[推荐学习]高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义课堂导学案
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义学案 苏教版选修2-2
3.3 复数的几何意义义.1．复平面(1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做______．x 轴叫做________，y 轴叫做________．实轴上的点都表示________．除原点外，虚轴上的点都表示________．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以用复平面内的点Z ________来表示，也可以用向量________来表示，三者的关系如下：(3)为方便起见，常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z 或向量OZ ，并且规定，相等的向量表示________复数． 预习交流1做一做：复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则实数a 的值为________． 预习交流2做一做：复数z ＝12＋i在复平面内所对应的点位于第________象限．2．复数的模(或绝对值)(1)________的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模(或绝对值)，记作|z |或|a ＋b i|. (2)如果z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝|a ＋b i|＝______. 预习交流3做一做：若对于实数x ，y ，复数x ＋y i 的模都为3，则点(x ，y )的轨迹方程是__________． 3．复数加减法的几何意义 (1)加法的几何意义设向量1OZ ，2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )对应，且1OZ ，2OZ 不共线．如下图，以1OZ ，2OZ 为两条邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 所表示的向量OZ 就是与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．(2)减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设1OZ ，2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 相对应．且1OZ ，2OZ 不共线，如下图，则这两个复数的差z 1－z 2与向量1OZ －2OZ (即21Z Z )对应，这就是复数减法的几何意义．实际上，在平面向量中已有向量的几何解释，同复数减法的几何解释是一致的．(3)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝________________，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的________．预习交流4 做一做：在复平面内，向量AB 对应的复数是2＋i ，向量AC 对应的复数为－1－i ，则向量BC 对应的复数为__________．答案：预习导引1．(1)复平面 实轴 虚轴 实数 纯虚数 (2)(a ，b ) OZ (3)同一个 预习交流1：提示：∵复数对应的点在虚轴上， ∴a 2－2a ＝0，即a ＝0或a ＝2.预习交流2：提示：z ＝12＋i ＝2－i (2＋i)(2－i)＝25－15i ，对应点为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－15，在第四象限．2．(1)向量OZ (2)a 2＋b 2预习交流3：提示：∵|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝3， ∴x 2＋y 2＝9.3．(3)(a －c )2＋(b －d )2距离 预习交流4：提示：－3－2i一、复数的几何意义实数x 分别为什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 表示的点 (1)在实轴上？ (2)在虚轴上？思路分析：本题需弄清实轴、虚轴及实轴上数的特点、虚轴上数的特点，抓住特点完成．1．在复平面内，点A ，B 对应的复数分别是－3＋2i,1－4i ，则线段AB 的中点对应的复数是__________． 2．复数z ＝－2i －1，则复数z 在复平面内对应的点位于第__________象限．确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解．二、有关复数模的问题已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .思路分析：常规解法：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入等式后，可利用复数相等的充要条件，求出a ，b .也可以巧妙地利用|z |∈R ，移项后得到复数的实部，再取模可得关于|z |的方程，求解即可．1．(2012湖南高考)已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z |＝________. 2．已知复数z ＝a ＋i(0＜a ＜2)，则|z |的取值范围是__________．3．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若复数z 的虚部为3，且|z |＝2，复数z 在复平面内对应的点在第二象限，则复数z ＝__________.z 为复数，但|z |为实数，复数相等的定义即实部与实部相等，虚部与虚部相等．需明确谁是实部，谁是虚部，同时，把复数z 看作整体的方法值得借鉴．三、复数加减法几何意义的应用已知平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、D 对应的复数分别为1＋i 、4＋3i 、－1＋3i. 试求：(1)AD 对应的复数；(2)DB 对应的复数； (3)点C 对应的复数．思路分析：利用复数加法、减法的几何意义进行求解．1．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA ，OB 对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD 对应的复数是__________．2．集合M ＝{z ||z －1|≤1，z ∈C }，N ＝{z ||z －1－i|＝|z －2|，z ∈C }，集合P ＝M ∩N . (1)指出集合P 在复平面上表示的图形； (2)求集合P 中复数模的最大值和最小值．向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB 对应的复数是z B －z A (终点对应的复数减去起点对应的复数)．1．在复平面内，复数z ＝cos 3＋isin 3对应的点位于第__________象限．2．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|z －i|，则z 所对应的点的集合构成的图形是__________． 3．已知复数z ＝(1－i)(2－i)，则|z |的值是__________．4．在复平面内，向量AB 对应的复数是2＋i ，向量CB 对应的复数是－1－3i ，则向量CA 对应的复数为__________．5．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为__________．6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝(a ＋d )－(c ＋b )，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－2i 1－i ＝0的复数z 对应的点在第______象限．活动与探究1：解：(1)当x 2－2x －15＝0，即x ＝－3或x ＝5时，复数z 对应的点在实轴上．(2)当x 2＋x －6＝0，即x ＝2或x ＝－3时，复数z 对应的点在虚轴上． 迁移与应用：1．－1－i 解析：由已知A (－3,2)，B (1，－4)， ∴AB 的中点为(－1，－1)， ∴AB 中点对应的复数为－1－i.2．三 解析：复数z 在复平面内对应的点为(－1，－2)，该点位于第三象限．活动与探究2：解法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i.∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.解法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i. ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部．于是|z |＝(2－|z |)2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2.∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i. 迁移与应用：1．10 解析：∵z ＝(3＋i)2，∴|z |＝32＋12＝10.2．(1，5) 解析：|z |＝|a ＋i|＝a 2＋1.∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5， ∴1＜|z |＜ 5.3．－1＋3i 解析：由已知得224b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，，∴1a b =±⎧⎪⎨=⎪⎩，. 又∵复数z 对应的点在第二象限， ∴a ＝－1，即z ＝－1＋3i.活动与探究3：解：(1)设坐标原点为O ， 则有AD ＝OD －OA ，所以AD 对应的复数为(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i. (2)DB ＝OB －OD ，所以DB 对应的复数为(4＋3i)－(－1＋3i)＝5. 因为ABCD 是平行四边形， 所以AD ＝BC . 由(1)知BC ＝－2＋2i ， 而BC ＝OC －OB ，所以OC 对应的复数为(－2＋2i)＋(4＋3i)＝2＋5i ，这就是点C 对应的复数． 迁移与应用：1．4－2i 解析：依题意有CD ＝BA ＝OA －OB ，所以CD 对应的复数为(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i.2．解：(1)由|z －1|≤1可知，集合M 在复平面内所对应的点集是以点E (1,0)为圆心，1为半径的圆的内部及边界；由|z －1－i|＝|z －2|可知，集合N 的轨迹是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l ，因此集合P 是圆截直线l 所得的一条线段AB ，如图所示．(2)圆方程为x 2＋y 2－2x ＝0，直线l 的方程为y ＝x －1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x －1，得A ⎝⎛⎭⎪⎫2＋22，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，－22， 所以|OA |＝2＋2，|OB |＝2－ 2.点O 到直线l 的距离为22，且过O 向l 引垂线，垂足在线段BE 上，22＜2－2，故集合P 中复数模的最大值为2＋2，最小值为22. 当堂检测1．二 解析：由已知得复数z 对应的点为(cos 3，sin 3)， 而cos 3＜0，sin 3＞0，∴点(cos 3，sin 3)在第二象限． 2．以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线 3．10 解析：z ＝(1－i)(2－i)＝1－3i ，∴|z |＝12＋(－3)2＝10.4．－3－4i 解析：CA ＝BA －BC ＝CB －AB ＝(－1－3i)－(2＋i)＝－3－4i. 5．9 解析：复数z 对应的点为(m －3,2m )， 由已知得m －3＝2m ，∴m＝9.6．一 解析：由定义得(z ＋1－i)－(1－2i ＋1＋2i)＝0，z －1－i ＝0， ∴z ＝1＋i ，对应点为(1,1)，故z 对应的点在第一象限．。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.1.2复数的几何意义课件新人教A版选修
(2)设出复数的代数形式,利用模的定义转化为实数问 题求解. 提醒:复数的模表示该复数在复平面内的对应点到原点 的距离,则任何一个复数的模都是非负数.
【巩固训练】已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取 值范围.
【解析】方法一:因为z=3+ai(a∈R),
所以|z|= , 32 a2 ,
在复平面内对应的a 点1 的0 ,坐标为(1,-1),所以该点位于第 四象限.
类型二 复数与向量的对应
【典例2】(1)已知平面直角坐标系中O是原点,向量
uuur , uuur 对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量
O A 对O应B 的复数是 ( )
uuur
A.B -A5+5i
B.5-5i
2.复数z=a+bi(a,b∈R)能否用直角坐标平面内的点表 示? 提示:由1知,任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以由一 个有序实数对(a,b)唯一确定.由于有序实数对(a,b)与 平面直角坐标系中的点一一对应,因此复数可以用平面 直角坐标系中的点表示.
3.复数能否用平面向量表示? 提示:每一个平面向量都可以用一个有序实数对表示, 而复数也可用有序实数对表示,因此复数可用平面向量 来表示.
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答案:
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【备选训练】已知复数z=(a2-4)+(a+2)i(a∈R). (1)若z为纯虚数,求实数a的值. (2)若z在复平面上对应的点在直线x+2y+1=0上,求实数 a的值.
【解题指南】(1)纯虚数指的是实部为零,虚部不为零 的复数,因此只需找到复数的实虚部,满足相应条件即 可.(2)复数对应的点的坐标是由实部和虚部构成的.
高中数学第三章数系的扩充与复数3_1_3复数的几何意义课堂探究新人教B版选修22
高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.1.3 复数的几何意义课堂探究 新人教B 版选修2-2探究一 复数与点的对应1．确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解．2．确定复数对应点的集合的图形时，首先根据复数与点的对应关系找出点的横坐标、纵坐标之间的关系，再结合平面解析几何的相关知识确定图形形状．【典型例题1】 已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点满足下列条件时，求a 的值(或取值范围)．(1)在实轴上；(2)在第三象限；(3)在抛物线y 2＝4x 上．思路分析：根据复数与点的对应关系，得到复数的实部与虚部之间的对应关系，建立关于a 的方程或不等式求解．解：复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i 在复平面内对应的点是(a 2－1,2a －1)．(1)若z 对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12； (2)若z 对应的点在第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1<0，2a －1<0，解得－1＜a ＜12； (3)若z 对应的点在抛物线y 2＝4x 上，则有(2a －1)2＝4(a 2－1)，即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，解得a ＝54. 【典型例题2】 试确定在复平面内，满足下列条件的复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )对应的点的集合分别是什么图形．(1)y ＝2；(2)1≤x ≤4；(3)x ＝y ；(4)|z |≤5.思路分析：根据复数满足的条件，获得复数对应点的横、纵坐标之间满足的条件，从而确定点对应的图形．解：(1)复数z 对应点的坐标是(x ，y )，而y ＝2，所以点的集合是一条与实轴平行的直线．(2)复数对应的点为(x ，y )，而1≤x ≤4，所以点的集合是夹在垂直于实轴的两条直线之间的一个带形区域(含两边界直线)．(3)复数对应的点是(x ，y )，而x ＝y ，所以点的集合是一条直线，它是复平面的第一、三象限的平分线．(4)复数对应的点是(x ，y )，而|z |≤5，即x 2＋y 2≤5，所以x 2＋y 2≤25，因此点的集合是一个以原点为圆心，半径等于5的圆的内部，包含圆的边界．探究二 复数与向量的对应1．若O 为坐标原点，则向量OA →对应的复数就是点A 对应的复数；2．一个向量不管怎样平移，它所对应的复数不变，但其终点和起点所对应的复数可能改变．【典型例题3】 已知向量OA →对应的复数是4＋3i ，点A 关于实轴的对称点为A 1，将向量OA 1→平移，使其起点移动到A 点，这时终点为A 2.(1)求向量OA 1→对应的复数；(2)求点A 2对应的复数．思路分析：根据复数与点、复数与向量的对应关系求解．解：(1)∵向量OA →对应的复数是4＋3i ，∴点A 对应的复数也是4＋3i ，∴点A 坐标为(4,3)，∴点A 关于实轴的对称点A 1为(4，－3)，故向量OA 1→对应的复数是4－3i ；(2)依题意知OA 1→＝AA 2→，而OA 1→＝(4，－3)，设A 2(x ，y )，则有(4，－3)＝(x －4，y －3)，∴x ＝8，y ＝0，即A 2(8,0)，∴点A 2对应的复数是8.探究三 复数的模及其计算1．复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离；2．求复数的模时，应先确定复数的实部与虚部，再套用复数模的计算公式计算求解；3．若两个复数相等，它们的模一定相等；反之，两个复数的模相等，这两个复数不一定相等；4．两个复数不一定能比较大小，但复数的模一定可以比较大小．【典型例题4】 (1)若复数z ＝(a －2)＋2a i 的模等于5，则实数a 的值等于________． (2)若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 解析：(1)由已知可得a －22＋2a 2＝5， 即5a 2－4a ＋4＝5,5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或－15. (2)由于复数z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－9＝0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝3.这时z ＝12i ，因此|z |＝|12i|＝12.答案：(1)1或－15(2)12 探究四 共轭复数及其应用复数z 的共轭复数用z 来表示，即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )．在复平面内，点Z (a ，b )对应复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )；点Z (a ，－b )对应复数z ＝a －b i(a ，b ∈R )，点Z 和Z 关于实轴对称．【典型例题5】 已知x －1＋y i 与i －3x 是共轭复数，求实数x 与y 的值．思路分析：根据共轭复数及复数相等的概念列方程组求x ，y .解：i －3x 的共轭复数为－3x －i ，所以x －1＋y i ＝－3x －i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－3x ，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝14，y ＝－1.。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数
3.1.2 复数的几何意义一、教学目标：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式得出其对应的点及向量。
二、教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式得出其对应的点及向量。
三、教学难点:根据复数的代数形式得出其对应的点及向量。
四、教学过程：（一）复习引入：1．复习复数的定义、代数形式、相等和分类。
2. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。
14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---。
3．复数(4)(3)z x y i =++-，当,x y 取何值时为实数、虚数、纯虚数？4. 若(4)(3)2x y i i ++-=-，试求,x y 的值。
（二）推进新课1、讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？分析：根据复数的代数形式和复数相等的定义，可知复数z =a +bi (a 、b ∈R )它是由实部a 和虚部b 同时确定，即由有顺序的两个实数，也就是有序实数对（a ，b ）确定的。
由于有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数与平面内的点可以建立一一对应。
如图，点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数。
除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
例如，在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i 。
2、复数的一种几何意义复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点Z(a ，b) 例1：在复平面内描出复数14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---分别对应的点。
2018年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义学案 苏教版选修1-2
3.3 复数的几何意义问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？提示：可以．问题2：试说明理由．提示：因复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.已知复数z＝a＋b i(a，b∈R)．问题1：在复平面内作出复数z所对应的点Z.提示：如图所示．问题2：向量OZ和点Z有何关系？提示：有一一对应关系．问题3：复数z＝a＋b i与OZ有何关系？提示：也是一一对应．1．复数与点，向量间的对应关系2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ ，则OZ 的模叫做复数z 的模(或绝对值)，记作|z |，且|z |＝如图1OZ 、2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应．问题1：试写出1OZ 、2OZ 及1OZ ＋2OZ 、1OZ －2OZ 的坐标． 提示：1OZ ＝(a ，b )，2OZ ＝(c ，d )，1OZ ＋2OZ ＝(a ＋c ，b ＋d )，1OZ －2OZ ＝(a －c ，b －d )．问题2：向量1OZ ＋2OZ 及1OZ －2OZ 所对应的复数分别是什么？ 提示：(a ＋c )＋(b ＋d )i 及(a －c )＋(b －d )i.1．复数加法的几何意义设向量1OZ ，2OZ 分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且1OZ 和2OZ 不共线．如图，以1OZ ，2OZ 为邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，则其对角线OZ 所表示的向量OZ OZ 就是复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．2．复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设1OZ ，2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 相对应，且1OZ ，2OZ 不共线，如图．则这两个复数的差z 1－z 2与向量1OZ －2OZ (等于21Z Z )对应，这就是复数减法的几何意义． 3．设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝a －c2＋b －d2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．1．复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同的．[例1] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在下列位置？ (1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x －y －3＝0上？[思路点拨] 利用复数与复平面内点之间的对应关系求解．若已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则当a <0且b <0时，复数z 对应的点在第三象限；当a >0且b <0时，复数z 对应的点在第四象限；当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．[精解详析] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数． 若已知复数z ＝a ＋b i ，则当a ＜0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第三象限； 当a ＞0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第四象限； 当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 在第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 在第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值．1．(湖北高考改编)在复平面内，复数 z ＝2i1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应点位于第________象限．解析：z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i （1－i ）2＝i ＋1的共轭复数为1－i ，对应的点为(1，－1)在第四象限．答案：四2．求当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上．解：(1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5，－7<m <4.即－7<m <3.故当－7<m <3时，复数z 的对应点位于第四象限．(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0 ①m 2＋3m －28＝0 ②由②得m ＝－7或m ＝4. 因m ＝－7不适合不等式①，m ＝4适合不等式①，所以m ＝4.故当m ＝4时，复数z 的对应点位于x 轴的负半轴上．[例2] 已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|的值并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点z 的集合是什么图形．[思路点拨] 由复数的模长公式求出|z 1|及|z 2|，然后比较大小；(2)根据点数模的几何意义画出图形． [精解详析] (1)|z 1|＝|3－i|＝（3）2＋（－1）2＝2，|z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1， 所以|z 1|＞|z 2|. (2)由(1)知1≤|z |≤2，因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．[一点通] (1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离．3．(辽宁高考改编)复数z ＝1i －1的模为________． 解析：∵z ＝1－1＋i ＝－1－i （－1＋i ）（－1－i ）＝－1－i2＝－12－12i ，∴|z |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 答案：224．已知z ＝3＋a i ，且|z －2|＜2，则实数a 的取值范围是________．解析：∵z ＝3＋a i ，∴z －2＝1＋a i ，∴|z －2|＝1＋a 2<2，即1＋a 2<4，∴a 2<3，即－3<a < 3. 答案：(－3，3)5．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？ 解：法一：由|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ 的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5. 因此满足条件的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以5为半径的圆． 法二：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2. ∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25， ∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的C 圆.[例3] 已知▱OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO表示的复数；(2)CA表示的复数；(3)点B对应的复数．[思路点拨] 点O，A，C对应的复数――――――→向量的坐标表示AO，CA，OB的坐标形式――――――→复数在复平面上与向量一一对应AO，CA，OB对应的复数[精解详析] (1)AO＝－OA，故AO表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.(2)CA＝OA－OC，故CA表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB＝OA＋AB＝OA＋OC，故OB表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即点B对应的复数为1＋6i.[一点通] (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．(3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．6．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋2i在复平面内对应的点分别为A、B，求AB―→对应的复数z，z在平面内对应的点在第几象限？解：z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，∵z的实部－1<0，虚部1>0，∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内．7．在复平面内，点A、B、C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i.以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．解：如图，由复数加减法的几何意义，AD＝AB＋AC，即z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)．所以z4＝z2＋z3－z1＝7＋3i.|AD|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.1．复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i)；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ ―→是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ ―→相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离．一、填空题1．若OA 、OB 对应的复数分别是7＋i,3－2i ，则|AB |＝________. 解析：∵OA ＝(7,1)，OB ＝(3，－2)， ∴AB ＝OB －OA ＝(－4，－3)， ∴|AB |＝5. 答案：52．(重庆高考改编)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于第________象限． 解析：i(1－2i)＝2＋i 对应的点为(2，1)，位于第一象限． 答案：一3．若z ＋|z |＝2＋8i ，则z ＝________． 解析：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i.所以⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8，所以z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部．于是|z |＝（2－|z |）2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2， ∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i. 答案：－15＋8i4．已知z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，若z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________． 解析：z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝5＋(a ＋1)i ，由z 1＋z 2所对应的点在实轴上可知a ＋1＝0，即a ＝－1. 答案：－15．(新课标全国卷Ⅰ改编)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝________．解析：11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）·（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22. 答案：22二、解答题6．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合． 解：由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，－（4m 2－8m ＋3）>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.7．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB ，BC ，AC 对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．解：(1)AB 对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i. BC 对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.AC 对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB |＝|1＋i|＝2，|BC |＝|－3＋i|＝10，|AC |＝|－2＋2i|＝22，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2. 故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB |·|AC |＝12×2×22＝2.8．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值．解：已知|z －(－2＋2i)|＝1中，z 的对应点轨迹是以(－2，2)为圆心，1为半径的圆，|z －(2＋2i)|表示圆上的点与点(2，2)之间的距离，最小值为圆心与点(2，2)的距离减去半径，易得值为3.。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义导学案新人教A版选修1_2
复数的几何意义学习目标：1.能知道复平面、实轴、虚轴等概念．2．能用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．3．能知道复数模的概念，会求复数的模．重点：重点：1.理解并掌握复数的几何意义，并能适当应用．2．复数的模．难点：复数的几何意义．方法：合作探究一新知导学1．复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做__________，y轴叫做__________，实轴上的点都表示实数，除了__________外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)每一个复数都由它的__________和__________唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是__________关系．(2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是_______，不是(a，bi)．(3)复数与复平面内____________的向量也可以建立一一对应关系．如图：在复平面内复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点___或向量表示复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)和向量的一一对应关系如右上图：牛刀小试1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是( )A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称课堂随笔:2．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限 3．设复数z ＝a ＋bi 对应的点在虚轴右侧，则( ) A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．b ＞0，a ∈R D ．a ＞0，b ∈R 3．复数的模 复数z ＝a ＋bi(a 、b ∈R)对应的向量为O ，则O 的模叫做复数z 的模，记作|z|且|z|＝a2＋b2 当b ＝0时，z 的模就是实数a 的绝对值． 4．复数模的几何意义 复数模的几何意义就是复数z ＝a ＋bi 所对应的点Z(a ，b)到原点(0,0)的__________． 由向量的几何意义知，|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的__________． 牛刀小试 4．(2014·武汉市调研)复数z ＝m(3＋i)－(2＋i)(m ∈R，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．复数i ＋i2的模等于__________. 6．设复数z 的模为17，虚部为－8，则复数z ＝________. 7．比较复数z1＝3＋4i 及z2＝－12－2i 的模的模的大小．命题方向（一）复数的几何意义 【例一】在复平面内，若复数z ＝(m2＋2m －8)＋(m2－3m ＋2)i 对应的点分别满足下列要求，试求复数z ： 在虚轴上(不包括原点)； (2)在实轴负半轴上； (3)在第一、三象限的角平分线上．跟踪训练１：若复数(m2－3m －4)＋(m2－5m －6)i 对应的点在虚轴上，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．4 C ．－1和4 : D ．－1和6 命题方向（二）复数模的计算 【例二】已知复数z 满足z ＋|z|＝2＋8i ，求复数z. 跟踪训练2：下列各复数的模不是1的为( ) －i B ．i C ．12－32i D ．12＋12i命题方向（三）综合应用 【例三】 已知复数z ＝3＋ai ，且|z|＜4，求实数a 的取值范围． 跟踪训练3：若z ＋|z|＝2，则复数z ＝__________. （四）准确掌握复数模的几何意义 【例四】已知复数z 满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．1个圆 B ．线段 C ．2个点 D ．2个圆 课时小结： 课后作业 一、选择题 1．复数z ＝－2＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限后记与感悟:2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3i D ．33．复数z ＝1＋(2－sinθ)i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．复数z 与它的模相等的充要条件是( )A ．z 为纯虚数B ．z 是实数C ．z 是正实数D ．z 是非负实数5．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．26．已知平行四边形OABC ，O 、A 、C 三点对应的复数分别为0、1＋2i 、3－2i ，则向量AB →的模|AB →|等于( )A ． 5B ．2 5C ．4D ．13二、填空题7．已知复数x2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是________.8．已知复数z1＝－2＋3i 对应点为Z1，Z2与Z1关于x 轴对称，Z3与Z2关于直线y ＝－x 对称，则Z3点对应的复数为z ＝________.9．若复数z ＝(m2－9)＋(m2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z|＝________.三、解答题10．如果复数z ＝(m2＋m －1)＋(4m2－8m ＋3)i(m ∈R)对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．答案：牛刀小试 1、B ； 2、C ； 3、D ； 4、B 5、2；6、±15－8i ；7、|z1|＞|z2|例一 解析：(1)若复数z 对应的点在虚轴上(不包括原点)，则m2＋2m －8＝0且m2－3m ＋2≠0，∴m ＝－4，此时z ＝30i.(2)若复数z 对应的点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧ m2＋2m －8<0，m2－3m ＋2＝0，解得m ＝1，此时z ＝－5.(3)若复数z 对应的点在第一、三象限的角平分线上，即在直线y ＝x 上，即m2－3m ＋2＝m2＋2m －8，∴m ＝2，此时z ＝0.跟踪训练 1、C例二 解析：设z ＝a ＋bi(a ，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a ，b.解法一：设z ＝a ＋bi(a 、b ∈R)，则|z|＝a2＋b2，代入方程得a ＋bi ＋a2＋b2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧ a ＋a2＋b2＝2b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－15b ＝8.∴z ＝－15＋8i.解法二：原式可化为z ＝2－|z|＋8i ，∵|z|∈R ，∴2－|z|是z 的实部，于是|z|＝(2－|z|)2＋82，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17.代入z ＝2－|z|＋8i 得z ＝－15＋8i.跟踪训练2、D例三 解析：解法一：∵z ＝3＋ai(a ∈R)，∴|z|＝32＋a2，。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义知识导航学案苏教版选修
3.3 复数的几何意义知识梳理1.复数的点表示如图3-3-1所示，点Z 的横坐标是a,纵坐标是b ，复数Z=a+bi 可用点Z(a,b)表示，这个建立直角坐标系来表示复数的平面叫做_____________，x 轴叫做_____________,y 轴叫做_____________.显然，实轴上的点都是实数；除了____________外，虚轴上的点都表示纯虚数.图3-3-1按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.由此可知，复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即_____________.2.复数的向量表示设复平面内的点Z 表示复数Z=a+bi ，连结OZ ，显然向量是由点Z 惟一确定的；反过来，点Z （相对于原点来说）也是由向量惟一确定的.因此，复数集C 与复平面内的向量所构成的集合也是一一对应的（实数O 与零向量对应），即_____________.3.复数的模（1）向量OZ 的模r ，叫做复数Z=a+bi 的_____________，记作|Z|或|a+bi|.如果b=0，那么Z=a+bi 是一个实数a,它的模等于|a|（也就是a 的绝对值）.由模的定义知|Z|=|a+bi|=r=_____________.(r≥0,r∈R )（2）为方便起见，我们常把复数Z=a+bi 说成点Z 或说成向量，并且规定，相等的向量表示_____________.4.复数的加减法的几何意义复数的加、减法的几何意义，即为向量的合成与分解：平行四边形法则，可简化成三角形法则，如图3-3-2，OZ 表示复数_____________，21Z Z 表示_____________，即OZ =_____________，21Z Z =_____________.图3-3-2知识导学复数的向量表示，复数的点表示，概念不容易理解.复数Z=a+bi,复平面内的点Z(a,b)，以原点为起点的平面向量OZ 具有一一对应关系，另外，复数的加减法的几何意义，实际上遵循的是向量的平行四边形法则（三角形法则），因此复习平面向量的有关知识是必要的.可以采用相类比的办法来理解三者的对应关系及复数加减法的几何意义.疑难突破1.复数与点、向量间的对应每一个复数，在复平面内都有惟一的点和它对应；反过来，每一个点都有惟一的复数和它对应.因此复数集C 和复平面内所有点所成的集合是一一对应.因为有这种一一对应关系，才有复数的点表示.同理，复数Z=a+bi 与平面内以原点为起点的向量也具有一一对应关系，因此也有复数的向量表示.2.复数加法的几何意义复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.如图3-3-3所示，已知复数Z 1=x 1+y 1i,Z 2=x 2+y 2i 及其对应的向量OZ =（x 1，y 1), 2OZ =(x 2，y 2).以1OZ ，2OZ 为两条邻边作平行四边边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 表示的向量OZ =1OZ +2OZ =（x 1+x 2,y 1+y 2)，这正是两个复数之和Z 1+Z 2所对应的有序实数对.图3-3-33.复数减法的几何意义实质为平面向量的三角形法则，向量12Z Z 对应两个复数的差Z 1-Z 2，作12Z Z OZ =，则点Z 也对应复数Z 1-Z 2，要特别注意的是12Z Z 差向量指向的是被减数.典题精讲【例1】 在复平面内，点A 、B 、C 分别对应复数Z 1=1+i,Z 2=5+i,Z 3=3+3i,以AB 、AC 为邻边作一平行四边形ABCD ，求D 对应的复数Z 4及AD 的长.思路分析：本题考查复数的几何意义，首先画出图形，结合向量用已知的向量表示所求的向量再得出所求的复数.解：由复数的加减法的几何意义+=即Z 4-Z 1=（Z 2-Z 1）+（Z 3-Z 1）∴Z 4=Z 2+Z 3-Z 1=7+3i|AD|=|Z 4-Z 1|=|（7+3i)-(1+i)=|6+2i|=102.绿色通道：复数的加减法的几何意义，复数的向量表示本身就是研究图形的有关性质，因此在解题时要注意利用图形的平面性质去解决有关问题.【变式训练】 设复平面上两个点Z 1和Z 2所对应的复数Z 1=1，Z 2=2+i ，以这两个点为顶点作正三角形，求正三角形的第三个顶点Z 3所对应的复数Z 3.思路分析：本题考查复数的几何意义及运用图形的能力.要注意先由题意画出符合条件的图形共有2个.[解]如图，作Z 2A ，Z 3B 分别垂直于x 轴，已知｜Z 1A ｜=1，｜AZ 2｜=1，｜Z 1Z 2｜=2，∵△Z 1Z 2Z 3为正三角形∴｜Z 1Z 3｜=｜Z 1Z 2｜=2，∠Z 3Z 1B=75°故有｜BZ 3｜=｜Z 1Z 3｜sin75°=231+，｜BZ 1｜=｜Z 1Z 3｜cos75°=213-. ｜OB ｜=｜OZ 1｜-｜BZ 1｜=233-. ∴Z 3=21(3-3）+21(1+3)i 同样可得. Z 3′＝21(3+3)+21(1-3)i. 【例2】 已知点集D={Z||Z+1+i 3|=1,Z∈C }，试求|Z|的最大值和最小值.思路分析：本题考查复数模的意义|Z+1+i 3|=1可看出Z 1到点（-1,3-)的距离为1，因此可画出图形结合图形求解.解：点集D 的图象为以点C （-1,3-)为圆心，以1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数Z ，则||=|1Z |由图知，当OP 过圆心C （-1，3-）时与圆交于A 、B ，则|Z|的最小值是|OA|=|OC|-1=22)3()1(-+--1=2-1=1，即|Z|min =1；|Z|的最大值是|OB|=|OC|+1=2+1=3，即|Z|max =3.绿色通道：把代数问题转化为几何问题，这是数形转化的一种形态，是常用的数学思维方法. 黑色陷阱：由于此题中的条件具有较明显的几何意义，最好采用数形结合的方法处理可简化运算.若用代数方法化简将会很复杂.【变式训练】 已知Z=3+ai 且|Z-2|＜2，求实数a 的取值范围.思路分析：本题可以从代数方法入手去掉模得出关于a 的不等式；也可从几何意义出发得出对应的图形，利用数形结合解决.[解法1]利用模的意义，从两个已知条件中消去Z∵Z=3+ai（a∈R ）由｜Z-2｜＜2得｜3+ai-2｜＜2即｜1+ai ｜＜2， ∴221a +＜2,解得3-＜a ＜3.[解法2]利用复数的几何意义，由条件｜Z-2｜＜2可知Z 在复平面内对应的点Z ，在以（2，0）为圆心2为半径的圆内（不包括边界）.如图所示，由Z=3+ai 可知，Z 对应的点在直线x=3上，所以线段AB （除去端点）为动点的集合，由图知3-＜a ＜3.【例3】 已知Z 1=x+5+yi,Z 2=x-5+yi 且x∈R ,y∈R ,|Z 1|+|Z 2|=6,求f(x,y)=|2x-3y-12|的最值.思路分析：本题主要考查复数的几何意义，要结合几何图形来考虑问题.解 ∵|Z 1|+|Z 2|=6 ∴2222)5()5(y x y x +-=++=6.它是2a=6,a=3,c=5,b=2的一个椭圆，其标准方程为4922y x +=1，由椭圆的参数方程知⎩⎨⎧==.sin 2,cos 3θθy x ∴f(x,y)=|2x -3y-12|=｜6cos θ-6sin θ-12|=6|cos θ-sin θ-2|=6|2sin(θπ-4)-2|当θ=4π-时，即x=223,y=2-时， f(x,y)min =6|2-2|=12-62;当θ=43π,即x=-223,y=2时，f(x,y)max =6|2+2| =12+62.绿色通道：确定复数Z 用到两个条件，在应用时可以分别从形和数两个方面进行解析：（1）从形入手，积累一些常见结论是很有必要的.如|Z-Z 1|=|Z-Z 2|表示线段Z 1Z 2的中垂线；|Z-Z 1|=定值，表示以Z 1为圆心的圆.|Z-Z 1|+|Z-Z 2|=2a(2a ＞|Z 1Z 2|)表示以Z 1、Z 2为焦点的椭圆等.（2）从数入手就是设复数的代数形式，将复数问题转化为实数问题，而复数相等是转化的桥梁.（可得到两个实数等式所组成的方程组）.【变式训练】 设虚数Z 满足|2Z+5|=|Z +10|（1）求|Z|的值；（2）若Zm m Z +为实数，求实数m 的值； （3）若（1-2i)Z 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数Z.思路分析：本题主要考查复数的基本运算，设Z=x+yi ，将复数问题转化为实数问题是常见的解题思路.解:（1）设Z=x+yi （x 、y∈R ，且y≠0）则（2x+5）2+（2y ）2=（x+10）2+y 2，得到x 2+y 2=25，∴｜Z ｜=5.（2）∵yix m m yi x Z m m Z +++=+ =)()(2222yx my m y y x mx m x +-+++i 为实数. ∴22yx my m y +-=0.又y≠0且x 2+y 2=25， ∴251m m -=0.解得m=±5. （3）（1-2i ）Z=（1-2i ）（x+yi ）=（x+2y ）+（y-2x ）i依题意得x+2y=y-2x ，∴y=-3x ①又∵｜Z ｜=5即x 2+y 2=25 ② 由①、②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2103210y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2103210y x ∴Z=i 2103210-或Z=i 2103210+-问题探究模的几何意义导思：模的几何意义与向量，解析几何的有关问题联系密切.在现在的高考中复数的考查经常出现此类问题.因为模本身表示的是一种长度，向量与解析几何也与图形有关，因此研究此类问题时要联系图形，考查数形结合的思想.探究：（1）|Z|的模表示Z 对应的点到原点的距离.（2）|Z 1-Z 2|表示复平面两点间的距离.（3）|Z-Z 0|=r 表示以Z 0为圆心，r 为半径的圆的方程.（4）|Z-Z 1|=|Z-Z 2|表示线段Z 1Z 2的中垂线的方程.（5）|Z-Z 1|+|Z-Z 2|=2a(a ＞0，且2a ＞|Z 1Z 2|）表示以Z 1Z 2为焦点，a 为长半轴的椭圆方程.（6）Z 1Z 2≠0则|Z 1+Z 2|=|Z 1-Z 2|⇔对应的两个向量1OZ ⊥2OZ .（7）复数Z 1、Z 2、Z 3对应的点分别为A 、B 、C ，则AB 的中点对应的复数为221Z Z +，△ABC 的重心所对应的复数为3321Z Z Z ++.。
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-在电气工程、量子物理学等领域中的应用。
-解决平面几何问题，如点到直线的距离、线段的中点等。
5.复平面
-复平面的概念：复数在复平面上的表示，类似于实数在实数轴上的表示。
-复平面上的区域：实轴、虚轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
-复数的模长和相位（角度）：复数在复平面上的点与原点的距离和该点与实轴正半轴的夹角。
-提供拓展资源：推荐一些关于复数应用的学术文章和在线课程，供学有余力的学生进一步探索。
-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生个性化的反馈和指导。
学生活动：
-完成作业：认真完成作业，加强对复数几何意义的记忆和理解。
-拓展学习：利用教师提供的资源，对复数的更深入的应用进行探索。
-反思总结：回顾学习过程，总结自己在复数学习中的收获和不足，提出改进措施。
核心素养目标
本节内容致力于深化学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模及数学运算等核心素养。通过探究复数的几何意义，提升学生将抽象数学概念具体化的能力，培养其在复杂问题中抽象出关键数学要素的数学抽象素养。在逻辑推理方面，引导学生通过复数运算规律推导出复数模长的性质，加强学生运用数学语言进行逻辑论证的能力。同时，通过复平面的构建和复数在几何中的应用，强化学生数学建模及空间想象能力。此外，课程将贯穿数学运算的训练，使学生能够熟练进行复数相关运算，提高数学运算的准确性和效率。
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科目
授课时间节次
--年—月—日（星期——）第—节
指导教师
授课班级、授课课时
授课题目
（包括教材及章节名称）
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高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义212数学
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解答
反思与感悟 按照复数和复平面内所有点构成的集合之间的一一对应关系， 每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个(zhè ge)有序实 数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.
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跟踪训练1 求当实数m为何值时，复数(fùshù)z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i
a＝－12， 解得b2＝34，
∴|z1－2/12/2102|1＝|(a＋bi)－1|＝ a－12＋b2＝ －12－12＋34＝ 3.
解答
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类型(lèixíng)三 复数加、减法的几何意义
例3 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别(fēnbié)对应的复数为0，3＋ 2i，－2＋4i.
例2
已知复数 z1＝
3－i
及
z2＝－12＋
3 2 i.
(1)求|z1|及|z2|的值；
解 |z1|＝| 3－i|＝ 32＋－12＝2， |z2|＝－21＋ 23i＝ －122＋ 232＝1.
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答案(dá
(2)设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点z的集合是什么(shén me)图形？
∴Z(0，－3)，复数(fùshù)z＝0＋(－3)i＝－3i.
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解析 答案
2.在复平面内表示复数 z＝(m－3)＋2 mi 的点在直线 y＝x 上，则实数 m＝ __9__. 解析 ∵z＝(m－3)＋2 mi 表示的点在直线 y＝x 上，
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义(教
3。
1.2 复数的几何意义学习目标核心素养1。
理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(重点、难点）2．掌握实轴、虚轴、模等概念. （易混点)3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(重点）1。
通过复数的几何意义的学习,培养学生的直观想象核心素养．2．借助复数在复平面内与点、平面向量的对应关系及复数模的学习及应用,提升学生的数学抽象及数学运算的核心素养。
1．复平面思考：有些同学说,实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数,这句话对吗？[提示］不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．2．复数的几何意义3．复数的模（1)定义：向量错误!的模叫做复数z＝a＋b i的模．(2）记法：复数z＝a＋b i的模记为|z|或｜a＋b i｜且｜z|＝错误!。
1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为（）A．（0,－1）B．(－1，0）C．（0,0）D．（－1，－1）A［复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为（0，－1)．］2．向量a＝（－2, 1)所对应的复数是（)A．z＝1＋2i B．z＝1－2iC．z＝－1＋2i D．z＝－2＋iD[向量a＝（－2，1）所对应的复数是z＝－2＋i。
］3．在复平面内,O为原点,向量错误!对应复数为－1－2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B,则向量错误!对应复数为（)A．－2－i B．2＋iC．1＋2i D．－1＋2iB[由题意知,A点坐标为（－1,－2）,B点坐标为（2,1)，故错误!对应复数为2＋i.］4．已知复数z＝1＋2i（i是虚数单位)，则|z｜＝________。
错误!［∵z＝1＋2i，∴｜z|＝错误!＝错误!。
］复数与复平面内的点的关系1．在复平面上，如何确定复数z＝a＋b i（a，b∈R）对应的点所在的位置?[提示］看复数z＝a＋b i(a，b∈R)的实部和虚部所确定的点的坐标（a，b）所在的象限即可．2．在复平面上,若复数z＝a＋b i（a,b∈R）对应的点在第一象限，则实数a,b应满足什么条件?我们可以得到什么启示？[提示］a〉0，且b〉0.在复平面内复数所表示的点所处位置，决定了复数实部、虚部的取值特征．【例1】求实数a分别取何值时，复数z＝错误!＋(a2－2a－15)i(a∈R）对应的点Z满足下列条件:（1）在复平面的第二象限内；(2)在复平面内的x轴上方．思路探究:错误!→错误!→错误![解]（1）点Z在复平面的第二象限内，则错误!解得a＜－3。
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(一)课件 苏教版选修1-2
交换律 结合律 乘法对加法的分配律
z1z2＝_z2_z_1 (z1z2)z3＝_z_1(_z_2z_3_)_ z1(z2＋z3)＝_z_1_z_2＋__z_1_z_3 _
知识点三 共轭复数
思考
复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积. 答案 两复数实部相等，虚部互为相反数，z1·z2＝a2＋b2，积为 实数.
思考2
复数的加法满足交换律和结合律吗？ 答案 满足.
答案
梳理
(1)复数的加法、减法法则 ①条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数). ②加法法则：z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i ， 减法法则：z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i . (2)运算律 ①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1 . ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) .
3.理解共轭复数的性质
(1)z∈R⇔ z＝z.
(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，这是虚数问题实数化的一个 重要依据.
本课结束
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2021/11/22
知识点二 复数的乘法
思考
如何规定两个复数相乘？ 答案 类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关 于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚 部分别合并.
答案
梳理
(1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i . (2)乘法运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有
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解析 答案
3. 设 复 数 z1 ＝ x ＋ 2i ， z2 ＝ 3 － yi(x ， y∈R) ， 若 z1 ＋ z2 ＝ 5 － 6i ， 则 z1 － z2 ＝ __－__1_＋__1_0_i___.
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.2 复数的几何意
湖北省松滋市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.2 复数的几何意义导学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省松滋市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.2 复数的几何意义导学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.1.2 复数的几何意义【学习目标】1。
理解复平面、实轴、虚轴等概念。
2.理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用。
3。
理解并会求复数的模,了解复数的模与实数绝对值之间的区别与联系。
【重点难点】重点：理解并掌握复数的几何意义.难点：复平面内的点(,),,z a b OZ z a bi=+的关系；复数模的问题。
【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P104-105内容。
并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学。
2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑。
【问题导学】1. 复平面？2.复数的几何意义？(1)（2)3。
复数的模？4。
复平面的虚轴的单位长度是1，还是i？【合作探究】问题1：复数与复平面内点的关系1.复数2z i=对应的点在复平面的（ B ）A. 第一象限内 B. 实轴上C. 虚轴上 D。
第四象限内2。
在复平面内，复数sin2cos2z i=+对应的点位于( D ）A。
第一象限 B. 第二象限C。
第三象限 D。
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几
3.3 复数的几何意义课堂导学三点剖析各个击破一、复数的点表示【例1】 设复数z 满足|z |=5，且(3+4i)z 在复平面上对应点在第二四象限的角平分线上，|2z -m|=52 (m∈R ),求z 和m 的值.解：设z =a +b i(a ,b ∈R )∵|z |=5,∴a 2+b 2=25.而（3+4i ）z =(3+4i)(a +b i)=(3a -4b )+(4a +3b ）i ，又∵(3+4i)z 在复平面上对应点在第二、四象限角平分线上，∴3a -4b +4a +3b =0，得b =7a ，∴a =±22，b =±227，即z =±(22+227i)，2z =±(1+7i). 当2z =1+7i 时，有|1+7i-m|=52，即（1-m ）2+72=50,得m=0,m=2. 当2z =-(1+7i)时，同理可得m=0,m=-2.类题演练 1已知复数x 2-6x+5+(x-2)i 在复平面内对应的点在第三象限，求实数x 的范围. 答案：解：∵x 为实数，∴x 2-6x +5和x -2都是实数.∵复数x 2-6x +5+(x -2)i 在复平面内对应的点在第三象限，∴⎩⎨⎧<-<+-.02,0562x x x∴{.2,51<<<x x解得1<x <2,即1<x <2为所求实数x 的范围.变式提升 1已知复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，且3z 1+(z 2-2)i=2z 2-(1+z 1)i,求z 1和z 2.答案：解:由于z 1、z 2在复平面内的对应点关于原点对称，有z 2=-z 1，代入已知等式，得3z 1+(-z 1-2)i=-2z 1-(1+z 1)i.解得5z 1=i.∴z 1=51i,z 2=-51i. 二、复数的向量表示【例2】向量OA 表示的复数为3+2i ，将向量OA 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，将得到向量A O ''，分别写出. (1)向量A O ''对应的复数；(2)点O '′对应的复数；(3)向量O A ''对应的复数.思路分析：根据复数向量表示的意义及平移知识，一个复数对应的向量在平面内平移，只要不改变方向和模的长，它们表示同一个复数，若模长不变，方向与原来相反，则对应的复数是原向量对应的复数的相反数.解：如右图所示，O 为原点，点A 的坐标为（3，2），向上平移3个单位长度再向左平移2个单位后，点O′的坐标为（-2，3）.点A′的坐标为（1，5），坐标平移不改变OA 的方向和模. （1）向量A O '对应的复数为3+2i;（2）点O '对应的复数为-2+3i;（3）向量O A ''对应的复数为-3-2i.类题演练 2已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0，3+2i ，-2+4i. 试求：(1)AO 表示的复数；（2）表示的复数；（3）B 点对应的复数.答案：解析：（1）OA AO -=，∴AO 表示的复数为-(3+2i)即-3-2i. (2)OC OA CA -=，∴CA 表示的复数为（3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)OC OA AB OA OB +=+=,∴OB 表示的复数为（3+2i ）+(-2+4i)=1+6i,即B 点对应的复数为1+6i,变式提升 2已知两个向量a 、b 对应的复数是z 1=3和z 2=-5+5i ，求向量a 与b 的夹角.答案：解:a =（3，0），b =（-5，5），所以a ·b =-15，|a |=3，|b |=25.设a 与b 的夹角为θ,所以cosθ=2225315-=⨯-=⋅b a b a . 因为0≤θ≤π,所以θ=43π. 三、复数模的几何意义【例3】 设Z∈C ,满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？（1）|z |=4；（2）2<|z |<4.解：（1）如左下图，复数z 的模等于4，就是说，向量OZ 的模等于4，所以满足条件|z |=4的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以4为半径的圆.（2）不等式2<|z |<4可化为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧><.2,4z z 如右上图，不等式|z |<4的解集是圆|z |=4内部所有的点组成的集合，不等式|z |>2的解集是圆|z |=2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2<|z |<4的点Z 的集合.容易看出，点Z 的集合是以原点O 为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.温馨提示满足条件|z |=r(r 为正常数)的点Z 的集合是以原点为圆心、r 为半径的圆.类题演练 3已知点集D={z ||z +1+3i|=1,z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值.答案：解:点集D 的图象为以点C （-1，-3）为圆心，以1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP |=|z |.如右图，当O P 过圆心C (-1,-3)时，与圆交于A 、B ，则|z |的最小值是|O A |=|O C |-1=22)3()1(---1=2-1=1,即|z |min =1；|z |的最大值是|O B |=|O C |+1=2+1=3，即|z |ma x =3.变式提升 3已知z =3+a i ，且|z -2|<2,求实数a 的取值范围.答案：解法一:利用模的定义，从两个已知条件中消去z .∵z =3+ai(a∈R ),由|z -2|<2,得|3+ai-2|<2,即|1+ai|<2,∴221a +<2,解之-3<a<3.解法二:利用复数的几何意义.由条件|z -2|<2可知，z 在复平面内对应的点Z ，在以（2，0）为圆心，2为半径的圆内（不包括边界），如右图由z =3+ai 可知z 对应的点Z 在直线x =3上，所以线段AB （除去端点）为动点Z 的集合.由右图知：-3<a<3.。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义教学案2数学教学案
3．3 复数的几何意义[对应学生用书P43]复平面的定义问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？提示：可以．问题2：试说明理由．提示：因复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数的几何意义已知复数z＝a＋b i(a，b∈R)．问题1：在复平面内作出复数z所对应的点Z.提示：如图所示．问题2：向量OZ和点Z有何关系？提示：有一一对应关系．问题3：复数z＝a＋b i与OZ有何关系？提示：也是一一对应．1．复数与点，向量间的对应关系2．复数的模复数z＝a＋b i(a，b∈R)对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数z 的模(或绝对值)，记作|z |，且|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 复数加减法的几何意义 如图1OZ 、2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应．问题1：试写出1OZ 、2OZ 及1OZ ＋2OZ 、1OZ －2OZ 的坐标．提示：1OZ ＝(a ，b )，2OZ ＝(c ，d )，1OZ ＋2OZ ＝(a ＋c ，b ＋d )，1OZ －2OZ ＝(a －c ，b －d )． 问题2：向量1OZ ＋2OZ 及1OZ －2OZ 所对应的复数分别是什么？ 提示：(a ＋c )＋(b ＋d )i 及(a －c )＋(b －d )i.1．复数加法的几何意义设向量1OZ ，2OZ 分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i对应，且1OZ 和2OZ 不共线．如图，以1OZ ，2OZ 为邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，则其对角线OZ 所表示的向量OZOZ 就是复数(a ＋c )＋(b＋d )i 对应的向量．2．复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设1OZ ，2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 相对应，且1OZ ，2OZ 不共线，如图． 则这两个复数的差z 1－z 2与向量1OZ －2OZ (等于21Z Z )对应，这就是复数减法的几何意义．3．设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝a －c 2＋b －d 2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．1．复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同的．[对应学生用书P44]复数的几何意义[例1] 2x－6＋(x2－2x －15)i对应的点Z在下列位置？(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x－y－3＝0上？[思路点拨] 利用复数与复平面内点之间的对应关系求解．若已知复数z＝a＋b i(a，b∈R)，则当a<0且b<0时，复数z对应的点在第三象限；当a>0且b<0时，复数z对应的点在第四象限；当a－b－3＝0时，复数z对应的点在直线x－y－3＝0上．[精解详析] 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．若已知复数z＝a＋b i，则当a＜0，且b＜0时，复数z对应的点在第三象限；当a＞0，且b＜0时，复数z对应的点在第四象限；当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．(1)当实数x满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 在第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 在第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值．1．(湖北高考改编)在复平面内，复数 z ＝2i 1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应点位于第________象限．解析：z ＝2i 1＋i ＝2i 1－i 1＋i 1－i ＝2i 1－i 2＝i ＋1的共轭复数为1－i ，对应的点为(1，－1)在第四象限．答案：四2．求当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限；(2)位于x 轴的负半轴上．解：(1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m <3或m >5，－7<m <4.即－7<m <3.故当－7<m <3时，复数z 的对应点位于第四象限．(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15<0 ①m 2＋3m －28＝0 ②由②得m ＝－7或m ＝4.因m ＝－7不适合不等式①，m ＝4适合不等式①，所以m ＝4.故当m ＝4时，复数z 的对应点位于x 轴的负半轴上． 复数模及其几何意义的应用[例2] 已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i. (1)求|z 1|及|z 2|的值并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点z 的集合是什么图形．[思路点拨] 由复数的模长公式求出|z 1|及|z 2|，然后比较大小；(2)根据点数模的几何意义画出图形．[精解详析] (1)|z 1|＝|3－i|＝32＋－12＝2，|z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝1， 所以|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知1≤|z |≤2，因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．[一点通] (1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离．3．(辽宁高考改编)复数z ＝1i －1的模为________． 解析：∵z ＝1－1＋i＝－1－i －1＋i －1－i ＝－1－i 2 ＝－12－12i ， ∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 答案：224．已知z ＝3＋a i ，且|z －2|＜2，则实数a 的取值范围是________．解析：∵z＝3＋a i，∴z－2＝1＋a i，∴|z－2|＝1＋a2<2，即1＋a2<4，∴a2<3，即－3<a< 3.答案：(－3，3)5．设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？解：法一：由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.这表明向量OZ的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)，则|z|2＝x2＋y2.∵|3＋4i|＝5，∴由|z|＝|3＋4i|得x2＋y2＝25，∴点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．复数加减运算的几何意义[例3] 0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO表示的复数；(2)CA表示的复数；(3)点B对应的复数．[思路点拨]点O，A，C对应的复数――――――→向量的坐标表示AO，CA，OB的坐标形式――――――→AO，CA，OB 对应的复数[精解详析] (1)AO＝－OA，故AO表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.(2)CA＝OA－OC，故CA表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB＝OA＋AB＝OA＋OC，故OB表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即点B对应的复数为1＋6i.[一点通] (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．(3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．6．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋2i在复平面内对应的点分别为A、B，求AB对应的复数z，z在平面内对应的点在第几象限？解：z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，∵z的实部－1<0，虚部1>0，∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内．7．在复平面内，点A、B、C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i.以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．解：如图，由复数加减法的几何意义，AD＝AB＋AC，即z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)．所以z4＝z2＋z3－z1＝7＋3i.|AD|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.1．复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，b i)；(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)O为起点数个．2．复数的模(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模|z|＝a2＋b2；(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离．[对应学生用书P45]一、填空题17＋i,3－2i，则＝________.(7,1)(3，－2)，(－4，－3)，∴|AB |＝5.答案：52．(重庆高考改编)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于第________象限．解析：i(1－2i)＝2＋i 对应的点为(2,1)，位于第一象限． 答案：一3．若z ＋|z |＝2＋8i ，则z ＝________.解析：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－15，b ＝8，所以z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ，∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部．于是|z |＝2－|z |2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2， ∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i.答案：－15＋8i4．已知z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，若z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________.解析：z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝5＋(a ＋1)i ，由z 1＋z 2所对应的点在实轴上可知a ＋1＝0，即a ＝－1. 答案：－15．(新课标全国卷Ⅰ改编)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝________. 解析：11＋i ＋i ＝1－i 1＋i ·1－i ＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22. 答案：22二、解答题6．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．解：由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －2>0，－4m 2－8m ＋3>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧ m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.7．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解：z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i.z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知＝|1＋i|＝2，＝|－3＋i|＝10，＝|－2＋2i|＝22，∴2＋2＝2. 故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|＝12×2×22＝2. 8．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值． 解：已知|z －(－2＋2i)|＝1中，z 的对应点轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，|z －(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)之间的距离，最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径，易得值为3。
2020学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义课件苏教版选修2_2
3.3 复数的几何意义
第3章 数系的扩充与复数的引入
1. 了 解 复 平 面 的 建 立 方 法 、 相 关 概 念 及 复 数 的 几 何 意 义． 2.理解复数模的概念、求法及几何意义． 3．掌握复数加 法和减法的几何意义及应用．
1．复平面的定义 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x 轴叫做_实__轴___， y 轴叫做_虚__轴___．实轴上的点都表示_实__数___．除原点外，虚轴上 的点都表示_纯__虚__数___． [注意] (1)与点 Z(a，b)建立一一对应关系的向量是以原点 O 为 起点，点 Z(a，b)为终点的向量． (2)在复平面上，虚轴是 y 轴，虚轴上的点表示的复数不都是纯虚 数，但表示纯虚数的点都在 y 轴上．
3.已知复数 z1＝ 3－i，z2＝cos θ＋isin θ， (1)求|z1|及|z2|，并比较大小； (2)设 z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点 Z 的集合是什么图形？
解：(1)|z1|＝ ( 3)2＋(－1)2＝2， |z2|＝ cos2θ＋sin2θ＝1.所以|z1|>|z2|. (2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得 1≤|z|≤2. 因为|z|≥1 表示圆|z|＝1 外部及圆上所有点组成 的集合，|z|≤2 表示圆|z|＝2 内部及圆上所有点 组成的集合，故符合题设条件的点的集合是以 O 为圆心，以 1 和 2 为半径的圆所夹的圆环，包括边界(如图所示)．
(2)由题意，知mm22－ ＋83mm＋ －1258<＝00，，①② 由②得 m＝－7 或 m＝4. 因 m＝－7 不适合不等式①，m＝4 适合不等式①， 所以 m＝4. 故当 m＝4 时，复数 z 的对应点位于 x 轴的负半轴上．
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义212数学
解析(jiě 答案
3. 已 知 3 － 4i ＝ x ＋ yi(x ， y∈R) ， 则 |1 － 5i| ， |x － yi| ， |y ＋ 2i| 的 大 小 关 系 为 __|1_－__5_i_|>_|_x_－__yi_|>_|_y_＋__2_i|_.
解析(jiě xī) ∵3－4i＝x＋yi， ∴x＝3，y＝－4.
12/10/2021
第二十五页，共三十八页。
解答
反思与感悟 (1)常用技巧 ①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. ②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几
何之中.
(2)常见(chánɡ jiàn)结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的 点为C，O为坐标原点，则 ①四边形OACB为平行四边形. ②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形. ③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形. ④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形.
当实数 x 满足xx22＋ －2x－x－6<150<，0，
即当－3<x<2时，点Z在第三象限.
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解答
(2)直线(zhíxiàn)x－y－3＝0上.
解 z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应点的坐标(zuòbiāo)为Z(x2＋x－6，x2－2x－15)， 当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0， 即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上.
例2
已知复数 z1＝
3－i
及
z2＝－12＋
3 2 i.
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义教案 新人教A版选修22(1)
§3.1.2复数的几何意义教学目标：1.知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系2. 过程与方法：了解复数的几何意义3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系； 教学难点：虚数单位i 的引进及复数的概念． 教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】 ：我们知道实数可以用数轴上的点来表示。
那么，类比实数的表示，可以用什么来表示复数？一个复数由什么确定？ (二)、探究新知，揭示概念1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =u u u r2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 =-=( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R)与有序实数对(a ，b )是一一对这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中bZ(a ，b)a o y x的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R)可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数（三）、分析归纳，抽象概括在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ uuu r2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ uuu r（四）、知识应用，深化理解 例1下列命题为假命题的是：A 在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；B 在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；C 在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；D 在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；例2 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．解 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2. (1)由题意得m 2－m －2＝0. 解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <2m >2或m <1，∴－1<m <1.(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，故m＝2.例3 求下列复数的模：(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) （五）、归纳小结、布置作业布置作业：课本第106页习题3.1 4 ,5 ,6；。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数
3.1.2复数的几何意义一、教学目标：1.理解复平面、实轴、虚轴等概念.2.理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用.3.理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别与联系.二、教学重点：重点：理解并掌握复数的几何意义.难点：复平面内的点(,),,z a b OZ z a bi =+u u u r 的关系；复数模的问题. 三、教学难点：复数模的问题。
四、教学过程【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P 104-105内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.【问题导学】1. 复平面?2.复数的几何意义？3.复数的模？4.复平面的虚轴的单位长度是1，还是i?【合作探究】问题1：复数与复平面内点的关系1.复数2z i =+对应的点在复平面的（ B ）A. 第一象限内B. 实轴上C. 虚轴上D. 第四象限内2.在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ D ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在复平面内表示复数()3z m =-+的点在直线y x =上，则实数m 的值为 9 .4.已知复数()()2232z x x x i =--+-在复平面内的对应点位于第二象限，求实数x 的取值范围. 解：23x <<问题2：复数与复平面内向量的关系 1.向量1OZ u u u u v 对应的复数是54i -，向量2OZ u u u u v 对应的复数是54i -+，则1OZ u u u u v +2OZ u u u u v 对应的复数是 0 .2. 复数43i +与25i --分别表示向量OA u u u v 与OB uuu v ，则向量AB u u u v 表示的复数是68i --.3.在复平面内，O 为原点，向量OA u u u v 对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为B ，求向量OB uuu v 对应的复数.解：向量OB uuu v对应的复数为：2i -+问题3：复数模的计算与几何意义的应用1.复数()()12,z x y i x y R =++-∈，且3z =，则点Z ()x,y 的轨迹是 以()1,2-为圆心，3为半径的圆 .2.已知()0,z x yi x y R =+∈，且02z =， ()()32z x i y =++-，求复数z 对应的点的轨迹.解：设z a bi=+(),a b R ∈，则 3,2,a x b y =+⎧⎨=-⎩即3,2,x a y b =-⎧⎨=+⎩又Q ()0,z x yi x y R =+∈且02z =,()()2232 4.a b ∴-++=∴复数z 对应的点的轨迹是以()3,2-为圆心，2为半径的圆.2. 设z C ∈，满足下列条件的点的集合分别是什么图形？ (1)4z = ;(2)24z <<解：(1)以原点O 为圆心，4为半径的圆.(2)以原点O 为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.【深化提高】1.若OA u u u v ,OB uuu v 对应的复数分别是7i +，32i -，则AB =u u u v 5 .2. 虚数cos z i θ=的几何图形是 线段PQ ，其中点()()0,1,0,1P Q -，但除去原点 .3. 复数sin z i θ=的几何图形是 线段PQ ，其中点 ()()0,1,0,1P Q - .4.设复数z 满足||5z =且(34)i z +在复平面上对应的点在第二,四象限的角平分线上,||)m m R -=∈,求z 和m 的值.解：22z =+或22z i =--， 2m =±【学习评价】【小结与反思】。
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3.3 复数的几何意义
课堂导学
三点剖析
各个击破
一、复数的点表示
【例1】 设复数z 满足|z |=5，且(3+4i)z 在复平面上对应点在第二四象限的角平分线上，|2z -m|=52 (m∈R ),求z 和m 的值.
解：设z =a +b i(a ,b ∈R )
∵|z |=5,∴a 2+b 2=25.
而（3+4i ）z =(3+4i)(a +b i)=(3a -4b )+(4a +3b ）i ，
又∵(3+4i)z 在复平面上对应点在第二、四象限角平分线上，
∴3a -4b +4a +3b =0，
得b =7a ，
∴a =±22，b =±2
27， 即z =±(
22+227i)， 2z =±(1+7i). 当2z =1+7i 时，
有|1+7i-m|=52，
即（1-m ）2+72
=50,
得m=0,m=2. 当2z =-(1+7i)时，
同理可得m=0,m=-2.
类题演练 1
已知复数x 2-6x+5+(x-2)i 在复平面内对应的点在第三象限，求实数x 的范围.
答案：解：∵x 为实数，∴x 2-6x +5和x -2都是实数.
∵复数x 2-6x +5+(x -2)i 在复平面内对应的点在第三象限， ∴⎩⎨⎧<-<+-.
02,0562x x x
∴{.
2,51<<<x x 解得1<x <2,
即1<x <2为所求实数x 的范围.
变式提升 1
已知复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，且3z 1+(z 2-2)i=2z 2-(1+z 1)i,求z 1和z 2.
答案：解:由于z 1、z 2在复平面内的对应点关于原点对称，有z 2=-z 1，代入已知等式，得3z 1+(-z 1-2)i=-2z 1-(1+z 1)i.
解得5z 1=i.
∴z 1=51i,z 2=-5
1i. 二、复数的向量表示
【例2】向量表示的复数为3+2i ，将向量向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，将得到向量A O ''，分别写出.
(1)向量A O '对应的复数；
(2)点O '′对应的复数；
(3)向量O A ''对应的复数.
思路分析：根据复数向量表示的意义及平移知识，一个复数对应的向量在平面内平移，只要不改变方向和模的长，它们表示同一个复数，若模长不变，方向与原来相反，则对应的复数是原向量对应的复数的相反数.
解：如右图所示，O 为原点，点A 的坐标为（3，2），向上平移3个单位长度再向左平移2个单位后，点O′的坐标为（-2，3）.点A′的坐标为（1，5），坐标平移不改变OA 的方向和模.
（1）向量A O ''对应的复数为3+2i;
（2）点O '对应的复数为-2+3i;
（3）向量O A ''对应的复数为-3-2i.
类题演练 2
已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0，3+2i ，-2+4i. 试求：(1)AO 表示的复数；
（2）CA 表示的复数；
（3）B 点对应的复数.
答案：解析：（1）OA AO -=，
∴AO 表示的复数为-(3+2i)即-3-2i. (2)-=， ∴表示的复数为（3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)+=+=, ∴OB 表示的复数为（3+2i ）+(-2+4i)=1+6i,
即B 点对应的复数为1+6i,
变式提升 2
已知两个向量a 、b 对应的复数是z 1=3和z 2=-5+5i ，求向量a 与b 的夹角.
答案：解:a =（3，0），b =（-5，5），所以a ·b =-15，|a |=3，|b |=25.
设a 与b 的夹角为θ,所以cos θ=2
225315-=⨯-=⋅b a b a . 因为0≤θ≤π,所以θ=4
3π. 三、复数模的几何意义
【例3】 设Z∈C ,满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？
（1）|z |=4；（2）2<|z |<4.
解：（1）如左下图，复数z 的模等于4，就是说，向量OZ 的模等于4，所以满足条件|z |=4的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以4为半径的圆
.
（2）不等式2<|z |<4可化为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧><.
2,4z z 如右上图，不等式|z |<4的解集是圆|z |=4内部所有的点组成的集合，不等式|z |>2的解集是圆|z |=2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2<|z |<4的点Z 的集合.容易看出，点Z 的集合是以原点O 为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.
温馨提示
满足条件|z |=r(r 为正常数)的点Z 的集合是以原点为圆心、r 为半径的圆.
类题演练 3
已知点集D={z ||z +1+3i|=1,z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值.
答案：解:点集D 的图象为以点C （-1，-3）
为圆心，以1为半径的圆，圆上任一
点P 对应的复数为z ，则|OP |=|z |.
如右图，当O P 过圆心C (-1,- 3)时，与圆交于A 、B ，则|z |的最小值是
|O A |=|O C |-1=22)3()1(---1=2-1=1,即|z |min =1；|z |的最大值是|O B |=|O C |+1=2+1=3，即
|z |ma x =3.
变式提升 3
已知z =3+a i ，且|z -2|<2,求实数a 的取值范围.
答案：解法一:利用模的定义，从两个已知条件中消去z .
∵z =3+ai(a∈R ),
由|z -2|<2,得|3+ai-2|<2,
即|1+ai|<2, ∴221a +<2,
解之-3<a<3.
解法二:利用复数的几何意义.由条件|z -2|<2可知，z 在复平面内对应的点Z ，在以（2，0）为圆心，2为半径的圆内（不包括边界），如右图由z =3+ai 可知z 对应的点Z 在直线x =3上，所以线段AB （除去端点）为动点Z 的集合.
由右图知：-3<a<3.。