人教新课标版数学高二-选修1-2训练 合情推理
人教新课标版数学高二选修1-2检测 合情推理
一、选择题1．下列关于归纳推理的说法错误的是()A．归纳推理是一种从一般到一般的推理过程B．归纳推理是一种从特殊到一般的推理过程C．归纳推理得出的结论不一定正确D．归纳推理具有由具体到抽象的认知功能【解析】归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论未必正确．故B、C、D正确，A错误．【答案】 A2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；③各个面是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；④各棱长相等，相邻的两个面所成的二面角相等．A．①④B．①②C．①③D．③④【解析】类比推理的原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一原则，只有①②符合．【答案】 B3．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为() A．01 B．43C．07 D．49【解析】72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807,76＝117 649，…，由此看出，末两位数字具有周期性，且周期为4，又2 011＝4×502＋3，由此知72 011的末两位数字应为43，故选B.【答案】 B4．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④【解析】①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．所以①、②、④是合情推理．【答案】 C5．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，f4(x)＝f′3(x)，…，f n(x)＝f′n(x)，则f2 013(x)等于()－1A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x【解析】f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，可以归纳出f4n(x)＝sin x，f4n＋1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝－sin x，f4n＋3(x)＝－cos x，∴f2 013(x)＝f1(x)＝cos x.【答案】 C二、填空题6．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为________．【解析】结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝29可得，在{a n}中，若a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.【答案】a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×97．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图2－1－3)．图2－1－3试求第七个三角形数是________．【解析】观察知第n个三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2，∴当n＝7时，7×(7＋1)2＝28.【答案】288．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．【解析】∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.【答案】1∶8三、解答题9．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数．(1)求f(4)；(2)当n＞4时，求f(n)(用n表示)．【解】 (1)如图所示，可得f (4)＝5.(2)∵f (3)＝2，f (4)＝5＝f (3)＋3，f (5)＝9＝f (4)＋4，f (6)＝14＝f (5)＋5.……∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f (n )＝f (n －1)＋n －1，累加得f (n )＝f (3)＋3＋4＋5＋…＋(n －1)＝2＋3＋4＋5＋…＋(n －1)＝12(n ＋1)(n －2)．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．【解】 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13； 当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35； 当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57. 猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N *)． 11．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC 2成立．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．【解】猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.猜想正确．如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1 AF2＝1AC2＋1AD2.∴1 AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确.。
人教新课标A版高二数学《选修1-2》2.1.1合情推理
问题1:以上推理有什么特点?
特点:由部分到整体,由个别到一般的推理
归纳推理:
由某类事物的部分对象具有某些特征,
推出该类事物的全部对象都具有这些特征
的推理,或者由个别事实概括出一般结论
的推理,称为归纳推理(简称归纳). 归：归结. 纳：总结.
例题1: 观察下列的等式,你有什么猜想吗? 1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52
圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂 直于切线的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
火星与地球类比的思维过程： 地球
存在类似特征
火星
猜测火星上也可能有生命存在
地球上有生命存在
同学们，虽然人类没有到达火星，但航天器已经到达。美国人觉得所有 地球人不是他对手，所以去开辟太空.美国人有个优点，人民自己不会跟自己 斗，中国人是窝里斗.并且斗过来斗过去越斗越有精神.为什么人民在斗？因为 官员在斗.柏杨写的书《丑陋的中国人》，他说中国文化是酱缸文化.
4.哥德巴赫猜想:
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
一个规律： 偶数＝奇质数＋奇质数
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5, …… 1000＝29+971， 1002=139+863, ……
猜想任何一个不小于6的偶数都等于 两个奇质数的和.
类比推理的定义: 由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的 某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称
高中数学 选修1-2 4.合情推理与演绎推理
4.合情推理与演绎推理教学目标 班级______姓名_________1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.理解演绎推理的意义，掌握演绎推理的基本模式，能进行简单推理.3.了解合情推理与演绎推理的区别和联系.教学过程一、合情推理.1.归纳推理：（1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理；或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.【B A ⊆，且A 具有特征P ⇒B 具有特征P 】（2）特征：部分⇒整体；个别⇒一般.（3）举例：①铜、铁、铝等金属能导电⇒一切金属都能导电；②哥德巴赫猜想：336+=；538+=；5510+=；......8631391002+=......⇒任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和.2.类比推理：（1）定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理（简称类比）.【A 、B 具有相同性质P ，且A 具有特征Q ⇒B 具有特征Q 】（2）特征：相似⇒相似.（3）举例：①加法运算与乘法运算都满足交换律，且加法运算满足结合律⇒乘法运算满足结合律； ②平面内和空间内，平行于同一条直线的两条直线相互平行，且平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行⇒空间内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行.3.合情推理：根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.（1）归纳推理与类比推理都属于合情推理；（2）合情推理能帮我们猜测和发现结论，能为我们提供证明的思路和方向；（3）一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.二、演绎推理.1.定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理，称为演绎推理.【B A ⊇，且A 具有特征P ⇒B 具有特征P 】2.特征：一般⇒特殊；整体⇒部分.3.举例：①所有的金属都能导电，铀是金属⇒铀能导电；②所有奇数都不能被2整除，101是奇数⇒101不能被2整除.4.结构：演绎推理三段论：（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.（应用三段论解决问题时，若大前提是显而易见的，则可省略）5.在演绎推理中，只要大前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的。
人教版高二数学选修1-2备选题库 2-1-1 合情推理
1．等差数列有如下性质：若数列{a n}是等差数列，则当b n＝a1＋a2＋…＋a n
n时，数列{b n}也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{c n}是正项等比数列，则当d n＝________时，数列{d n}也是等比数列．
n
c1c2…c n
类比等差数列与等比数列的性质，可猜测d n＝n
c1c2…c n，{d n}
为等比数列．
2．(2013·陕西文)观察下列等式
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
……
照此规律，第n个等式可为________________________．(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
本题考查了逻辑推理能力．观察规律，等号左侧为(n＋1)(n＋2)...(n＋n)，右侧分两部分，一部分是2n，另一部分为1×3× (2)
－1)．
3．根据等差数列的性质，利用类比方法试写出等比数列的一些性质.
等差数列性质{a n}，公差d 等比数列性质{b n}，公
由等差数列，等比数列性质，不难类比得到①－⑤的性质：
①若m＋n＝p＋q，则b m·b n＝b p·b q；
②若m＋n＝2p，则b m·b n＝b2p；
③b k，b k＋m，b k＋2m……构成公比为q m的等比数列；
④公比q≠－1时，S n，S2n－S n，S3n－S2n构成等比数列，公比为q n；
⑤b m＝b n·q m－n.。
人教版数学高二-人教A版选修1-2课时作业 合情推理(1)
课时作业33一、选择题1．下列关于归纳推理的说法错误．．的是()A．归纳推理是由一般到一般的推理过程B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C．归纳推理得出的结论不一定正确D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能解析：由归纳推理的定义与特征可知选项A错误，选项B，C，D均正确，故选A.答案：A2．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A*D，A*C的分别是()A. 1,2B. 1,3C. 2,4D. 1,4解析：由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是图2，A*C是图4.答案：C3．观察下列数表规律则数2014的箭头方向是()解析：因上行偶数是首项为2，公差为4的等差数列，若2014在上行，则2014＝2＋(n －1)·4⇒n＝504∈N*.故2014在上行，又因为在上行偶数的箭头为，故选A.答案：A4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)解析：本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查．答案：D二、填空题5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…根据上述规律，第四个等式．．．．．为__________．解析：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，…，所以13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.答案：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)26．设{a n}是首项为1的正数项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋a n＋1a n＝0(n∈N*)，经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．解析：由首项为1，得a1＝1；；由n＝1时，由2a22－1＋a2＝0，得a2＝12当n＝2时，由3a23－2(12＋12a3＝0，2)即6a23＋a3－1＝0，解得a3＝1；3…归纳猜想该数列的通项公式为a n＝1*)．n(n∈N答案：a n ＝1n(n ∈N *)7．[2013·湖北高考]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，………………可推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.解析：首先将三、四、五、六边形数中第n 个数的表达式分别通分，化成分母统一为2的形式如下：三角形数：N (n,3)＝12n 2＋12n ＝n 2＋n2＝(3－2)n 2＋(4－3)n2；正方形数：N (n,4)＝n 2＝(4－2)n 2＋(4－4)n2；五边形数：N (n,5)＝3n 22－12n ＝(5－2)n 2＋(4－5)n2；六边形数：N (n,6)＝2n 2－n ＝4n 2－2n2＝(6－2)n 2＋(4－6)n 2；……根据以上规律总结，推测：N (n ，k )＝(k －2)n 2＋(4－k )n2.故N (10,24)＝(24－2)×102＋(4－24)×102＝1000.答案：1000 三、解答题8．已知数列{a n }满足条件(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)·a n －n －1，且a 2＝6，设b n ＝a n ＋n (n ∈N *)，猜想数列{b n }的通项公式．解：a 1＝1，a 2＝6，a 3＝15，a 4＝28， b 1＝2，b 2＝8，b 3＝18，b 4＝32.可以通过求数列{a n }的通项公式来求数列{b n }的通项公式． 我们发现a 1＝1＝1×1；a 2＝6＝2×3； a 3＝15＝3×5；a 4＝28＝4×7； …，猜想a n ＝n ×(2n －1)， 进而猜想b n ＝2n 2－n ＋n ＝2n 2. 9．观察下列各式：sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34；sin 240°＋cos 270°＋sin40°cos70°＝34；sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34，分析以上各式的共同特点，根据其特点写出能反映一般规律的等式，并对等式是否正确加以证明．解：反映一般规律的等式是：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.(表达形式不唯一)该等式是正确的，证明如下： sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝sin 2α＋(cos αcos30°－sin αsin30°)2＋sin α(cos αcos30°－sin αsin30°) ＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α2＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝sin 2α＋34cos 2α＋14sin 2α－32sin αcos α＋32sin αcos α－12sin 2α＝34(sin 2α＋cos 2α)＝34.。
高二数学人教选修1-2第2单元2-1-1合情推理课后练习及解析
高二数学人教选修1-2课后练习第2章推理与证明2.1.1 合情推理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·潍坊高二检测)已知a1=1,a2=,a3=,a4=,则数列{a n}的一个通项公式为a n= ( )A. B.C. D.【解析】选B.a1=1=,a2==,a3==,a4==,故猜想a n=.2.平面内平行于同一直线的两条直线平行,由此类比到空间中可以得到( )A.空间中平行于同一直线的两条直线平行B.空间中平行于同一平面的两条直线平行C.空间中平行于同一直线的两个平面平行D.空间中平行于同一平面的两个平面平行【解析】选D.利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比.3.(2016·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排下去,那么第36颗珠子的颜色是( )A.白色B.黑色C.白色的可能较大D.黑色的可能性较大【解析】选A.由题图可知,这串珠子的排列规律是:每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第一颗珠子,其颜色为白色.4.(2016·郑州高二检测)下面使用类比推理,得出的结论正确的是( )A.若“a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”B.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”C.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”D.“(ab)n=a n b n”类比出“(a+b)n=a n+b n”【解析】选C.A中,3与0两个数的性质不同,故类比中把3换成0,其结论不成立;B中,乘法满足对加法的分配律,但乘法不满足对乘法的分配律;C是正确的;D中,令n=2显然不成立.5.(2016·天津高二检测)在等差数列{a n}中,a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立,类比上述性质,相应地在等比数列{b n}中,若b9=1,则成立的等式是( )A.b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)B.b1b2…b n=b1b2…b18-n(n<18,n∈N*)C.b1+b2+…+b n=b1+b2+…+b17-n(n<17,n∈N*)D.b1+b2+…+b n=b1+b2-1+…+b18-n(n<18,n∈N*)【解析】选A.由b9=1得b8b9b10=1……①b7b8b9b10b11=1……②由①得b1b2......b7=b1b2 (10)由②得b1b2…b6=b1b2…b11,因此选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·陕西高考)观察下列等式:1-=1-+-=+1-+-+-=++…据此规律,第n个等式可为________.【解析】由已知可得:第n个等式左边含有2n项,其中奇数项为,偶数项为-.其等式右边为后n项的绝对值之和.所以第n个等式为:1-+-+…+-=++…+.答案:1-+-+…+-=++…+7.观察式子:1+<;1++<,1+++<,…则可归纳出第n-1个式子为_________________.【解题指南】分析左边式子结构及项数,与右端分子分母之间的关系.【解析】观察已知三个式子可得第n-1个式子左边有n项,为1+++…+.右边为. 答案:1+++…+<8.(2016·淄博高二检测)已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC =r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积V A -BCD=________.【解析】内切圆半径r内切球半径R,三角的周长a+b+c三棱锥的全面积S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD,三角形面积公式中系数三棱锥体积公式中系数,故类比得V A-BCD =R答案:R三、解答题(每小题10分,共20分)9.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.【解析】圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系:弦↔截面圆,直径↔大圆,周长↔表面积,圆面积↔球体积,等.于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:V=10.(2016·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线-=1,写出具有类似的性质,并加以证明.【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值.证明如下:设M(m,n),P(x,y),则N(-m,-n),因为点M(m,n)在双曲线上,所以n2=m2-b2.同理,y2=x2-b2.则k PM·k PN=·==·=(定值).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知“平面内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”,类比这一结论可得出以下结论:①空间内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条;②空间内,过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条;③空间内,过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一个;④空间内,过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个.其中,正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系.可借助长方体这一模型排除①③④,仅有②正确.2.(2016·烟台高二检测)将正整数排成下表:12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则在表中的数字2016出现在( )A.第44行第81列B.第45行第81列C.第44行第80列D.第45行第80列【解析】选D.第n行有2n-1个数,前n行共有n2个数.因为442=1936,452=2025,而1936<2016<2025,故2016在第45行.又2025-2016=9,且第45行共有89个数字,所以2016在89-9=80列.故选D.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·石家庄高二检测)设n是正整数:f(n)=1++++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是__________.【解析】由已知前四个式子可得第n个式子左边应为f(2n),右边应为,即一般结论为f(2n)≥.答案:f(2n)≥4.(2016·青岛高二检测)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).则左焦点F(-c,0),B(0,b),A(a,0).所以=(c,b),=(-a,b),因为⊥,所以·=b2-ac=0,即c2-a2-ac=0,两边同除a2得e2-e-1=0,解得e=或e=(舍去)答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·广州高二检测)已知a,b为正整数,设两直线l1:y=b-x与l2:y=x的交点P1(x1,y1),对于n≥2的自然数,两点(0,b),(x n-1,0)的连线与直线y=x交于点P n(x n,y n).(1)求P1,P2的坐标.(2)猜想P n的坐标.【解析】(1)由方程组得P1.过(0,b),两点的直线方程为+=1与y=x联立解得P2.(2)由(1)可猜想P n.6.(2016·海淀高二检测)如图,已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边分别于A′,B′,C′,则++=1.这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”.++=++==1.请运用类比思想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论?并用“体积法”证明.【解题指南】考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接,把三角形分成三个三角形,利用面积来证明相应的结论.在证明四面体中类似结论时,可考虑利用体积来证明相应的结论.【解析】在四面体V-BCD中,任取一点O,连接VO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于E,F,G,H 点,则+++=1.证明:在四面体O-BCD与V-BCD中,设底面BCD上的高分别为h1,h,则===.同理有:=;=;=,所以+++==1.一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·潍坊高二检测)已知a1=1,a2=,a3=,a4=,则数列{a n}的一个通项公式为a n= ( )A. B.C. D.【解析】选B.a1=1=,a2==,a3==,a4==,故猜想a n=.2.平面内平行于同一直线的两条直线平行,由此类比到空间中可以得到( )A.空间中平行于同一直线的两条直线平行B.空间中平行于同一平面的两条直线平行C.空间中平行于同一直线的两个平面平行D.空间中平行于同一平面的两个平面平行【解析】选D.利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比.3.(2016·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排下去,那么第36颗珠子的颜色是( )A.白色B.黑色C.白色的可能较大D.黑色的可能性较大【解析】选A.由题图可知,这串珠子的排列规律是:每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第一颗珠子,其颜色为白色.4.(2016·郑州高二检测)下面使用类比推理,得出的结论正确的是( )A.若“a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”B.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”C.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”D.“(ab)n=a n b n”类比出“(a+b)n=a n+b n”【解析】选C.A中,3与0两个数的性质不同,故类比中把3换成0,其结论不成立;B中,乘法满足对加法的分配律,但乘法不满足对乘法的分配律;C是正确的;D中,令n=2显然不成立.5.(2016·天津高二检测)在等差数列{a n}中,a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立,类比上述性质,相应地在等比数列{b n}中,若b9=1,则成立的等式是( )A.b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)B.b1b2…b n=b1b2…b18-n(n<18,n∈N*)C.b1+b2+…+b n=b1+b2+…+b17-n(n<17,n∈N*)D.b1+b2+…+b n=b1+b2-1+…+b18-n(n<18,n∈N*)【解析】选A.由b9=1得b8b9b10=1……①b7b8b9b10b11=1……②由①得b1b2......b7=b1b2 (10)由②得b1b2…b6=b1b2…b11,因此选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·陕西高考)观察下列等式:1-=1-+-=+1-+-+-=++…据此规律,第n个等式可为________.【解析】由已知可得:第n个等式左边含有2n项,其中奇数项为,偶数项为-.其等式右边为后n项的绝对值之和.所以第n个等式为:1-+-+…+-=++…+.答案:1-+-+…+-=++…+7.观察式子:1+<;1++<,1+++<,…则可归纳出第n-1个式子为_________________.【解题指南】分析左边式子结构及项数,与右端分子分母之间的关系.【解析】观察已知三个式子可得第n-1个式子左边有n项,为1+++…+.右边为. 答案:1+++…+<8.(2016·淄博高二检测)已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC=r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积V A -BCD=________.【解析】内切圆半径r内切球半径R,三角的周长a+b+c三棱锥的全面积S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD,三角形面积公式中系数三棱锥体积公式中系数,故类比得V A-BCD =R答案:R三、解答题(每小题10分,共20分)9.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.【解析】圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系:弦↔截面圆,直径↔大圆,周长↔表面积,圆面积↔球体积,等.于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:V=10.(2016·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线-=1,写出具有类似的性质,并加以证明.【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值.证明如下:设M(m,n),P(x,y),则N(-m,-n),因为点M(m,n)在双曲线上,所以n2=m2-b2.同理,y2=x2-b2.则k PM·k PN=·==·=(定值).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知“平面内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”,类比这一结论可得出以下结论:①空间内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条;②空间内,过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条;③空间内,过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一个;④空间内,过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个.其中,正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系.可借助长方体这一模型排除①③④,仅有②正确.2.(2016·烟台高二检测)将正整数排成下表:12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则在表中的数字2016出现在( )A.第44行第81列B.第45行第81列C.第44行第80列D.第45行第80列【解析】选D.第n行有2n-1个数,前n行共有n2个数.因为442=1936,452=2025,而1936<2016<2025,故2016在第45行.又2025-2016=9,且第45行共有89个数字,所以2016在89-9=80列.故选D.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·石家庄高二检测)设n是正整数:f(n)=1++++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是__________.【解析】由已知前四个式子可得第n个式子左边应为f(2n),右边应为,即一般结论为f(2n)≥.答案:f(2n)≥4.(2016·青岛高二检测)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).则左焦点F(-c,0),B(0,b),A(a,0).所以=(c,b),=(-a,b),因为⊥,所以·=b2-ac=0,即c2-a2-ac=0,两边同除a2得e2-e-1=0,解得e=或e=(舍去)答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·广州高二检测)已知a,b为正整数,设两直线l1:y=b-x与l2:y=x的交点P1(x1,y1),对于n≥2的自然数,两点(0,b),(x n-1,0)的连线与直线y=x交于点P n(x n,y n).(1)求P1,P2的坐标.(2)猜想P n的坐标.【解析】(1)由方程组得P1.过(0,b),两点的直线方程为+=1与y=x联立解得P2.(2)由(1)可猜想P n.6.(2016·海淀高二检测)如图,已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边分别于A′,B′,C′,则++=1.这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”.++=++==1.请运用类比思想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论?并用“体积法”证明.【解题指南】考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接,把三角形分成三个三角形,利用面积来证明相应的结论.在证明四面体中类似结论时,可考虑利用体积来证明相应的结论.【解析】在四面体V-BCD中,任取一点O,连接VO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于E,F,G,H 点,则+++=1.证明:在四面体O-BCD与V-BCD中,设底面BCD上的高分别为h1,h,则===.同理有:=;=;=,所以+++==1.(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·厦门高二检测)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下图中的 (A)，(B)所对应的运算结果可能是( )A.B*D，A*DB.B*D，A*CC.B*C，A*DD.C*D，A*D【解析】选B.由(1)(2)(3)(4)图得A表示|，B表示□，C表示—，D表示○，故图(A)(B)表示B*D和A*C.2.给出下列三个类比结论：①类比a x·a y=a x+y，则有a x÷a y=a x-y；②类比log a(xy)=log a x+log a y，则有sin(α+β)=sinαsinβ；③类比(a+b)2=a2+2ab+b2，则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.根据指数的运算法则知a x÷a y=a x-y，故①正确；根据三角函数的运算法则知：sin(α+β)≠sinαsinβ，②不正确；根据向量的运算法则知：(a+b)2=a2+2a·b+b2，③正确.【补偿训练】若数列{a n}(n∈N*)是等差数列，则有数列b n=(n∈N*)也是等差数列.类比上述性质，相应地有，若数列{c n}(n∈N*)是等比数列，且c n>0，则数列d n= (n∈N*)也是等比数列.【解析】由等差、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性.等差与等比类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比.由此猜想d n=.答案：3.设n棱柱有f(n)个对角面，则(n+1)棱柱的对角面的个数f(n+1)等于( )A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2【解析】选C.因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作(n-3)个对角面，n条侧棱可作n(n-3)个对角面，由于这些对角面是相互之间重复计算了，所以共有n(n-3)÷2个对角面，所以可得f(n+1)-f(n)=(n+1)(n+1-3)÷2-n(n-3)÷2=n-1，故f(n+1)=f(n)+n-1.4.(2015·北京高二检测)设0<θ<，已知a1=2cosθ，a n+1=，猜想a n=( )A.2cosB.2cosC.2cosD.2sin【解析】选B.因为a1=2cosθ，a2==2=2cos，a3==2=2cos，…，猜想a n=2cos.【一题多解】验n=1时，排除A，C，D.5.(2015·吉林高二检测)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体P-ABC的体积为V，则r=( )A. B.C. D.【解析】选C.△ABC的三条边长a，b，c类比到四面体P-ABC的四个面面积S1，S2，S3，S4，将三角形面积公式中系数类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.【补偿训练】在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，则△ABC外接圆半径r=.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R= .【解题指南】解题时题设条件若是三条线两两互相垂直，就要考虑到构造正方体或长方体. 【解析】(构造法)通过类比可得R=.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径.答案：二、填空题(每小题5分，共15分)6.下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第n个图中有个原子，有个化学键.【解析】第1，2，3个图中分别有原子：6个、6×2-2个、6×3-2×2个，所以第n个图中有6n-(n-1)×2=4n+2个原子；第1，2，3个图中分别有化学键：6个，6×2-1个，6×3-2个，所以第n个图中有6n-(n-1)=5n+1个化学键.答案：4n+2 5n+17.类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题：已知数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18= ，这个数列的前n项和S n 的计算公式为.【解析】定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.由上述定义，得a n=故a18=3.从而S n=答案：3 S n=8.如图1，小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1，再把正方形A1B1C1D1的各边延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，正方形A n B n C n D n 的面积为.(用含有n的式子表示，n为正整数)【解题指南】根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答.【解析】如题干图1，已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，△AA1B1的面积是1，新正方形A1B1C1D1的面积是5，从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5=25=52，…正方形A n B n C n D n的面积为5n.答案：5n三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42，…根据以上等式的结构特点，请你归纳一般结论.【解析】注意到各等号左边为若干项奇数的和，且最后一项分别为1=2×1-1；3=2×2-1；5=2×3-1；7=2×4-1，…又等号右边相应结果分别为：12；22；32；42；…由此总结出一般结论：1+3+5+7+…+(2n-1)=n2.10.如图1，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2=BD·BC；若类比该命题，如图2，三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则可以得到什么命题？命题是否是真命题并加以证明.【解析】命题是：三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有=S△BCM·S△BCD，是一个真命题.证明如下：在图2中，连接DM，并延长交BC于E，连接AE，则有DE⊥BC.因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE.又AM⊥DE，所以AE2=EM·ED.于是==·=S△BCM·S△BCD.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是( )A.30B.31C.32D.34【解析】选B.第1个图形中有4根火柴棒；第2个图形中有4+3=7根火柴棒；第3个图形中有4+3×2=10根火柴棒；…第10个图形中有4+3×9=31根火柴棒.2.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个数对是( )A.(7，5)B.(5，7)C.(2，10)D.(10，1)【解析】选B.依题意，由和相同的“整数对”分为一组不难得知，第n组“整数对”的和为n+1，且有n个“整数对”.这样前n组一共有个“整数对”.注意到<60<.因此第60个“整数对”处于第11组的第5个位置，可得为(5，7).二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·西安高二检测)对于命题：如果O是线段AB上一点，则||·+||·=0；将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有.【解题指南】根据线性几何中的线段长度、平面几何中平面图形的面积中有关等式的共性，将这个共性引申到立体几何中得到相应的等式或结论.【解析】根据线性几何中的长度、平面几何中平面图形的面积以及立体几何中相应几何体体积的类比特点以及题中等式的特点，得到在立体几何中：若O是四面体ABCD内一点，则有V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0.答案：V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0【拓展延伸】类比推理的常见类型及解题思路类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：①线段的长度——平面几何中平面图形的面积——立体几何中立体图形的体积的类比；②等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除.在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换.4.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于.1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111……【解析】由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111.答案：1111111三、解答题(每小题10分，共20分)5.在平面几何中研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a，类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明.【解题指南】利用类比推理时，正三角形可类比成正四面体，归纳出结论再给予证明. 【解析】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值a.证明：设M是正四面体P-ABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P-ABC=V M-ABC+V M-PAB+V M-PAC+V M-PBC=·S△ABC·(d1+d2+d3+d4)，而S△ABC=a2，V P-ABC=a3，故d1+d2+d3+d4=a(定值).【拓展延伸】类比法的可靠性(1)类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想直到形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法，其结论的可靠程度，依赖于两个研究对象的共有属性.(2)一般说来，共有属性越多，结论的可靠程度就越大；共有属性越是本质的，结论的可靠程度就越高.尽管类比法结论的真实性不一定得到保证，但它在人们的认识活动中仍有着重要意义.6.设{a n}是集合{2t+2s|0≤s<t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列的数列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，….将数列{a n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表：(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数.(2)求a100.【解析】(1)将前三行各数分别写成2t+2s的形式：第1行：3=21+20；第2行：5=22+20，6=22+21；第3行：9=23+20，10=23+21，12=23+22；由此归纳猜想：第4行：24+20，24+21，24+22，24+23；第5行：25+20，25+21，25+22，25+23，25+24.经计算可得第4行各数依次是：17，18，20，24；第5行各数依次是：33，34，36，40，48.(2)由每行数的个数与所在行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…故前13行共有1+2+3+…+13=91个数.因此，a100应当是第14行中的第9个数.所以a100=214+28=16640.。
高二数学人教选修1-2同步练习：2.1.1 合情推理(二)
2.1.1 合情推理(二)一、基础过关 1．下列推理正确的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin (x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把a (b ＋c )与a x ＋y 类比，则有a x ＋y ＝a x ＋a yD ．把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 2．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°. A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②④3．在等差数列{a n }中，若a n <0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，则下列有关b 4，b 5，b 7，b 8的不等关系正确的是( )A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7B ．b 5＋b 7>b 4＋b 8C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 4＋b 5>b 7＋b 84．已知扇形的弧长为l ，半径为的r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇＝________.5．类比平面直角坐标系中△ABC的重心G (x ，y )的坐标公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 2＋x33y ＝y 1＋y 2＋y33(其中A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3))，猜想以A (x 1，y 1，z 1)、B (x 2，y 2，z 2)、C (x 3，y 3，z 3)、D (x 4，y 4，z 3)为顶点的四面体A —BCD 的重心G (x ，y ，z )的公式为________．6．公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为100d ，类比上述结论，相应地在公比为q (q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有_____________________________________． 二、能力提升7．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是________． ①如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交； ②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直； ③如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行； ④如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是________．(填序号) ①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．9．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1与抛物线交于P 、Q 两点，l 2与抛物线交于M 、N 两点，l 1的斜率为k ，某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为(p k 2＋p ，pk)，请你写出弦MN 的中点坐标：________.10．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．11．如图(1)，在平面内有面积关系S △P A ′B ′S △P AB＝P A ′P A ·PB ′PB ，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．12. 如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．三、探究与拓展13．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有1AD2＝1AB2＋1AC2成立．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及给出理由．答案1．D 2．C3．A 4.12lr5.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 44y ＝y 1＋y 2＋y 3＋y 44z ＝z 1＋z 2＋z 3＋z 446.T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为q 100 7．② 8．①②③ 9．(pk 2＋p ，－pk ) 10.a 3811．解 类比S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′P A ·PB ′PB ，有V P —A ′B ′C ′V P —ABC ＝P A ′P A ·PB ′PB ·PC ′PC证明：如图(2)：设C ′，C 到平面P AB 的距离分别为h ′，h . 则h ′h ＝PC ′PC， 故V P —A ′B ′C ′V P —ABC ＝13·S △P A ′B ′·h ′13S P AB ·h＝P A ′·PB ′·h ′P A ·PB ·h＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC.12．解 如图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.13．解类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.猜想正确．如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
人教版高中数学选修1-2 《合情推理》习题及答案
数学·选修1－2(人教A版)2．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理►达标训练1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28B．32C．33 D．27答案：B2．已知三角形的三边长分别是a，b，c，其内切圆的半径为r，则三角形的面积为：S＝12(a＋b＋c)r，利用类比推理，可以得出四面体的体积为()A．V＝13abcB．V＝13ShC．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)·r(其中S1，S2，S3，S4分别是四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)D．V＝13(ab＋bc＋ca)h(h为四面体的高)解析：根据类比的一般原理，三角形的边长和面积分别类比于四面体的面积和体积，因而可以得出答案C.答案：C3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113解析：由数塔呈现的规律知，结果是各位都是1的7位数． 答案：B4．等比数列{}a n 满足：m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .由此类推可得，在等差数列{}a n 中，若有m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则有( )A ．a m ·a n ＝a p ·a qB ．a m ＋a n ＝a p ＋a q C.a m a n ＝a pa q D ．a m －a n ＝a p －a q答案：B5．下面使用类比推理正确的是( ) A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ” B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c ≠0)” D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”答案：C6．如右图所示，面积为S 的凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝ 1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则 i ＝14(a i h i)＝2Sk.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H i(i＝1,2,3,4)，若S11＝S22＝S33＝S44＝K，则i＝14(S i H i)＝()A.4VK B.3VKC.2VK D.VK解析：从平面类比到空间，通常是边长类比为面积，面积类比为体积，又凸四边形中，面积为S＝12(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)，而在三棱锥中，体积为V＝13(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)，即存在系数差异，所以，上述性质类比为B.答案：B►素能提高1．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖________块(用含n的代数式表示)．解析：第(1)，(2)，(3)，…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，…由此可猜测第n个图案黑色瓷砖数为：12＋(n－1)×4＝4n＋8.答案：4n＋82．图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形(如图2)，再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形(如图3)，…，依此类推，设第n个图中三角形被剖分成a n个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为________；a100＝________.…图1 图2 图3答案：182983．观察下列不等式：1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …照此规律，第五个不等式为_____________________________．解析：观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边＝1＋122＋132＋…＋1n ＋2，右边＝n ＋－1n ＋1， 所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1164．(2013·广州二模)数列{a n }的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第k ＋1个1之间有2k －1个2，即数列{a n }为：1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝______；S 2013＝______.答案：36 39815．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)的变量，请你写出类似于①的式子②：_______________________________________.②式可以用语言叙述为：_______________________________.解析：V (R )＝43πR 3，又⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2，故②式可填＝4πR 2，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数”．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数6．(2013·江门佛山二模)将集合{2s ＋2t |0≤s ＜t 且s ，t ∈Z}中的元素按上小下大，左小右大的原则排成如图的三角形数表，将数表中位于第i 行第j 列的数记为b ij (i ≥j ＞0)，则b 43＝________.答案：207．在等差数列{}a n 中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立．类比上述性质，在等比数列{}b n 中，若b 9＝1，则有等式______________________成立．解析：a 10是等差数列{}a n 的前19项的中间项，而b 9是等比数列{}b n 的前17项的中间项．所以答案应为：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．答案：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)8．在平面内观察发现：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜测凸n 边形有几条对角线．解析：凸四边形有2条对角线；凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条对角线；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条对角线；…归纳猜测：凸n 边形的对角线条数，比凸n －1边形多对角线，于是得到凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋…＋(n －2)＝12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．►品味高考1．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过下图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________(用k 表示)．解析：由以上规律可知三角形数1,3,6,10，…的一个通项公式为a n ＝n n ＋2，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15. 从而由上述规律可猜想：b 2k ＝a 5k +＝5k k ＋2(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝k －k －1＋2＝5k k －2，故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项．答案：(1)5 030 (2)5k k －2点评：本题考查归纳推理，猜想的能力．归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想．2．(2013·陕西卷)观察下列等式： (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________________________．答案：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)3．(2013·湖北卷)在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________； (2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．解析：(1)四边形DEFG 是一个直角梯形，观察图形可知：S ＝(2＋22)×2×12＝3，N ＝1，L ＝6.(2)由(1)知，S 四边形DEFG ＝a ＋6b ＋c ＝3. S △ABC ＝4b ＋c ＝1.在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S ＝4，N ＝1，L ＝8.则S ＝a ＋8b ＋c ＝4.联立解得a ＝1，b ＝12，c ＝－1.∴S ＝N ＋12L －1，∴若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝71＋12×18－1＝79.答案：(1)3,1,6 (2)79。
人教版高中数学选修1-2练习：合情推理练习：
第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理1．认识合情推理的含．2．能利用和比等行的推理，领会并合情推理在数学中的作用．基梳理1．推理．由某事物的部分象拥有某些特色，推出事物的所有象都拥有些特色的推理，或许由个事归纳出一般的推理称推理 (称 )．言之，推理是由部分到整体、由个到一般的推理．2．比推理．由两象拥有某些似特色和此中一象的某些已知特色，推出另一象也拥有些特色的推理称比推理 (称比 )．言之，比推理是由特别到特别的推理．3．合情推理．推理和比推理都是依据已有的事，察、剖析、比、想，再行、比，而后提出猜想的推理，我把它称合情推理．平常地，合情推理是指“符合情理”的推理．基自1．已知扇形的弧 l，半径 r，比三角形的面公式S＝底×高，可推知扇形面2公式 S 扇等于 (C)r2l 2A. 2B.2lrC.2D．不行比分析：由扇形的弧与半径比于三角形的底与高可得 C.故 C.2．从 1＝ 12， 2＋ 3＋4＝ 32， 3＋ 4＋ 5＋ 6＋7＝ 52，⋯，可得一般律___________________________________________________ ．分析：猜想：第 n 个等式的左是 2n－1 个整数的和，第 1 个数 n，等式的右是整数个数的平方，即一般律n＋ (n＋ 1) ＋(n＋ 2)＋⋯＋ (3n－2)＝ (2n－ 1)2.答案： n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ (2n－ 1)23 ．根据下列 5 个形及相点的个数的化律，猜想第 n个形中有______________个点．分析：第 n 个图有 n 个分支，每个分支上有(n－ 1)个点 (不含中心点 )，再加上中心 1 个点，则有 n(n－1)＋ 1＝ n2－ n＋1 个点．答案： n2－n＋ 1AE AC 4．在平面几何中，△ABC 的内角均分线CE 分 AB 所成线段的比为EB＝BC，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD 中 (以下图 )，平面 DEC 均分二面角 ACDB 且与 AB 相交于点 E，则获得的类比结论是 ________．分析：把线段比类比到面积比，得AE＝S△ACD. EB S△BCD答案： AE ＝ S△ACDEB S△BCD（一）解读合情推理数学研究中，获得一个新结论以前，合情推理经常能帮助我们猜想和发现结论；证明一个数学结论以前，合情推理经常能为我们供给证明的思路和方向．合情推理的一般过程为：（二）解读归纳推理(1)归纳推理的分类．①完整归纳推理：由某类事物的全体对象推出结论．②不完整归纳推理：由某类事物的部分对象推出结论．需要注意的是，由完整归纳推理获得的结论是正确的，由不完整归纳推理获得的结论不必定正确．(2)归纳推理的特色．因为归纳是依据部分已知的特别现象推测未知的一般现象，因此归纳推理拥有以下特点：①所得结论超越了前提所包括的范围；②所得结论拥有猜想性质，正确性需要证明；③归纳的基础在于察看、实验或经验．(3)归纳推理的一般步骤．①经过察看、剖析个别状况，发现某些同样特色；②将发现的同样特色进行归纳，推出一个明确表达的一般性命题(猜想 )．（三）解读类比推理(1)类比推理的特色．①类比是从一种事物的特别属性推测另一种事物的特别属性；②类比是以原有知识为基础，猜想新结论；③类比能发现新结论，但结论拥有猜想性，正确性需要证明．(2)类比推理的一般步骤．①明确两类对象；②找出两类对象之间的相像性或许一致性；③用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，获得一个明确的结论．1．归纳推理的一般步骤：(1)经过察看个别状况发现某些同样性质．(2)从已知的同样性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想 )．2．归纳推理的思想进度．实验、察看→ 归纳、推行→ 猜想一般性结论．即对有限的资料进行察看、剖析、归纳、整理，提出带有规律性的结论，而后对该猜想的正确性加以查验．3．一般地，归纳的个别状况越多，越拥有代表性，推行的一般性命题就越靠谱．4．运用类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相像性或一致性．(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．5．类比推理常有的几种题型．(1)类比定义：本类题型解决的重点在于弄清两个观点的相像性和相异性以及运用新观点的正确性．(2)类比性质 (定理 )：本类题型解决的重点在于要理解已知性质 ( 定理 ) 的内涵、应用环境及使用方法，经过研究已知性质 (定理 )，刻画新性质 (定理 )的“相貌”．(3)类比方法 (公式 ) ：本类题型解决的重点在于解题方法．1．下一串白黑相摆列的珠子，按种律往下摆列起来，那么第 36 珠子的色是 (A)○○○●●○○○●●○○○●●○○⋯⋯A ．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大2．数列 2， 5，11， 20， x， 47，⋯中的x 等于 (B)A．28 B．32C．33 D． 273．已知三角形的三分a， b， c，其内切的半径r ，三角形的面：S 1＝2(a＋ b＋ c)r，利用比推理，能够得出四周体的体(C)1A．V＝3abc1B．V＝3Sh1分是四周体四个面的面，r 四周C．V＝ (S1＋ S2＋ S3＋ S4) ·r(此中 S1， S2， S3， S43体内切球的半径)1D． V＝3(ab＋bc＋ ca)h(h 四周体的高)4．等差数列 { a n} 中，有2a n＝ a n－1＋ a n＋1(n≥2，且 n∈ N* )，比以上，在等比数列{ b n} 中似的是________．答案： b2n＝ b n－1· b n＋1( n≥2，且 n∈ N* )1．以下对于推理的法中的是(A)A．推理是由一般到一般的一种推理程B．推理是一种由特别到一般的推理程C．推理得出的拥有有时性，不必定正确D．推理拥有由详细到抽象的功能2．由数列1， 10， 100，1 000，⋯猜数列的第n 可能是 (B)A ． 10nB ．10n－1C． 10n＋1D． 11n3．依据出的数塔猜123 456 ×9＋ 7 等于 (B)1× 9＋ 2＝ 11 12× 9＋3＝ 111 123× 9＋ 4＝ 1 1111 234× 9＋ 5＝11 11112 345 ×9＋ 6＝ 111 111A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113分析：由数塔体现的规律知，结果是各位都是1的 7位数．4．下边使用类比推理正确的选项是 (C)A ．“若 a ·3＝ b ·3，则 a ＝ b ”类推出 “a ·0＝ b ·0，则 a ＝ b ”B ．“(a ＋ b)c ＝ ac ＋ bc ”类推出 “(a ·b)c ＝ ac ·bc ”a ＋ba bC ．“(a ＋ b)c ＝ ac ＋ bc ”类推出 “c ＝ ＋ ( c ≠ 0) ”c cD ．“ (ab)n ＝ a n b n ”类推出 “(a ＋ b)n ＝ a n ＋ b n ” 5． n 个连续自然数按规律摆列以下：依据规律，从 2010 到 2012，箭头的方式挨次是 (C)A ．↓→B ．→↑C ．↑→D ．→↓4 为公差的等差数列，由分析：察看特例的规律知：地点同样的数字是以 11→ 12可知从 2010 到2012为 ↑→. ↑106．以下图，面积为 S 的凸四边形的第 i 条边的边长为 a i (i ＝ 1， 2， 3， 4)，此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 h i (i ＝1，2，3，4)，若a 1 a 2 a 3 a 4＝k ，则 4 2S＝ ＝ ＝ 4(a i h i )＝k .1 2 3i ＝1类比以上性质，体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 S i (i ＝ 1，2，3，4)，此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离为H i (i ＝1， 2， 3，4)，若 S 1＝ S 2＝ S 3 ＝K ，则4(S i H i )＝(B)1 2 3i ＝14V 3V 2V VA. KB. KC. KD.K分析：从平面类比到空间，往常是边长类比为面积，面积类比为体积，又凸四边形中，11 面积为 S ＝ ( a 1h 1＋ a 2h 2＋ a 3h 3＋ a 4h 4)，而在三棱锥中， 体积为 V ＝ (S 1H 1＋ S 2H 2＋S 3H 3＋ S 4H 4)，23即存在系数差别，因此，上述性质类比为B.7．察以下不等式：1 31＋22<2，1 1 51＋22＋32<3，1 1 1 71＋22＋32＋42 <4，⋯照此律，第五个不等式 _______________________________ ．n 个不等式的左＝1＋111分析：察不等式的左，第22＋32＋⋯＋（n＋1） 2，右＝ 2（ n＋1）－ 1，n＋ 1因此第五个不等式11111111＋22＋32＋42 ＋52＋62< 6.8．下是用同格的黑、白两色正方形瓷的若干案，按此律，第n 个案中需用黑色瓷________ (用含 n 的代数式表示 )．分析：第 (1) ，(2) ，(3) ，⋯个案黑色瓷数挨次：15－ 3＝ 12， 24－ 8＝ 16，35－ 15＝20，⋯由此可猜第n 个案黑色瓷数：12＋ (n－ 1) ×4＝ 4n＋ 8.答案： 4n＋ 89． 1 是一个 1 的正三角形，分接个三角形三中点，将原三角形剖分成 4个三角形 (如 2)，再分接 2 中一个小三角形三的中点，又可将原三角形剖分成 7个三角形 (如 3)，⋯，依此推，第 n 个中三角形被剖分红a n个三角形，第 4个中最小三角形的__________ ；a100＝ __________．1答案：29810．的面 S＝π r2，周 c＝ 2π r，二者足 c＝ S′(r)，比此关系写出球的公式的一个是：________．分析：的面、周分与的体和表面比可得，球的体 V＝43π R3，表面S＝ 4πR2，足 S＝V′(R)．432答案： V 球 ＝ π R ，S 球＝ 4π R ， 足 S ＝ V ′(R)．11．在等差数列 { a n } 中，若 a 10＝ 0， 有等式 a 1＋ a 2＋ ⋯＋ a n ＝ a 1＋ a 2＋ ⋯ ＋a 19－n (n ＜ 19， n ∈ N * )建立． 比上述性 ，在等比数列 { b n } 中，若 b 9 ＝1， 有等式 __________________ 建立．分析： a 10 是等差数列 { a n } 的前 19 的中 ，而 b 9 是等比数列 { b n } 的前 17 的中*．因此答案 ：b 1 b 2 ⋯b n ＝ b 1b 2 ⋯b 17－ n ( n ＜ 17， n ∈ N )．答案： b 1b 2⋯b n ＝ b 1b 2⋯b 17－n (n ＜ 17， n ∈N * )．2212． a n 是首 1 的正 数列，且 (n ＋ 1)a n ＋ 1－ na n ＋ a n ＋ 1·a n ＝0(n ≥1， n ∈ N) ， 出 个数列的一个通 公式．分析：当 n ＝ 1 ， a 1＝ 1，且 2a 22－ a 21＋ a 2· a 1＝ 0，即 2a 22 ＋ a 2 － 1＝ 0 解得 a 2＝ 12；21 21当 n ＝2 ，由 3a 3－ 2 2 ＋2a 3＝ 0，即 6a 23 ＋ a 3 － 1＝ 0，解得 a 3＝ 13，⋯1由此猜想； a n ＝ n .13．在 x2＋ y 2＝ r 2 中， AB 直径， C 上异于 AB 的随意一点， 有 k AC · k BC ＝－ 1，你能用 比的方法得出 x 2 y 22＋ 2＝ 1(a ＞ b ＞0) 中有什么 的 ？a b分析： A(x 0 ，y 0 ) 上的随意一点， A 点对于中心的 称点 B 的坐 (－ x 0， －y 0)，点 P(x ， y) 上异于 A ， B 两点的随意一点，·k ＝ y － y 0 y ＋ y 0 y 2－ y 20k AP · ＝ x 2 2BP x － x 0 x ＋ x 0 － x 0.因为 A ， B ，P 三点都在 上．x 2 y 22＋ 2＝ 1，x 2－ x 02y 2－y 20∴a b两式相减有2 2 a 2 ＋b 2 ＝0，x 0y 0＝ 1，a 2 ＋b 22－ y 222.∴ y220＝－ b2，即 k AP · k BP ＝－ b 2x － x 0aa故 x 2 y 2a 2＋b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)中 中心的一条弦的两个端点 A ， B ，P 上异于A ， B2的随意一点， 有 k · k BP ＝－ b 2APa .?品尝高考1．(2014 ·西卷 )已知 f(x)＝x ，x ≥ 0，若 f 1(x)＝ f(x)，f n ＋ 1(x)＝ f( f n (x)) ，n ∈ N ＋， f 2 014(x)1＋ x的表达式 ________．xx分析：由 f 1(x)＝ x? f 2(x)＝ fx＝ 1＋ x ＝ x ；又可得 f 3 (x)＝ f(f 2(x)) ＝1＋ x1＋ x x x1＋ x1＋2x1＋1＋ x1＋1＋ 2x＝ x ，故可猜想1＋ 3xxf 2 014(x)＝ 1＋ 2 014x.答案：x1＋ 2 014x2． (2013 ·西卷 ) 察以下等式：(1＋ 1)＝ 2×12(2＋ 1)(2＋ 2)＝ 2 × 1×3(3＋ 1)(3＋ 2)(3＋ 3)＝ 23× 1×3× 5 ⋯照此 律，第 n 个等式可 _______________________________ ． 答案： (n ＋1)( n ＋ 2) ·⋯·(n ＋n)＝ 2n × 1× 3× 5×⋯× (2n － 1)3． (2013 湖·北卷 )在平面直角坐 系中，若点 P(x ，y)的坐 x ， y 格点． 若一个多 形的 点所有是格点， 称 多 形 格点多 形． S ，其内部的格点数 N ， 界上的格点数 L .比如 中 △ ABC的 S ＝ 1，N ＝ 0， L ＝ 4.均 整数， 称点 P 格点多 形的面 是格点三角形，(1) 中格点四 形 DEFG 的 S ， N ， L 分 是 ________； (2)已知格点多 形的面 可表示 S ＝ aN ＋ bL ＋ c ，此中 a ，b ， c 常数．若某格点多形 的 N ＝ 71， L ＝ 18， S ＝ ________(用数 作答 )．分析： (1)四 形 DEFG 是一个直角梯形， 察 形可知：S ＝( 2＋2 2)× 2× 1＝3，N2＝1，L ＝6.(2)由 (1) 知， S 四边形 DEFG ＝a ＋ 6b ＋ c ＝ 3.S △ ABC ＝ 4b ＋c ＝ 1.2 的正方形， 正方形中S ＝在平面直角坐 系中，取一“田 ”字型四 形，组成4， N ＝ 1， L ＝ 8.S ＝a ＋ 8b ＋ c ＝4.立解得 a ＝ 1， b ＝ 1， c ＝－ 1.2∴ S ＝N ＋ 1L － 1，2N ＝ 71， L ＝ 18， ∴若某格点多 形 的S ＝71＋ 1× 18－ 1＝79. 2答案： (1)3，1， 6 (2)794． 古希腊 达拉斯学派的数学家 常在沙 上画点或用小石子表示数．他 研究 下 所示的三角形数：将三角形数1， 3， 6， 10，⋯数列 { a n} ，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的序成一个新数列{ b n} ，能够推：(1)b2 012是数列 { a n} 中的第 ________；(2)b2 k－1＝ ________(用 k 表示 )．分析：由以上律可知三角形数1， 3， 6，10，⋯的一个通公式a＝ n（ n＋1），n2写出其若干有：1， 3，6， 10， 15， 21， 28， 36，45， 55，66， 78， 91， 105， 120，此中能被 5 整除的 10， 15，45， 55， 105， 120 ，故 b1＝ a4， b2＝a5，b3＝ a9， b4＝ a10， b5＝ a14， b6＝ a15.进而由上述律可猜想：5k（ 5k－ 1）b2k＝ a5k＝(k 正整数 )，b2k－1＝a5k－1＝（ 5k－ 1）（ 5k－ 1＋1）＝5k（ 5k－ 1），22故 b2 012＝ b2×1 006＝ a5 030，即 b2 012是数列 { a n} 中的第 5 030 ．5k（ 5k－ 1）答案： (1)5 030(2)2点：本考推理，猜想的能力，推理型重在猜想，不必定要明，但猜想需要有必定的和能力，不可以凭空猜想．。
高二数学人教选修1-2同步练习：2.1.1 合情推理(一)
第二章 推理与证明 §2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理(一)一、基础过关1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( )A ．47B ．65C ．63D ．1282．已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( )A ．3B ．－3C ．6D ．－63．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 1134．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如图)．试求第n 个正方形数是( )A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．n 2D ．(n ＋1)25．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有________． 二、能力提升6．设x∈R，且x≠0，若x＋x－1＝3，猜想x2n＋x－2n(n∈R*)的个位数字是________．7．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为________．8．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．9．如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层．第n层的小正方体的个数记为S n.解答下列问题．(1)按照要求填表：n 1234…S n136…(2)S10＝________.(3)S n10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：(1)b2 012是数列{a n}中的第______项；(2)b2k－1＝________.(用k表示)11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分． (1)3条直线最多将平面分成多少部分？(2)设n 条直线最多将平面分成f (n )部分，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系； (3)求出f (n )．三、探究与拓展13．在一容器内装有浓度r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n ，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出计算公式．答案1．B 2．A 3．B 4．C5．f (2n )>n ＋226．7 7．①8．a n ＝3n －1(n ∈N *) 9．(1)10 (2)55 (3)n (n ＋1)210．(1)5 030 (2)5k (5k －1)211．解 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1； 当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N *)．12．解 (1)3条直线最多将平面分成7个部分． (2)f (n ＋1)＝f (n )＋n ＋1.(3)f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋2＝n 2＋n ＋22.13．解 b 1＝a ·r 100＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100(45r ＋15p )；b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100[(45)2r ＋15p ＋452p ]；b 3＝ab 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100[(45)3r ＋15p ＋452p ＋4253p ]；归纳得b n ＝1100[(45)n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p ]．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
人教版高中数学选修1-2 练习：合情推理
第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理A 级 基础巩固一、选择题1．下列推理是归纳推理的是( )A ．F 1，F 2为定点，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a >|F 1F 2|，得P 的轨迹为椭圆B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知，B 项为归纳推理． 答案：B2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111A ．111 1110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113解析：由1×9＋2＝11； 12×9＋3＝111； 123×9＋4＝1 111； 1 234×9＋5＝111 111； …归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同， 所以123 456×9＋7＝1 111 111. 答案：B3．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形．答案：A4．设n 是自然数，则18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值( )A ．一定是零B ．不一定是偶数C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数解析：当n 为偶数时，18(n 2－1)[1－(－1)n ]＝0为偶数；当n 为奇数时(n ＝2k ＋1，k ∈N)，18(n 2－1)[1－(－1)n ]＝18(4k 2＋4k )·2＝k (k ＋1)为偶数．所以18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值一定为偶数．答案：C5．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb ＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b 的直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋zc＝1 B.x ab ＋y bc ＋zca ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：从方程x a ＋y b ＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是x a ＋yb ＋zc＝1. 答案：A 二、填空题6．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3，猜想a n ＝________． 解析：计算得a 2＝4，a 3＝9，所以猜想a n ＝n 2. 答案：n 27．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V1V2＝13S1h113S2h2＝S1S2·h1h2＝14×12＝18.答案：1∶88．观察下列各式：①(x3)′＝3x2；②(sin x)′＝cos x；③(e x－e－x)′＝e x＋e－x；④(x cos x)′＝cos x－x sin x.根据其中函数f(x)及其导数f′(x)的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是__________________________________________．解析：对于①，f(x)＝x3为奇函数，f′(x)＝3x2为偶函数；对于②，g(x)＝sin x为奇函数，f′(x)＝cos x为偶函数；对于③，p(x)＝e x－e－x为奇函数，p′(x)＝e x＋e－x为偶函数；对于④，q(x)＝x cos x为奇函数，q′(x)＝cos x－x sin x为偶函数．归纳推理得结论：奇函数的导函数是偶函数．答案：奇函数的导函数是偶函数三、解答题9．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2；(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2；(132＋52)(102＋72)≥(13×10＋5×7)2.请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性结论，并证明你的结论．解：一般性结论为(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.证明：因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2－(a2c2＋2abcd＋b2d2)＝b2c2＋a2d2－2abcd＝(bc－ad)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.10．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cosγ.B 级 能力提升1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n ＋2.答案：C2．等差数列{a n }中，a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系________．解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b 4＋b 8>b 5＋b 7. 答案：b 4＋b 8>b 5＋b 7 3．观察下列等式：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：由①②知，两角相差30°，运算结果为34，猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明：左边＝1－cos 2α2＋1＋cos （2α＋60°）2＋sin αcos(α＋30°)＝1－cos 2α2＋cos 2αcos 60°－sin 2αsin 60°2＋sin α⎝⎛⎭⎫32cos α－sin α2＝1－12cos 2α＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－1－cos 2α4＝34＝右边 故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.。
人教新课标版数学高二人教A选修1-2试题 2.1.2合情推理
双基限时练(四)1．下列说法中正确的是( ) A ．合情推理就是正确的推理 B ．合情推理就是归纳推理C ．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D ．类比推理是从特殊到特殊的推理过程 答案 D2．下列推理正确的是( )A ．把a (b ＋c )与lg(x ＋y )类比，则lg(x ＋y )＝lg x ＋lg yB ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把a (b ＋c )与a x ＋y 类比，则a x ＋y ＝a x ＋a yD ．把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 解析 由向量的运算性质知，a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 正确． 答案 D3．立体几何中与平面几何中的三角形做类比对象的是( ) A ．三棱柱 B ．三棱台C ．三棱锥D ．正方体 答案 C4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等． A ．① B ．③ C ．①② D ．①②③答案 D5．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )·r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)·r (S 1，S 2，S 3，S 4分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )·h (h 为四面体的高)解析 平面几何与立体几何的类比，类比的知识点有：面积与体积，边长与面积，圆与球．因此，应选C.答案 C6．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb ＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的方程为( )A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋zac ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1 答案 A7．圆的面积S ＝πr 2，周长c ＝2πr ，两者满足c ＝S ′(r )，类比此关系写出球的公式的一个结论是：________.解析 圆的面积、周长分别与球的体积和表面积类比可得，球的体积V ＝43πR 3，表面积S ＝4πR 2，满足S ＝V ′(R )．答案 V 球＝43πR 3，S 球＝4πR 2，满足S ＝V ′(R )8．等差数列{a n }中，有2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，且n ∈N *)，类比以上结论，在等比数列{b n }中类似的结论是________．答案 b 2n ＝b n －1·b n ＋1(n ≥2，且n ∈N *) 9．坐标平面上P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则线段P 1P 2的中点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．类比以上结论，若△ABC 中，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 重心G 的坐标为________．答案 (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 1＋y 33)10．找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质．完成下表中的空白.(2)与球心的距离相等的两个截面圆的面积相等 (3)球的表面积S ＝4πr 2 (4)球的体积V ＝43πr 311．在圆x 2＋y 2＝r 2中，AB 为直径，C 为圆上异于AB 的任意一点，则有k AC ·k BC ＝－1，你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中有什么样的结论？解 设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，则A 点关于中心的对称点B 的坐标为(－x 0，－y 0)，点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，则k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20.由于A ，B ，P 三点都在椭圆上．所以⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y20b 2＝1，两式相减有x 2－x 20a 2＋y 2－y 20b2＝0，所以y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2a 2.故椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中过中心的一条弦的两个端点A ，B ，P 为椭圆上异于A ，B的任意一点，则有k AP ·k BP ＝－b 2a2.12．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2.在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．图1解 如图1所示，在Rt △ABC 中，由射影定理得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BC ·BD ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又∵BC 2＝AB 2＋AC 2， ∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，猜想在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD 于E ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.图2如图2，连接BE 交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD . ∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.。
人教新课标版数学高二-数学选修1-2 合情推理
1.如图，一个粒子在第一象限及边界运动，在第一秒内它从原点运动到(0,1)，然后它接着按图示在x轴，y轴的平行方向来回运动，且每秒移动一个单位长度，则2 014秒时，这个粒子所处的位置对应的点的坐标为()A．(44,10)B．(10,44)C．(11,44) D．(43,46)解析：选B.考查粒子运动到关键点(1,1)用时2秒，运动到点(2,2)用时6秒，运动到点(3,3)用时12秒，运动到点(4,4)用时20秒，…，归纳猜想粒子运动到点(n，n)用时n(n＋1)秒．又当n为奇数时，此后x秒粒子运动到点(n，n－x)；当n为偶数时，此后x秒粒子运动到点(n －x，n)(1≤x≤n)．由于粒子运动到点(44,44)用时44×45＝1 980秒，所以2 014秒时，这个粒子所处的位置对应的点的坐标为(10,44)．2．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，ab∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，数集F＝{a＋b2|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题的序号都填上)解析：①错.4,5是整数，但45＝0.8,0.8不是整数；②错．设M由有理数集合Q和元素π组成，则1，π∈M，但是1＋π不属于M；③正确．设a，b∈P，其中一个必定不等于零，设a≠0，则a－a＝0，所以0∈P，aa＝1，所以1∈P.所以0－1＝－1，－1－1＝－2，－2－1＝－3，….所有负整数都属于P ，而负整数有无穷多个，所以③正确；④正确．把数域F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }中的2改为3，5，7，…，仍是数域，有无穷多个．故应填③④.答案：③④3．在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a 的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值32a .类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．解：类比所得的真命题是：棱长为a 的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值63a . 证明：设M 是正四面体P -ABC 内任一点，M 到面ABC ，面PAB ，面PAC ，面PBC 的距离分别为d 1，d 2，d 3，d 4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P -ABC ＝V M -ABC ＋V M -PAB ＋V M -PAC ＋V M -PBC ＝13·S △ABC ·(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)．而S △ABC ＝34a 2，V P -ABC ＝212a 3， 故d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝63a (定值)． 4.如图，设有双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上． (1)若△F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)若∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝120°，△F 1MF 2的面积又是多少？(3)观察以上计算结果，你能看出随∠F 1MF 2的变化，△F 1MF 2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．解：(1)由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13，设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(r 1＞r 2)．由双曲线定义，有r 1－r 2＝2a ＝4，两边平方得r21＋r22－2r1·r2＝16，即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，也即52－16＝4S△F1MF2，求得S△F1MF2＝9.(2)若∠F1MF2＝60°，在△MF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝r21＋r22－2r1r2cos 60°，|F1F2|2＝(r1－r2)2＋r1r2，∴r1r2＝36.求得S△F1MF2＝12r1r2sin 60°＝9 3.同理可求得若∠F1MF2＝120°，S△F1MF2＝3 3.(3)由以上结果猜想，随着∠F1MF2的增大，△F1MF2的面积将减小．证明如下：令∠F1MF2＝θ，则S△F1MF2＝12r1·r2sin θ.由双曲线定义及余弦定理，有②－①得r1·r2＝4c2－4a22(1－cos θ)，所以S△F1MF2＝(c2－a2)sin θ1－cos θ＝b2tanθ2，因为0＜θ＜π，0＜θ2＜π2，在(0，π2)内，tanθ2是增函数．因此当θ增大时，S△F1MF2＝b2tanθ2将减小．。
人教新课标版数学高二高中人教数学选修1-2练习2-1-1-1归纳推理
第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理第1课时归纳推理双基达标(限时20分钟)1．已知a1＝3，a2＝6，且a n＋2＝a n＋1－a n，则a33为()．A．3 B．－3C．6 D．－6解析a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，故{a n}是以6个项为周期循环出现的数列，a33＝a3＝3.答案 A2．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f′3(x)，…，f n(x)＝f n－′(x)，则f2 007(x)等于1()．A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x解析由已知，有f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…可以归纳出：f4n(x)＝sin x，f 4n ＋1(x )＝cos x ， f 4n ＋2(x )＝－sin x ， f 4n ＋3(x )＝－cos x (n ∈N ＋)， ∴f 2 007(x )＝f 3(x )＝－cos x . 答案 D3．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那这个数列的通项公式是( )．A ．a n ＝2(n 2＋n ＋1)B ．a n ＝3·2nC ．a n ＝3n ＋1D ．a n ＝2·3n解析 当n ＝1时，a 1＝32a 1－3，∴a 1＝6， 由S n ＝32a n －3，当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－3，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32a n －32a n －1， ∴a n ＝3a n －1.∴a 1＝6，a 2＝3×6，a 3＝32×6. 猜想：a n ＝6·3n －1＝2·3n . 答案 D4．设f (x )＝2x x ＋2，x 1＝1，x n ＝f (x n －1)(n ≥2)，则x 2，x 3，x 4分别为________．猜想x n ＝________. 解析 x 2＝f (x 1)＝21＋2＝23，x 3＝f (x 2)＝12＝24 x 4＝f (x 3)＝2×1212＋2＝25，∴x n ＝2n ＋1.答案23，24，252n＋15．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为________．解析由已知四个式子可分析规律：(n＋2)2－n2＝4n＋4.答案(n＋2)2－n2＝4n＋46．对于函数f(x)＝x－1x＋1，设f2(x)＝f[f(x)]，f3(x)＝f[f2(x)]，…，f n＋1(x)＝f[f n(x)](n∈N*，且n≥2)，(1)写出f2(x)，f3(x)，f4(x)，f5(x)的表达式；(2)根据(1)的结论，请你猜想并写出f4n－1(x)的表达式．解(1)∵f(x)＝1－2 x＋1∴f2(x)＝1－2f(x)＋1＝1－x＋1x＝－1x，f3(x)＝1＋x1－x，f4(x)＝x，f5(x)＝f(x)…，故f n(x)是以4为周期．(2)f4n－1(x)＝f3(x)＝1＋x1－x.综合提高(限时25分钟)7．设0<θ<π2，已知a1＝2cos θ，a n＋1＝2＋a n，猜想a n＝()．A．2cos θ2n B．2cosθ2n－1C．2cosθ2n＋1D．2 sinθ2n解析法一∵a1＝2cos θ，a2＝2＋2cos θ＝2 1＋cos θ2＝2cos θ2，a3＝2＋a2＝2 1＋cosθ22＝2cos θ4，…，猜想a n＝2cos θ2n－1.法二验n＝1时，排除A、C、D，故选B.答案 B8．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()．1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111……A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111.答案 B9．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)试求第七个三角形数是________．解析观察知第n个三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2，∴当n＝7时，7×(7＋1)2＝28. 答案 2810．(2010·浙江)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，解析 由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n . 答案 n 2＋n11．若数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2，记f (n )＝(1－a 1)·(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )的值． 解 f (1)＝1－a 1＝1－14＝34， f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝f (1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19 ＝34·89＝23＝46，f (3)＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3) ＝f (2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116＝23·1516＝58. 由此猜想：f (n )＝n ＋22(n ＋1).12．(创新拓展)观察下表：1 2,3 4,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15，……问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2 010是第几行的第几个数？解(1)∵第n＋1行的第一个数是2n，∴第n行的最后一个数是2n－1.(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1＋2n－1)·2n－12＝3×22n－3－2n－2为所求．(3)∵210＝1 024,211＝2 048,1 024＜2 010＜2 048，∴2 010在第11行，该行第1个数是210＝1 024.由2 010－1 024＋1＝987，知2 010是第11行的第987个数．。
人教新课标版数学高二A版选修1-2课时作业 合情推理
一、基础过关1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于()A．47 B．65C．63 D．128答案B解析5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111…A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113答案B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)答案D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A．一条中线上的点，但不是中心B．一条垂线上的点，但不是垂心C．一条角平分线上的点，但不是内心D．中心答案D解析由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．5．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c，类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r等于()A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4答案C解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体A－BCD＝13(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝3VS1＋S2＋S3＋S4.6．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n个等式为__________________________．答案n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)27．在△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．解由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P－ABC中，三个侧面P AB，PBC，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1”．证明：设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记PO＝h，由PC ⊥P A ，PC ⊥PB ，得PC ⊥面P AB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α，cos α＝sin ∠PCO ＝h PC ，cos β＝h P A ，cos γ＝h PB. ∵V P －ABC ＝16P A ·PB ·PC ＝13(12P A ·PB cos α＋ 12PB ·PC cos β＋12PC ·P A cos γ)·h ， ∴(cos αPC ＋cos βP A ＋cos γPB)h ＝1，即cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. 二、能力提升8．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( )A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行答案 B解析 推广到空间以后，对于A 、C 、D 均有可能异面，故选B.9.在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立．类比上述性质，相应地在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则成立的等式是( )A ．b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n <17，n ∈N *)B ．b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 18－n (n <18，n ∈N *)C ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 17－n (n <17，n ∈N *)D ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 18－n (n <18，n ∈N *)答案 A解析 在等差数列{a n }中，由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n .若a 9＝0，同理可得a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 17－n .相应地，等比数列{b n }中有：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．10．观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n 个等式可为________．答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{a n }，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2. 11．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n； (2)对一切的n ∈N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1.解 (1)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a. 猜想a n ＝(n －1)－(n －2)a n －(n －1)a(n ∈N *)． (2)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1，∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0，∵对一切的n ∈N *，a n >0，∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7，猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)．12. (1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．解 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a )．依题意，得A (－a,0)，B (a,0)，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a )， 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a .同理得y N ＝－ay 0x 0－a. 所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1， 因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)． 所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝{a ，y N }，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2.(2)－(a 2＋b 2)．三、探究与拓展13.如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝(a c )2＋(b c )2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c2＝1. 于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，如图．则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝(m l )2＋(n l )2＋(g l )2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.。
人教课标版高中数学选修1-2《合情推理》基础训练
《合情推理》基础训练题组一 合情推理与归纳推理的理解1.根据给出的等式猜测12345697⨯+等于( )192111293111123941111123495111111234596111111⨯+=⨯+=⨯+=⨯+=⨯+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅A.1111110B.1111111C.1111112D.11111132.下列说法正确的是( )A.由合情推理得出的结论一定是正确的B.合情推理必须有前提有结论C.合情推理不能猜想D.合情推理得出的结论不能判断正误3.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如:他们研究图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{},n a 那么10a 的值为( ) A.45 B.55 C.65 D.664.平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，……，以此类推，凸十三边形对角线的条数为( ) A.42 B.65 C.143 D.1695.已知0i a >(1,2,3,,i n =⋅⋅⋅)，观察下列不等式：121231234234a a a a a a a a a +≥++≥+++≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅照此规律，当*,2n N n ∈≥时，12···_________.na a a n+++≥题组二 类比推理的理解6.下列平面图形中,作为空间中的平行六面体的类比对象较为合适的是( ) A.三角形 B.梯形 C.矩形D.平行四边形7.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质,你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点处的任意两条棱的夹角相等;②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等;③各个面是全等的正三角形，同一顶点处的任意两条棱的夹角相等;④各棱长相等，相邻的两个面所成的二面角相等. A.①④ B.①② C.①③ D.③④8.设ABC ∆的三边长分别为,a b c 、、ABC ∆面积分别为S ，内切圆半径为,r 则2;Sr a b c=++类比这个结论可知：四面体P ABC -的四个面的面积分别为1234,S S S S 、、、内切球的半径为R ，四面体P ABC -的体积为V ，则R 等于( )A.1234VS S S S +++B.12342VS S S S +++C.12343VS S S S +++D.12344VS S S S +++9.在Rt ABC ∆中，若90,C ︒∠=则22cos cos 1,A B +=在立体几何中，给出四面体性质的猜想.题组三归纳推理在图表信息问题中的应用10.如图,观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A.B.C.D.11.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A.62n-B.82n-C.62n+D.82n+12.如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点.一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点.若它停在奇数点上,则下一次只能跳一个点;若停在偶数点上,则下一次跳两个点.该青蛙从5起跳，经2018次跳跃后所在的点是( )A.1B.2C.3D.4易错易混题组易错点1使用类比推理时忽略类比的前提致误13.判断下列推理是否正确.(1)把()a b c +与()log a x y +类比，则有()log log log ;a a a x y x y +=+ (2)把()a b c +与()sin x y +类比，则有()sin sin sin .x y x y +=+易错点 解此题时易忽略类比的两者是否具有相似性就盲目类比，导致错误. 事实上，()a b c +中的a 与b c +是两个不同元素，而()log a x y +与()sin x y +都只是一个整体.易错点2类比对象确定错误14.如图所示，在ABC ∆中，,D E 分别是边,AB AC 上的点，若11,,,AD a AE b AC b ===则11,ADE ABC S a b S ab∆∆=试在立体图形中写出类似的结论,并予以证明.易错点 解题时易因找错类比对象而导致错误.在本题中，将三角形类比为四面体，将三角形的面积类比为四面体的体积即可.参考答案1.答案：B解析：根据题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1111111. 2.答案：B解析：根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论. 3.答案：B解析：第1个图中，小石子有1个， 第2个图中，小石子有3=1+2个， 第3个图中，小石子有6=1+2+3个， 第4个图中，小石子有10=1+2+3+4个， ······故第10个图中,小石子有10111+2+3++10=552⨯⋅⋅⋅=个，即1055,a =故选B.4.答案：B解析：可以通过列表归纳分析得到.∴凸十三边形有2+3+4+…+111310652⨯==条对角线.故选B. 5.答案:见解析 解析：根据题意有)1212*,2.n nn a a a a a a n N n n++⋅⋅⋅+≥⋅⋅⋅∈≥6.答案：D 解析：因为平行六面体的六个面全为平行四边形，并且相对的每一对面平行且全等.类比这一性质可知，类比平面阁形中的平行四边形更合适. 7.答案：B解析：类比推理的原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一原则，只有①②符合. 8.答案：C解析：将ABC ∆的三条边长a b c 、、类比到四面体P ABC -的四个面面积1234S S S S 、、、，将三角形面积公式中系数12类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为1234123411113,,.3333VV V S R S R S R S R R S S S S ∴=+++∴=+++ 9.答案：见解析解析：如图，在Rt ABC ∆中，2222cos cos 1.b a A B c c ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把结论类比到四面体P ABC -中，我们猜想在四面体P ABC -中，若三个侧面,,PAB PAC PCA ,两两互相垂直，且与底面所成的二面角分別为,,,αβγ则222cos cos cos 1.αβγ++=10.答案：A 解析：图中涉及三种图形，其中与各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个黑色图形，即应画上才合适.11.答案：C解析：观察易知第1个“金鱼”图中；要火柴棒8根，而第2个“金鱼”图中比第1个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根，第3个“金鱼”图中比第2个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根，……，由此可猜测第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第1n -个“金鱼”图需要火柴棒的根数多6,即各个“金鱼”图需要火柴捧的根数组成以8为首项,6为公差的等差数列，易求得通项公式为6 2.n a n =+12.答案：B解析：记n a 表示青蛙第n 次跳跃后所在的点数，则1234561,2,4,1,2,4,,a a a a a a ======⋅⋅⋅显然{}n a 是一个周期为3的数列，故201822,a a ==故答案为B.13.答案：见解析解析：(1)不正确.(2)不正确. 14.答案：见解析解析：如图所示，在三棱锥S ABC -中，,,D E F 分別是侧棱SA SB SC 、、上的点，若111,,,,,,SA a SB b SC c SD a SE b SF c ======则111.S DEF S ABC V a b c V abc--=证明如下：过点A 作AH ⊥平面SBC 于点H ,过点D 作1DH ⊥平面SBC 于点1H ，则1//,DH AH 且1,,S H H 三点共线.111113.13SEF S DEF D SEFSEF S ABC A SBCSBC SBC S DH V V S a b c SD SE SF SD V V S SA SB SC SA abc S AH ∆--∆--∆∆⋅⋅∴===⋅=⋅=⋅⋅。
人教新课标版数学高二人教A选修1-2试题 合情推理
选修1-2第二章 2.1 2.1.1一、选择题1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28B．32C．33 D．27[答案] B[解析]由以上各数可得每两个数之间依次差3,6,9,12……故x＝20＋12＝32.2．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2[答案] B[解析]观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n－1(n∈N*)项的和，其首项为n，右边是项数的平方，故第n个等式首项为n，共有2n－1项，右边是(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.3．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形[答案] C[解析]从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．4．观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A．B．△C．▭D．○[答案] A[解析]图形涉及○、△、▭三种符号；其中△与○各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个黑色▭符号，即应画上才合适．5．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A ．r 22B ．l 22C ．lr 2D ．不可类比[答案] C[解析] 我们将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径r ，∴S 扇＝12lr .6．如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2015次跳跃后它将停在的点是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 记a n 表示青蛙第n 次跳跃后所在的点数，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝1，a 5＝2，a 6＝4，…，显然{a n }是一个周期为3的数列，故a 2015＝a 2＝2，答案为B ．二、填空题7．(2015·河南浚县高二期中测试)已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32；sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：________. [答案] sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32[解析] 观察每个式子中三个角的关系：三个角分别成等差数列，即30°＋60°＝90°，90°＋60°＝150°；5°＋60°＝65°，65°＋60°＝125°.根据式子中角的这种关系，可以归纳得出：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.8．(2015·新疆兵团农二师华山中学高二期末)在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形中不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形中1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中有不等式：________成立．[答案]1A1＋1A2＋1A3＋…＋1A n≥n2(n－2)π[解析]不等式的左边是n个内角倒数的和，右边分子是n2，分母是(n－2)π，故在n边形A1A2…A n中有不等式1A1＋1A2＋1A3＋…＋1A n≥n2(n－2)π成立．9．(2015·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系为________.[答案]S2△ABC＝S△OBC·S△DBC[解析]将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S2△ABC＝S△OBC·S△DBC．三、解答题10．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数．(1)求f(4)；(2)当n>4时，求f(n)(用n表示)．[解析](1)如图所示，可得f(4)＝5.(2)∵f(3)＝2，f(4)＝5＝f(3)＋3，f(5)＝9＝f(4)＋4，f(6)＝14＝f(5)＋5.……∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f(n)＝f(n－1)＋n－1，累加得f(n)＝f(3)＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝12(n＋1)(n－2)．一、选择题1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30[答案] B[解析] 后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上2,3,4,5，……，故第七个三角形数为21＋7＝28.2．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是( )A ．白色B ．黑色C ．白色的可能性大D ．黑色的可能性大 [答案] A[解析] 由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．3.(2015·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c ；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( )A ．VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4[答案] C[解析] 将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P －ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C ．证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r ＋13S 2r＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 4．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a ，而52的“分裂”中的最大数是b ，则a ＋b ＝________.[答案] 30[解析] 根据图中的“分裂”规律，可知a ＝21，b ＝9，故a ＋b ＝30.二、填空题5．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为________.[答案] a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9[解析] 等比数列中，“乘积”类比到等差数列中“和”，故应有结论为a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9.6．(2015·陕西文)观察下列等式 1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 ……据此规律，第n 个等式可为________.[答案] 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .[解析] 等式左侧规律明显，右侧是后几个自然数的倒数和，再注意到左右两侧项数关系求得．三、解答题7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1、S 2、S 3、S 4，并猜想S n 的表达式．[解析] 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53；∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N *)．8.若a 1、a 2∈R ＋，则有不等式a 21＋a 222≥⎝⎛⎭⎫a 1＋a 222成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．[解析] 本例可以从a 1、a 2的个数以及指数上进行推广．第一类型：a 21＋a 22＋a 233≥(a 1＋a 2＋a 33)2，a 21＋a 22＋a 23＋a 244≥(a 1＋a 2＋a 3＋a 44)2，…，a 21＋a 22＋…＋a 2nn ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)2；第二类型：a 31＋a 322≥(a 1＋a 22)3，a 41＋a 422≥(a 1＋a 22)4，…，a n 1＋a n 22≥(a 1＋a 22)n ；第三类型：a 31＋a 32＋a 333≥(a 1＋a 2＋a 33)3，…，a m 1＋a m 2＋……＋a m nn ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)m .上述a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，m 、n ∈N *.。
人教新课标版数学高二(人教A)选修1-2试题 合情推理
2.1.1一、选择题1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是()A．27 B．28C．29 D．30[答案] B[解析]后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上2,3,4,5，……，故第七个三角形数为21＋7＝28.2．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111……A．1111110B．1111111C．1111112 D．1111113[答案] B[解析]可利用归纳推理，由已知可猜测123456×9＋7＝1111111.3．(2009·湖北文，10)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1024C ．1225D ．1378[答案] C[解析] 本题主要考查数形的有关知识．图1中满足a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，以上累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，a n ＝1＋2＋3＋…＋na n ＝n ·(n ＋1)2，图2中满足b n ＝n 2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方．∵1225＝352＝49×502，∴选C. 5．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r 22B.l 22C.lr 2D ．不可类比[答案] C[解析] 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．7．观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A.B ．△C ．▭D ．○[答案] A[解析] 图形涉及○、△、▭三种符号；其中△与○各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个黑色▭符号，即应画上▭才合适．8．下列推理正确的是( )A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c[答案] D[解析]a·(b＋c)＝ab＋ac，故类比a·(b＋c)＝a·b＋a·c.9．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图)，则第n个正方形数是()A．n(n－1)B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2[答案] C[解析]第n个正方形数的数目点子可排成每边有n个点子的正方形，故为n2.二、填空题12．(2010·陕西文，11)观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为__________________．[答案]13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)[解析]本题考查归纳推理．根据已知条件，第四个等式应用13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)．14．如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，则在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可写出类似的命题：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[解析]长方体ABCD－A1B1C1D1中，若对角线BD1与棱AB，BB1，BC所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1或sin2α＋sin2β＋sin2γ＝2(或：长方体ABCD－A1B1C1D1中，若对角线BD1与平面ABCD，ABB1A1，BCC1B1所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2或sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1)。
人教课标版高中数学选修1-2《合情推理》提升训练
《合情推理》提升训练(时间：30分钟；分值:40分)―、选择题（每小题5分，共15分）1.(2018湖南邵阳期末，★★☆)已知{}n b 为等比数列，52,b =则91239······2.b b b b =若{}n a 为等差数列，52a =，则{}n a 的类似结论为( )A.91239······2a a a a = B.91239···2a a a a ++++= C.1239······29a a a a =⨯ D.1239···29a a a a ++++=⨯ 2.(2018山东泰安期末，★★☆)设*,n N ∈则211...122...2=n n -个个( )A.333n ⋅⋅⋅个B.()21333n -⋅⋅⋅个C.()21333n-⋅⋅⋅个D.2333n ⋅⋅⋅个3.(2018宁夏银川校级期末，★★☆)中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计数，算筹的摆放有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推.例如6613用算筹表示就是，则8335用算筹可表示为( )A. B.C.D.二、填空题（每小题5分，共15分）4.(2018湖南邵阳期末，★★☆)如图，平面上,点A C 、为射线PM 上的两点，点B D 、为射线PN 上的两点，则有PAB PCDS PA PB S PC PD∆∆⋅=⋅（其中PAB PCD S S ∆∆、分别为PAB PCD ∆∆、的面积）；空间中，点A C 、为射线PM 上的两点，点B D 、为射线PN 上的两点，点E F 、为射线PL 上的两点，则有_______P ABE P CDFV V --=（其中P ABE P CDF V V --、分别为四面体P ABE P CDF --、的体积）.5.(2018四川凉山州模拟，★★☆)我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱,次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何？意思是:将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱,分完后,再把钱收回平均分给各人,结果每人分得100钱,问有多少人？则题中的人数是_______.6.(2018云南玉溪模拟，★★☆)已知整数对的序列如下：()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,2,1,1,3,2,2,3,1,1,4,2,3,3,2,4,1,1,5,2,4,,⋅⋅⋅则第57个数对是_________. 三、解答题（共10分）7.(10分）（2018山东青州期末，★★☆)下面（A ）（B ）（C ）（D ）为四个平面图形:(1)数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将下表补充完整：(2)观察表格,若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为E F G、、，试猜想E F G、、之间的数量关系（不要求证明）.参考答案一、选择题1.答案：D解析：等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有123929.a a a a+++⋅⋅⋅+=⨯2.答案：A解析：()()2222101101101101111222=33 3.9993n nn nn n n----⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-===⋅⋅⋅个个个故选A.3．答案：B解析：由题意知各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位,万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则8335用算筹可表示为.故选B.二、填空题4.答案:见解析解析：依据类比推理,将平面图形类比到空间图形，相应的面积之比类比成体积之比.5.答案：见解析解析：设共有n人，根据题意得，()13100,2n nn n-+=解得195.n=6.答案：见解析解析：()1,1，两数的和为2,共1个，()()1,2,2,1，两数的和为3，共2个，()()()1,3,2,2,3,1,两数的和为4,共3个，()()()()1,4,2,3,3,2,4,1,两数的和为5，共4个，······1234567891055,+++++++++=∴第57个数对是第11组中的第2个数，从而两数之和为12，应为()2,10.三、解答题7.答案：见解析解析：(1)(2),,E F G之间的数量关系为 1.+-=E G F。
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数学·选修1－2(人教A版)2．1 合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理►达标训练1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )A．28 B．32C．33 D．27答案：B2．已知三角形的三边长分别是a，b，c，其内切圆的半径为r，则三角形的面积为：S＝12(a＋b＋c)r，利用类比推理，可以得出四面体的体积为( )A．V＝13 abcB．V＝13 ShC．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)·r(其中S1，S2，S3，S4分别是四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)D．V＝13(ab＋bc＋ca)h(h为四面体的高)解析：根据类比的一般原理，三角形的边长和面积分别类比于四面体的面积和体积，因而可以得出答案C.答案：C3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113解析：由数塔呈现的规律知，结果是各位都是1的7位数． 答案：B4．等比数列{}a n 满足：m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n＝a p ·a q .由此类推可得，在等差数列{}a n 中，若有m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则有( )A ．a m ·a n ＝a p ·a qB ．a m ＋a n ＝a p ＋a qC.a m a n ＝a pa qD ．a m －a n ＝a p －a q 答案：B5．下面使用类比推理正确的是( )A．“若a·3＝b ·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a ＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”D．“(ab)n＝a n b n”类推出“(a＋b)n＝a n＋b n”答案：C6．如右图所示，面积为S的凸四边形的第i条边的边长记为a i(i ＝ 1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为h i(i＝1,2,3,4)，若a11＝a22＝a33＝a44＝k，则∑i＝14(a i h i)＝2Sk.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H i(i＝1,2,3,4)，若S11＝S22＝S33＝S44＝K，则∑i＝14(S i H i)＝( )A.4VKB.3VKC.2VKD.VK解析：从平面类比到空间，通常是边长类比为面积，面积类比为体积，又凸四边形中，面积为S＝12(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)，而在三棱锥中，体积为V＝13(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)，即存在系数差异，所以，上述性质类比为B.答案：B►素能提高1．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖________块(用含n的代数式表示)．解析：第(1)，(2)，(3)，…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，…由此可猜测第n个图案黑色瓷砖数为：12＋(n－1)×4＝4n＋8.答案：4n＋82．图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形(如图2)，再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形(如图3)，…，依此类推，设第n 个图中三角形被剖分成a n 个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为________；a 100＝________.…图1 图2 图3答案：18 2983．观察下列不等式： 1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…照此规律，第五个不等式为_____________________________．解析：观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边＝1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2，右边＝2(n ＋1)－1n ＋1，所以第五个不等式为 1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1164．(2013·广州二模)数列{a n }的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第k ＋1个1之间有2k －1个2，即数列{a n }为：1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝______；S 2013＝______.答案：36 39815．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)的变量，请你写出类似于①的式子②：_______________________________________.②式可以用语言叙述为：_______________________________.解析：V (R )＝43πR 3，又⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2，故②式可填＝4πR 2，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数”．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数6．(2013·江门佛山二模)将集合{2s ＋2t |0≤s ＜t 且s ，t ∈Z}中的元素按上小下大，左小右大的原则排成如图的三角形数表，将数表中位于第i 行第j 列的数记为b ij (i ≥j ＞0)，则b 43＝________.答案：207．在等差数列{}a n 中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立．类比上述性质，在等比数列{}b n 中，若b 9＝1，则有等式______________________成立．解析：a 10是等差数列{}a n 的前19项的中间项，而b 9是等比数列{}b n 的前17项的中间项．所以答案应为：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b17－n(n <17，n ∈N *)．答案：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)8．在平面内观察发现：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜测凸n 边形有几条对角线．解析：凸四边形有2条对角线；凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条对角线； 凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条对角线；…归纳猜测：凸n 边形的对角线条数，比凸n －1边形多对角线，于是得到凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋…＋(n －2)＝12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．►品味高考1．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过下图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________(用k 表示)．解析：由以上规律可知三角形数1,3,6,10，…的一个通项公式为a n ＝n (n ＋1)2，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15. 从而由上述规律可猜想：b 2k ＝a 5k +＝5k (5k ＋1)2(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝(5k －1)(5k －1＋1)2＝5k (5k －1)2，故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项． 答案：(1)5 030 (2)5k (5k －1)2点评：本题考查归纳推理，猜想的能力．归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想．2．(2013·陕西卷)观察下列等式： (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________________________．答案：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)3．(2013·湖北卷)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．解析：(1)四边形DEFG是一个直角梯形，观察图形可知：S＝(2＋22)×2×12＝3，N＝1，L＝6.(2)由(1)知，S四边形DEFG＝a＋6b＋c＝3.S△ABC＝4b＋c＝1.在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S＝4，N＝1，L＝8.则S＝a＋8b＋c＝4.联立解得a＝1，b＝12，c＝－1.打印版高中数学 ∴S ＝N ＋12L －1，∴若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18， 则S ＝71＋12×18－1＝79. 答案：(1)3,1,6 (2)79。