河北省邢台市南和县实验中学人教版高三数学复习课件：方程的历史(共17张PPT)
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届高三数学一轮复习第12讲函数与方程-理新人教版PPT课件
(2)依题意，函数f(x)＝2tx2＋(2－5t)x＋3的两个零点α，β满
足0<α<1<β<2，且函数f(x)过点(0,3)，
f1＝2t＋2－5t＋3<0 则必有f2＝8t＋4－10t＋3>0
，解得35<t<72.
【拓展演练2】 (1)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数 值用二分法计算，其参考数据如下：
解析：(1)由于f(1.4375)＝0.162>0， f(1.40625)＝－0.054<0， 且|1.40625－1.4375|＝0.03125<0.1，所以由二分法可知其 根在区间(1.40625,1.4375)上，故选C. (2)g(x)的零点在(0， 21 )内，而f(x)＝4x－1的零点为x＝ 14 ， 故选A.
又f(x)在[－4，－
3π＋2 4
]上递增，在[－
3π＋2 4
，－2]上递
减，
所以f(x)在[－4，－2]上恒大于0，
故函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x在区间[－4，－2]上无零点，
故选A.
(2)函数f(x)的零点个数，即为方程f(x)＝0的根的个数．
x≤0 由x2＋2x－3＝0
或x－>02＋ln x＝0
(2)(改编)若关于x的方程2tx2＋(2－5t)x＋3＝0的两实根
α，β满足0<α<1<β<2，则实数t的取值范围是____________．
解析：(1)因为函数f(x)＝2x－
2 x
－a在区间(1,2)是增函数，则
由条件可知f(1)f(2)<0，
所以(2－2－a)(4－1－a)<0，
人教课标版《函数与方程》ppt完美课件1
12
1
(2)a5,数列 a的通项公式为
12
n
a a (n 1)1 n 7.
n
1
2
b 1 1 1 1 .
n
a n
n7
2
函数f
(x)
1
x
1
7
在(,
7)和(7 ,)上是单调函数，
22
2
b b b 1;当n 4时，1 b b .
3
2
1
n
4
(3)由b 1 1,得b 1 1 .
n
a
n
na 1
n
的等差数列，它的前n项和为Sn，S42S24,bn （1）求公差d的值；
1an. an
（2）若 a 1 值；
5, 2
求数列{bn}中的最大项和最小项的
（3）若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取 值范围.
解 （1）∵S4=2S2+4，
4 a 4 3 d 2 (2 a d ) 4 .解 d 得 1 .
依题意，O为AB中点，所以 PAPB2PO,
( P P A ) • P B 2 C P • P O C 2 x ( 1 x )0 (x 1 ). 问题转化为求函数t=2x2-2x,x∈［0，1］的最小值 问题. t2x22x2(x1)21.
22
当x1时，t有最小值 1.为
2
2
故(PAPB )•PC 的最小值 1. 为
【例1】（2009·江苏调研）已知命题“在等差数列
{an}中，若3a3+a9+a( )=30，则S13=78”为真命题， 由于印刷问题，括号内的数模糊不清，可以推得
其中的数为 17 . 分析 由S13=78，可得关于a1与d的方程,设括号内 数为x,可得关于a1，d的方程，联立可解得x=17. 解析 设等差数列{an}公差为d,首项为a1,括号内 为x,依题意有：
数学5.方程的意义｜人教版(共20张PPT)优秀课件
不
是
•
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电
:
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你
的
第
一
部
戏
有
没
有
胆
怯
，
像
费
里
尼
拍
第
一
部
戏
时
就
穿
戴
得
很
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
爬
上
来
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我
清
楚
怎
么
运
作
这
个
东
西
(
电
影
拍
摄
)
所
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为
什
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很
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我
不
想
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。
你
可
以
说
但
是
当
我
拍
完
一
个
镜
头
，
下
一
个
镜
头
试
完
镜
后
我
希
望
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
，
1
5
分
钟
后
你
还
没
有
弄
完
我
就
用
规
先
审
后
敲
《方程的复习课》课件
二元一次方程组的应用
总结词
二元一次方程组在日常生活和科学研究中有着广泛的 应用，如路程问题、工资问题、经济问题等。
详细描述Байду номын сангаас
二元一次方程组在许多实际问题中都有应用，例如在路 程问题中，我们可以使用二元一次方程组来表示两个物 体的相对位置和速度；在工资问题中，我们可以使用二 元一次方程组来表示工人和雇主之间的利益关系；在经 济问题中，二元一次方程组可以用来描述供求关系、价 格变动等问题。此外，在物理学、化学、工程学等领域 中，二元一次方程组也经常被用来描述各种现象和规律 。
04
方程的解法技巧
消元法
总结词
通过消除两个变量，简化方程组的方 法。
详细描述
消元法是一种常用的解线性方程组的 方法，通过加减消元或代入消元的方 式，将方程组中的变量消除，从而得 到一个或多个简单的一元一次方程， 进而求解出方程组的解。
代入法
总结词
通过将一个方程的解代入另一个方程，求解 未知数的方法。
详细描述
代入法是解线性方程组的一种基本方法，通 过将一个方程的解代入另一个方程，将一个 未知数消除，从而将问题简化为一个一元一 次方程，进而求解出未知数的值。
公式法
总结词
通过对方程进行变形，将其转化为标准形式 ，然后使用公式求解的方法。
详细描述
公式法是一种通用的解线性方程组的方法， 通过对方程进行变形，将其转化为标准形式 ，然后使用公式求解未知数的值。这种方法 适用于任何线性方程组，但需要对方程进行
适当的变形。
图像法
总结词
通过绘制方程的图形，直观地求解未知数的方法。
详细描述
图像法是一种直观的解线性方程组的方法，通过绘制 方程的图形，可以直观地观察到方程的解。这种方法 适用于一些简单的线性方程组，但需要具备一定的几 何基础。
精品文档高三数学函数与方程演示课件
1、若函数在区间[1，2]上有零点，则下列说法正确的是（）
A,f(1)f(2)0
C,f(1)f(2)0
B,f(1)f(2)0
D，无法确定
2 .方 程 x 2 0 在 [ - 1 , 1 ] 内 存 在 ( ) 个 实 数 解 .
( A ) 0 ( B ) 1
( C ) 2 ( D ) 3
3,关于x的不等式ax2 bx2 0的解集是 (-,-12)(13,),则ab等于( ) A.24 B.24 C.14 D.14
1.若函数f (x) ax b有一个零点是2,
那么函数g(x) bx2 ax的零点是________
2.对于函数f (x) x mx n,若f (a) 0, f (b) 0
则函数f (x)在区间(a,b)内
A.一定有零点
B.一定没有零点
C.可能有两个零点 D.至多有一个零点
3.集合A {(x, y) y x2 mx 2}, B {(x, y) x y 1 0, x[0,2]}
延伸·拓展 设 函 数 f(x)=x2+2bx+c (c<b<1),f(1)=0 且 方 程 f(x)+1=0有 实 根 . (1)证 明 :-3<c0,b0 (2)若 m 是 方 程 f(x)+1=0的 一 个 实 根 ,判 断 f(m -4)的 正 负 并 加 以 证 明 .
第九页，共13页。
探索创新
第六页，共13页。
能力·思维·方法
例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点 1. f(x)x23x18, x[1,8] 2. f(x)x3x1 x[1,2] 3. f(x)log2(x 2)x x[1,3]
点评： （1）函数的零点存在性问题常用的办法有三种，一是用定理，二 是解方程，三是用图象。（2）三次函数问题是近几年高考的热点问 题，解决这类问题主要是抓住图象的零点、特殊点的函数值、图 象的变化趋势等各方面综合考虑。
超实用高考数学复习教学课件： 第1讲 函数与方程思想
∴8＝2px0，①
点 A(x0,2 2)在圆 x2＋y2＝r2 上，
∴x20＋8＝r2，②
点 Dp2，
5在圆 x2＋y2＝r2 上，
∴5＋p22＝r2，③ 联立①②③，解得 p＝4(负值舍去)，
即 C 的焦点到准线的距离为 p＝4．故选 B．
(2)因为∠PAQ＝60°，|AP|＝|AQ|，
所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，
• 函数与方程思想在不等式中的应用 • 函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的 图象和性质可解决相关的问题、常涉及不等式恒成立问题、比较大
小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．
应用二 函数与方程思想在数列中的应用
典例2
(1)(2020·泰安模拟)已知函数 f(x)＝x3＋lg( x2＋1
＝
1＋2471RR22＝ 27.
• 解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量 经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以 通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范 围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解 答．
做题时要善于总结。不仅总结方法，也要总结错误。这样，作完之后才会有 所收获，才能举一反三。
第三轮复习，即考前冲刺复习阶段
在这个阶段我们应该大量做一些练习，要做题先要选题，高考真题一定是
最好的练习题！因此建议一定要好好做一下最十年以来的高考试卷，包括全国 卷和地方卷，其次最好能找到近5年以来各区的统考试题，在做题的过程中来巩 固前面复习过的考点。同时最后的复习别忘了课本，特别是在考前应该再次翻 开课本把里面公式和定理再看看，把典型的例题再做做，因为书上的例题毕竟 比较简单，在考前做例题一是防止手生，便于高考正常发挥，一是有助于提高 我们的自信心。
高三数学高三二轮复习函数与方程思想PPT
第一讲 函数与方程思想——求解数学问题最用运动和变化的观点，分析和研究数学中 的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质 去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想． 2．方程的思想 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立 方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用 方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想.
2创新应用 应用 1 函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用 [典例 1] (1)(2016· 全国卷Ⅲ)已知 f(x)为偶函数， 当 x＜0 时， f(x)＝ln( －x)＋3x，则曲线 y＝f(x) 在点(1，－3)处的切线方程是 ________． (2)(2016· 天津卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 且在区间 － (－∞，0)上单调递增．若实数 a 满足 f(2|a 1|)＞f(－ 2)，则 a 的 取值范围是________．
[反思领悟] (1)本题是数列与不等式交汇，在第(1)问中，是 由一元二次不等式转化为数列， 而第三问借助于函数的单调性证 明不等式成立， 在证明中， 利用了函数思想， 要注意定义域范围． (2) 求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系， 将条件进行准确转化；对于函数的有关性质，主要利用函数的单 调性或有界性来求解数列中的最值． 但由于数列的通项是一类特 殊的函数，所以借助函数的性质研究数列问题，一定要注意数列 中的自变量只能取正整数这一特点．
1 3 (2) ， 2 2
利用偶函数的对称性和函数单调性的定义将函
数值大小关系转化为不等式求解． ∵ f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴ 在(0，＋∞)上单调递减，f(－ 2)＝f( 2)， 1 |a－1| |a－1| ∴ f(2 )＞f( 2)，∴ 2 ＜ 2＝2 ， 2 1 1 1 1 3 ∴ |a－1|＜2，即－2＜a－1＜2，即2＜a＜2.
2创新应用 应用 1 函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用 [典例 1] (1)(2016· 全国卷Ⅲ)已知 f(x)为偶函数， 当 x＜0 时， f(x)＝ln( －x)＋3x，则曲线 y＝f(x) 在点(1，－3)处的切线方程是 ________． (2)(2016· 天津卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 且在区间 － (－∞，0)上单调递增．若实数 a 满足 f(2|a 1|)＞f(－ 2)，则 a 的 取值范围是________．
[反思领悟] (1)本题是数列与不等式交汇，在第(1)问中，是 由一元二次不等式转化为数列， 而第三问借助于函数的单调性证 明不等式成立， 在证明中， 利用了函数思想， 要注意定义域范围． (2) 求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系， 将条件进行准确转化；对于函数的有关性质，主要利用函数的单 调性或有界性来求解数列中的最值． 但由于数列的通项是一类特 殊的函数，所以借助函数的性质研究数列问题，一定要注意数列 中的自变量只能取正整数这一特点．
1 3 (2) ， 2 2
利用偶函数的对称性和函数单调性的定义将函
数值大小关系转化为不等式求解． ∵ f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴ 在(0，＋∞)上单调递减，f(－ 2)＝f( 2)， 1 |a－1| |a－1| ∴ f(2 )＞f( 2)，∴ 2 ＜ 2＝2 ， 2 1 1 1 1 3 ∴ |a－1|＜2，即－2＜a－1＜2，即2＜a＜2.
高三数学最新课件-高考第二轮专题复习函数方程思想上
恒成立问题中的端点能否取到
a 1 ( 2)a f ( x ) (1,2) a 1 ( 3)a f ( x ) [1,2] a 1 (4)a f ( x ) [1,2] a 1
(1)a f ( x ) (1,2)
已知二次函数f ( x ) ax 2 bx 1(a、b R，a 0)， 设方程f ( x ) x的两个实数根为x 1 和x 2 (1)如果x 1 2 x 2 4，函数f ( x )的对称轴为x x 0 ，求证：x 0 1 ； ( 2)如果 x 1 2， x 2－x 1 ＝2，求b的取值范围。
1 1 1 n1 n 2 2n 1 1 0 2n 1 2n 2 7 所以f ( n)为增函数, 从而f (n) f (2) 12
已知不等式
1 1 1 1 2 loga a 1 对于大于1的 n1 n 2 2n 12 3 正整数n恒成立，试确定a的取值范围
9 b ,1 b (b 0)在 区 间 4
b f ( x ) 3( x ) 2 7在区间1,2的最大值为 20, 求b ? 2
y
答案：b 4或－ 10
b x 2
1
x2
已知不等式
1 1 1 1 2 loga a 1 对于大于1的 n1 n 2 2n 12 3 正整数n恒成立，试确定a的取值范围
即 loga a 1 － 1 loga
[1, ), 不等式2 x 2 3 x 3 4 x 5 x a 0恒成立, 求a的取值范围 2、解不等式5 4 x 5 5 2 x 8 6 x 3 0
1 1 1 的取值范围 n1 n 2 2n 7 所以f ( n)为增函数, 从而f (n) f (2) 12 1 1 1 1 2 要使 loga a 1 对于大于1的 n1 n 2 2n 12 3 正整数n恒成立， 关键是确定
《一元一次方程》_精品PPT课件人教版17
《一元一次方程》精品ppt人教版17- 精品课 件ppt( 实用版)
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2.有一个两位数，两个数位上的数字和是9，如 果把个位上的数字与十位上的数字对调，那么 所得的新两位数比原两位数大63，求原两位数.
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问题二：
用 方程 解决问 题
某班学生分两组参加植树活动，甲组有17人，乙 组有25人，后来由于需要，又从甲组抽调了部分同学 去乙组，结果乙组人数是甲组的2倍。问从甲组抽调了 多少人去乙组？
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某蔬菜经营户，用120元从蔬菜市场批发了番茄和豆角共 45千克，番茄、豆角当天的批发价、零售价如下表：
品名 批发价/(元/千克) 零售价/(元/千克)
番茄 2.4 3.6
豆角 3.2 5.0
（1）这天该经营户批发了番茄和豆角多少千克？
合作质疑，探索新知
问题二：
用 方程 解决问 题
分析： 等量关系式：抽调后甲组人数的2倍=抽调后的乙组人数
设从甲组抽调了x人去乙组。
原有人数 抽调后人数
甲组 乙组
17
（17-x)
25
(25+x)
方程： 2(17-x) = 25+x
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《方程》PPT课件 人教版七年级数学上册【2024年秋】
B．46＋x＝3(30－x)
C．46－3x＝30＋x
D．46－x＝3(30－x)
当堂训练
4．先列方程，再估算出方程的解． 甲型钢笔每支3元，乙型钢笔每支5元，用40元钱买了两种钢笔共 10支，还余2元，问两种钢笔各买了多少支？
解：设买了甲型钢笔x支，则乙型钢笔____(_1_0_－__x_)____支，依题意 列方程_____3_x_＋___5_(1_0__－__x_)_＝__4_0_－__2______．
探究新知
学生活动四 【一起探究】 观察方程1.2x+1=0.8x+3，3x=4（x－5）， 0.52x－（1－0.52）x=80，它们有什么共同特征？
（1）只含有一个未知数x， （2）未知数x的次数都是1， （3）整式方程．
探究新知
一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且 含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1， 这样的方程叫做一元一次方程．
符合一一元元一一次次方方程程的. 定义，因此它们是一元一次方程.
巩固练习
1．下列各式中是方程的是 ( A )
A．7x＋3＝2x－5 B．4x＋5
C．2＋10＝12
D．3x－6＜4
巩固练习
2．下列各式中是一元一次方程的有 ( A )
①x2－4x＝3；②3x－1＝2x ；③x＋2y＝1；④xy－3＝5；
根据问题中的相等关系列出含有未知数的等式.
问题1 用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯，大水杯的 单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？
探究新知
问题2 如图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周 年纪念币，其面积是4000mm2，长和宽的比为8∶5（即
宽是长的
5 8
2025届高中数学一轮复习课件：第三章 第8讲函数与方程(共84张PPT)
高考一轮总复习•数学
第25页
对点练 1(1)(2024·山西临汾模拟)函数 f(x)＝log8x－31x的零点所在的区间是(
)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
(2)已知函数 f(x)＝logax＋x－b(a>0，且 a≠1)．当 2<a<3<b<4 时，函数 f(x)的零点 x0
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)(2)设函数 f(x)＝13x－ln x，则函数 y＝f(x)( ) A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点 B．在区间1e，1(1，e)内均无零点 C．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点
Δ<0
__无__交__点____ ____无______
第10页
高考一轮总复习•数学
第11页
常/用/结/论 1．有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点； (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．对于函数来说， 零点有与 x 轴相切的零点． 2．f(a)f(b)<0 是 y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 函数零点 1．定义：对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把满足___f(_x_)＝__0___的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D) 的零点．
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给我一个支点，我就可以翘起地球！------阿基米德
法国数学家笛卡尔在《指导思维法则》中 曾提出一种大胆的计划：
任何问题 数学问题 代数问题 方程求解
方程的历史
刘小旗
方程的历史
方程是代数史中重要的研究课题之一。是古 埃及人、巴比伦人、阿拉伯人、中国人、印度人、 西欧人一棒接一棒而完成的伟大成就。
我有妙法 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下 有九十四足，问鸡兔各几何？
方法三：如果设鸡x只，兔y只，则等量关系有： x+y=35 2x+4y=94
解得： x=23 y=12
答：鸡有23只，兔有12只。
知识拓展
在平面直角坐标系中，标出一些以方 程x+y=35的解为坐标的点，你有什么发现？
思考：
坐标
由二元一次方程的图象，那么任何二元一次 方程组的解会怎么表示呢？
现代的“方程”来源于拉丁文oequation，英 文equation也是由此演变而来。东汉初年我国在 《九章算术》中已经出现了“方程”一词，但这 里的方程指多元一次方程组。清朝初年，中国数 学家把equation译成“相等式”，到清朝咸丰九 年（公元1859年）才译为“方程”。从这时候起 “方程”这个词就表示含未知数的等式。
方程的表示
宋元数学发展中一个最深刻的动向是代数 符号化的尝试，这就是“天元术”和“四元术” 的发明，它们都是用专门的记号来表示未知数。 其中朱世杰《四元玉鉴》详细记载了这种列多 元高次方程组的方法，“四元术”以“天”、 “地”、“人”、“物”来表示现在的x,y,x,w。 例如，“立天元一为某某”就是设x为某某意思。
课堂小结 本课小结：这节课，你有什么收获？
《孙子算经》是中国古代重要的 数学著作。成书大约在四、五世纪， 也就是大约一千五百年前，作者生平 和编写年不详。传本的《孙子算经》 共三卷。下卷31题可谓是“鸡兔同笼” 问题的始祖 ，后传至日本，被改为
"鹤龟算"。
原文：
今有雉兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问雉兔各几何？
《孙子算经》
我有妙法 今有雉兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问雉兔各几何？
方程的表示
直到17世纪时，法国数学家笛卡尔和德国 数学家韦达提出用x，y，z这样的字母表示未知 数，把这些字母和普通数字同样看待，用运算 符号和等号把字母与数字连接起来，就形成含 有未知数的等式。后来经过不断的简化和改进， 方程逐渐演变成现在的表达形式，例如6x+8=0， 4x-2y=9等。
方程名称的由来
人类对方程的研究经历了漫长的岁月，公元 前2000年前后古巴比伦泥板书上记载着这样的问 题：我把我的正方形面积加上正方形边长的三分 之二得六十分之三十五，求该正方形的边长？
方程的历史
中国对方程的研究也有悠久的历史，中国古代 数学著作《九章算术》大约成书于公元前200年，其 中有专门以“方程”命名的一章，以一些实际问题 为例，并给出了用方程组解题的方法。
术曰:上置头，下置足，半其足，以头除足，以 足除头，即得。
94 2 47
47 35 12 35 12 23
答：鸡有23只，兔有12只。
我有妙法
今有鸡兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问鸡兔各几何？
方法二:设鸡x只，兔（35-x）只，则 2x+4（35-x）=94 解得：x=23
35-23=12 答：鸡23只，兔12只。
方程的表示
在很长时间方程没有专门的表达方式，而使 用一般的语言文字来表述。中国古代数学家表示 方程时，只用算筹表示各个未知数的系数，按照 这样的表示法，方程组被排列成长方形的数字方 阵。我国古代数学家刘徽注释“方程”的含义时， 曾指出“方”字与上述数字方阵有密切联系。
方程的表示
上面提到的《九章算术》中的问题： 上等谷3秉，中等谷2秉，下等谷1秉，共39斗。 上等谷2秉,中等谷3秉,下等谷1秉,共34斗。 上等谷1秉,中等谷2秉,下等谷3秉,共26斗。 求上、中、下三等谷每秉各是几斗？
上等谷3秉，中等谷2秉，下等谷1秉，共39斗。 上等谷2秉,中等谷3秉,下等谷1秉,共34斗。上等 谷1秉,中等谷2秉,下等谷3秉,共26斗。求上、中、 下三等谷每秉各是几斗？
方程的历史
从历史的发展看出，方程是从现实生活到数学 的一个提炼过程，一个用数学符号提炼现实生活的 特定关系的过程。在我们开始学习方程时，面临的 任务始终是如何把问题情境翻译成方程，所以方程 的学习我们应该接触现实问题，并把日常生活中的 自然语言等价地转化为数学语言，得到方程。
法国数学家笛卡尔在《指导思维法则》中 曾提出一种大胆的计划：
任何问题 数学问题 代数问题 方程求解
方程的历史
刘小旗
方程的历史
方程是代数史中重要的研究课题之一。是古 埃及人、巴比伦人、阿拉伯人、中国人、印度人、 西欧人一棒接一棒而完成的伟大成就。
我有妙法 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下 有九十四足，问鸡兔各几何？
方法三：如果设鸡x只，兔y只，则等量关系有： x+y=35 2x+4y=94
解得： x=23 y=12
答：鸡有23只，兔有12只。
知识拓展
在平面直角坐标系中，标出一些以方 程x+y=35的解为坐标的点，你有什么发现？
思考：
坐标
由二元一次方程的图象，那么任何二元一次 方程组的解会怎么表示呢？
现代的“方程”来源于拉丁文oequation，英 文equation也是由此演变而来。东汉初年我国在 《九章算术》中已经出现了“方程”一词，但这 里的方程指多元一次方程组。清朝初年，中国数 学家把equation译成“相等式”，到清朝咸丰九 年（公元1859年）才译为“方程”。从这时候起 “方程”这个词就表示含未知数的等式。
方程的表示
宋元数学发展中一个最深刻的动向是代数 符号化的尝试，这就是“天元术”和“四元术” 的发明，它们都是用专门的记号来表示未知数。 其中朱世杰《四元玉鉴》详细记载了这种列多 元高次方程组的方法，“四元术”以“天”、 “地”、“人”、“物”来表示现在的x,y,x,w。 例如，“立天元一为某某”就是设x为某某意思。
课堂小结 本课小结：这节课，你有什么收获？
《孙子算经》是中国古代重要的 数学著作。成书大约在四、五世纪， 也就是大约一千五百年前，作者生平 和编写年不详。传本的《孙子算经》 共三卷。下卷31题可谓是“鸡兔同笼” 问题的始祖 ，后传至日本，被改为
"鹤龟算"。
原文：
今有雉兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问雉兔各几何？
《孙子算经》
我有妙法 今有雉兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问雉兔各几何？
方程的表示
直到17世纪时，法国数学家笛卡尔和德国 数学家韦达提出用x，y，z这样的字母表示未知 数，把这些字母和普通数字同样看待，用运算 符号和等号把字母与数字连接起来，就形成含 有未知数的等式。后来经过不断的简化和改进， 方程逐渐演变成现在的表达形式，例如6x+8=0， 4x-2y=9等。
方程名称的由来
人类对方程的研究经历了漫长的岁月，公元 前2000年前后古巴比伦泥板书上记载着这样的问 题：我把我的正方形面积加上正方形边长的三分 之二得六十分之三十五，求该正方形的边长？
方程的历史
中国对方程的研究也有悠久的历史，中国古代 数学著作《九章算术》大约成书于公元前200年，其 中有专门以“方程”命名的一章，以一些实际问题 为例，并给出了用方程组解题的方法。
术曰:上置头，下置足，半其足，以头除足，以 足除头，即得。
94 2 47
47 35 12 35 12 23
答：鸡有23只，兔有12只。
我有妙法
今有鸡兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问鸡兔各几何？
方法二:设鸡x只，兔（35-x）只，则 2x+4（35-x）=94 解得：x=23
35-23=12 答：鸡23只，兔12只。
方程的表示
在很长时间方程没有专门的表达方式，而使 用一般的语言文字来表述。中国古代数学家表示 方程时，只用算筹表示各个未知数的系数，按照 这样的表示法，方程组被排列成长方形的数字方 阵。我国古代数学家刘徽注释“方程”的含义时， 曾指出“方”字与上述数字方阵有密切联系。
方程的表示
上面提到的《九章算术》中的问题： 上等谷3秉，中等谷2秉，下等谷1秉，共39斗。 上等谷2秉,中等谷3秉,下等谷1秉,共34斗。 上等谷1秉,中等谷2秉,下等谷3秉,共26斗。 求上、中、下三等谷每秉各是几斗？
上等谷3秉，中等谷2秉，下等谷1秉，共39斗。 上等谷2秉,中等谷3秉,下等谷1秉,共34斗。上等 谷1秉,中等谷2秉,下等谷3秉,共26斗。求上、中、 下三等谷每秉各是几斗？
方程的历史
从历史的发展看出，方程是从现实生活到数学 的一个提炼过程，一个用数学符号提炼现实生活的 特定关系的过程。在我们开始学习方程时，面临的 任务始终是如何把问题情境翻译成方程，所以方程 的学习我们应该接触现实问题，并把日常生活中的 自然语言等价地转化为数学语言，得到方程。