高考一轮复习教案十九(7)易错问题单元练习(教师)

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高考数学第一轮复习教案

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高考一轮复习教案十九(1)易错问题解析1(教师)

模块：十九、易错问题解析课题： 1、易错问题解析（1）一、知识要点1、忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面．2、求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则．3、求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域．4、求反函数与反函数值错位．5、判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称．6、易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系．从而导致解题过程繁锁．7、证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则． 8、在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论．9、应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内． 10、在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件．二、例题精讲例1、设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若AB B =，求实数a 组成的集合的子集有多少个？答案：集合A 化简得{}3,5A =，由AB B =知B A ⊆故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a =0符合已知条件（Ⅱ）当B φ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a =或15．综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个．例2、已知()22214y x ++=，求22x y +的取值范围．答案：由于()22214y x ++=得()222114y x +=-≤， ∴31x -≤≤-从而22231612x y x x +=---=2828333x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，因此当1x =-时22x y +有最小值1，当83x =-时，22x y +有最大值328．故22x y +的取值范围是[1，328]．例3、 ()2112x xa f x ⋅-=+是R 上的奇函数，（1）求a 的值；（2）求的反函数()1f x -．答案：（1）利用()()0f x f x +-=（或()00f =）求得a =1.（2）由1a =即()2121x x f x -=+，设()y f x =，则()211x y y -=+由于1y ≠故121x y y+=-，112log y yx +-=，而()2121x x f x -=+()211,121x =-∈-+所以()()1112log 11xx f x x +--=-<<例4、已知函数()121xf x x-=+，函数()y g x =的图像与()11y f x -=-的图象关于直线y x =对称，则()y g x =的解析式为（）A 、()32x g x x -=B 、()21x g x x -=+C 、()12x g x x -=+D 、()32g x x=+ 答案：由()121x f x x -=+得()112x f x x --=+从而()()()11121211x x y f x x----=-==+-+再求()11y f x -=-的反函数得()21xg x x-=+．正确答案：B例5、判断函数()2lg 1()22x f x x -=--的奇偶性．答案：由函数的解析式知x 满足21022x x ⎧->⎪⎨-≠±⎪⎩即函数的定义域为()()1,00,1-定义域关于原点对称，在定义域下()()2lg 1x f x x-=-易证()()f x f x -=-即函数为奇函数．例6、函数()2221211log 22x x f x x x -+⎛⎫=<-> ⎪⎝⎭或的反函数为()1f x -，证明()1f x -是奇函数且在其定义域上是增函数．答案：()212121212121222log log log x x x x x x f x --+--+-+-===-()f x =-，故()f x 为奇函数从而()1f x -为奇函数．又令21212121x t x x -==-++在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上均为增函数且2log ty =为增函数，故()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上分别为增函数．故()1f x -分别在()0,+∞和(),0-∞上分别为增函数．例7、试判断函数()()0,0bf x ax a b x=+>>的单调性并给出证明．答案：由于()()f x f x -=-即函数()f x 为奇函数，因此只需判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性即可．设120x x >> ，()()()12121212ax x bf x f x x x x x --=- 由于120x x -> 故当12,x x ⎫∈∞⎪⎪⎭ 时()()120f x f x ->，此时函数()f x在⎫∞⎪⎪⎭上增函数，同理可证函数()f x在⎛⎝上为减函数．又由于函数为奇函数，故函数在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为减函数，在,⎛-∞ ⎝为增函数．综上所述：函数()f x在,⎛-∞ ⎝和⎫∞⎪⎪⎭上分别为增函数，在⎛ ⎝和⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上分别为减函数.例8、已知：a >0 ， b>0 ， a +b=1，求(a +a 1)2+(b+b1)2的最小值．答案：原式= a 2+b 2+21a +21b +4=( a 2+b 2)+(21a +21b)+4=[(a +b)2-2a b]+ [(a 1+b 1)2-ab 2]+4=(1-2a b)(1+221b a )+4由a b≤(2b a +)2=41 得：1-2a b≥1-21=21，且221b a ≥16，1+221ba ≥17∴原式≥21×17+4=225 (当且仅当a =b=21时，等号成立)∴(a +a 1)2+(b+b1)2的最小值是225．例9、是否存在实数a 使函数()2log ax xa f x -=在[]2,4上是增函数？若存在求出a 的值，若不存在，说明理由．答案：函数()f x 是由()2x ax x φ=-和()log x ay φ=复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方法（1）当a >1时，若使()2log axxa f x -=在[]2,4上是增函数，则()2x ax x φ=-在[]2,4上是增函数且大于零．故有()1222420aa φ⎧≤⎪⎨⎪=->⎩解得a >1．（2）当a <1时若使()2log axxa f x -=在[]2,4上是增函数，则()2x ax x φ=-在[]2,4上是减函数且大于零．()14241640a a φ⎧≥⎪⎨⎪=->⎩不等式组无解．综上所述存在实数a >1使得函数()2log ax x a f x -=在[]2,4上是增函数．三、课堂练习1、已知集合{}2|40A x x x =+=、(){}22|2110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是．答案：1a =或1a ≤-．2、设集合211A y y x x ⎧⎫==∈⎨⎬+⎩⎭R ，，{}B x y x ==∈R ，则AB =___________.答案：{}1． 3、函数()()11f x x =≥的反函数是．答案：()2221y x x x =-+≥．4、已知函数2log y x =的反函数是()1y f x -=，则函数()11y f x -=-的图象是（）答案：B5、已知()2x xe ef x --= ，则如下结论正确的是（）A 、 ()f x 是奇函数且为增函数B 、()f x 是奇函数且为减函数C 、 ()f x 是偶函数且为增函数D 、 ()f x 是偶函数且为减函数答案：A6、若动点（x ，y ）在曲线22214x y b+=()0b >上变化，则22x y +的最大值为（） A 、()()2404424b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩B 、()()2402422b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩C 、244b + D 、2b 答案：A四、课后作业一、填空题1、已知集合，若则实数的取值范围是_________答案：()4,+∞2、已知集合{}|1A x x =<，{}|B x x a =>，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是______________________ . 答案：1a ≤3、已知函数)1lg()(+=x x f ，若b a ≠且)()(b f a f =，则b a +的取值范围是 . 答案：),0(+∞4、设函数()()()1x x a f x x++=为奇函数，则实数a = ．答案：1-5、若关于x 的不等式220kx kx --≤的解集为R ，则实数k 的取值范围是___________. 答案：{|80}x x -≤≤6、函数2y =的最小值为___________.答案：52二、选择题7、a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N”的（）A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件.C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件. 答案：D8、若0a b <<，则下列结论中不恒成立．．．．的是（） A ． a b > B ．11a b> C ． 222a b ab +> D．a b +>- 答案：D9、设()1f x -是函数()()()112x x f x a a a -=->的反函数，则使()11f x ->成立的x 的取值范围为（）{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞A B ⊆aA 、21(,)2a a -+∞B 、21(,)2a a --∞C 、21(,)2a a a- D 、(,)a +∞答案：A 三、解答题10、判断下列函数的奇偶性：①()f x =+()(1f x x =-()1sin cos 1sin cos x xf x x x++=+- 答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数11、设0a >，且1a ≠试求函数()2log 43a y x x =+-的的单调区间．答案：当01a <<，函数在31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增当1a >函数在31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减．12、甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km /h ，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （km /h ）的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？答案：（1）()()20sy bv a v c v=+<≤（2）使全程运输成本最小，当b a ≤c 时，行驶速度v =b a ；当ba＞c 时，行驶速度v =c ．。

高考语文第一轮复习教案七篇

高考语文第一轮复习教案七篇高考语文第一轮复习教案七篇高考语文第一轮复习教案都有哪些？语文是让学生学习和使用母语的课程。

学习资源和实践机会无时无刻不在。

所以同学们要多读多写，日积月累，在大量的实践中体验和掌握使用语文的规律。

下面是小编为大家带来的高考语文第一轮复习教案七篇，希望大家能够喜欢！高考语文第一轮复习教案精选篇1教学目标1.了解贝克特及荒诞派戏剧;2.阅读课文节选部分，初步了解荒诞派戏剧的特征;3.结合以前学过的戏剧类课文，分析荒诞派戏剧与传统戏剧的不同;4.通过了解世界现代文学创作的绚烂色彩，进一步提高学生的文学审美能力。

教学过程第一课时一、导入新课我们在上学期学过莎士比亚的戏剧《罗密欧与朱丽叶》，写了一对互相爱慕的青年在封建制度下双双惨死的悲剧，表现了当时英国社会封建和反封建两种社会力量的矛盾和斗争。

课本节选了全剧的最后一场。

先写了朱丽叶殉情，然后写劳伦斯长老叙述罗密欧与朱丽叶双双殉情的原因和经过，最终使两个仇家合解。

剧本中的人物对话，语言简练，音韵和谐，蕴含着浓郁的诗情，表现出人物丰富的内心世界。

这是文艺复兴时期的作品。

然而，世界现代文学发展到20世纪50年代，随着荒诞派戏剧在巴黎戏剧舞台上的上演，传统戏剧的写作手法被打破了，贝克特等作家创作了一批从内容到形式别开生面的剧作。

我们今天要学的《等待戈多》就是其中的代表作之一。

二、分角色朗读课文，整体感知，了解剧情。

三、学生谈阅读过后的直接印象，尽量让学生寻找其与传统戏剧的不同之处。

荒诞派戏剧与传统戏剧的不同主要有以下三点：1.传统戏剧有完整的戏剧情节，有丰满突出的人物形象，有人物之间的性格或其他方面的冲突，“冲突即戏剧”;而荒诞派戏剧则几乎没有完整复杂的戏剧情节，没有完整的戏剧程式。

2.戏剧场面、舞台形象的不同。

荒诞派戏剧不关心是否具有现实生活的真实，强调象征意义。

3.戏剧语言与人物表演不同。

荒诞派戏剧采用了一种支离破碎的语言，表明对传统戏剧语言的反叛。

高三语文一轮复习教案5篇

高三语文一轮复习教案5篇作为一名无私奉献的老师，通常需要准备好一份教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。

那么教案应该怎么写才合适呢?以下是小编整理的高三语文一轮复习教案，仅供参考，大家一起来看看吧。

高三语文一轮复习教案1根据语文的学科特点，以集体备课组教研计划为基础，结合学生的实际情况，特别针对上学年教与学的不足，形成了本学期的工作计划。

一、指导思想以语文新课程标准为指导，以学校教学工作计划，高三年级部工作计划为参考，继续推进高中新课改，整体把握课程内容，从语文课程作为基础学科的特征出发，紧紧抓住语文应用能力、审美能力和探究能力的培养，倡导学生“自主、合作、探究”的学习方式,挖掘学生潜能,提高学生素质。

通过考点突破第一轮的复习进一步提升学生的语文素养，扎实、稳步地推进高中语文新课程的实施。

扎实打好基础，积极备考。

二、教学目标及工作任务(一)教学目标1.立足于把学生培养成有血有肉、有思想有情感的人，引导学生形成健康向上的人格。

2.提高学生的语文学习兴趣，提升学生的文化品位、审美能力、探究能力、知识视野和精神境界，引导学生热爱汉语，热爱中华文化。

3.培养学生的语文学习习惯，让他们掌握科学的语文学习方法，提升他们的语文能力，为考试奠定坚实的基础。

(二)主要的工作任务1.提高学生的语文学习兴趣，继续规范学生的学习语文行为，促进学生快乐自觉地学习语文。

2.根据学生情况，有针对性地开展教学工作，争取高效完成本期的教学任务，提升学生语文能力，增强他们的语文素养。

3.加强基础练习，改进练习方式，提高学生考试成绩。

三、教学工作(1)教学内容及时间安排：第1周：正确使用词语(包括熟语)，重点讲成语第2周：辨析并修改病句第3周：扩展语句，压缩语段;选用、仿用、变换句式第4周：正确运用常见的修辞手法;语言表达简明、连贯、得体、准确、鲜明、生动第5周：阅读评价中外新闻、报告和科普文章第6周：理解常见文言实词的意义及虚词的用法第7、8周：理解与现代汉语不同的句式;理解与现代汉语不同的用法第9周：筛选文言文信息第10周：归纳内容要点，概括中心意思;分析概括作者在文中的观点态度第11周：半期考试，分析总结第12周：翻译文言句子及文言语段断句第13周：鉴赏诗歌形象第14周：鉴赏诗歌语言第15周：鉴赏诗歌的表达技巧第16周：评价诗歌的思想内容及作者观点态度第17周：阅读一般论述类文章第18周：阅读鉴赏中外小说第19周：阅读鉴赏中外小说第20周：阅读鉴赏中外散文第21周：阅读评价中外传记第22、23周：作文专题训练及期终考试以上时间安排并非固定，在教学过程中可作适当调整。

高三一轮复习教案

高三一轮复习教案（全套68个）第一部分力学§1. 力一、力重力和弹力二、摩擦力三、共点力的合成与分解四、物体的受力分析五、物体的平衡六、解答平衡问题时常用的数学方法七、利用整体法和隔离法求解平衡问题八、平衡中的临界、极值问题§2. 物体的运动一、直线运动的基本概念二、匀变速直线运动规律三、自由落体与竖直上抛运动四、直线运动的图象五、追及与相遇问题§3. 牛顿运动定律一、牛顿第一运动定律二、牛顿第二定律三、牛顿第二定律应用（已知受力求运动）四、牛顿第二定律应用（已知运动求力）五、牛顿第二定律应用（超重和失重问题）§4. 曲线运动万有引力定律一、曲线运动二、平抛运动三、平抛运动实验与应用四、匀速圆周运动五、圆周运动动力学六、万有引力定律§5. 动量一、冲量和动量二、动量定理三、动量守恒定律四、动量守恒定律的应用§6. 机械能一、功和功率二、动能定理三、机械能守恒定律四、功能关系五、综合复习（2课时）§7. 机械振动和机械波一、简谐运动二、典型的简谐运动三、受迫振动与共振四、机械波五、振动图象和波的图象声波第二部分热学§1. 分子动理论热和功一、分子动理论二、物体的内能热和功§2.气体、固体和液体的性质一、气体的体积、压强、温度间的关系二、固体和液体的性质第三部分电磁学§1. 电场一、库仑定律二、电场的性质三、带电粒子在电场中的运动四、电容器§2. 恒定电流一、基本概念二、串、并联与混联电路三、闭合电路欧姆定律§3.磁场一、基本概念二、安培力（磁场对电流的作用力）三、洛伦兹力四、带电粒子在混合场中的运动§4.电磁感应一、电磁感应现象二、楞次定律（2课时）三、法拉第电磁感应定律（2课时）§5.交变电流电磁场和电磁波一、正弦交变电流（2课时）二、电磁场和电磁波第四部分光学§1.几何光学一、光的直线传播二、反射平面镜成像三、折射与全反射§2.光的本性一、光的波动性二、光的粒子性三、光的波粒二象性第五部分原子物理学§1.原子和原子核一、原子模型二、天然放射现象三、核反应四、核能第一部分力学§1. 力一、力重力和弹力目的要求：理解力的概念、弄清重力、弹力，会利用胡克定律进行计算知识要点：1、力：是物体对物体的作用（1）施力物体与受力物体是同时存在、同时消失的；（2）力的大小、方向、作用点称为力的三要素；（3）力的分类：根据产生力的原因即根据力的性质命名有重力、弹力、分子力、电场力、磁场力等；根据力的作用效果命名即效果力如拉力、压力、向心力、回复力等。

高三数学一轮复习教案全套练习及详细解析(教师版)

第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系A 组1．已知A ＝{1,2}，B ＝{x |x ∈A }，则集合A 与B 的关系为________．解析：由集合B ＝{x |x ∈A }知，B ＝{1,2}．答案：A ＝B 2．若∅{x |x 2≤a ，a ∈R }，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，x 2≤a 有解，故a ≥0.答案：a ≥03．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R }，集合B ＝{x |－2≤x <8}，则集合A 与B 的关系是________．解析：y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2≥－2，∴A ＝{y |y ≥－2}，∴BA .答案：BA4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N={x|x 2+x=0}，得N ={-1,0}，则NM .答案：②5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A ＝{x |x >5}，集合B ＝{x |x >a }，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ” 的充分不必要条件，∴A B ，∴a <5.答案：a <56．(原创题)已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a 1，a 1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a 2＋1，a 2∈Z ，∴m ＋n ＝2(a 1＋a 2)＋1，而a 1＋a 2∈Z ，∴m ＋n ∈B .B 组1．设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a |＋b |b |＋ab|ab |可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：(1)a >0且b >0；(2)a >0且b <0；(3)a <0且b >0；(4)a <0且b <0，讨论得y ＝3或y ＝－1.答案：{3，－1}2．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________.解析：∵B ⊆A ，显然m 2≠－1且m 2≠3，故m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴m ＝1.答案：13．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数是________个．解析：依次分别取a ＝0,2,5；b ＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：84．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，集合N ＝{x |ax ＝1}，若NM ，那么a 的值是________．解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N M ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1a＝1或－1，∴a ＝1或－1.答案：0,1，－15．满足{1}A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：AB ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4，故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件 8．(2010年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500，∴n ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：511 9．(2009年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1.∴A ＝{x,1,0}，B ＝{0，|x |，1x}．于是必有|x |＝1，1x＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1.11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A . ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]． (2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎨⎧m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3,4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅.，即不存在m 值使得A ＝B .12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围； (2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围； (3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x ≤2，故A ＝{x |1≤x ≤2}，而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，(1)若A 是B 的真子集，即A B ，则此时B ＝{x |1≤x ≤ a }，故a >2. (2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，由数轴可知1≤a ≤2.(3)若A=B，则必有a=2第二节集合的基本运算A组1．(2009年高考浙江卷改编)设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁U B＝____.解析：∁U B＝{x|x≤1}，∴A∩∁U B＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}2．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有________个．解析：A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，∁U(A∩B)＝{3,5,8}．答案：33．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.解析：由题意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}4．(原创题)设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________.解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]，所以AⓐB＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；(2)若B⊆A，求m的取值范围．解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．(2)若B⊆A，则m>1，即m的取值范围为(1，＋∞)B组1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________.解析：因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：{－1,0}2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则(∁U A)∩B＝________.解析：∁U A＝{0,1}，故(∁U A)∩B＝{0}．答案：{0}3．(2010年济南市高三模拟)若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(∁U N)＝________.解析：根据已知得M∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0} 4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．解析：U＝A∪B中有m个元素，∵(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n6．(2009年高考重庆卷)设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，得∁U (A ∪B )＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋xy，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0,4,5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：188．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2.9．设全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M 的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2,3，a 2＋2a －3}＝{2,5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1,2}．答案：∅，{1}，{2}，{1,2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3.(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾.综上，a 的取值范围是a ≤－3. 11．已知函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B . (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解：A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， ∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意． 12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ； (3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝23，不合题意．若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98.综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a >98.(2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23}符合题意．当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98时，方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43}．综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}．(3)当a ＝0时，A ＝{23}≠∅.当a ≠0时，要使方程有实数根，则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98.综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠∅}＝{a |a ≤98}第二章函数第一节对函数的进一步认识A 组1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，⇒x ∈[－4,0)∪(0,1]答案：[－4,0)∪(0,1]2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3))的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，f (1f (3))＝f (1)＝2.答案：23．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________.解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32.答案：log 324．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________.解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3，令x ＝－1得：－1＝b 3；再令x ＝0与x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3，解得b 1＝－1，b 2＝0.答案：(－1,0，－1) 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x(x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32，求a . 解：f (x )为分段函数，应分段求解．(1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3，又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝32.(2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x3x －1；若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤32，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2；若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1.∴f (3x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 3x －1(x >23)，9x 2－6x ＋2 (0≤x ≤23)，6x ＋1 (x <0).(3)∵f (a )＝32，∴a >1或－1≤a ≤1.当a >1时，有1＋1a ＝32，∴a ＝2；当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22.∴a ＝2或±22.B 组1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是________．解析：由3x －2>0,2x －1>0，得x >23.答案：{x |x >23}2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x >2)，则f (f (f (32)＋5))＝_.解析：∵－1≤32≤2，∴f (32)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3，∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：73．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈(－1,1)，有－x ∈(－1,1)，由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)，∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)．答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c4－2b ＋c ＝－2 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0).由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．答案：⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0) 36．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．答案：2 (－1,3)7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3，解得x ＝1，x ＝3.故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3.当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3<x <0或x >3. 综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－3<x <1或x >3}．答案：{x |－3<x <1或x >3}8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (3)的值为________．解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2.答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x ≤953，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)10．函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值．解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)若a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合题意； (ⅱ)当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意．②若1－a 2≠0，则g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数．由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2>0，Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0，∴－511≤a <1.由①②可得－511≤a ≤1.(2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a 2≠0且－2,1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2<0，－2＋1＝3(1－a )a 2－1，－2＝61－a2，Δ＝[3(1－a )]2－24(1－a 2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >1，a ＝2，a ＝±2.a <－511或a >1∴a ＝2.11．已知f (x ＋2)＝f (x )(x ∈R )，并且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1，求当x ∈[2k －1,2k ＋1](k ∈Z )时、f (x )的解析式．解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1,2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1.∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1.又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )， ∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1,2k ＋1]，k ∈Z .12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g (x )＝20003x (0<x <216，x ∈N *)，h (x )＝1000216－x(0<x <216，x ∈N *)．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧20003x(0<x ≤86，x ∈N *).1000216－x(87≤x <216，x ∈N *).(3)分别为86、130或87、129.第二节函数的单调性A 组1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．①f (x )＝1x②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．解析：∵0<a <1，y ＝log a x 为减函数，∴log a x ∈[0，12]时，g (x )为减函数．由0≤log a x ≤12a ≤x ≤1.答案：[a ，1](或(a ，1))3．函数y ＝x －4＋15－3x 的值域是________．解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π3)，∴1≤y ≤2.答案：[1,2]4．已知函数f (x )＝|e x ＋aex |(a ∈R )在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围__．解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋ae 0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x 符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －ae x ≥0在x ∈[0,1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min 成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1.答案：－1≤a ≤15．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数；∵f (x )＝⎩⎨⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)的下确界为－1.∴f (x )＝⎩⎨⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.(1)若存在x ∈R 使f (x )0b <0或b >4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m2≤0－255≤m ≤255－255≤m ≤0.②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，若m2≥1，则x 1≤0.⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0m ≥2.若m2≤0，则x 2≤0， ⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0－1≤m <－255.综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2.B 组1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y ＝－1x②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x |解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4－2a ＋3a >0，∴－4<a ≤4.答案：－4<a ≤4 3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤916.答案：(0，916]4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________．①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3) ③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，解得0<a ≤14.6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，点B 的坐标为(3,0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)，当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，在x ＝2取得最大值1.答案：17．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1,1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，则函数y ＝f (cos x )的值域是________．解析：∵cos x ∈[－1,1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－2,0]．答案：[－2,0] 8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴x ∈[1,3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0,1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13.答案：139．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，12)时，μ∈(0,1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0<a <1.μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－12.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12)10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1的单调性．解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 12x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y ＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 12x 在x ∈(0，＋∞)内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12，＋∞)上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0<x <22.由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性：故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22，＋∞)上单调递增．11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9.因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．12．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋bx ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1.若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．解：∵f (x )在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 31＋a ＋b1＝1.即a ＋b ＝2.设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋bx 2恒成立．由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2＞0恒成立．又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1.设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b )x 3x 4＜0恒成立．∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1.由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1.∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件．第三节函数的性质A 组1．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________．解析：由f (x )为偶函数，知b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，又f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1,1<a ＋1<2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (b ＋2)．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2)2．(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________．解析：f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，由周期为2可知，f (4)＝0，f (7)＝f (1)，又由f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＝－f (1)⇒f (1)＝0，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝0.答案：03．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________．解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：f (－25)<f (80)<f (11)4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 取值范围是________．解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|)<f (13)，再根据f (x )的单调性得|2x －1|<13，解得13<x <23.答案：(13，23)5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________．解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2.答案：－26．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1,4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4,9]上的解析式．解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)，又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0.(2)当x ∈[1,4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x .∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15.当6<x ≤9时，1<x －5≤4，∴f (x )＝f (x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15， 4≤x ≤62(x －7)2－5， 6<x ≤9.B 组1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2) ④f (x ＋3)是奇函数解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝________.解析：f (x )＝－f (x ＋32)⇒f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0.答案：03．(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________.解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0.答案：04．(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0.从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1,0)时，f (x )<0；x ∈(0,1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)． 5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2.∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝1.答案：16．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2009.5)＝________.解析：由f (x ＋2)＝－1f (x )，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009.5)＝f (502×4＋1.5)＝f (1.5)＝f (－2.5)∵f (x )是偶函数，∴f (2009.5)＝f (2.5)＝52.答案：527．(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________．解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2，∴f (2a －x 1)>f (x 2)．答案：f (2a －x 1)>f (x 2)8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________.解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1.答案：－19．(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0.由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8. 答案：-810．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0.当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )．11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2,6]上的最值．解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称．∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0.∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )．∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R .则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0.即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2010]上的所有x 的个数．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝12(x －2)，又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎨⎧12x (－1≤x ≤1)－12(x －2) (1<x <3)由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n－1≤2010，则14≤n ≤50234，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0,2010]上共有502个x 使f (x )＝－12.第三章指数函数和对数函数第一节指数函数A 组 1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1.又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2.答案：－22．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________.解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3.答案：33－33．函数y ＝(12)2x －x 2的值域是________．解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴(12)2x －x 2≥12.答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有惟一交点，故a >1. 答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________．解析：由题意知⎩⎨⎧0<a <1a 2－1＝0a 0－1＝2无解或⎩⎨⎧a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝ 3.答案： 36．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0即(22t2－k ＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t ＋1＋2)(－22t2－k＋1)<0整理得23t2－2t －k>1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.B 组1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a <1且b >0 ②0<a <1且01且b <0 ④a >1且b >0解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－11⇒0<a ≤1.答案：(0,1]3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________．解析：由f (x )＝a x·g (x )得f (x )g (x )＝a x，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12.答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13)＋f (1)的值是________．解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13，∴x ＝－1，故f －1(13)＝－1.又f (1)＝3，所以f －1(13)＋f (1)＝2.答案：25．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y ＝(13)2－x ＝3x －2.答案：y ＝3x －2(x ∈R ) 6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．解析：∵f (－x )＝e －x ＋e x e －x －e x ＝－e x ＋e －xe x －e －x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④.又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③.答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.解析：∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2.∴3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124.答案：1248．(2009年高考湖南卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为________．解析：由f (x )＝2－|x |≤12得x ≥1或x ≤－1，∴f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≥1或x ≤－1，12，－1<x <1.则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]9．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，当a 变动时，函数b ＝g (a )的图象可以是________．解析：函数y ＝2|x |的图象如图．。

高考数学第一轮复习教学案19

盐城市文峰中学美术生高中数学一轮复习教学案§19平面与平面的位置关系【考点及要求】：1.掌握两平面平行与垂直的判定定理和性质定理;2.能利用上述定理进行论证和解决有关问题.【基础知识】：1.两个平面的位置关系有 .2.两个平面平行的判定：（1）定义：；（2）判定定理：⇒=⋂⊂⊂ββαα//,//,,,b a M b a b a 3.两个平面平行的性质定理：⇒=⋂=⋂b a βγαγβα,,// 4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法：；②利用判定定理：一个平面过另外一个平面的，则这两个平面垂直.(2)平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的直线垂直于另一个平面.5.二面角的平面角从二面角的棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.【基本训练】：1.已知平面γβα,,满足γβγαβα⊥⊥=⋂,,l ,则交线l 与平面γ的位置关系是 .2.已知b a ,是互不重合的直线，γβα,,是互不重合的平面，给出下列命题：其中正确的命题的序号是①若,,//αβα⊂a 则β//a ②若b a ,与α所成角相等，则b a // ③若,,γββα⊥⊥则γα// ④若,,βα⊥⊥a a 则βα//. 3.已知三个平面两两互相垂直且交于一点O ，点P 到三个平面的距离分别为1，2，3，则点O 与点P 之间的距离是 .4.若一个平面内有三点到另一平面距离相等,则这两个平面的位置关系为 .(填“平行”、“相交”、或“平行或相交”)【典型例题讲练】例1.如图四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ， Q 为的中点. 求证：错误！未找到引用源。

P C ∥平面Q B D ；错误！未找到引用源。

平面QBD ⊥平面PAC .例2.已知BCD ∆中,︒=∠90BCD ,1==CD BC ,︒=∠⊥60,ADB BCD AB 面, F E ,分别是AD AC ,上的动点,且()10<<==λλADAF AC AE 求证:不论λ为何值,总有平面⊥BEF 平面ABC .练习.多面体ABCDE 中，1====AE AC BC AB ，2=CD ， ABC AE 面⊥，CD AE //.（1）求证：BCD AE 面//；（2）求证：BCD BED 面面⊥.【课堂小结】【课堂检测】【课后作业】。

2019-2020年高三数学第一轮复习第七章直线与圆方程(小结)教案

2019-2020年高三数学第一轮复习第七章直线与圆方程（小结）教案一．基础训练：1．点在直线上，为原点，则的最小值是（） 22．过点，且横纵截距的绝对值相等的直线共有（） 1条 2条 3条 4条 3．圆与轴交于两点，圆心为，若，则（） 84．若圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且只有两个点到直线距离等于，则半径取值范围是（）5．直线与直线的交点为，则过点的直线方程是___________________。

6．已知满足38150536025100x y x y x y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则的最大值为________，最小值为________。

二．例题分析：例1．过点作直线交轴，轴的正向于两点；（为坐标原点） (1)当面积为个平方单位时，求直线的方程；(2)当面积最小时，求直线的方程； (3)当最小时，求直线的方程。

例2．设圆满足：①截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程。

例3．设正方形（顺时针排列）的外接圆方程为，点所在直线的斜率为；（1）求外接圆圆心点的坐标及正方形对角线的斜率；（2）如果在轴上方的两点在一条以原点为顶点，以轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线的方程；（3）如果的外接圆半径为，在轴上方的两点在一条以轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线的方程。

三．课后作业：班级学号姓名1．若方程22(62)(352)10a a x a a y a --+-++-=表示平行于轴的直线，则（）或 1 不存在2．将直线绕着它与轴的交点逆时针旋转的角后，在轴上的截距是（）3．是任意的实数，若在曲线上，则点也在曲线上，那么曲线的几何特征是（）关于轴对称关于轴对称关于原点对称关于对称4．过点任意的作一直线与已知直线相交于点，设点是有向线段的内分点，且，则点的轨迹方程是（）5．如果实数满足不等式，那么的最大值是（）6．过点作直线交圆于两点，则。

高三数学一轮复习教案5篇

高三数学一轮复习教案5篇作为一名无私奉献的老师，通常需要准备好一份教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。

那么教案应该怎么写才合适呢?以下是小编整理的高三数学一轮复习教案，仅供参考，大家一起来看看吧。

高三数学一轮复习教案1一、夯实基础。

今年高考数学试题的一个显著特点是注重基础。

扎实的数学基础是成功解题的关键，从学生反馈来看，平时学习成绩不错但得分不高的主要原因不在于难题没做好，而在于基本概念不清，基本运算不准，基本方法不熟，解题过程不规范，结果“难题做不了，基础题又没做好”，因此在第一轮复习中，我们将格外突出基本概念、基础运算、基本方法，具体做法如下：1、注重课本的基础作用和考试说明的导向作用;2、加强主干知识的生成，重视知识的交汇点;3、培养逻辑思维能力、直觉思维、规范解题习惯;4、加强反思，完善复习方法。

二、解决好课内课外关系。

课内：1)例题讲解前，留给学生思考时间;讲解中，让学生陈述不同解题思路，对于解题过程中的闪光之处或不足之处进行褒扬或纠正;讲解后，对解法进行总结。

对题目尽量做到一题多解，一题多用。

一题多解的题目让学生领会不同方法的优劣，一题多用的题目让学生领会知识间的联系。

2)学生作业和考试中出现的错误，不但指出错误之处，更要引导学生寻根问底，使学生找出错误的真正原因。

3)每节课留10分钟让学生疏理本节知识，理解本节内容。

课外：除了正常每天布置适量作业外，另外布置一两道中档偏上的题目，判作业时面批面改，指出知识的疏漏。

三、注重师生互动1、多让学生思考回答问题，对于有些章节知识，按难易程度选择六至八道，尽量独自完成，无法独立解决的可以提示思路。

2、让学生自我小结，每一章复习完后，让学生自己建立知识网络结构，包括典型题目、思想方法、解题技巧，易错易做之题;3、每次考试结束后，让学生自己总结：①试题考查了哪些知识点;②怎样审题，怎样打开解题思路;③试题主要运用了哪些方法，技巧，关键步在哪里;④答题中有哪些典型错误，哪些是知识、逻辑心理因素造成，哪些是属于思路上的。

高三数学一轮复习第19讲数列求和教案

又a1＋a4＝9，可解得或 (舍去)．
由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)Sn＝＝2n－1.
又bn＝＝＝－，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－ .
利用裂项相消法求和的注意事项
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项；
高考对裂项相消法的考查常有以下两个命题角度：
(1)求前n项和；
(2)比较大小或不等式证明．
(2015·高考安徽卷)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
(1)由题设知a1·a4＝a2·a3＝8，
解析：Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
所以2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②
①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1，
所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2.
答案：(n－1)2n＋1＋2
考点一分组转化法求和
(2015·高考福建卷)等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.
(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则＝，＝ .
3.(2016·长春质量监测)等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a7＝－9，S9＝－ .
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn>－ .
所以－An＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2，所以An＝(n－1)2n＋1＋2.

高三数学一轮复习教案

集合的概念与运算[考点导读]1. 了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言,图形语言,集合语言描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用．2. 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．3. 理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义,会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系与运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用．4. 集合问题常与函数,方程,不等式有关,其中字母系数的函数,方程,不等式要复杂一些,综合性较强,往往渗透数形思想和分类讨论思想．[基础练习]1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}．2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈,{2,}B x x k k Z ==∈,则A B ⋂=∅．3.已知集合{0,1,2}M =,{2,}N x x a a M ==∈,则集合M N ⋂=____________． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =,集合{1,5,9}A a =-,{5,7}I C A =,则实数a 的值为____8或2___． 5. 已知集合[1,4)A =,(,)B a =-∞,若A B A ⋂=,则实数a 的取值X 围_[4,)+∞___． 6. 已知集合{|10}M x x =+<,1{|0}1N x x=>-,则图中阴影部分所表示的集合是 ____ . [X 例解析]例1. 设,a b R ∈,集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=,求b a -的值. 分析：利用集合中元素互异性和集合相等性质,得到集合中对应元素的关系.解：由题知,0a ≠,0a b +=,则1b a =-,所以 1baa b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得11a b =-⎧⎨=⎩,所以2b a -=.点评：本题以集合中元素的性质为载体,考察学生对条件的把握分析能力,以寻找解题的突破口. 例2.已知集合{026}A x ax =<+≤,{124}B x x =-<≤.（1）若A B A ⋂=,##数a 的取值X 围；（2）集合A ,B 能否相等？若能,求出a 的值；若不能,请说明理由. 分析：〔1〕对a 进行分类讨论,利用数轴求a 的取值X 围. 解：{124}B x x =-<≤1{2}2x x =-<≤,{026}A x ax =<+≤{24}x ax =-<≤.①当0a =时,A R =,所以A B ⊆不可能；第6题{0,2} {11}x x -≤<②当0a >时,24{}A x x a a =-<≤,若A B ⊆,则21,24 2.a a ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得4a ≥.③当0a <时,42{}A x x a a =≤<-,若A B ⊆,则41,22 2.a a⎧>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩解得8a <-.综上所得,a 的取值X 围为(,8)[4,)-∞-⋃+∞.<2>分析一：求出满足B A ⊆时a 的取值X 围,再与〔1〕取交集.解法一：①当0a =时,A R =,所以B A ⊆成立；②当0a >时,24{}A x x a a =-<≤,若B A ⊆,则21,24 2.a a ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得02a <≤.③当0a <时,42{}A x x a a =≤<-,若B A ⊆,则41,22 2.a a⎧≤-⎪⎪⎨⎪->⎪⎩解得10a -<<.综上,B A ⊆时,12a -<≤.A B A B =⇔⊆且B A ⊆,∴若A B =,则(1,2]a ∈-且(,8)[4,)a ∈-∞-⋃+∞,矛盾.所以,集合A 与B 不可能相等.分析二：利用两个相等集合中元素的对应关系,建立等量关系. 解法二：①当0a =时,A R =,所以B A ≠；②当0a >时,24{}A x x a a =-<≤,若B A =,则21,24 2.a a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解.③当0a <时,42{}A xx a a=≤<-,若B A =,显然不成立. 综上,集合A 与B 不可能相等.点评：在解决两个数集关系问题时,应合理运用数轴帮助分析与求解.另外,在解含参数的不等式〔方程〕时,要对参数进行分类讨论,分类时要遵循不重不漏的分类原则,然后对每一类情况都要给出问题的解答. 例3.〔1〕已知R 为实数集,集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ⋃=,{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<,求集合B ；〔2〕已知集合{,0}M a =,2{30,}N x x x x Z =-<∈,且{1}M N ⋂=,记P M N =⋃,写出集合P 的所有子集.分析：〔1〕先化简集合A ,由R B C A R ⋃=可以得出A 与B 的关系；最后,由数形结合,利用数轴直观地解决问题.〔2〕求出N ,由{1}M N ⋂=,可知1M ∈,解得a ,进而求出P . 解：〔1〕{12}A x x =≤≤,{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ⋃=,R A C A R ⋃=,可得A B ⊆.而{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<,∴{01x x <<或23}x <<.B ⊆ 借助数轴可得B A =⋃{01x x <<或23}x <<{03}x x =<<. 〔2〕由230x x -<,得03x <<；又x Z ∈,故{1,2}N =. 由{,0}M a =且{1}M N ⋂=,可得1a =.{1,0}M ∴=, 故P 的子集为：∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.点评：〔1〕研究数集的相互关系时,可通过数轴示意,借助直观性探求,易于理解.〔2〕含有n 个元素的集合,共有2n 个子集,21n-个真子集.另注意空集的情况.例4.已知函数2()f x x px q =++,集合{()}A x f x x ==,集合{[()]}B x f f x x ==. 〔1〕求证：A B ⊆；〔2〕若{1,3}A =-,求集合B .分析：〔1〕要证明A B ⊆,根据定义,只要证A 中任一元素都是B 中的元素即可；〔2〕由{1,3}A =-,可以求出p ,q 的值,从而求出B . 解：〔1〕设0x 是集合A 中的任一元素,即0x A ∈.{()}A x f x x ==,∴00()x f x =,即有000[()]()f f x f x x ==.∴0x B ∈.故A B ⊆. 〔2〕{1,3}A =-2{}x x px q x =++=,1∴-,3是方程2(1)0x p x q +-+=的两个根,因为集合B 中的元素是方程[()]f f x x =的根,也就是222(3)(3)3x x x x x ------=的根.方程整理得22(23)(3)0x x x ---=,解得x =-,即{B =-.点评：本题考查集合语言与集合思想在解决方程问题时的运用,在解答过程中,应脱去集合符号和抽象函数符号的"外衣〞,显出本质的数量关系,要不断实施各种数学语言间的相互转换.原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互简单的逻辑联结词<一>复习指导：1,命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题. 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题："或〞、"且〞、"非〞这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词"或〞、"且〞、"非〞构成的命题是复合命题.构成复合命题的形式：p 或q<记作"p ∨q 〞 >；p 且q<记作"p ∧q 〞 >；非p<记作"┑q 〞 > .3、"或〞、 "且〞、 "非〞的真值判断〔1〕"非p 〞形式复合命题的真假与F 的真假相反；〔2〕"p 且q 〞形式复合命题当P 与q 同为真时为真,其他情况时为假；〔3〕"p 或q 〞形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真．4、四种命题的形式：原命题：若P 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p.6、如果已知p ⇒q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 若p ⇒q 且q ⇒p,则称p 是q 的充要条件,记为p ⇔q. <二>解题方法指导：例1．用"p 或q 〞、"p 且q 〞或"非p 〞填空,①命题"矩形的对角线互相垂直平分〞是________形式 ②命题"π ∉Q 是____形式 ③命题"1≥1〞是____形式．其中真命题的序号为____．分析：逻辑联结词"或〞"且〞"非〞可类比集合的"并〞"交〞"补〞的关系．解：①p 且q ②非p ③p 或q 真命题的序号为②③．小结：<1>逻辑联结词"或〞"且〞"非〞可类比集合的"并〞"交〞"补〞的关系 A ∪B ={x ｜x ∈A 或x ∈B }；A ∩B ={x ｜x ∈A 且x ∈B } S A ={x ｜x ∈S 且x ∉A } 例2．给出下列命题：①"若k ＞0,则关于x 2+2x －k =0的方程有实根〞的逆命题； ②"若a ＞b ,则2a ＞2b －1〞的否命题； ③"若A ∪B =B ,则A ⊆B 〞的逆否命题；④命题p ："x ,y ∈R ,若x 2+y 2=0,则x ,y 全为0〞的非命题其中真命题的序号是____．解：首先写出相应命题：①若关于x 的方程x 2＋2x －k =0有实根,则k ＞0 ②若a ≤b ,则2a ≤2b －1； ③若A ⊆/B ,则A ∪B ≠B ． ④x ,y ∈R ,若x 2＋y 2=0,则x ,y 不全为0 分别判断知①若关于x 的方程x 2＋2x －k =0有实根,则k ＞－1,故命题为假； ②取21,0==b a ,命题不成立；③由互为逆否命题同真同假,故③可直接判断原命题,知命题为真；④由实数性质知,命题不成立．综上知真命题序号为③．小结：<1>互为逆否命题同真同假,故③可直接判断原命题,此种等价性常被认为是反证法理论基础,尽管此说法不完全对．<2>"若p则q〞形式命题它的否定形式不等于否命题．否定形式是对命题结论的否定；否命题是将命题题设、结论分别否定．<3>一些基本逻辑关系式可类比集合运算律：①⌝<p∨q>=<⌝p>∧<⌝q>……U<A∪B>=∩②⌝<p∧q>=<⌝p>∨<⌝q>……U <A∩B>＝∪<其中"p∨q〞表示"p或q〞,"p∧q〞表示"p且q〞>．例3．若命题"p或q〞是真命题,命题"p且q〞是假命题,则< ><A>命题p是假命题命题q是假命题<C>命题p与命题q真值相同<D>命题p与命题"非q〞真值相同解：∵p或q为真,∴p或q中至少有一个为真．又∵"p且q〞为假,∴p、q中一真一假．综上可知,答案为<D>．分析：要分清命题的构成,准确了解逻辑联结词"或〞、"且〞、"非〞的含义．例4．<1>命题p："有些三角形是等腰三角形〞,则⌝p是< ><A>有些三角形不是等腰三角形有些三角形可能是等腰三角形<C>所有三角形不是等腰三角形<D>所有三角形是等腰三角形<2>已知命题p：∀x∈R,sin x≤1,则< ><A>⌝p：∃x∈R,sin x≥1⌝p：∀x∈R,sin x≥1<C>⌝p：∃x∈R,sin x＞1<D>⌝p：∀x∈R,sin x＞1解：<1>命题p："存在x∈A使P<x>成立〞,⌝p为："对任意x∈A,有P<x>不成立〞．故命题p："有些三角形是等腰三角形〞,则⌝p是"所有三角形不是等腰三角形〞；答案选C<2>命题p："任意x∈A使P<x>成立〞,⌝p为："存在x∈A,有P<x>不成立〞．故命题p：∀x∈R,sin x≤1,则⌝p为：∃x∈R,sin x＞1；答案选C小结：标准只要求理解和掌握含有一个量词的命题．不要求理解和掌握含有两个或两个以上量词的命题．对于命题的否定,只要求对含有一个量词的命题进行否定．通过分析,同学可以总结出常见关键词与其否定形式的表：关键词否定词关键词否定词等于不等于大于不大于能不能小于不小于至少有一个一个都没有至多有一个至少有两个都是不都是是不是没有至少有一个属于不属于<一>复习指导：如果一个命题是"若p则q〞的形式,其中p称为命题的前件、q称为命题的后件,<1>若p⇒q,且q≠＞p,则p是q的充分且不必要条件,q是p的必要不充分条件；<2>若q⇒p,p⇒/q,则p是q的必要且不充分条件,q 是p的充分不必要条件；<3>若p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件<q也是p的充要条件>；<4>若p⇒/q,且q⇒/p,则p是q的既不充分也不必要条件．这四种情况反映了前件p与后件q之间的因果关系,在判断时应：<1>确定前件是什么,后件是什么；<2>尝试从前件推导后件,从后件推导前件；<3>确定前件是后件的什么条件．证明p 是q 的充要条件,既要证明命题"p ⇒q 〞为真,又要证明命题"q ⇒p 〞为真,前者证的是充分性,后者证的是必要性．常用逻辑用语的重点内容是有关"充要条件〞、命题真伪的试题．主要是对数学概念有准确的记忆和深层次的理解,试题以选择题、填空题为主,难度不大,要求对基本知识、基本题型,求解准确熟练．<二>解题方法指导：例1．设集合⋅<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=}|1||{,011a x x B x x xA "a =1〞是"A∩B≠〞的< > <A>充分不必要条件必要不充分条件<C>充要条件<D>既不充分又不必要条件分析：解此类题首先确定命题的前件与后件,可利用划出主谓宾的方法,即： "条件M ‖是条件N 的××条件．〞得出M 是条件．即为命题前件M 、N 为后件,再分别判别．解："a =1〞是条件,"A ∩B ≠〞是结论．由题意得A ={x ｜－1＜x ＜1},B ={x ｜1－a ＜x ＜a ＋1}． <1>验证充分性由a ＝1得A ={x ｜－1＜x ＜1},B ={x ｜0＜x ＜2}．则A ∩B ={x ｜0＜x ＜1}≠成立,即充分性成立． <2>验证必要性 A ∩B ≠,取,21=a 满足,但是a ≠1,所以必要性不成立．综合得"a =1〞是：A ∩B ≠的充分非必要条件,例2．<1>条件p ："直线l 在y 轴上的截距是在x 轴的截距的2倍〞；条件q ："直线l 的斜率是－2〞,则p 是q 的< ><A>充分不必要条件必要不充分条件 <C>充分必要条件<D>既不充分也不必要条件<2>",21=m 〞是"直线<m +2>x +3my +1=0与直线<m －2>x +<m +2>y －3=0相互垂直〞的< ><A>充分必要条件充分而不必要条件<C>必要而不充分条件<D>既不充分也不必要条件解：<Ⅰ>条件p 中的截距为零时,斜率可以为任意值,故答案选D ； <Ⅱ>当21=m 时,两直线斜率乘积为－1,从而可得两直线垂直；当m =－2时,两直线一条斜率为0,一条斜率不存在,但两直线仍然垂直．因此21=m 是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件．故答案选B ；小结：解析几何中要注意一些特殊情况的数量关系问题．如截距相等要注意为0的特殊情况,对于两条直线垂直的充要条件分为①k 1,k 2都存在时,k 1·k 2=－1；②k 1,k 2中有一个不存在,另一个为零．类似情况,不要忽略,要注意积累．例3．下列各小题中,p 是q 的充分必要条件的是①p ：m ＜－2,或m ＞6；q ：y =x 2+mx +m +3有两个不同的零点②1)()(:=-x f x f p ；q ：y =f <x >是偶函数 ③p ：cos α=cos β；q ：tan α=tan β④p ：A ∩B =A ；q ：U B ⊆U A(A)①②②③<C>③④<D>①④分析：本题以充要条件知识为载体,考查一元二次不等式知识、偶函数、集合与简单的三角知识．解：①中：q 成立．则△=m 2－4<m ＋3>＞0,解得m ＜－2,或m ＞6．可知①满足条件；②中：p 变形为f <－x >=f <x >．可知是y =f <x >是偶函数；反之,y =f <x >是偶函数时,f <x >可以为0．如y =x 2<x ∈R >是偶函数,但是)0()0(f f 不存在,即p 为q 的充分不必要条件；③中：p ：cos α=cos β不能推出q 成立．如：．3π,3π=-=βα∴p 成立,而q 不成立；反之q 成立不能推出p 成立．如：⋅+==3ππ,3πβα∴q 成立,而p 不成立； ④中：p 成立,则A ⊆B ,q 成立；同样,q 成立,则A ⊆B ,即p 成立所以,p 是q 的充要条件．所以答案选D小结：充要条件的判断,首先要理解条件和结论,其次掌握三种条件的定义与判别方法,同时要注意不同知识点的应用与渗透．例4．已知⌝p 是q 的充分不必要条件,则p 是⌝q 的< > <A>充分不必要条件必要不充分条件 <C>充要条件<D>既不充分也不必要条件解：依题意⌝p ⇒q ,且q ⇒/⌝p ,由联系四种命题可知"⌝p ⇒q 〞为原命题真, ∴⌝q ⇒p 也为真<逆否命题>．同理p ⇒/⌝q ． ∴p 是⌝q 的必要不充分条件．所以答案选B ．小结：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法．。

高三第一轮复习教案

高三第一轮复习教案教案标题：高三第一轮复习教案教案目标：1. 确定高三第一轮复习的重点和难点，以帮助学生有效地复习。

2. 提供系统性的教学内容和活动，以帮助学生巩固知识和提高应试能力。

3. 激发学生的学习兴趣和积极性，培养他们的自主学习能力。

教案步骤：第一步：复习目标的设定（5分钟）- 与学生讨论高三第一轮复习的重点和难点，了解学生对复习内容的掌握情况。

- 确定本次复习的目标和学习重点，例如重点章节、重要概念和公式等。

第二步：知识梳理和巩固（30分钟）- 教师根据目标和学习重点，对相关知识进行梳理和总结。

- 教师通过讲解、示范和举例等方式，帮助学生理解和记忆知识点。

- 学生进行课堂练习和小组合作活动，巩固所学知识。

第三步：解答疑惑和答疑（10分钟）- 学生提出对复习内容的疑问和困惑，教师进行解答和指导。

- 教师针对常见错误和易混淆的问题进行讲解和澄清。

第四步：应用拓展和综合训练（30分钟）- 教师设计相关的应用题和综合训练题，要求学生运用所学知识解决问题。

- 学生进行个人或小组讨论，分享解题思路和方法。

- 教师提供反馈和评价，指导学生改进和提高。

第五步：学习反思和总结（10分钟）- 学生对本节课的学习进行反思和总结，提出问题和建议。

- 教师对学生的学习情况进行评价和反馈，鼓励学生继续努力。

教案评估：1. 学生在课堂练习和小组合作活动中的表现和参与度。

2. 学生在应用拓展和综合训练中的解题能力和思维能力。

3. 学生对复习内容的理解和掌握程度，以及对学习的积极性和自主学习能力的培养。

教案拓展：1. 教师可以根据学生的实际情况和需要，适当调整教学内容和活动形式。

2. 教师可以引导学生积极利用各类学习资源，如教材、习题集、网络等进行自主学习和拓展。

3. 教师可以组织学生进行小组讨论、角色扮演、辩论赛等形式的活动，以提高学生的合作和交流能力。

2019届高考数学一轮复习第7单元立体几何听课学案理

2019届高考数学一轮复习第7单元立体几何听课学案理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第7单元立体几何听课学案理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019届高考数学一轮复习第7单元立体几何听课学案理的全部内容。

第七单元立体几何第40讲空间几何体的三视图和直观图﹑表面积与体积课前双击巩固1.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形结构特征①有两个面互相,其余各个面都是;②每相邻两个四边形的公共边都互相有一个面是，其余各面是有一个公共顶点的的多面体用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，和之间的部分侧棱相交于,但不一定相等延长线交于侧面形状2。

旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母互相平行且相等，相交于延长线交于线于底面轴截面全等的全等的全等的侧面展开图3。

三视图与直观图三视图画法规则:长对正、高平齐、宽相等直观图斜二测画法：（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中x’轴、y’轴的夹角为，z’轴与x'轴和y'轴所在平面.(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍,平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度,平行于y轴的线段在直观图中长度为4。

圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式名称圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧= S圆锥侧=S圆台侧=5。

空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体 (棱柱和圆柱) S 表面积=S 侧+2S 底 V=锥体（棱锥和圆锥)S 表面积=S 侧+S 底 V=台体（棱台和圆台)S 表面积=S 侧+S 上+S 下V=(S 上+S 下+)h球S= V=常用结论1.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系：S 直观图=S 原图形,S 原图形=2S 直观图。

高考一轮复习教案十九(1)易错问题解析1(学生)

2021届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)古

2021届高考数学一轮复习教学案（基础知识+高频考点+解题训练）古2021届高考数学一轮复习教学案经典概率[知识能否忆起]一、基本事件的特点1．任何两个基本事件是互斥的．2.任何事件（不可能的事件除外）都可以表示为基本事件之和。

第二，经典概率的两个特征1．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．2．每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性．【提示】确定实验为经典概率，需要把握两个特征：有限性和等可能性。

第三，经典概率的概率公式p(a)＝a包含的基本事件的个数基本事件的总数.[小题能否全取]1.（教科书练习改编）从甲方、乙方和丙方中选出两名代表。

甲方被选中的概率为（11a）B.232c。

三d．1分析：C中选择的基本事件总数为（a，b），（a，C），（b，C），有两种选择的事件。

然后2p=。

3.2．(教材习题改编)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是()3a。

51c。

三2b.52d.3分析：有15种方法选择d，从6个数字中选择2个数字。

取的两个数是连续的自然数，有5种2情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率p＝1－＝.一百五十三3．甲、乙两同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机拿回两本，则甲同学拿到一本自己书一本乙同学书的概率是()1a。

31c。

二2b.31d.4五解析：选b记甲同学的两本书为a，b，乙同学的两本书为c，d，则甲同学取书的情况有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种，有一本自己的书，一本乙同学的书的取法有有四种AC、ad、BC和BD，计算出的概率p=。

3.4．(2021南通一调)将甲、乙两球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有一个球的概率为________．分析：根据问题的含义，a球和B球有3种不同的打法，共有9种打法，包括框1和框2中各有一个球的放法有2种，故有1,2号盒子中各有一个球的概率为.92.答案：95.（改编自教科书练习）从三台A型彩电和两台B型彩电中选择两台，两个品牌的彩电完整的概率为___3×23分析：P==。

高考一轮复习教案十九(4)易错问题解析4(教师)

模块：十九、易错问题解析课题： 4、易错问题解析（4）一、知识要点1、不等式的证明方法．据已知条件选择相应的证明方法，达到对各种证明方法的灵活应用程度．2、函数与方程及不等式的联系与转化．明确和利用三者的关系在解题中相互转化寻找解题思路．3、利用函数的的单调性构造不等关系．要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制．4、数学归纳法的应用．易缺乏应用数学归纳法解决与自然数有关问题的意识，易忽视其步骤的规范性及不理解数学归纳法的每一步的意义所在．5、涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用．易产生概念性错误．6、利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时，如果数形结合的意识不够，易忽视隐含条件．7、易忽视向量积定义中对两向量夹角的定义． 8、向量与三角函数求值、运算的交汇．9、向量与解三角形的交汇、与向量相结合的三角不等式，综合运用知识解决问题．10、向量与解析几何的交汇、解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合．二、例题精讲例1、已知0a >，0b >，且1a b +=．求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．答案：证法一：（分析综合法）欲证原式，即证()()222442540ab a bab ++-+≥，即证()()243380ab ab -+≥，即证14ab ≤或8ab ≥．∵a ＞0，b ＞0，1a b +=，∴8ab ≥不可能成立∵1=a +b，∴ab ≤14，从而得证. 证法二：（均值代换法）设112a t =+，212b t =+．∵1a b +=，a ＞0，b ＞0，∴120t t +=，112t <，212t <．22222212112212122422222221122222222221111()1()1(1)(1)11112244()()1111()()222225325115(1)(1)()2516216444.111144444t t t t t t a b a b a b a b t t t t t t t t t t t t t t t ++++++++++++∴++=⨯=⨯=+++++++++++++-===≥=---显然当且仅当0t =，即12a b ==时，等号成立.证法三：（比较法）∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴a +bab ≤142222112511254338(14)(8)()()044441125()()4a b a b ab ab ab a b a b a b ab ab a b a b ++++--++-=⋅-==≥∴++≥证法四：（综合法）∵a +b =1， a ＞0，b ＞0，∴a +bab ≤14. 22225(1)1139(1)1251611(1)1441644ab ab ab ab ab ab ⎧⎫-+≥⎪⎪-+⎪⎪∴-≥-=⇒-≥⇒⇒≥⎨⎬⎪⎪≥⎪⎪⎩⎭1125()()4a b a b ++≥即证法五：（三角代换法）∵ a ＞0，b ＞0，a +b =1，故令a =sin 2α，b =cos 2α，α∈（0，2π） 44222222222222222221111sin cos 2sin cos 2()()(sin )(cos )sin cos 4sin 242sin 21625(4sin )16sin 21,4sin 241 3.114sin 2sin 24(4sin 2)251125()().4sin 244a b a b a b a b ααααααααααααααααα+-+++=++=⎫-+≥-+⎪=≤∴-≥-=⎬≥⎪⎭-⇒≥++≥即得例2、记()2f x ax bx c =-+，若不等式()0f x >的解集为()1,3，试解关于t 的不等式()()282f t f t +<+．答案：33t -<<．例3、下列命题：①224()()||a a a ⋅=②()()a b c a c b ⋅⋅=⋅⋅ ③ |a ·b |=|a |·|b |④若a ∥,b b ∥,c 则a∥c ⑤a ∥b ，则存在唯一实数λ，使b a λ= ⑥若a c b c ⋅=⋅，且c ≠o ，则a b =⑦设12,e e 是平面内两向量，则对于平面内任何一向量a ，都存在唯一一组实数x 、y ，使12a xe ye =+成立．⑧若|a +b |=|a －b |则a ·b =0．⑨a ·b =0，则a =0或b =0真命题个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．3个以上答案：B例4、已知ABC ∆中,5,8,7a b c ===,求BC CA ⋅．答案：20-．例5、已知a 、b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角．答案：60︒．例6、(1cos sin )(1cos sin )(1,0)(0,)(,2)a b c ααββαπβππ=+=-=∈∈，，，，，，，a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且12,sin32παβθθ--=求的值.答案：12-例7、ΔABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3→OA ＋4→OB ＋5→OC=→0 ．（1）求数量积，→OA·→OB ，→OB·→OC ，→OC·→OA ；（2）求ΔABC 的面积．答案：（1）→OA·→OB=0；→OB·→OC=－45 ；→OA·→OC=－35 ；（2）65．例8、已知椭圆C ：22142x y +=上动点P 到定点(),0M m ,其中02m <<的距离PM 的最小值为1.（1）请确定M 点的坐标；（2）试问是否存在经过M 点的直线l ，使l 与椭圆C 的两个交点A 、B 满足条件OA OB AB +=（O 为原点），若存在，求出l 的方程，若不存在请说明理由．答案：（1）（1，0）；（2）这样的直线不存在．例9、自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用n x 表示某鱼群在第n 年年初的总量，*n N ∈，且10x >．不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与n x 成正比，死亡量与2nx 成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c ．（1）求1n x +与n x 的关系式；（2）猜测：当且仅当1x ，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（3）设2a =，1b =，为保证对任意1x ∈（0,2），都有n x ＞0，*n N ∈，则捕捞强度b 的最大允许值是多少？证明你的结论．答案：（1）()*11n n n x x a b cx n N +=-+-∈．（2）当且仅当a b >，且cba x -=1时，每年年初鱼群的总量保持不变．（3）b 的最大允许值是1．证：当1x ∈（0, 2），b=1时，都有n x ∈（0, 2）, *n N ∈． ①当1n =时，结论显然成立.②假设当n k =时结论成立，即k x ∈（0, 2），则当1n k =+时，()120k k k x x x +=->.又因为()()2121112k k k k x x x x +=-=--+≤<.所以1k x +∈（0, 2），故当n =k +1时结论也成立.由①、②可知，对于任意的*n N ∈，都有n x ∈（0,2）.综上所述，为保证对任意1x ∈（0, 2）, 都有n x >0， *n N ∈，则捕捞强度b 的最大允许值是1.三、课堂练习1、已知||||2,a b a b ==与的夹角为,3π则b 在a 上的投影为答案：12、已知向量()()1,2,2,a b m ==-的夹角为钝角，则m 的取值范围为________ 答案：()(),44,1-∞--3、已知直角坐标系中，()()()1,,2,0,1,1A x B C -，ABC 为锐角三角形，则x 的取值范围为_________ 答案：111,,233⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4、下列三个命题：①若||||a b a b +=-，则0a b ⋅=； ②若0a ≠，a b a c ⋅=⋅，则b c =；③若||||||a b a b ⋅=，则//a b ．其中真命题有．（写出所有真命题的序号）答案：①③5、如图，平行四边形的两条对角线相交于点，点是的中点. 若，，且，则 .答案：2516-四、课后作业一、填空题 1、设函数()()()1x x a f x x++=为奇函数，则实数a = ．答案：1-2、已知向量(1,2),(2,4),||5,a b c =--=若5(),2a b c +⋅=则a 与c 的夹角为．答案：120°3、已知向量()2cos ,2sin a ϕϕ=，,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，向量()0,1b =-，则向量a 与b 的夹角为．ABCD M P MD 2AB =1AD =60BAD ∠=︒AP CP ⋅=答案：2πϕ-4、在ΔABC 中，有如下命题：（1）AB AC BC -=（2）0AB BC CA ++=（3）若()()0AB AC AB AC +⋅-=，则ΔABC 为等腰三角形（4）若0AC AB ⋅>，则ΔABC 为锐角三角形．其中正确的是．答案：（2）（3）5、ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m = ．答案：1m =6、点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式：（1）0OA OB OC ++=；（2）OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅；（3）0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=．则点O 依次为ABC ∆的（请在横线上依次填上“四心”中的四个）答案：重心、垂心、内心、外心二、选择题7、已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（） A 、22a b < B 、22ab a b < C 、2211ab a b< D 、b aa b <答案：C8、设向量(1,0)a =,11(,)22b =,则下列结论中正确的是（）A 、a b =B 、22a b ⋅=C 、a ∥bD 、a －b 与b 垂直答案：D9、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[0,).||||AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫=++⋅∈+∞ ⎪⎝⎭则P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案：B三、解答题10、解关于x 的不等式24log (1)log [(2)1]x a x ->-+ (1)a >答案：当12a <<时，解集为1{|22}x x a x a-<<>或当2a =时，解集为3{|2}2x x x >≠且当2a >时解集为1{|22}x x x a a-<<>或．11、已知向量(cos ,sin )m θθ=和()()2sin ,cos ,,2n θθθππ=-∈，且825m n +=求cos 28θπ⎛⎫+⎪⎝⎭的值．答案：45-．12、（1）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值；（2）设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，证明n p p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log答案：（1）112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）提示：用数学归纳法证明．。

高考一轮复习教案十九(2)易错问题解析2(教师)

模块：十九、易错问题解析课题： 2、易错问题解析（2）一、知识要点1、用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．2、已知n S 求n a 时, 易忽略1n =的情况．3、利用函数知识求解数列的最大项及前n 项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1开始）4、解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐．5、用等比数列求和公式求和时，易忽略公比1q =的情况．6、在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n 项和不会采用错项相减法或解答结果不到位．7、不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项．8、易由特殊性代替一般性误将必要条件当作充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维．9、用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为0．尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略． 10、解答数列应用题，审题不严易将有关数列的第n 项与数列的前n 项和混淆导致错误解答．二、例题精讲例1、已知1sin sin 3x y +=求2sin cos y x -的最大值．答案：由已知条件有1sin sin 3y x =-且[]1sin sin 1,13y x =-∈-（结合[]sin 1,1x ∈-）得2sin 13x -≤≤，而2sin cos y x -=1sin 3x -2cos x -=22sin sin 3x x =--令2sin 13t x t ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭则原式=222133t t t ⎛⎫---≤≤ ⎪⎝⎭根据二次函数配方得：当23t =-即2sin 3x =-时，原式取得最大值49．例2、数列{}n a 前n 项和n s 且1111,3n n a a s +==．（1）求234,,a a a 的值及数列{}n a 的通项公式．答案：易求得2341416,,3927a a a ===．由1111,3n n a a s +==得()1123n n a s n -=≥故()111112333n n n n n a a s s a n +--=-=≥得()1423n n a a n +=≥又11a =，213a =故该数列从第二项开始为等比数列故()()21114233n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩．例3、等差数列{}n a 的首项10a >，前n 项和n S ，当l m ≠时，m l S S =．问n 为何值时n S 最大?答案：由题意知n S =()()2111222n n d d f n na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭此函数是以n 为变量的二次函数，因为10a >，当l m ≠时，m l S S =故0d <即此二次函数开口向下，故由()()f l f m =得当2l m x +=时()f x 取得最大值，但由于n N +∈，故若l m +为偶数，当2l mn +=时，n S 最大．当l m +为奇数时，当12l m n +±=时n S 最大．例4、已知关于的方程230x x a -+=和230x x b -+=的四个根组成首项为34的等差数列，求a b +的值．答案：不妨设34是方程230x x a -+=的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程230x x a -+=的另一根是此等差数列的第四项，而方程230x x b -+=的两根是等差数列的中间两项，根据等差数列知识易知此等差数列为：3579,,44,44故2735,1616a b ==从而a b +=318．例5、数列}{n a 中，11=a ，22=a ，数列}{1+⋅n n a a 是公比为q （0>q ）的等比数列．（I ）求使32211+++++>+n n n n n n a a a a a a 成立的q 的取值范围；（II ）求数列}{n a 的前n 2项的和n S 2．答案：（I ）∵数列}{1+⋅n n a a 是公比为q 的等比数列，∴q a a a a n n n n 121+++=，2132q a a a a n n n n +++=，由32211+++++>+n n n n n n a a a a a a 得221111q q q a a q a a a a n n n n n n >+⇒>++++，即012<--q q （0>q ），解得2510+<<q ．（II ）由数列}{1+⋅n n a a 是公比为q 的等比数列，得q a aq a a a a nn n n n n =⇒=++++2121，这表明数列}{n a 的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q ，又11=a ，22=a ，∴当1≠q 时，n S 2n n a a a a a a 2124321++++++=-)()(2642321n n a a a a a a a a +++++++++= qq q q a q q a n n n --=--+--=1)1(31)1(1)1(21，当1=q 时，n S 2nn a a a a a a 2124321++++++=- )()(2642321n n a a a a a a a a +++++++++= n 3)2222()1111(=+++++++++= ．例6、已知数列{}n a 是等差数列，且11232,12a a a a =++=．（1）求数列{}n a 的通项公式（2）令()nn n b a x x R =∈求数列{}n b 前项和的公式．答案：（1）易求得2n a n =．（2）由（1）得2n n b nx =令n s =232462n x x x nx ++++（Ⅰ）则()23124212n n n xs x x n x nx +=+++-+（Ⅱ）用（Ⅰ）减去（Ⅱ）（注意错过一位再相减）得()231122222n n n x s x x x x nx +-=++++-当1x ≠()11211nn n x x s nx x x +⎡⎤-⎢⎥=---⎢⎥⎣⎦当1x =时()24621n s n n n =++++=+综上可得：当1x ≠()11211nn n x x s nx x x +⎡⎤-⎢⎥=---⎢⎥⎣⎦当1x =时()24621n s n n n =++++=+例7、求=n S ++++++321121111…n+++++ 3211．答案：由等差数列的前n 项和公式得2)1(321+=++++n n n ， ∴)111(2)1(23211+-=+=++++n n n n n ，n 取1，2，3，…，就分别得到3211,211,11+++，…，∴=n S )111(2)4131(2)3121(2)211(2+-++-+-+-n n12)111(2+=+-=n nn ．例8、设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；（2）求所有的无穷等差数列{}n a ，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立.答案：（1）当13,12a d ==时21(1)3(1)12222n n n n n S na d n n n --=+=+=+ 由22422211(),()22k k S S k k k k =+=+得，即又0,4k k ≠=所以.（2）设数列{a n }的公差为d ，则在22()n n S S =中分别取k =1,2,得221111221142,(),43214(2)()22a a S S a d a d S S ⎧=⎧=⎪⎪⎨⎨⨯⨯+=+=⎪⎪⎩⎩即由（1）得 110 1.a a ==或当10,(2)06,a d d ===时代入得或若210,0,0,0,()n n k k a d a S S S =====则从而成立 ,若21330,6,6(1),18,()324,216n n a d a n S S S ===-===则由知293(),S S ≠故所得数列不符合题意.当211,(2)46(2),02a d d d d =+=+==时代入得解得或若2211,0,1,,();n n k k a d a S n S S =====则从而成立若2211,2,21,13(21),()n n n a d a n S n n S S ===-=+++-==则从而成立.综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：①{}n a : a n =0，即0，0，0，…；②{}n a : a n =1，即1，1，1，…；③{}n a : a n =2n －1，即1，3，5，…，（1）（2）例9、已知双曲线224x y -=，直线()1y k x =-，讨论直线与双曲线公共点的个数．答案：联立方程组()2214y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩消去y 得到()22221240k x k x k -+--=（1）当210k -=时，即1k =±，方程为关于x 的一次方程，此时方程组只有解，即直线与双曲线只有一个交点．（2）当()22104430k k ⎧-≠⎪⎨∆=-=⎪⎩时即3k =±，方程组只有一解，故直线与双曲线有一个交点（3）当()22104430k k ⎧-≠⎪⎨∆=->⎪⎩时，方程组有两个交点此时k <<且1k ≠±．（4）当()22104430k k ⎧-≠⎪⎨∆=-<⎪⎩时即k >k <双曲线无交点．综上知当1k =±或k =±时直线与双曲线只有一个交点，当k <<且1k ≠±．时直线与双曲线有两个交点，当k >k <双曲线无交点．例10、如果能将一张厚度为0.05mm 的报纸对拆,再对拆……对拆50次后，报纸的厚度是多少?你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗？（已知地球与月球的距离约为8410⨯米）答案：对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列n a ，则数列n a 是以31a =0.0510⨯米为首项，公比为2的等比数列．从而对拆50次后纸的厚度是此等比数列的第51项，利用等比数列的通项公式易得a 51=0.05×10-3×250=5.63×1010,而地球和月球间的距离为4×108<5.63×1010故可建一座桥．三、课堂练习1、设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于．答案：313227n +-2、已知数列满足：（为正整数），若，则所有可能的取值为．答案：9或563、若无穷等比数列的各项和等于，则的取值范围是．答案： ()1,11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭4、若数列中，，则数列中的项的最小值为．答案：4.5、若数列为“等方比数列”．则“数列是等方比数列”是“数列是等比数列”的条件．答案：充要．6、已知数列是首项为、公差为1的等差数列，数列满足.若对任意的,都有成立,则实数的取值范围是．答案：()8,7--四、课后作业一、填空题1、已知数列{}n a 满足()()112311,2312n n a a a a a n a n -==++++-≥则数列{}n a 的通项为．答案：()()11!22n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩{}n a m a =1m 1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时。

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模块：十九、易错问题解析课题： 7、易错问题单元练习1. 已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是．答案：11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.函数y =）A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤答案：C3. 若函数(1)y f x =-的图像与函数ln1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（） A ．21x e -B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+答案：B4. 已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是（） A 、（，） B 、［，） C 、（，） D 、［，）答案：A5. 已知01b a <<+,若关于x 的不等式2()x b -＞2()ax 的解集中的整数恰有3个，则（）A 、10a -<>，则不等式1b a x-<<等价于（） A ．10x b -<<或10x a << B. 11x a b-<<()f x [0,)+∞(21)f x -1()3f 1323132312231223C.11x x a b<->或D. 11x x b a<->或答案：D8. 设函数的图像关于原点对称，且存在反函数. 若已知，则答案：4- 9. 设表示不超过的最大整数，如.若函数，则的值域为 . 答案：{}1,0-10. 不等式对任意的实数都成立，则实数的取值范围是 . 答案：[]1,0- 11. 设,01)(⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x f 对所有x 均满足)()()(x g x g x xf 的函数≤是（）A ．;sin )(x x g =B ．;)(x x g =C ．;)(2x x g =D ．x x g =)(答案：D12. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称答案：D13. 为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（）A 、向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B 、向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）()f x 1()f x -(4)2f =1(2)f --=[]x x [][]1.51, 1.52=-=-()()0,11x x a f x a a a =>≠+()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦)1(||+≥x a x x aC 、向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D 、向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）答案：C14. 函数2()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( ) A.1 B.132+ C.32D.1+3答案：C15. 已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是（）A 、5[,],1212k k k Z ππππ-+∈B 、511[,],1212k k k Z ππππ++∈C 、[,],36k k k Z ππππ-+∈D 、2[,],63k k k Z ππππ++∈答案：C16. 在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示，其中()()22221211236n n n n ++++++=）答案：10，()()126n n n ++17. 设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于答案：313227n +-18. 若数列{a n }是首项为1，公比为a －32的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是19. 已知无穷等比数列的前项和，且是常数，则此无穷等比数列各项的和是（） A ．． B ．． C ．． D ．．答案：D 20. 若（n 是正整数），则（）A 、B 、C 、D 、答案：C21. 已知数列满足：（为正整数），若，则所有可能的取值为答案：9或5622. 若无穷等比数列的各项和等于，则的取值范围是答案：()1,11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭23. 若数列中，，则数列中的项的最小值为______ 答案：424. 若数列为“等方比数列”．则“数列是等方比数列”是“数列是等比数列”的条件答案：充要25. 已知数列是首项为、公差为1的等差数列，数列满足.若对任意的,都有成立,则实数的取值范围是答案：()8,7--26. 将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*n N ∈，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞={}n a n *1()3n n S a n N =+∈a 1313-11-nn n a n 212111+⋅⋅⋅++++=+=+n n a a 1)1(21+n 11221+-+n n 11221121+-+++n n n 221121+++n n {}n a m a =1m 1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时。

47a =m {}n a 21a 1a {}n a *,2122N n n n a n ∈++={}n a }{),,(}{*221n nn n a N n p p a a a 则称为正常数满足∈=+}{n a }{n a {}n a a {}n b 1nn na b a +=*N n ∈8n b b ≥a27. 已知方程)(04)4(2R a ai x i x ∈=++++有实根b ，则bi a +的值是______答案：28. 若w 是方程13=x 的一个虚根，则有012=++w w ，将上述命题加以推广：若ε是方程)3,(1〉∈=*n N n x n的一个虚根，则有_______________ 答案：2110n εεε-++++=29. 已知ABC 的三边长为6AB =，8BC =，10CA =，则AC CB ⋅＝答案：64-30. 直线的方向向量与x轴的正方向上的单位向量的夹角是答案：60或120 31. 已知1,3,.0,OA OB OAOB ===点C 在AOC ∠30o=．设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于答案：3±32. 关于平面向量,,a b c ．有下列三个命题：①若a b a c ⋅=⋅，则b c =．②若(1)(26)a k b ==-，，，，a b ∥，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60．其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）答案：②33. 若过两点P 1(-1,2)，P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的比λ的值为（） A 、－13B 、－15C 、15D 、13答案：A34. 过点)11(，P ，且与直线︒=++30013成y x 角的直线方程是答案：10x +-=35. 以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且以为渐近线的双曲线方程是13+-=x y i x y 82=x y 3±=答案：2213y x -= 36. 设双曲线的半焦距为．已知原点到直线：的距离等于，则的最小值为_________．答案：437. 双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = （） A ．14- B ．4- C ．4 D ．14答案：A38. 设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2=，且1=⋅，则P 点的轨迹方程是（）A. ()0,0123322>>=+y x y x B. ()0,0123322>>=-y x y x C. ()0,0132322>>=-y x y x D. ()0,0132322>>=+y x y x答案：D39. 过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为_______ 答案：321540. 直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) A 、1133y x =-+ B 、113y x =-+ C 、33y x =- D 、113y x =+ 答案：A41. 点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且PA AB =，则称点为“B 点”，那么下列结论中正确的是（）A ．直线上的所有点都是“B 点”B ．直线上仅有有限个点是“B 点”C ．直线上的所有点都不是“B 点”D ．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“B 点” 答案：A)0,0(12222>>=-b a by a x c l ab ay bx =+141+c c P :1l y x =-P 2y x =,A B P l l l l42. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则·＝（）A. －12B. －2C. 0D. 4 答案：C43. 某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是__________.（用数字作答）答案：3044. 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为___________.（精确到0.01）答案：0.9445. 某学生参加一次世博志愿者测试，已知在备选的10道试题中，预计每道题该学生答对的概率为．规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，则该学生仅答对2道题的概率是______________.（用分数表示）答案：2946. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖答案：D47. 设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：( ) A .1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条答案：B48. 长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，E 、F 分别是棱、的中点，则直线EF 被球截得的线段长是__________.49. 已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为)0(12222>=-b b y x 1F 2F x y =),3(0y P 1PF 2PF 23a 1111ABCD A B C D -O 1AA 1DD O 1111ABCD A B C D -12AA AB =，E 1AA BE 1CD50. 某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为,,,2,1k ⋅⋅⋅ 规定：同意按“1”，不同意按“0”（含弃权），令：,,,2,1,,2,1.10k j k i j i j i a ij ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⎩⎨⎧=且其中号同学当选号同学同意第，第号同学当选号同学不同意第，第则同时同意第1号和第2号同学当选的人数为 ( )A ．;2222111211k k a a a a a a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++B ．;2221212111k k a a a a a a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++C ．;2122211211k k a a a a a a +⋅⋅⋅++D ．;2122122111k k a a a a a a +⋅⋅⋅++答案：C。