圆周运动中的临界问题专题

课题28圆周运动中的临界问题一、竖直面内圆周运动的临界问题(1)如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 ① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv 2/R →v 临界=Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）即此时小球所受重力全部提供向心力注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，此时临界速度V 临≠Rg②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） 【例题1】如图所示，半径为R 的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速v 0，若v 0≤gR 310，则有关小球能够上升到最大高度（距离底部）的说法中正确的是（ ） A 、一定可以表示为gv 220B 、可能为3RC 、可能为RD 、可能为35R【延展】汽车过拱形桥时会有限速，也是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度gr v 时，汽车对弧顶的压力F N =0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥面不能对汽车产生拉力．（2）如右图所示，小球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况： 特点：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力． ①当v ＝0时，F N ＝mg （N 为支持力）②当 0＜v ＜Rg 时， F N 随v 增大而减小，且mg ＞F N ＞0，F N 为支持力． ③当v =Rg 时，F N ＝0④当v ＞Rg 时，F N 为拉力，F N 随v 的增大而增大（此时F N 为拉力，方向指向圆心） 典例讨论1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点．结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程【例题2】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO /旋转，现将轻质弹簧的一端固定O ORR在圆盘中心，另一端系住一个质量为m 的物块A ，设弹簧劲度系数为k ，弹簧原长为L 。

将物块置于离圆心R 处，R ＞L ，圆盘不动，物块保持静止。

现使圆盘从静止开始转动，并使转速ω逐渐增大，物块A 相对圆盘始终未惰动。

当ω增大到()54k R l mRω-=A 是否受到圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦力，试确定其方向。

【解析］对物块A ，设其所受静摩擦力为零时的临界角度为ω0，此时向心力仅为弹簧弹力；若ω＞ω0，则需要较大的向心力，故需添加指向圆心的静摩擦力；若ω＜ω0，则需要较小的向心力，物体受到的静摩擦力必背离圆心。

依向心力公式有m ω02R=k(R －L)，所以()0k R l mRω-=，故()54k R l mRω-=,得ω＞ω0。

可见物块所受静摩擦力指向圆心。

【例3】如图所示，细绳长为L ，一端固定在O 点，另一端系一质量为m 、电荷量为+q 的小球，置于电场强度为E 的匀强电场中，欲使小球在竖直平面内做圆周运动，小球至最高点时速度应该是多大？解析：小球至最高点时能以L 为半径做圆周运动，所需向心力最小时绳子无拉力，则Mg ＋Eq=mv 02/L ，得()m L Eq mg v /0+=，故小球在竖直平面内能够做圆周运动时，小球至最高点的速度 ()m L Eq mg v /+≥拓展：该题中物理最高点与几何最高点是重合的，物理最高点是在竖直平面内做圆周运动的物体在该点势能最大，动能最小，若把该题中的电场变为水平向右．如图，当金属球在环内做圆周运动时，则物理最高点为A 点，物理最低点为B 点，而几何最高点为C 点，几何最低点为D 点（这种情况下，两个最高点已不再重合，两个最低点也不再重合）． A 处速度的最小值（临界速度）应满足：()()222/Eq mg F R mv A +==合思考：物体恰能到达几何最高点时，绳的拉力为多少？【例4】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R （比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。

A 球的质量为m 1，B 球的质量为m 2。

它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v 0。

设A 球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m 1，m 2，R 与v 0应满足怎样的关系式?解析：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图所示。

A 球在圆管最低点必受向上弹力N 1，此时两球对圆管的合力为零，m 2必受圆管向下的弹力N 2，且N 1=N 2。

据牛顿第二定律A 球在圆管的最低点有ΛΛRv m g m N 20111=-① Em ，q L ·O同理m 2在最高点有ΛΛRv m N g m 21222=+② m 2球由最高点到最低点机械能守恒Λ202212221212v m v m R g m =+③又N 1=N 2……④【小结】 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。

找出其中的联系就能很好地解决问题。

【例5】如图所示，赛车在水平赛道上作900转弯，其内、外车道转弯处的半径分别为r 1和r 2，车与路面间的动摩擦因数和静摩擦因数都是μ．试问：竞赛中车手应选图中的内道转弯还是外道转弯？在上述两条弯转路径中，车手做正确选择较错误选择所赢得的时间是多少？ 分析:赛车在平直道路上行驶时，其速度值为其所能达到的最大值，设为v m 。

转弯时，车做圆周运动，其向心力由地面的静摩擦力提供，则车速受到轨道半径和向心加速度的限制，只能达到一定的大小．为此，车在进入弯道前必须有一段减速过程，以使其速度大小减小到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值，走完弯路后，又要加速直至达到v m 。

车道的选择，正是要根据内外道上的这些对应过程所历时间的比较来确定． 对于外车道，设其走弯路时所允许的最大车速为v 2，则应有mv 22/r 2=μmg 解得v 2=2r g μ如图所示，设车自M 点开始减速，至N 点其速度减为v 2，且刚好由此点进入弯道，此减速过程中加速度的大小为a=μmg/m=μg此减速过程中行驶的路径长度（即MN 的长度）为x 2=av v m 2222-=g v m μ22－22r车沿弯道到达A 点后，由对称关系不难看出，它又要在一段长为x 2的路程上加速，才能达到速度v m 。

上述过程所用的总时间为t 2=t 减速＋t 圆弧＋t 加速=a v v m 2-＋222v r π＋av v m 2-=g v m μ2－（2－2π）g r μ2同样的道理可以推得车走内车道所用的总时间为t 1=gv m μ2－（2－2π）g r μ1另一方面，对内车道和外车道所历路程的直线部分进行比较，由图可见，车往内车道多走了长度 ΔL ＝ r 2－ r l同时，在直线道上车用于加速和减速的行程中，车往内道也多走了长度 Δx=2x 1－2x 2= r 2－ r l由于上述的ΔL 和Δx 刚好相等，可见车在直道上以v m 匀速行驶的路程长度对于内外两道来说是相等的．这样，为决定对内外道的选择，只需比较上述的t 1和t 2即可由于 t 2＜t 1，显然，车手应选择走外道，由此赢得的时间为 Δt=t 1一t 2=21(2)2r r gπμ--2.求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围【例6】如图，直杆上0102两点间距为L ，细线O 1A 长为3L ，O 2A 长为L,A 端小球质量为m ，要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度ω转动？解析:当ω较小时线O 1A 拉直，O 2A 松弛，而当ω太大时O 2A 拉直, O 1A 将松弛．设O 2A 刚好拉直,但F O2A 仍为零时角速度为ω1，此时∠O 2O 1A =300,对小球：在竖直方向F O1A ·cos300＝mg ……①在水平方向：F O1A ·sin300＝213sin 30m L ω⋅……②由①②得123g L ω=设O 1A 由拉紧转到刚被拉直,F O1A 变为零时角速度为ω2对小球：F O2A ·cos600=mg ……③F O2A ·sin600=m ω22L ·sin600………④ 由③④得22g L ω=,故223g g L L ω〈〈【例7】一根长约为L 的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴在竖直平面内转动，杆最初在水平位置。

杆上距O 为a 处放有一个小物体B （可视为质点）。

杆与其上小物体最初均处于静止状态，若此杆突然以匀角速度ω绕O 轴转动，问当ω取什么值时，小物体与杆可能相碰。

【解析】杆开始转动后，两物体的运动状态分别为：A 做匀速转动，B 做自由落体运动。

若B 能与杆相碰，只可能在B 下落的竖直线上，那么，杆转动的高度范围就被确定了，即如图所示的转角范围。

我们分两种情况进行讨论：（1）当杆的转速ω较小时，物体B 有可能追上细杆与细杆相碰。

设物体B 下落到C 作用的时间为t 1，杆转过Φ角所用时间为t 2，两物要能相碰，t 1和t 2就满足下列条件：t 1≤t 2…①又因为L BC ＝½gt 12，Φ=ωt 2，由几何关系L BC =22a L -，Lcos Φ=a ，所以L BC ＝½gt 12=22a L -解得t 1=ga L 222-由Φ=ωt 2=arccos α/L 解得t 2=ω1arccos （a/L ） 将t l 、t 2代入①式，得ga L 222- ≤ω1arccos （a/L ）解得ω≤2garccos （a/L ）/422a L - （2）当杆的转速ω较大时，杆转过一周后有可能追上B 而与物体B 相碰，设杆转过中角所用的时间为t 2/，杆要与B 相碰，t 2/和t l 必须满足下列条件：t l ≥t 2/由2π+Φ=ωt 2/，所以t 2/=（2π+Φ）=（2π+arccos （a/L ））/ω代入得ga L 222-≥（2π+arccos （a/L ））/ω，解得ω≥2garccos （a/L ）/422a L - OA aLωB由以上分析可知，当杆转动的角速度满足：ω≤2garccos （a/L ）/422a L -或ω≥2garccos （a/L ）/422a L -时，物体B 均有可能和细杆相碰。

典例分析杆长为L ，球的质量为m ，杆连球在竖直平面内绕轴O 自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F =1/2mg ，求这时小球的即时速度大小。

解：小球所需向心力向下，本题中F =1/2mg ＜mg ，所以弹力的方向可能向上也可能向下。