石子合并(动态规划)详细解题报告

二．算法分析竞赛中多数选手都不约而同地采用了尽可能逼近目标的贪心法来逐次合并：从最上面的一堆开始，沿顺时针方向排成一个序列。

第一次选得分最小（最大）的相邻两堆合并，形成新的一堆；接下来，在N－1堆中选得分最小（最大）的相邻两堆合并……，依次类推，直至所有石子经N－1次合并后形成一堆。

例如有６堆石子，每堆石子数（从最上面一堆数起，顺时针数）依次为３４６５４２要求选择一种合并石子的方案，使得做５次合并，得分的总和最小。

按照贪心法，合并的过程如下：每次合并得分第一次合并３４６５４２ ->５第二次合并５４６５４ ->９第三次合并９６５４ ->９第四次合并９６９ ->１５第五次合并１５９ ->２４24总得分＝５＋９＋９＋１５＋２４＝６２但是当我们仔细琢磨后，可得出另一个合并石子的方案：每次合并得分第一次合并３４６５４２ ->７第二次合并７６５４２ ->１３第三次合并１３５４２ ->６第四次合并１３５６ ->１１第五次合并１３１１ ->２４24总得分＝７＋６＋１１＋１３＋２４＝６１显然，后者比贪心法得出的合并方案更优。

题目中的示例故意造成一个贪心法解题的假像，诱使读者进入“陷阱”。

为了帮助读者从这个“陷阱”里走出来，我们先来明确一个问题：１．最佳合并过程符合最佳原理使用贪心法至所以可能出错，是因为每一次选择得分最小（最大）的相邻两堆合并，不一定保证余下的合并过程能导致最优解。

聪明的读者马上会想到一种理想的假设：如果N－1次合并的全局最优解包含了每一次合并的子问题的最优解，那么经这样的N－1次合并后的得分总和必然是最优的。

例如上例中第五次合并石子数分别为１３和１１的相邻两堆。

这两堆石头分别由最初的第１，２，３堆（石头数分别为３，４，６）和第４，５，６堆（石头数分别为５，４，２）经４次合并后形成的。

于是问题又归结为如何使得这两个子序列的N－2次合并的得分总和最优。

为了实现这一目标，我们将第１个序列又一分为二：第１、２堆构成子序列１，第３堆为子序列２。

第一次合并子序列１中的两堆，得分７；第二次再将之与子序列２的一堆合并，得分１３。

显然对于第１个子序列来说，这样的合并方案是最优的。

同样，我们将第２个子序列也一分为二；第４堆为子序列１，第５，６堆构成子序列２。

第三次合并子序列２中的２堆，得分６；第四次再将之与子序列１中的一堆合并，得分１３。

显然对于第二个子序列来说，这样的合并方案也是最优的。

由此得出一个结论──６堆石子经过这样的５次合并后，得分的总和最小。

我们把每一次合并划分为阶段，当前阶段中计算出的得分和作为状态，如何在前一次合并的基础上定义一个能使目前得分总和最大的合并方案作为一次决策。

很显然，某阶段的状态给定后，则以后各阶段的决策不受这阶段以前各段状态的影响。

这种无后效性的性质符最佳原理，因此可以用动态规划的算法求解。

２．动态规划的方向和初值的设定采用动态规划求解的关键是确定所有石子堆子序列的最佳合并方案。

这些石子堆子序列包括：｛第１堆、第２堆｝、｛第２堆、第３堆｝、……、｛第N堆、第１堆｝；｛第１堆、第２堆、第３堆｝、｛第２堆、第３堆、第４堆｝、……、｛第N堆、第１堆、第２堆｝；……｛第１堆、……、第N堆｝｛第１堆、……、第N堆、第１堆｝……｛第N堆、第１堆、……、第N－１堆｝为了便于运算，我们用〔i，j〕表示一个从第i堆数起，顺时针数j堆时的子序列｛第i堆、第i＋１堆、……、第（i＋j－1）mod n堆｝它的最佳合并方案包括两个信息：①在该子序列的各堆石子合并成一堆的过程中，各次合并得分的总和；②形成最佳得分和的子序列１和子序列２。

由于两个子序列是相邻的，因此只需记住子序列１的堆数；设f〔i，j〕──将子序列〔i，j〕中的j堆石子合并成一堆的最佳得分和；c〔i，j〕──将〔i，j〕一分为二，其中子序列１的堆数；（１≤i≤N，１≤j≤N）显然，对每一堆石子来说，它的f〔i，１〕＝０c〔i，１〕＝０（１≤i≤N）对于子序列〔i，j〕来说，若求最小得分总和，f〔i，j〕的初始值为∞；若求最大得分总和，f〔i，j〕的初始值为０。

（１≤i≤N，２≤j≤N）。

动态规划的方向是顺推(即从上而下)。

先考虑含二堆石子的N个子序列（各子序列分别从第１堆、第２堆、……、第N堆数起，顺时针数２堆）的合并方案f〔１，２〕，f〔２，２〕，……，f〔N，２〕c〔１，２〕，c〔２，２〕，……，c〔N，２〕然后考虑含三堆石子的Ｎ个子序列（各子序列分别从第１堆、第２堆、……、第Ｎ堆数起，顺时针数３堆）的合并方案f〔１，３〕，f〔２，３〕，……，f〔N，３〕c〔１，３〕，c〔２，３〕，……，c〔N，３〕……依次类推，直至考虑了含N堆石子的N个子序列（各子序列分别从第１堆、第２堆、……、第N堆数起，顺时针数N堆）的合并方案f〔１，N〕，f〔２，N〕，……，f〔N，N〕c〔１，N〕，c〔２，N〕，……，c〔N，N〕最后，在子序列〔１，N〕，〔２，N〕，……，〔N，N〕中，选择得分总和（f值）最小（或最大）的一个子序列〔i，N〕（１≤i≤N），由此出发倒推合并过程。

３．动态规划方程和倒推合并过程对子序列〔i，j〕最后一次合并，其得分为第i堆数起，顺时针数j堆的石子总数t。

被合并的两堆石子是由子序列〔i，k〕和〔（i＋k－１）modn＋１，j－k〕（１≤k≤j－１）经有限次合并形成的。

为了求出最佳合并方案中的k 值，我们定义一个动态规划方程：当求最大得分总和时f〔i，j〕＝max｛f〔i，k〕＋f〔x，j-k〕＋t｝１≤k≤j－１c〔i，j〕＝k│ f〔i，j〕＝f〔i，k〕＋f〔x，j-k〕＋t（２≤ｊ≤ｎ，１≤ｉ≤ｎ）当求最小得分总和时f〔i，j〕＝min｛f〔i，k〕＋f〔x，j－k〕＋t｝１≤k≤j－１c〔i，j〕＝k│ f〔i，j〕＝f〔i，k〕＋f〔x，j-k〕＋t（２≤ｊ≤ｎ，１≤ｉ≤ｎ）其中x＝（i＋k－１）modn＋１，即第i堆数起，顺时针数k＋１堆的堆序号。

例如对上面例子中的６(３４６５４２ )堆石子，按动态规划方程顺推最小得分和。

依次得出含二堆石子的６个子序列的合并方案f〔１，２〕＝７ f〔２，２〕＝１０ f〔３，２〕＝１１c〔１，２〕＝１ c〔２，２〕＝１ c〔３，２〕＝１f〔４，２〕＝９ f〔５，２〕＝６ f〔６，２〕＝５c〔４，２〕＝１ c〔５，２〕＝１ c〔６，２〕＝１含三堆石子的６(３４６５４２ )个子序列的合并方案f〔１，３〕＝２０ f〔２，３〕＝２５ f〔３，３〕＝２４c〔１，３〕＝２ c〔２，３〕＝２ c〔３，３〕＝１f〔４，３〕＝１７ f〔５，３〕＝１４ f〔６，３〕＝１４c〔４，３〕＝１ c〔５，３〕＝１ c〔６，３〕＝２含四堆石子的６(３４６５４２ )个子序列的合并方案f〔１，４〕＝３６ f〔２，４〕＝３８ f〔３，４〕＝３４c〔１，４〕＝２ c〔２，４〕＝２ c〔３，４〕＝１f〔４，４〕＝２８ f〔５，４〕＝２６ f〔６，４〕＝２９c〔４，４〕＝１ c〔５，４〕＝２ c〔６，４〕＝３含五堆石子的６(３４６５４２ )个子序列的合并方案f〔１，５〕＝５１ f〔２，５〕＝４８ f〔３，５〕＝４５c〔１，５〕＝３ c〔２，５〕＝２ c〔３，５〕＝２f〔４，５〕＝４１ f〔５，５〕＝４３ f〔６，５〕＝４５c〔４，５〕＝２ c〔５，５〕＝３ c〔６，５〕＝３含六堆石子的６(３４６５４２ )个子序列的合并方案f〔１，６〕＝６１ f〔２，６〕＝６２ f〔３，６〕＝６１c〔１，６〕＝３ c〔２，６〕＝２ c〔３，６〕＝２f〔４，６〕＝６１ f〔５，６〕＝６１ f〔６，６〕＝６２c〔４，６〕＝３ c〔５，６〕＝４ c〔６，６〕＝３f〔１，６〕是f〔１，６〕，ｆ〔２，６〕，……f〔６，６〕中的最小值，表明最小得分和是由序列〔１，６〕经５次合并得出的。

我们从这个序列出发，按下述方法倒推合并过程：由c〔１，６〕＝３可知，第５次合并的两堆石子分别由子序列〔１，３〕和子序列〔４，3〕经４次合并后得出。

其中c〔１，３〕＝２可知由子序列〔１，３〕合并成的一堆石子是由子序列〔１，２〕和第三堆合并而来的。

而c〔１，２〕＝１，以表明了子序列〔１，２〕的合并方案是第１堆合并第２堆。

由此倒推回去，得出第１，第２次合并的方案，每次合并得分第一次合并３４６……->７第二次合并７６…… ->１３１３……子序列〔１，３〕经２次合并后合并成１堆，２次合并的得分和＝７＋１３＝２０。

ｃ〔４，３〕＝１，可知由子序列〔４，３〕合并成的一堆石子是由第４堆和子序列〔５，２〕合并而来的。

而c〔５，２〕＝１，又表明了子序列〔５，２〕的合并方案是第５堆合并第６堆。

由此倒推回去，得出第３、第４次合并的方案每次合并得分：第三次合并……５４２ ->６第四次合并……５６ ->１１……１１子序列〔４，３〕经２次合并后合并成１堆，２次合并的得分和＝６＋１１＝１７。

第五次合并是将最后两堆合并成１堆，该次合并的得分为２４。

显然，上述５次合并的得分总和为最小２０＋１７＋２４＝６１上述倒推过程，可由一个print（〔子序列〕）的递归算法描述procedure print （〔i，ｊ〕）beginif ｊ〈〉１ then ｛继续倒推合并过程beginprint（〔i，c〔i，j〕〕；｛倒推子序列１的合并过程｝print（〔i＋c〔i，j〕－１〕mod n＋１，j－c〔i，j〕）｛倒推子序列２的合并过程｝for K：＝１ to N do｛输出当前被合并的两堆石子｝if （第K堆石子未从圈内去除）then beginif（K＝i）or（K＝X）then置第K堆石子待合并标志else第K堆石子未被合并；end；｛then｝第i堆石子数←第i堆石子数＋第X堆石子数；将第X堆石子从圈内去除；end；｛then｝end；｛print｝例如，调用print（〔１，６〕）后的结果如下：print（〔１，６〕）⑤┌──────┴──────┐print（〔１，３〕）② print（〔４，３〕）④┌─────┴─────┐┌─────┴─────┐print(〔１，２〕)① print(〔3，1〕) print(〔4，1〕) print(〔５，２〕)③┌──────┴──────┐┌──────┴──────┐print（〔1,1〕） print（〔2,1〕） print（〔5,1〕）print（〔6,1〕）（图6.2-5）其中回溯至①显示３４６５４②显示７６５４２③显示１３５４２④显示１３５６⑤显示１３１１注:调用print过程后，应显示６堆石子的总数作为第５次合并的得分。