专项：圆周运动中的临界问题探究1水平面内的匀速圆周运动中的临界问题剖析(讲义)

【二】重难点提示：

重点：

1. 掌握水平面内圆周运动向心力的来源；

2. 会用极限法分析临界条件。

难点：会根据状态的变化判断弹力和静摩擦力的大小及方向变化。

【一】水平面内圆周运动临界产生原因

1. 从运动学角度：物体做圆周运动的角速度过大，所需要的向心力过大，物体所受合外力的径向分力不足会出现临界。

2. 从动力学角度：外界提供的最大的径向合外力存在最大值或最小值，这就决定了物体做圆周运动的速度就有最大值或最小值，因此出现临界。

【二】水平面内圆周运动的两种模型

1. 圆台转动类

小物块放在旋转圆台上，与圆台保持相对静止，如下图，物块与圆台间的动摩擦因数为μ，离轴距离为R，圆台对小物块的静摩擦力〔设最大静摩擦力等于滑动摩擦力〕提供小物块做圆周运动所需的向心力。水平面

内，绳拉小球在圆形轨道上运动等问题均可归纳为〝圆台转动类〞。

g ，当ω<ωmax时，

临界条件：圆台转动的最大角速度ωmax＝

R

小物块与圆台保持相对静止；当ω>ωmax时，小物块脱离圆台轨道。

以下图均为平台转动类

甲乙丙

2. 火车拐弯类

如下图，火车拐弯时，在水平面内做圆周运动，重力mg和轨道支持力N的合力F提供火车拐弯时所需的向心力。圆锥摆、汽车转弯等问题均可归纳为〝火车拐弯类〞。

临界条件：假设v ＝θtan gr ，火车拐弯时，既不挤压内轨也不挤压外轨；

假设v>θtan gr ，火车拐弯时，车轮挤压外轨，外轨反作用于车轮的力的水平分量与F 之和提供火车拐弯时所需的向心力；假设v ＜θtan gr ，火车拐弯时，车轮挤压内轨，内轨反作用于车轮的力的水平分量与F 之差提供火车拐弯时所需的向心力。

火车转弯问题类变形： 1

2 3

4

5

【方法指导】临界问题解题思路

1. 确定做圆周运动的物体作为研究对象。

2. 确定做圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径。

3. 对研究对象进行受力分析。哪些力存在临界？〔摩擦力、弹力〕

4. 运用平行四边形定那么或正交分解法〔取向心加速度方向为正方向〕求出向心力F 。

5. 根据向心力公式，选择一种形式列方程求解。

例题1 如下图，半径为4

l

、质量为m 的小球用两根不可伸长的轻绳a 、b 连接，两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A 、B 两点上，A 、B 两点相距为l ，当两轻绳伸直后，A 、B 两点到球心的距离均为l 。当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时〔细绳a 、b 与杆在同一竖直平面内〕。求：

〔1〕竖直杆角速度ω为多大时，小球恰离开竖直杆。

〔2〕小球离开竖直杆轻绳a 的张力Fa 与竖直杆转动的角速度ω之间的关系。

思路分析：〔1〕小球恰离开竖直杆时，小球与竖直杆间的作用力为零，此时轻绳a 与竖直杆间的夹角为α，由题意可知sin α＝41，r ＝

4

l 沿半径：Fasin α＝m ω2r 垂直半径：Facos α＝mg 联立解得ω＝2

l g

15

1 〔2〕由〔1〕可知小球恰离开竖直杆时，Fa ＝

15

4mg

假设角速度ω再增大，小球将离开竖直杆，在轻绳b 恰伸直前，设轻绳a 与竖直杆的夹角为β，此时小球做圆周运动的半径为r ＝lsin β

沿半径：Fasin β＝m ω2r 垂直半径：Facos β＝mg 联立解得Fa ＝m ω2l

当轻绳b 恰伸直时，β＝60°，此时ω＝l

g

2 故有Fa ＝m ω2l ，此时15

4

l

g

≤ω2≤l g 2

假设角速度ω再增大，轻绳b 拉直后，小球做圆周运动的半径为r ＝l

sin 60°

沿半径：Fasin 60°＋Fbsin 60°＝m ω2r 垂直半径：Facos 60°＝Fbcos 60°＋mg

联立解得：Fa ＝2

1

ml ω2＋mg ，此时ω2≥

l g 2 答案：〔1〕2l g

151 〔2〕0≤ω2≤154l g ⋅时，Fa ＝154mg ；154 l

g

≤ω2≤l g 2时，Fa ＝m ω2l ；ω2≤l g 2时，Fa ＝21ml ω2＋mg

例题2 如下图，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮A 和B 水平

放置，两轮半径RA ＝2RB ，当主动轮A 匀速转动时，在A 轮边缘放置的小木块恰能相对静止在A 轮边缘上。假设将小木块放在B 轮上，欲使木块相对B 轮也静止，那么木块距B 轮转轴的最大距离为〔 〕

A.

4

B

R B.

3

B

R C.

2

B

R D. RB

思路分析：根据A 和B 靠摩擦转动可知，A 和B 边缘线速度大小相等，即RA ωA ＝RB ωB ，ωB ＝2ωA ，又根据在A 轮边缘放置的小木块

恰能相对静止得μmg ＝mRA 2

A ω，设小木块放在

B 轮上相对B 轮也静止时，距B 轮转轴的最大距离为RB ′，那么有：μmg ＝mRB ′2B ω，解上面

式子可得RB ′＝

2

B

R 。 答案：C

【易错警示】

易错点：匀速圆周运动与非匀速圆周运动合外力方向的区别 总分值训练：

如下图，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时，以下说法正确的选项是〔〕

A. 当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为c

B. 当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力

C. 当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a

D. 当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为b

思路分析：圆盘匀速转动时，重力和支持力平衡，合外力〔摩擦力〕提供圆周运动向心力，故摩擦力方向指向圆心O点，A正确，B错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，两方向的合力即摩擦力可能指向b，故C错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a相反方向的切向力，使线速度大小减小，两方向的合力即摩擦力可能指向d，故D错误。

答案：A