复习方案第2步 高考研究(二) 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题.共58页
2025高考物理 带电粒子在有界磁场中运动的临界和极值问题
2025高考物理 带电粒子在有界磁场中运动的临界和极值问题一、多选题1．如图所示，直角三角形ABC 区域内有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AC 边长为l ，∠B ＝o 30，一群比荷为q m的带正电粒子以相同速度在CD 范围内垂直AC 边射入，从D 点射入的粒子恰好不从AB 边射出。
已知从BC 边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t ，粒子在磁场中运动的最长时间为53t ，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，则（ ）A ．磁感应强度大小为m qtπ BC D ．粒子在磁场中扫过的面积为()2349l π2．如图所示，长方形abcd 长ad =0.6m ，宽ab =0.3m ，O 、e 分别是ad 、bc 的中点，以ad 为直径的半圆内有垂直于纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度B =0.25T 。
一群不计重力、质量m =3×10－7kg 、电荷量q =+2×10－3C 的带电粒子以速度v =5×102m/s 沿垂直ad 方向且垂直于磁场射入磁场区域（ ）A ．从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在Oa 边B ．从aO 边射入的粒子，出射点全部分布在ab 边C ．从Od 边射入的粒子，出射点分布在be 边D ．从aO 边射入的粒子，出射点分布在ab 边和be 边3．如图所示，竖直平面内两条虚线是匀强磁场的上下边界，宽度0.2m d =，磁场的磁感应强度0.1T B =，在磁场下边界P 点有粒子源，可以向磁场各个方向发射速度30 1.010m /sv =⨯带正电的粒子，粒子比荷42.510C /kg q m=⨯，不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）A ．粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为0.4mB ．粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为0.5mC ．粒子在磁场中运动的最长时间是4810s 3π-⨯ D ．粒子在磁场中运动的最长时间是4110s 3π-⨯二、单选题4．如图所示，某真空室内充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够长的平面感光板MN ，点a 为MN 与水平直线ab 的交点，MN 与直线ab 的夹角为53θ=︒，ab 间的距离为10cm d =。
(完整版)带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。
粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等。
如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。
一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。
2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。
3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。
4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。
a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
高中 高考物理专项复习 磁场 有界磁场中的临界极值问题
[解析] (1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为 R1， 运动速度为 v0。粒子能从左边界射出，临界情况如图甲所示，由几 何条件知 R1＋R1cos 30° ＝d mv2 0 又 qv0B＝ R 1 2（2－ 3）Bqd Bqd 解得 v0＝ ＝ m m（1＋cos 30° ） 所以粒子能从左边界射出时的最大速度为 2（2－ 3）Bqd vm＝v0＝ m
[ 典题 2]
(2016· 长沙质检 ) 如图所
示， 真空室内存在匀强磁场，磁场方向 垂直于纸面向里， 磁感应强度的大小 B ＝ 0.60 T ，磁场内有一块平面感光板 ab，板面与磁场方向平行，在距 ab 玻璃 l＝16 cm 处，有一个点状 的 α 放射源 S，它向各个方向发射 α 粒子，α 粒子的速度都是 v＝ q 3.0×10 m/s，已知 α 粒子的比荷m＝5.0×107 C/kg，现只考虑在图P′直线上， 将半径放缩作轨迹， 从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法”。
[典题 1]
(2016· 浙江联考)如图甲所示，在空间中存在垂直纸
面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场，其边界 AB、CD 相距为 d， 在左边界的 Q 点处有一质量为 m、 带电量为 q 的负粒子沿与左边界 成 30° 的方向射入磁场，粒子重力不计。求：
考点二
“平移法”解决有界磁场中的临界问题
1．适用条件 (1)速度大小一定，方向不同 带电粒子进入匀强磁场时，它们在 磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若 射入初速度为 v0，则圆周运动半径为 R mv0 ＝ qB 。如图所示。
(2)轨迹圆圆心，共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点 P 为 mv0 圆心、半径 R＝ qB 的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆 心圆”)上。 2．方法界定 mv0 将一半径为 R＝ qB 的圆沿着“轨迹圆心圆”平移，从而 探索出临界条件，这种方法称为“平移法” 。
带电粒子在磁场中的临界极值问题
带电粒子在磁场运动的临界与极值问题考点解读解决此类问题的关键是：找准临界点．找临界点的方法是：以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．(2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．(3)当速率v变化时，圆周角越大，运动时间越长．典例剖析1．磁感应强度的极值问题例1 如图所示，一带正电的质子以速度v0从O点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场．已知两板之间距离为d，板长为d，O点是板的正中间，为使质子能从两板间射出，试求磁感应强度应满足的条件(已知质子的带电荷量为e，质量为m)．2．偏角的极值问题例2 在真空中，半径r＝3×10－2 m的圆形区域内有匀强磁场，方向如图所示，磁感应强度B＝0.2 T，一个带正电的粒子以初速度v0＝1×106 m/s从磁场边界上直径ab的一端a射入磁场，已知该粒子的比荷qm＝1×108 C/kg，不计粒子重力．(1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径；(2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时v0与ab的夹角θ及粒子的最大偏转角．3．时间的极值问题例3如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ＝45°，孔Q到板的下端C 的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：；(1)两板间电压的最大值U(2)CD板上可能被粒子打中的区域的长度x；(3)粒子在磁场中运动的最长时间t m.4．面积的极值问题例4如图12所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。
高中物理求解带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界与极值问题的方法
高中物理求解带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界与极值问题的方法由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件：（1）带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零；（2）射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切。
然后应用数学知识和相应物理规律分析求解。
1、两种思路一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。
2、两种方法一是物理方法：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值。
二是数学方法：（1）利用三角函数求极值；（2）利用二次方程的判别式求极值；（3）利用不等式的性质求极值；（4）利用图像法等。
3、从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示。
审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律。
例1、如图1所示，一带正电的质子从O点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场，已知两板之间距离为d，板长为d，O 点是板的正中间，为使粒子能射出两板间，试求磁感应强度B的大小（质子的带电量为e，质量为m）。
图1解析：第一种极端情况从M点射出，此时轨道的圆心为O′点，由平面几何知识可得而带电粒子在磁场中的轨道半径，第二种极端情况是粒子从N点射出，此时粒子正好走了半个圆，其轨道半径为。
综合上述两种情况，得。
例2、如图2所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边的中点O处，垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为的带电粒子。
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题突破有界磁场中临界问题的处理方法考向1 “放缩法”解决有界磁场中的临界问题1.适用条件(1)速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化(2)轨迹圆圆心一一共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度V。
越大，运动半径也越大可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP,上.2.方法界定以入射点P为定点，圆心位于PP,直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法”.［典例1］如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd 边的中点.一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t。
刚好从c点射出磁场.现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计.那么下列说法中正确的是()A.若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为t。
5tB.若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为十3C.若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间号2tD.若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为43［解析］作出从ab边射出的轨迹①、从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和从ad边射出的轨迹④.由带正电的粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t o刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t o.由图可知，从ab边射出经历的时间一定不大片；从bc边射出经历的时间一定不大于不从cd边射...... . 5t t出经历的时间一定是丁；从ad边射出经历的时间一定不大于可，C正确.3 3［答案］C考向2 “旋转法”解决有界磁场中的临界问题1.适用条件(1)速度大小一定，方向不同带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为一.一一、 ,.一.一 mv __ _____v,则圆周运动半径为区=”0.如图所示.o qB(2)轨迹圆圆心一一共圆mv 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R=京的圆上. qB2.方法界定mv将一半径为R=氤的圆绕着入射点旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转法”.qB［典例2］如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60 T.磁场内有一块平面感光板ab,板面与磁场方向平行.在距ab为l = 16 cm处，有一个点状的a粒子放射源S,它向各个方向发射a粒子，a...................... . .. ....... q . .. ...... . . 粒子的速度都是v=3.0X106 m/s.已知a 粒子的比何m=5.0X107 C/kg,现只考虑在纸面内 运动的a 粒子，求ab 板上被a 粒子打中区域的长度.［解题指导］过S 点作ab 的垂线，根据左侧最值相切和右侧最值相交计算即可.［解析］a 粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R 表示轨迹半径， 4 c V 2有 qvB=mR由此得R 瑞代入数值得R=10 cm,可见2R>l>R因朝不同方向发射的a 粒子的圆轨迹都过S,由此可知，某一圆轨迹在下图中N 左侧与 ab 相切，则此切点、就是a 粒子能打中的左侧最远点为确定、点的位置，可作平行于ab 的直线cd, cd 到ab 的距离为R,以S 为圆心，R 为半径，作圆弧交cd 于Q 点，过Q 作ab 的 垂线，它与ab 的交点即为，即：NP=R 2—(1—R) 2 = 8 cm再考虑N 的右侧.任何a 粒子在运动中离S 的距离不可能超过2R,在N 点右侧取一点P 2, 取SP=20 cm,此即右侧能打到的最远点由图中几何关系得NP 2=M (2R) 2 — 12=12 cm所求长度为P 1P 2=NP 1+NP 2代入数值得P 1P 2 = 20 cm.［答案］20 cm考向1带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件 下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解.［典例3］如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B, MM,和NN’是磁场左 右的两条边界线.现有一质量为m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入.要使粒子 不能从右边界NN,射出，求粒子入射速率的最大值为多少？突破 带电粒子在磁场中运动的多解问题fl 兄 乂尹। x x J V X y K P 2 x b［解题指导］由于粒子电性不确定，所以分成正、负粒子讨论，不从NN,射出的临界条 件是轨迹与NN,相切.［解析］题目中只给出粒子”电荷量为q”，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论. 若q 为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN,相切的（圆弧，则轨道半径R \12 （2+ 2） Bqd ............... 一 一 一一 一 ......3 一 ........... 若q 为负电荷，轨迹是如图所示的下方与NN,相切的工圆弧，则轨道半径又—全解得『=（2-'⑵刎 m…… （2+ 2） Bqd （2— 2） Bqd,［答案］ --- 玄 ---- （q 为正电何）或 -- m ----- （q 为负电何）考向2磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考 虑磁感应强度方向不确定而形成的多解.［典例4］（多选）一质量为m 、电荷量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固mvBq又d=R 解得v=R,mv' Bq M N।■乂 ।1 ।*［典例5］（多选）长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强 度为B,板间距离也为1,板不带电.现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），从 左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（）定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在 负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（不计重 力）（） A. R 瘦 D. m 2qB C .— m D. qB m［解析］根据题目中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且 这两种可能方向相反.在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力 的方向也是相反的.当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知 _ V2 _ 4BqR v 4Bq4Bqv=m 万，得v= ，此种情况下，负电何运动的角速度为3=5=-；；当负电何所受的R m R m 洛伦兹力与电场力方向相反时,有2B qv=m V2, 丫=等,此种情况下,负电荷运动的角速度v 2Bq为3=R=/",应选A 、C.［答案］AC考向3临界状态不唯一形成多解如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状， 因此，它可能直接穿过去了，也可能转过180°从入射界面反向飞出，于是形成了多解.如图 m所示.A.使粒子的速度v<Bq15BalB.使粒子的速度v>*C.使粒子的速度丫>平D.使粒子的速度v满足Bq^vV51a1［解析］带电粒子刚好打在极板右边缘，有r2 = (r-1)+12,又因r =%，解得v =誓；i V 12 i Bq i 4m粒子刚好打在极板左边缘，有r=l=M2，解得丫=整，故A、B正确. 2 4 Bq 2 4m［答案］AB考向4带电粒子运动的往复性形成多解空间中部分是电场，部分是磁场，带电粒子在空间运动时，运动往往具有往复性，因而形成多解.［典例6］如图所示，在x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B；x轴下方有一匀强电场，电场强度为E.屏MN与y轴平行且相距L. 一质量m、电荷量为e的电子，在y轴上某点A 自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN上，那么：(1)电子释放位置与原点O的距离s需满足什么条件？(2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？［解题指导］解答本题可分“两步走”：(1)定性画出粒子运动轨迹示意图.(2)应用归纳法得出粒子做圆周运动的半径r和L的关系.［解析］(1)在电场中，电子从A-O,动能增加eEs=1mv0在磁场中，电子偏转，半径为mv r = o r eB据题意，有(2n+1)r=L一eL2B2 . .所以S=2Em (2n+1)2(n=0,1,2,3,”)⑵在电场中匀变速直线运动的时间与在磁场中做部分圆周运动的时间之和为电子总的2s T T , Ee 2nm运动时间 t=(2n+1)、： w+z+nj,其中 a=%, T=—B-■. । a 乙ui e一— .一 BL , 、nm, 、整理后得 t=^+(2n+1)族("=。
带电粒子在有界磁场中的临界,极值,多解问题
带电粒子在匀强磁场中的运动---临界问题、极值问题与多解问题一、带电粒子在有界磁场中运动的临界和极值问题带电粒子在有界磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解．找临界点的方法是：以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切；（2）当速率v一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；（3）当速率v变化时，圆心角大的，运动时间越长。
【例1】如图所示真空中狭长区域的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，宽度为d，速度为v的电子从边界CD外侧垂直射入磁场，入射方向与CD间夹角为θ．电子质量为m、电量为q．为使电子从磁场的另一侧边界EF射出，则电子的速度v应为多大?二、带电粒子在有界磁场中运动的多解问题1. 带电粒子电性不确定形成多解.受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，形成多解．2. 磁场方向不确定形成多解．3. 临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧形的，它可能穿过去，也可能转过１８０°从磁场的入射边界边反向飞出，于是形成多解．4. 运动的重复性形成多解：带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有重复性，形成多解．【例2】 长为L ，间距也为L 的两平行金属板间有垂直向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B ，今有质量为m 、带电量为q 的正离子从平行板左端中点以平行于金属板的方向射入磁场。
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题(解析版)
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解．1．临界条件的挖掘(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大(前提条件是劣弧)，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时，轨迹圆心角越大，运动时间越长。
(4)当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，则以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的偏转角最大。
2．不同边界磁场中临界条件的分析(1)平行边界：常见的临界情景和几何关系如图所示。
(2)矩形边界：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。
(3)三角形边界：如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的粒子临界轨迹示意图。
粒子能从AB间射出的临界轨迹如图甲所示，粒子能从AC间射出的临界轨迹如图乙所示。
3. 审题技巧许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示．审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件．【典例1】如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。
一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。
现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是( )A ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是53t 0，则它一定从cd 边射出磁场B ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是23t 0，则它一定从ad 边射出磁场C ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是54t 0，则它一定从bc 边射出磁场D ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t 0，则它一定从ab 边射出磁场 【答案】 AC 【解析】 如图所示，【典例2】放置在坐标原点O 的粒子源，可以向第二象限内放射出质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，带电粒子的速率均为v ，方向均在纸面内，如图8－2－14所示．若在某区域内存在垂直于xOy 平面的匀强磁场(垂直纸面向外)，磁感应强度大小为B ，则这些粒子都能在穿过磁场区后垂直射到垂直于x 轴放置的挡板PQ 上，求：(1)挡板PQ 的最小长度； (2)磁场区域的最小面积． 【答案】 (1)mv Bq (2)⎝⎛⎭⎫π2＋1m 2v 2q 2B2【解析】 (1)设粒子在磁场中运动的半径为R ，由牛顿第二定律得qvB ＝mv 2R ，即R ＝mvBq【跟踪短训】1. 在xOy 平面上以O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面．一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，从原点O 以初速度v 沿y 轴正方向开始运动，经时间t 后经过x 轴上的P 点，此时速度与x 轴正方向成θ角，如图8－2－24所示．不计重力的影响，则下列关系一定成立的是( )．A ．若r <2mv qB ，则0°<θ<90° B ．若r ≥2mv qB ，则t ≥πmqBC ．若t ＝πm qB ，则r ＝2mv qBD ．若r ＝2mv qB ，则t ＝πmqB【答案】 AD【解析】 带电粒子在磁场中从O 点沿y 轴正方向开始运动，圆心一定在垂直于速度的方向上，即在x 轴上，轨道半径R ＝mv qB .当r ≥2mvqB 时，P 点在磁场内，粒子不能射出磁场区，所以垂直于x 轴过P 点，θ最大且为90°，运动时间为半个周期，即t ＝πm qB ；当r <2mvqB 时，粒子在到达P 点之前射出圆形磁场区，速度偏转角φ在大于0°、小于180°范围内，如图所示，能过x 轴的粒子的速度偏转角φ>90°，所以过x 轴时0°<θ<90°，A 对、B 错；同理，若t ＝πmqB ，则r ≥2mv qB ，若r ＝2mv qB ，则t 等于πm qB，C 错、D 对． 2. 如图所示，磁感应强度大小为B ＝0.15 T 、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径为R ＝0.10 m 的圆形区域内，圆的左端跟y 轴相切于直角坐标系原点O ，右端跟很大的荧光屏MN 相切于x 轴上的A 点。
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题极值问题和多解问题
R1sin30°＋2l ＝R1
解得 R1＝l，由公式 qvB＝mv2/R，得该轨道上粒子 速度为 v01＝qmBl.
④对于从 ab 射出的、速度最小的粒子，其轨道应与 ab 相切，设切点为 N，圆心为 O2，半径为 R2，则 R2＋ R2cos60°＝12l，解得 R2＝13l，由 qvB＝mv2/R 可得 v02＝q3Bml.
由几何关系知
OA＝ AS2－OS2 AS＝2r′ OS＝r′ OC＝r′ 解得 OA＝ 3L，OC＝L 故被电子打中的区域长度为
AC＝OA＋OC＝(1＋ 3)L.
【答案】
BeL (1) 2m
(2)(1＋ 3)L
题后反思 (1)审题应首先抓住“速率相等”⇒即轨迹圆半径相 等，其次“各个方向发射”⇒轨迹不同．然后作出一系 列轨迹圆． (2)注意粒子在磁场中总沿顺时针方向做圆周运动， 所以粒子打在左边和右边最远点的情形不同．
(1)轨迹圆的缩放：当粒子的入射方向不变而速度大 小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆心一定在入射点所 受洛伦兹力所表示的射线上，但位置(半径 R)不确定，用 圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中 即可发现“临界点”．
(2)轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方 向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样 大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋 转(作图)中，也容易发现“临界点”．
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
例 1 如图所示，S 为一个电子源，它可以在纸面内 360°范围内发射速率相同的质量为 m、电量为 e 的电子， MN 是一块足够大的挡板，与 S 的距离 OS＝L，挡板在 靠近电子源一侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强 度为 B，问：
带电粒子在磁场中运动的临界问题课件
研究结果可以应用于空间探测、天气 预报、通讯和导航等领域。
地球磁场可以影响太阳风等离子体的 运动和散布，空间物理研究有助于了 解太阳系中的环境和天体现象。
05
CHAPTER
带电粒子在磁场中运动的临 界问题的挑战和展望
研究方法和技术的改进和创新
引入新的数学模型和计算方法， 以更精确地描述带电粒子在磁场
促进学术交流和合作，以便更好地推动带电粒子在磁 场中运动的研究和应用发展。
THANKS
谢谢
临界条件的实验验证和方法改进
实验验证
通过实验可以验证临界条件的正确性。例如，可以使用粒子加速器和磁场装置来模拟带电粒子在磁场中的运动， 并视察其轨迹是否满足临界条件。
方法改进
根据实验结果和理论分析，可以对临界条件的推导和分析方法进行改进。例如，可以使用更精确的数学工具来推 导和分析临界条件；也可以通过改变磁场强度或边界形状等参数来调整临界条件。
03
CHAPTER
带电粒子在磁场中运动的临 界问题
临界条件的定义和分类
定义
带电粒子在磁场中运动的临界条件是指粒子在磁场中运动时，其轨迹恰好不与 边界相切或相离，而是恰好与边界相切或相交。
分类
根据不同的标准，临界条件可以分为不同的类型。例如，根据粒子的速度方向 与磁场方向的关系，可以分为横向和纵向临界条件；根据粒子的能量大小与磁 场强度的大小关系，可以分为高能临界和低能临界。
中的运动。
开发先进的模拟软件和计算程序 ，以便更好地预测和模拟带电粒
子的行为。
推动实验技术的发展，以便更好 地测量和验证带电粒子在磁场中
的运动。
理论和实验的进一步验证和完善
开展更多的理论研究和实验验证，以进 一步揭示带电粒子在磁场中运动的规律
高中物理 磁场(三)带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题与多解问题
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题与多解问题一、带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法物理系统由于某些原因而要发生突变时所处的状态，叫做临界状态．突变过程是从量变到质变的过程，在临界状态的前后，系统服从不同的物理规律，按不同的规律变化。
在高考试题中涉及的物理过程中常常出现隐含着一个或几个临界状态，需要通过分析思考，运用所学的知识和已有的能力去分析临界条件，挖掘出临界值，那么如何确定它们的临界条件？下面介绍三种寻找临界点的两种有效方法：1．对称思想带电粒子垂直射入磁场后，将做匀速圆周运动。
分析粒子运动，会发现它们具有对称的特点，即：粒子的运动轨迹关于入射点P与出射点Q的中垂线对称，轨迹圆心O位于对称线上，入射速度、出射速度与PQ 线间的夹角(也称为弦切角)相等，并有＝＝2＝t，如图所示。
应用这一粒子运动中的“对称性”不仅可以轻松地画出粒子在磁场中的运动轨迹，对于某些临界问题的求解也非常便捷。
【典例】如图所示，半径r＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切；磁场B＝0．33T垂直于纸面向内，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2×106m/s的α粒子；已知α粒子质量为m=6.6×10-27kg，电量q=3.2×10-19c，则α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ及在磁场中运动的最长时间t各多少？【审题指导】本题α粒子速率一定，所以在磁场中圆周运动半径一定，由于α粒子从点O进入磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同，则粒子通过磁场的速度偏向角θ不同，要使α粒子在运动中通过磁场区域的偏转角θ最大，则必使粒子在磁场中运动经过的弦长最大，因而圆形磁场区域的直径即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦，依此作出α粒子的运动轨迹进行求解。
【名师点睛】当速度一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
2．放缩法带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v0越大，运动半径也越大。
高考物理复习 (超全)带电粒子在有界磁场中运动的临界问题、极值问题和多解问题
第八章 第4节
高考调研
高三物理（新课标版）
一、带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题 规律方法 1．解决此类问题关键是找准临界点，审题应抓住题 目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语作为 突破口，挖掘隐含条件，分析可能的情况，如有必要则 画出几个不同半径相应的轨迹图，从而分析出临界条 件．寻找临界点的两种有效方法：
第八章 第4节
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3．临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于 粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可 能转过 180°从入射界面这边反向飞出，如图所示，于是 形成了多解．
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4．运动的往复性形成多解 (1)带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动 时，运动往往具有往复性，从而形成多解．如图所示．
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(2)带电粒子在磁场中运动时，由于磁场方向突然反 向等，使得运动具有往复性而形成多解．
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例 2 如图所示，在 x<0 与 x>0 的区域中，存在磁感 应强度大小分别为 B1 与 B2 的匀强磁场，磁场方向均垂直 于纸面向里，且 B1>B2.一个带负电荷的粒子从坐标原点 O 以速度 v 沿 x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间 后又经过 O 点，B1 与 B2 的比值应满足什么条件？
可能
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3．临界状态⑥_不__同_____形成多解：带电粒子在洛伦 兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动速度不同， 因此，它可能穿过去了，可能转过 180°从入射界面这边 反向飞出，如图所示，于是形成多解．
高考物理复习微专题3带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖P
情况按反方向偏转再分析一下即可。
在详细问题中,这五个参量普通都是已知两个,剩下其它参量不
确定(但知道改变范围)或待定,按已知参量可将问题分为以下10
类 (C52 ) ,并可归并为6大类型。
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-3-
类型
类型一
类型二
类型三
类型四
类型五
感应强度为B。一质量为m、带电荷量为q带正电粒子从O点以沿y
轴负方向速度v运动。
(1)粒子离开O点后,求第三次经过磁场边界时位置坐标;
(2)求粒子在磁场中运动总时间。
答案:(1)
3
,
2 6
8π
(2) 3
10/52
-11-
解析:(1)粒子在磁场中做圆周运动,粒子运动轨迹如图所示,由
类型六
已知参量
①⑩
②⑧
③
⑦
⑤⑨
④⑥
入射点、入射方向;出射点、出射方向
入射点、速度大小;出射点、速度大小
入射点、出射点
入射方向、出射方向
入射方向、速度大小;出射方向、速度大小
入射点、出射方向;出射点,入射方向
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-4-
全部这些问题,其通用解法是:第一步,找准轨迹圆圆心可能位置;
第二步,按一定次序尽可能多地作不一样圆心对应轨迹圆(普通最
<v<
5
4
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分析:粒子初速度方向已知,故不一样速度大小粒子轨迹圆圆心
均在垂直初速度直线上(如图甲),在该直线上取不一样点为圆心,半
径由小取到大,作出一系列圆(如图乙),其中轨迹圆①和②为临界轨
迹圆。轨道半径小于轨迹圆①或大于轨迹圆②粒子,均可射出磁场
专题3.6+带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题(2)-届高考物理一轮复习之热点题型+Word版含解析.doc
专题3.6 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题（2）高考+模拟综合提升训练1.(2018江苏高考15)如图所示,真空中四个相同的矩形匀强磁场区域,高为4d,宽为d,中间两个磁场区域间隔为2d,中轴线与磁场区域两侧相交于O 、O'点,各区域磁感应强度大小相等。
某粒子质量为m 、电荷量为+q,从O 沿轴线射入磁场。
当入射速度为v 0时,粒子从O 上方2d处射出磁场。
取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。
(1)求磁感应强度大小B 。
(2)入射速度为5v 0时,求粒子从O 运动到O'的时间t 。
(3)入射速度仍为5v 0,通过沿轴线OO'平移中间两个磁场(磁场不重叠),可使粒子从O 运动到O'的时间增加Δt,求Δt 的最大值。
【答案】:(1)04mv qd(2)0(53π+72)180d v (3)05dv【解析】(1)粒子圆周运动的半径00mv r qB=由题意知r 0=4d ,解得04mv B qd =(2)设粒子在矩形磁场中的偏转角为α,半径为r, 由r=mvqB 得r=5r 0=54d 由d=rsin α,得sin α=45,即α=53° 在一个矩形磁场中的运动时间12π360mt qBα=⨯︒,解得t 1=053π720d v直线运动的时间t 2=2d v,解得t 2=025d v则120(53π+72)4180d t t t v =+=(3)将中间两磁场分别向中央移动距离x, 粒子向上的偏移量y=2r(1-cos α)+xtan α 由y≤2d,解得x≤34d 则当x m =34d 时,Δt 有最大值2.（2017新课标Ⅱ 18）如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入的速度为1v ，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速度为2v ，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则21:v v 为2D.3【答案】C【解析】当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场的位置最远，则当粒子射入的速度为1v ，如图，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为11cos602r R R ==；同理，若粒子射入的速度为2v ，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为23cos30r R ==；根据mv r v qB=∝，则2121:=:v v r r ，故选C.3．(2017·全国卷Ⅱ)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同方向射入磁场。
2015高考物理二轮复习：带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧带电粒子（质量m 、电量q 确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有——入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表），磁场方向在一般问题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。
在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按已知参数可将问题分为如下10类（25C ），并可归并为6大类型。
所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一．．定顺序．．．尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆），③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。
类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（即轨道半径不确定） 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。
【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是A ．使粒子的速度v <BqL 4mB ．使粒子的速度v >5BqL4mC ．使粒子的速度v >BqL mD ．使粒子的速度BqL 4m <v <5BqL4m【分析】粒子初速度方向已知，故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上（如图甲），在该直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆①和②为临界轨迹圆。
轨道半径小于轨迹圆①或大于轨迹圆②的粒子，均可射出磁场而不打在极板上。
【解答】 AB粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O 点，有 r 12＝L 2＋(r 1－L2)2 ，得 r 1＝5L 4由 r 1＝mv 1Bq ，得 v 1＝5BqL 4m ，所以v >5BqL4m时粒子能从右边穿出．类型已知参量类型一 ①⑩ 入射点、入射方向；出射点、出射方向 类型二 ②⑧ 入射点、速度大小；出射点、速度大小 类型三 ③ 入射点、出射点 类型四 ⑦入射方向、出射方向类型五 ⑤⑨ 入射方向、速度大小；出射方向、速度大小； 类型六 ④⑥ 入射点、出射方向；出射点，入射方向图乙图甲 ①②入射点入射方向 入射速度大出射点出射方向 ①② ③ ④ ⑧ ⑨ ⑤⑥⑦⑩粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O ′点，有 r 2＝L4由 r 2＝mv 2Bq ，得 v 2＝BqL 4m ，所以v <BqL4m时粒子能从左边穿出．【易错提醒】容易漏选A ，错在没有将r 先取较小值再连续增大，从而未分析出粒子还可以从磁场左边界穿出的情况。