北京市丰台区2013年中考二模数学试题

丰台区2013年初三统一练习（二） 数 学 试 卷 2013.6一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．2-的绝对值是 A ．2B ．12C ．-2D ．12-2．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约只有0.000 000 7毫米2，将0.000 000 7用科学记数法表示为A ．7×106B ．7×10-6C ．－7×107D ．7×10-7 3． 32()a a -⋅-的运算结果是A ． a 5 B ．－a 5 C ．a 6 D ．－a 6 4．如图，点A 、B 、C 都在O ⊙上，若68AOB = ∠，则ACB ∠的度数为A ．68B ．60C ．34D ．225．抛物线2(2)2y x =-+的顶点坐标为A ．(2,2)-B ．(2,2)-C ．(2,2)D ．(2,2)-- 6．某射击队要从四名运动员中选拔一名运动员参加比赛，选拔赛中每名队员的平均成绩与方差S 2如下表所示．如果要选择一个成绩高且发挥稳定的人参赛，则这个人应是 A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．下面四个图形中，三棱柱的平面展开图是8．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a 米(0<a <12)、4米．现在想用16米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD ，且将这棵树围在花圃内(不考虑树的粗细). 设此矩形花圃的最大面积为S ，则S 关于a 的函数图象大致是x二、 填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式42x x -+的值为0，则x 的值为 ． 10．分解因式：244xy xy x -+=__________________．11．在盒子里放有四张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、圆的卡片（卡片除所画内容不同外，其余均相同），从中随机抽取一张卡片，卡片上画的恰好是轴对称图形的概率是 ．12．如图，在△OA 1B 1中，∠OA 1B 1=90°，OA 1= A 1B 1=1.以O 为圆心，1OAOA 1B 2,⌒A 1B 2与1OB 相交于点2B ，设△OA 1B 1与扇形OA 1B 21S ；然后过点B 2作B 2A 2⊥OA 1于点A 2，又以O 为圆心，2OA 为半径作扇形与1OB 相交于点3B ，设△OA 2B 2与扇形OA 2B 3之间的阴影部分面积为2S ；按此规律继续操作，设△OA n B n 与扇形OA n B n +1之间的阴影部分面积为n S ． 则S 1=___________； S n = ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：0(2)1cos 45---+ ）．14．解方程：11312=---x x x ．15．已知：如图，B C E ，，三点在同一条直线上，AC DE ∥，AC CE =，B D ∠=∠． 求证：ABC CDE △≌△．16．已知11m m+=，求)21)(21()3(m m m m -+++的值．ADBC E1 A 1A 2 A 3四、解答题（本题共20分，每小题5分)19．如图，四边形ABCD 中， CD=2， 90=∠BCD ， 60=∠B ,30,45=∠=∠CAD ACB ，求AB 的长．20．已知：如图，直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过点C 作CD ⊥PA ，垂足为点D ． （1）求证：CD 与⊙O 相切； （2）若tan ∠ACD =21，⊙O 的直径为10，求AB 的长．21．6月5日是世界环境日，某城市在宣传“绿色环境城市”活动中，发布了一份2013年1至5月份空气质量抽样调查报告，随机抽查的30天中，空气质量的相关信息如下：D AB C%请你根据统计图表提供的信息，解答以下问题（结果均取整数）： (1)请将图表补充完整；(2)请你根据抽样数据，通过计算，预测该城市一年(365天)中空气质量级别为优和良的天数大约共有多少天？22．操作探究：一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位．用实数加法表示为 5+（2-）=3．若平面直角坐标系xOy 中的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”．规定“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ，d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，． （1）计算：{3，1}+{1，2}；（2）若一动点从点A （1，1）出发，先按照“平移量”{2，1}平移到点B ，再按照“平移量”{-1，2}平移到点C ；最后按照“平移量”{-2，-1}平移到点D ，在图中画出四边形ABCD ，并直接写出点D 的坐标；（3）将（2）中的四边形ABCD 以点A 为中心，顺时针旋转90°，点B 旋转到点E ，连结AE 、BE 若动点P 从点A 出发，沿△AEB 的三边AE、EB 、BA 平移一周． 请用“平移量”加法算式表示动点P 的平移过程．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23．已知关于x 的方程2(2)30x m x m --+-=. （1）求证：此方程总有两个实数根；（2）设抛物线2(2)3y x m x m =--+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y =-x 的对称点恰好是点M ，求m（备图）y xO11的值.24．在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O 放在斜边AC上，将三角板绕点O 旋转．（1）当点O 为AC 中点时，①如图1， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，连接EF ，猜想线段AE 、CF 与EF 之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 延长线于E 、F 两点，连接EF ，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当点O 不是AC 中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，若14AO AC=，25．如图，把△OAB 放置于平面直角坐标系xOy 中，90OAB ∠=︒，32,2OA AB ==，把△OAB 沿x 轴的负方向平移2OA 的长度后得到△DCE .（1）若过原点的抛物线2+y ax bx c =+经过点B 、E ，求此抛物线的解析式；（2）若点P 在该抛物线上移动，当点P 在第一象限内时，过点P 作x PQ ⊥轴于点Q ，连结OP .若以O 、P 、Q 为顶点的三角形与以B 、C 、E 为顶点的三角形相似，直接写出点P 的坐标；（3）若点M (-4，n ) 在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M 的对应点为M ′，点B 的对应点为B ′．当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． COB A OE图1 FA BCE F图2 图3丰台区2013年初三统一练习(二)数学参考答案及评分标准二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．4 10．2(2)x y - 11．34 12．128π-； 2122n n π+- 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式=112--++-------- 4分． -------- 5分 14．解：23111xx x --=--,----------- 1分 231x x --=-, -----------2分41x -=, ----------- 3分14x =-.-----------4分经检验，14x =-是原方程的解．----------- 5分∴原方程的解是14x =-.15．证明：∵AC ∥DE ，∴∠ACB ＝∠E.-------------- 1分 在△ABC 和△CDE 中， ∠ACB ＝∠E ，∠B ＝∠D ， -------------- 4分 AC ＝CE ，∴△ABC ≌△CDE.-------------- 5分 16．解：∵11m m+=，∴21m m -=-. ------------ 1分 ∴原式=223+14m m m +- ------------ 2分=2331m m -++ ------------ 3分 =23()1m m --+ ------------ 4分 = 3(1)14-⨯-+= ． ------------ 5分17.解：(1)∵点(1,2)B -在函数my x=的图象上， ∴2m =-.∴反比例函数的解析式为2y x=-．-- 1分点(2,)A n -在函数2y x=-的图象上，∴1n =.∴(2,1)A -.y kx b =+ 经过(2,1)A -、(1,2)B -，∴21,2.k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得：1,1.k b =-⎧⎨=-⎩∴一次函数的解析式为1y x =--. ---- 3分（2）C 是直线AB 与x 轴的交点,∴当0y =时，1x =-. ∴点(1,0)C -.---------4分1OC ∴=.AOB ACO BCO S S S ∴=+△△△11111222=⨯⨯+⨯⨯ 32= ---------5分 18．解：设西瓜亩产量的增长率为x ，则西瓜种植面积的增长率为2x . ------ 1分 由题意得，2000(1+)10(12)60000x x ⋅+= . --2 分 解得，121,22x x ==-. ------ 3分 但22x =-不合题意，舍去. ------ 4分 答：西瓜亩产量的增长率为50%. ------ 5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.解：过点D 作DE ⊥AC 于E,过点A 作AF ⊥BC 于F.∵∠ACB =45°，∠BCD =90°， ∴∠ACD =45°.∵CD ，∴DE =EC =1. -----------------1分 ∵∠CAD =30°，∴AE . ---------------- 2分 ∴AC 1+. ---------------- 3分∴FA =FC =------------------------------- 4分 ∵∠ABF =60°, ∴sin 60AF AB ===︒ ------------------------ 5分 20. （1）证明：连结OC .∵ 点C 在⊙O 上，OA =OC ，∴ .OCA OAC ∠=∠∵ CD PA ⊥，∴ 90CDA ∠= ，有90CAD DCA ∠+∠= .∵ AC 平分∠PAE ，∴ .DAC CAO ∠=∠ ∴ .DAC OCA ∠=∠ ---------1分∴ 90.DCO DCA ACO DCA DAC ∠=∠+∠=∠+∠=∵ 点C 在⊙O 上，OC 为⊙O 的半径，∴ CD 为⊙O 的切线. ---------2分（2）解: 过点O 作OG ⊥AB 于G .∵90OCD ∠= ,CD PA ⊥,∴四边形OCDG 是矩形. ∴OG =CD , GD =OC . ---------3分∵ ⊙O 的直径为10，∴OA =OC =5.∴DG =5.∵tan ∠ACD 12AD CD ==，设AD =x , CD=2x ,则OG=2x.∴ AG =DG-AD=5- x .在Rt AGO △中，由勾股定理知222.AG OG OA +=∴ ()22(5)225.x x -+= 解得122,0()x x ==舍. -------------------------4分-------------------------3分如图，画图基本准确,每个统计图全部正确得1分. （2）365×(20％＋50％)≈256．答：该城市一年为优和良的天数大约共有256天． -------------------------5分22．（1）{4，3}． -------------------------1分（2）①画图 -------------------------2分②D (0，3). -------------------------3分（3）{1，-2}+{1，3}+{-2，-1}．-------------------------5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23、（1）证明： 22224(2)4(3)816(4)0b ac m m m m m ∆=-=---=-+=-≥，----------- 1分∴此方程总有两个实数根. ------------------------- 2分（2）解：抛物线2(2)3y x m x m =--+-与y 轴交点为M （0，3m -）．---------------------3分抛物线与x 轴的交点为（1,0）和（3m -,0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0,1-）和（0, 3m -）.-----------------5分 由题意，可得：1333m m m -=--=-或，即m =2或m =3. -------------------------7分24解：（1）① 猜想：222AE CF EF +=.-------------------------1分 ② 成立. ------------------------2分证明：连结OB.∵AB =BC , ∠ABC =90°,O 点为AC 的中点，∴12OB AC OC ==,∠BOC =90°,∠ABO =∠BCO =45°.∵∠EOF =90°，∴∠EOB =∠FOC . 又∵∠EBO =∠FCO ，∴△OEB ≌△OFC （ASA ）.∴BE =CF. -------------------------3分 又∵BA=BC , ∴AE =BF. 在RtΔEBF 中，∵∠EBF =90°, 222BF BE EF ∴+=.222AE CF EF ∴+=. -------------------------4分（2）解：如图，过点O 作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥BC 于N . ∵∠B =90°, ∴∠MON =90°. ∵∠EOF =90°, F∴△AOM ∽△OCN ∴OM AO ONOC=.∵14AO AC=， ∴13OE OF=. -------------------------7分25．解：(1)依题意得：322B （，）. ∵OC =2,CE=32,∴3 22E -（，）. ∵抛物线经过原点和点B 、E,∴设抛物线的解析式为2y ax =(0)a ≠.∵抛物线经过点322B （，）,∴ 342a = .解得：a =38. ∴抛物线的解析式为238y x =.-------------------------2分(2) 64512927P （，）或318P （，） .-------------------------4分 (3)存在.因为线段M B ''和CD 的长是定值，所以要使四边形M B CD ''的周长最短，只要使M D CB ''+最短.如果将抛物线向右平移，显然有M ′D +CB ′>MD +CB ，因此不存在某个位置，使四边形M ′B ′CD 的周长最短, 显然应该将抛物线238y x =向左平移.由题知(4,6)M -. -------------------------5分设抛物线向左平移了n 个单位，则点M '和B ′的坐标分别为M ′(-4-n ，6)和B ′(2-n ，32)．因为CD =2，因此将点B ′向左平移2个单位得B ′′(-n ，23)．要使M D CB ''+最短，只要使M D '+DB ′′最短． 点M′关于x 轴对称点的坐标为M ′′(-4-n ，-6). 设直线M ′′B ′′的解析式y kx b =+，点D 应在直线M ′′B ′′上， ∴直线M ′′B ′′的解析式为151582y x =+.----------------6分将B ′′(-n ，23)代入，求得165n =.--------------7分故将抛物线向左平移165个单位时，四边形M ′B ′CD 的周长最短，此时抛物线的解析式为2316()85y x =+． -------------------------8分。