圆周运动临界问题 极值问题

圆周运动临界问题 极值问题

相关知识复习：

一、由于受静摩擦力作用

二、绳 杆等恰好无作用力或者有承受最大力

三、两个典型模型

1、绳球模型（已知绳长L ，小球质量m ，线速度V ）

1）画出小球的受力示意图

2）写出小球过最高点的动力学方程

3）若小球刚好过最高点，F =拉 ，此时 V=

2、杆球模型 （已知杆长L ，小球质量m ，线速度V ）

1）若小球刚好过最高点，杆对球的作用力F = ，方向 此时 V=

2

）若v =

F = 。 3

）若v >F = ，方向 。

4

）若0v

举例 :

1 对滑冰运动员的最大摩擦力为其重力的k 倍，在水平冰面上沿半径为R 的圆周滑行的运动员，若仅依靠摩擦力来提供向心力而不冲出圆形滑道，其运动的速度应满足

A ．v ≥kRg

B ．v ≤kRg

C ．v ≤kRg 2

D ．v ≤

2kRg 2 如图所示，用细绳一端系着的质量为M ＝0.6 kg 的物体A 静止在水平转盘上，细绳另

一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质量为m ＝0.3 kg 的小球B ，A 的重心到O 点的距

离为0.2 m ．若A 与转盘间的最大静摩擦力为F f ＝2 N ，为使小球B 保持静止，求转盘

绕中心O 旋转的角速度ω的取值范围．（取g ＝10 m/s 2）

3 质量为m A 和m B 的两个小球A 和B 用轻质弹簧连在一起，用长为L 1的细绳将

A 球系于O 轴上，使A

B 两球均以角速度ω在光滑的水平面上绕OO ′轴做匀速

圆周运动，如图所示，当两球间的距离为L 2时，将线烧断，线被烧断的瞬间，

两球加速度a A 和a B 各是多少？

4 光滑管形圆轨道，且轨道半径为R （管径远小于R ），小球的质量为m ，其直径略小

于管径，能在管中无摩擦运动。

则：1）小球在最低点的速度v 至少多大时，才能使小球在管内做完整的圆周运动？

2）当小球在最低点的速度

时，小球在轨道最高点对轨道是否有压力？

gR

v

5=

5 如图所示，长度为l 的细绳上端固定在天花板上O 点，下端拴着质量为m 的小球。当

把细绳拉直时，细绳与竖直线夹角为θ=60°，此时小球静止于光滑的水平面上。

1)当球以角速度L g =1ω做圆锥摆运动时，细绳的张力T 为多大？水平面受到的压力N

是多大？

2)当球以角速度L

g 42=ω做圆锥摆运动时，细绳的张力'T 及水平面受到的压力'N 各是多大？

6 小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的

小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳

突然断掉，球飞行水平距离d 后落地。如题24图所示。已知握绳的手离地面高度

为d ，手与球之间的绳长为34

d,重力加速度为g 。忽略手的运动半径和空气阻力。 （1）求绳断时球的速度大小1v 和球落地时的速度大小2v 。

（2）问绳能承受的最大拉力多大？

（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？

7 如图所示，光滑的水平面上钉有两枚铁钉A 和B ，相距0.1 m 、长1 m 的柔软细绳拴在A 上，另一端系一质量为0.5 k g 的小球，小球的初始位置在AB 连线上A 的一侧，把细线拉紧，给小球以2 m/s 的垂直细线方向的水平速度使它做圆周运动．由于钉子B 的存在，使线慢慢地缠在A 、B 上．

（1）如果细线不会断裂，从小球开始运动到细线完全缠在A 、B 上需要多长时间?

（2）如果细线的抗断拉力为7 N ，从开始运动到细线断裂需经历多长时间?

1【解析】 摩擦力提供向心力；根据临界条件，mgk ＝m R v 2

，得v ＝kRg

则v ≤kRg

【答案】 B

2 【解析】 要使B 静止，A 必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A 需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成，角速度取最大值时，A 有离心趋势，静摩擦力指向圆心O ；角速度取最小值时，A 有向心力运动的趋势，静摩擦力背离圆心O ．

对于B ，F ＝mg

对于A ，F ＋F f ＝Mrω12

F －F f ＝Mrω22

解得：ω1＝Mr F mg f

+＝6.5 r ad/s ；

ω2＝

Mr F mg f

+＝2.9 r ad/s 【答案】 2.9 r ad/s≤ω≤6.5 r ad/s

3【解析】 B 球绕O 点做匀速圆周运动时，向心力由弹簧的弹力提供，则

F ＝m B ω2（L 1＋L 2）

烧断线的瞬间，A 、B 受的合外力均为F ＝m B ω2（L 1＋L 2），所以，两球的加速度分别为 a A ＝)(212L L m m m F A B A +=ω

a B ＝)

(212L L m F B +=ω

【答案】 )

();(212212L L L L m m A B ++ωω

8 【解析】 小球交替地绕A 、B 做匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力F 不断增大，半周期不断减小．推算出每个半周期的时间及半周期数，就可求出总时间，根据绳子能承受的最大拉力，可求出细绳断裂所经历的时间．

在第一个半周期内：F 1＝m 02L v t 1＝v L 0

π

在第二个半周期内：F 2＝m AB L L v -02

t 2＝

v L L AB )

(0-π