湖南省益阳市箴言中学2018-2019学年高一下学期第三次月考(5月)数学试题 含解析

2018-2019学年湖南省益阳市箴言中学高一（下）5月月考数学试卷一．选择题本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．1.等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式化简即可。

【详解】所以选A【点睛】本题考查了诱导公式的简单应用，三角函数化简求值，属于基础题。

2.在等差数列中，，则的值为A. 5B. 6C. 8D. 10【答案】A【解析】解析：由角标性质得，所以=53.若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为，半径为1，∴故选B4.已知向量，且，则的值为（）A. 1B. 2C.D. 3【答案】A【解析】【分析】由，转化为，结合数量积的坐标运算得出，然后将所求代数式化为，并在分子分母上同时除以，利用弦化切的思想求解。

【详解】由题意可得，即．∴，故选：A．【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角弦的次分式齐次式，分子分母同时除以，可以将分式由弦化为切；（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角的二次整式，然后除以化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以可以实现弦化切。

5.设成等比数列，其公比为2，则的值为（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】试题分析：因为成等比数列，其公比为2，所以.因此.考点：等比数列6.将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于（）对称．A. 轴B. 原点C. 直线D. 点【答案】A【解析】【分析】先利用辅助角公式将未变换后的函数解析式化简，再根据图象变换规律得出变换后的函数的解析式为，结合余弦函数的对称性来进行判断。

【详解】，函数的图象向左平移个长度单位后得到，函数的图象关于轴对称，故选：A．【点睛】本题考查三角函数的图象变换，以及三角函数的对称性，在考查三角函数的基本性质问题时，应该将三角函数的解析式化为一般形式，并借助三角函数的图象来理解。

7.在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】A选项中由两角与一边可知只有一解；B选项两边及其夹角可知只有一解；C选项中利用大边对大角知为锐角，可求出的正弦值，则角确定，可知只有一解；D选项中由正弦定理求出的值，再由大边对大角可知为锐角与钝角，可知有两解。

【详解】解：若，则由正弦定理可得，求得，故有一解；若，，，则由余弦定理可得，求得只有一解，故有一解；若，则由正弦定理可得，求得，再根据，可得为锐角，故角只有一个，故有一解；若，则由正弦定理可得，求得，再根据，可得，∴可能是锐角也可能是钝角，即角有2个值，故有两解，故选：D．【点睛】本题考查三角形解的个数问题，灵活利用正弦、余弦定理以及大边对大角定理进行判断，是解本题的关键，考查逻辑推理能力，属于中等题。

8.已知函数，且此函数的图象如图所示，由点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由函数图象与轴的相邻两个交点确定该函数的最小正周期，并利用周期公式求出的值，再将点代入函数解析式，并结合函数在该点附近的单调性求出的值，即可得出答案。

【详解】解：由图象可得函数的周期∴，得，将代入可得，∴（注意此点位于函数减区间上）∴由可得，∴点的坐标是，故选：B．【点睛】本题考查利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：①求、：，；②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性。

9.若数列满足：，而数列的前项和最大时，的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】方法一：∵，∴，∴数列是首项为19，公差为-3的等差数列．则．所以时，取最大值．选B．方法二：∵，∴，∴数列是首项为19，公差为-3的等差数列．∴，∴当时，；当时，．所以时，取最大值．选B．点睛：求等差数列前n项和最值的常用方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n项和 (A、B为常数)看作关于项数n的二次函数，根据二次函数的性质求最值．10.设向量与的夹角为，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由求出，结合，利用平面向量夹角余弦公式可得结果.详解：因为向量与的夹角为，且，，，，，故选A.点睛：本题主要考查向量的坐标运算及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.11.在中，三个内角所对的边分别为．已知，且满足，则为（）A. 锐角非等边三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形【答案】C【解析】【分析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将，代入计算求出的值为，进而确定出为直角，即可确定出三角形形状．【详解】将已知等式，利用正弦定理化简得：，，，即，与都为的内角，，即，已知第二个等式变形得：，，，即，整理得：，即，或（舍去），，则为等腰直角三角形．故选：C．【点睛】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，积化和差公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．12.某人在点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到点测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为（）A. 15米B. 5米C. 10米D. 12米【答案】C【解析】试题分析：如图所示，，其中，设塔高，在三角形中，由余弦定理得，解得，故选C.考点：1、解三角形；2、正、余弦定理.【方法点晴】本题是一个与空间几何体相结合的解三角形问题，属于中档题.解决本题的基本思路及关键是要理清题中的各“元素”之间的关系，其中最为重要的如何将题目的条件转化为三角形中的边与角，在此基础上，结合直角三角形的边角关系以及三角形的正弦定理、余弦定理，即可求得所需结论.二．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的单调增区间是_____．【答案】【解析】【分析】先考虑函数定义域，再根据二次函数性质以及复合函数单调性确定递增区间.【详解】由得或,因为为单调递减区间，所以函数的单调递增区间是【点睛】求复合函数单调区间时先求定义域，再复合函数“同增异减”的原则确定结果.14.设向量满足及，则的值为_____．【答案】【解析】试题分析:由题设可得,即,所以,故,应填答案.考点：向量的模及乘法运算．15.已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________. 【答案】【解析】【详解】试题分析：设三角形三边长为a-4,b=a,c=a+4,(a<b<c),根据题意可知三边长构成公差为4的等差数列，可知a+c=2b ,C=120,，则由余弦定理，c= a+ b-2abcosC，,三边长为6,10,14，,b= a+ c-2accosB,即（a+c）=a+c-2accosB, cosB=，sinB=可知S==.考点：本试题主要考查了等差数列与解三角形的面积的求解的综合运用。

点评：解决该试题的关键是利用余弦定理来求解，以及边角关系的运用，正弦面积公式来求解。

巧设变量a-4,a,a+4会简化运算。

16.已知正方形的边长为1，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若，且，则的最小值是_____．【答案】－5【解析】【分析】根据正方形的图形特征，建立如图所示的直角坐标系，表示为，表示为，根据的不同取值，利用向量的坐标运算，计算出的值，最后确定最小值.【详解】建立如下图所示的直角坐标系：表示为，表示为，（1）当时，则；（2）当时，则；（3）当时，则（4）当时，则同样地，当取其他值时，或，故的最小值是.【点睛】本题考查了平面向量坐标表示，平面向量的数量积运算等基本知识，考查了分类讨论思想、化归思想、数形结合思想.三．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（1）计算：（2）化简【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式求出每项的值，再进行加法运算可得出答案；（2）先将切化为弦，即，通分后利用辅助角公式化简，结合诱导公式再化异角为同角，再利用二倍角公式计算化简计算可得出答案。

【详解】（1）；（2）．【点睛】本题考查利用诱导公式、三角恒等变换公式进行求值，在利用三角恒等变换公式求非特殊角的三角函数值时，需注意以下几个步骤：（1）切遇弦，切化弦，另外在分式运算要通分；（2）遇到利用辅助角公式化简，即，其中由以及点所处象限决定；（3）遇到弦的二次式，需要利用二倍角降幂公式进行降幂。

18.已知向量和，其中，，．（1）当为何值时，有；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）且.【解析】试题分析：(1)由向量平行的充要条件得到关于实数k的方程，解方程可得(2)向量的夹角为钝角，则数量积为复数，据此可得实数的取值范围是且.试题解析：解：（1）由，设，所以，即，又，，得与不共线，所以，解得.（2）因向量与的夹角为钝角，所以，又，，得，所以，即，又向量与不共线，由（1）知，所以且.19.已知如图：平行四边形中，，正方形所在平面与平面垂直，分别是的中点．（1）求证：平面；（2）若，，求四棱锥的体积．【答案】（1）由四边形EFBC是平行四边形，H为FC的中点，得，，推出GH∥平面CDE ；（2）＝。

【解析】【详解】试题分析：（1）证明GH∥平面CDE，利用线面平行的判定定理，只需证明HG∥CD；（2）证明FA⊥平面ABCD，求出S ABCD，即可求得四棱锥F-ABCD的体积．考点：本试题主要考查了线面平行，考查四棱锥的体积，属于中档题点评：解决该试题的关键是正确运用线面平行的判定。

解：∵,∴且∴四边形EFBC是平行四边形∴H为FC的中点又∵G是FD的中点∴∵平面CDE ，平面CDE∴GH∥平面CDE（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.∵, ∴又∵，∴BD⊥CD∴＝∴＝20.已知等差数列的前项和满足，。

（1）求通项公式；（2）求数列的前项和。