1.2孤波和孤子

令(3)的两线性无关的解为:
⎧ Φ = u(ξ ,τ ) + v (ξ ,τ ) (8) ⎨ ⎩ Φ = u(ξ ,τ ) − v (ξ ,τ ) (9) ⎧ uξ = f (v ) (10) 令 ⎨ ⎩ vτ = g( u) (11)
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二、正弦Gordon方程
2、确定 g ( u), f (v ) :
－扭结（孤波解）
t
α2 +1 1−α2 a= , b= 2 2α 1+α
类似的由( 23) → Φ = 4 tanh −1 exp[ατξ + c2 (ξ )] 1 代入( 22) → c2 (ξ ) = ξ + δ
α
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三、非线性薛定谔方程
§1.2 孤 波
iΦ t + Φ xx + β ΦΦ 2 = 0 ( 25) ⎧Φ = e i ( kx − vt ) u(θ ) 令⎨ ( 26) ⎩ θ = x − bt ( 25) → uθθ − i ( 2k − b )uθ + (v − k 2 )u + β u 3 = 0 －孤波解 b b 选 k = , v = − a 2 → uθθ − a 2 u + β u 3 = 0 ( 27 ) 2 4 由 x → ∞, Φ ( x ) → 0 β 4 2 2 2 ∫ (27) ⋅ uθ dθ : uθ = a u − 2 u + c 有 : c = 0 β 2 du 2 a+ a − u = dθ 1 2 β 2 → θ = − ln u a2 − u a β 2 u
§1.2 孤 波
12 (1) → uθθθ + 2 uuθ − uθ = 0 (4) a d 12 ∫ (4)dθ : ∫ dθ uθθ dθ + a 2 ∫ udu − ∫ du = 0 6 2 即 uθθ + 2 u − u＋c1 = 0 (5) a 6 2 ∫ (5) ⋅ uθ dθ : ∫ uθ duθ + a 2 ∫ u du − ∫ udu + c1 ∫ du = 0 1 2 2 3 1 2 uθ + 2 u − u + c1u + c2 = 0 2 a 2 θ →∞ 使u ( n ) ⎯⎯ → 0(n = 0,1,2, L) → c1 = c2 = 0 ⎯
§1.2 孤 波
⎧(10) ⎧ uξτ = g( u) f ′(v ) (12) → ⎨ ⎨ ⎩(11) ⎩ vξτ = f (v ) g′( u) (13) (12) + (13) : ( u + v )ξτ = g ( u) f ′(v ) + g ′( u) f (v )
(12) − (13) : ( u − v )ξτ = g ( u) f ′(v ) − g ′( u) f (v )
§1.2 孤 波
(14) + (15) : g ( u) f ′(v ) = sin u cos v
g ( u) cos v → = =α sin u f ′(v ) → g ( u) = α sin u (16)
(14) − (15) : g ′( u) f (v ) = sin v cos u
1 f (v ) cos u → = = β → f (v ) = β sin v = sin v (17 ) α sin v g ′( u)
θ →∞
uξ = auθ , uξξξ = a 3uθθθ , 则 uτ = −ω uθ , 12 ω−a
(1) → uθθθ +
2
取ω = a + a 3 ,
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a a 12 (1) → uθθθ + 2 uuθ − uθ = 0 (4) a
uuθ −
3
uθ = 0
一、KdV方程 2、孤波解：
⎧Φ = e i ( kx − vt ) u(θ ) 2 1 ⎧ 1 令⎨ exp⎨ i[ bx − ( b 2 − a 2 )t ]}sec h[a ( x − bt )] ϕ ( x, t ) = a 4 β ⎩ 2 ⎩ θ = x − bt
－巴克朗德（Baklund)变换 2 三、非线性薛定谔方程 iΦ tt + Φ xx + β Φ Φ = 0
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(20) (21)
－巴克朗德（Baklund)变换
二、正弦Gordon方程
4、正弦Gordon方程的解
§1.2 孤 波
Φ ( 22) 由 Φ = 0有( 20) → Φ ξ＝2 sin 2 α ( 21) → Φτ＝2α sin Φ ( 23) 2 Φ Φ 1 1 Φ ( 22) → ∫ csc d ＝ ∫ dξ → ξ = ln tanh − c1 (τ ) α 2 2 α 4 1 −1 → Φ = 4 tanh exp[ ξ + c1 (τ )] 1
－孤波解
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四、小结
一、KdV方程：
uτ + uξ + 12uuξ + uξξξ = 0 (1)
2 ⎧ u = u(θ ) a δ 2 a 2 令 ⎨ u(ξ ,τ ) = sech [ξ − (1 + a )τ + ] ⎩θ = aξ − ωτ + δ a 4 2
二、正弦Gordon方程
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一、KdV方程 2、孤波解： uθ 2 = u 2 (1 − →
§1.2 孤 波
u 2 4 u) → uθ = a − 4u 2 a a 2 a − a − 4u adu → = dθ → θ = ln 2 2 a + a − 4u u a − 4u a 2 − 2u − a a 2 − 4u a − a 2 − 4u = → eθ = 2u a + a 2 − 4u 2 θ 2 a2 a2 2θ a e a = θ = sec h θ →u= θ = θ − 4 2 (e + 1) 2 e + e −θ + 2 (e 2 + e 2 ) 2 a2 δ 2 a 2 ∴ u(ξ ,τ ) = sech [ξ − (1 + a )τ + ] 4 2 a
sin( u + v ) = g( u) f ′( v ) + g ′( u) f (v ) (14) sin( u − v ) = g( u) f ′(v ) − g ′( u) f (v ) (15)
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二、正弦Gordon方程
2、确定 g ( u), f (v ) :
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a 1 + a 2 振幅Байду номын сангаас 常速： 4
2
一、KdV方程
§1.2 孤 波
2、孤波解： a2 δ 2 a 2 ∴ u(ξ ,τ ) = sech [ξ − (1 + a )τ + ] a 4 2
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二、正弦Gordon方程
§1.2 孤 波
Φ xx − Φ tt = sin Φ (6) x−t x+t ξ= ,τ = , 1、引入变量代换 2 2 (6) → Φ ξτ = sin Φ (7 )
代入( 23) : c1 (τ ) = ατ + δ
−1
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α
Φ = 4 tanh exp[ ξ + ατ + δ ]
1
α
二、正弦Gordon方程
4、正弦Gordon方程的解
−1
§1.2 孤 波
Φ( x , t )
x−t α Φ = 4 tanh exp[ + (x + t) + δ ] 2α 2 Φ = 4 tanh −1 exp[a( x − bt ) + δ ]
Good-by!
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uτ + uξ + 12uuξ + uξξξ = 0
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一、KdV方程 2、孤波解：
§1.2 孤 波
uτ + uξ + 12uuξ + uξξξ = 0 (1) (2) ⎧u = u (θ ) 令 ⎨ ⎩θ = aξ − ωτ + δ (3)
其中，a − 常数， − 位相因子， ( n ) ⎯⎯ → 0(n = 1,2,L) δ u ⎯
第四篇非线性方程
Nonlinear Equations §1.2 孤波和孤子
Solitary Waves
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一、KdV方程 1、孤波的起源：
§1.2 孤 波
1834年：苏格兰的Scott.Russel追踪水波； 孤波：单峰行进，常速，波形不变。 1895年：荷兰的Kortweg & de Vries 观察浅 水沟中水波，总结得KdV方程：
Φ xx − Φ tt = sin Φ (6)
Φ = 4 tanh −1 exp[a ( x − bt ) + δ ] α2 +1 1−α2 a= , b= 2α 1+α2
( 25)
1 1 Φ−Φ (Φ + Φ )ξ ＝ sin 2 α 2 1 Φ＋ Φ (Φ－ Φ )τ ＝α sin 2 2
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二、正弦Gordon方程
3、引入Baklund变换
§1.2 孤 波
1 (8) + (9) : u = (Φ + Φ ) (18) 2 1 (8) − (9) : v = (Φ − Φ ) (19) 2 1 1 Φ−Φ 故由(18)， )， ) → (10 (17 (Φ + Φ )ξ ＝ sin 2 α 2 1 Φ＋ Φ 而由(19)， )， ) → (11 (16 (Φ－ Φ )τ ＝α sin 2 2