河北文数模拟卷一

1（文数） 2（文数）河北模拟卷一 数 学 (文) 试 题第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设{}1,2,3,4U =，且{}250M x Ux x P =∈-+=，若{}2,3U C M =，则实数P 的值为（ ）A 、-4B 、4C 、-6D 、62、若(3nx +的展开式中各项系数之和为256，则展开式中含x 的整数次幂的项共有（ ）A 、1项B 、2项C 、3项D 、4项3、已知函数221,1,()[(0)]4,1,xx f x f f a x a x x ⎧+<⎪==⎨+≥⎪⎩若，则实数a 等于（ ） A 、12B 、45C 、2D 、94、在棱长为1的正四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，则A E C D ⋅=（ ）A 、0B 、12C 、12-D 、14- 5、已知曲线22:x y C =，点A （0，－2）及点B （3，a ），从点A 观察点B ，要使视线不被C 挡住，则实数a 的取值范围是（ ） A 、（－∞，10）B 、（10，＋∞）C 、（－∞，4）D 、（4，＋∞）6、在正方体的顶点中任选3个顶点连成的所有三角形中，所得的三角形是直角三角形但非等腰直角三角形的概率是（ ） A 、17B 、27C 、37D 、477、已知:p 存在x R ∈，使210m x +≤；:q 对任意x R ∈，恒有210x m x ++>。

若p q 或为假命题，则实数m 的取值范围为 （ ） A 、2≥mB 、2m ≤-C 、2,m 2m ≤-≥或D 、22≤≤-m8、设O 为坐标原点，点A （1，1），若点222210,(,)12,12,x y x y B x y x y ⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩满足则O A O B ⋅ 取得最小值时，点B 的个数是（ ） A 、1 B 、2C 、3D 、无数9、已知三棱锥S A B C -中，底面A B C 为边长等于2的等边三角形，S A 垂直于底面A B C ，S A =3，那么直线A B 与平面SB C 所成角的正弦值为（ ）A4B4C4D 、3410、已知正项等比数列765{}:2,n a a a a =+满足若存在两项m a 、n a14a =，则14mn+的最小值为（ ）A 、32B 、53C 、256D 、不存在11、由0到9这十个数字所组成的没有重复数字的五位数中，满足千位、百位、十位上的数字成递增等差数列的五位数共有（ ）A 、720个B 、684个C 、648个D 、744个12、设3()(1)xf x f x -⎧=⎨-⎩(0)(0)x x ≤>，若()f x x a =+有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是（ ）A 、)1,(-∞B 、]1,(-∞C 、]2,(-∞D 、)2,(-∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案直接答在答题纸上。

13、不等式21lo g 1x x-≥的解集为 。

14、已知二次函数y =f (x )的图像为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有f (1+x )=f (1－x )．若向量学校 姓名 座位号 准考证号密……………………………………………………封………………………………………………… 线3（文数） 4（文数）1)a =-，2)b =- ，则满足不等式()(1)f a b f ∙>-的m 的取值范围 。

15、过双曲线22221x y ab-=(a>0,b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线22221x y ba+=上，则双曲线的离心率为 。

16、若{}n a 是等差数列,,,m n p 是互不相等的正整数，则有：()()()0p m n m n a n p a p m a -+-+-=类比上述性质，相应地，对等比数列{}n b 有 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分10分）在A B C ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且3C π=，a b c λ+=，(其中1λ>)．(Ⅰ)若2c λ==时，求A C B C ⋅的值；(Ⅱ)若41(3)6A CBC λ⋅=+ 时，求边长c 的最小值及判定此时A B C ∆的形状。

18、（本小题满分12分）为支持2010年广洲亚运会，某班拟选派4人为志愿者参与亚运会，经过初选确定5男4女共9名同学成为候选人，每位候选人当选志愿者的机会均等。

（1）求女生1人，男生3人当选时的概率？ （2）设至少有几名男同学当选的概率为n P ，当34n P ≥时，n 的最小值？……………………………………………………封………………………………………………… 线5（文数） 6（文数）19、（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P A B C D -，底面A B C D 为菱形，P A ⊥平面A B C D ，60A B C ∠=，E F ，分别是B C P C ，的中点．（Ⅰ）A E P D ⊥判定AE 与PD 是否垂直，并说明理由（Ⅱ）若H 为P D 上的动点，E H 与平面P A D2E AF C --的余弦值。

20、（本小题满分12分）已知数列{},{}n n a b 满足12a =，121,1n n n n n a a a b a +=+=-，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，令2n n n T S S =-。

（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）判断1,()n n T T n N *+∈的大小，并说明理由。

第19题图姓 座位号 准考证号………………………………………………封………………………………………………… 线7（文数） 8（文数）21、（本小题满分12分） 设椭圆C 1：22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O为坐标原点），如图．若抛物线C 2：21y x =-与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2点。

（Ⅰ）求椭圆C 1的方程； （Ⅱ）设M （0，45-），N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两点，求M P Q ∆面积的最大值。

22、（本小题满分12分） 已知函数23)(nx mx x f +=（m ，R n ∈，n m >且0≠m ）的图象在))2(,2(f 处的切线与x 轴平行.(1) 试确定m 、n 的符号；(2) 若函数)(x f y =在区间[,]n m 上有最大值为2n m -，试求m 的值.第21题图………………………………………………封………………………………………………… 线9（文数） 10（文数）参考答案一、选择题：BCCDAC ABDADD二、填空题：13、[1,0)-； 14、01m ≤<； 15； 16、1m n n p p m p m nb b b ---= 。

三、解答题：17、解：（Ⅰ）∵a b c λ+= 由正弦定理得：sin sin sin A B C λ+=又∵22,sin sin ()sin ()1336C B B B πππλ==⇒+-=+=∴3B π= ∴cos 2A C B C ab C ==（Ⅱ）由正弦定理得：2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-由4411(3)(3)63A CBC a b λλ=+⇒=+ 又a b c λ+=∴42224222234(3)(1)2611c c c λλλλλλ+=-+⇒==-++≥--∴m in c =当且仅当λ=4,c ab a b ==+=∴a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴A B C ∆为直角三角形 18. 解：（1）由于每位候选人当选的机会均等，9名同学中选4人共有49C 种选法，其中女生1人且男生3人当选共有1345C C 种选法，故可求概率13454920.63C C P C ==（2）45459511262C P C ==<431554355995205112663142C C C P C C =+=+=<4312255454255599951053142164C C C C C P C C C =++=+=>∴要使34n P ≥，n 的最大值为2.19、（Ⅰ）垂直.证明：由四边形A B C D 为菱形，60A B C ∠=，可得A B C △为正三角形．因为E 为B C 的中点，所以A E B C ⊥．又B C A D ∥，因此A E A D ⊥．因为P A ⊥平面A B C D ，A E ⊂平面A B C D ，所以P A A E ⊥．而P A ⊂平面P A D ，A D ⊂平面P A D 且P A A D A = ，所以A E ⊥平面P A D ．又P D ⊂平面P A D ，所以A E P D ⊥．（Ⅱ）解：设2A B =，H 为P D 上任意一点，连接A H E H ，．由（Ⅰ）知A E ⊥平面P A D ，则E H A ∠为E H 与平面P A D 所成的角．在R t E A H △中，A E =A H 最短时，E H A ∠最大，即当A H P D ⊥时，E H A ∠最大．此时tan 2A E E H A A HA H∠===，因此A H =又2A D =，所以45A D H ∠=，所以2P A =．解法一：因为P A ⊥平面A B C D ，P A ⊂平面P A C ，所以平面P A C ⊥平面A B C D ．过E 作E O A C ⊥于O ，则E O ⊥平面P A C ，过O 作O S A F ⊥于S ，连接E S ，则E S O ∠为二面角E A F C --的平面角，在R t A O E △中，sin 302E O A E ==3co s 302A O A E ==，又F 是P C 的中点，在R t A SO △中，sin 454S O A O ==，又4S E ===，在R t E SO △中，PBECFAHO S第18题答案图姓名 座位 准考证…………………………………………封………………………………………………… 线11（文数） 12（文数）co s 54S O E S O S E∠===5．解法二：由（Ⅰ）知A E A D A P ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为B C P C ，的中点，∴(000)10)0)(020)A B C D -，，，，，，，，，，1(002)0)122P E F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，所以100)122A E A F ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，，，．设平面A E F 的一法向量为111()x y z =，，m ，则 00A E A F ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，m m因此111101022x y z =++=⎩，．取11z =-，则(021)=-，，m ，因为B D A C ⊥，B D P A ⊥，P A AC A = ，所以BD ⊥平面A F C ，故B D为平面A F C 的一法向量．又(0)B D = ，，所以23co s 5B D B D B D⨯<>===，m m m ．因为二面角E A F C --520、（Ⅰ）解：由得得整理得从而有是首项为1，公差为1的等差数列，（Ⅱ） 证明：21、（Ⅰ）解：由题意可知B （0，-1），则A （0，-2），故b =2．令y =0得210x -=即1x =±，则F 1(-1，0)，F 2（1，0），故c =1． 所以2225a b c =+=．于是椭圆C 1的方程为：22154xy+=．（Ⅱ）设N （2,1t t -），由于'2y x =知直线PQ 的方程为：2(1)2()y t t x t --=-．即221y tx t =--．代入椭圆方程整理得：222224(15)20(1)5(1)200t x t t x t +-+++-=,222222400(1)80(15)[(1)4]t t t t ∆=+-++-=4280(183)t t -++,21225(1)15t t x x t++=+ , 221225(1)204(15)t x x t +-=+,故12P Q x =-=315t=+．设点M 到直线PQ 的距离为d，则d ==．所以，M P Q ∆的面积S 12P Q d =⋅2211215t t +=⋅+==5≤=当3t =±时取到“=”，经检验此时0∆>，满足题意． 综上可知，M P Q ∆5．22、 (I)由图象在))2(,2(f 处的切线与x 轴平行，知0)2(='f ，∴m n 3-=① 又m n <，故0<n ，0>m .第18题答案图n0 23 第22题答案图…………………………封………………………………………………… 线13（文数） 14（文数）(II)令06323)(22=-=+='mx mxnx mxx f , 得0=x 或2=x易证0=x 是)(x f 的极大值点，2=x 是极小值点（如图）. 令0)0()(==f x f ，得0=x 或3=x .分类：(I)当30≤<m 时，0)0()(max ==f x f ，∴02=-n m . ②由①，②解得91=m ，符合前提30≤<m .(II)当3>m 时，n m m m f x f 24max )()(+==, ∴224n m n m m-=+. ③由①，③得 019323=-+-m mm . 记193)(23-+-=m mmm g ,∵06)1(3963)(22>+-=+-='m m mm g , ∴)(m g 在R 上是增函数，又3>m ，∴026)3()(>=>g m g , ∴0)(=m g 在()+∞,3上无实数根.综上，m 的值为91=m .。