 40°D. 50°【答案】C【解析】解：∵CC′∥AB,∠CAB=70°,∴∠C′CA=∠CAB=70°,又∵C、C′为对应点,点A为旋转中心,∴AC=AC′,即△ACC′为等腰三角形,∴∠BAB′=∠CAC′=180°-2∠C′CA=40°．故选C．二、填空题11.如图,五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O至少经过____次旋转而得到的,每一次旋转____度．【答案】四；72【解析】解：根据题意,五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点,这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O至少经过四次旋转而得到,每次旋转的度数为360°除以5,为72度．12.如图,点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上,若是由绕点O按顺时针方向旋转而得到的,则旋转的角度为__．【答案】90°【解析】如图：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得,∴OB=OD,∴旋转的角度是∠BOD的大小,∵∠BOD=90°,∴旋转的角度为90°13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2cm．现在将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C′,使得点A′恰好落在AB上,连接BB′,则BB′的长度为_____．【答案】.【解析】【分析】由题意可得△AA'C是等边三角形,可得旋转角为60°,可得△BCB'是等边三角形,可得∠A'BB'=90°,根据勾股定理可得BB'的长．【详解】∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2cm∴∠A=60°,AB=4,∵△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C′∴A'C=60°,A'B'=4,BC=B'C,∠ACA'=∠BCB'∵AC=A'C,∠A=60°∴△ACA'是等边三角形,∴∠ACA'=60°,AA'=2∴A'B=2,∠BCB'=60°,且BC=CB'∴△BCB'是等边三角形∴∠CBB'=60°∴∠A'BB'=90°∴BB'=2【点睛】本题考查了旋转的性质,等边三角形的性质,勾股定理,关键是证△A'B'B是直角三角形．14.如图,△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD,若∠A=110°,∠D=40°,则∠的度数是_______【答案】50°【解析】试题分析：由旋转的性质知：∠B＝∠D＝40°,根据三角形内角和定理知：∠AOB＝180°－110°－40°＝30°,已知旋转角∠DOB＝80°,则∠α＝∠DOB－∠AOB＝50°．故答案为：50°．点睛：此题主要考查的是旋转的性质,同时还涉及到三角形内角和定理的运用,根据旋转的性质得出∠DOB 和∠AOB的度数是解题的关键．15.已知点P(a,-3)和Q(4,b)关于原点对称,则=_____．【答案】1【解析】【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-x,-y),即关于原点的对称点,横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】∵点P(a,-3)和Q(4,b)关于原点对称,∴a=-4,b=3,∴(a+b)2010=(-1)2010=1．故答案为1．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点,比较简单．16.如图,直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′,则点B′的坐标是________．【答案】(7,3)【解析】令x=0得y=2,则OB=2,令y=0得,x=1,则OA=1,由旋转的性质可知：O′A=1,O′B′=2．则点B′(3,1)．故答案为：(3,1)．点睛：本题考查坐标与图形变化-旋转、30度的直角三角形的性质等知识,解题的关键是从特殊到一般探究规律,发现规律,利用规律解决问题.图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°.17.如图,在等边△ABC中,D是AC边上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED,若BC=10,BD=9,则△AED的周长是______．【答案】19．【解析】试题分析：∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE∴△BDC≌△BAE∴BE=BD,∠DBE=60°,AE=CD∴△DBE是等边三角形∴DE=BD=9∴△AED的周长=DE+AD+AE=DE+AC=19考点：1、旋转的性质；2、等边三角形的性质18.如图所示,两个边长都为4cm的正方形ABCD和正方形OEFG,O是正方形ABCD的对称中心,则图中阴影部分的面积为_______cm2．【答案】4．【解析】【分析】图中阴影部分的面积不在任意的三角形中,所以需构造三角形,设BC与OE相交于M,CD与OG相交于N,连接OC、OB,则易证△OCN≌△OBM,则阴影部分的面积为△OBC的面积．【详解】设BC与OE相交于M,CD与OG相交于N,连接OC、OB,∵正方形ABCD与正方形OEFG的边长均为4cm∴OB=OC=2cm在△OCN和△OBM中,OB=OC,∠OCN=∠OBM=45°,∠CON=∠BOM∴△OCN≌△OBM,∵O是正方形ABCD的对称中心,△OCB的高等于正方形边长的一半,∴S阴影=S△OBC=S正方形=4cm2．故答案为4．【点睛】把阴影部分的面积转化成三角形的面积是解题的关键．三、解答题19. 如图所示,正方形ABCD中,E是CD上一点,F在CB的延长线上,且DE=BF．(1)求证：△ADE≌△AB F；(2)问：将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合,旋转中心是什么？【答案】解：(1)证明：在正方形ABCD中,∠D=∠ABC=90°,∴∠ABF=90°.∴∠D=∠ABF=90°.又∵DE=BF,AD=AB,∴△ADE≌△ABF(SAS).(2)将△ADE顺时针旋转90后与△ABF重合,旋转中心是点A.【解析】试题分析：(1)根据SAS定理,即可证明两三角形全等.(2)将△ADE顺时针旋转后与△ABF重合,A不变,因而旋转中心是A,∠DAB是旋转角,是90度.20.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线．(1)画出与△ACD关于点D成中心对称的三角形；(2)找出与AC相等的线段；(3)探究：△ABC中AB与AC的和与中线AD之间有何大小关系？并说明理由．(4)若AB=5,AC=3,求线段AD的长度范围．【答案】(1)△A′BD即为所求(2)A′B=AC(3)AB+AC＞2AD(4)1＜AD＜4.【解析】【试题分析】(1)根据成中心对称的定义,延长AD到A’,使A’D=AD,点C与点B关于点D对称,连接A’B即可,△A′BD即为所求；(2)根据成中心对称的两个图形对应边相等,得A′B=AC；(3)由(2)得：AB+AC=AB+A′B,根据三角形两边之和大于第三边,得AB+A′B >AA’=2AD,即AB+AC＞2AD；(4)由(3)得,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,得5-3<AA’=2AD<5+3,即2＜2AD＜8,所以1＜AD＜4.【试题解析】(1)如图所示,△A′BD即为所求；(2)A′B=AC；(3)AB+AC＞2AD,理由：由于△A′BD与△ACD关于点D成中心对称,所以AD=A′D,AC=A′B,在△ABA′中,有AB+A′B＞AA′,即AB+AC＞AD+A′D,因此AB+AC＞2AD；(4)由(3)可得,在△ABA′中,有AB-A′B＜AA′＜AB+A′B,即AB-AC＜2AD＜AB+AC,因此有2＜2AD＜8,所以1＜AD＜4.【方法点睛】本题目是一道以成中心对称的两个图形为背景,展开研究,涉及到怎样作一个图形关于某个点的中心对称图形,成中心对称图形的性质,三角形的三边关系,涉及的知识面广,知识点多,难度较大.21.如图,P是矩形ABCD下方一点,将△PCD绕点P顺时针旋转60°后,恰好点D与点A重合,得到△PEA,连接EB,问：△ABE是什么特殊三角形？请说明理由．【答案】解：△ABE是等边三角形.理由如下：……………………………………… 1分由旋转得△PAE≌△PDC∴CD=AE,PD=PA,∠1=∠2……………………3分∵∠DPA=60°∴△PDA是等边三角形…………4分∴∠3＝∠PAD＝60°.由矩形ABCD知,CD＝AB,∠CDA＝∠DAB＝90°.∴∠1＝∠4＝∠2＝30°………………………6分∴AE＝CD＝AB,∠EAB＝∠2+∠4＝60°,∴△ABE为等边三角形…………………………7分【解析】特殊三角形有等腰三角形、等边三角形、直角三角形(等腰直角三角形),此题根据旋转的性质和矩形的性质可知是等边三角形.22.如图,把一副三角板如图①放置,其中,∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6cm,DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图②)．(1)求∠OFE1的度数；(2)求线段AD1的长．【答案】(1)120°；(2)5.【解析】【分析】(1)利用已知得出∠BCO=45°,进而根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数；(2)根据OFE1=∠B+∠1,易得∠OFE1的度数,进而得出∠4=90°,在Rt△AD1O中根据勾股定理就可以求得AD1的长．【详解】(1)如图乙所示,∠BCO=60°-15°=45°,∠BOC=180°-45°-45°=90°；(2)如图乙所示,∵∠3=15°,∠E1=90°,∴∠1=∠2=75°,又∵∠B=45°,∴∠OFE1=∠B+∠1=45°+75°=120°；∴∠D1FO=60°,∵∠CD1E1=30°,∴∠4=90°,又∵AC=BC,∠A=45°即△ABC是等腰直角三角形．∴OA=OB=AB=3cm,∵∠ACB=90°,∴CO=AB=×6=3(cm),又∵CD1=7(cm),∴OD1=CD1-OC=7-3=4(cm),在Rt△AD1O中,AD1=(cm)【点睛】本题主要考查了勾股定理和旋转的性质,能熟练应用勾股定理,并且掌握旋转前后的两个图形完全相等．23.在△AOB中,C,D分别是OA、OB边上的点,将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．如图,若∠AOB=90°,OA=OB,C,D分别为OA,OB的中点．求证：(1)AC′=BD′；(2)AC′⊥BD．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)由旋转的性质得出OC=OC′,OD=OD′,∠AOC′=∠BOD′,证出OC′=OD′,由SAS证明△AOC′≌△BOD′,得出对应边相等即可；(2)由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′,又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°,即可得出结论【详解】(1)∵将△OCD绕点O顺时针旋转到△,∴OC=,OD=,∠=∠．∵OA=OB,C、D为OA,OB的中点,∴OC=OD,∴．在△和△中,,∴△≌△,∴=．(2)延长交于E,交BO于F．∵△≌△,∴∠．又∠AFO=∠BFE,∠,∴∠．∴∠BEA=,∴⊥．【点睛】题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键．24.平面内有一等腰直角三角板(∠ACB=90°)和一直线MN,过点C作CE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时(如图①),易证：AF+BF=2CE；当三角板绕点A顺时针旋转至图②、图③的位置时,上述结论是否仍然成立？若成立,请给予证明；若不成立,线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想,请直接写出你的猜想,不需证明．【答案】图2成立过点C作CD⊥BF,交FB的延长线于点D证出△AEC≌△BDC,∴CE＝CD,AE＝BD证出四边形CEFD是正方形,∴CE＝EF＝DF∴AF＋BF＝AE＋EF＋DF－BD,AF＋BF＝2CE图3不成立应为AF－BF＝2CE【解析】【分析】过B作BH⊥CE与点H,易证△ACE≌△CBH,根据全等三角形的对应边相等,即可证得AF+BF=2CE．【详解】图2,AF+BF=2CE仍成立,证明：过B作BH⊥CE于点H,∵∠BCH+∠ACE=90°,又∵在直角△ACE中,∠ACE+∠CAE=90°,∴∠CAE=∠BCH,又∵AC=BC,∠AEC=∠BHC=90°∴△ACE≌△CBH．∴CH=AE,BF=HE,CE=BH,∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．图3中,过点C作CG⊥BF,交BF延长线于点G,∵AC=BC,可得∠AEC=∠CGB,∠ACE=∠BCG,∴△CBG≌△CAE,∴AE=BG,∵AF=AE+EF,∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF,∴AF-BF=2CE．【点睛】正确作出垂线,构造全等三角形是解决本题的关键．。
九年级数学上册 旋转几何综合单元测试题(Word版 含解析)
九年级数学上册 旋转几何综合单元测试题（Word 版 含解析）一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）1．已知：如图①，在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AE BD ==⊥，垂足是E .点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ．（1）求AF 和BE 的长；（2）若将ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度)．当点F 分别平移到线段AB AD 、上时，直接写出相应的m 的值． （3）如图②，将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ︒<<︒，记旋转中ABF 为''A BF ，在旋转过程中，设''A F 所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ．是否存在这样的P Q 、两点，使DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）129,55AF BF ==；（2）95m =或165m =；（3）存在4组符合条件的点P 、点Q ，使DPQ 为等腰三角形； DQ 的长度分别为2或25891055或35105【解析】【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解； （2）依题意画出图形，如图①-1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m 的值；（3）在旋转过程中，等腰△DPQ 有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=90°，在Rt △ABD 中，AB=3，AD=4，由勾股定理得：2222345AB AD +=+=， ∵S △ABD 12=BD•AE=12AB•AD ，∴AE=AB AD3412 BD55⋅⨯==，∵点F是点E关于AB的对称点，∴AF=AE125=，BF=BE，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AB=3，AE125 =，由勾股定理得：BE2222129355 AB AE⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭；（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①-1所示：由对称点性质可知，∠1=∠2．BF=BE95 =，由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′95 =，①当点F′落在AB上时，∵AB∥A′B′，∴∠3=∠4，根据平移的性质知：∠1=∠4，∴∠3=∠2，∴BB′=B′F′95=，即95m=；②当点F′落在AD上时，∵AB∥A′B′，AB⊥AD，∴∠6=∠2，A′B′⊥AD，∵∠1=∠2，∠5=∠1，∴∠5=∠6，又知A′B′⊥AD，∴△B′F′D为等腰三角形，∴B′D=B′F′95 =，∴BB′=BD-B′D=5-91655=，即m165=；（3）存在．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，∴∠2=∠BAE，∵点F是点E关于AB的对称点，∴∠1=∠BAE，∴∠1=∠2，在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：①如图③-1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，则∠Q=∠DPQ，∴∠2=∠Q+∠DPQ=2∠Q，∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，∴∠3=∠Q，∴A′Q=A′B=3，∴F′Q=F′A′+A′Q=1227355+=，在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：2222927910 BF F Q555⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，∴DQ=BQ-BD=9105 5-；②如图③-2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，则∠2=∠P，∵∠1=∠2，∴∠1=∠P，∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上．∵∠3=∠2，∴∠3=∠1，∴BQ=A′Q，∴F′Q=F′A′-A′Q=125-BQ，在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，即：222 91255BQ BQ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：158 BQ=，∴DQ= BD-BQ=5-1525 88=；③如图③-3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，则∠3=∠4．∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，∴∠4=90°-12∠2．∵∠1=∠2，∴∠4=90°-12∠1，∴∠A′QB=∠4=90°-12∠1，∴∠A′QB=∠A′BQ，∴A′Q=A′B=3，∴F′Q=A′Q-A′F′=3-123 55=，在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=222293310 BF F Q555⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，∴DQ=BQ-BD=3105-；④如图④-4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，则∠2=∠3．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴BQ=BA′=3，∴DQ=BD-BQ=5-3=2．综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形，DQ的长度分别为：2或25891055或35105【点睛】本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点；第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论．2．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．【答案】（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由详见解析；（2）DE＝53．【解析】【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；②根据旋转的性质作辅助线，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G 在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD ＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．【详解】解：（1）∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADC+∠ADG＝90°∴F、D、G共线，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵AF AFEAF GAFAE AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，故答案为：EF＝BE+DF；②成立，理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ADG＝180°，∴C、D、G在一条直线上，与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵AF AFEAF GAFAE AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝BE+DF；（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，由勾股定理得：BC22AB AC+4，如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，则AF ＝AE ，∠FBA ＝∠C ＝45°，∠BAF ＝∠CAE ，∵∠DAE ＝45°，∴∠FAD ＝∠FAB +∠BAD ＝∠CAE +∠BAD ＝∠BAC ﹣∠DAE ＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD ＝∠DAE ＝45°，在△FAD 和△EAD 中AD AD FAD EAD AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FAD ≌△EAD （SAS ），∴DF ＝DE ，设DE ＝x ，则DF ＝x ，∵BC ＝4，∴BF ＝CE ＝4﹣1﹣x ＝3﹣x ，∵∠FBA ＝45°，∠ABC ＝45°，∴∠FBD ＝90°，由勾股定理得：DF 2＝BF 2+BD 2，x 2＝（3﹣x ）2+12，解得：x ＝53， 即DE ＝53． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．3．已知如图1，在ABC 中，90ABC ∠=︒，BC AB =，点D 在AC 上，DF AC ⊥交BC 于F ，点E 是AF 的中点．（1）写出线段ED 与线段EB 的关系并证明；（2）如图2，将CDF 绕点C 逆时针旋转()090a α︒<<︒，其它条件不变，线段ED 与线段EB 的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将CDF 绕点C 逆时针旋转一周，如果6BC =，32CF =，直接写出线段CE 的范围．【答案】（1）ED EB =，DE BE ⊥，证明见解析；（2）结论不变，理由见解析；（3）最大值22=最小值322=． 【解析】【分析】（1）在Rt △ADF 中，可得DE=AE=EF ，在Rt △ABF 中，可得BE=EF=EA ，得证ED=EB ；然后利用等腰三角形的性质以及四边形ADFB 的内角和为180°，可推导得出∠DEB=90°； （2）如下图，先证四边形MFBA 是平行四边形，再证△DCB ≌△DFM ，从而推导出△DMB 是等腰直角三角形，最后得出结论；（3）如下图，当点F 在AC 上时，CE 有最大值；当点F 在AC 延长线上时，CE 有最小值．【详解】（1）∵DF ⊥AC ，点E 是AF 的中点∴DE=AE=EF ，∠EDF=∠DFE∵∠ABC=90°，点E 是AF 的中点∴BE=AE=EF ，∠EFB=∠EBF∴DE=EB∵AB=BC ，∴∠DAB=45°∴在四边形ABFD 中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135°∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB)=360°－2×135°=90°∴DE ⊥EB（2）如下图，延长BE 至点M 处，使得ME=EB ，连接MA 、ME 、MF 、MD 、FB 、DB ，延长MF 交CB 于点H∵ME=EB，点E是AF的中点∴四边形MFBA是平行四边形∴MF∥AB，MF=AB∴∠MHB=180°－∠ABC=90°∵∠DCA=∠FCB=a∴∠DCB=45°+a，∠CFH=90°－a∵∠DCF=45°，∠CDF=90°∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+a∴∠DCB=∠DFM∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形∴DC=DF，BC=AB=MF∴△DCB≌△DFM(SAS)∴∠MDF=∠BDC，DB=DM∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90°∴△DMB是等腰直角三角形∵点E是MB的中点∴DE=EB，DE⊥EB（3）当点F在AC上时，CF有最大值，图形如下：∵BC=6，∴在等腰直角△ABC中，AC=62∵CF=32，∴AF=32∴CE=CF+FE=CF+12AF922=当点F在AC延长线上时，CE有最小值，图形如下：同理，CE=EF－CF322 =【点睛】本题考查三角形的旋转变换，用到了等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，解题关键是构造并证明△BDM是等腰直角三角形．4．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析【解析】试题分析：（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．试题解析：（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴， ∴， ∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE ，∴∠AEB=∠AOB=θ．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．5．综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展教学活动老师给每个小组发了两个等模直角三角形ABC 和DEC ，其中90,2,2ACB DCE AC CD ︒∠=∠===观案发现（1）将两个等腰直角三角形如图①摆放，设DE 的中点是,F AE 的中点是,H BD 的中点是G ，则HFG ∠=______度；操作证明（2）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，使点A C E 、、三点在一条直线上，如图②，其余条件不变，小明通过测量发现，此时FH FG =，请你帮助小明证明这个结论.探究发现（3）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，旋转角为()0180αα︒︒<<，DEC 在旋转的过程中，当直线FH 经过点C 时，如图③，请求出线段FG 的长.（4）在旋转过程中，在Rt ABC 和Rt CDE △中，始终有由,AC BC CE CD ⊥⊥，你在图③中还能发现哪两条线段在旋转过程中始终互相垂直？请找出并直接写出这两条线段.【答案】（1）90；（2）证明见解析；（3）31BD =-；（4）AD BE ⊥【解析】【分析】（1）根据题意，运用中点的性质找到线段之间的位置关系即可求解；（2）根据旋转的性质及等腰三角形ABC 可知()ACD BCE SAS ∆≅∆，进而通过中位线定理即可得到FH FG =；（3）根据旋转的性质及勾股定理，先求出BF 的长，再由BD BF DF =-即可求出BD 的长；（4）根据旋转的性质及垂直的判定可知AD BE ⊥.【详解】（1）,,90CE CD AC BC ECA DCB ==∠=∠=︒，BE AD ∴=，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点，//,//HF AD FG BE ∴，AD BE ⊥，HF GF ∴⊥，90HFG ∴∠=︒；（2）证明：如下图，连接AD BE ，，由旋转可知CE CD =，90ECD ACD ∠=∠=︒，又∵AC=BC ，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点，11,22FH AD FG BE ∴==， FH FG ∴=；（3）解：由题意可得CF DE CFD CFE ⊥∆∆，，都是等腰直角三角形，2CD =1CF DF ∴==，2BC AC ==，223BF BC CF ∴=-=，31BD BF DF ∴=-=-，G 是BD 的中点，31DG -∴=， 31BD BF DF ∴=-=-；（4）AD BE ⊥. 连接AD ，由（3）知，CF DE ⊥，∵ECD ∆是等腰直角三角形，∴F 是ED 中点，又∵H 是AE 中点，∴AD ∥HF ，∵HF ⊥ED ，∴AD BE ⊥.【点睛】本题主要考查了中的的性质，中位线定理，三角形全等，勾股定理等三角形综合证明，熟练掌握三角形的相关知识点是解决本题的关键.错因分析：（1）不能熟练运用重点的性质找到线段之间的关系；（2）未掌握旋转的性质；（3）不能将题目探究中的发现进行推广.6．如图，△ABC 和△DEC 都是等腰三角形，点C 为它们的公共直角顶点，连接AD 、BE ，F 为线段AD 的中点，连接CF ．（1）如图1，当D 点在BC 上时，BE 与CF 的数量关系是__________；（2）如图2，把△DEC 绕C 点顺时针旋转90°，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，把△DEC 绕C 点顺时针旋转一个钝角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如成立，请证明；如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．【答案】（1）BE=2CF ；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据“SAS”证明△ACD≌△BCE，可得AD=BE，又因为AD=2CF，从而BE=2CF；（2）由点F是AD中点，可得AD=2DF，从而AC= 2DF+CD，又由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，可知BC=2DF+CE，所以BE= 2（DF+CE），CF= DF+CD，从而BE=2CF；（3）延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，可证△CDF≌△GAF，再证明△BCE≌△ACG，从而BE=CG=2CF成立.解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD=CE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，在Rt△ACD中，点F是AD中点，∴AD=2CF，∴BE=2CF，故答案为BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由：∵点F是AD中点，∴AD=2DF，∴AC=AD+CD=2DF+CD，∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∴BC=2DF+CE，∴BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2（DF+CE），∵CF=DF+CD=DF+CD，∴BE=2CF；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由：如图3，延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，∵点F是AD中点，∴AF=DF，在△CDF和△GAF中，，∴△CDF≌△GAF，∴AG=CD=CE，∠CDF=∠GAF，∴∠CAG=∠CAD+∠GAF=∠CAD+∠ADC=180°﹣∠ACD，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCE=360°﹣∠ACB﹣∠DCE﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，∴∠CAG=∠BCE，连接BE，在△BCE和△ACG中，，∴△BCE≌△ACG，∴BE=CG=2CF，即：BE=2CF．点睛：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质，考查了学生综合运用知识的能力，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．7．(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为 .(2)拓展探究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.(3)解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．22．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延长BE交AD于点F，由垂直定义得AD⊥BE．（2）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，由垂直定义得∠OHB=90°，AD ⊥BE ；（3）作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，PC=BE ，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE ；当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE ，故5-32≤BE≤5+32.【详解】（1）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图1中，∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠EBC=∠CAD延长BE 交AD 于点F ，∵BC ⊥AD ，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF ，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD ⊥BE ．∴AD=BE ，AD ⊥BE ．故答案为AD=BE ，AD ⊥BE ．（2）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图2中，设AD 交BE 于H ，AD 交BC 于O ．∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE ，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH ，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD ⊥BE ，∴AD=BE ，AD ⊥BE ．（3）如图3中，作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，∴PC=BE ，图3-1中，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值2，图3-2中，当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值2，∴22，即22【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．8．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB2F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）2142y x=-+；（2）2＜m＜223）m=6或m17﹣3．【解析】【分析】（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（20），设抛物线的解析式为24y ax=+，把A（220）代入可得a=12-，由此即可解决问题；（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为()21242y x m=--，由()221421242y xy x m⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y得到222280x mx m-+-=，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(2)428020280m mmm⎧--->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩，解不等式组即可解决问题；（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题．【详解】（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（20），设抛物线的解析式为24y ax =+，把A （22，0）代入可得a =12-， ∴抛物线C 的函数表达式为2142y x =-+． （2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为()21242y x m =--， 由()221421242y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩， 消去y 得到222280x mx m -+-= ，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(2)428020280m m m m ⎧--->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩， 解得2＜m ＜22，∴满足条件的m 的取值范围为2＜m ＜22．（3）结论：四边形PMP ′N 能成为正方形．理由：1情形1，如图，作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，∴PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，∴M （m +2，m ﹣2），∵点M 在2142y x =-+上，∴()212242m m -=-++，解得m 17﹣3173（舍弃），∴m 17﹣3时，四边形PMP ′N 是正方形．情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），把M （m ﹣2，2﹣m ）代入2142y x =-+中，()212242m m -=--+，解得m =6或0（舍弃），∴m =6时，四边形PMP ′N 是正方形．综上所述：m =6或m =17﹣3时，四边形PMP ′N 是正方形．9．如图，矩形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，点B 的坐标为（4，m ）（5≤m ≤7），反比例函数y ＝16x（x ＞0）的图象交边AB 于点D ． （1）用m 的代数式表示BD 的长；（2）设点P 在该函数图象上，且它的横坐标为m ，连结PB ，PD①记矩形OABC 面积与△PBD 面积之差为S ，求当m 为何值时，S 取到最大值； ②将点D 绕点P 逆时针旋转90°得到点E ，当点E 恰好落在x 轴上时，求m 的值．【答案】（1）BD ＝m ﹣4（2）①m ＝7时，S 取到最大值②m ＝5【解析】【分析】（1）先确定出点D 横坐标为4，代入反比例函数解析式中求出点D 横坐标，即可得出结论；（2）①先求出矩形OABC 的面积和三角形PBD 的面积得出S ＝﹣12（m ﹣8）2+24，即可得出结论；②利用一线三直角判断出DG ＝PF ，进而求出点P 的坐标，即可得出结论．【详解】解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴AB⊥x轴上，∵点B（4，m），∴点D的横坐标为4，∵点D在反比例函数y＝16x上，∴D（4，4），∴BD＝m﹣4；（2）①如图1，∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，m），∴S矩形OABC＝4m，由（1）知，D（4，4），∴S△PBD＝12（m﹣4）（m﹣4）＝12（m﹣4）2，∴S＝S矩形OABC﹣S△PBD＝4m﹣12（m﹣4）2＝﹣12（m﹣8）2+24，∴抛物线的对称轴为m＝8，∵a＜0，5≤m≤7，∴m＝7时，S取到最大值；②如图2，过点P作PF⊥x轴于F，过点D作DG⊥FP交FP的延长线于G，∴∠DGP＝∠PFE＝90°，∴∠DPG+∠PDG＝90°，由旋转知，PD＝PE，∠DPE＝90°，∴∠DPG+∠EPF＝90°，∴∠PDG＝∠EPF，∴△PDG≌△EPF（AAS），∴DG＝PF，∵DG＝AF＝m﹣4，∴P（m，m﹣4），∵点P在反比例函数y＝16x，∴m（m﹣4）＝16，∴m＝2+25或m＝2﹣25（舍）．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定，构造出全等三角形是解本题的关键．10．两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．【答案】（1）相等，垂直．（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．【解析】试题分析：（1）证AD=BE，根据三角形的中位线推出FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，即可推出答案；（2）证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；（3）连接BE、AD，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案．试题解析：（1）解：∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，∴FH=12AD ，FH ∥AD ，FG=12BE ，FG ∥BE ， ∴FH=FG ，∵AD ⊥BE ，∴FH ⊥FG ， 故答案为相等，垂直．（2）答：成立，证明：∵CE=CD ，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC ，∴△ACD ≌△BCE∴AD=BE ，由（1）知：FH=12AD ，FH ∥AD ，FG=12BE ，FG ∥BE ， ∴FH=FG ，FH ⊥FG ， ∴（1）中的猜想还成立．（3）答：成立，结论是FH=FG ，FH ⊥FG ．连接AD ，BE ，两线交于Z ，AD 交BC 于X ，同（1）可证∴FH=12AD ，FH ∥AD ，FG=12BE ，FG ∥BE ， ∵三角形ECD 、ACB 是等腰直角三角形，∴CE=CD ，AC=BC ，∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中AC BC ACD BCE CE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ACD ≌△BCE ，∴AD=BE ，∠EBC=∠DAC ，∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB ，∴∠DXB+∠EBC=90°，∴∠EZA=180°﹣90°=90°，即AD ⊥BE ，∵FH∥AD，FG∥BE，∴FH⊥FG，即FH=FG，FH⊥FG，结论是FH=FG，FH⊥FG.【点睛】运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的中位线定理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．。
九年级数学上册旋转运算单元测试题(含答案)
九年级数学上册旋转运算单元测试题(含答案)第一题一个三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 2)，B(5, 6)，C(3, 8)，按顺序连接成三角形ABC。
请你绕原点顺时针旋转90度，得到新的三角形A'B'C'，并写出新三角形的各个顶点坐标。
解答：首先，我们需要知道一个点绕原点顺时针旋转90度的公式为：* 新点的横坐标 = 原点的纵坐标* 新点的纵坐标 = -原点的横坐标按照公式，我们可以得到新的三个顶点坐标：A'(-2, 1)B'(-6, 5)C'(-8, 3)答案：新三角形的各个顶点坐标为A'(-2, 1)，B'(-6, 5)，C'(-8, 3)。
第二题一张正方形纸片的边长为10cm，现把这张正方形纸片按顺时针方向旋转90度，得到新的正方形纸片，问新纸片的边长是多少？解答：当正方形纸片按顺时针方向旋转90度时，边长不会发生变化。
因此，新纸片的边长仍然是10cm。
答案：新纸片的边长是10cm。
第三题已知一个矩形的长为5cm，宽为3cm，现将这个矩形绕一个固定点顺时针旋转180度，得到新的矩形，问新矩形的长和宽分别是多少？解答：当矩形绕固定点顺时针旋转180度时，长和宽不会发生变化。
因此，新矩形的长仍然是5cm，宽仍然是3cm。
答案：新矩形的长是5cm，宽是3cm。
第四题一个正六面体的边长为8cm，现将这个正六面体绕一个固定点顺时针旋转270度，得到新的正六面体，问新正六面体的边长是多少？解答：当正六面体绕固定点顺时针旋转270度时，边长不会发生变化。
因此，新正六面体的边长仍然是8cm。
答案：新正六面体的边长是8cm。
数学九年级上学期《旋转》单元测试(含答案)
九年级上册数学《旋转》单元测试卷（满分120分，考试用时120分钟）一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（2020·扬州市梅岭中学初二期末）下列图形是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2020·江西省初三其他）小明有一个俯视图为等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图所示的九个空格，下面列有积木的四种搭配方式，其中恰好能放人盒中空格的有（ ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种3．（2020·湖北省中考真题）在平面直角坐标系中，点G 的坐标是()2,1-，连接OG ，将线段OG 绕原点O 旋转180︒，得到对应线段OG '，则点G '的坐标为（ ）A ．()2,1-B ．()2,1C ．()1,2-D ．()2,1--4．（2019·山东省初三期末）如图，B A =B C ，∠A B C =80°，将△B D C 绕点B 逆时针旋转至△B EA 处，点E ，A 分别是点D ，C 旋转后的对应点，连接D E ，则∠B ED 为（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°5．（2020·辽宁省初二期末）如图，Rt ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝90°，将Rt ABC 绕点A 按顺时针方向旋转到11AB C △的位置，使得点C 、A 、B 1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°6．（2020·山东省初二期中）如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 在x 轴上，点C 的坐标为（﹣1，0），A C =2．将Rt △ABC 先绕点C 顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A 的对应点坐标是（ ）A ．（2，2）B ．（1，2）C ．（﹣1，2）D ．（2，﹣1）7．（2020·河北省中考真题）如图，将ABC ∆绕边AC 的中点O 顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的CDA ∆与ABC ∆构成平行四边形，并推理如下：点A ，C 分别转到了点C ，A 处，而点B 转到了点D 处．∵CB AD =，∴四边形ABCD 是平行四边形．小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中”∵CB AD =，”和”∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（ ）A ．嘉淇推理严谨，不必补充B ．应补充：且AB CD =，C ．应补充：且//AB CD D ．应补充：且OA OC =，8．（2020·海南省中考真题）如图，在Rt ABC 中， 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（ ）A ．1cmB ．2cmCD ．9．（2020·哈尔滨市萧红中学初三月考）如图，点D 是等边ABC ∆内一点，将BDC ∆以点C 为中心顺时针旋转60︒，得到ACE ∆，连接BE ，若45AEB ∠=︒，则DBE ∠的度数为（ ）A ．25B ．30C ．20D ．1510．（2020·辽宁省初二期中）如图，△A B C 绕点A 顺时针旋转45°得到△A B ′C ′，若∠B A C ＝90°，A B＝A C ，则图中阴影部分的面积等于( )A ．2B ．1CD ﹣l11．（2020·无锡市凤翔实验学校初三月考）如图，平面直角坐标系中，矩形OA B C 的顶点A （﹣6，0），C （0，．将矩形OA B C 绕点O 顺时针方向旋转，使点A 恰好落在OB 上的点A 1处，则点B 的对应点B 1的坐标为（ ）A ．(-B ．(4)-C ．(-D ．(-12．（2020·河南省初二期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC ，边OA ，OC 分别在 x 轴、y 轴上，如果以对角线OB 为边作第二个正方形11OBB C ，再以对角线1OB 为边作第三个正方形122OB B C ，照此规律作下去，则点2020B 的坐标为（ ）A ．10101010(22)-，B ．20202020(22)-，C ．20202020(22)--，D ．10101010(22)--，13．（2020·河南省初三学业考试）如图，在Rt ABC 中，90A ∠=，3AB =，4AC =，D 为A C 中点，P 为A B 上的动点，将P 绕点D 逆时针旋转90得到'P ，连'CP ，线段'CP 最小值为( )A ．1.6B ．2.4C ．2D ．14．（2020·黑龙江省初三月考）如图，已知正方形ABCD ，4=AD ，E 是CD 中点，AF 平分BAE ∠交BC 于点F ，将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得ABG ∆，则下列结论中：①ΔΔABG AED ≅；②ΔΔAEF ABF ≅；③AF 平分GAD ∠；④1GF =；⑤6CF =- ）A ．①③B ．①③⑤C ．①②④⑤D ．①③④二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．（2020·湖南省初一期末）如图，将等边三角形OA B 绕O 点按顺时针方向旋转160°，得到三角形OA ′B ′（点A ′，B ′分别是点A ，B 的对应点），则∠1=_________度；16．（2019·湖南省初三学业考试）如图，P 是等边△A B C 内一点，△B MC 是由△B PA 绕点B 逆时针旋转所得，若MC //B P ，则∠B MC ＝_______°．17．（2020·江苏省初三三模）如图，在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，1），A C 由A B 绕点A 顺时针旋转90°而得，则A C 所在直线的解析式是____.18．（2020·河北省初三二模）在锐角ABC 中，4AB =，5BC =，45ACB ∠=︒ ，将ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到111A B C △．（1）如图1，当点1C 在线段CA 的延长线上时，则11CC A ∠的度数为______________度；（2）如图2，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点1P ，则线段1EP 长度最小值是_____________．三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．（2020·湖南省初一期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△A B C 的顶点均在格点上，O 、M 也在格点上．（1）画出ABC 关于直线OM 对称的111A B C △；（2）画出ABC 绕点O 按顺时针方向旋转90°后所得的222A B C △；(3) 计算：111A B C △的面积为 ;（4）2CC A S 22CC B S (填”>“，”=“或”<“)20．（2020·南通市八一中学初一月考）如图①, 已知△A B C 中, ∠B A C =90°, A B ="A C ," A E 是过A 的一条直线, 且B 、C 在A E 的异侧, B D ⊥A E 于D , C E ⊥A E 于E.(1)求证: B D =D E+C E.(2)若直线A E 绕A 点旋转到图②位置时(B D <C E), 其余条件不变, 问B D 与D E 、C E 的数量关系如何? 请给予证明；(3)若直线A E 绕A 点旋转到图③位置时(B D >C E), 其余条件不变, 问B D 与D E 、C E 的数量关系如何? 请直接写出结果, 不需证明.(4)根据以上的讨论，请用简洁的语言表达B D 与D E,C E 的数量关系．21．（2020·湖北省中考真题）在58⨯的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC 的顶点坐标分别为(0,0)O ，(3,4)A ，(8,4)B ，(5,0)C ．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒，画出对应线段CD ；（2）在线段AB 上画点E ，使45BCE ︒∠=（保留画图过程的痕迹）；（3）连接AC ，画点E 关于直线AC 的对称点F ，并简要说明画法．22．（2020·四川省内江市第六中学初三三模）如图，已知△A B C 中，A B =A C ,把△A B C 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△A D E,连接B D ,C E 交于点F.（1）求证：AEC ADB ∆≅∆;（2）若A B =2，45BAC ︒∠=,当四边形A D FC 是菱形时，求B F 的长．23．（2020·辽宁省初二期末）如图，正方形A B C D 的边长为4，E 是边B C 上的一点，把ABE △平移到DCF ，再把ABE △逆时针旋转到ADG 的位置．(1)把ABE △平移到DCF ，则平移的距离为_______；(2)四边形A EFD 是_______四边形；(3)把ABE △逆时针旋转到ADG 的位置，旋转中心是______点；(4)若连接EG ，求证：AEG △是等腰直角三角形．24．（2020·北京育英中学初三三模）已知40AOB ∠=︒，M 为射线OB 上一定点，1OM =，P 为射线OA 上一动点（不与点O 重合），1OP <，连接PM ，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转40︒，得到线段PN ，连接MN ．（1）依题意补全图1；（2）求证：APN OMP ∠=∠；（3）H 为射线OA 上一点，连接NH ．写出一个OH 的值，使得对于任意的点P 总有OHN ∠为定值，并求出此定值．25．（2020·山东省诸城市树一中学初三二模）如图1，点O 是正方形A B C D 两对角线的交点. 分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG =2OD ，OE =2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连接A G ，D E ．(1)求证：D E ⊥A G ；(2)正方形A B C D 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α角(0°< α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图2． ①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)②若正方形A B C D 的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．26．（2020·长春市新朝阳实验学校初三月考）（教材呈现）下图是华师版八年级下册数学教材第112页的部分内容．例2如图，已知菱形ABCD 的边长为2cm ，120BAD ∠=︒，对角线AC 、BD 相交于点O ．试求这个菱形的两条对角线AC 与BD 的长．（结果保留根号）结合图①，写出求解过程．（应用）（1）如图②，过图①中的点A 分别作AE AD ⊥，AF AB ⊥，连结CE 、CF ，则四边形AECF 的面积为_________．（2）如图③，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，对角线AC 、BD 相交于点O ．将其绕着点O 顺时针旋转90°得到菱形A B C D ''''．若1AB =，则旋转前后两个菱形重叠部分图形的周长为_________．参考答案一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（2020·扬州市梅岭中学初二期末）下列图形是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．[答案]B[解析]解：A 、不是中心对称图形，不符合题意，故选项A 错误；B 、是中心对称图形，符合题意，故选项B 正确；C 、不是中心对称图形，不符合题意，故选项C 错误；D 、不是中心对称图形，符合题意，故选项D 错误；故选：B .2．（2020·江西省初三其他）小明有一个俯视图为等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图所示的九个空格，下面列有积木的四种搭配方式，其中恰好能放人盒中空格的有（ ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种[答案]D [解析]解：∵将搭配①②③④组合在一起，正好能组合成九个空格的形状，∴恰好能放入的有①②③④．故选：D ．3．（2020·湖北省中考真题）在平面直角坐标系中，点G 的坐标是，连接，将线段绕原点O 旋转，得到对应线段，则点的坐标为（ ）()2,1-OG OG 180︒OG 'G 'A ．B ．C ．D ．[答案]A [解析]根据题意可得，与G 关于原点对称，∵点G 的坐标是，∴点的坐标为．故选A ．4．（2019·山东省初三期末）如图，B A =B C ，∠A B C =80°，将△B D C 绕点B 逆时针旋转至△B EA 处，点E ，A 分别是点D ，C 旋转后的对应点，连接D E ，则∠B ED 为（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°[答案]A [解析]∵△B D C 绕点B 逆时针旋转至△B EA 处，点E ，A 分别是点D ，C 旋转后的对应点， ∴∠C B D =∠A B E ，B D =B E ，∵∠A B C =∠C B D +∠A B D ，∠EB D =∠A B E +∠A B D ，∠A B C =80°，∴∠EB D =∠A B C =80°，∵B D =B E ，∴∠B ED =∠B D E=（180°-∠EB D ）=（180°-80°）=50°， 故选：A ．5．（2020·辽宁省初二期末）如图，中，∠B ＝30°，∠C ＝90°，将绕点A 按顺时针方向旋转到的位置，使得点C 、A 、B 1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°()2,1-()2,1()1,2-()2,1--G '()2,1-G '()2,1-1212Rt ABC Rt ABC 11AB C△[答案]C[解析]在中，由旋转的性质得：为旋转角，点C 、A 、在同一条直线上即旋转角等于故选：C ．6．（2020·山东省初二期中）如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 在x 轴上，点C 的坐标为（﹣1，0），A C =2．将Rt △ABC 先绕点C 顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A 的对应点坐标是（ ）A ．（2，2）B ．（1，2）C ．（﹣1，2）D ．（2，﹣1）[答案]A [解析]∵点C 的坐标为（﹣1，0），A C =2，∴点A 的坐标为（﹣3，0），如图所示，将Rt △A B C 先绕点C 顺时针旋转90°，Rt ABC 30,90B C ∠=︒∠=︒9060BAC B ∴∠=︒-∠=︒1CAC ∠1160B AC BAC ∠=∠=︒1B 11118018060120CAC B AC ∠=︒-∠=︒-︒=∴︒120︒则点A ′的坐标为（﹣1，2），再向右平移3个单位长度，则变换后点A ′的对应点坐标为（2，2），故选：A ．7．（2020·河北省中考真题）如图，将绕边的中点顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：点，分别转到了点，处，而点转到了点处．∵，∴四边形是平行四边形．小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中”∵，”和”∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（ ）A ．嘉淇推理严谨，不必补充B ．应补充：且，C ．应补充：且D ．应补充：且， [答案]B[解析]根据旋转的性质得： C B =A D ，A B =C D ，∴四边形A B D C 是平行四边形；故应补充”A B =C D ”，故选：B ．8．（2020·海南省中考真题）如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ）ABC ∆AC O CDA ∆ABC ∆A C C A B D CB AD =ABCD CB AD =AB CD =//AB CD OA OC =Rt ABC 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=Rt ABC A Rt AB C ''△C 'AB BB 'BB 'A ．B ． CD ．[答案]B [解析]解：∵由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，∴ C m ，又∠C A B =90°-∠A B C =90°-30°=60°，由旋转的性质可知：，且，∴为等边三角形，∴．故选：B ．9．（2020·哈尔滨市萧红中学初三月考）如图，点是等边内一点，将以点为中心顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数为（ ）A ．B ．C ．D ．[答案]D [解析]∵，且任意三角形内角和都为180°∴∵为等边三角形∴°∵°1cm 2cm 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒==2=2AB AC '=60∠∠=CAB BAB '=AB AB '∆BAB '==2BB AB D ABC ∆BDC ∆C 60︒ACE ∆BE 45AEB ∠=︒DBE ∠25302015AFE BFC ∠=∠1AEB FBC ACB ∠+∠=∠+∠ABC 60ACB ∠=45AEB ∠=∴∴∵以点C 为中心顺时针旋转60°得到∴∴故选：D10．（2020·辽宁省初二期中）如图，△A B C 绕点A 顺时针旋转45°得到△A B ′C ′，若∠B A C ＝90°，A B ＝A C，则图中阴影部分的面积等于( )A ．2B ．1 CD ﹣l[答案]D [解析]∵△A B C 绕点A 顺时针旋转45°得到△A ′B′C ′，∠B A C =90°，，∴B C =2，∠C =∠B =∠C A C ′=∠C ′=45°，A C ′=，∴A D ⊥B C ，B ′C ′⊥A B ，∴A D = B C =1，A F=FC ′= A C ′=1， ∴D C ′=A C ′-1，14560FBC ︒︒∠+=∠+115FBC ︒∠-∠=BDC ACE △1DBC ∠=∠115DBE DBC FBC FBC ︒∠=∠-∠=∠-∠=122∴图中阴影部分的面积等于：S△A FC ′-S△D EC ′=×1×1-×-1）2-1，故选D .11．（2020·无锡市凤翔实验学校初三月考）如图，平面直角坐标系中，矩形OA B C 的顶点A（﹣6，0），C （0，．将矩形OA B C 绕点O顺时针方向旋转，使点A 恰好落在OB 上的点A 1处，则点B 的对应点B 1的坐标为（）A ．B ．C ． D．[答案]D[解析]解：连接OB 1，作B 1H⊥OA 于H，由题意，得OA =6，则tA n∠B OA =，∴∠B OA =30°，∴∠OB A =60°，由旋转的性质可知∠B 1OB =∠B OA =30°，1212(-(4)-(-(-3ABAO=∴∠B 1OH=60°，在△A OB 和△HB 1O ， ∴△A OB ≌△HB 1O ，∴B 1H=OA =6，∴点B 1的坐标为（6），故选：D ．12．（2020·河南省初二期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为的正方形，边，分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． [答案]D [解析]解：∵正方形OA B C 边长为1，∴，∵正方形OB B1C 1是正方形OA B C 的对角线OB 为边，∴OB 1=2，∴B 1点坐标为（0，2），同理可知OB 2，∴B 2点坐标为（-2，2），同理可知OB 3=4，B 3点坐标为（-4，0），B 4点坐标为（-4，-4），B 5点坐标为（0，-8），111B HO BAO B OH ABO OB OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝，1OABC OA OC x y OB 11OBB C 1OB 122OB B C 2020B 10101010(22)-，20202020(22)-，20202020(22)--，10101010(22)--，B 6（8，-8），B 7（16，0），B 8（16，16），B 9（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来倍，∵2020÷8=252…4，∴B 2020的横纵坐标符号与点B 4相同，横纵坐标互为相反数，且都在第三象限，∴ B 2020的坐标为（-21010，-21010）．故选：D ．13．（2020·河南省初三学业考试）如图，在中，，，，D 为A C 中点，P 为A B 上的动点，将P 绕点D 逆时针旋转得到，连，线段最小值为A ．B ．C ．2D ．[答案]C [解析]如图所示，过P'作P'E ⊥A C 于E ，则∠A =∠P'ED =90°，由旋转可得，D P=P'D ，∠PD P'=90°，∴∠A D P=∠EP'D ，在△D A P 和△P'ED 中，∴△D A P ≌△P'ED （A A S ），Rt ABC 90A ∠=3AB =4AC =90'P 'CP 'CP ()1.6 2.4ADP EP D A P EDDP P D ∠∠'⎧⎪∠∠'⎨⎪'⎩＝＝＝∴P'E=A D =2，∴当A P=D E=2时，D E=D C ，即点E 与点C 重合，此时C P'=EP'=2，∴线段C P′的最小值为2，故选C ．14．（2020·黑龙江省初三月考）如图，已知正方形，，是中点，平分交于点，将绕点顺时针旋转得，则下列结论中：①；②；③平分；④；⑤（）A ．①③B ．①③⑤C ．①②④⑤D ．①③④[答案]B[解析]过点F 作FM ⊥A D 于M ，FN ⊥A G 于N ，如图，∵四边形A B C D 是正方形，，是中点，∴∠D =∠C =∠A B C =90º，B C =A D =C D =A B =4，D E=C E=2，∴四边形C FMD 是矩形，且∴FM=C D =4，∵将绕点顺时针旋转得，∴，故①正确；且A G=A E= B G=D E=2，∠D A E=∠B A G ，∠D =∠B A G=90º，∴点G 在C B 的延长线上，∵平分交于点，∴∠EA F=∠B A F ，∴∠D A E+∠EA F=∠B A G+∠B A F 即∠D A F=∠GA F ，∴平分，故③正确；∴FN=FM=4， ABCD 4=AD E CD AF BAE ∠BC F ADE ∆A 90︒ABG ∆ΔΔABG AED ≅ΔΔAEF ABF ≅AF GAD ∠1GF =+6CF =-4=AD E CD AE =ADE ∆A 90︒ABG ∆ΔΔABG AED ≅AF BAE ∠BC F AF GAD ∠∵， ∴∴B F=，C F=B C +B G-B F=，故⑤正确；又A E≠A B ≠B F,，∴不成立，故②错误，∴正确的序号为①③⑤，故选：B ．二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．（2020·湖南省初一期末）如图，将等边三角形OA B 绕O 点按顺时针方向旋转160°，得到三角形OA ′B ′（点A ′，B ′分别是点A ，B 的对应点），则∠1=_________度；[答案]100[解析]解：∵将等边三角形OA B 绕O 点按顺时针方向旋转160°，得到三角形OA ＇B ＇，∴，，∴，故答案为：100．16．（2019·湖南省初三学业考试）如图，P 是等边△A B C 内一点，△B MC 是由△B PA 绕点B 逆时针旋转所得，若MC //B P ，则∠B MC ＝_______°．1122AGF S GF AB AG FN ===16-ΔΔAEF ABF ≅'160BOB ∠=︒60AOB ∠=︒1'100BOB AOB ∠=∠-∠=︒[答案]120[解析]∵△B MC 是由△B PA 绕点B 逆时针旋转所得，∴，∴，又∵△A B C 是等边三角形，∴，又∵MC //B P ，∴，∴，∴．故答案为．17．（2020·江苏省初三三模）如图，在平面直角坐标系中，A （2，0），B（0，1），A C 由A B 绕点A 顺时针旋转90°而得，则A C 所在直线的解析式是____.[答案][解析]∵A （2，0），B （0，1），∴OA =2，OB =1，过点C 作C D ⊥x 轴于点D△△PBA MBC ≅PBA MBC ∠=∠60PBM MBC PBC ∠=∠+∠=︒MCB PBC ∠=∠+60MBC MCB ∠∠=︒18060120BMC ∠=︒-︒=︒120︒24y x =-则易知△A C D ≌△B A O （A A S ），∴A D =OB =1，C D =OA =2∴C （3，2），设直线A C 的解析式为，将点A 、点C 坐标代入得， ∴， ∴直线A C 的解析式为.故答案为：.18．（2020·河北省初三二模）在锐角中，，， ，将绕点按逆时针方向旋转，得到．（1）如图1，当点在线段的延长线上时，则的度数为______________度；（2）如图2，点为线段中点，点是线段上的动点，在绕点按逆时针方向旋转过程中，点的对应点是点，则线段长度最小值是_____________．[答案]90 [解析]解：（1）由旋转的性质可得：，，，y kx b =+0223k b k b =+⎧⎨=+⎩24k b =⎧⎨=-⎩24y x =-24y x =-ABC 4AB =5BC =45ACB ∠=︒ABC B 111A B C △1C CA 11CC A ∠E AB P AC ABC B P 1P 1EP 21145A C B ACB ∠=∠=︒1BC BC =1145CC B C CB；（2）如图1，过点作，为垂足，为锐角三角形，点在线段上，在中，， 当在上运动，与垂直的时候，绕点旋转，使点的对应点在线段上时，最小，最小值为：； 三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．（2020·湖南省初一期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△A B C 的顶点均在格点上，O 、M 也在格点上．（1）画出关于直线OM 对称的； （2）画出绕点O 按顺时针方向旋转90°后所得的； (3) 计算：的面积为;（4） (填”>“，”=“或”<“)[答案]（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）1.5；（4）＞．[解析]（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求；11111454590CC A CC B AC B B BD AC ⊥D ABC ∆∴D AC Rt BCD ∆52sin 452BD BC P AC BP AC ABC ∆B P 1P AB 1EP 112EP BP BE BD BE =-=-=ABC 111A B C △ABC 222A B C △111A B C △2CC A S 22CC B S（3）△A 1B 1C 1的面积为：2×2-×1×2-×1×2-×1×1=； 故答案为：；（4）如图所示，， ， ∴；故答案为：＞．20．（2020·南通市八一中学初一月考）如图①, 已知△A B C 中, ∠B A C =90°, A B ="A C ," A E 是过A 的一条直线, 且B 、C 在A E 的异侧, B D ⊥A E 于D , C E ⊥A E 于E.(1)求证: B D =D E+C E.(2)若直线A E 绕A 点旋转到图②位置时(B D <C E), 其余条件不变, 问B D 与D E 、C E 的数量关系如何? 请给予证明；1212121.51.5213232CC A S =⨯⨯=2211124241311111222CC B S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=222CC A CC B S S>(3)若直线A E 绕A 点旋转到图③位置时(B D >C E), 其余条件不变, 问B D 与D E 、C E 的数量关系如何? 请直接写出结果, 不需证明.(4)根据以上的讨论，请用简洁的语言表达B D 与D E,C E 的数量关系．[答案](1)、证明过程见解析；(2)、B D =D E –C E ；证明过程见解析；(3)、B D =D E –C E ；(4)、当B ,C 在A E 的同侧时，B D =D E –C E ；当B ,C 在A E 的异侧时，B D =D E+C E.[解析](1)∵B D ⊥A E ，C E ⊥A E∴∠A D B =∠C EA =90°∴∠A B D +∠B A D =90°又∵∠B A C =90°∴∠EA C +∠B A D =90°∴∠A B D =∠C A E在△A B D 与△A C E∴△A B D ≌△A C E∴B D =A E,A D =EC∴B D =D E+C E(2)、∵B D ⊥A E ，C E ⊥A E∴∠A D B =∠C EA =90°∴∠A B D +∠B A D =90°又∵∠B A C =90°∴∠EA C +∠B A D =90°∴∠A B D =∠C A E在△A B D 与△A C E∴△A B D ≌△A C E∴B D =A E,A D =EC∴B D =D E –C E(3)、同理：B D =D E –C EADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(4)、归纳：由（1）（2）（3）可知：当B ,C 在A E 的同侧时，B D =D E –C E ；当B ,C 在A E 的异侧时，∴B D =D E+C E21．（2020·湖北省中考真题）在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为，，，．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段绕点逆时针旋转，画出对应线段；（2）在线段上画点，使（保留画图过程的痕迹）；（3）连接，画点关于直线的对称点，并简要说明画法．[答案]（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析[解析]解：（1）如图示，线段是将线段绕点逆时针旋转得到的；（2）∠B C E 为所求的角，点E 为所求的点.（3）连接（5,0）和（0,5）点，与A C 的交点为F,且F 为所求.58⨯OABC (0,0)O (3,4)A (8,4)B (5,0)C CB C 90︒CD ABE 45BCE ︒∠=AC E ACF CD CB C 90︒22．（2020·四川省内江市第六中学初三三模）如图，已知△A B C 中，A B =A C ,把△A B C 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△A D E,连接B D ,C E 交于点F.（1）求证：;（2）若A B =2，,当四边形A D FC 是菱形时，求B F 的长．[答案]（1）证明过程见解析；（2）-2[解析]（1）∵△A B C ≌△A D E 且A B =A C∴A E=A D ，A B =A C∠B A C +∠B A E=∠D A E+∠B A E∴∠C A E=∠D A B∴△A EC ≌△A D B（3）∵四边形A D FC 是菱形且∠B A C =45°∴∠D B A =∠B A C =45°由（1）得A B =A D∴∠D B A =∠B D A =45°∴△A B D 是直角边长为2的等腰直角三角形∴又∵四边形A D FC 是菱形AEC ADB ∆≅∆45BAC ︒∠=∴A D =D F=FC =A C =A B =2∴-223．（2020·辽宁省初二期末）如图，正方形A B C D 的边长为4，E是边B C 上的一点，把平移到，再把逆时针旋转到的位置．(1)把平移到，则平移的距离为_______；(2)四边形A EFD 是_______四边形；(3)把逆时针旋转到的位置，旋转中心是______点；(4)若连接EG，求证：是等腰直角三角形．[答案]（1）4；（2）平行；（3）A ；（4）证明见解析．[解析]（1）四边形A B C D 是边长为4的正方形由平移的性质可知，平移的距离为故答案为：4；（2）由平移的性质可知，平移距离为，且点在一条直线上又四边形A EFD 是平行四边形故答案为：平行；（3）由旋转的定义得：把逆时针旋转到的位置，旋转中心是A 点故答案为：A ；（4）由旋转的性质得：是等腰三角形，即ABE △DCF ABE△ADGABE△DCFABE△ADGAEG△4,//,90BC AD AD BC BAD∴==∠=︒4BC=4EF BC==,,,B EC F4EF AD∴==//AD BC//AD EF∴∴ABE△ADG,AG AE DAG BAE=∠=∠∴AEG90BAD∠=︒90BAE DAE∠+∠=︒，即是等腰直角三角形．24．（2020·北京育英中学初三三模）已知，M 为射线上一定点，，P 为射线上一动点（不与点O 重合），，连接，以点P 为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接．（1）依题意补全图1；（2）求证：；（3）H 为射线上一点，连接．写出一个的值，使得对于任意的点P 总有为定值，并求出此定值．[答案]（1）见解析；（2）见解析；（3）的值为1，110°[解析]（1）补全图形，如图所示．；（2）证明：根据题意可知，，∵，∴；（3）解：的值为1．在射线上取一点G ，使得，连接，根据题意可知，，在和中 90DAG DAE ∴∠+∠=︒90EAG ∠=︒∴AEG 40AOB ∠=︒OB 1OM =OA 1OP <PM PM 40︒PNMN APN OMP ∠=∠OA NH OH OHN ∠OH 40MPN AOB ∠=∠=︒MPA AOB OMP MPN APN ∠=∠+∠=∠+∠APN OMP ∠=∠OH PA PG OM =GN MP NP =OMP ∆GPN ∆∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．25．（2020·山东省诸城市树一中学初三二模）如图1，点O 是正方形A B C D 两对角线的交点. 分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG =2OD ，OE =2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连接A G ，D E ．(1)求证：D E ⊥A G ；(2)正方形A B C D 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α角(0°< α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图2． ①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)②若正方形A B C D 的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．OM PG OMP GPN MP NP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩OMP GPN ∆∆≌,40OP GN AOB NGP =∠=∠=︒PG OH =OP HG =NG HG =70NHG ∠=︒110OHN ∠=︒[答案]（1）D E⊥A G （2）①当∠OAG′为直角时，α=30°或150°.②315°[解析]解：(1)如图1，延长ED 交A G于点H，∵点O是正方形A B C D 两对角线的交点，∴OA=OD，OA⊥OD，∵OG=OE，在△AOG和△DOE中，{OA=OD∠AOG=∠DOE=90∘OG=OE，∴△AOG≌△DOE，∴∠AGO=∠DEO，∵∠AGO+∠GAO=90∘，∴∠GAO+∠DEO=90∘，∴∠AHE=90∘，即DE⊥AG；(2)①如图2，在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：(Ⅰ)α由0∘增大到90∘过程中，当∠OAG′=90∘时，∵OA=OD=12OG=12OG′，∴在Rt△OAG′中，sin∠A GO=OAOG′=12，∴∠AG′O=30∘，∵OA ⊥OD ，OA ⊥AG′，∴OD//AG′，∴∠DOG′=∠AG′O =30∘，即α=30∘；(Ⅱ)α由90∘增大到180∘过程中，当∠OAG′=90∘时，同理可求∠BOG′=30∘，∴α=180∘−30∘=150∘．综上所述，当∠OAG′=90∘时，α=30∘或150∘．②如图3，当旋转到A 、O 、F′在一条直线上时，AF′的长最大，∵正方形A B C D 的边长为1，∴OA =OD =OC =OB =√22， ∵OG =2OD ，∴OG′=OG =√2，∴OF′=2，∴AF′=AO +OF′=√22+2，∵∠COE′=45∘，∴此时α=315∘．26．（2020·长春市新朝阳实验学校初三月考）（教材呈现）下图是华师版八年级下册数学教材第112页的部分内容．例2如图，已知菱形的边长为，，对角线、相交于点．试求这个菱形的两条对角线与的长．（结果保留根号）ABCD 2cm 120BAD ∠=︒AC BD O AC BD结合图①，写出求解过程．（应用）（1）如图②，过图①中的点分别作，，连结、，则四边形的面积为_________．（2）如图③，在菱形中，，对角线、相交于点．将其绕着点顺时针旋转90°得到菱形．若，则旋转前后两个菱形重叠部分图形的周长为_________．[答案][教材呈现]，A C =2C m ；[应用]（1） C m 2；（2）．[解析]教材呈现：∵四边形是菱形， A AE AD ⊥AF AB ⊥CE CF AECF ABCD 120BAD ∠=︒AC BD O O A B C D ''''1AB =BD =34-ABCD∴，．∴．∴．∴是等边三角形．∴ C m ．∵，∴是直角三角形．∴． ∴ C m ．应用：（1）由[教材呈现]知：是等边三角形 ∵四边形是菱形∴° ∵∴，，° ∵A B =2C m∴同理可得： C m ，° ∴为等边三角形∴C m ∴S 四边形A EC F = A C ∙EF=×22． （2）设与交于点E//AD BC AB BC =180BAD ABC ∠+∠=︒18060ABC BAD ∠=︒-∠=︒ABC ∆2AC AB ==AC BD ⊥AOB BO =2BD BO ==ABC ABCD 1302ABO ABC ∠=∠=AF AB ⊥2BF AF =AB =60AFE ∠=AE =60AEF ∠=AEF 1212AB B C ''由菱形A B C D 性质可知：°∵∴∴∴∴∴∴ ∵菱形A B C D 与菱形的重叠部分是正八边形 ∴其周长为：=． 故答案为：．30EBC BEC AEB EB A ''''∠=∠=∠=∠=,OB OB OA OC ''==AB C B ''=C EB AEB ''≅△△AE EC BC ''==BE=1AB AE BE AE =+==12AE =A B C D ''''182⨯44。
数学九年级上册《旋转》单元综合测试题含答案
13.如图，△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，若∠B＝100°，∠F＝50°，则∠α的度数是________．
14.如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC′=．
A. B. C. D.
6.如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△A′B'C′，连接BB'，若AC′∥BB'，则∠C′AB ′的度数为( )
A.45°B.30°C.20°D.15°
7. 如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为【 】
A. B. C. D.
3.如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=40°，则∠α的度数是()
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
4.下列英文字母是中心对称图形，但不是轴对称图形 是( )
A. NB. DC. WD. O
5.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是()
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3. 如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=40°，则∠α的度数是()
人教版数学九年级上学期
《旋转》单元测试
(满分120分，考试用时120分钟)
人教版数学九年级上学期《旋转》单元综合测试带答案
九年级上册数学《旋转》单元测试卷（满分120分，考试用时120分钟）一、选择题（每小题3分，共36分）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ． 2．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为 A ．30° B ． 90° C ．120° D ．180°3.如图，直角三角板A B C 的斜边A B ＝12 C m ，∠A ＝30°，将三角板A B C 绕点C 顺时针旋转90°至三角板A ′B ′C ′的位置后，再沿C B 方向向左平移，使点B ′落在原三角板A B C 的斜边A B 上，则三角板A ′B ′C ′平移的距离为( )A . 6 C mB . 4C m C . (6－23)C mD . (43－6)C m4．如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ） A ．点M B ．格点N C ．格点P D ．格点Q5．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OA B C 绕点O 顺时针旋转45 后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，那么点2019A 的坐标是( )A ．22,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭B ．(1,0)C ．22,22⎛⎫--⎪⎪⎝⎭D ．(0,1)-6．将一副三角板顶点重合，三角板A B C 绕点A 顺时针转动的过程中，∠EA B 度数符合下列条件时，三角尺不存在一组边平行的是（三角板边A B ＝A E）（）A ．∠EAB ＝30° B ．∠EA B ＝45°C ．∠EA B ＝60°D ．∠EA B ＝75°7．如图，边长相等的两个正方形A B C D 和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，两个正方形的重叠部分四边形OMC N的面积( )A ．不变B ．先增大再减小C ．先减小再增大D ．不断增大8．如图，在坐标系中放置一菱形OA B C ，已知∠A B C =60°，点B 在y轴上，OA =1，先将菱形OA B C 沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B 的落点依次为B 1，B 2，B 3，…，则B 2 019的坐标为( )A ．(1010，0)B ．(1310．5，3．(1345，3) D ．(1346，0)9．如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A 、B 、C 的距离分别为3、4、5，则PAB △的面积为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．310．如图，正方形A B C D 的边长为2，点E ，F 分别在边A D ，C D 上，若∠EB F ＝45°，则△ED F 的周长等于（ ）A ．22B ．3C ．4D ．4211．如图，将一个三角板ABC ∆，绕点A 按顺时针方向旋转60︒，得到ADE ∆，连接BE ，且2AC BC ==，90ACB ∠=︒，则线段BE =（ ）A ．62-B ．6C ．2D ．112．如图，△A B C 中，∠A =30°，∠A C B =90°，B C =2，D 是A B 上的动点，将线段C D 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段C E ，连接B E ，则B E 的最小值是（ ）A ．3-1B ．32C ．3D ．2二、填空题（每小题3分，共18分）13．一副三角板如图放置，将三角板A D E绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板A D E 的一边所在的直线与B C 垂直，则α的度数为__________．14.将边长为1的正方形A B C D 绕点C 按顺时针方向旋转到FEC G的位置（如图），使得点D 落在对角线C F上，EF与A D 相交于点H，则HD ＝．（结果保留根号）15.如图，将等边△A OB 放在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点B 在第一象限，将等边△A OB 绕点O顺时针旋转180°得到△A ′OB ′，则点B ′的坐标是．16.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A 、B ，将直线A B 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C ，则直线B C 的函数表达式是．17．已知两个完全相同的直角三角形纸片△A B C 、△D EF ，如图1放置，点B 、D 重合，点F 在B C 上，A B 与EF 交于点G ．∠C =∠EFB =90°，∠E=∠A B C =30°，现将图1中的△A B C 绕点F 按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△A B C 恰有一边与D E 平行的时间为__________s18.如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E ，正方形EFGH 绕点E 旋转，直线FB 与直线CH 相交于点P ，若2,75AB DBP ︒=∠=，则2DP 的值是____．三、解答题（共46分）19．（6分）△A B C 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示．（1）作△A B C 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 1B 1C 1．（2）将△A B C 向右平移3个单位，作出平移后的△A 2B 2C 2．（3）若点M 是平面直角坐标系中直线A B 上的一个动点，点N 是x 轴上的一个动点，且以O 、A 2、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．20．（8分）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；A ．矩形B ．正五边形C ．菱形D ．正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（）个；A ．0B ．1C ．2D ．3（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．21、（8分）如图，点P是正方形A B C D 内的一点，连接C P，将线段C P绕点C 顺时针旋转90°，得到线段C Q，连接B P，D Q．（1）如图A ，求证：△B C P≌△D C Q；（2）如图，延长B P交直线D Q于点E．①如图B ，求证：B E⊥D Q；②如图C ，若△B C P为等边三角形，判断△D EP 的形状，并说明理由．22．（8分）如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转． ①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．23.（8分）如图，正方形ABCD 中，点P 从点A 出发沿AD 边向点D 运动，到达点D 停止.作射线CP ，将CP 绕着点C 逆时针旋转45°，与AB 边交于点Q ，连接PQ（1）画图，完善图形.（2）三条线段DP ，PQ ，BQ 之间有无确定的数量关系？请说明理由.（3）过点C 作CH PQ ⊥于H .若线段CP 的最大值为4，求点H 运动的路径长.24．（8分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(6,0)A ，点(0,8)B ．以A 点为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点,,O B C 的对应点分别为,,D E F ，记旋转角为(090)αα︒︒＜＜．(1)如图①，当30α︒＝时，求点D 的坐标；(2)如图②，当点E 落在AC 的延长线上时，求点D 的坐标；(3)当点D 落在线段OC 上时，求点E 的坐标（直接写出结果即可）．参考答案一、选择题（每小题3分，共36分）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．[答案]C[解析]A 、不是中心对称图形，本选项错误；B 、不是中心对称图形，本选项错误；C 、是中心对称图形，本选项正确；D 、不是中心对称图形，本选项错误．故选C ．[点睛]本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．2．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为A ．30°B ．90°C ．120°D ．180°[答案]C[解析]∵360°÷3=120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选C ．[点睛]本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．3.如图，直角三角板A B C 的斜边A B ＝12 C m，∠A ＝30°，将三角板A B C 绕点C 顺时针旋转90°至三角板A ′B ′C ′的位置后，再沿C B 方向向左平移，使点B ′落在原三角板A B C 的斜边A B 上，则三角板A ′B ′C ′平移的距离为()A . 6 C mB . 4C m C . (6－23)C mD . (43－6)C m[答案]C[分析]根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出B C ，再利用勾股定理列式求出A C ，然后求出A B ′，过点B ′作B ′D ⊥A C 交A B 于D ，然后解直角三角形求出B ′D 即可．[解析]∵A B =12C m，∠A =30°，∴B C =12A B =12×12=6C m，由勾股定理得，A C =22AB BC-=22126-=63C m，∵三角板A B C 绕点C 顺时针旋转90°得到三角板A ′B ′C ′，∴B ′C ′=B C =6C m，∴A B ′=A C -B ′C ′=63-6，过点B ′作B ′D ⊥A C 交A B 于D ，则B ′D =33A B ′=33×（63-6）=（6-23）C m．故选C ．[点睛]本题考查了平移的性质，旋转变换的性质，解直角三角形，熟练掌握各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．4．如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）A ．点M B ．格点N C ．格点P D ．格点Q[答案]B[分析]此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心．[解析]如图，连接N和两个三角形的对应点；发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；故选B ．[点睛]熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在．5．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OA B C 绕点O 顺时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，那么点2019A 的坐标是( )A ．2222⎛- ⎝⎭B ．(1,0)C ．2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．(0,1)- [答案]A[分析]根据旋转的性质分别求出点A 1、A 2、A 3、…的坐标，继而发现8次为一个循环，用2019除以8，看余数即可求得答案.[解析]四边形OA B C 是正方形，且OA 1=，()A 0,1∴，将正方形OA B C 绕点O 逆时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，∴由勾股定理得：点A 12 A 1的纵坐标为2122A ∴⎝⎭， 继续旋转则()2A 1,0，322A ⎝⎭，A 4(0，-1)，A 522⎛ ⎝⎭，A 6(-1，0)，A 722⎛ ⎝⎭，A 8(0，1)，A 922⎝⎭，......，发现是8次一循环，所以20198252÷= (3)∴点2019A 的坐标为22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故选A ．[点睛]本题考查了旋转的性质，规律题——点的坐标的变化规律，通过分析正确得出坐标的变化规律是解题的关键.6．将一副三角板顶点重合，三角板A B C 绕点A 顺时针转动的过程中，∠EA B 度数符合下列条件时，三角尺不存在一组边平行的是（三角板边A B ＝A E）（）A ．∠EAB ＝30° B ．∠EA B ＝45°C ．∠EA B ＝60°D ．∠EA B ＝75°[答案]C[分析]由旋转的性质和平行线的判定依次判断，可求解．[解析]当∠EA B =30°时．∵∠C A B =90°，∴∠C A E=60°=∠E，∴A C ∥D E，故A 不合题意；当∠EA B =45°，∴∠B A D =45°=∠B ，∴B C ∥A D ，故B 不合题意；当∠EA B =60°时，三角尺不存在一组边平行．当∠EA B =75°时，如图，延长A B 交D E于点M，∴∠B A D =15°，∴∠EMA =∠D +∠MA B =45°=∠A B C ，∴B C ∥D E．故选C ．[点睛]本题考查了旋转的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题的关键．7．如图，边长相等的两个正方形A B C D 和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，两个正方形的重叠部分四边形OMC N的面积( )A ．不变B ．先增大再减小C ．先减小再增大D ．不断增大[答案]A[分析]根据正方形性质得出∠B OC =∠EOG=90°，∠OB C =∠OC D =45°，OB =OC ，求出∠B OM=∠C ON，根据A SA 证△B OM≌△C ON，推出两个正方形的重叠部分四边形OMC N的面积等于S△B OC =14S正方形A B C D，即可得出选项．[解析]∵四边形A B C D 、四边形OEFG是两个边长相等正方形，∴∠B OC =∠EOG=90°，∠OB C =∠OC D =45°，OB =OC ，∴∠B OC -∠C OM=∠EOG-∠C OM，即∠B OM=∠C ON，∵在△B OM和△C ON中BOM CONOB OCOBM OCN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△B OM≌△C ON，∴两个正方形的重叠部分四边形OMC N的面积是S△C OM+S△C NO=S△C OM+S△B OM=S△B OC =14S正方形A B C D ，即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于14S正方形A B C D ，故选A ．[点睛]本题考查了正方形性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△B OM≌△C ON，即△B OM得面积等于△C ON的面积．8．如图，在坐标系中放置一菱形OA B C ，已知∠A B C =60°，点B 在y轴上，OA =1，先将菱形OA B C 沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B 的落点依次为B 1，B 2，B 3，…，则B 2 019的坐标为( )A ．(1010，0)B ．(1310．5，3．(1345，3) D ．(1346，0)[答案]D[分析]连接A C ，根据条件可以求出A C ，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2019=336×6+3，因此点3B 向右平移1344（即3364 ）即可到达点2019B ，根据点3B 的坐标就可求出点2019B 的坐标．[解析]连接A C ，如图所示．∵四边形OA B C 是菱形，∴OA =A B =B C =OC ．∵∠A B C =60°，∴△A B C 是等边三角形．∴A C =A B ．∴A C =OA ．∵OA =1，∴A C =1．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．∵2019=336×6+3，∴点B 3向右平移1344(即336×4)到点B 2019．∵B 3的坐标为(2，0)，∴B 2019的坐标为(1346，0)，故选：D[点睛]本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．9．如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A 、B 、C 的距离分别为3、4、5，则PAB △的面积为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．3[答案]D[分析]将△B PC 绕点B 逆时针旋转60°得△B EA ，根据旋转的性质得B E=B P=4，A E=PC =5，∠PB E=60°，则△B PE 为等边三角形，得到PE=PB =4，∠B PE=60°，在△A EP 中，A E=5，延长B P ，作A F⊥B P于点FA P=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△A PE为直角三角形，且∠A PE=90°，即可得到∠A PB 的度数，在直角△A PF中利用三角函数求得A F的长，根据三角形的面积公式即可得到结论．[解析]∵△A B C 为等边三角形，∴B A =B C ，可将△B PC 绕点B 逆时针旋转60°得△B EA ，连EP，且延长B P，作A F⊥B P于点F．如图，∴B E=B P=4，A E=PC =5，∠PB E=60°，∴△B PE为等边三角形，∴PE=PB =4，∠B PE=60°，在△A EP中，A E=5，A P=3，PE=4，∴A E2=PE2+PA 2，∴△A PE为直角三角形，且∠A PE=90°，∴∠A PB =90°+60°=150°．∴∠A PF=30°，∴在直角△A PF中，A F=12A P=32，∴△PA B 的面积=12PB •A F=12×4×32=3，故选：D ．[点睛]本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．10．如图，正方形A B C D 的边长为2，点E，F分别在边A D ，C D 上，若∠EB F＝45°，则△ED F 的周长等于（）A ．22B ．3C ．4D ．42[答案]C[分析]根据正方形的性质得A B =B C ，∠B A E=∠C =90°，根据旋转的定义，把把△A B E绕点B 顺时针旋转90°可得到△B C G，根据旋转的性质得B G=B E，C G=A E，∠GB E=90°，∠B A E=∠C =90°，∠EB G=∠A B C =90°，于是可判断点G在C B 的延长线上，接着利用“SA S”证明△FB G≌△EB F，得到EF=C F+A E，然后利用三角形周长的定义得到答案．[解析]∵四边形A B C D 为正方形，∴A B ＝B C ，∠B A E ＝∠C ＝90°，∴把△A B E 绕点B 顺时针旋转90°可得到△B C G ，如图，∴B G ＝B E ，C G ＝A E ，∠GB E ＝90°，∠B A E ＝∠C ＝90°，∴点G 在D C 的延长线上， ∵∠EB F ＝45°，∴∠FB G ＝∠EB G ﹣∠EB F ＝45°，∴∠FB G ＝∠FB E ，在△FB G 和△EB F 中，B F ＝B F ，∠FB G ＝∠FB E ，B G ＝B E∴△FB G ≌△FB E （SA S ），∴FG ＝EF ，而FG ＝FC +C G ＝C F +A E ，∴EF ＝C F +A E ，∴△D EF 的周长＝D F +D E +C F +A E ＝C D +A D ＝2+2＝4，故选：C ．[点睛]本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质． 11．如图，将一个三角板ABC ∆，绕点A 按顺时针方向旋转60︒，得到ADE ∆，连接BE ，且2AC BC ==，90ACB ∠=︒，则线段BE =（ ）A ．62-B ．6C ．2D ．1[答案]A[分析]连接BD ，延长BE 交AD 于点F ，根据旋转性质可知A B =A D ，∠D A B =60°，∠A ED =90°，A E=D E=A C =BC =2，由此得出△A BD 为等边三角形，然后进一步通过证明△B AE ≅△B D E 得出∠AB E=∠D B E ，根据等腰三角形“三线合一”可知B F ⊥A D ，且A F=D F ，由此利用勾股定理分别计算出A B 、B F 的长，最后通过B E=B F −EF 进一步计算即可得出答案.[解析]如图，连接BD ，延长BE 交AD 于点F ，由旋转可知，A B =A D ，∠D A B =60°，∠A ED =90°，A E=D E=A C =B C =2，∴△A B D 为等边三角形，∴A B =B D ，在△B A E与△B D E中，∵A E=D E，B A =B D ，B E=B E，∴△B A E≅△B D E（SSS），∴∠A B E=∠D B E，根据等腰三角形“三线合一”可得B F⊥A D ，且A F=D F，∵A C =B C =2，∠A C B =90°，∴A B =222222+=，∴A B =B D =A D =22，∴A F=2，∴B F=226AB AF-=，∵∠A ED =90°，A E=D E，∴∠FA E=45°，∵B F⊥A D ，∴∠FEA =45°，∴EF=A F=2，∴B E=B F−EF=62-，故选：A ．[点睛]本题主要考查了旋转的性质、全等三角形性质及判定和勾股定理与等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.12．如图，△A B C 中，∠A =30°，∠A C B =90°，B C =2，D 是A B 上的动点，将线段C D 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段C E，连接B E，则B E的最小值是（）A ．3-1B ．32C ．3D ．2[答案]A[分析]过点C 作C K⊥A B 于点K，将线段C K绕点C 逆时针旋转90°得到C H，连接HE,延长HE交A B 的延长线于点J；通过证明△C KD ≌△C HE (A SA )，进而证明所构建的四边形C KJH是正方形，所以当点E与点J重合时，B E的值最小，再通过在Rt△C B K中已知的边角条件，即可求出答案.[解析]如图,过点C 作C K ⊥A B 于点K ，将线段C K 绕点C 逆时针旋转90° 得到C H ，连接HE,延长HE 交A B 的延长线于点J ；∵将线段C D 绕点C 逆时针旋转90° ,得到线段C E ∴∠D C E=∠KC H = 90°∵∠EC H=∠KC H - ∠KC E ，∠D C K =∠D C E-∠KC E ∴∠EC H =∠D C K又∵C D = C E ，C K = C H ∴在△C KD 和△C HE 中90ECH DCK CK CHDKC EHC ∠=∠=⎧∠=∠=︒⎪⎨⎪⎩∴△C KD ≌△C HE (A SA ) ∴∠C KD =∠H=90°，C H=C K ∴∠C KJ =∠KC H =∠H=90°∴四边形C KJH 是正方形 ∴C H=HJ=KJ=C 'K∴点E 在直线HJ 上运动，当点E 与点J 重合时，B E 的值最小∵∠A = 30° ∴∠A B C =60°在Rt △C B K 中， B C = 2, ∴勾股定理得：C K =3， B K= = 1∴KJ = C K =3，所以B J = KJ-B K=31-；B E 的最小值为31-.故选A .[点睛]本题主要考查了以线段旋转为载体的求线段最短问题，正方形的构建是快速解答本题的关键.二、填空题（每小题3分，共18分）13．一副三角板如图放置，将三角板A D E 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板A D E 的一边所在的直线与B C 垂直，则α的度数为__________．[答案]15°或45°．[解析]分情况讨论：①当D E⊥B C 时，∠B A D =75°，∴α=90°﹣∠B A D =15°；②当A D ⊥B C 时，∠B A D =45°，即α=45°．故答案为：15°或45°．[点睛]本题主要考查了垂直的定义，旋转的定义以及一副三角板的各个角的度数，理清定义是解答本题的关键．14.将边长为1的正方形A B C D 绕点C 按顺时针方向旋转到FEC G的位置（如图），使得点D 落在对角线C F上，EF与A D 相交于点H，则HD ＝．（结果保留根号）[答案]2﹣1．[解析]∵四边形A B C D 为正方形，∴C D ＝1，∠C D A ＝90°，∵边长为1的正方形A B C D 绕点C 按顺时针方向旋转到FEC G的位置，使得点D 落在对角线C F上，∴C F＝，∠C FD E＝45°，∴△D FH为等腰直角三角形，∴D H＝D F＝C F﹣C D ＝﹣1．故答案为﹣1．[考点]本题主要考查了以正方形旋转为载体的求线段长度.15.如图，将等边△A OB 放在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点B 在第一象限，将等边△A OB 绕点O顺时针旋转180°得到△A ′OB ′，则点B ′的坐标是．[答案]（﹣2，﹣2）．[解析]作B H⊥y轴于H，如图，∵△OA B 为等边三角形，∴OH＝A H＝2，∠B OA ＝60°，∴B H＝OH＝2，∴B 点坐标为（2，2），∵等边△A OB 绕点O顺时针旋转180°得到△A ′OB ′，∴点B ′的坐标是（﹣2，﹣2）．故答案为（﹣2，﹣2）．[考点]本题主要考查了以等边三角形和坐标系旋转为载体的求点的坐标.16.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A 、B ，将直线A B 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C ，则直线B C 的函数表达式是．[答案]y＝x﹣1．[解析]∵一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A 、B ，∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，则x＝1，∴A （，0），B （0，﹣1），∴OA ＝，OB ＝1，过A 作A F⊥A B 交B C 于F，过F作FE⊥x轴于E，∵∠A B C ＝45°，∴△A B F是等腰直角三角形，∴A B ＝A F，∵∠OA B +∠A B O+∠OA B +∠EA F＝90°，∴∠A B O＝∠EA F，∴△A B O≌△A FE（A A S），∴A E＝OB ＝1，EF＝OA ＝，∴F（，﹣），设直线B C 的函数表达式为：y＝kx+B ，∴，∴，∴直线B C 的函数表达式为：y＝x﹣1，故答案为：y＝x﹣1．[考点]本题主要考查了以线段旋转和一次函数为载体的求解析式.17．已知两个完全相同的直角三角形纸片△A B C 、△D EF，如图1放置，点B 、D 重合，点F在B C 上，A B 与EF交于点G．∠C =∠EFB =90°，∠E=∠A B C =30°，现将图1中的△A B C 绕点F按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△A B C 恰有一边与D E平行的时间为___________s[答案]3秒或12秒或15秒[解析]①如图（2），当A C ∥D E时，∵A C ∥D E，∴∠A C B =∠C HD =90°．∵∠E=30°，∴∠D =60°，∴∠HFD =90°-60°=30°，∴t=30°÷10°=3．②如图3，当B C ∥D E时，∵B C ∥ED ，∴∠B FE=∠E=30°，∴∠B FD =30°+90°=120°，∴t=120°÷10=12．③如图4，当B A ∥ED 时，延长D F 交D A 于G ．∵∠E=30°，∴∠D =60°，∵B A ∥ED ，∴∠B GD =180°-∠D =120°，∴∠B FD =∠B +∠B GF=30°+120°=150°，∴t=150°÷10°=15．故答案为3秒或12秒或15秒[点睛]本题主要考查平行线的性质．分三种不同的情况讨论，解题的关键是画出三种情况的图形． 18.如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E ，正方形EFGH 绕点E 旋转，直线FB 与直线CH 相交于点P ，若2,75AB DBP ︒=∠=，则2DP 的值是____．[答案]523+[分析]如图，设EF 交A B 于M ，EH 交B C 于N ，PF 交EH 于O ，作PT ⊥A D 于T 交B C 于R ．首先证明∠C PB ＝90°，求出D T ，PT 即可解决问题．[解析]如图，设EF 交A B 于M ，EH 交B C 于N ，PF 交EH 于O ，作PT ⊥A D 于T 交B C 于R ．∵四边形A B C D 是正方形，∴A C ⊥B D ，A E ＝EB ，∠EA M ＝∠EB N ＝45°，∵四边形EFGH 是正方形，∴∠MEN ＝∠A EB ＝90°，∴∠A EM ＝∠B EN ，∴△A EM ≌△B EN （A SA ），∴A M ＝B N ，EM ＝EN ，∠A ME ＝∠B NE ， ∵A B ＝B C ，EF ＝EH ，∴FM ＝NH ，B M ＝C N ，∵∠FMB ＝∠A ME ，∠C NH ＝∠B NE ，∴∠FMB ＝∠C NH ，∴△FMB ≌△HNC （SA S ），∴∠MFB ＝∠NHC ，∵∠EFO ＋∠EOF ＝90°，∠EOF ＝∠POH ，∴∠POH ＋∠PHO ＝90°，∴∠OPH ＝∠B PC ＝90°， ∵∠D B P ＝75°，∠D B C ＝45°，∴∠C B P ＝30°，∵B C ＝A B ＝2，∴由勾股定理：PB 3PR ＝12PB 3RC ＝12， ∵∠RTD ＝∠TD C ＝∠D C R ＝90°，∴四边形TD C R 是矩形，∴TD ＝C R ＝12，TR ＝C D ＝A B ＝2， 在Rt △PD T 中，PD 2＝D T 2＋PT 2＝2213()(2)5232+=+ 故答案为523+[点睛]本题考查全等三角形的判定和性质，旋转变换，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于常考题型．三、解答题（共46分）19．（6分）△A B C 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示．（1）作△A B C 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 1B 1C 1．（2）将△A B C 向右平移3个单位，作出平移后的△A 2B 2C 2．（3）若点M 是平面直角坐标系中直线A B 上的一个动点，点N 是x 轴上的一个动点，且以O 、A 2、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N 的坐标．[答案]（1）、（2）答案见解析；（3）当OA 2为平行四边形的边时，N点坐标为（﹣3，0）或（2，0），当OA 2为平行四边形的对角线时，N点坐标为（3，0）．[分析]（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A 、B 、C 的对应点A 1、B 1、C 1，从而得到△A 1B 1C 1．（2）利用网格特点和平移的性质画出点A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2，从而得到△A 2B 2C 2．（3）讨论：当OA 2为平行四边形的边时，利用平行四边形的判定和点平移的坐标特征确定N点坐标；当OA 2为平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质和点平移的坐标特征确定N点坐标．[解析]（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；（2）如图，△A 2B 2C 2为所作；（3）当OA 2为平行四边形的边时，N点坐标为（﹣3，0）或（2，0），当OA 2为平行四边形的对角线时，N点坐标为（3，0）．[点睛]本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移的性质和平行四边形的判定．20．（8分）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；A ．矩形B ．正五边形C ．菱形D ．正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（）个；A ．0B ．1C ．2D ．3（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．[答案]（1）B ；（2）(1)(3)(5)；（3）C ；（4）见解析[分析]（1）根据旋转对称图形的定义进行判断；（2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断；（3）根据旋转对称图形的定义进行判断；（4）利用旋转对称图形的定义进行设计．[解析]解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形，故选：B ．（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)．故答案为：(1)(3)(5)．（3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确；②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是旋转对称图形，故②不正确；③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题③正确；即命题中①③正确，故选：C ．（4）图形如图所示：[点睛]本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21、（8分）如图，点P是正方形A B C D 内的一点，连接C P，将线段C P绕点C 顺时针旋转90°，得到线段C Q，连接B P，D Q．（1）如图A ，求证：△B C P≌△D C Q；（2）如图，延长B P交直线D Q于点E．①如图B ，求证：B E⊥D Q；②如图C ，若△B C P为等边三角形，判断△D EP 的形状，并说明理由．[答案]（1）证明见试题解析；（2）①证明见试题解析；②△D EP为等腰直角三角形．[分析]：（1）由旋转的性质得到∠B C P=∠D C Q，即可证明△B C P≌△D C Q；（2）①由全等的性质和对顶角相等即可得到答案；②由等边三角形的性质和旋转的性质求出∠EPD =45°，∠ED P=45°，即可判断△D EP的形状．[解析]（1）∵∠B C D =90°，∠PC Q=90°，∴∠B C P=∠D C Q，在△B C P和△D C Q中，∵B C =C D ，∠B C P=∠D C Q，PC =QC ，∴△B C P≌△D C Q；(2)①如图B , ∵△B C F≌D C Q, ∴∠C B F=∠ED F, 又∠B FC =∠D FE,∴∠D EF=∠B C F=90°，∴B E⊥D Q②∵△B C P为等边三角形，∠B C P=60°，∴∠PC D =30°，又C P=C D ,∠C PD =∠C D P=75° ,又∠B PC =-60° ,∠C D Q =60°，∴∠EPD =45°，∠ED P =45°，∴△D EP 为等腰直角三角形.[考点]1．四边形综合题；2．正方形的性质；3．旋转的性质；4．全等三角形的判定与性质；5．综合题．22．（8分）如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转． ①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．[答案]（1）1；（2）12π；（3）23OF = [分析]（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠A C F =∠EC F =30°，即C F 是∠A C B 的平分线，然后根据角平分线的性质可得点F 到直线CA 的距离即为EF 的长，于是可得答案；（2）①易知E 点和F 点的运动轨迹是分别以C F 和C E 为半径、圆心角为30°的圆弧，据此即可画出旋转后的平面图形；在图3中，先解Rt △C EF 求出C F 和C E 的长，然后根据S 阴影=（S △C EF +S 扇形A C F ）－（S △A C G +S 扇形C EG ）即可求出阴影面积；②作EH ⊥C F 于点H ，如图4，先解Rt △EFH 求出FH 和EH 的长，进而可得C H 的长，设OH=x ，则C O 和OE 2都可以用含x 的代数式表示，然后在Rt △B OC 中根据勾股定理即可得出关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进一步即可求出结果．[解析]（1）∵30BAC ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴∠A C B =60°，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∴∠EC F =∠B A C =30°，EF =B C =1，∴∠A C F =30°，∴∠A C F =∠EC F =30°，∴C F 是∠A C B 的平分线，∴点F 到直线CA 的距离=EF =1；故答案为：1；（2）①线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在Rt △C EF 中，∵∠EC F =30°，EF =1，∴C F =2，C E 3由旋转的性质可得：C F=C A =2，C E=C G 3 A C G =∠EC F =30°，∴S 阴影=（S △C EF +S 扇形A C F ）－（S △A C G +S 扇形C EG ）=S 扇形A C F －S 扇形C EG =2230330236036012πππ⨯⨯-=； 故答案为：12π；②作EH ⊥C F 于点H ，如图4，在Rt △EFH 中，∵∠F =60°，EF =1， ∴13,2FH EH == C H =13222-=， 设OH=x ，则32OC x =-，2222223324OE EH OH x x ⎛=+=+=+ ⎝⎭， ∵OB =OE ，∴2234OB x =+， 在Rt △B OC 中，∵222OB BC OC +=，∴2233142x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭， 解得：16x =，∴112263OF =+=． [点睛]本题考查了旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面积公式、勾股定理和解直角三角形等知识，涉及的知识点多，综合性较强，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想和方程思想是解题的关键．23.（8分）如图，正方形ABCD 中，点P 从点A 出发沿AD 边向点D 运动，到达点D 停止.作射线CP ，将CP 绕着点C 逆时针旋转45°，与AB 边交于点Q ，连接PQ（1）画图，完善图形.（2）三条线段DP ，PQ ，BQ 之间有无确定的数量关系？请说明理由.（3）过点C 作CH PQ ⊥于H .若线段CP 的最大值为4，求点H 运动的路径长.[解析]（1）画图，如图1.（2）DP ，PQ ，BQ 之间有确定的数量关系，PQ DP BQ =+.理由如下：如图1，∵ABCD 是正方形，∴可将DCP ∆绕点C 逆时针旋转90°到BCM ∆. ∴DCP BCM ∆∆≌，90PCM ∠=︒.∴DP BM =，CP CM =，190D ∠=∠=︒.∴Q ，B ，M 在同一条直线上.∵45PCQ ∠=︒，∴45MCQ ∠=︒.∴PCQ MCQ ∠=∠.∵CQ CQ =，∴()SAS PCQ MCQ ∆∆≌.∴PQ MQ =. ∴PQ DP BQ =+.（3）如图2，由（2），2M ∠=∠.∵3190∠=∠=︒，∴(AAS)PCH MCB ∆∆≌.∴CH CB =.当点P 还在点A 处时，CP 是正方形的对角线，此时最长.即正方形的对角线为4. ∴正方形的边长22CB =∴22CH =当点P 从A 到点D 时，点H 从点B 沿圆弧到点D ，圆心角90BCD ∠=︒.∴点H 运动的路径长为1224CB ππ⨯⋅=.24．（8分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(6,0)A ，点(0,8)B ．以A 点为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点,,O B C 的对应点分别为,,D E F ，记旋转角为(090)αα︒︒＜＜．(1)如图①，当30α︒＝时，求点D 的坐标；(2)如图②，当点E 落在AC 的延长线上时，求点D 的坐标；(3)当点D 落在线段OC 上时，求点E 的坐标（直接写出结果即可）．[答案]（1）点D 的坐标为()633,3；（2）点D 的坐标为618,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点E 的坐标为()12,8． [分析](1) 过点D 作DG x ⊥轴于,G 根据已知条件可得出A D =6，再直角三角形A D G 中可求出D G ，A G 的长，即可确定点D 的坐标.(2) 过点D 作DG x ⊥轴于,G DH AE ⊥于H 可得出,GADH HA DG ＝＝，根据勾股定理得出A E 的长为10，再利用面积公式求出D H ，从而求出OG ,D G 的长，得出答案(3) 连接AE ，作EG x ⊥轴于G ，由旋转性质得到,DAE AOC AD AO ∠∠＝＝，从而可证AEG AED AAS ≌（），继而可得出结论.[解析](1)过点D 作DG x ⊥轴于,G ，如图①所示：。
九年级上册数学《旋转》单元测试题(含答案)
人教版数学九年级上学期《旋转》单元测试【考试时间：90分钟满分：120分】一．选择题(共12小题)1．(2020•金平区一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝8,BC＝15,将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△BDE,连结DC交AB于点F,则△ACF与△BDF的周长之和为()A．48B．50C．55D．60 2．(2020•平顶山一模)在平面直角坐标系中,以原点为旋转中心,将点A(4,3)按逆时针方向旋转90°,得到点A′,则点A′的坐标为()A．(4,﹣3)B．(﹣4,1)C．(﹣3,4)D．(3,﹣4) 3．(2020•太原模拟)如图,点A在x轴上,∠OAB＝90°,∠B＝30°,OB＝6,将△OAB绕点O按顺时针方向旋转120°得到△OA'B',则点B'的坐标是()A．(3√3,−3)B．(3,3√3)C．(3√3,3)D．(3,−3√3)4．如图,在平面直角坐标系中,点A(3,0),点B(0,2),连结AB,将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC,连接OC,则线段OC的长度为()A．4B．3√5C．6D．√345．如图,把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A'B'C,当A′B′⊥AC．∠A＝47°,∠A'CB＝128°时,∠B'CA的度数为()A．44°B．43°C．42°D．40°6．如图,已知正方形ABCD的边长为3,如果将线段BD绕着点B旋转后,点D落在CB的延长线上的D′处,那么AD′为()A．6B．3√3C．18D．3√2 7．(2020•滨海新区一模)下列图案,是中心对称图形的有()A．1个B．2个C．3个D．4个8．(2020•武汉模拟)点(﹣3,﹣4)关于原点的中心对称点是()A．(3,4)B．(3,﹣4)C．(﹣3,4)D．(﹣3,﹣4) 9．(2017秋•淮安月考)坐标平面上有P,Q两点,其坐标分别为(b,a)、(﹣b,a),则P、Q两点的位置关系为()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．将P点向左平移b个单位10．已知点P(a,﹣1)和Q(2,b)关于原点对称,则(a+b)2016的值为()A．﹣1B．1C．2D．011．下列说法正确的是()A．平移不改变图形的形状,而旋转则使图形的形状发生改变B．一对对应点与旋转中心的距离相等C．平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小D．由旋转得到的图形也一定可通过平移得到12．如图,已知有下列图形变换：①先向左平移2个单位,再向下平移2个单位；②先向下平移4个单位,再向左平移4个单位；③沿AB方向,平移√32个单位；④以O为旋转中心,按逆时针方向转180°．其中能把点A变换为点B的有()A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题(共6小题)13．如图,在△ABC中,AB＝AC,∠B＝70°,把△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC,若点B恰好落在AB边上D处,则∠1＝°．14．(2020春•江都区期中)已知矩形ABCD,AB＝6,AD＝8,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ(0°＜θ＜360°)得到矩形AEFG,当θ＝°时,GC＝GB．15．(2020•石城县一模)如图,点E为是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置,若四边形AECF的面积为36,DE＝2,则AE的长为．16．若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关予点O成中心对称,若∠A＝80°,AB＝7cm,CO＝9cm,则∠A′＝,A′B′＝cm,CC′＝cm．17．已知点P(3k﹣9,1﹣k)在第三象限,且点P的横纵坐标都是整数,求点P关于y轴对称的点的坐标和与关于原点对称的点的坐标为．18．点P(1,2)关于y轴对称点的坐标是．已知点A和点B(a,﹣b)关于y轴对称,求点A 关于原点的对称点C的坐标．三．解答题(共6小题)19．如图1所示,将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2,宽为1的矩形CEFD拼在一起,构成一个大的矩形ABEF,现将小矩形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′,旋转角为α．(1)当点D′恰好落在EF边上时,求旋转角α的值；(2)如图2,G为BC中点,且0°＜α＜90°,求证：GD′＝E′D．20．如图所示,P是正三角形ABC内一点,P A＝2,PB＝2√3,PC＝4,求BC的长．21．如图,在正方形ABCD中,点P是对角线AC上一点,把△BPC绕着点B逆时针旋转得到△BQA．(1)若AC＝2√2,求四边形APBQ的面积；(2)若PC比AP多2,且△PBQ的面积为5,求正方形ABCD的周长．22．如图所示,过正方形ABCD的顶点A在正方形ABCD的内部作∠EAF＝45°,E、F分别在BC、CD上,连接EF,作AH⊥EF于点H求证：AH＝AB．23．在边长为1的正方形ABCD的边AB上取一点P,边BC上取一点Q,边CD上取一点M,边AD上取一点N,如果AP+AN+CQ+CM＝2,求证：PM⊥QN．24．如图,点O是平行四边形ABCD的对称中心,将直线DB绕点O顺时针方向旋转,交DC、AB于点E、F．(1)证明：△DEO≌△BFO；(2)若DB＝2,AD＝1,AB=√5,当DB绕点O顺时针方向旋转45°时,判断四边形AECF的形状,并说明理由．答案与解析一．选择题(共12小题)1．(2020•金平区一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝8,BC＝15,将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△BDE,连结DC交AB于点F,则△ACF与△BDF的周长之和为()A．48B．50C．55D．60【分析】根据旋转的性质得到BD＝BC＝15,从而得到△BCD为等边三角形,得到CD＝BC ＝CD＝15,在Rt△ACB中,利用勾股定理得到AB＝17,于是得到结论．【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△BDE,∴△ABC≌△BDE,∠CBD＝60°,∴BD＝BC＝15,∴△BCD为等边三角形,∴CD＝BC＝CD＝15,∵AB=√AC2+BC2=√225+64=17,∴△ACF与△BDF的周长之和＝AC+AF+CF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝8+15+15+17＝55,2．(2020•平顶山一模)在平面直角坐标系中,以原点为旋转中心,将点A(4,3)按逆时针方向旋转90°,得到点A′,则点A′的坐标为()A．(4,﹣3)B．(﹣4,1)C．(﹣3,4)D．(3,﹣4)【分析】建立平面直角坐标系,作出图形,然后根据图形写出点B的坐标即可．【解答】解：如图所示,建立平面直角坐标系,点B的坐标为(﹣3,4)．3．(2020•太原模拟)如图,点A在x轴上,∠OAB＝90°,∠B＝30°,OB＝6,将△OAB绕点O按顺时针方向旋转120°得到△OA'B',则点B'的坐标是()A．(3√3,−3)B．(3,3√3)C．(3√3,3)D．(3,−3√3)【分析】根据含30°的直角三角形三边的关系得到OA=12OB＝3,AB=√3OA＝3√3,则B点坐标为(3,3√3),再根据旋转的性质得到∠B′OB＝120°,OB′＝OB＝6,则∠AOB′＝60°,于是可判断点B′和点B关于x轴对称,然后根据关于x轴对称的点的坐标特征写出点B′的坐标．【解答】解：∵∠OAB＝90°,∠B＝30°,OB＝6,∴∠AOB＝60°,OA=12OB＝3,AB=√3OA＝3√3,∴B点坐标为(3,3√3),将△OAB绕点O按顺时针方向旋转120°得到△OA'B',∴∠B′OB＝120°,OB′＝OB＝6,∴∠AOB′＝60°,∴点B′和点B关于x轴对称,∴点B′的坐标为(3,﹣3√3)．4．如图,在平面直角坐标系中,点A(3,0),点B(0,2),连结AB,将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC,连接OC,则线段OC的长度为()A．4B．3√5C．6D．√34【分析】如图,作CH⊥x轴于H．利用全等三角形的性质证明AH＝OB＝2,CH＝OA＝3即可解决问题．【解答】解：如图,作CH⊥x轴于H．∵A(3,0),B(0,2),∴OA＝3,OB＝2,∵∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°,∴∠BAO+∠HAC＝90°,∠HAC+∠ACH＝90°,∴∠BAO＝∠ACH,∵AB＝AC,∴△ABO≌△CAH(AAS),∴AH＝OB＝2,CH＝OA＝3,∴OH＝OA+AH＝3+2＝5,∴C(5,3),∴OC=√OH2+CH2=√52+32=√34,5．如图,把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A'B'C,当A′B′⊥AC．∠A＝47°,∠A'CB＝128°时,∠B'CA的度数为()A．44°B．43°C．42°D．40°【分析】根据旋转的性质可知∠A′＝∠A＝47°,则∠A′CA＝90°﹣47°＝43°,由∠BCB′＝∠A′CA＝43°,则∠B′CA＝∠A′CB﹣∠A′CA﹣∠BCB′可求．【解答】解：根据旋转的性质可知∠A′＝∠A＝47°,∴∠A′CA＝90°﹣47°＝43°．根据旋转的性质可知旋转角相等,即∠BCB′＝∠A′CA＝43°,∴∠B′CA＝∠A′CB﹣∠A′CA﹣∠BCB′＝128°﹣43°﹣43°＝42°．6．如图,已知正方形ABCD的边长为3,如果将线段BD绕着点B旋转后,点D落在CB的延长线上的D′处,那么AD′为()A．6B．3√3C．18D．3√2【分析】在Rt△ABD′中,利用勾股定理解决问题即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形,∴BC＝CD＝3,∠C＝90°,∴BD=√CD2+BC2=√32+32=3√2,在Rt△ABD′中,BD′＝BD＝3√2,AB＝3,∠ABD′＝90°,∴AD′=√AB2+BD′2=√32+(3√2)2=3√3,7．(2020•滨海新区一模)下列图案,是中心对称图形的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据中心对称图形的概念和各图特点作答．【解答】解：第1个是中心对称图形,符合题意；第2个是中心对称图形,符合题意；第3个不是中心对称图形,不符合题意；第4个是中心对称图形,符合题意．8．(2020•武汉模拟)点(﹣3,﹣4)关于原点的中心对称点是()A．(3,4)B．(3,﹣4)C．(﹣3,4)D．(﹣3,﹣4)【分析】两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,根据关于原点对称点的坐标特征得出结论．【解答】解：点(﹣3,﹣4)关于原点的中心对称点为(3,4),9．坐标平面上有P,Q两点,其坐标分别为(b,a)、(﹣b,a),则P、Q两点的位置关系为() A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．将P点向左平移b个单位【分析】关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数,可得答案．【解答】解：坐标分别为(b,a)、(﹣b,a),则P、Q两点的位置关系为关于y轴对称, 10．已知点P(a,﹣1)和Q(2,b)关于原点对称,则(a+b)2016的值为()A．﹣1B．1C．2D．0【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(﹣x,﹣y),可得a、b 的值；【解答】解：由点P(a,﹣1)和Q(2,b)关于原点对称,得a＝﹣2,b＝1．(a+b)2016＝(﹣1)2016＝1．11．下列说法正确的是()A．平移不改变图形的形状,而旋转则使图形的形状发生改变B．一对对应点与旋转中心的距离相等C．平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小D．由旋转得到的图形也一定可通过平移得到【分析】根据平移变换及旋转变换的特点,结合各选项进行判断即可．【解答】解：A、平移、旋转都不改变图形的形状,故本选项错误；B、一对对应点与旋转中心的距离相等,说法正确,故本选项正确；C、平移、旋转都不改变图形的大小,故本选项错误；D、由旋转得到的图形不一定可通过平移得到,故本选项错误．12．如图,已知有下列图形变换：①先向左平移2个单位,再向下平移2个单位；②先向下平移4个单位,再向左平移4个单位；③沿AB方向,平移√32个单位；④以O为旋转中心,按逆时针方向转180°．其中能把点A变换为点B的有()A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据各项变换方法,找到A点变换后点的坐标,与B的坐标比较即可作出判断．【解答】解：A(2,2),B(﹣2,﹣2),由①平移后为(2﹣2,2﹣2),即(0,0),不为B点；由②平移后为(2﹣4,2﹣4),即(﹣2,﹣2),为B点；③：AB=√32,故A平移后变换为B点；④：A与B关于原点对称,故以O为旋转中心,按逆时针方向转180°后能得B点．综上可得能把点A变换为点B的有②③④,共3个．二．填空题(共6小题)13．如图,在△ABC中,AB＝AC,∠B＝70°,把△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC,若点B恰好落在AB边上D处,则∠1＝100°．【分析】根据等腰三角形的性质和旋转的性质是解题的关键．【解答】解：∵AB＝AC,∠B＝70°,∴∠ACB＝∠B＝70°,∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝140°,∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC,∴∠CDE＝∠B＝70°,BC＝CD,∴∠B＝∠BDC＝70°,∴∠ADE＝180°﹣70°﹣70°＝40°,∴∠1＝180°﹣40°﹣40°＝100°,14．(2020春•江都区期中)已知矩形ABCD,AB＝6,AD＝8,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ(0°＜θ＜360°)得到矩形AEFG,当θ＝60或300°时,GC＝GB．【分析】当GB＝GC时,点G在BC的垂直平分线上,分两种情况讨论,依据∠DAG＝60°,即可得到旋转角α的度数．【解答】解：当GB＝GC时,点G在BC的垂直平分线上,分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时,取BC的中点H,连接GH交AD于M,∵GC＝GB,∴GH⊥BC,∴四边形ABHM是矩形,∴AM＝BH=12AD=12AG,∴GM垂直平分AD,∴GD＝GA＝DA,∴△ADG是等边三角形,∴∠DAG＝60°,∴旋转角θ＝60°；②当点G在AD左侧时,同理可得△ADG是等边三角形,∴∠DAG＝60°,∴旋转角θ＝360°﹣60°＝300°．15．(2020•石城县一模)如图,点E为是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置,若四边形AECF的面积为36,DE＝2,则AE的长为2√10．【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积,进而可求出正方形的边长,再利用勾股定理得出答案．【解答】解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置,∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于36,∴AD＝DC＝6,∵DE＝2,∴Rt△ADE中,AE=√AD2+DE2=2√1016．若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关予点O成中心对称,若∠A＝80°,AB＝7cm,CO＝9cm,则∠A′＝80°,A′B′＝7cm,CC′＝18cm．【分析】根据中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形,对应点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分,即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关予点O成中心对称,∴∠A'＝∠A＝80°,A'B'＝AB＝7cm,CC'＝CO+OC'＝2CO＝18cm．17．已知点P(3k﹣9,1﹣k)在第三象限,且点P的横纵坐标都是整数,求点P关于y轴对称的点的坐标和与关于原点对称的点的坐标为(3,﹣1),(3,1)．【分析】首先利用第三象限点的坐标性质和不等式的解法得出k的值,进而利用关于y轴对称的点的坐标和与关于原点对称的点的坐标的特点得出即可．【解答】解：∵点P(3k﹣9,1﹣k)在第三象限,且点P的横纵坐标都是整数,∴{3k−9＜0 1−k＜0,解得：1＜k＜3,∴k＝2,∴P点坐标为：(﹣3,﹣1),∴点P关于y轴对称的点的坐标和与关于原点对称的点的坐标分别为：(3,﹣1),(3,1)．18．点P(1,2)关于y轴对称点的坐标是﹣1,2．已知点A和点B(a,﹣b)关于y轴对称,求点A关于原点的对称点C的坐标a,b．【分析】利用平面内两点关于y轴对称时：纵坐标不变,横坐标互为相反数,先求出点P(1,2)关于y轴对称点的坐标和点A坐标,再利用平面内两点关于关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数,求出点A关于原点的对称点C的坐标．【解答】解：根据平面内两点关于y轴对称时：纵坐标不变,横坐标互为相反数,∴P(1,2)关于y轴对称点的坐标为：(﹣1,2),同理：点A坐标为(﹣a,﹣b),再根据平面内两点关于关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数,∴点A关于原点的对称点C的坐标为(a,b)．三．解答题(共6小题)19．如图1所示,将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2,宽为1的矩形CEFD拼在一起,构成一个大的矩形ABEF,现将小矩形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′,旋转角为α．(1)当点D′恰好落在EF边上时,求旋转角α的值；(2)如图2,G为BC中点,且0°＜α＜90°,求证：GD′＝E′D．【分析】(1)根据旋转的性质得CD′＝CD＝2,在Rt△CED′中,CD′＝2,CE＝1,则∠CD′E＝30°,然后根据平行线的性质即可得到∠α＝30°；(2)由G为BC中点可得CG＝CE,根据旋转的性质得∠D′CE′＝∠DCE＝90°,CE＝CE′CE,则∠GCD′＝∠DCE′＝90°+α,然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△E′CD,则GD′＝E′D．【解答】(1)解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′,∴CD′＝CD＝2,在Rt△CED′中,CD′＝2,CE＝1,∴∠CD′E＝30°,∵CD∥EF,∴∠α＝30°；(2)证明：∵G为BC中点,∴CG＝1,∴CG＝CE,∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′,∴∠D′CE′＝∠DCE＝90°,CE＝CE′＝CG,∴∠GCD′＝∠DCE′＝90°+α,在△GCD ′和△E ′CD 中{CD′=CD ∠GCD′=∠DCE′GC =E′C,∴△GCD ′≌△E ′CD (SAS ),∴GD ′＝E ′D ．20．如图所示,P 是正三角形ABC 内一点,P A ＝2,PB ＝2√3,PC ＝4,求BC 的长．【分析】先根据等边三角形的性质得CB ＝CA ,∠ACB ＝90°,则利用旋转的定义,可把△CP A 绕点C 逆时针旋转60°得到△CDB ,如图,作CH ⊥BD 于H ,再根据旋转的性质得CD ＝CP ═4,∠PCD ＝60°,BD ＝AP ＝2,于是可判断△CPD 为等边三角形,得到∠PDC ＝60°,PD ＝CP ＝4,在△PDB 中,利用勾股定理的逆定理得到∠PDB ＝90°,根据直角三角函数求得∠PDB ＝60°,然后根据平角定义可计算出∠CDH ＝60°,在Rt △CDH 中,利用含30度的直角三角形三边的关系得DH =12CD ＝2,DH =√32CD ＝2√3,则BH ＝BD +DH ＝4,接着在Rt △BCH 中,利用勾股定理计算出BC 2＝28,即可求得BC 的长．【解答】解：∵△ABC 为等边三角形,∴CB ＝CA ,∠ACB ＝60°,∴把△CP A 绕点C 逆时针旋转60°可得到△CDB ,如图,作CH ⊥BD 于H ,∴CD ＝CP ＝4,∠PCD ＝60°,BD ＝AP ＝2,∴△CPD 为等边三角形,∴∠PDC ＝60°,PD ＝CP ＝4,在△PDB中,PB＝2√3,BD＝2,PD＝4,∵22+(2√3)2＝42,∴BD2+PB2＝PD2,∴△PDB为直角三角形,∴∠PBD＝90°,∵cos∠PDB=BDPD=12,∴∠PDB＝60°,∴∠CDH＝180°﹣60°﹣60°＝60°,在Rt△CDH中,DH=12CD＝2,CH=√32CD＝2√3,∴BH＝BD+DH＝2+2＝4,在Rt△BCH中,BC2＝BH2+CH2＝42+(2√3)2＝28,∴BC＝2√7．21．如图,在正方形ABCD中,点P是对角线AC上一点,把△BPC绕着点B逆时针旋转得到△BQA．(1)若AC＝2√2,求四边形APBQ的面积；(2)若PC比AP多2,且△PBQ的面积为5,求正方形ABCD的周长．【分析】(1)根据正方形的性质得AB=√22AC＝2,则可计算出S△ABC＝2,再根据旋转的性质得S△BQA＝S△BPC,于是可利用S四边形APBQ＝S△BQA+S△BAP＝S△BPC+S△BAP＝S△ABC求解；(2)设AP＝x,则PC＝x+2,利用正方形的性质得∠BAC＝∠ACB＝45°,∠ABC＝90°,AC=√2AB,再根据旋转的性质得∠PBQ＝∠ABC＝90°,BP＝BQ,AQ＝PC＝x+2,∠BAQ＝∠BCA＝45°,则可判断△PBQ为等腰直角三角形,利用△PBQ的面积为5可计算出PQ＝2√5,再证明∠QAP＝90°,则利用勾股定理得到x2+(x+2)2＝(2√5)2,解得x1＝2,x2＝﹣4(舍去),则AP＝2,PC＝4,然后利用正方形的性质可得AB的长,从而可计算出正方形的周长．【解答】解：(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AC=√2AB,∴AB=√22×2√2=2,∴S△ABC=12×2×2＝2,∵△BPC绕着点B逆时针旋转得到△BQA,∴S△BQA＝S△BPC,∴S四边形APBQ＝S△BQA+S△BAP＝S△BPC+S△BAP＝S△ABC＝2；(2)设AP＝x,则PC＝x+2,∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAC＝∠ACB＝45°,∠ABC＝90°,AC=√2AB,∵△BPC绕着点B逆时针旋转得到△BQA,∴∠PBQ＝∠ABC＝90°,BP＝BQ,AQ＝PC＝x+2,∠BAQ＝∠BCA＝45°,∴△PBQ 为等腰直角三角形,∵△PBQ 的面积为5,∴12PB 2＝5,解得PB =√10, ∴PQ =√2PB ＝2√5,∵∠BAQ +∠BAC ＝45°+45°＝90°,即∠QAP ＝90°,∴AP 2+AQ 2＝PQ 2,即x 2+(x +2)2＝(2√5)2,解得x 1＝2,x 2＝﹣4(舍去),∴AP ＝2,PC ＝4,∴AC ＝6,∴AB =√22×6＝3√2,∴正方形ABCD 的周长＝4AB ＝12√2．22．如图所示,过正方形ABCD 的顶点A 在正方形ABCD 的内部作∠EAF ＝45°,E 、F 分别在BC 、CD 上,连接EF ,作AH ⊥EF 于点H求证：AH ＝AB ．【分析】将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ,根据旋转的性质可得DF ＝BG ,AF ＝AG ,∠DAF ＝∠BAG ,然后求出∠EAF ＝∠EAG ＝45°,再利用“边角边”证明△AEF 和△AEG 全等,根据全等三角形对应边上的高相等可得AH ＝AB ．【解答】证明：将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ,由旋转的性质得,DF ＝BG ,AF ＝AG ,∠DAF ＝∠BAG ．∵∠F AG ＝∠BAG +∠BAF ＝∠DAF +∠BAF ＝∠BAD ＝90°,∠EAF ＝45°,∴∠EAF ＝∠EAG ＝45°．在△AEF 和△AEG 中,{AF =AG ∠EAF =∠EAG AE =AE,∴△AEF ≌△AEG (SAS ),∵AH 、AB 分别是△AEF 和△AEG 对应边上的高,∴AH ＝AB ．23．在边长为1的正方形ABCD 的边AB 上取一点P ,边BC 上取一点Q ,边CD 上取一点M ,边AD 上取一点N ,如果AP +AN +CQ +CM ＝2,求证：PM ⊥QN ．【分析】直接证明PM ⊥QN 有困难,可设想将QN 旋转90°成一新的直线Q 1N 1,只需证明PM∥Q1N1即可．【解答】证明：如图所示,将正方形ABCD绕点A顺时针旋转90°,则正方形ABCD变到正方形ADC1D1的位置,其中A不变,B变到D,Q变到Q1,C变到C1,N变到N1,直线QN变到Q1N1．因此QN⊥Q1N1,因为AN＝AN1,CQ＝C1Q1,所以PN1＝AP+AN1＝AP+AN＝2﹣(CM+CQ)＝CC1﹣(CM+C1Q1)＝MQ1．又PN1∥MQ1,所以四边形PMQ1N1是平行四边形．故PM∥Q1N1．因此PM⊥QN．24．如图,点O是平行四边形ABCD的对称中心,将直线DB绕点O顺时针方向旋转,交DC、AB于点E、F．(1)证明：△DEO≌△BFO；(2)若DB＝2,AD＝1,AB=√5,当DB绕点O顺时针方向旋转45°时,判断四边形AECF的形状,并说明理由．【分析】(1)根据已知条件证出∠CDO＝∠ABO,∠DEO＝∠BFO．,再根据点O是平行四边形的对称中心,得出OD＝OB,即可证出△DEO≌△BFO．(2)首先要判断四边形是什么形状,然后根据题意首先证明△OAD是等腰直角三角形,然后证明OE＝OF,再根据已知条件即可证出四边形AECF的形状．【解答】(1)证明：在平行四边形ABCD中,CD∥AB,∴∠CDO＝∠ABO,∠DEO＝∠BFO．又∵点O是平行四边形的对称中心,∴OD＝OB．∴△DEO≌△BFO．(2)解：∵在△ABD中,DB＝2,AD＝1,AB=√5,∴DB2+AD2＝AB2．∴△ABD是直角三角形,且∠ADB＝90°∵OD＝OB=12DB＝1,∴AD＝OD＝1．∴△OAD是等腰直角三角形,∴∠AOD＝45°．当直线DB绕点O顺时针旋转45°时,即∠DOE＝45°,∴∠AOE＝90°∵△DEO≌△BFO,∴OE＝OF又∵点O是平行四边形的对称中心,∴OA＝OC∴四边形AECF是平行四边形∴四边形AECF是菱形．。
九年级上册旋转几何综合单元测试题(Word版 含解析)
九年级上册旋转几何综合单元测试题（Word版含解析）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，AP＝13AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，连接PC，且ABE为等边三角形．（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP 与EC的数量关系是．（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为93，求线段AC的长．【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）7 7【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，∴△ABP≌△EBC（SAS），∴AP＝EC；故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，理由如下，∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，∴△ABP≌△EBC（SAS），∴AP＝EC；（3）过点C作CD⊥m于D，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴△PBC是等边三角形，∴3293∴PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，∴AC＝2t，∵m∥n，∴∠CAD＝∠AEB＝60°，∴AD＝12AC＝t，CD33，∵PD2+CD2＝PC2，∴（2t）2+3t2＝9，∴t＝377（负值舍去），∴AC＝2t 67．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解．2．请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），从而得到∠BPC=∠AP′B=__________；，进而求出等边△ABC的边长为__________；问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．【答案】（17；（25【解析】试题分析：（1）利用旋转的性质，得到全等三角形.(2)利用（1）中的解题思路，把△BPC,旋转，到△BP’A,连接PP’,BP’，容易证明△APP’是直角三角形，∠BP’E=45°，已知边BP’=BP2，BE=BP’=1，勾股定理可求得正方形边长.（17（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．∴AP′=PC=1，BP=BP′2；连接PP′，在Rt△BP′P中，∵BP=BP′2，∠PBP′=90°，∴PP′=2，∠BP′P=45°；在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP5∵222+，即AP′2+PP′2=AP2；125∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，∴∠AP′B=135°，∴∠B PC=∠AP′B=135°．过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形，∴∠EP′B=45°，∴EP′=BE=1，∴AE=2；∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=5；∴∠BPC=135°，正方形边长为5．点睛：本题利用题目中的原理迁移解决问题，解题利用了旋转的性质，一般利用正方形，等腰，等边三角形的隐含条件，构造全等三角形，把没办法利用的已知条件转移到方便利用的图形位置,从而求解.3．边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中， AB边交DF于点M，BC边交DG于点N.（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数；（3）如图3，设△MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）；（2）；（3）不变化，证明见解析.【解析】试题分析：（1）将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，DA旋转了，从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积.（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形ABCD旋转的度数为.（3）延长BA交DE轴于H点，通过证明和可得结论.（1）∵A点第一次落在DF上时停止旋转，∴DA旋转了.∴DA在旋转过程中所扫过的面积为.（2）∵MN∥AC，∴,.∴.∴.又∵，∴.又∵,∴.∴.∴.∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形ABCD旋转的度数为.(3)不变化，证明如下：如图，延长BA交DE轴于H点，则，，∴.又∵.∴．∴．又∵, ,∴．∴.∴.∴.∴在旋转正方形ABCD的过程中，值无变化.考点：1.面动旋转问题；2．正方形的性质；3.扇形面积的计算；4.全等三角形的判定和性质.4．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.（1）求证：BE＝CE（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；③62 4.【解析】【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EBM=∠ECN=45°，∵∠MEN=∠BEC=90°，∴∠BEM=∠CEN，∵EB=EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，∴S△BMN=12•x（4-x）=-12（x-2）2+2，∵-12＜0，∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．∴3（3m，∵S△BEG=12•EG•BN=12•BG•EH，∴EH=3?(13)m m+3+3m，在Rt△EBH中，sin∠EBH=3+362246EHEB m==．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，5．如图，△ABC和△DEC都是等腰三角形，点C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F 为线段AD的中点，连接CF．（1）如图1，当D点在BC上时，BE与CF的数量关系是__________；（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转90°，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，把△DEC绕C点顺时针旋转一个钝角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如成立，请证明；如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．【答案】（1）BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据“SAS”证明△ACD≌△BCE，可得AD=BE，又因为AD=2CF，从而BE=2CF；（2）由点F是AD中点，可得AD=2DF，从而AC= 2DF+CD，又由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，可知BC=2DF+CE，所以BE= 2（DF+CE），CF= DF+CD，从而BE=2CF；（3）延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，可证△CDF≌△GAF，再证明△BCE≌△ACG，从而BE=CG=2CF成立.解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD=CE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，在Rt△ACD中，点F是AD中点，∴AD=2CF，∴BE=2CF，故答案为BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由：∵点F是AD中点，∴AD=2DF，∴AC=AD+CD=2DF+CD，∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∴BC=2DF+CE，∴BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2（DF+CE），∵CF=DF+CD=DF+CD，∴BE=2CF；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由：如图3，延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，∵点F是AD中点，∴AF=DF，在△CDF和△GAF中，，∴△CDF≌△GAF，∴AG=CD=CE，∠CDF=∠GAF，∴∠CAG=∠CAD+∠GAF=∠CAD+∠ADC=180°﹣∠ACD，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCE=360°﹣∠ACB﹣∠DCE﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，∴∠CAG=∠BCE，连接BE，在△BCE和△ACG中，，∴△BCE≌△ACG，∴BE=CG=2CF，即：BE=2CF．点睛：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质，考查了学生综合运用知识的能力，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．6．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE,(1)在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：(2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD；(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =12 m°.【解析】分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB≌△EAC即可；（2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明△ABD≌△CBE即可解决问题；（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．想办法证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=12 m°.详（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，AD AEDAB EACAB AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DAB≌△EAC，∴BD=EC．（2）证明：如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．∵DB=DE，∠BDC=60°，∴△BDE是等边三角形，∴∠BD=BE，∠DBE=∠ABC=60°，∴∠ABD=∠CBE，∵AB=BC，∴△ABD≌△CBE，∴AD=EC，∴BD=DE=DC+CE=DC+AD．∴AD+CD=BD．（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．由（1）可知△EAB≌△GAC，∴∠1=∠2，BE=CG，∵BD=DC，∠BDE=∠CDM，DE=DM，∴△EDB≌△MDC，∴EM=CM=CG，∠EBC=∠MCD，∵∠EBC=∠ACF，∴∠MCD=∠ACF，∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，∴∠1=3=∠2，∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，∵CF=CF，CG=CM，∴△CFG≌△CFM，∴FG=FM，∵ED=DM，DF⊥EM，∴FE=FM=FG，∵AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG，∴∠EAF=∠FAG=12 m°．点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．7．(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为 .(2)拓展探究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.(3)解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．22．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延长BE交AD于点F，由垂直定义得AD⊥BE．（2）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定义得∠OHB=90°，AD⊥BE；（3）作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，PC=BE，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE；当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE，故5-32≤BE≤5+32.【详解】（1）结论：AD=BE，AD⊥BE．理由：如图1中，∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt△ACD和Rt△BCE中AC BCACD BCECD CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠EBC=∠CAD延长BE交AD于点F，∵BC⊥AD，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．∴AD=BE，AD⊥BE．故答案为AD=BE，AD⊥BE．（2）结论：AD=BE，AD⊥BE．理由：如图2中，设AD交BE于H，AD交BC于O．∵△ACB 与△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE ，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH ，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD ⊥BE ，∴AD=BE ，AD ⊥BE ．（3）如图3中，作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，∴PC=BE ，图3-1中，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE=5-32，图3-2中，当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE=5+32，∴5-32≤BE≤5+32，即5-32≤PC≤5+32．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．8．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上时①证明：△BFC是等腰三角形；②请判断线段CF，DF的关系？并说明理由；（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是否仍然成立？并证明你的判断．【答案】（1）①证明见解析；②结论：CF=DF且CF⊥DF．理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析.【解析】【详解】分析：(1)、根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CF=BF=EF，根据∠CFD=2∠ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°得出∠CFD=90°，从而得出答案；(2)、延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，首先证明△BFG和△EFD全等，然后再证明△BCG和△ACD全等，从而得出GC=DC，∠BCG=∠ACD，∠DCG=∠ACB=90°，最后根据直角三角形斜中线的性质得出答案．详解：（1）①证明：∵∠BCE=90°．EF=FB，∴CF=BF=EF，∴△BFC是等腰三角形．②解：结论：CF=DF且CF⊥DF．理由如下：∵∠ADE=90°，∴∠BDE=90°，又∵∠BCE=90°，点F是BE的中点，∴CF=DF=12BE=BF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠5=∠1+∠3=2∠1，∠6=∠2+∠4=2∠2，∴∠CFD=∠5+∠6=2（∠1+∠2）=2∠ABC，又∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∴∠CFD=90°，∴CF=DF且CF⊥DF．（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图，延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，∵F是BE的中点，∴BF=EF，又∵∠BFG=∠EFD，GF=DF，∴△BFG≌△EFD（SAS），∴∠FBG=∠FED，BG=ED，∴BG∥DE，∵△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，∴DE=DA，∠DAE=∠DEA=45°，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，又∵∠CBG=∠EBG﹣∠EBA﹣∠ABC=∠DEF﹣（180°﹣∠AEB﹣∠EAB）﹣45°=∠DEF﹣180°+∠AEB+∠EAB﹣45°=（∠DEF+∠AEB）+∠EAB﹣225°=360°﹣∠DEA+∠EAB﹣225°=360°﹣45°+∠EAB﹣225°=90°+∠EAB，而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB=45°+∠EAB+45°=90°+∠EAB，∴∠CBG=∠DAC，又∵BG=ED，DE=DA，∴BG=AD，又∵BC=AC，∴△BCG≌△ACD（SAS），∴GC=DC，∠BCG=∠ACD，∴∠DCG=∠DCB+∠BCG=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形，又∵F是DG的中点，∴CF⊥DF且CF=DF．点睛：主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的运用．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．9．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。
九年级上册数学《旋转》单元检测题(含答案)
人教版数学九年级上学期《旋转》单元测试(满分120分,考试用时120分钟)一、选择题(共14 小题,每小题 3 分,共42 分)1.…依次观察左边的三个图形,并判断照此规律从左向右的第四个图形是( )A...B...C...D.2.在下列四个图案中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A...B...C...D.3.已知平面直角坐标系中的三个点,,,将绕点按顺时针方向旋转度,则点的对应点的坐标为( )A...B...C...D.4.在平面直角坐标系中,点绕原点顺时针旋转后得到点( )A...B...C...D.5.如图,在中,,,,由绕点顺时针旋转得到,其中点与点、点与点是对应点,连接,且、、在同一条直线上,则的长为( )A...B...C...D.6.已知点是点关于原点的对称点,则的值为( )A...B.-..C...D.±67.如图,已知与关于点成中心对称图形,则下列判断不正确的是( )A.∠ABC=∠A'B'C..B.∠BOC=∠B'A'C.. C.AB=A'B..D.OA=OA'8.在如图的正方形网格上画有两条线段. 现在要再画一条,使图中的三条线段组成一个轴对称图形,能满足条件的线段有( )A.2..B.3..C.4..D.5条9.观察下列四个图案,它们分别绕中心旋转一定的角度后,都能和原来的图形重合,其中旋转的角度最大的是( )A...B...C...D.10.如图,在的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形). 若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠面积,且组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有( )A.2..B.3..C.4..D.5种11.下列所给的正方体的展开图中,是中心对称图形的是图( )A.①②..B.①②..C.②③..D.①②③④12.如图,矩形的边,分别在坐标轴上,且点的坐标为,将矩形沿轴正方向平移个单位,得到矩形,再以点为旋转中心,把矩形顺时针方向旋转,得到矩形″″″″″,″,″,″,则点所经过的路线为″的长为( )A.1..B.1..C.4+5..D.4+13.如图,三个顶点的坐标分别为,,,将绕点按顺时针方向旋转,得到,则点的坐标为( )A.(1, 2..B.(2, 1..C.(1, 1..D.(2, 2)14.下面、、、四个图形中的哪个图案可以通过旋转图案①得到( )A...B...C...D.二、填空题(共6 小题,每小题 3 分,共18 分)15.一个图形绕某一点旋转后与另一个图形重合,则这两个图形成________,这个点叫________.16.如图,在网格中有一个四边形和两个三角形.①请你画出这三个图形关于点成中心对称的图形；②将原图和画出后的图形看成一个整体图形,它有________条对称轴；它至少旋转________度后与自身重合.17.在平面直角坐标系中,若与点关于原点对称,则点在第________象限.18.对于平面图形上的任意两点, ,如果经过某种变换(如：平移、旋转、轴对称等)得到新图形上的对应点, ,保持,我们把这种对应点连线相等的变换称为“同步变换”. 对于三种变换：①平移、②旋转、③轴对称,其中一定是“同步变换”的有________(填序号).19.在图中,是由基本图案多边形旋转而成的,它的旋转角为________.20.如图,将绕点逆时针方向旋转,得到,看点的坐标为,则点坐标为________.三、解答题(共4 小题,每小题10 分,共40 分)21.如图所示,是一块边长为的正方形瓷砖,其中瓷砖的阴影部分是半径为的扇形. 请你用这种瓷砖拼出三种不同的图案. 使拼成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形,把它们分别画在下面边长为的正方形中(要求用圆规画图).22.如图所示,每个小正方形的边长为个单位长度,作出关于原点对称的并写出、、的坐标.23.如图,已知, 绕点逆时针旋转得到,恰好在上,连接.(1) 与有何关系？并说明理由；线段与在位置上有何关系？为什么？24.如图所示的网格中,每个小方格都是边长为的小正方形,,把绕点按顺时针旋转后得到,请画出这个三角形并写出点的坐标；以点为位似中心放大,得到,使放大前后的面积之比为,请在下面网格内出.参考答案一、选择题(共14 小题,每小题 3 分,共42 分)1.…依次观察左边的三个图形,并判断照此规律从左向右的第四个图形是()A...B...C...D.【答案】D【解析】试题分析: 根据图形,由规律可循. 从左到右是顺时针方向可得到第四个图形是D.故选D．考点: 生活中的旋转现象.2.在下列四个图案中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A...B...C...D.【答案】B【解析】试题分析: 根据轴对称图形和中心对称图形的定义可得选项B正确.故选B.考点: 1.轴对称图形；2.中心对称图形.3.已知平面直角坐标系中的三个点,,,将绕点按顺时针方向旋转度,则点的对应点的坐标为()A...B...C...D.【答案】D【解析】【分析】把△ABO绕点O按顺时针方向旋转45°,就是把它上面的各个点按顺时针方向旋转45度. 点A 在第二象限的角平分线上,且OA= ,正好旋转到y轴正半轴. 则A点的对应点A1的坐标是(0, ).【详解】∵A的坐标是(-1,1),∴OA= ,且A1在y轴正半轴上,∴A1点的坐标是(0, ).【点睛】考查了坐标与图形变化-旋转,解答本题要能确定A的位置,只有这样才能确定点A的对应点A1的位置,求出坐标.4.在平面直角坐标系中,点绕原点顺时针旋转后得到点()A...B...C...D.【答案】A【解析】【分析】设A( ,1),过A作AB⊥x轴于B,于是得到AB=1,OB= ,根据边角关系得到∠AOB=30°,由于点( ,1)绕原点顺时针旋转60°,于是得到∠AOA′=60°,得到∠A′OB=30°,于是结论即可求出.【详解】设A( ,1),过A作AB⊥x轴于B,则AB=1,OB= ,∴tan∠AOB= ＝= ,∴∠AOB=30°,∵点( ,1)绕原点顺时针旋转60°,∴∠AOA′=60°,∴∠A′OB=30°,∴点( ,1)绕原点顺时针旋转60°后得到点是( ,-1),故选: A.【点睛】考查了坐标与图形的变换-旋转,特殊角的三角函数,正确的画出图形是解题的关键.5.如图,在中,,,,由绕点顺时针旋转得到,其中点与点、点与点是对应点,连接,且、、在同一条直线上,则的长为()A...B...C...D.【答案】A【分析】先利用互余计算出∠BAC=30°,再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2,接着根据旋转的性质得A′B′=AB=2,B′C=BC=1,A′C=AC,∠A′=∠BAC=30°,∠A′B′C=∠B=60°,于是可判断△CAA′为等腰三角形,所以∠CAA′=∠A′=30°,再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°,可得B′A=B′C=1,然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算.【详解】∵∠ACB=90°,∠B=60°,∴∠BAC=30°,∴AB=2BC=2×1=2,∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′,∴A′B′=AB=2,B′C=BC=1,A′C=AC,∠A′=∠BAC=30°,∠A′B′C=∠B=60°,∴△CAA′为等腰三角形,∴∠CAA′=∠A′=30°,∵A.B′、A′在同一条直线上,∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA,∴∠B′CA=60°-30°=30°,∴B′A=B′C=1,∴AA′=AB′+A′B′=2+1=3.故选: A.【点睛】考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等. 也考查了含30度的直角三角形三边的关系.6.已知点是点关于原点的对称点,则的值为()A...B.-..C...D.±6【答案】C【解析】【分析】根据关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数,结合题意可得ab的值,代入a+b可得答案.【详解】根据题意,有点A(a,-3)是点B(-2,b)关于原点O的对称点,则a=-(-2)=2,b=-(-3)=3,则a+b=3+2=5.【点睛】考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系.7.如图,已知与关于点成中心对称图形,则下列判断不正确的是()A.∠ABC=∠A'B'C..B.∠BOC=∠B'A'C.. C.AB=A'B..D.OA=OA'【答案】B【解析】【分析】根据中心对称的定义: 把一个图形绕着某个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,来求解即可.【详解】因为△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称图形,所以可得∠ABC=∠A′B′C′,AB=A′B′,OA=OA',故选: B.【点睛】考查了中心对称的定义,解题的关键是熟记中心对称的定义. 也可用三角形全等来求解.8.在如图的正方形网格上画有两条线段. 现在要再画一条,使图中的三条线段组成一个轴对称图形,能满足条件的线段有( )A.2..B.3..C.4..D.5条【答案】C【解析】试题分析: 直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案.解: 如图所示: 能满足条件的线段有4条.故选：C.考点: 利用轴对称设计图案.9.观察下列四个图案,它们分别绕中心旋转一定的角度后,都能和原来的图形重合,其中旋转的角度最大的是()A...B...C...D.【答案】A【解析】【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度,再比较即可.【详解】A选项: 最小旋转角度= =120°；B.最小旋转角度= =90°；C.最小旋转角度= =72°；D.最小旋转角度= =60°；综上可得: 旋转的角度最大的是A.故选: A.【点睛】考查了旋转对称图形中旋转角度的确定,求各图形的最小旋转角度时,关键要看各图形可以被平分成几部分,被平分成n部分,旋转的最小角度就是.10.如图,在的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形). 若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠面积,且组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有( )A.2..B.3..C.4..D.5种【答案】C【解析】试题分析: 利用轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质分析得出符合题意的图形即可.解: 如图所示: 组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有4种.故选：C.点评: 此题主要考查了利用轴对称以及旋转设计图案,正确把握相关定义是解题关键.【此处有视频,请去附件查看】11.下列所给的正方体的展开图中,是中心对称图形的是图()A.①②..B.①②..C.②③..D.①②③④【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念(在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转180度,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个旋转点就叫做中心对称点)求解.【详解】根据中心对称图形的概念可是: ①②④是中心对称图形；而③不是中心对称图形.故选: B.【点睛】考查了中心对称图形的概念. 在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转180度,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个旋转点就叫做中心对称点.12.如图,矩形的边,分别在坐标轴上,且点的坐标为,将矩形沿轴正方向平移个单位,得到矩形,再以点为旋转中心,把矩形顺时针方向旋转,得到矩形″″″″″,″,″,″,则点所经过的路线为″的长为()A.1..B.1..C.4+5..D.4+【答案】D【解析】【分析】利用平移变换和弧长公式计算.【详解】此题平移规律是(x+4,y),照此规律计算可知点B平移的距离是5个单位长度.把矩形O′A′B′C′顺时针方向旋转90°,点B′走过的路程是半径为5,圆心角是90度的弧长为,所以点B所经过的路线为B⇒B′⇒B″的长为4+.故选: D.【点睛】考查图形的平移变换和弧长公式的运用. 在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同. 平移中点的变化规律是：横坐标右移加,左移减；纵坐标上移加,下移减.13.如图,三个顶点的坐标分别为,,,将绕点按顺时针方向旋转,得到,则点的坐标为()A.(1, 2..B.(2, 1..C.(1, 1..D.(2, 2)【答案】B【解析】【分析】直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；【详解】∵A(-2,5),B(-5,1),C(-2,1),∴AC=4,AC∥y轴,∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°,得到△DEC,∴∠DCE=∠ACB=90°,CD=AC=4,∴B,C,D三点在一条直线上,∴D(2,1),故选: B.【点睛】考查了旋转变换以及扇形面积求法,正确得出对应点位置是解题关键.14.下面、、、四个图形中的哪个图案可以通过旋转图案①得到()A...B...C...D.【答案】B【解析】【分析】根据旋转的性质旋转变化前后,图形的相对位置不变,注意时针与分针的位置关系,分析选项.【详解】根据旋转的性质(旋转变化前后,对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等)可得: 图案①顺时针旋转90°得到B.故选B．【点睛】考查旋转的性质:旋转变化前后,对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等. 要注意旋转的三要素: ①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度.二、填空题(共6 小题,每小题 3 分,共18 分)15.一个图形绕某一点旋转后与另一个图形重合,则这两个图形成________,这个点叫________.【答案.. (1).中心对.. (2).对称中心【解析】【分析】根据中心对称图形的概念求解.【详解】一个图形绕某一点旋转180°后与另一个图形重合,则这两个图形成中心对称,这个点叫对称中心. 故答案是: 中心对称,对称中心.【点睛】考查了中心对称图形的概念: 把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.16.如图,在网格中有一个四边形和两个三角形.①请你画出这三个图形关于点成中心对称的图形；②将原图和画出后的图形看成一个整体图形,它有________条对称轴；它至少旋转________度后与自身重合.【答案】(1)详见解析,(2)4,90【解析】【分析】(1)将图形的各顶点与点O连线并延长相同长度找对应点,然后顺次连接得中心对称图形；(2)根据轴对称的性质,找对称轴,只要连接两组对应点,作出对应点所连线段的两条垂直平分线.【详解】(1)如图所示,共有4条对称轴;(2)4条对称轴,这个整体图形至少旋转90度.故答案为: 4,90.【点睛】考查了轴对称图形和旋转变换图形的方法,注意,做这类题时,掌握旋转与轴对称的性质是解决问题的关键.17.在平面直角坐标系中,若与点关于原点对称,则点在第________象限.【答案】四【解析】【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出点P的坐标,再根据各象限内点的坐标特征解答.【详解】∵P(m,n)与点Q(-2,3)关于原点对称,∴m=2,n=-3,∴点P的坐标为(2,-3),∴点P在第四象限.故答案是: 四.【点睛】考查了关于原点对称的点的坐标,两点关于原点对称,则两点的横、纵坐标都是互为相反数.18.对于平面图形上的任意两点, ,如果经过某种变换(如：平移、旋转、轴对称等)得到新图形上的对应点, ,保持,我们把这种对应点连线相等的变换称为“同步变换”. 对于三种变换：①平移、②旋转、③轴对称,其中一定是“同步变换”的有________(填序号).【答案】①【解析】【分析】根据平移变换、旋转变换和轴对称变换的性质,依据“同步变换”的定义判断可得.【详解】平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的所有点平移的方向和距离都相等,故平移变换一定是“同步变换”；若将线段PQ绕点P旋转,则PP′=0,而QQ′≠0,故旋转变换不一定是“同步变换”；将相对于直线倾斜的线段PQ经过该直线的轴对称变换,所得PP′≠QQ′,故轴对称变换不一定是“同步变换”,故答案是: ①.【点睛】考查几何变换的类型,熟练掌握平移变换、旋转变换和轴对称变换的性质是解题的关键.19.在图中,是由基本图案多边形旋转而成的,它的旋转角为________.【答案】【解析】【分析】由于图形是基本图案多边形ABCDE旋转而成的,根据图形可以得到旋转形成的图形是一个正六边形,由此即可确定旋转角的度数.【详解】∵图形是基本图案多边形ABCDE旋转而成的,而根据图形知道旋转形成的图形是一个正六边形,∴它的旋转角是: 60°.【点睛】考查了旋转的性质,主要利用了旋转角的定义和正六边形的性质解决问题.20.如图,将绕点逆时针方向旋转,得到,看点的坐标为,则点坐标为________.【答案】【解析】【分析】利用旋转的性质得OB′=OB=2,A′B′=AB=1,∠BOB′=90°,∠OB′A′=∠OBA=90°,然后利用第二象限内点的坐标特征写出点A′坐标.【详解】∵A(2,1),∴AB=1,OB=2,∵△AOB绕点O逆时针方向旋转90°,得到△A′OB′,∴OB′=OB=2,A′B′=AB=1,∠BOB′=90°,∠OB′A′=∠OBA=90°,∴点A′坐标为(-1,2).故答案是: (-1,2).【点睛】考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标. 常见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°.三、解答题(共4 小题,每小题10 分,共40 分)21.如图所示,是一块边长为的正方形瓷砖,其中瓷砖的阴影部分是半径为的扇形. 请你用这种瓷砖拼出三种不同的图案. 使拼成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形,把它们分别画在下面边长为的正方形中(要求用圆规画图).【答案】见解析.【解析】图形(1)既轴对称(对称轴为正方形对角线所在的直线),又中心对称(对称中心为正方形的中心),根据小正方形的对称性,将小正方形换动不同方向,得出既轴对称图形又中心对称的图形.【详解】既轴对称图形又中心对称的图形如图所示. 答案不唯一.【点睛】考查了运用旋转,轴对称方法设计图案的问题. 关键是熟悉有关图形的对称性,利用中心对称性拼图.22.如图所示,每个小正方形的边长为个单位长度,作出关于原点对称的并写出、、的坐标.【答案】见解析.【解析】【分析】根据直角坐标系中,关于原点对称的两个点的坐标特点是: 横坐标,纵坐标都互为相反数,根据点的坐标就确定原图形的顶点的对应点,进而即可作出所求图形.【详解】解: 根据图形可知: , , ,各点关于原点对称的点的坐标分别是: , , ,然后连接点再依次连接可得所求图形.【点睛】考查了关于原点对称的知识,要求学生会画图,会表示点的坐标. 关键是掌握关于原点对称的两个点的坐标特点是: 横坐标,纵坐标都互为相反数,根据点的坐标就可以画出对称图形.23.如图,已知, 绕点逆时针旋转得到,恰好在上,连接.(1) 与有何关系？并说明理由；线段与在位置上有何关系？为什么？【答案】(1)互补；(2) .【解析】(1)根据旋转的性质可得∠BAC=∠DAE=90°,然后表示出∠CAE,再根据∠BAE=∠BAC+∠CAE列式整理即可得解；(2)根据旋转的性质可得∠BAD=∠CAE,AB=AD,AC=AE,再利用等腰三角形两底角相等表示出∠B.∠ACE,然后求出∠BCE=90°,根据垂直的定义即可得解.【详解】解：与互补. 理由如下：由旋转的性质知: ,∴,∵,∴,因此与互补；线段. 理由如下:由旋转知: , , ,∴,,∴,∵,∴,∴,∴．【点睛】考查了旋转的性质,等腰三角形两底角相等的性质,垂直的定义,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.24.如图所示的网格中,每个小方格都是边长为的小正方形,,把绕点按顺时针旋转后得到,请画出这个三角形并写出点的坐标；以点为位似中心放大,得到,使放大前后的面积之比为,请在下面网格内出.【答案】见解析.【分析】(1)直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)利用位似图形的性质进而得出对应点位置即可得出答案.【详解】如图所示: ,即为所求,点的坐标为: ；如图所示：.【点睛】考查了位似变换和旋转变换,解题关键是正确得出对应点位置.。
九年级数学上册 旋转几何综合单元测试卷(含答案解析)
九年级数学上册旋转几何综合单元测试卷（含答案解析）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为．（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AD，∴AD＝2BC＝12，∴△ABD的面积＝12AD•BC＝1212×6＝36，故答案为：36；（2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，∴∠H＝∠C＝90°，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°，∴∠PQH＝∠BPC，∴△PQH≌△BPC（AAS），∴PH＝BC，QH＝CP，∵AC＝BC，∴PH＝AC，∴CP＝AH，∴QH＝AH，∴∠HAQ＝45°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴AB⊥AQ；（3）如图，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，∵∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，∠BAC＝45°，∴∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，∴∠EAC＝30°，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，∵点C和点D关于AF对称，∴AD＝AC＝6，∵∠AND＝90°，∴DN＝12AD＝126＝3，∴CM+NM最小值为3．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出作辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．(1)观察猜想如图(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点．以点D为顶点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG，则线段BG和AE的数量关系是_____；(2)拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图2，则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.(3)解决问题若BC=DE=2，在(2)的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写出AF的值．【答案】（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝【解析】解：（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．Z+X+X+K]因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝．即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF＝．3．请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），从而得到∠BPC=∠AP′B=__________；，进而求出等边△ABC的边长为__________；问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．【答案】（17；（25【解析】试题分析：（1）利用旋转的性质，得到全等三角形.(2)利用（1）中的解题思路，把△BPC,旋转，到△BP’A,连接PP’,BP’，容易证明△APP’是直角三角形，∠BP’E=45°，已知边BP’=BP2，BE=BP’=1，勾股定理可求得正方形边长.（17（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．∴AP′=PC=1，BP=BP′2；连接PP′，在Rt△BP′P中，∵BP=BP′2，∠PBP′=90°，∴PP′=2，∠BP′P=45°；在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=5，∵222+=，即AP′2+PP′2=AP2；125∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，∴∠AP′B=135°，∴∠B PC=∠AP′B=135°．过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形，∴∠EP′B=45°，∴EP′=BE=1，∴AE=2；∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=5；∴∠BPC=135°，正方形边长为5．点睛：本题利用题目中的原理迁移解决问题，解题利用了旋转的性质，一般利用正方形，等腰，等边三角形的隐含条件，构造全等三角形，把没办法利用的已知条件转移到方便利用的图形位置,从而求解.4．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析【解析】试题分析：（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．试题解析：（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．5．边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中， AB边交DF于点M，BC边交DG于点N.（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数；（3）如图3，设△MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）；（2）；（3）不变化，证明见解析.【解析】试题分析：（1）将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，DA旋转了，从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积.（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形ABCD旋转的度数为.（3）延长BA交DE轴于H点，通过证明和可得结论.（1）∵A点第一次落在DF上时停止旋转，∴DA旋转了.∴DA在旋转过程中所扫过的面积为.（2）∵MN∥AC，∴,.∴.∴.又∵，∴.又∵,∴.∴.∴.∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形ABCD旋转的度数为.(3)不变化，证明如下：如图，延长BA交DE轴于H点，则，，∴.又∵.∴．∴．又∵, ,∴．∴.∴.∴.∴在旋转正方形ABCD的过程中，值无变化.考点：1.面动旋转问题；2．正方形的性质；3.扇形面积的计算；4.全等三角形的判定和性质.6．如图，在直角坐标系中，已知点A（-1，0）、B（0，2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．（1）点C的坐标为（，）；（2）若二次函数的图象经过点C．①求二次函数的关系式；②当-1≤x≤4时，直接写出函数值y对应的取值范围；Z_X_X_K]③在此二次函数的图象上是否存在点P（点C除外），使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ∴点C的坐标为(－3，1) ．(2)①∵二次函数的图象经过点C(－3，1)，∴.解得∴二次函数的关系式为②当-1≤x≤4时，≤y≤8；③过点C作CD⊥x轴，垂足为D，i) 当A为直角顶点时，延长CA至点，使，则△是以AB为直角边的等腰直角三角形，过点作⊥轴，∵＝，∠＝∠，∠＝∠＝90°，∴△≌△，∴AE＝AD＝2，＝CD＝1,∴可求得的坐标为(1，－1)，经检验点在二次函数的图象上；ii）当B点为直角顶点时，过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取，得到以AB为直角边的等腰直角△和等腰直角△，作⊥y轴，同理可证△≌△∴BF＝OA＝1，可得点的坐标为（2， 1），经检验点在二次函数的图象上．同理可得点的坐标为（－2， 3），经检验点不在二次函数的图象上综上：二次函数的图象上存在点(1，－1)，（2，1）两点，使得△和△是以AB为直角边的等腰直角三角形．【解析】(1)根据旋转的性质得出C 点坐标；（2）①把C 点代入求得二次函数的解析式；②利用二次函数的图象得出y 的取值范围；③分二种情况进行讨论.7．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： 操作发现（1）某小组做了有一个角是120︒的等腰三角形DAC 和等边三角形GEB 纸片，DA DC =，让两个三角形如图①放置，点C 和点G 重合，点D ，点E 在AB 的同侧，AC和GB 在同一条直线上，点F 为AB 的中点，连接DF ，EF ，则DF 和EF 的数量关系与位置关系为：________； 数学思考（2）在图①的基础上，将GEB 绕着C 点按顺时针方向旋转90︒，如图②，试判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，并说明理由； 类比探索（3）①将GEB 绕着点C 任意方向旋转，如图③或图④，请问DF 和EF 的数量关系和位置关系改变了吗？无论改变与否，选择图③或图④进行证明；②GEB 绕着点C 旋转的过程中，猜想DF 与EF 的数量关系和位置关系，用一句话表述：________.【答案】（1）3EF DF =，DF EF ；（2）3EF DF =，DF EF ,理由见解析;（3）①3EF DF =，DF EF ;②旋转过程中3EF DF =，DFEF 始终成立.【解析】 【分析】（1）由题意过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，利用等边三角形和中点性质设DM a =，2GB b =，结合相似三角形判定和性质进行综合分析求解； （2）根据题意要求判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，并综合利用垂直平分线定理以及矩形和等边三角形性质与三角函数进行综合分析； （3）①根据题意延长DF 并截取FN DF =，连接NE ，连接NB 并延长交CE 于点P ，交DC 的延长线于点O ，连接DE ，并利用全等三角形判定和性质以及三角函数进行分析证明；②由题意可知结合①猜想可知旋转过程中3EF DF =，DF EF 始终成立.【详解】解：（1）3EF DF =，DFEF ；如解图，过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，AD CD =，EGB 为等边三角形. AM MC ∴=，GN BN =. 又点F 为AB 的中点， AF BF ∴=.()12MF CF NC NB AC AM CB MC NC +=++=+=+∴.MF NC NB ∴==，CF CN FN AM +==. 设DM a =，2GB b =，120ADC ∠=︒，DA DC =，3AM a ∴=，3FN a =，MF NC NB b ===. tan 33EGB NE GN GN b =⋅==∠.在DMF 和FNE 中，333DM FN a ==， 333MF NE b==， 又90DMF FNE ∠=∠=︒， DMF FNE ∴∽.MDF NFE ∴∠=∠，33DF DM FE FN ==，即3EF DF =. 90MDF DFM ∠+∠=︒，90DFM NFE ∴∠+∠=︒. 90DFE ∴∠=︒.3EF DF ∴=且DFEF .（2）3EF DF =，DF EF .理由如下：如解图，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，当旋转角是90︒时，则90ACB ∠=︒，在Rt ACB △中，点F 是AB 的中点，CF BF ∴=. 又CE EB =，EF ∴垂直平分BC.同理，DF 垂直平分AC ， ∴四边形LCMF 为矩形， 90DFE ∴∠=︒.DF EF ∴⊥，//AC EF .DA DC =，120ADC =∠︒，30DCA ∴∠=︒. GEB 为等边三角形， 60ECB ∴∠=︒.∴∠DCA+∠ACB+∠ECB=180^∘ ∴D ，C ，E 三点共线.30DCA DEF ∴∠=∠=︒.∴在Rt DEF △中，3tan 3DE DF F F E DF===∠； （3）①3EF DF =，DF EF .选择题图进行证明：如解图，延长DF 并截取FN DF =，连接NE ，连接NB 并延长交CE 于点P ，交DC 的延长线于点O ，连接DE ，在ADF 和BNF 中，AF BF AFD BFN DF NF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SASADF BNF∴≅.AD NB∴=，ADF BNF∠=∠.//AD NB∴.18060O ADC∴∠=︒-∠=︒.又CPO BPE∠=∠，60O CEB∠=∠=︒，OCP OBE∴∠=∠.DCE NBE∴∠=∠.又GEB是等边三角形，GE BE∴=，又AD BN CD==，()SASDCE NBE∴≅.DE NE∴=，BEN CED∠=∠.BEN BED CED BED∴∠+∠=∠+∠，即60NED BEC∠=∠=︒.DEN∴是等边三角形.又DF FN=，DF EF∴⊥，60FDE∠=︒.tan3E EF DF DFFD∴∠=⋅=.或选择图进行证明，证明如下：如解图，延长DF并延长到点N，使得FN DF=，连接NB，DE，NE，NB与CD交于点O，EB与CD相交于点J，在ADF和BNF中，AF BFAFD BFNDF NF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SASADF BNF∴≅.AD NB∴=，ADF BNF∠=∠.//AD NB∴.120NOC ADC∴∠=∠=︒.60BOJ∴∠=︒，60JEC∠=︒.又OJB EJC∠=∠，OBE ECJ∴∠=∠.AD CD =，AD NB =， CD NB ∴=. 又GEB 是等边三角形， CE BE ∴=.()SAS DCE NBE ∴≅.DE NE ∴=，BEN CED ∠=∠.BEN BED CED BED ∴∠-∠=∠-∠， 即60NED BEC ∠=∠=︒. DEN ∴是等边三角形. 又DF FN =，DF EF ∴⊥，60FDE ∠=︒.tan 3E E F DF DF FD ∴∠=⋅=.②旋转过程中3EF DF =，DF EF 始终成立.【点睛】本题考查几何图形的综合探究题，难度大，运用数形结合思维分析以及掌握并灵活利用全等三角形判定和性质以及三角函数、相似三角形判定和性质等是解题关键.错因分析：①未掌握旋转的性质，即旋转前后线段、角度均不变；②不能合理利用类比关系，由浅到深解决问题.8．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC ＝∠DAE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ，则BD ＝CE , (1)在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题： (2)如图2，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BDC ＝60°，求证：AD+CD ＝BD ；(3)如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝m°，点E 为△ABC 外一点，点D 为BC 中点，∠EBC ＝∠ACF ，ED ⊥FD ，求∠EAF 的度数（用含有m 的式子表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =12m°. 【解析】分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC ，只要证明△DAB ≌△EAC 即可；（2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明△ABD≌△CBE即可解决问题；（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．想办法证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=12m°.详（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，AD AEDAB EACAB AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DAB≌△EAC，∴BD=EC．（2）证明：如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．∵DB=DE，∠BDC=60°，∴△BDE是等边三角形，∴∠BD=BE，∠DBE=∠ABC=60°，∴∠ABD=∠CBE，∵AB=BC，∴△ABD≌△CBE，∴AD=EC，∴BD=DE=DC+CE=DC+AD．∴AD+CD=BD．（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．由（1）可知△EAB≌△GAC，∴∠1=∠2，BE=CG，∵BD=DC，∠BDE=∠CDM，DE=DM，∴△EDB≌△MDC，∴EM=CM=CG，∠EBC=∠MCD，∵∠EBC=∠ACF，∴∠MCD=∠ACF，∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，∴∠1=3=∠2，∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，∵CF=CF，CG=CM，∴△CFG≌△CFM，∴FG=FM，∵ED=DM，DF⊥EM，∴FE=FM=FG，∵AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG，∴∠EAF=∠FAG=12 m°．点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．9．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上时①证明：△BFC是等腰三角形；②请判断线段CF，DF的关系？并说明理由；（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是否仍然成立？并证明你的判断．【答案】（1）①证明见解析；②结论：CF=DF且CF⊥DF．理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析.【解析】【详解】分析：(1)、根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CF=BF=EF，根据∠CFD=2∠ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°得出∠CFD=90°，从而得出答案；(2)、延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，首先证明△BFG和△EFD全等，然后再证明△BCG和△ACD全等，从而得出GC=DC，∠BCG=∠ACD，∠DCG=∠ACB=90°，最后根据直角三角形斜中线的性质得出答案．详解：（1）①证明：∵∠BCE=90°．EF=FB，∴CF=BF=EF，∴△BFC是等腰三角形．②解：结论：CF=DF且CF⊥DF．理由如下：∵∠ADE=90°，∴∠BDE=90°，又∵∠BCE=90°，点F是BE的中点，∴CF=DF=12BE=BF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠5=∠1+∠3=2∠1，∠6=∠2+∠4=2∠2，∴∠CFD=∠5+∠6=2（∠1+∠2）=2∠ABC，又∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∴∠CFD=90°，∴CF=DF且CF⊥DF．（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图，延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，∵F是BE的中点，∴BF=EF，又∵∠BFG=∠EFD，GF=DF，∴△BFG≌△EFD（SAS），∴∠FBG=∠FED，BG=ED，∴BG∥DE，∵△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，∴DE=DA，∠DAE=∠DEA=45°，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，又∵∠CBG=∠EBG﹣∠EBA﹣∠ABC=∠DEF﹣（180°﹣∠AEB﹣∠EAB）﹣45°=∠DEF﹣180°+∠AEB+∠EAB﹣45°=（∠DEF+∠AEB）+∠EAB﹣225°=360°﹣∠DEA+∠EAB﹣225°=360°﹣45°+∠EAB﹣225°=90°+∠EAB，而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB=45°+∠EAB+45°=90°+∠EAB，∴∠CBG=∠DAC，又∵BG=ED，DE=DA，∴BG=AD，又∵BC=AC，∴△BCG≌△ACD（SAS），∴GC=DC，∠BCG=∠ACD，∴∠DCG=∠DCB+∠BCG=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形，又∵F是DG的中点，∴CF⊥DF且CF=DF．点睛：主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的运用．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．10．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0°< <360°)得到正方形，如图2．①在旋转过程中，当∠是直角时，求的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由．【答案】（1）DE⊥AG （2）①当∠为直角时，α=30°或150°.②315°【解析】分析：（1）延长ED交AG于点H，证明≌，根据等量代换证明结论；（2）根据题意和锐角正弦的概念以及特殊角的三角函数值得到，分两种情况求出的度数；（3）根据正方形的性质分别求出OA和OF的长，根据旋转变换的性质求出AF′长的最大值和此时的度数．详解：如图1，延长ED交AG于点H，点O是正方形ABCD两对角线的交点，，，在和中，，≌，，，，，即；在旋转过程中，成为直角有两种情况：Ⅰ由增大到过程中，当时，，在中，sin∠AGO=，，，，，即；Ⅱ由增大到过程中，当时，同理可求，．综上所述，当时，或．，如图3正方形ABCD的边长为1，，，，，，，此时．点睛：考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数，旋转变换的性质的综合应用，有一定的综合性，注意分类讨论的思想.。
人教版数学九年级上册第23章《旋转》单元检测试卷及答案解析
第23章《旋转》单元测试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.下列图形中，是中心对称图形的是（）2.以下图的右边缘所在直线为轴将该图案向右翻折后，再绕中心旋转180°，所得到的图形是（）3.用数学的方式理解“当窗理云鬓，对镜贴花黄”和“坐地日行八万里”（只考虑地球的自转），其中蕴含的图形运动是（）A．平移和旋转B．对称和旋转 C．对称和平移 D．旋转和平移4.已知点A（a，2013）与点A′（﹣2014，b）是关于原点O的对称点，则a+b 的值为（）A．1 B．5 C．6 D．45.在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6.如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（）A．60°B．72°C．90°D．144°7.如图，将△OAB 绕点O 逆时针旋转80°，得到△OCD ，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．40°D ．30°8.在平面直角坐标系xOy 中，A 点坐标为（3，4），将OA 绕原点O 顺时针旋转180°得到OA′，则点A′的坐标是（ ）A ．（﹣4，3）B ．（﹣3，﹣4）C ．（﹣4，﹣3）D ．（﹣3，4）9.如图，将Rt △ABC （其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A 按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点B 、A 、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）B 1C 1C BAA ．30°B ．60°C ．90°D ．180° 10.如图，在△ABC 中，∠AB=90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ADE ，连接BD ，若AC=3，DE=1，则线段BD 的长为（ ）E DCB AA ．5B ．3C ．4D ．10二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，△ABC 中，∠C ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得△ADE ，AE 与BC 交于F ，则∠AFB ＝_______°.12如图，把Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转44°，得到Rt △AB′C′，点C′恰好落在边AB 上，连接BB′，则∠BB′C′=图11B'C'CBA图1213.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，2），则点B2016的坐标为．14.如图，直线y=﹣33x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是．15.时钟上的时针不停地旋转，从上午8时到上午11时，时针旋转的旋转角是．16.在等腰三角形ABC中，∠C=90°，BC=2cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将△ABC旋转180°，点B落在B′处，则BB′的长度为．三、解答题(共8题，共72分)17.（本题8分）如图，说出这个图形的旋转中心，它绕旋转中心至少旋转多大角度才能与原来图形重合？18.（本题8分）将下图所示的图形面积分成相等的两部分．(图中圆圈为挖去部分)19.（本题8分）19．(8分)直角坐标系第二象限内的点P(x2＋2x，3)与另一点Q(x＋2，y)关于原点对称，试求x＋2y的值．20.（本题8分）如图，已知AD=AE，AB=AC．（1）求证：∠B=∠C；（2）若∠A=50°，问△ADC经过怎样的变换能与△AEB重合？21.（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴，垂足为A．（1）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标；（2）△O′A′B′与△OAB关于原点对称，写出点B′、A′的坐标．22.（本题10分）当m为何值时（1）点A（2，3m）关于原点的对称点在第三象限；（2）点B（3m﹣1，0.5m+2）到x轴的距离等于它到y轴距离的一半？23.（本题10分）直角坐标系中，已知点P（﹣2，﹣1），点T（t，0）是x轴上的一个动点．（1）求点P关于原点的对称点P′的坐标；（2）当t取何值时，△P′TO是等腰三角形？24.（本题12分）等边△OAB在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），将△OAB 绕点O顺时针方向旋转a°（0＜a＜360）得△OA1B1．（1）求出点B的坐标；（2）当A1与B1的纵坐标相同时，求出a的值；（3）在（2）的条件下直接写出点B1的坐标．第23章《旋转》单元测试卷解析一、选择题1.【答案】A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：C2.【答案】以图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180°后，黑圆在右上角，再按顺时针方向旋转180°，黑圆在左下角．故选：A．3.【答案】根据对称和旋转定义可知：“当窗理云鬓，对镜贴花黄”是对称；“坐地日行八万里”是旋转．故选B．4.【答案】∵点A（a，2013）与点A′（﹣2014，b）是关于原点O的对称点，∴a=2014，b=﹣2013，则a+b的值为：2014﹣2013=1．故选：A．5.【答案】根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，∴m=2且m﹣n=﹣3，∴m=2，n=5，∴点M（m，n）在第一象限，故选A．6.【答案】如图，设O的是五角星的中心，∵五角星是正五角星，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，∵它们都是旋转角，而它们的和为360°，∴至少将它绕中心顺时针旋转360÷5=72°，才能使正五角星旋转后与自身重合．故选：B．7.【答案】∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°，∴∠A=∠C∠AOC=80°∴∠DOC=80°﹣α，∠D=100°∵∠A=2∠D=100°，∴∠D=50°∵∠C+∠D+∠DOC=180°，∴100°+50°+80°﹣α=180°解得α=50°，故选A8.【答案】根据题意得，点A关于原点的对称点是点A′，∵A点坐标为（3，4），∴点A′的坐标（﹣3，﹣4）．故选B．9.【答案】∵B、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB1=180°，∴旋转角等于180°．故选D．10.【答案】由旋转的性质可知：BC=DE=1，AB=AD，∵在RT△ABC中，AC=3，BC=1，∠ACB=90°，∴由勾股定理得：10又旋转角为90°，∴∠BAD=90°，∴在RT △ADB 中，即：BD 的长为故：选A二、填空题11.【答案】90º12.【答案】∵Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转40°得到Rt △AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=44°，在△ABB′中，∠ABB′=12（180°﹣∠BAB′）=12（180°﹣44°）=68°， ∵∠AC′B′=∠C=90°，∴B′C′⊥AB ，∴∠BB′C′=90°﹣∠ABB′=90°﹣68°=22°．故答案为：22°．13.【答案】∵AO=32，BO=2，∴AB=52，∴OA+AB1+B1C2=6，∴B2的横坐标为：6，且B2C2=2，∴B4的横坐标为：2×6=12，∴点B2016的横坐标为：2016÷2×6=6048．∴点B2016的纵坐标为：2． ∴点B2016的坐标为：（6048，2）．故答案为：（6048，2）．14.【答案】令y=0x+2=0，解得令x=0，则y=2，∴点A （0），B （0，2），∴OB=2，∴∠BAO=30°，∴AB=2OB=2×2=4，∵△AOB 绕点A 顺时针旋转60°后得到△AO′B′，∴∠BAB′=60°，∴∠OAB′=30°+60°=90°，∴AB′⊥x 轴，∴点B′（4）．故答案为：（4）．15.【答案】∵时针从上午的8时到11时共旋转了3个格，每相邻两个格之间的夹角是30°，∴时针旋转的旋转角=30°×3=90°．故答案为：90°．16.【答案】如图所示：在直角△OBC 中，OC=12AC=12BC=1cm ，则（cm ），则（cm ）．故答案为：cm ．三、解答题17.【答案】这个图形的旋转中心为圆心；∵360°÷6=60°，∴该图形绕中心至少旋转60度后能和原来的图案互相重合．18.【答案】如图：19.【答案】解：根据题意，得(x2＋2x)＋(x＋2)＝0，y＝－3.∴x1＝－1，x2＝－2.∵点P在第二象限，∴x2＋2x＜0，∴x＝－1，∴x＋2y＝－720.【答案】（1）证明：在△AEB与△ADC中，AB=AC，∠A=∠A，AE=AD；∴△AEB≌△ADC，∴∠B=∠C．（2）解：先将△ADC绕点A逆时针旋转50°，再将△ADC沿直线AE对折，即可得△ADC与△AEB重合．或先将△ADC绕点A顺时针旋转50°，再将△ADC沿直线AB对折，即可得△ADC与△AEB重合．21.【答案】（1）如图，点C的坐标为（﹣2，4）；（2）点B′、A′的坐标分别为（﹣4，﹣2）、（﹣4，0）．22.【答案】（1）∵点A（2，3m），∴关于原点的对称点坐标为（﹣2，﹣3m），∵在第三象限，∴﹣3m＜0，∴m＞0；（2）由题意得：①0.5m +2=12（3m ﹣1），解得：m=52；②0.5m +2=﹣12（3m ﹣1），解得：m=﹣34．23.【答案】（1）点P 关于原点的对称点P'的坐标为（2，1）； （2）OP '=（a ）动点T 在原点左侧，当1TO OP '=时，△P'TO 是等腰三角形，∴点1T,0),（b ）动点T 在原点右侧，①当T2O=T2P'时，△P'TO 是等腰三角形，得：2T (54,0)，②当T3O=P'O 时，△P'TO 是等腰三角形，得：3T,0)，③当T4P'=P'O 时，△P'TO 是等腰三角形，得：点T4（4，0）．综上所述，符合条件的t 的值为，54，4．24.【答案】（1）如图1所示过点B 作BC ⊥OA ，垂足为C ．图1∵△OAB 为等边三角形，∴∠BOC=60°，OB=BA ．∵OB=AB ，BC ⊥OA ，∴OC=CA=1．在Rt △OBC中，BCOC =，∴∴点B 的坐标为（1．（2）如图2所示：（A 1）图2yx O B 1CB A∵点B1与点A1的纵坐标相同，∴A1B1∥OA ．①如图2所示：当a=300°时，点A1与点B1纵坐标相同．如图3所示：A 1图3yxO B 1CBA当a=120°时，点A1与点B1纵坐标相同．∴当a=120°或a=300°时，点A1与点B1纵坐标相同．（3）如图2所示：由旋转的性质可知A1B1=AB=2，点B 的坐标为（1，2）， ∴点B1的坐标为（﹣1．如图3所示：由旋转的性质可知：点B1的坐标为（1．∴点B1的坐标为（﹣11．【素材积累】司马迁写《史记》汉朝司马迁继承父业，立志著述史书。
人教版初中数学九年级数学上册第三单元《旋转》测试题(含答案解析)
一、选择题1．下列图形一定不是中心对称图形的是（ ）A ．正六边形B ．线段()213y x x =-+≤≤C ．圆D ．抛物线2y x x =+ 2．以原点为中心，将点P （3，4）旋转90°，得到的点Q 所在的象限为（ ） A ．第二象限 B ．第三象限 C ．第四象限 D ．第二或第四象限 3．如图，已知平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于点,E 以点B 为中心，取旋转角等于,ABC ∠把BAE △顺时针旋转，得到BA E ''，连接DA '．若60,50ADC ADA '∠=︒∠=︒，则DA E ''∠的大小为（ ）A ．130︒B ．150︒C ．160︒D ．170︒ 4．如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 旋转，得到正方形CEFG ，在旋转过程中，则线段AE 的最小值为（ ）A ．32-B ．2-1C ．0．5D ．512- 5．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到A B C ∆''，M 是BC 的中点，P 是A B ''的中点，连接PM ．若2BC =，30A ∠=︒，则线段PM 长的最大值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．若点P(－m，m－3)关于原点对称的点是第二象限内的点，则m满足( )A．m＞3 B．0＜m≤3C．m＜0 D．m＜0或m＞3 7．在一个无盖的正方体玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内的水面的形状可能是（）A．B．C．D．8．如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为（2，0），以点O为旋转中心，把△OAB逆时针转90︒，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（）A．（-1，3）B．（3，-1）C．（31-，）D．（-2，1）9．已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是( )A．22B．4 C．23D．不能确定10．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．11．如图，在△ABC中，AB＝2.2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）A．1.5 B．1.4 C．1.3 D．1.212．如图，以点A为中心，把△ABC逆时针旋转120°，得到△AB'C′（点B、C的对应点分别为点B′、C′），连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的度数为（）A ．45°B ．60°C ．70°D ．90°二、填空题13．如图，在ABC 中，AB AC =，30B ∠=︒，将ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转一周，当BC 边的对应边与AC 平行时，旋转角为______度．14．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕顶点C 顺时针旋转得到A B C ''，点M 是BC 的中点，点P 是A B ''的中点，连接PM ．若4BC =，30A ∠=︒，则在旋转一周的过程中线段PM 长度的最大值等于_____．15．已知点()2,3A x -与点()4,5B y -关于原点对称，则xy 的值等于______． 16．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2cm ，AB ＝3cm ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△FBE ，则点E 与点C 之间的距离是_________cm ．17．如图，在边长为1的正方形网格中，()1,7A ，()5,5B ，()7,5C ，()5,1D .线段AB 与线段CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为______.18．如图，△ABC 中，∠BAC ＝20°，△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AED ，连接对应点C 、D ，AE 垂直平分CD 于点F ，则旋转角度是_____°．19．如图，正方形ABCD 的边长为2，BE 平分∠DBC 交CD 于点E ，将△BCE 绕点C 顺时针旋转90°得到△DCF ，延长BE 交DF 于G ，则BF 的长为_____．20．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90°后，得到矩形AB′C′D′，若CD ＝2，DA=2，那么CC′=____________．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt DOE ，=90DOE ∠︒，3OD =，点D 在y 轴上，点E 在x 轴上，在ABC 中，点A ，C 在x 轴上，5AC =，180ACB ODE ∠+∠=︒，B OED ∠=∠，BC DE =．按下列要求画图（保留作图痕迹）：（1）将ODE 绕O 点按逆时针方向旋转90°得到OMN （其中点D 的对应点为点M ，点E 的对应点为点N ），在图（1）画出OMN ；（2）将ABC 沿x 轴向右平移得到A B C '''（其中A ，B ，C 的对应点分别为点A '，B '，C '），使得B C ''与（1）中OMN 的边NM 重合，画出平移后的三角形A B C '''； （3）求OE 的长．22．如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把△ADE 绕点A 顺时针旋转到△ABF 的位置，接EF ．（1）求证：△AEF 是等腰直角三角形；（2）若四边形AECF 的面积为25，DE=2，求AE 的长．23．把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG 叠放在一起（如图①），两直角三角板的直角边长均为4，且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合．现将三角板EFG 绕O 点按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：090α︒<<︒），四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1）在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系：________．（2）四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论．（3）连接HK ，在上述旋转过程中，设BH x =，GKH △的面积为y ，求y 与x 之间的关系，并通过“配方法”求出GKH △面积的最小值．24．如图：在ABC 中，90ACB ︒∠=，AC BC =，45PCQ ︒∠=，把PCQ ∠绕点C 旋转，在整个旋转过程中，过点A 作AD CP ⊥，垂足为D ，直线AD 交CQ 于E（1）如图①，当PCQ ∠在ACB ∠内部时，求证：AD BE DE +=；（2）如图②，当 CQ 在ACB ∠外部时，则线段AD BE 、与DE 的关系为________； （3）在（1）的条件下，若12CD =，2BCE ACD S S =△△，求AE 的长．25．在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90︒，画出旋转后得到的△AB 1C 1；直接写出点B 1的坐标；（2）作出△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 2B 2C 2，并直接写出点B 2的坐标． 26．在图中网格上按要求画出图形，并回答下列问题：（1）把△ABC 平移，使点A 平移到图中点D 的位置，点B 、C 的对应点分别是点E 、F ，请画出△DEF ；（2）画出△ABC 关于点D 成中心对称的△111A B C ；（3）△DEF 与△111A B C （填“是”或“否”）关于某个点成中心对称，如果是，请在图中画出对称中心，并记作点O ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据中心对称图形的定义即可得．【详解】A 、正六边形是中心对称图形，此项不符题意；B 、线段()213y x x =-+≤≤是中心对称图形，对称中心是点(2,0)，此项不符题意；C 、圆是中心对称图形，此项不符题意；D 、抛物线2y x x =+是关于直线12x =-轴对称的，不是中心对称图形，此项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形、抛物线的图象等知识点，熟练掌握概念是解题关键． 2．D解析：D【分析】根据旋转的性质，以原点为中心，将点P （3，4）旋转90°，分两种情况讨论即可得到点Q 所在的象限．【详解】如图，点P （3，4）按逆时针方向旋转90°，得到点1Q ，按顺时针方向旋转90°，得到点2Q ，得点Q 所在的象限为第二、四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．注意分类讨论． 3．C解析：C【分析】先根据平行四边形的性质可得60,//AD BC ABC ∠=︒，再根据平行线的性质可得130DA B '∠=︒，然后根据直角三角形的性质、旋转的性质可得30BA E BAE ''∠=∠=︒，最后根据角的和差即可得．【详解】四边形ABCD 是平行四边形，60ADC ∠=︒，60,//AD BC ABC ∴∠=︒，50ADA '∠=︒，180130DA B ADA ''∴∠=︒-∠=︒，AE BC ⊥，9030BAE ABC ∴∠=︒-∠=︒，由旋转的性质得：30BA E BAE ''∠=∠=︒，13030160DA E DA B BA E '''''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形与旋转的性质是解题关键．4．B解析：B【分析】分析题易可知点E 的运动轨迹是以DC 为半径以C 为圆心的圆，当A ，E ，C 三点共线且E在正方形ABCD 内部的时候AE 值最小．【详解】解：如图所示，连接AC∵正方形边长为1∴AC=2当A ，E ，C 三点共线且E 在正方形ABCD 内部的时候AE 值最小∴AE=AC-CE=2-1故选：B5．B解析：B【分析】连接PC ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出PC ，利用中点求出CM ，再根据三角形两边之和大于第三边即可求得PM 的最大值．【详解】解：如图连接PC ．在Rt △ABC 中，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，''90A CB ACB ∠=∠=︒，∵P 是A B ''的中点，M 是BC 的中点，∴CM=BM=1，PC=12A′B′=2 又∵PM≤PC+CM ，即PM≤3，∴PM 的最大值为3（此时P 、C 、M 共线）．故选：B ．【点睛】本题考查旋转变换、直角三角形30度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．6．C解析：C【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（-m，m-3）关于原点O的对称点是P′（m，3-m），再由第二象限内的点横坐标为负数，纵坐标为正数，可得m的取值范围．【详解】解：点P（-m，m-3）关于原点O的对称点是P′（m，3-m），∵P′（m，3-m），在第二象限，∴30 mm<⎧⎨->⎩，∴m＜0．故选：C．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，注意掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．7．A解析：A【分析】结合题意，相当于把正方体一个面，即正方形截去一个角，可以得到三角形、四边形、五边形．【详解】解：根据题意，结合实际，容器内水面的形状不可能是正方形、六边形、七边形．故选A．【点睛】此类问题也可以亲自动手操作一下，培养空间想象力．8．C解析：C【分析】如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】解：如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．∵B（2，0），△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∵AE⊥OB，∴OE=EB=1，∴AE=2222AO OE--，213==∵A′H⊥OH，∴∠A′HO=∠AEO=∠AOA′=90°，∴∠A′OH+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°，∴∠A′OH=∠OAE，∴△A′OH≌△OAE（AAS），∴A′H=OE=1，OH=AE=3，∴A′（-3，1），故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．C解析：C【分析】依据旋转的性质，即可得到∠BCQ=120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．【详解】如图，由旋转可得∠ACQ=∠B=60°，又∵∠ACB=60°，∴∠BCQ=120°，∵点D是AC边的中点，∴CD=4，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，此时，∠CDQ=30°，∴CQ=1CD=2，2∴=，∴DQ的最小值是故选：C．【点睛】此题考查旋转的性质，解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．10．C解析：C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．11．B解析：B【分析】运用旋转变换的性质得到AD＝AB，进而得到△ABD为等边三角形，求出BD即可解决问题．【详解】解：如图，由题意得：AD＝AB，且∠B＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB＝2，∴CD＝3.6﹣2.2＝1.4．故选：B．【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定等几何知识点及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是解题的关键．12．D解析：D【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B=30°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′得∠C′AB′=∠AB′B=30°，然后利用∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′进行计算．【详解】∵以点A 为中心，把△ABC 逆时针旋转120°，得到△AB'C′，∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，∴∠AB′B=12（180°-120°）=30°， ∵AC′∥BB′，∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，∴∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=120°-30°=90°．故选：D ．【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，解题关键在于掌握旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．二、填空题13．或【分析】画出图象共有两种情况利用平行的性质求出旋转角度【详解】解：①如图所示∵∴顺时针旋转；②如图所示∵∴∴顺时针旋转故答案是：或【点睛】本题考查图形的旋转和平行的性质解题的关键是掌握旋转的性质和 解析：30或210︒【分析】画出图象，共有两种情况，利用平行的性质求出旋转角度．【详解】解：①如图所示，∵//B C AC ''，∴30CAC C ∠=∠=''︒，顺时针旋转30；②如图所示，∵//B C AC ''，∴30CAB AB C '∠=∠='︒，∴30120150CAC ∠=︒+︒='︒，360150210︒-︒=︒，顺时针旋转210︒，故答案是：30或210︒．【点睛】本题考查图形的旋转和平行的性质，解题的关键是掌握旋转的性质和平行的性质． 14．6【分析】连接PC 由直角三角形的性质及旋转的性质可得根据可进行求解【详解】解：连接PC 如图所示：在Rt △ABC 中∵∠A=30°BC=4∴AB=8根据旋转的性质可得：∴∴PC=4∵CM=BM=2又∵即解析：6【分析】连接PC ，由直角三角形的性质及旋转的性质可得8A B AB ''==，4PC =，根据PM PC CM ≤+，可进行求解．【详解】解：连接PC ，如图所示：在Rt △ABC 中，∵∠A=30°，BC=4，∴AB=8，根据旋转的性质可得：8A B AB ''==，∴A P B P PC ''==，∴PC=4，∵CM=BM=2，又∵PM PC CM ≤+，即6PM ≤，∴PM 的最大值为6（此时P 、C 、M 共线）；故答案为6．【点睛】本题主要考查旋转的性质及直角三角形的斜边中线定理，熟练掌握旋转的性质及直角三角形的斜边中线定理是解题的关键．15．-4【分析】利用关于原点对称点的性质求出xy 的值进而求出答案【详解】解：∵点与点关于原点对称∴x-2=-4y-5=-3∴x=-2y=2∴xy=（-2）×2=-4故答案为：-4【点睛】本题考查了关于原解析：-4【分析】利用关于原点对称点的性质求出x ，y 的值，进而求出答案．【详解】解：∵点()2,3A x -与点()4,5B y -关于原点对称，∴x-2=-4，y-5=-3，∴x=-2，y=2，∴xy=（-2）×2=-4．故答案为：-4【点睛】本题考查了关于原点对称点的性质，根据与原点对称的点的坐标特点（纵坐标，横坐标都互为相反数）得出x ，y 的值是解题关键．16．【解析】试题 解析：5【解析】试题连接EC ，即线段EC 的长是点E 与点C 之间的距离，在Rt △ACB 中，由勾股定理得：2222325AB AC -=-=cm ）， ∵将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△FBE ，∴BC=BE ，∠CBE=60°，∴△BEC 是等边三角形，∴5 17．或【分析】连接两对对应点分别作出连线的垂直平分线其交点即为所求【详解】解：如图所示旋转中心P 的坐标为（33）或（66）故答案为（33）或（66）【点睛】本题主要考查了利用旋转变换进行作图根据旋转的性 解析：()3,3或()6,6【分析】连接两对对应点，分别作出连线的垂直平分线，其交点即为所求．【详解】解：如图所示，旋转中心P 的坐标为（3，3）或（6，6）．故答案为（3，3）或（6，6）．【点睛】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．18．40【分析】根据旋转的性质得出AD ＝AC ∠DAE ＝∠BAC ＝20°求出∠DAE ＝∠CAE ＝20°再求出∠DAC 的度数即可【详解】解：∵△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AED ∠BAC ＝20°∴AD ＝AC ∠解析：40【分析】根据旋转的性质得出AD ＝AC ，∠DAE ＝∠BAC ＝20°，求出∠DAE ＝∠CAE ＝20°，再求出∠DAC 的度数即可．【详解】解：∵△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AED ，∠BAC ＝20°，∴AD ＝AC ，∠DAE ＝∠BAC ＝20°，∵AE 垂直平分CD 于点F ，∴∠DAE ＝∠CAE ＝20°，∴∠DAC ＝20°+20°＝40°，即旋转角度数是40°，故答案为：40．【点睛】本题主要考查了图像旋转的性质以及垂直平分线的性质，从而得到边相等与角相等的条件．19．2【分析】过点E作EM⊥BD于点M则△DEM为等腰直角三角形根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出ME的长度再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF的长【详解】过点E作EM⊥BD于点M如图所解析：22【分析】过点E作EM⊥BD于点M，则△DEM为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出ME的长度，再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF的长．【详解】过点E作EM⊥BD于点M，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴△DEM为等腰直角三角形．∴EM＝2DE，∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM＝EC，设EM＝EC＝x，∵CD＝2，∴DE＝2﹣x，∴x＝2（2﹣x），2解得x＝22﹣2，∴EM＝22﹣2，由旋转的性质可知：CF＝CE＝22﹣2，∴BF＝BC+CF＝2+22﹣2＝22．故答案为：22．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是求出线段CF的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合角平分线以及等腰直角三角形的性质求出线段的长度是关键．20．4【分析】根据矩形的性质可以得到再由旋转的性质可得最后根据勾股定理即可求得的长度【详解】解：∵CD=2DA=2∴根据矩形的性质可得由旋转的性质可得：∴故答案为4【点睛】本题考查旋转性质及勾股定理的综解析：4【分析】根据矩形的性质可以得到AC =90AC CAC ︒'=∠='，最后根据勾股定理即可求得 CC '的长度．【详解】解：∵CD=2，DA=2，∴根据矩形的性质可得AC ==由旋转的性质可得：90AC AC CAC ==∠'=︒'，∴4CC ='==，故答案为4．【点睛】本题考查旋转性质及勾股定理的综合应用，根据旋转性质得到直角三角形的基础上应用勾股定理求出边的长度是解题关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析；（3）6．【分析】（1）以点O 为圆心，以OE 为半径画弧，与y 轴正半轴相交于点N ，以OD 为半径画弧，与x 轴负半轴相交于点M ，连接MN 即可；（2）以M 为圆心，以AC 长为半径画弧与x 轴负半轴相交于点A '，B '与N 重合，C '与M 重合，然后顺次连接即可；（3）设OE =x ，则ON =x ，作MF ⊥A 'B '于点F ，判断出B 'C '平分∠A 'B 'O ，再根据全等三角形的性质可得B 'F =B 'O =OE =x ，FC '=OC '=OD =3，利用勾股定理列式求出A 'F ，然后表示出A 'B '、A 'O ．在Rt △A 'B 'O 中，利用勾股定理列出方程求解即可．【详解】（1）以点O 为圆心，以OE 为半径画弧，与y 轴正半轴相交于点N ，以OD 为半径画弧，与x 轴负半轴相交于点M ，连接MN ；则△OMN 为所求，如图所示；（2）以M 为圆心，以AC 长为半径画弧与x 轴负半轴相交于点A '，B '与N 重合，C '与M 重合，然后顺次连接B′A′，A′C′，则△A 'B 'C '为所求如图所示；（3）设OE =x ，则ON =x ，作MF ⊥A 'B '于点F ，由旋转知∠OED=∠MNO ，由平移知A'B'C'B ∠=∠，由已知B OED ∠=∠∴∠MNO='''A B C ∠∴B 'C '平分∠A 'B 'O ，且C 'O ⊥OB '，∴∠B'FM=∠MON=90°，∠FB'M=∠OB'M．∵B'M=B'M，∴△FB'M≌△OB'M，∴B'F=B'O=OE=x，FC'=OC'=OD=3．∵A'C'=AC=5，∴A'F22=-=4，53∴A'B'=x+4，A'O=5+3=8，在Rt△A'B'O中，x2+82=(4+x)2，解得：x=6，即OE=6．【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，平移变换作图，勾股定理，熟练掌握旋转变换与平移变换的性质是解答本题的关键．22．（1）见解析；（2）AE29．【分析】（1）由旋转的性质可得AE=AF，∠EAF=90°，可得结论；（2）由题意可得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，可求正方形的边长，由勾股定理可求解．【详解】（1）∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，∴△ADE≌△ABF，∠EAF=90°，∴AE=AF，∴△AEF是等腰直角三角形；（2）∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，∴AD=DC=5，∵DE=2，∴Rt△ADE中，2222++=．AD DE5229【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．23．（1）BH CK =；（2）不变，证明见解析；（3）2482x x y -+=；2 【分析】（1）连接CG ，可通过证明KCG HBG ≅△△则可证得BH=CK ；（2）由KCG HBG ≅△△可得它们的面积相等，进而得出四边形CHGK 的面积不变； （3）过点G 作GQ BC ⊥于点Q ，利用等腰三角形的性质和勾股定理可求得222248GH GQ QH x x =+=-+，再利用KCG HBG ≅△△证得KGH 为等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式可得到y 与x 之间的关系式，然后利用二次函数的最值求法即可解答．【详解】（1）连接CG ，如图：∵ABC 为等腰直角三角形，G 为AB 中点，∴CG BG =，45ACG CBG ∠=∠=︒，90CGB ∠=︒，∵90KGC CGF ∠+∠=︒， 90CGF FGB ∠+∠=︒，∴KGC FGB ∠=∠，∴在KCG △与HBG 中，KCG HBG CG BGCGK BGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()KCG HBG ASA ≅△△，∴BH CK =，故答案为：BH=CK ．（2）∵KCG HBG ≅△△，∴CGK S △=GHB S∴CHGK CGK CGH S S S =+△△四边形CGH GHB S S =+△△CGB S =△12ABC S =△ 4=．故四边形CHGK 面积不变，为4．（3）过点G 作GQ BC ⊥于点Q ， ∵ABC 为等腰直角三角形，G 为AB 中点，∴2GQ =，2BQ =， ∴2QH x =-．故222248GH GQ QH x x =+=-+．由（1）可知GH KG =，又∵90KGH ∠=︒，∴GKH △为等腰直角三角形， ∴212GKH S GH =⨯△， ∴2482x x y -+=． ∵旋转角度为090α<<︒，∴x 的取值范围为02x <≤．又GKH △的面积：2482x x y -+= 2(2)42x -+= 2(2)2(02)2x x -=+<≤ ∵()220x -≥， ∴022y ≥+=（当x=2时取等号）．故GKH △面积最小值为2．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的性质，通过全等三角形将面积进行转换是解答的关键，综合性很强，平时应加强对各知识的综合运用．24．（1）见解析；（2）AD BE DE =+；（3）16【分析】（1）延长DA 到F ，连接CF ，使DF ＝DE ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE ＝CF ，再求出∠ACF ＝∠BCE ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△BCE 全等，根据全等三角形的即可证明AF ＝BE ，从而得证；（2）在AD 上截取DF ＝DE ，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE ＝CF ，再求出∠ACF ＝∠BCE ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△BCE 全等，根据全等三角形的即可证明AF ＝BE ，从而得到AD ＝BE ＋DE ；（3）根据等腰直角三角形的性质求出CD ＝DF ＝DE ，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF ＝2AD ，然后求出AD 的长，再根据AE ＝AD ＋DE 代入数据进行计算即可得解．【详解】证明：如图，延长DA 到F ，使DF DE =，∵CD AE ⊥，∴CE CF =，∴45DCE DCF PCQ ︒∠=∠=∠=，∴45ACD ACF DCF ︒∠+∠=∠=，又∵90,45ACB PCQ ︒︒∠=∠=，∴904545ACD BCE ︒︒︒∠+∠=-=，∴ACF BCE ∠=∠，在ACF 和BCE 中，CE CF ACF BCE AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACF BCE SAS ≅，∴AF BE =，∴AD BE AD AF DF DE +=+==即AD BE DE +=；（2）解：如图，在AD 上截取DF DE =，∵CD AE ⊥，∴CE CF =，∴45DCE DCF PCQ ︒∠=∠=∠=，∴90ECF DCE DCF ︒∠=∠+∠=，∴90BCE BCF ECF ︒∠+∠=∠=，又∵90ACB ︒∠=，∴90ACF BCF ︒∠+∠=，∴ACF BCE ∠=∠，在ACF 和BCE 中，CE CF ACF BCE AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACF BCE SAS ≅，∴AF BE =，∴AD AF DF BE DE =+=+，即AD BE DE =+；故答案为：AD BE DE =+．(3)如图，由（1）可得AFC BEC BE AF ≅=，∵2BCE ACD S S =△△∴2AF AD =且12AF AD DE CD +===，∴4AD =，∴16AE AD DE =+=．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及中垂线的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．25．（1）作图见解析； B 1（4，-2）；（2）作图见解析；B 2（-4，-4）【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B 、C 的对应点B 1、C 1，从而得到△AB 1C 1，再写出点B 1的坐标；（2）分别作出A ，B ，C 的对应点A 2，B 2，C 2即可．【详解】（1）如图，B 1（4，-2）；（2）如图，B 2（-4，-4）．【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．26．（1）见解析；（2）见解析；（3）是，见解析【分析】（1）由题意得出，需将点B 与点C 先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，据此可得；（2）分别作出三顶点分别关于点D的对称点，再首尾顺次连接可得；（3）连接两组对应点即可得．【详解】（1）如图所示，△DEF即为所求．（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；（3）如图所示，△DEF与△A1B1C1是关于点O成中心对称，故答案为：是．【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．。
(常考题)人教版初中数学九年级数学上册第三单元《旋转》测试(含答案解析)
一、选择题1．下面四个图案是常用的交通标志，其中为中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．以原点为中心，将点P （3，4）旋转90°，得到的点Q 所在的象限为（ ） A ．第二象限 B ．第三象限 C ．第四象限 D ．第二或第四象限 3．以下四幅图案，其中图案是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，1BC =，A B C ''由ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点A '与点A 、点B '与点B 是对应点，连接AB '，且点A 、B '、A '在同一条直线上，则AA '的长为（ ）A ．3B ．23C ．4D ．455．下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知点(2,3)A ，O 是坐标原点，将线段OA 绕点O 逆时针旋转90︒，点A 旋转后的对应点1A ，则点1A 的坐标是（ ）A ．(2,3)--B ．(2,3)-C ．(3,2)-D ．(3,2)- 7．下列命题的逆命题是真命题的是( )A ．等边三角形是等腰三角形B．若22>，则a bac bc>C．成中心对称的两个图形全等D．有两边相等的三角形是等腰三角形8．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（）．A．60 °B．75°C．85°D．90°10．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．11．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．12．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．二、填空题△，点E恰好落在斜边AB 13．如图，将Rt ABC绕点A逆时针旋转30°，得到Rt ADE∠=______．上，连接BD，则BDE14．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 在边CD 上．以点A 为中心，把ADE 顺时针旋转90︒至ABF 的位置，若2DE =，则FC =________．15．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是_____．16．如图，△ABC 、△BDE 都是等腰直角三角形，BA ＝BC ，BD ＝BE ，AC ＝4，DE ＝22．将△BDE 绕点B 逆时针方向旋转后得△BD'E'，当点E'恰好落在线段AD'上时，则CE'＝_______．17．如图，平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 相交于直角坐标系的原点．若点A 的坐标为（－2，3），则点C 的坐标为___________．18．矩形是中心对称图形，对矩形ABCD 而言，点A 的对称点是点____.19．如图，在平面直角坐标系中，点1P 的坐标2222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将线段1OP 绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为1OP 的2倍，得到线段2OP ；又将线段2OP 绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为2OP 的2倍，得到线段3OP ；如此下去，得到线段4OP 、5OP ，……，n OP （n 为正整数），则点2020P 的坐标是_________．20．如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，∠C=30°，AB=2，将ABC 绕着点A 顺时针旋转，得到AMN ，使得点B 落在BC 边上的点M 处，MN 与AC 交于点D ，则ADM △的面积为____．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，△ABC 各顶点都在格点上，点A ，C 的坐标分别为（-1，2）、（0，-1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）求AC 的长；（2）将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A 1B 1C ，直接写出A 点对应点A 1的坐标．22．如图，在等腰直角三角形MNC 中，90CNM ∠=︒且CN MN =，将MNC 绕点C 顺时针旋转60︒，得到ABC ，连接AM ．（1）判断CAM 的形状并证明；（2）若32AB =AM 的长．23．在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为'''．（2，1）．将此矩形绕点O逆时针旋转90°，得到矩形OA B C（1）求过点A、A'、C'的抛物线的解析式；（2）将矩形OABC沿x轴正方向平移，使点C落在抛物线上，求平移的距离．24．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC绕着点A顺时针旋转90︒，画出旋转后得到的△AB1C1；直接写出点B1的坐标；（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标．25．如图，等边△ABC中，P是BC边上任意一点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°．（1）请用圆规和无刻度的直尺作出旋转后的三角形（保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）记点P的对应点为Pʹ，试说明△APPʹ的形状，并说明理由26．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下列两种基本图形，请给予证明．（1）如图1，AC 与BD 交于点O ，AB ∥CD ，AB=CD ，求证：OA=OC ．（2）如图2，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D 、E ．求证：BD ＝AE ．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们用图1或图2的基本图形来解决问题：如图3，把一块含45°的直角三角板ABC （即ABC ∆是等腰直角三角形，90C =∠，AC BC =）绕点A 逆时针旋转后成为ADE ∆，已知点B 、C 的对应点分别是点D 、E ．连结BD ，并作射线CE 交BD 于点F ，试探究在旋转过程中，DF 与BF 的大小关系如何，并证明．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可；【详解】A 、图形旋转180度之后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；B 、图形旋转180度之后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；C 、图形旋转180度之后能与原图形重合，故是中心对称图形；D 、图形旋转180度之后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合；2．D解析：D【分析】根据旋转的性质，以原点为中心，将点P（3，4）旋转90°，分两种情况讨论即可得到点Q 所在的象限．【详解】Q，如图，点P（3，4）按逆时针方向旋转90°，得到点1Q，按顺时针方向旋转90°，得到点2得点Q所在的象限为第二、四象限．故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．注意分类讨论．3．A解析：A【分析】根据中心对称图形的定义逐一分析即可．【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．4．A解析：A【分析】先利用互余计算出∠BAC＝30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB＝2BC＝2，接着根据旋转的性质得A'B'＝AB＝2，B'C＝BC＝1，A'C＝AC，∠A'＝∠BAC＝30°，∠A'B' C＝∠B＝60°，于是可判断CA A'为等腰三角形，所以∠CA A'＝∠A'＝30°，再利用三角形外角性质计算出∠B'CA＝30°，可得B'A＝B'C＝1，然后利用A A'＝A B'+A'B'进行计算．【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×1＝2，∵ABC绕点C顺时针旋转得到A'B'C，∴A'B'＝AB＝2，B'C＝BC＝1，A'C＝AC，∠A'＝∠BAC＝30°，∠A'B'C＝∠B＝60°，∴CA A'为等腰三角形，∴∠CA A'＝∠A'＝30°，∵A、B'、A'在同一条直线上，∴∠A'B'C＝∠B'AC+∠B'CA，∴∠B'CA＝60°﹣30°＝30°，∴B'A＝B'C＝1，∴A A'＝A B'+A'B'＝2+1＝3．故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．5．B解析：B【分析】根据中心对称图形的概念和各图特点即可解答．【详解】解：根据中心对称图形的概念，可知B中的图形是中心对称图形，而A、C和D中的图形不是中心对称图形．故选：B．【点睛】考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．D解析：D根据点(,)x y 绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为(,)y x -解答即可．【详解】解：A 、1A 两点是绕原点逆时针旋转90︒得到的，1A ∴的坐标为(3,2)-．故选：D ．【点睛】考查由旋转得到的两点的坐标的变换；用到的知识点为：点(,)x y 绕原点逆时针旋转90︒得到的坐标为(,)y x -．7．D解析：D【分析】先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据等腰三角形的性质、不等式的性质、中心对称的性质等进行判断．【详解】A 、逆命题为：等腰三角形是等边三角形，是假命题，故本选项错误；B 、逆命题是：如果a ＞b ，则ac 2＞bc 2，是假命题，故本选项错误；C 、逆命题为：全等的两个图形成中心对称，是假命题，故本选项错误；D 、逆命题为：等腰三角形是有两边相等的三角形，故本选项正确；故选：D【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，并熟悉课本中的性质定理．8．D解析：D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确.故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称与中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．9．C解析：C试题分析：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，∴在Rt△ABF中，∠B=90°-∠BAD=25°，∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，即∠BAC的度数为85°．故选C．考点: 旋转的性质.10．D解析：D【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．故选D．11．D解析：D【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；B不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；D即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故选D.考点：轴对称图形和中心对称图形识别12．C解析：C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．二、填空题13．【分析】先根据旋转的性质可得再根据直角三角形的性质可得然后根据等腰三角形的性质三角形的内角和定理可得最后根据角的和差即可得【详解】由旋转的性质得：故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质等腰三角形的性 解析：15︒【分析】先根据旋转的性质可得,90,30AB AD AED C DAE =∠=∠=︒∠=︒，再根据直角三角形的性质可得60ADE ∠=︒，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得75ABD ∠=︒，最后根据角的和差即可得．【详解】由旋转的性质得：,90,30AB AD AED C DAE =∠=∠=︒∠=︒，9060ADE DAE ∴∠=︒-∠=︒，,30AB AD DAE =∠=︒，()1180752ABD ADB DAE ∴∠=∠=︒-∠=︒， 756015BDE ADB ADE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：15︒．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 14．8【分析】先根据旋转的性质和正方形的性质证明CBF 三点在一条直线上又知BF ＝DE ＝2可得FC 的长【详解】∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABC ＝∠D ＝90°AD ＝AB 由旋转得：∠ABF ＝∠D ＝90°BF解析：8【分析】先根据旋转的性质和正方形的性质证明C 、B 、F 三点在一条直线上，又知BF ＝DE ＝2，可得FC 的长．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝∠D ＝90°，AD ＝AB ，由旋转得：∠ABF＝∠D＝90°，BF＝DE＝2，∴∠ABF＋∠ABC＝180°，∴C、B、F三点在一条直线上，∴CF＝BC＋BF＝6＋2＝8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、旋转变换的性质，难度适中．由旋转的性质得出BF＝DE 是解答本题的关键．15．（1﹣2）【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（xy）关于原点的对称点是（﹣x﹣y）可得答案【详解】解：在直角坐标系中点（﹣12）关于原点对称点的坐标是（1﹣2）故答案为（1﹣2）【点睛】本题考查解析：（1，﹣2）【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），可得答案．【详解】解：在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是（1，﹣2），故答案为（1，﹣2）．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．16．【分析】如图连接CE′过B作BH⊥CE′于H根据等腰直角三角形的性质可得AB＝BC＝BD＝BE＝2根据旋转的性质可得∠D′BD＝∠ABE′D′B＝BE′＝BD＝2根据角的和差关系可得∠ABD′＝∠C【分析】如图，连接CE′，过B作BH⊥CE′于H，根据等腰直角三角形的性质可得AB＝BC＝BD＝BE＝2，根据旋转的性质可得∠D′BD＝∠ABE′，D′B＝BE′＝BD＝2，根据角的和差关系可得∠ABD′＝∠CBE′，利用SAS可证明△ABD′≌△CBE′，可得∠D′＝∠CE′B＝45°，可得出BE′，利用勾股定理可求出CH的长，进而可得CE′的长.BH＝E′H＝2【详解】如图，连接CE′，过B作BH⊥CE′于H，∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝∴AB＝BC＝，BD＝BE＝2，∵将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90°，∠D′BD＝∠ABE′，∴∠ABD′＝∠CBE′，在△ABD′和△CBE中AB BCABD CBE BD BE''=⎧⎪∠=∠''⎨⎪=⎩∴△ABD′≌△CBE′（SAS），∴∠D′＝∠CE′B＝45°，过B作BH⊥CE′于H，在Rt△BH E′中，BH＝E′H＝22BE′＝2，在Rt△BCH中，CH＝22BC CH-=826-=，∴CE′＝26+，26【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用，熟练掌握旋转的性质是解题关键.17．【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知点A与点C关于原点对称所以C的坐标为（2-3）【详解】∵在平行四边形ABCD中A点与C点关于原点对称∴C点坐标为（2-3）故答案为：（2-3）【点睛】本题主解析：(2,3)-【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A与点C关于原点对称，所以C的坐标为（2，-3）.【详解】∵在平行四边形ABCD中，A点与C点关于原点对称，∴C点坐标为（2，-3）．故答案为：（2，-3）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的关系．要会根据平行四边形的性质得到点A与点C关于原点对称的特点，是解题的关键．18．C【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°如果旋转后的图形能够与原来的图形重合那么这个图形就叫做中心对称图形这个点叫做对称中心可得答案【详解】解：矩形是中心对称图形对称中心是对角线的交点点A的对称解析：C【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．【详解】解：矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，点A的对称点是点C，故答案为C．【点睛】本题考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的性质．19．（0-22019）【分析】根据题意得出OP1=1OP2=2OP3=4如此下去得到线段OP3=4=22OP4=8=23…OPn=2n-1再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上进解析：（0，-22019）【分析】根据题意得出OP1=1，OP2=2，OP3=4，如此下去，得到线段OP3=4=22，OP4=8=23…，OP n=2n-1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案．【详解】解：∵点P1的坐标为2222⎛⎝⎭，将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP1；∴OP1=1，OP2=2，∴OP3=4，如此下去，得到线段OP4=23，OP5=24…，∴OP n=2n-1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8=252…4，∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴负半轴上，∴点P2020的坐标是（0，-22019）．故答案为：（0，-22019）．【点睛】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P2014的坐标与点P6的坐标在同一直线上是解题关键．20．【分析】先根据直角三角形的性质可得再根据旋转的性质可得然后根据等边三角形的判定与性质可得又根据三角形的外角性质三角形的内角和定理可得最后根据直角三角形的性质勾股定理可得据此利用直角三角形的面积公式即【分析】先根据直角三角形的性质可得60B ∠=︒，再根据旋转的性质可得2,60AM AB AMN B ==∠=∠=︒，然后根据等边三角形的判定与性质可得60AMB ∠=°，又根据三角形的外角性质、三角形的内角和定理可得30DAM ∠=︒，90ADM ∠=︒，最后根据直角三角形的性质、勾股定理可得1,DM AD ==用直角三角形的面积公式即可得．【详解】在Rt ABC 中，90,30,2BAC C AB ∠=︒∠=︒=，60B ∴∠=︒，由旋转的性质可知，2,60AM AB AMN B ==∠=∠=︒，ABM ∴是等边三角形，60AMB ∴∠=︒，30DAM AMB C ∴∠=∠-∠=︒，18090ADM DAM AMN ∴∠=︒-∠-∠=︒，在Rt ADM △中，11,2DM AM AD ====，则ADM △的面积为111222DM AD ⋅=⨯=，故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 三、解答题21．（1；（2）作图见解析，A 1（-3，-2）【分析】（1）结合题意，根据勾股定理的性质计算，即可得到答案；（2）根据旋转的性质，结合题意，分别作出A ，B 的对应点A 1，B 1，即可解决问题．【详解】（1）结合题意得：AC ==． （2）结合题意，得1A C AC =，1B C BC =∴()103,11A ---，即()13,2A --△A 1B 1C 作图如下：．【点睛】本题考查了勾股定理、直角坐标系、旋转的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、直角坐标系、旋转的性质，从而完成求解．22．（1）CAM 为等边三角形；见解析；（2）AM 6=．【分析】（1）根据有一个角为60︒的等腰三角形为等边三角形进行证明即可；（2）根据勾股定理即可求解．【详解】（1）CAM 为等边三角形．证明：∵MNC 绕点C 顺时针旋转60︒，得到ABC ，∴CA CM =，ACM 60∠=︒∴CAM 为等边三角形；（2）∵NC M 是等腰直角三角形∴ABC 是等腰直角三角形 ∵B CB=32A =∴()()2222AC 32326AB CB =+=+= ∵CAM 为等边三角形∴AM 6=【点睛】此题主要考查等边三角形的判定、勾股定理，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题关键．23．（1）A （2，0）、A '（0，2）、C '（－1，0）; 22y x x =-++；（215+ 【分析】（1）先根据图象和题意求得点A 、A '、C '的坐标，再利用待定系数法代入抛物线一般式()20y ax bx c a =++≠求得解析式；（2）设线段BC 与抛物线的交点为P （m ，1），将点P （m ，1）代入抛物线解析式可得关于m 的一元二次方程，解方程即可求解.【详解】解：（1）∵四边形OABC 和四边形OA B C '''都是矩形，∴OA ＝OB ，A B OC '''=,∵B （2，1）∴A （2,0）∵矩形OA B C '''是矩形OABC 旋转90°得到的∴矩形OA B C '''≌矩形OABC∴1A B OC AB '=''==，=2OA OA '=故()1,0C '-，()0,2A '设抛物线解析式为()20y ax bx c a =++≠，将点A 、A '、C '的坐标代入得：04220a b c ca b c =++⎧⎪=⎨⎪=-+⎩解得：121a c b =-⎧⎪=⎨⎪=⎩故抛物线解析式为：22y x x =-++（2）设线段BC 与抛物线的交点为P （m ，1）将点P （m ，1）代入抛物线解析式可得：212m m =-++即210m m --=解得m = 故矩形OABC 沿x个单位使点C 落在抛物线上. 【点睛】本题主要考查图形的旋转、二次函数图象及其性质、二次函数解析式、矩形的性质，解题的关键是熟练掌握所学知识.24．（1）作图见解析； B 1（4，-2）；（2）作图见解析；B 2（-4，-4）【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B 、C 的对应点B 1、C 1，从而得到△AB 1C 1，再写出点B 1的坐标；（2）分别作出A ，B ，C 的对应点A 2，B 2，C 2即可．【详解】（1）如图，B 1（4，-2）；（2）如图，B2（-4，-4）．【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．25．（1）见解析；（2）△APPʹ是等边三角形，理由见解析．【分析】（1）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形即可；（2）根据“含有60°角的等腰三角形是等边三角形”进行判断△APPʹ的形状．【详解】解：（1）如图所示，（2）△APPʹ是等边三角形，如图，连接PPʹ,根据作图得∠PAPʹ=60°，AP=APʹ，∴△APPʹ是等边三角形．【点睛】本题考查的是作图-旋转变换和等边三角形的判断，熟知图形旋转的性质及等边三角形的判定定理是解答此题的关键．26．（1）见解析；（2）见解析；（3）DF BF =，理由见解析【分析】（1）利用三角形ABD CDO ∆∆，全等来证即可（2）利用一线三直角证2B ∠=∠，再证两三角形全等即可（3）证F 为BD 中点，构造一个三角形，过点D 作DG ∥BC ，交CF 延长线于点G ，只要证GDF CBF ∆∆≌，看看条件DG ∥BC ，有BCF G ∠=∠，以及DFG CFB =∠∠，差一边，由旋转知BC D E =，只要证GD=DE ，由90AED ∠=︒，得90AEC DEG ∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，则90BCF ACE ∠+∠=︒，AE=AC ，=ACE AEC ∠∠，得到BCF DEF=G ∠=∠∠，DG=DE=BC ，为此GDF CBF ∆∆≌得证即可．【详解】证明：（1）∵AB ∥CD ∴A C ∠=∠，B D ∠=∠，又∵AB CD =∴()ABD CDO ASA ∆∆≌，∴OA OC =，（2）∵BD l ⊥，CE l ⊥，∴90BDA CEA ∠=∠=︒∴190B ∠+∠=︒，∵90BAC ∠=︒∴1290∠+∠=︒∴2B ∠=∠，又∵AB AC =∴()ABD CAE AAS ∆∆≌，∴BD AE =，，（3）DF BF =．理由如下：，法一：过点D 作DG ∥BC ，交CF 延长线于点G ，∴G BCF ∠=∠∵90ACB ∠=︒∴90BCF ACE ∠+∠=︒，由旋转得：AC AE =∴ACE AEC ∠=∠，∵90AED ∠=︒∴90AEC DEG ∠+∠=︒，∴BCF DEG ∠=∠∴G DEG ∠=∠∴DE DG =，又∵DE BC =∴DG BC =，又∵DFG CFB =∠∠∴()GDF CBF AAS ∆∆≌，∴DF BF =，法二：作AH EC ⊥，BM CF ⊥，DN CF ⊥交CF 延长线于N ，∵AC AE =∴CH EH =，∵90ACB ∠=︒∴90BCF ACH ∠+∠=︒，又∵90ACH HAC ∠+∠=︒，AC BC =，∴ACH CBM ∆∆≌∴CH BM =∴EH BM =，在AEH ∆与EDN ∆中，由图2可证：EH DN =∴DN BM =，∵DN CF ⊥，BM CF ⊥∴DN ∥BM ，在DNF ∆与BMF ∆中，由图1可证：DF BF =．【点睛】本题考查利用全等证线段相等问题，利用好平行线，使问题得以解决，利用好一线三直角，找到∠B=∠CAE ，使问题得以解决，利用好旋转，有线等就有角等，使∠G=∠DEG=∠BCG ，GD=DE=BC ，使问题得以解决．。
九年级数学上册《旋转的定义及其性质》练习题及答案解析
九年级数学上册《旋转的定义及其性质》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．下列事件中，属于旋转运动的是（）A．小明向北走了4米B．小明在荡秋千C．电梯从1楼到12楼D．一物体从高空坠下2．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体正向下运动，为了使所有图案消失，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失（）A．顺时针旋转90，向右平移B．逆时针旋转90，向右平移C．顺时针旋转90，向下平移D．逆时针旋转90，向下平移3．如图是边长为1的正方形组成的网格，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，则顶点B所经过的路径长为（）A B C．2πD34．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O 被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A ．（4B ．2米C ．3米D ．（）米5．如图，把两根木条AB 和AC 的一端A 用螺栓固定在一起，木条AB 自由转动至AB ′位置．在转动过程中，下面的量是常量的为（ ）A ．⊙BAC 的度数B ．AB 的长度C ．BC 的长度D ．⊙ABC 的面积6．如图，Rt⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，点D 是斜边上任意一点，将点D 绕点C 逆时针旋转60°得到点E ，则线段DE 长度的最小值为（ ）A ．125B ．65C ．52D ．37．三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB CF ∥，90F ACB ∠=∠=︒，45E ∠=︒，60A ∠=︒，则CBD ∠的度数是（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒8．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4a ，E 在BC 上，BE ＝2a ，120BAD ∠=︒，P 点在BD 上，则PE +PC 的最小值为（ ）A ．6aB ．5aC ．4aD ．二、填空题9．下列图形中，可由基本图形平移得到的是_____（填图形编号）10．如图，在⊙ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点F 是线段DE 上的一点、连接AF ，BF ，⊙AFB ＝90°，且AB ＝8，BC ＝14，则EF 的长是______．11．如图，在ABC 中，点D 是AB 上一点，连接CD ，AC =2BC =，1DB =，CD =AB 的长为________．12．如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角115A ∠=︒，第二次拐的角145B ∠=︒，第三次拐的角是C ∠，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则C ∠的度数是______．三、解答题13．如图1，直线DE 上有一点O ，过点O 在直线DE 上方作射线OC ．将一直角三角板()30AOB OAB ∠=︒的直角顶点放在点O 处，一条直角边OA 在射线OD 上，另一边OB 在直线DE 上方．将直角三角板绕着点O 按每秒20︒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t 秒．(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA 恰好平分COD ∠，此时，BOC ∠与∠BOE 之间有何数量关系？并说明理由；(2)在旋转的过程中，若射线OC 的位置保持不变，且140COE ∠=︒．⊙当边AB 与射线OE 相交时（如图3），则AOC BOE ∠-∠的值为_______；⊙当边AB 所在的直线与OC 平行时，求t 的值．14．如图，点O 是等边⊙ABC 内一点．将⊙BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得⊙ADC ，连接OD ．已知⊙AOB ＝110°．(1)求证：⊙COD 是等边三角形；(2)当α＝150°时，试判断⊙AOD 的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，⊙AOD 是等腰三角形．15．如图，将一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使 C 、A 两点重合，点D 落在点G 处.已知AB ＝4，BC ＝8.(1)求证：△AEF是等腰三角形；(2)求线段FD的长.16．已知：如图，FA⊙AC，EB⊙AC，垂足分别为A、B，且⊙BED+⊙D=180°．求证：AF⊙CD．参考答案与解析：1．B【分析】根据旋转的定义，即可求解．【详解】解：A、小明向北走了4米是平移，A不符合题意；B、小明在荡秋千是旋转，B符合题意；C、电梯从1楼到12楼是平移，C不符合题意；D、一物体从高空坠下是平移，D不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了旋转的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转是解题的关键．2．A【详解】分析：运用旋转和平移性质可得.详解：由已知可得，顺时针旋转90°，向右平移，能把右下角完全填补.只有选项A符合条件，其他选项不能符合条件.故选A.点睛：本题考核知识点：旋转和平移.解题关键点：理解旋转性质和平移性质，同时理解游戏规则即可. 3．B【分析】先根据勾股定理计算出BC B所经过的路径为弧，根据旋转的性质得弧所对的圆心角为60°，然后根据弧长公式求解．【详解】解：BC所以顶点B所经过的路径长=．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了弧长公式．4．A【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊙AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD 的长，由CD=OC﹣OD即可求解．【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为AB的中点，AB=3，连接OC交AB于D，则OC⊙AB，AD=BD=12在Rt⊙OAD中，OA=4，AD=3，⊙OD，⊙CD=OC﹣OD=4即点C到弦AB所在直线的距离是（4故选：A．【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．5．B【分析】根据题意易知木条AB绕点A自由转动至AB′过程中，AB的长度始终不变，然后问题可求解．【详解】解：木条AB绕点A自由转动至AB′过程中，AB的长度始终不变，故AB的长度是常量；而⊙BAC的度数、BC的长度、△ABC的面积一直在变化，均是变量．故选：B．【点睛】本题主要考查函数的概念，旋转的性质，熟练掌握变量与常量的概念是解题的关键．6．A【分析】由旋转的性质可证⊙CDE为等边三角形，当DE最短，CD最短，CD⊙AB时，CD最短，由直角三角形等面积法，即可求得．【详解】解：由旋转的性质得，CD＝CE，⊙DCE＝60°，⊙⊙CDE为等边三角形，⊙CD＝CE＝DE，当DE最短，CD最短，当CD⊙AB时，CD最短，此时S△ABC＝12AC•BC＝12AB•CD，即AC•BC＝AB•CD，在Rt⊙ABC中，⊙ACD＝90°，AB＝5，BC＝3，由勾股定理得，AC＝4，⊙3×4＝5CD，⊙CD＝125，⊙线段DE长度的最小值是125，⊙故选：A ．【点睛】本题主要考查了旋转以及等边三角形，熟练等面积法是解决本题的关键．7．B【分析】先根据三角形内角和等于180º求出⊙ABC 和⊙EDF 的度数，再根据平行线的性质可得⊙ABD =⊙EDF ，利用角的和差即可求出⊙CBD 的度数．【详解】⊙⊙ABC 中，⊙ACB =90º，⊙A =60º，⊙⊙ABC =180º-90º-60º=30º．⊙⊙DEF 中，⊙F =90º，⊙E =45º，⊙⊙EDF =180º-90º-45º=45º．⊙AB ⊙CF ，⊙⊙ABD =⊙EDF =45º．⊙⊙CBD =⊙ABD -⊙ABC=45º-30º=15º．故选B【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理和平行线的性质定理是解题的关键．8．D【分析】连接,,AP AC AE ，先证出PE PC PE PA +=+，再两点之间线段最短可得当点,,A P E 共线时，PE PA +取得最小值，最小值为AE 的长，然后根据等边三角形的性质、勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，连接,,AP AC AE ，⊙四边形ABCD 为菱形，120BAD ∠=︒，4AB a =，⊙,A C 关于BD 对称，60ABC ∠=︒，4AB BC a ==，⊙PA PC =，则PE PC PE PA +=+，由两点之间线段最短可知，当点,,A P E 共线时，PE PA +取得最小值，最小值为AE 的长，又60ABC ∠=︒，4AB BC a ==，⊙ABC 为等边三角形，122BE a BC ==， ⊙AE BC ⊥，⊙AE ，即PE PC +的最小值为，故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．9．⊙⊙⊙【分析】根据平移的性质，对每个选项进行分析即可．【详解】解：能由一个三角形平移得到，⊙⊙正确；因图中的图形大小不都相同，不能由一个平移得到，⊙⊙错误；能由一个图形经过平移得出，⊙⊙正确；能由一个正方形经过平移得到，⊙⊙正确；故答案为：⊙⊙⊙．【点睛】本题考查了图形的平移，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小、方向，解题的关键在于正确识别图形．10．3【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线的性质即可得到结论．【详解】解：⊙点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，⊙DE 是⊙ABC 的中位线，⊙BC =14，⊙DE =12BC =7，⊙⊙AFB =90°，AB =8，⊙DF =AB =4，⊙EF =DE -DF =7-4=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．11．4【分析】首先在⊙CDB中，BC2＝CD2＋DB2，由勾股定理的逆定理得到⊙CDB为直角三角形，所以⊙CDB ＝90°，在Rt⊙ADC中由勾股定理可求出AD的值，从而求出AB＝AD＋DB＝4.【详解】解：在⊙CDB中，BC2＝22＝4，CD2＋DB2＝2214+=，⊙ BC2＝CD2＋DB2，⊙⊙CDB为直角三角形，⊙⊙CDB＝90°，⊙⊙ADC=90°，在Rt⊙ADC中，由勾股定理可得3AD=，⊙AB＝AD＋DB＝4.故答案为：4.【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握勾股定理和逆定理的应用方法是本题的解题关键. 12．150°【分析】首先过点B作BD//AE，又由已知AE//CF，即可得AE//BD//CF，然后根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，即可求得答案．【详解】解：过点B作BD//AE，⊙⊙1＝⊙A＝115°，⊙⊙2＝⊙ABC﹣⊙1＝145°﹣115°＝30°，由已知可得：AE//CF，⊙AE//BD//CF，⊙⊙2+⊙C＝180°，⊙⊙C＝180°﹣⊙2＝180°﹣30°＝150°．故答案为：150°．【点睛】此题考查了平行线的性质及判定．注意掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补与辅助线的作法是解此题的关键．13．(1)BOC BOE ，理由见解析(2)⊙50︒；⊙ 3.5t =或12.5t =【分析】（1）由90AOB ∠=︒，可知90BOC AOC ∠+∠=︒，90AOD BOE ∠+∠=︒，由OA 平分COD ∠，可知AOD AOC ∠=∠，进而可证BOC BOE ；（2）由140COE ∠=︒，18040COD COE ∠=︒-∠=︒，可知140AOC COE AOE AOE ∠=∠-∠=︒-∠，90BOE AOE ∠=︒-∠，进而得()()1409050AOC BOE AOE AOE ∠-∠=︒-∠-︒-∠=︒，由此可求出结果； ⊙由140COE ∠=︒以及18040COD COE ∠=︒-∠=︒，结合题意可分两种情况：当AB 在直线DE 上方时，或当AB 在直线DE 下方时，将两种情况分别进行讨论求解即可．（1）BOC BOE ，理由如下：⊙90AOB ∠=︒，⊙90BOC AOC ∠+∠=︒，90AOD BOE ∠+∠=︒，⊙OA 平分COD ∠，⊙AOD AOC ∠=∠，⊙BOC BOE ；（2）⊙50︒；⊙140COE ∠=︒，⊙18040COD COE ∠=︒-∠=︒，⊙140AOC COE AOE AOE ∠=∠-∠=︒-∠，90BOE AOE ∠=︒-∠，⊙()()1409050AOC BOE AOE AOE ∠-∠=︒-∠-︒-∠=︒，⊙AOC BOE ∠-∠的值为50︒．⊙⊙140COE ∠=︒，⊙18040COD COE ∠=︒-∠=︒，（I ）如图3-1，当AB 在直线DE 上方时，⊙AB OC ∥，⊙30AOC A ∠=∠=︒，⊙70AOD AOC COD ∠=∠+∠=︒，⊙直角三角板绕点O 按每秒20︒的速度旋转，⊙7020 3.5t =︒÷︒=；（II ）解法一：如图3-2，当AB 在直线DE 下方时，⊙AB OC ∥，⊙60COB B ∠=∠=︒，⊙20BOD BOC COD ∠=∠-∠=︒，9020110AOD ∠=︒+︒=︒，⊙直角三角板AOB 绕点O 旋转的角度为360250AOD ︒-∠=︒，⊙直角三角板AOB 绕点O 按每秒20︒的速度逆时针旋转，⊙()3601102012.5t =︒-︒÷︒=，解法二：如图3-3，在⊙（⊙）的基础上，继续将直角三角板11AOB 绕点O 按每秒20︒的速度逆时针旋转180︒，得到直角三角板AOB ，此时，AB OC ∥，⊙直角三角板AOB 绕点O 旋转的角度为18070250︒+︒=︒，⊙直角三角板AOB 绕点O 按每秒20︒的速度逆时针旋转，⊙2502012.5t =︒÷︒=，综合（⊙）（⊙）得： 3.5t =或12.5t =．【点睛】本题考查旋转问题，角平分线的性质，以及角的互相转换，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．14．(1)见解析(2)直角三角形，见解析(3)125°，或140°，或110°【分析】（1）根据旋转后，图形不变，OC DC =，60OCD ∠=︒，根据等边三角形的判定定理，即可证明COD△是等边三角形；（2）根据旋转后，图形不变，BOC CDA α∠=∠=，根据COD △是等边三角形，得60CDO ∠=︒，得60ADO ADC ∠=∠-︒，即可证明AOD △的形状；（3）根据AOD △是等腰三角形，依次讨论AD OA =，AD OD =，AO OD =；根据等边对等角，进行讨论，求出α的度数，即可．（1）⊙BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60︒得ADC⊙OC DC =，60OCD ∠=︒⊙COD △是等边三角形．（2）⊙ADC 是由BOC 旋转后得到的⊙BOC CDA α∠=∠=⊙COD △是等边三角形⊙60CDO ∠=︒⊙150ADC CDO ADO ∠=∠+∠=︒⊙1506090ADO ∠=︒-︒=︒⊙AOD △是直角三角形．（3）⊙ADC 是由BOC 旋转后得到的⊙BOC ADC α∠=∠=⊙ADO ADC CDO ∠=∠-∠⊙COD △是等边三角形⊙60CDO ∠=︒，60OCD ∠=︒⊙60ADO α∠=-︒⊙110AOB ∠=︒⊙360AOD AOB COD α∠=︒-∠--∠⊙36011060190AOD αα∠=︒-︒--︒=︒-⊙在AOD △中，180AOD ADO OAD ∠+∠+∠=︒⊙()19060180OAD αα-+-︒+∠=︒⊙50OAD ∠=︒⊙AOD △是等腰三角形⊙AD OA =①⊙AOD ADO ∠=∠⊙19060αα︒-=-︒⊙125α=︒AD OD =②⊙OAD AOD ∠=∠⊙50190α︒=︒-⊙140α=︒AO DO =③⊙OAD ADO ∠=∠⊙5060α︒=-︒⊙110α=︒⊙当α为125︒、140︒、110︒时，AOD △是等腰三角形．【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形，等腰三角形等知识，解题的关键是掌握旋转后图形大小不变，等边三角形的判定，等腰三角形的性质．15．(1)证明见解析；(2)FD ＝3【分析】（1）由折叠性质可知⊙AEF =⊙CEF ，由AD ∥BC 可得⊙AFE =⊙CEF ，所以⊙AEF =⊙AFE ，由等角对等边即可得证；（2）由折叠性质并结合（1）中结论可设CE =AE =AF =x ,则BE =8-x ,在Rt △ABE 中，根据勾股定理222AB BE AE +＝建立方程，即22248x x +（﹣）＝，解得x =5，最后求出FD 的长． （1）证明：由折叠性质可知，⊙AEF ＝⊙CEF ，由矩形性质可得AD∥BC，⊙⊙AFE＝⊙CEF，⊙⊙AEF＝⊙AFE.⊙AE＝AF，故△AEF为等腰三角形.（2）解：由折叠可得AE＝CE，设CE＝x＝AE，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，⊙⊙B＝90°，在Rt△ABE中，有222AB BE AE+＝，即222+（﹣）＝，解得：x＝5.48x x由（1）结论可得AF＝AE＝5，故FD＝AD﹣AF＝BC﹣AF＝8﹣5＝3.【点睛】本题考查了矩形的性质，图形折叠的性质，等腰三角形的证明，平行线的性质，勾股定理，根据勾股定理建立方程求解线段长是解题的关键．16．见解析【分析】在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，依此可证AF⊙EB；同旁内角互补，两直线平行，依此可证BC⊙EB；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，依此可证AF⊙CD．【详解】证明：⊙FA⊙AC，EB⊙AC，⊙AF⊙EB，⊙⊙BED+⊙D=180°，⊙CD⊙EB，⊙AF⊙CD．【点睛】考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．⊙同位角相等⇔两直线平行，⊙内错角相等⇔两直线平行，⊙同旁内角互补⇔两直线平行．。
人教版初中数学九年级数学上册第三单元《旋转》测试题(有答案解析)
一、选择题1．下面四个图案是常用的交通标志，其中为中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．如图，在ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒，直角EPF ∠的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，当EPF ∠在ABC 内绕点P 旋转时，下列结论错误的是（ ）A ．AE CF =B ．EPF 为等腰直角三角形C ．EP AP =D ．2ABC AEPF S S =四边形4．以下四幅图案，其中图案是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．如图，将一个含30角的直角三角尺AOB 放在平面直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重叠．已知30OAB ∠=︒，12AB =，点D 为斜边AB 的中点，现将三角尺AOB 绕点O 顺时针旋转90︒，则点D 的对应点D 的坐标为（ ）A ．(33,3)B ．(63,6)-C ．(3,33)-D ．(33,3)- 7．如图，等边△OAB 的边OB 在x 轴上，点B 坐标为（2，0），以点O 为旋转中心，把△OAB 逆时针转90︒，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是（ ）A ．（-1，3）B ．（3，-1）C ．（31-，）D ．（-2，1） 8．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE ，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD ⊥BC ，∠BAC 的度数为（ ）．A ．60 °B ．75°C ．85°D ．90°9．下列四个图案中，不是中心对称图案的是（ ）A ．B ．C ．D ． 10．如图，把△ABC 绕着点A 逆时针旋转40°得到△ADE ，∠1＝30°，则∠BAE ＝（ ）A ．10°B ．30°C ．40°D ．70°11．如图，以点A 为中心，把△ABC 逆时针旋转120°，得到△AB'C′（点B 、C 的对应点分别为点B′、C′），连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．70°D ．90° 12．若点A （3－m ，n+2）关于原点的对称点B 的坐标是（－3，2），则m ，n 的值为（ ）A ．m=－6，n=－4B ．m=O ，n=－4C ．m=6，n=4D ．m=6，n=－4 二、填空题13．如图，线段BC 为一个通信公司，该公司与两个通信点,A D 恰好围成一个正方形的,ABCD 公司BC 长度为100米，公司准备在正方形ABCD 内要建设一个通信中转站点P ，在通信公司的BC 边上架设一个通讯中心点Q ，在通信中转站点P 到两个通信点,A D 和通讯中心点Q 之间铺设通信光缆，则铺设光缆的最短长度为________米．14．已知点(,2)A m m 在直线3y x 上，则点A 关于原点对称点B 的坐标为______． 15．如图，把ABC ∆绕点A 旋转，点B 旋转至BC 边的点D 位置，EAC α∠=︒，则ADE ∠的度数为_____．16．如图，将OAB 绕点O 逆时针旋转70°到OCD 的位置，若40AOB ︒∠=，则AOD ∠=_______________．17．如图，在ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝30°，将ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到11AB C △，连接BC 1，则BC 1的长为__________ ．18．将点P （-2，3）向右平移3个单位得到点P 1，点P 2与点P 1关于原点对称，则P 2的坐标是______19．如图，把ABC ∆绕顶点C 按顺时针方向旋转得到△A B C ''，当A B AC ''⊥，47A ∠=︒，128A CB ∠='︒时，B CA '∠的度数为_____.20．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90°后，得到矩形AB′C′D′，若CD ＝2，DA=2，那么CC′=____________．三、解答题21．如图1，等腰Rt ABC 中，90A ∠=︒，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______． （2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若8AD =，20AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．22．把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG 叠放在一起（如图①），两直角三角板的直角边长均为4，且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合．现将三角板EFG 绕O 点按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：090α︒<<︒），四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1）在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系：________．（2）四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论．（3）连接HK ，在上述旋转过程中，设BH x =，GKH △的面积为y ，求y 与x 之间的关系，并通过“配方法”求出GKH △面积的最小值．23．如图，P 是正方形ABCD 内一点，△ABP 绕着点B 旋转后能到达△CBE 的位置． （1）旋转的角度是多少度？（2）若BP =3cm ，求线段PE 的长．24．已知在平面直角坐标系中，A （﹣2，0）、B （3，﹣1）、C （2，2），格中每一格表示一个单位长度，请解答以下问题：（1）求作出△ABC ；（2）将△ABC 平移，使得平移后点C 的对应点为原点，A 、B 的对应点分别为A 1，B 1，请作出平移后的△A 1B 1O ，并直接写出平移的距离为 ；（3）将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°，得到△AB 2C 2，B 、C 的对应点分别为B 2、C 2，请作出△AB 2C 2，并求出B 2、C 2点的坐标．25．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，Rt ABC 的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系以后，点A 的坐标为()6,1-，点B 的坐标为()3,1-，点C 的坐标为()3,3-．（1）将Rt ABC 先沿x 轴正方向平移7个单位长度，再沿y 轴负方向平移1个单位长度得到111Rt A B C △，请在图上画出111Rt A B C △并标明相应字母，并写出点1A 的坐标； （2）若Rt ABC 内部一点P 的坐标为(),a b ，则按（1）中的方式平移后点P 的对应点1P 的坐标是 ；（3）将Rt ABC 绕点O 顺时针旋转180︒得到222RtA B C ，请在图上画出222Rt A B C 且标明相应字母，并写出点2A 的坐标．26．在6×6方格中，每个小正方形的边长为1，点A ，B 在小正方形的格点上，请按下列要求画一个以AB 为一边的四边形，且四边形的四个顶点都在格点上．（1）在图甲中画一个是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在图乙中画一个既是中心对称图形又是轴对称图形．参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可；【详解】A 、图形旋转180度之后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；B 、图形旋转180度之后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；C 、图形旋转180度之后能与原图形重合，故是中心对称图形；D 、图形旋转180度之后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合；2．A解析：A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；B 、是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 、是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合． 3．C解析：C【分析】利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．【详解】∵AB=AC ，∠BAC=90°，P 是BC 中点，∴AP=CP ，AP ⊥BC ，∠C=∠B=∠BAP=∠CAP=45°，∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，∴∠APE=∠CPF ，在△APE 和△CPF 中，45APE CPF AP CP EAP FCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△APE ≌△CPF （ASA ），∴AE=CF ，EP=PF ，S △AEP =S △CPF ，∴△EPF 是等腰直角三角形，S 四边形AEPF =12S △ABC ，即2S 四边形AEPF =S △ABC ，A 、B 、D 均正确，∵旋转过程中，EP 的长度的变化的，故EP≠AP ，C 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．4．A解析：A【分析】根据中心对称图形的定义逐一分析即可．【详解】解：A 、是中心对称图形，故此选项符合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D 、不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A ．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．5．D解析：D【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐一判断即可．【详解】解：A 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 选项不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 选项不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 选项既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．故选D ．【点睛】此题考查的是轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义和中心对称图形的定义是解决此题的关键．6．D解析：D【分析】先利用直角三角形的性质、勾股定理分别求出OB 、OA 的长，再根据旋转的性质可得,OA OB ''的长，从而可得点,A B ''的坐标，然后根据中点坐标公式即可得．【详解】在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，12AB =， 2216,632OB AB OA AB OB ∴===-=， 由旋转的性质得：63,6OA OA OB OB ''====，点D 为斜边A B ''的中点， 将三角尺AOB 绕点O 顺时针旋转90︒，∴点A 的对应点A '落在x 轴正半轴上，点B 的对应点B '落在y 轴负半轴上，(63,0),(0,6)A B ''∴-，又点D 为斜边A B ''的中点，63006(,)22D +-'∴，即(33,3)D '-， 故选：D ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、中点坐标公式，熟练掌握旋转的性质是解题关键．7．C解析：C【分析】如图，过点A 作AE ⊥OB 于E ，过点A′作A′H ⊥x 轴于H ．利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】解：如图，过点A 作AE ⊥OB 于E ，过点A′作A′H ⊥x 轴于H ．∵B （2，0），△AOB 是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∵AE ⊥OB ，∴OE=EB=1，∴2222==132AO OE --∵A′H ⊥OH ，∴∠A′HO=∠AEO=∠AOA′=90°，∴∠A′OH+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°，∴∠A′OH=∠OAE ，∴△A′OH ≌△OAE （AAS ），∴A′H=OE=1，3∴A′（-3，1），故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．C解析：C【解析】试题分析：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，∴在Rt△ABF中，∠B=90°-∠BAD=25°，∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，即∠BAC的度数为85°．故选C．考点: 旋转的性质.9．C解析：C【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进一步判断即可.【详解】A：该图形即是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意；B：该图形即是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意；C：该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意；D：该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；故选：C.【点睛】本题主要考查了中心对称图形的判断，熟练掌握相关概念是解题关键.10．D解析：D【分析】先找到旋转角，根据∠BAE＝∠1+∠CAE进行计算．【详解】解：根据题意可知旋转角∠CAE＝40°，所以∠BAE＝30°+40°＝70°．故选D ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是找准旋转角．11．D解析：D【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B=30°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′得∠C′AB′=∠AB′B=30°，然后利用∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′进行计算．【详解】∵以点A 为中心，把△ABC 逆时针旋转120°，得到△AB'C′，∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，∴∠AB′B=12（180°-120°）=30°， ∵AC′∥BB′，∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，∴∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=120°-30°=90°．故选：D ．【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，解题关键在于掌握旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．12．B解析：B【解析】试题分析：关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数，则3－m=3，n+2=－2，解得：m=0，n=－4.考点：原点对称二、填空题13．【分析】根据题意将绕点逆时针旋转得到当三点共线时最小为然后求出的长度即可【详解】解：如图将绕点逆时针旋转得到则和都是等边三角形当三点共线时最小为是上的点当时值最小过作交于点为等边三角形四边形是正方形解析：100+【分析】根据题意，将APD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到',AP D 当,,D P Q 三点共线时，'PP P D PQ ''++最小为,D Q '然后求出D Q '的长度即可．【详解】解：如图，将APD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到',AP D则60,PAP PD P D '''∠=︒=，PAP '∆和DAD '∆都是等边三角形，','AP PP PA PD PQ PP P D PQ ∴=++=++，当,,D P Q 三点共线时，'PP P D PQ ''++最小为,D Q ' Q 是BC 上的点，∴当D Q BC '⊥时D Q '值最小，过D 作D Q BC '⊥交AD 于E 点，100,BC ADD '=∆为等边三角形，四边形ABCD 是正方形，'100,'60,30,100,AD D AD ADE CD ∴=∠=︒∠=︒=1502AE AD '∴==， 222210050503D E AD AE '=--=100,EQ CD =='503100D Q DE EQ ∴=+=(米)， 则铺设光缆的最短长度为(100503+米， 故答案为：100503+【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题． 14．【分析】先由点在直线上求出m 的值然后根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数解答即可【详解】解：∵点在直线上∴2m=m+3∴m=3∴点A 坐标是（36）∴点（36）关于原点对称的点的坐标为 解析：(3,6)--【分析】先由点(,2)A m m 在直线3y x 上求出m 的值，然后根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数解答即可．【详解】解：∵点(,2)A m m 在直线3y x 上，∴2m =m +3，∴m =3，∴点A 坐标是（3，6），∴点A （3，6）关于原点对称的点B 的坐标为（﹣3，﹣6）．故答案为：（﹣3，﹣6）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点和关于原点对称的点的坐标特征，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 15．【分析】根据旋转的性质可得AB=AD ∠BAD=∠EAC=α°∠ADE=∠ABC 再根据三角形内角和定理即可求得结论【详解】解：由旋转的性质得AB=AD ∠BAD=∠EAC=α°∠ADE=∠ABC ∴∠AB 解析：1902α︒︒- 【分析】根据旋转的性质可得AB=AD ，∠BAD=∠EAC=α°，∠ADE=∠ABC ，再根据三角形内角和定理即可求得结论．【详解】解：由旋转的性质得，AB=AD ，∠BAD=∠EAC=α°，∠ADE=∠ABC ，∴∠ABD=∠ADB∴∠ABD=18019022BAD α︒-∠=︒-︒ ∴∠ADE=1902α︒-︒． 故答案为：1902α︒-︒．【点睛】此题主要考查了运用旋转的性质求解，熟练掌握旋转的性质是解答此题的关键． 16．30°【分析】根据旋转的性质得到利用角的和差即可求解【详解】解：∵将绕点逆时针旋转70°到的位置∴∴故答案为：30°【点睛】本题考查旋转的性质明确旋转的性质是解题的关键解析：30°【分析】根据旋转的性质得到40COD AOB ∠=∠=︒，70AOC ∠=︒，利用角的和差即可求解．【详解】解：∵将OAB 绕点O 逆时针旋转70°到OCD 的位置，∴40COD AOB ∠=∠=︒，70AOC ∠=︒，∴30AOD AOC COD ∠=∠-∠=︒，故答案为：30°．【点睛】本题考查旋转的性质，明确旋转的性质是解题的关键．17．【分析】先根据旋转的定义和性质可得从而可得再利用勾股定理即可得【详解】由旋转的定义和性质得：在中故答案为：【点睛】本题考查了旋转的定义和性质勾股定理熟练掌握旋转的性质是解题关键【分析】先根据旋转的定义和性质可得111,60A AC C CAC ==∠=︒，从而可得190BAC ∠=︒，再利用勾股定理即可得．【详解】由旋转的定义和性质得：111,60A AC C CAC ==∠=︒，30BAC ∠=︒，1190AC BAC AC B C ∴∠=+=∠∠︒，在1Rt ABC 中，1BC ===，【点睛】本题考查了旋转的定义和性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 18．【分析】首先利用平移变化规律得出P1（13）进而利用关于原点对称点的坐标性质得出P2的坐标【详解】∵点P （-23）向右平移3个单位得到点P1∴P1（13）∵点P2与点P1关于原点对称∴P2的坐标是：解析：()1,3--【分析】首先利用平移变化规律得出P 1（1，3），进而利用关于原点对称点的坐标性质得出P 2的坐标．【详解】∵点P （-2，3）向右平移3个单位得到点P 1，∴P 1（1，3），∵点P 2与点P 1关于原点对称，∴P 2的坐标是：（-1，-3）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的平移规律，正确把握坐标变化性质是解题关键．19．42º【分析】根据旋转的性质可知∠A′=∠A=47°则∠A′CA=90°-47°=43°由∠BCB′=∠A′CA=43°则∠B′CA=∠A′CB -∠A′CA -∠BCB′可求【详解】根据旋转的性质可知解析：42º【分析】根据旋转的性质可知∠A′=∠A=47°，则∠A′CA=90°-47°=43°，由∠BCB′=∠A′CA=43°，则∠B′CA=∠A′CB -∠A′CA -∠BCB′可求．【详解】根据旋转的性质可知∠A′=∠A=47°，∴∠A′CA=90°-47°=43°．根据旋转的性质可知旋转角相等，即∠BCB′=∠A′CA=43°，∴∠B′CA=∠A′CB -∠A′CA -∠BCB′=128°-43°-43°=42°．故答案为：42°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理的应用，解决这类问题要找准旋转角、以及旋转后对应的线段和角．20．4【分析】根据矩形的性质可以得到再由旋转的性质可得最后根据勾股定理即可求得的长度【详解】解：∵CD=2DA=2∴根据矩形的性质可得由旋转的性质可得：∴故答案为4【点睛】本题考查旋转性质及勾股定理的综解析：4【分析】根据矩形的性质可以得到AC =90AC CAC ︒'=∠='，最后根据勾股定理即可求得 CC '的长度．【详解】解：∵CD=2，DA=2，∴根据矩形的性质可得AC ==由旋转的性质可得：90AC AC CAC ==∠'=︒'，∴4CC ='==，故答案为4．【点睛】本题考查旋转性质及勾股定理的综合应用，根据旋转性质得到直角三角形的基础上应用勾股定理求出边的长度是解题关键．三、解答题21．（1）PM PN =， PM PN ⊥；（2）PMN 是等腰直角三角形，理由见解析；（3）98【分析】（1）根据题意可证得BD CE =，利用三角形的中位线定理得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线定理得出//PM CE ，得出DPM DCA =∠∠，通过角的转换得出DPM ∠与DPN ∠互余，证得PM PN ⊥． （2）先证明E ABD AC ∆≌，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论．（3）当BD 最大时，PMN 的面积最大，而BD 最大值是28AB AD +=，21()2PMN SPM =⨯，计算得出结论． 【详解】 （1）线段PM 与PN 的数量关系是PM PN =，位置关系是PM PN ⊥．∵等腰Rt ABC 中，90A ∠=︒，∴AB=AC ，∵AD=AE ，∴AB-AD=AC-AE ，∴BD=CE ，∵点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点， ∴12PM CE =，12PN BD =， ∴PM PN =；∵//PM CE ，∴DPM DCA ∠=∠，∵90A ∠=︒，∴90ADC ACD ∠+∠=︒，∵ADC DPN ∠=∠（两直线平行内错角相等），∴90MPN DPM DPN DCA ADC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴PM PN ⊥．（2）PMN 是等腰直角三角形．证明：由旋转可知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，∴()ABD ACE SAS ≌△△，∴ABD ACE ∠=∠，BD CE =， 根据三角形的中位线定理可得，12PN BD =，12PM CE =，∴PM PN =，∴PMN 是等腰三角形，同（1）的方法可得，PM //CE ，∴DPM DCE ∠=∠， 同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∠=∠，∵DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，∴MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，∵90BAC ∠=︒，∴90ACB ABC ∠+∠=︒，∴90MPN ∠=︒，∴PMN 是等腰直角三角形．（3）由（2）知，PMN 是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， ∴PM 最大时，PMN 面积最大，∵点D 在BA 的延长线上，BD 最大，∴28BD AB AD =+=，∴14PM =， ∴2211149822PMN S PM ==⨯=最大△． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质的综合运用，熟练掌握中位线定理是解题关键．22．（1）BH CK =；（2）不变，证明见解析；（3）2482x x y -+=；2 【分析】（1）连接CG ，可通过证明KCG HBG ≅△△则可证得BH=CK ；（2）由KCG HBG ≅△△可得它们的面积相等，进而得出四边形CHGK 的面积不变； （3）过点G 作GQ BC ⊥于点Q ，利用等腰三角形的性质和勾股定理可求得222248GH GQ QH x x =+=-+，再利用KCG HBG ≅△△证得KGH 为等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式可得到y 与x 之间的关系式，然后利用二次函数的最值求法即可解答．【详解】（1）连接CG ，如图：∵ABC 为等腰直角三角形，G 为AB 中点，∴CG BG =，45ACG CBG ∠=∠=︒，90CGB ∠=︒， ∵90KGC CGF ∠+∠=︒，90CGF FGB ∠+∠=︒，∴KGC FGB ∠=∠，∴在KCG △与HBG 中，KCG HBG CG BGCGK BGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()KCG HBG ASA ≅△△，∴BH CK =，故答案为：BH=CK ．（2）∵KCG HBG ≅△△，∴CGK S △=GHB S∴CHGK CGK CGH S S S =+△△四边形CGH GHB S S =+△△CGB S =△12ABC S =△ 4=．故四边形CHGK 面积不变，为4．（3）过点G 作GQ BC ⊥于点Q ，∵ABC 为等腰直角三角形，G 为AB 中点，∴2GQ =，2BQ =， ∴2QH x =-．故222248GH GQ QH x x =+=-+．由（1）可知GH KG =，又∵90KGH ∠=︒，∴GKH △为等腰直角三角形， ∴212GKH S GH =⨯△， ∴2482x x y -+=． ∵旋转角度为090α<<︒，∴x 的取值范围为02x <≤．又GKH △的面积：2482x x y -+= 2(2)42x -+= 2(2)2(02)2x x -=+<≤ ∵()220x -≥， ∴022y ≥+=（当x=2时取等号）．故GKH △面积最小值为2．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的性质，通过全等三角形将面积进行转换是解答的关键，综合性很强，平时应加强对各知识的综合运用．23．（1）90，（2）2cm ．【分析】（1）找出对应边AB 、BC 的夹角的度数就是旋转角的度数；（2）根据旋转变换的性质可知BP=BE ，∠PBE=∠ABC ，再根据勾股定理列式求解即可得到PE 的长度．【详解】解：（1）∵△ABP 绕着点B 旋转后能到达△CBE 的位置，∴∠ABC 为旋转角．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =90°，即旋转的角度是90度；（2）∵△ABP 绕着点B 旋转后能到达△CBE 的位置，∴BP =BE =3cm ，∠PBE =∠ABC =90°，∴PE 222233BP BE =+=+=32cm ．【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质，根据对应边的夹角的度数就等于旋转角的度数求解是解题的关键．24．（1）作图见解析；（2）22；（3）作图见解析；B 2（﹣4，4），C 2（﹣1，5）【分析】（1）根据点的坐标作出三角形即可；（2）分别作出A ，B 的对应点A 1，B 1即可；（3）分别作出B ，C 的对应点B 2、C 2即可．【详解】解：（1）如图，△ABC 即为所求；（2）如图△A 1B 1O 即为所求，平移的距离为22；故答案为22．（3）如图△A B 2C 2即为所求B 2、C 2点的坐标分别为（﹣4，4），（﹣1，5）【点睛】本题考查了作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．（1）见解析，()11,0A ；（2）()7,1a b +-；（3）见解析，()26,1A - 【分析】（1）把三角形顶点向右平移7个单位，再沿y 轴负方向平移1个单位长度，连接各点，画出Rt △A 1B 1C 1的图形，进而写出点A 1的坐标；（2）根据三角形向右平移7个单位，再沿y 轴负方向平移1个单位长度，三角形上每个点都向右平移7个单位，向下平移1个单位，进而得到点P 的对应点P 1的坐标； （3）直接画出关于原点对称的三角形，进而写出点A 2的坐标即可．【详解】（1）如图，111Rt A B C △即为所求作三角形．点1A 的坐标为：()11,0A ； （2）三角形向右平移7个单位，再沿y 轴负方向平移1个单位长度则平移后点P 的对应点P 1的坐标为：()7,1a b +-，故答案为：()7,1a b +-；（3）如图，222Rt A B C 即为所求作三角形．点2A 的坐标为：()26,1A -．【点睛】本题考查了利用平移变换作图以及旋转变换作图的知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，此题难度不大．26．(1) (2)【分析】(1)根据是中心对称图形但不是轴对称图形可以确定是平行四边形；（2）根据是中心对称图形又是轴对称图形可以确定是菱形或者正方形；【详解】（1）根据是中心对称图形但不是轴对称图形可以确定是平行四边形画图如下：（2）根据是中心对称图形又是轴对称图形可以确定是正方形画图如下：【点睛】本题考查了作图应用设计，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形是解题关键.。
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第23章旋转（复习课）
◆随堂检测
1、图形的旋转只改变图形的_______，而不改变图形的____________.
2、如图所示，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度是（ ） A 、30° B 、60° C 、72° D 、90°
3、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
4、请你指出△BDA 通过怎样的变化得到△CAE .
◆典例分析
如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合（在图3至图6中统一用F 表示）
（图1） （图2） （图3）
A
D
E
O
C
B
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了两个问题，请你帮助解决.
（1）将图3中的△ABF 沿BD 向右平移到图4的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图5的位置，A 1F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度.
分析：这是一道操作型的计算题.分别考察了平移和旋转变换中有关量的变化规律,还涉及到含30°角的直角三角形的计算.解决这类问题首先要正确画出变换后的对应图形,确定变化规律,再分析求解.
解：（1）图形平移的距离就是线段BC(即BF)的长. 又∵在Rt△ABC 中，斜边长为10cm ，∠BAC=30，∴BC=5cm， ∴平移的距离为5cm ．
（2）∵∠1A FA ＝30°，∴∠60GFD = ，∠D=30°．∴∠90FGD = ． 在Rt △EFD 中，ED=10cm ，∴FD=53，∴532
FG =cm ．
（图4） （图5）
◆课下作业 ●拓展提高
1、下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
2、广告
设计人员进行图案设
计时，经常将一个基本图案进行轴对称、平移和_______等.
3、以等腰直角△ABC 的斜边AB 所在的直线为对称轴,作这个△ABC 的对称图形△C AB '，则所得到的四边形ACBC ′一定是_______.
4、如图，在一个10×10的正方形DEFG 网格中有一个△ABC.
（1）在网格中画出△ABC 向下平移3个单位得到的△A 1B 1C 1.
（2）在网格中画出△ABC 绕C 点逆时针方向旋转90°得到的△A 2B 2C.
（3）若以EF 所在的直线为x 轴，ED 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，写出A 1、A 2两点的坐标.
5、如图，A B C △中(23)A -，，(31)B -，，(12)C -，
． （1）将A B C △向右平移4个单位长度，画出平移后的111A B C △； （2）画出A B C △关于x 轴对称的222A B C △；
（3）将A B C △绕原点O 旋转180
，画出旋转后的333A B C △；
（4）在111A B C △，222A B C △，333A B C △中，哪些是成轴对称的，对称轴是什么？ 哪些是成中心对称的，对称中心的坐标是什么？
●体验中考
_ A
_ B
_C
1、（2009年，锦州）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A B C D
2、(2009年，达州)跟我学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC 剪下△ABC，展开即可得到一个五角星.若想得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是36︒），则在图③中应沿什么角度剪？即∠ABC 的度数为（ ）
A 、126︒
B 、108︒
C 、90︒
D 、72︒
3、（2009年，柳州）如图，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到11AB C △．
（1）在正方形网格中，作出11AB C △；（不要求写作法）
（2）设网格小正方形的边长为1cm ，用阴影表示出旋转过程中线段BC 所扫过的图形，然后
求出它的面积．（结果保留π）
参考答案：
◆随堂检测
1、位置，形状和大小.
2、C．
3、D. 选项A、B均是轴对称图形但不是中心对称图形，C是中心对称图形但不是轴对称图形.只有D即是轴对称图形又是中心对称图形.
4、答：△BDA先绕点A逆时针旋转，使DA和AB在一条直线上，然后再以过A点垂直AB的直线为对称轴作它的对称图形.
（或将△BDA绕点A顺时针旋转∠CAB，再以AE为对称轴翻折.）
◆课下作业
●拓展提高
1、C. 选项A只是轴对称图形，选项B和D只是中心对称图形，只有选项C既是轴对称图形又是中心对称图形.
2、旋转.
3、正方形.
4、解：如图：A
1(8,2), A
2
(4,9).
C1A1
B1
B2
A2
A
B
C
5、解：图略.
（4）222A B C △与333A B C △成轴对称，对称轴是y 轴;333A B C △与111A B C △成中心对称，对称中心的坐标是(20)-，． ●体验中考
1、B.. 选项A 是轴对称图形但不是中心对称图形，C 、D 均是中心对称图形但不是轴对称图形.只有B 即是轴对称图形又是中心对称图形.
2、A.
3、解：（1）作图如下：
（2）线段BC 所扫过的图形如图所示．
根据网格图知：43A B B C ==，，所以5=AC ， 线段BC 所扫过的图形的面积2
2
1π()4
S A C A B =-=
9π4
（2cm ）.。