用样本的数字特征估计总体的数字特征学案1人教B版必修3
高中数学人教B版必修3导学案：§2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 Word版含解析
一、知识点归纳整理：1. 中位数：把n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置 的一个数据或中间两数的平均数叫这组数据的中位数2.众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数 (可能有多个或没有众数)3.平均数：n 个数x 1,x 2,…,x n ,x =1n( x 1+x 2+…+x n ) 叫n 个数的算术平均数,简称平均数4. 方差和标准差的符号和计算公式是怎样的？它们反映了这组数据哪方面的特征？答： 方差和标准差分别用S 2和s 表示．用 表示一组数据的平均数，x 1、x 2、… x n 表示n 个数据，则这组数据 方差的计算公式是()()()2222121...n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ 标准差的计算公式是222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-方差和标准差反映的是一组数据与平均值的离散程度或一组数据的稳定程度． 方差反映数据波动大小,方差越大,则波动越大, 越不稳定标准差用来表示稳定性,标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不稳定.标准差越小,数据的离散程度就越小,也就越稳定.从标准差的定义可以看出,标准差s≥0,当s=0时,意味着所有的样本数据都等于样本平均数练习1：这三组数据的平均数、方差和标准差。
平均数 方差 标准差1、2、3、4、5 3 211、12、13、14、15 13 23、6、9、12、15 9 18撰稿人：赵志岩2 2 23 x练习2：请你用上面发现的结论来解决以下的问题。
已知数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的平均数为X ，方差Y, 标准差Z , 则 ①数据a 1+3，a 2 + 3，a 3 +3 ，…，a n +3平均数为---------，方差为-------， 标准差为----------。
②数据a 1-3，a 2 -3，a 3 -3 ，…，a n -3平均数为 ----------，方差为--------， 标准差为----------。
高中数学 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征学案 新人教B版必修3(2021年整理)
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2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征1.会求样本的平均数、标准差、方差.(重点)2.理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法。
（重点）3.会应用相关知识解决实际统计问题。
（难点）［基础·初探］教材整理1 样本的平均数阅读教材P65～P66，完成下列问题。
1.定义：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数.2。
特点：平均数描述了数据的平均水平，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平.用样本的平均数估计总体的平均数时，样本平均数只是总体平均数的近似.3.作用：n个样本数据x1，x2，…，x n的平均数错误!＝错误!，则有n错误!＝x1＋x2＋…＋x n,也就是把每个x i（i＝1，2，…，n)都用错误!代替后，数据总和保持不变。
所以平均数错误!对数据有“取齐”的作用，代表了一组数据的数值平均水平。
一组观察值4，3,5,6出现的次数分别为3，2,4,2，则样本平均值为( ）A.4.55 B。
4。
5C.12.5D.1.64【解析】错误!＝错误!≈4.55。
【答案】A教材整理2 样本的方差和标准差阅读教材P66“最后一段”至P68，完成下列问题.1.数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述。
人教课标版高中数学必修3《用样本的数字特征估计总体的数字特征》参考学案
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征课前预习学案一、预习目标：通过预习，初步理解众数、中位数、平均数、标准差、方差的概念。
二、预习内容：1、知识回顾：作频率分布直方图分几个步骤？各步骤需要注意哪些问题？2、众数、中位数、平均数的概念众数:______________________________________________________________ 中位数:_____________________________________________________________ 平均数:______________________________________________________________ 3.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是_______________________________ 中位数左边和右边的直方图的________应该相等，由此可估计中位数的值。
平均数是直方图的___________.4.标准差、方差标准差s=___________________________________________________________ 方差s2=___________________________________________________________ 三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标：1. 能说出样本数据标准差的意义和作用，会计算数据的标准差2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
二、学习内容1.众数、中位数、平均数思考1：分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么问题？为什么会这样呢？思考2：你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？练一练：假如你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20～100万元。
高中数学第二章统计2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征教案新人教B版必修3
《用样本的数字特征估计总体的数字特征》教案教学目标1．能从样本数据中提取基本的数字特征，并做出合理的解释． 2．会求样本的众数、中位数、平均数．3．能从频率分布直方图中，求得众数、中位数、平均数． 教学重难点教学重点：用样本众数,中位数,平均数估计总体的众数,中位数,平均数.. 教学难点：用样本的数字特征估计总体的数字特征,统计思维的建立. 教学过程情境导学美国NBA 在2011——2012年度赛季中，甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲运动员得分：12,15,20,25,31,30, 36,36,37,39,44,49；乙运动员得分：8,13,14,16,23,26, 28,38,39,51,31,39.如果要求我们根据上面的数据，估计、比较甲，乙两名运动员哪一位发挥得比较稳定，就应有相应的数据作为比较依据，即通过样本数字特征对总体的数字特征进行研究．所以今天我们开始学习用样本的数字特征估计总体的数字特征． 探究点一 众数、中位数和平均数问题 在初中我们学过众数、中位数和平均数的概念，它们都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，你还能回忆起众数、中位数和平均数的定义及特点吗？思考1 众数是如何定义的？有什么特点？举例加以说明．答 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．特点：(1)众数是这组数据中出现次数最多的数；(2)众数可以有一个或多个； 如：一组数据为2,2,3,4,4,5,5,6,7,8；众数为2,4,5. 思考2 中位数是如何定义的？有什么特点？举例加以说明．答 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．特点：(1)排序后找中位数；(2)中位数只有一个；(3)中位数不一定是这组数据中的数． 如：一组数据为2,2,3,4,4,5,5,6,7,8；中位数为12(4＋5)＝4.5.思考3 平均数是如何定义的？答 平均数：一组数据的算术平均数，即x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )探究点二 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系思考1 如何在样本数据的频率分布直方图中，估计出众数的值？举例加以说明．答 众数大致的值就是样本数据的频率分布直方图中最高矩形的中点的横坐标．例如，在2.2.1(一)节调查的100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数估计是2.25 t ．如图所示：思考2 如何在样本数据的频率分布直方图中，估计出中位数的值？举例加以说明．答 在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数使得在它左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值，下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为2.02 t.思考3 如何在样本数据的频率分布直方图中估计出平均数的值？答 平均数是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点，因此，每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和为平均数．思考4 从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是1.973，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？答 因为样本数据频率分布直方图只是直观地表明分布的形状，从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估计值与数据分组有关，所以估计的值有一定的偏差．思考5 根据众数、中位数、平均数各自的特点，你能分析它们对反映总体存在的不足之处吗？答 (1)众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征；(2)中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点；(3)由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质．也正因如此，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低．例1 样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y (x ≠y )．若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝αx ＋(1－α)y ，其中0<α<12，则n ，m 的大小关系为( )A ．n <mB ．n >mC ．n ＝mD ．不能确定答案 A解析 利用两个样本平均数表示总体平均数，从而确定系数α.x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ，y ＝y 1＋y 2＋…＋y mm ，z ＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋y 1＋y 2＋…＋y mm ＋n ，则z ＝n x ＋m ym ＋n ＝n m ＋nx ＋m m ＋ny .由题意知0<nm ＋n <12，∴n <m . 反思与感悟 根据样本频率分布直方图，可以分别估计总体的众数、中位数和平均数． (1)众数：最高矩形下端中点的横坐标；(2)中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标．(3)平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和．跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．解 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是 1.70；这组数据的平均数是x ＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517≈1.69(m)．答 17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m ，1.70 m,1.69 m. 探究点三 众数、中位数、平均数的简单应用例2 某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：(2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、20 000元，那么公司职工新的平均数、中位数和众数又是什么？ (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？ 解 (1)公司职工月工资的平均数为x ＝5 500＋5 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×2033＝69 00033≈2 091(元)． 若把所有数据从大到小排序，则得到：中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)若董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为x ＝30 000＋20 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×2033＝108 50033≈3 288(元)． 中位数是1 500元，众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司员工的工资水平，因为公司少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．反思与感悟 样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息．平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大．跟踪训练2 某班甲、乙两名学生的高考备考成绩如下： 甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538 乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531 (1)用茎叶图表示两名学生的成绩； (2)分别求两名学生成绩的中位数和平均分． 解 (1)两学生成绩的茎叶图如图所示.(2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556 乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559 从以上排列可知甲学生成绩的中位数为536＋5382＝537.乙学生成绩的中位数为532＋5362＝534.甲学生成绩的平均分为500＋12＋22＋28＋34＋36＋38＋41＋49＋54＋5610＝537，乙学生成绩的平均分为500＋15＋21＋27＋31＋32＋36＋43＋48＋58＋5910＝537.例3 某课外活动小组对该市空气含尘调查，下面是一天每隔两小时测得的数据：0.03、0.03、0.04、0.05、0.01、0.03(单位：G/M3) (1)求出这组数据的众数和中位数？(2)若国际(国家环保局的标准)是平均值不得超过0.025G/M3；问这一天城市空气是否符合标准？解 (1)由题意知众数是0.03，中位数为0.03. (2)这一天数据平均数是0.03，∵0.03＞0.025， ∴这一天该城市空气不符合国际标准．反思与感悟 如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策． 跟踪训练3 某工厂人员及工资构成如下：(1)(2)这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么？ 解 (1)x ＝123(2 200＋6×250＋5×220＋10×200＋100)＝300. (2)因平均数为300，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平．作业: 练习1,2,3。
第二章 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征-人教B版高中数学必修3学案
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征学习目标 1.能合理地选取样本，并从中提取基本的数字特征.2.了解众数、中位数、平均数的概念，会计算方差和标准差.3.进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的数字特征估计总体的数字特征．知识点一 众数、中位数、平均数思考1 平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？ 答案 平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但它的缺点是平均数受数据中极端值的影响较大．思考2 在电视大奖赛中，计算评委打分的平均值时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分？ 答案 为了避免平均值受数据中个别极端值的影响，增大它在估计总体时的可靠性，故计算评委打分时要去掉一个最高分和一个最低分． 梳理 众数、中位数、平均数定义 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．(3)平均数：如果n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )叫做这n 个数的平均数．知识点二 方差、标准差思考1 当样本数据的标准差为0时，该组数据有何特点？ 答案 当样本数据的标准差为0时，该组数据都相等． 思考2 标准差、方差的意义是什么？答案 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小． 梳理 标准差、方差的概念及计算公式(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．s ＝ 1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数)． (2)标准差的平方s 2叫做方差．s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数)．(3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s ＝0时，每一组样本数据均为x . 知识拓展：平均数、方差公式的推广：1．若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，mx 3＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a .2．设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则 a ．s 2＝1n[(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]； b ．数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也为s 2； c ．数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.知识点三 用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征 1．样本的基本数字特征包括众数、中位数、平均数、标准差．2．平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此，还需要用标准差来反映数据的分散程度．3．现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，虽然总体的平均数与标准差客观存在，但是我们无从知道．所以通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差．虽然样本具有随机性，不同的样本测得的数据不一样，与总体的数字特征也可能不同，但只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．1．中位数是一组数据中间的数．( × ) 2．众数是一组数据中出现次数最多的数．( √ )3．一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．( √ )题型一 众数、中位数和平均数的理解与应用 命题角度1 众数、中位数、平均数的计算例1 某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：(1)求该公司职工月工资的平均数；(2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、20 000元，那么公司职工月工资新的平均数又是什么？ 解 (1)公司职工月工资的平均数为x ＝5 500＋5 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×2033＝69 00033≈2 091(元)．(2)若董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为x ＝30 000＋20 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×2033＝108 50033≈3 288(元)．反思与感悟 (1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量． (2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题．(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．(4)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动．(5)因为平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质，也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息．但平均数受数据的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．跟踪训练1 对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有下列结论： ①这组数据的众数是3；②这组数据的众数与中位数的数值不相等； ③这组数据的中位数与平均数的数值相等； ④这组数据的平均数与众数的数值相等． 其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 在这11个数中，数3出现了6次，频率最高，故众数是3；将这11个数按从小到大的顺序排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中间数据是3，故中位数是3；而平均数x ＝2×2＋3×6＋6×2＋1011＝4.故只有①正确．命题角度2 用频率分布直方图估算众数、中位数、平均数 例2 已知一组数据：125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 (1)填写下面的频率分布表：(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数． 解 (1)频率分布表如下：(2)频率分布直方图如下：(3)在[125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是125＋2×58＝126.25，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：x ＝122×0.1＋124×0.15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0.15＝126.3，平均数的精确值为x ＝125.75.反思与感悟 (1)利用频率分布直方图估计数字特征： ①众数是最高的矩形的底边中点的横坐标； ②中位数左右两侧直方图的面积相等；③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(2)利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致．跟踪训练2 一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图．试估计这个样本的众数、中位数和平均数．解 众数＝39.99＋40.012＝40；四个矩形的面积分别是0.02×5＝0.1, 0.02×10＝0.2, 0.02×25＝0.5, 0.02×10＝0.2.中位数为39.99＋0.225＝39.998；平均数为39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996.题型二 标准差、方差的应用例3 计算数据89,93,88,91,94,90,88,87的方差和标准差(标准差结果精确到0.1)． 解 ①x ＝90＋18[(－1)＋3＋(－2)＋1＋4＋0＋(－2)＋(－3)]＝90＋18×0＝90；②计算x i －x (i ＝1,2，…，8)，得各数据为－1,3，－2,1,4,0，－2，－3； ③计算(x i －x )2(i ＝1,2，…，8)，得各数据为1,9,4,1,16,0,4,9； ④计算方差：s 2＝18(1＋9＋4＋1＋16＋0＋4＋9)＝448＝5.5；⑤计算标准差：s ＝ 5.5≈2.3.所以这组数据的方差为5.5，标准差约为2.3.反思与感悟 (1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．(2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．(3)若样本数据都相等，则s ＝0.(4)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的．跟踪训练3 甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和(1)中算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．解 (1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分． x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13，x 乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13，s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s 2甲＞s 2乙可知乙的成绩较稳定．从折线图来看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高.1.某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图，则这组数据的中位数是( )A ．19B ．20C ．21.5D ．23答案 B解析 由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B.2．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的平均数和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的平均数和方差分别为( ) A ．1＋a,4 B ．1＋a,4＋a C ．1,4 D ．1,4＋a答案 A解析 ∵x 1，x 2，…，x 10的平均数x ＝1，方差s 21＝4， 且y i ＝x i ＋a (i ＝1,2，…，10)，∴y 1，y 2，…，y 10的平均数y ＝110·(y 1＋y 2＋…＋y 10)＝110·(x 1＋x 2＋…＋x 10＋10a )＝110·(x 1＋x 2＋…＋x 10)＋a ＝x ＋a ＝1＋a ，其方差s 22＝110·[(y 1－y )2＋(y 2－y )2＋…＋(y 10－y )2]＝110[(x 1－1)2＋(x 2－1)2＋…＋(x 10－1)2]＝s 21＝4.故选A.3．已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________． 答案 6解析 由已知得，所求平均数为4＋6＋5＋8＋7＋66＝6.4．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为________． 答案 16解析 设样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ，则s ＝8，可知数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为2s ＝16.5．某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下： 74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差； (2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差．解 (1)这10个学生体重数据的平均数为x ＝110×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71.这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,72，∴这10个学生体重数据的中位数为71＋722＝71.5.这10个学生体重数据的方差为 s 2＝110×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11，这10个学生体重数据的标准差为s ＝s 2＝11.(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为11.1．利用直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的中点．②中位数左右两边直方图的面积应相等．③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 2．标准差的平方s 2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．3．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．一、选择题1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数，众数，中位数分别为( ) A ．85分，85分，85分 B ．87分，85分，86分 C ．87分，85分，85分 D ．87分，85分，90分答案 C解析 平均数为100＋95＋90×2＋85×4＋80＋7510＝87，众数为85，中位数为85，故选C.2．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a 答案 D解析 由已知得a ＝110×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7，b ＝12×(15＋15)＝15，c ＝17，∴c ＞b ＞a .故选D. 3．样本a,3,5,7的平均数是b ，且a ，b 是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C解析 x 2－5x ＋4＝0的两根是1,4. 当a ＝1时，a,3,5,7的平均数是4； 当a ＝4时，a,3,5,7的平均数不是1.∴a ＝1，b ＝4，则方差s 2＝14×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8 答案 C解析 由茎叶图及已知得x ＝5，又乙组数据的平均数为16.8，即9＋15＋10＋y ＋18＋245＝16.8，解得y ＝8，选C.5．某高三学生在连续五次月考中的数学成绩为(单位：分)：90,90,93,94,93，则该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数和方差分别为( ) A ．92,2.8 B ．92,2 C ．93,2 D ．93,2.8答案 A解析 该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数为 x ＝15×(90＋90＋93＋94＋93)＝92，方差为s 2＝15×[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝2.8.故选A.6．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩为(单位：分)：x ，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x －y |的值为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18 答案 D解析 由题意得，x ＋y ＋105＋109＋1105＝108，①(x －108)2＋(y －108)2＋9＋1＋45＝35.2，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝99，y ＝117或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝117，y ＝99，所以|x －y |＝18.故选D.7．某省农科所经过5年对甲、乙两棉种的实验研究，将连续5年棉花产量(千克/亩)的统计数据用茎叶图表示，如图所示，则平均产量较高与产量较稳定的分别是( )A ．甲棉种；甲棉种B ．乙棉种；甲棉种C ．甲棉种；乙棉种D ．乙棉种；乙棉种答案 C解析 根据茎叶图的数据知，甲棉种产量为68,69,70,71,72；乙棉种产量为68,68,69,69,71. ∴甲棉种的平均值x 甲＝15×(68＋69＋70＋71＋72)＝70；乙棉种的平均值x 乙＝15×(68＋68＋69＋69＋71)＝69.甲的方差s 2甲＝15×[(68－70)2＋(69－70)2＋(70－70)2＋(71－70)2＋(72－70)2]＝2， 乙的方差s 2乙＝15×[(68－69)2＋(68－69)2＋(69－69)2＋(69－69)2＋(71－69)2]＝1.2. ∴甲棉种平均产量较高，乙棉种产量较稳定．故选C. 二、填空题8.如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70分～99分)，若甲、乙两组学生的平均成绩一样，则a ＝________；甲、乙两组学生的成绩相对稳定的是________．答案 5 甲组解析 由题意可知75＋88＋89＋98＋90＋a 5＝76＋85＋89＋98＋975＝89，解得a ＝5.因为s 2甲＝15×[(－14)2＋(－1)2＋0＋92＋62]＝3145，s 2乙＝15×[(－13)2＋(－4)2＋0＋92＋82]＝3305，所以s 2甲＜s 2乙，故成绩相对稳定的是甲组． 9．已知一组数据x 1，x 2，…，x 10的方差是2，且(x 1－3)2＋(x 2－3)2＋…＋(x 10－3)2＝380，则这组数据的平均数x ＝________. 答案 －3或9解析 ∵数据x 1，x 2，…，x 10的方差为2， ∴110[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 10－x )2]＝2， 即(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 10－x )2＝20.又∵(x 1－3)2＋(x 2－3)2＋…＋(x 10－3)2＝380，∴90－10x 2＋(2x －6)×10x ＝360，∴x 2－6x －27＝0，解得x ＝－3或x ＝9.10．一组数据2，x,4,6,10的平均数是5，则此组数据的标准差是________．答案 2 2解析 ∵一组数据2，x,4,6,10的平均数是5，∴2＋x ＋4＋6＋10＝5×5，解得x ＝3，∴此组数据的方差s 2＝15×[(2－5)2＋(3－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(10－5)2]＝8， ∴此组数据的标准差s ＝2 2.11．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示．现在用分层抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________小时．答案 50 1 015解析 由分层抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件)．由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命为1 020×50%＋980×20%＋1 030×30%＝1 015(小时)．三、解答题12.从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如图所示的茎叶图．已知甲班成绩数据的中位数为13，乙班成绩数据的平均数为16.(1)求x ，y 的值；(2)试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低．(注：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数) 解 (1)由茎叶图知甲班成绩数据依次为9,12,10＋x,20,26，所以中位数为10＋x ＝13，得x ＝3；乙班成绩数据的平均数x 乙＝15(9＋15＋10＋y ＋18＋20)＝16， 得y ＝8.(2)乙班整体水平较高．理由：由题意及(1)得x 甲＝15×(9＋12＋13＋20＋26)＝16， s 2甲＝15×[(9－16)2＋(12－16)2＋(13－16)2＋(20－16)2＋(26－16)2]＝38，x 乙＝16， s 2乙＝15×[(9－16)2＋(15－16)2＋(18－16)2＋(18－16)2＋(20－16)2]＝745＝14.8. 因为s 2甲＞s 2乙，所以乙班的整体水平较高．13．某工厂36名工人的年龄数据如表所示．(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的平均数x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间的有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)? 解 (1)由系统抽样，将36名工人分为9组(4人一组)，每组抽取一名工人．因为在第一分段里抽到的是年龄为44的工人，即编号为2的工人，故所抽样本的年龄数据为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)平均数x ＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋379＝40； 方差s 2＝19×[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝1009. (3)由(2)可知s ＝103.由题意，年龄在⎝⎛⎭⎫40－103，40＋103内的工人共有23人，所占的百分比为2336×100%≈63.89%. 14．从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的某项质量指标，由测量结果得到如下频数分布表：(1)在图中作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解(1)频率分布直方图如图：(2)质量指标值的样本平均数为80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．。
38447_《用样本的数字特征估计总体的数字特征》教案3(人教B版必修3)
用样本的数字特征估计总体的数字特征-------------------------------------众数、中位数、平均数一课标要求（一）知识与技能要求能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理的解释（二）过程与方法要求在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征（三）情感态度与价值观要求体会统计对决策的作用，提高学习统计知识的兴趣二重点与难点重点：样本众数、中位数、平均数的意义及求法，实际问题中三数的应用。
难点：样本频率分布直方图中众数、中位数、平均数的求法，实际问题中三数的应用三教学过程（一）导入上一节我们学习了用图、表来组织样本数据，并且学习了如何通过图、表所提供的信息，用样本的频率分布估计总体的分布。
为了从整体上更好地把握总体的规律，我们还需要通过样本的数据对总体的情况进行研究。
这节课我们从三个数字特征——众数、中位数、平均数来估计总体的情况。
（二）讲授新课（1）三数概念1、众数在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数。
2、中位数将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
3、平均数一组数据的总和除以数据的个数所得的值。
如：5、5、5、6、6、6、6、7、7、7众数为6中位数为6平均数也可以说平均数为各个不同数字乘以相应频率之和。
众数为2.3，中位数为2.0，平均数为2.0问题：在频率分布直方图中，我们如何来求出这三个数？如（2）频率分布直方图中的三数1.众数频率分布直方图中最高小长方形底边中点的横坐标.上图中，众数为2.25.1）原始数据中的众数不同，为什么？在频率分布直方图，我们只能直观地看出数据的大概分布情况，从直方图本身得不出原始的数据内容，直方图已经损失一些样本信息。
由于小长方形的面积表示频率，所以取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数2）它有什么优缺点？能够体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征。
人教版高中数学必修三《 用样本的数字特征估计总体的数字特征》导学案
40.0
39.8
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40.040.239.840.239.8乙
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（1）你能选择适当的数分别表示这两组数据的离散程度吗？
提出问题：什么叫标准差？有什么意义？
（2）分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差
达标训练
1.课本31页练习
2.教辅资料
作业
布置
习题1-4 1，2
学习小结/教学
反思
§2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征1
授课
时间
第周星期第节
课型
新授课
主备课人
学习
目标
1.掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用；
2.根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息.
重点难点
根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息.
学习
过程
与方
法
自主学习
复习回顾
【解】
4.什么叫极差？有什么意义？
5.什么叫方差？有什么意义？
练习2：在上一节中，从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额可以用茎叶图表示，如图
（1）甲乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少？
（2）你能从图中分别比较甲乙两组数据平均数和方差的大小吗？
精讲互动
例1甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件。为了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量，结果如下表所示
1.什么叫平均数？有什么意义？
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修3 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征》1
课题：用样本的数字特征估计总体的数字特征授课教师：于偲教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修3 人教B版课题用样本的数字特征估计总体的数字特征1知识与技能（1）在初中对平均数了解的基础上，让学生学会计算样本的平均数、方差与标准差。
（2）以实例解释如何用样本的数字特征（平均数、方差，标准差）估计总体的数字特征，提高学生用教材知识解决实际问题的能力。
教学目标2过程与方法（1）通过学生自学，小组讨论，总结展示学习成果。
（2）教师启发引导学生发现特殊技巧，提高学生学习数学的积极性。
3情感态度与价值观（1）结合教学内容培养学生学习数学的兴趣，激励学生勇于探索发现新的做题技巧。
（2）让学生把书本知识与实际问题相结合，增强学生分析问题，解决问题的能力。
教学重点通过实例理解样本标准差的意义和作用，学会计算样本标准差。
教学难点理解样本标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
教学方法教师引导学生进行小组合作，探索，讨论。
教学过程师生互动设计意图一、新课引入今天我们来学习用样本的数字特征估计总体的数字特征，那今天的学习会对我们解决实际问题有什么帮助呢？带着这个问题我们来进行今天的学习。
把书翻到P65，阅读P65~66，以小组的形式进行讨论,研究完成导学案课上案探究一1、2、3题。
学生自学，小组讨论，教师辅助指导。
通过提问，引起学生听课兴趣，同时也让学生把书本知识与实际问题建立起联系。
二、概念形成探究一：让学生组内总结，提炼出平均数、方差与标准差公式，以及方差与标准差的意义。
学生总结，在黑板汇报展示，老师纠正错误，规范书写。
强调字母含义。
锻炼学生阅读、总结、提炼知识点能力，通过小组讨论学会团结协作。
三、概念深化例一：计算数据5，7，7，8，10，11的方差和标准差。
教师()848611110877561=⨯=+++++=x [()()()()()]248108118828785612222222===-+-+-+⨯-+-=s s s 老师：大家要注意书写过程，书写要规范。
新人教版(B)高中数学必修3用样本的数字特征估计总体的数字特征教案
用样本的数字特征估计总体的数字特征教学目标：1．通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。
2．进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。
教学重点：通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。
进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。
教学过程：1．本均值：nx x x x n +++= 21 2．样本标准差：nx x x x x x s s n 222212)()()(-++-+-== 3．通过例1、例2、例3、例4、例5熟悉上述两个公式4．用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。
在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。
虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。
5．（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k ，标准差变为原来的k倍（3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间)3,3(s x s x +-的应用；“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理课堂练习：第73页，练习A,练习B小结：通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。
进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。
课后作业：第74页，习题2-2A 第4、5、6题,。
人教B版必修三2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学案.doc
高中数学学习材料唐玲出品人教B版必修三2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征（）月（）日编者: 高小燕审稿人：全组人员星期授课类型：学习目标：1.能用样本的平均数估计总体的平均数。
2.正确理解样本数据标准差的意义和作用,并学会计算。
3.能从样本数据中提取基本的数字特征（平均数、标准差）,并作出合理的解释；会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
课堂内容展示自学指导：自学课本P65-69，回答下列问题1.平均数描述了数据的________，定量地放映了数据的集中趋势所处的水平；规律总结2.一般的,称___________________ 为平均数或均值；3.数据的离散程度可以用_________来描述；4.一般地，称______________________为样本方差，_______________标准差。
自学检测：1.在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为____________.2.在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲27 38 30 37 35 31乙33 29 38 34 28 36试判断选谁参加某项重大比赛更合适？合作探究：例1.在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下:甲运动员:7,8,6,8,6,5,8,10,7,5；乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.观察上述样本数据,判断哪个运动员发挥得更稳定些吗？例2.（1）若M个数的平均数是X,N个数的平均数是Y,则这M+N个数的平均数是___________；如果两组数n21x,,x,x 和n yyy,......,,21的样本平均数分别是x和y,那么一组数nnyxyxyx+++,......,,2211的平均数是___________ （2）若给定一组数据n21x,,x,x ，方差为2S，则n21ax,ax,ax 的方差为____;若给定一组数据n21x,,x,x ，方差为2S，则bax,bax,baxn21+++ 的方差为________；特别地，当1=a时，则有bx,,bx,bxn21+++ 的方差为_____，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差_____，即不影响这组数据的波动性；课堂小结：本节课所学知识：1．x=________,平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平.2. 方差和标准差计算公式：设一组样本数据n21x,,x,x ，其平均数为x，则样本方差：s2=_________________________________样本标准差：s=___________________________当堂检测：1．若821k ,,k ,k 的方差为3，则)3k (2,),3k (2),3k (2821--- 的方差为______. 2．从甲乙两个总体中各抽取了一个样本：甲 6 5 8 4 9 6乙 8 7 6 5 82根据以上数据，说明哪个波动小？3.甲乙两人在相同条件下个射击20次，命中的环数如下： 问谁射击的情况比较稳定？甲 7 8 6 8 6 5 9 10 7 4乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 课堂小结 本节课学了哪些重要内容？试着写下吧 本节反思 反思一下本节课，你收获到了什么啊2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征课后作业1．以下可以描述总体稳定性的统计量是( ) A ．样本均值x B ．样本中位数 C ．样本方差2s D ．样本最大值x(n)2．下面是高一(18)班十位同学的数学测试成绩：82,91,73,84,98,99,101,118,98,110，则该组数据的中位数是( )． A ．98 B ．99 C ．98.5 D ．97.53．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( )． A ．85,85,85 B ．87,85,86 C ．87,85,85 D ．87,85,904．为了让人们感受丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量，结果如下(单位：个)：33,25,28,26,25,31.如果该班有45名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量约为( ) A ．900个 B ．1 080个 C ．1 260个 D ．1 800个5．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 ( )． A ．3.5 B ．－3 C ．3 D ．－0.56．已知两个样本数据如下则下列选项正确的是 ( )A ．22乙甲乙甲＞，＝s s x xB ．22乙甲乙甲＜，＝s s x xC ．22乙甲乙甲＝，＝s s x xD ．22乙甲乙甲＝，s s x x ≠7．设一组数据的方差是2s ，将这组数据的每个数据都乘10，所得到的一组新数据的方差是( ) A ．0.12s B ．2s C ．102s D ．1002s8．已知样本9,10,11，x ，y 的平均数是10，标准差是2，则xy ＝________. 9．若40个数据的平方和是56，平均数是22，则这组数据的方差是________，标准差是________． 10．已知一样本x 1，x 2，…，x n ，其标准差s ＝8.5，另一样本3x 1＋5,3x 2＋5，…，3x n ＋5，其标准差s ′＝________.11．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．甲 9.910.2 9.810.1 9.8 10 10.2 乙 10.1 9.61010.4 9.79.910.3(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差．12．假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货天数：甲10 9 10 10 11 11 9 11 10 10乙8 8 14 10 11 10 7 15 12 10估计两个供货商的交货情况，并问哪个供货商交货时间短一些，哪个供货商交货时间比较具有一致性与可靠性。
38454_《用样本的数字特征估计总体的数字特征》学案1(人教B版必修3)
用样本的数字特征估计总体的数字特征（第一课时）【学习目标】理解样本数据的方差，标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、标准差，并使学生领会通过合理的抽样对总体的稳定性水平作出科学的估计的思想。
【重点难点】掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算方差，标准差，并对总体稳定性水平估计的方法。
【学习过程】一、 学习引导①．方差和标准差计算公式：设一组样本数据n 21x ,,x ,x ，其平均数为x ，则样本方差：s 2=样本标准差：s=②．方差和标准差的意义： 二．合作交流①若给定一组数据n 21x ,,x ,x ，方差为s 2，则n 21ax ,ax ,ax 的方差为22s a ②若给定一组数据n 21x ,,x ,x ，方差为s 2，则b ax ,b ax ,b ax n 21+++ 的方差为22s a ；特别地，当1=a 时，则有b x ,,b x ,b x n 21+++ 的方差为s 2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性；③方差刻画了程度；对于不同的数据集，当越大时，方差越大；④方差的单位是，对数据中的极值较为敏感，标准差的单位与原始测量数据单位相同，可以减弱极值的影响。
二、 随堂练习例：要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程1.证明方差的两个性质①．若给定一组数据n 21x ,,x ,x ，方差为s 2，则n 21ax ,ax ,ax 的方差为22s a ②．若给定一组数据n 21x ,,x ,x ，方差为s 2，则b ax ,b ax ,b ax n 21+++ 的方差为22s a ；【小结反思】1.方差和标准差计算公式：设一组样本数据n 21x ,,x ,x ，其平均数为x ，则样本方差：s 2=n1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕样本标准差：s=])x x ()x x ()x x [(n 12n 2221----++-+- 2.方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数。
高中数学用样本的数字特征估量整体的数字特征说课稿新
《用样本的数字特征估量整体的数字特征》说课稿列位老师：大家好!我叫***，来自**。
我说课的题目是《用样本的数字特征估量整体的数字特征》，内容选自于高中教材新课程人教A版必修3第二章第二节，课时安排为三个课时，本节课内容为第一课时。
下面我将从教材分析、教学目标分析、教学方式与手腕分析、教学进程分析四大方面来论述我对这节课的分析和设计：一、教材分析1．教材所处的地位和作用在上一节咱们已经学习了用图、表来组织样本数据，而且学习了如何通过图、表所提供的信息，用样本的频率散布估量整体的散布情形。
本节课是在前面所学内容的基础上，进一步学习如何通过样本的情形来估量整体，从而使咱们能从整体上更好地把握整体的规律，为现实问题的解决提供更多的帮忙。
2 教学的重点和难点重点：⑴能利用频率公布直方图估量整体的众数,中位数,平均数.⑵体会样本数字特征具有随机性难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。
二、教学目标分析1．知识与技术目标(1) 能利用频率公布直方图估量整体的众数,中位数,平均数.(2) 能用样本的众数,中位数,平均数估量整体的众数,中位数,平均数,并结合实际,对问题作出合理判断,制定解决问题的有效方式。
二、进程与方式目标：通过对本节课知识的学习，初步体会、领悟“用数听说话”的统计思想方式。
3、情感态度与价值观目标：通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断培育学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风。
三、教学方式与手腕分析一、教学方式：结合本节课的教学内容和学生的认知水平，在教法上，我采用“问答探讨”式的教学方式，层层深切。
充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。
2。
教学手腕：通过量媒体辅助教学，充分调动学生参与课堂教学的主动性与踊跃性。
四、教学进程分析1.温习回顾，问题引入「屏幕显示」〈问题1〉在日常生活中，咱们往往并非需要了解整体的散布形态，而是更关心整体的某一数字特征，例如：买灯泡时，咱们希望明白灯泡的平均利用寿命，咱们如何了解灯泡的的利用寿命呢？固然不能把所有灯泡一一测试，因为测试后灯泡则报废了。
高中数学：222(用样本的数字特征估计总体的数字特征)教案(2)(新人教B版必修3) 教案
用样本的数字特征估计总体的数字特征(众数,中位数,平均数)学习目标一.能力目标:(1). 能利用频率颁布直方图估计总体的众数,中位数,平均数.(2). 能用样本的众数,中位数,平均数估计总体的众数,中位数,平均数,并结合实际,对问题作出合理判断,制定解决问题的有效方法。
（3）初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法。
二．情感目标：通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风。
三．学习重点、难点（1）.根据实际问题对样本数据中提取基本的数据特征并作出合理解释，估计总体的基本数字特征。
（2）.体会样本数字特征具有随机性。
四．基本流程五. 教学情景设计例1: 从甲乙两个公司各随机抽取50名员工月工资：甲公司：800 800 800 800 800 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 2000 2000 2000 2000 2000 2500 2500 2500乙公司：700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 10001000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 10001000 1000 6000 8000 10000试计算这两个公司50名员工月工资平均数，众数，中位数，并估计这两个企业员工平均工资。
数学人教B版必修3导学案：§2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
练习1：这三组数据的平均数、方差和标准差。 平均数 1、2、3、4、5 11、12、13、14、15 3、6、9、12、15 撰稿人：赵志岩 练习2：请你用上面发现的结论来解决以下的问题。 已知数据a1，a2，a3，…，an的平均数为X，方差Y, 标准差Z, 则 3 13 9 方差 2 2 18 标准差
方差和标准差反映的是一组数据与平均值的离散程度或一组数据的稳定程度． 方差反映数据波动大小,方差越大,则波动越大, 越不稳定 标准差用来表示稳定性,标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不稳定.标准差越 小,数据的离散程度就越小,也就越稳定.从标准差的定义可以看出,标准差s≥0,当s=0 时,意味着所有的样本数据都等于样本平均数
25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 25.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48 从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高? 解：用计算器计算可得
答： 方差和标准差分别用S 2和s表示．用 表示一组数据的平均数，x1、x2、… xn表示n个数据，则这组数据 方差的计算公式是 2 2 2 1 s 2 x1 x x2 x ... xn x n 标准差的计算x1 x ) 2 ( x2 x ) 2 ( xn x ) 2 ] n
一、知识点归纳整理： 1. 中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置 的一个数据或中间两数的平均数叫这组数据的中位数 2.众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数 (可能有多个或没有众数) 3.平均数：n个数x1,x2,…,xn, 1 x = ( x1+x2+…+xn) n 叫n个数的算术平均数,简称平均数 4. 方差和标准差的符号和计算公式是怎样的？它们反映了这组数据哪方面的特征？ x
人教B版高中数学必修三《 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征》_1
教案设计一、学习内容：用样本估计总体。
二、学习目标：历经数据的分析，体会制作频率分布表和频率分布图的作用，并通过图表解决常见的应用问题。
三、学习重点：用样本的频率分布估计总体的频率分布。
四、学习难点：组数的选取对样本估计总体的影响。
五、学习步骤：（一）复习与回顾。
（二）情景导入，抛出问题。
（1）以组距为进行分组，共分组，各组的范围可以如何设定？上表称为样本数据的频率分布表，水量分布的大致情况，给市政府确定居民月用水量标准提供参考依据，这里体现了一种什么统计思想？思考2：如果市政府希望85%左右的居民每月的用水量不超过标准，根据上述频率分布表，你对制定居民月用水量标准（即a的取值）有何建议？思考3：一般地，列出一组样本数据的频率分布表可以分哪几个步骤进行？（三）频率分布直方图。
思考1：为了直观反映样本数据在各组中的分布情况，我们将上述频率分布表中的有关信息用下面的图形表示：请同学们看书本P67的图2.2-1.思考2：小长方形的高= 小长方形的面= 小长方形的面积和=思考3：从图中我们可以看到,月均用水量在区间内的居民最多，在内次之，大部分居民的月均用水量都在[1，3)之间.思考4：直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到分布表中看不清楚的数据模式，但是直观图也丢失了一些信息，例如，不能在图中表示出了.（四）题型解析。
1. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出人．2．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x 和y分别为( )A．0.9，35 B．0.9，45C．0.1，35 D．0.1，453.有一个容量为50的样本数据的分组的频数如下：［12.5, 15.5） 3 ［24.5, 27.5）10［15.5, 18.5）8 ［27.5, 30.5）5［18.5, 21.5）9 ［30.5, 33.5）4［21.5, 24.5）11(1)列出样本的频率分布表;频率/组距样本数据(2)画出频率分布直方图;(3)根据频率分布直方图估计,数据落在[15.5, 24.5）的概率约是多少?（五）课堂小结。
高一数学人教b版必修3学案：2.2.2 用样本的数字特征估计
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征自主学习学习目标1．能根据实际问题的需要合理选择样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、众数等)，并做出合理解释．2．会用样本的基本数字特征估计总体的数字特征． 3．进一步体会样本估计总体的思想，解决一些实际问题． 自学导引1．设样本数据为x 1，x 2，…，x n ，则样本数据的平均数为x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn，它描述了数据的数值____________，定量地反映数据的集中趋势所处的水平．在频率分布直方图中，平均数是直方图的________．2．数据的离散程度可以用________、________或________来描述，样本方差描述了一组数据围绕________波动的大小．一般地设样本元素为x 1，x 2，…，x n 样本平均数为x ，则方差s 2＝________________________，标准差s ＝________________________________.对点讲练知识点一 平均数的计算例1 某班在一次数学竞赛中有10名同学参加(满分150分)．成绩分别如下： 118,119,120,122,117， 125,117,120,125,117.问10名参赛学生的平均成绩是多少？点评 在一般情况下，要计算一组数据的平均数可使用平均数计算公式；当数据较大，且大部分数据在某一常数左右波动时，方法二可以减少运算量，所以此法比较简便．变式迁移1 若x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n 的平均数分别是x 和y ，试求出下列几组数据的平均数．(1)3x 1,3x 2，…，3x n ；(2)x 1－y 1，x 2－y 2，…，x n －y n ； (3)2x 1＋m,2x 2＋m ，…，2x n ＋m .知识点二方差、标准差的计算例2甲机床加工直径为100 mm的零件，现从产品中随机抽出6件进行测量，测得如下数据(单位：mm)：99,100,98,100,100,103.计算上述数据的方差和标准差(标准差结果精确到0.1)．点评首先计算出平均数，然后根据数据的特点，可以直接利用公式求出方差和标准差，或对公式进行合理变形(如s2＝1n[(x21＋x22＋…＋x2n)－n x2])，从而使运算更简便．变式迁移2乙机床加工直径为100 mm的零件，现从产品中随机抽出6件进行测量，测得如下数据(单位：mm)：99,100,102,99,100,100.(1)计算上述数据的方差和标准差(标准差精确到0.1)．(2)据计算结果与例题中甲机床比较，说明哪一台机床加工这种零件更符合要求．知识点三用样本的数字特征估计总体的数字特征例3从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：(单位：cm)甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？点评特别要注意本题两问中说法的不同，这就意味着计算方式不一样．平均数和方差是样本的两个重要数字特征，方差越大，表明数据越分散；相反地，方差越小，数据越集中．变式迁移3甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况．(1)平均数与每一个样本的数据有关，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质．也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．(2)标准差反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度．标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散.课时作业一、选择题1．期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M ∶N 为( )A.4041 B ．1 C.4140D ．2 2．与原始数据单位不一致的样本数据是( ) A ．众数 B ．中位数 C ．标准差 D ．方差3．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ) A ．92,2 B ．92,2.8 C ．93,2 D ．93,2.84．某中学人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，两班平均分和方差分别为x甲＝82分，x 乙＝82分，s 2甲＝245，s 2乙＝190，那么成绩较为整齐的是( )A ．甲班B ．乙班C ．两班一样齐D ．无法确定5．下图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A．84,4.84 B．84,1.6C．85,1.6 D．85,4二、填空题6．一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中位数为16，则x＝______.7．如果数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为10，方差为2，则数据7x1－2,7x2－2,7x3－2，…，7x n－2的平均数为________，方差为________．8．甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中的平均环数x及其标准差s如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是________．甲乙丙丁x7887s 2.5 2.5 2.8 3三、解答题9．某校团委为响应顺义区倡导的“我与奥运同行，人人爱护环境”的号召，举办了英语口语竞赛．甲、乙两个小组成绩如下：甲组：76908486818786乙组：82848589809476(1)分别求出甲、乙两个小组的平均分、标准差(精确到0.01)；(2)说明哪个小组成绩比较稳定？10．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换，已知某校使用的100天数151～180181～210211～240241～270灯管数1111820天数271～300301～330331～360361～390灯管数25167 2(1)(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？2．2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征自学导引1．平均水平 平衡点2．极差 方差 标准差 平均数 (x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2n(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2n对点讲练例1 解 方法一 利用平均数的公式计算x ＝110×(118＋119＋120＋…＋125＋117)＝110×1 200＝120. 方法二 建立新数据，再利用平均数简化公式计算．取a ＝120，将上面各数据同时减去120，得到一组新数据：－2，－1,0,2，－3,5，－3,0,5，－3.x ′＝110×(－2－1＋0＋2－3＋5－3＋0＋5－3)＝0，∴x ＝x ′＋a ＝0＋120＝120.答 该班10名参赛学生的平均成绩是120分．变式迁移1 解 (1)1n×(3x 1＋3x 2＋…＋3x n )＝3×1n ×(x 1＋x 2＋…＋x n )＝3x ；(2)1n ×[(x 1－y 1)＋(x 2－y 2)＋…＋(x n －y n )] ＝1n ×(x 1＋x 2＋…＋x n )－1n ×(y 1＋y 2＋…＋y n ) ＝x －y ； (3)1n ×[(2x 1＋m)＋(2x 2＋m)＋…＋(2x n ＋m)] ＝1n ×(2x 1＋2x 2＋…＋2x n )＋1n ×nm ＝2×1n ×(x 1＋x 2＋…＋x n )＋m＝2x ＋m. 例2 解 ①x 甲＝100＋16×(－1＋0－2＋0＋0＋3) ＝100(mm )． ②计算x i －x 甲(i ＝1,2，…，6)得数据分别为－1,0，－2,0,0,3. ③计算(x i －x甲)2(i ＝1,2，…，6)得数据分别为1,0,4,0,0,9.④计算方差s 2甲＝16×(1＋0＋4＋0＋0＋9)＝73(mm 2)．⑤计算标准差s 甲＝ 73≈1.5(mm )．所以这组数据的方差为73，标准差约为1.5.变式迁移2 解 (1)x 乙＝100＋16×(－1＋0＋2－1＋0＋0)＝100(mm )．∵x i －x 乙(i ＝1,2，……，6)所得数据分别为－1,0,2，－1,0,0. ∴(x i －x乙)2(i ＝1,2，…，6)所得数据分别为1,0,4,1，0,0.所以s 2乙＝16×(1＋0＋4＋1＋0＋0)＝1(mm )2， s 乙＝1(mm )．(2)由上述计算结果可知，x甲＝x 乙，s 甲>s 乙．∴乙机床加工这种零件更符合要求．例3 解 (1)x 甲＝110×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝110×300＝30(cm )，x乙＝110×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40) ＝110×310＝31 (cm )． ∴x甲<x 乙． (2)s 2甲＝110×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2] ＝110×(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144) ＝110×1 042＝104.2 (cm 2)， s 2乙＝110×[(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－10×312]＝110×1 288＝128.8 (cm 2)． ∴s 2甲<s 2乙.答 乙种玉米的苗长得高，甲种玉米的苗长得整齐．变式迁移3 解 (1)x 甲＝110×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，x 乙＝110×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．(2)由方差公式s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，得s 2甲＝3.0(环2)，s 2乙＝1.2(环2)．(3)x甲＝x 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当；s 2甲>s 2乙，说明甲战士射击情况波动大，因此乙战士比甲战士射击情况稳定． 课时作业1．B [N ＝40M ＋M41＝M ，∴M ∶N ＝1.]2．D3．B [去掉最高分95和最低分89后，剩余数据的平均数为x ＝90＋90＋93＋94＋935＝92，方差为s 2＝15[(92－90)2＋(92－90)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝15(4＋4＋1＋4＋1)＝2.8.]4．B5．C [去掉最高分93，最低分79，平均分为15×(84＋84＋86＋84＋87)＝85，方差s 2＝15×[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝85＝1.6.]6．15 7．68 98解析 平均数＝7×10－2＝68，方差＝72×2＝98. 8．乙解析 平均数反映平均水平大小，标准差表明稳定性．标准差越小，稳定性越好．9．解 (1)x 甲＝17×(76＋90＋84＋86＋81＋87＋86)≈84.29，x 乙＝17×(82＋84＋85＋89＋80＋94＋76)≈84.29，s 甲＝ 17×[(762＋902＋842＋862＋812＋872＋862)－7×84.292]≈4.15， s 乙＝ 17×[(822＋842＋852＋892＋802＋942＋762)－7×84.292] ≈5.40.(2)∵s 甲<s 乙，∴甲小组的成绩比较稳定．10．解 (1)各组中值分别为165,195,225,255,285,315,345,375，由此可算得平均数约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．(2)将组中值对于此平均数求方差： 1100×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2 128.60(天2)故标准差为 2 128.60≈46(天)．答 估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故可在222天到314天左右统一更换较合适．。
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用样本的数字特征估计总体的数字特征（第一课时）
【学习目标】理解样本数据的方差，标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、
标准差，并使学生领会通过合理的抽样对总体的稳定性水平作出科学的估计的思想。
【重点难点】掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算方差，标准差，并
对总体稳定性水平估计的方法。
【学习过程】
一、 学习引导
①．方差和标准差计算公式：
设一组样本数据n 21x ,,x ,x ，其平均数为x ，则
样本方差： s 2= 样本标准差：s=
②．方差和标准差的意义： 二．合作交流
①若给定一组数据n 21x ,,x ,x ，方差为s 2，则n 21ax ,ax ,ax 的方差为22s a ②若给定一组数据n 21x ,,x ,x ，方差为s 2，则b ax ,b ax ,b ax n 21 的方差为
22s a ；特别地，当1 a 时，则有b x ,,b x ,b x n 21 的方差为s 2，这说明将一
组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性；
③方差刻画了 程度；对于不同的数据集，当 越大时，方差越大；
④方差的单位是 ，对数据中的极值较为敏感，标准差的单位与原始测量数据单位相同，可以减弱极值的影响。
二、 随堂练习
例： 要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定
1. 证明方差的两个性质
①．若给定一组数据n 21x ,,x ,x ，方差为s 2，则n 21ax ,ax ,ax 的方差为22s a ②．若给定一组数据n 21x ,,x ,x ，方差为s 2，则b ax ,b ax ,b ax n 21 的方差为22s a ；
【小结反思】 1. 方差和标准差计算公式： 设一组样本数据n 21x ,,x ,x ，其平均数为x ，则
样本方差：s 2=n
1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕 样本标准差：s=
])x x ()x x ()x x [(n
1
2n 2221 2. 方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数。
标准差大说明波动大。
【自我测评】
1．若821k ,,k ,k 的方差为3，则)3k (2,),3k (2),3k (2821 的方差为________. 2．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：
7.9,4.9,6.9,9.9,4.9,4.8,4.9，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值
和方差分别为 （ ）
A ．484.0,4.9
B ．016.0,4.9
C ．04.0,5.9
D ．016.0,5.9 3.
4.
5
6．从A 、B 两种棉花中各抽10株，测得它们的株高如下：(CM)
A 、 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
B 、 27 16 44 27 44 16 40 16 40 40 (1) 哪种棉花的苗长得高？ (2) 哪种棉花的苗长得整齐？ 7．“用数据说话”，这是我们经常可以听到的一句话，但数据有时也会被利用，从而产生误导。
例如，一个企业中，绝大多数是一线工人，他们的年收入可能是一万元左右，另有一些经理层次的人，年收入可以达到几十万元。
这时年收入的平均数会比中位数大得多。
尽管这时中位数比平均数更合理些，但是这个企业的老板到人力市场去招聘工人时，也许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问。
你认为“我们单位的收入比别的单位高”这句话应当怎么理解？
用样本的数字特征估计总体的数字特征（第二课时）
【学习目标】理解样本数据的方差，标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、
标准差，并使学生领会通过合理的抽样对总体的稳定性水平作出科学的估计的思想。
【重点难点】掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算方差，标准差，并
对总体稳定性水平估计的方法。
【学习过程】
三、 学习引导
①．方差和标准差计算公式：
设一组样本数据n 21x ,,x ,x ，其平均数为x ，则
样本方差： s 2= 样本标准差：s=
②．方差和标准差的意义： 二．合作交流
①若给定一组数据n 21x ,,x ,x ，方差为s 2，则n 21ax ,ax ,ax 的方差为22s a ②若给定一组数据n 21x ,,x ,x ，方差为s 2，则b ax ,b ax ,b ax n 21 的方差为
22s a ；特别地，当1 a 时，则有b x ,,b x ,b x n 21 的方差为s 2，这说明将一
组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性；
③方差刻画了 程度；对于不同的数据集，当 越大时，方差越大；
④方差的单位是 ，对数据中的极值较为敏感，标准差的单位与原始测量数据单位相同，可以减弱极值的影响。
四、 随堂练习
例： 要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定
1. 证明方差的两个性质
①．若给定一组数据n 21x ,,x ,x ，方差为s 2，则n 21ax ,ax ,ax 的方差为22s a ②．若给定一组数据n 21x ,,x ,x ，方差为s 2，则b ax ,b ax ,b ax n 21 的方差为22s a ；
【小结反思】 1. 方差和标准差计算公式： 设一组样本数据n 21x ,,x ,x ，其平均数为x ，则
样本方差：s 2=n
1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕
样本标准差：s=])x x ()x x ()x x [(n
12n 2
221
2. 方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数。
标准差大说明波动大。
【自我测评】
1．若821k ,,k ,k 的方差为3，则)3k (2,),3k (2),3k (2821 的方差为________.
2．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：
7.9,4.9,6.9,9.9,4.9,4.8,4.9，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）
A．484
.0,5.9D．016
.0,5.9
.0,4.9C．04
.0,4.9B．016
3.
4.
5
6．从A、B两种棉花中各抽10株，测得它们的株高如下：(CM)
A、25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
B、27 16 44 27 44 16 40 16 40 40
(1) 哪种棉花的苗长得高？
(2) 哪种棉花的苗长得整齐？
7．“用数据说话”，这是我们经常可以听到的一句话，但数据有时也会被利用，从而产生误导。
例如，一个企业中，绝大多数是一线工人，他们的年收入可能是一万元左右，另有一些经理层次的人，年收入可以达到几十万元。
这时年收入的平均数会比中位数大得多。
尽管这时中位数比平均数更合理些，但是这个企业的老板到人力市场去招聘工人时，也许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问。
你认为“我们单位的收入比别的单位高”这句话应当怎么理解？。