圆周运动中的临界问题专题

课题28圆周运动中的临界问题

一、竖直面内圆周运动的临界问题

(1)如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 ① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：

mg=mv 2/R →v 临界=Rg （可理解为恰好转过或

恰好转不过的速度）

即此时小球所受重力全部提供向心力

注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，此时临界速度V 临≠

Rg

②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） 【例题1】如图所示，半径为R 的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速v 0，若v 0≤gR 3

10，则有关小球能够上升到最大高

度（距离底部）的说法中正确的是（ ） A 、一定可以表示为g

v 220

B 、可能为3

R

C 、可能为R

D 、可能为

3

5R

【延展】汽车过拱形桥时会有限速，也是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度

gr v 时，汽车对弧顶的压力F N =0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为

桥面不能对汽车产生拉力．

（2）如右图所示，小球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况： 特点：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力． ①当v ＝0时，F N ＝mg （N 为支持力）

②当 0＜v ＜Rg 时， F N 随v 增大而减小，且mg ＞F N ＞0，F N 为支持力． ③当v =Rg 时，F N ＝0

④当v ＞Rg 时，F N 为拉力，F N 随v 的增大而增大（此时F N 为拉力，方向指向圆心） 典例讨论

1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点．结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程

【例题2】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO /

旋转，现将轻质弹簧的一端固定

O O

R

R

在圆盘中心，另一端系住一个质量为m 的物块A ，设弹簧劲度系数为k ，弹簧原长为L 。将物块置于离圆心R 处，R ＞L ，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速ω逐渐增大，物块A 相对圆盘始终未惰动。当ω增大到()54k R l mR

ω-=

A 是否受

到圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦力，试确定其方向。

【解析］对物块A ，设其所受静摩擦力为零时的临界角度为ω0，此时向心力仅为弹簧弹力；若ω＞ω0，则需要较大的向心力，故需添加指向圆心的静摩擦力；若ω＜ω0，则需要较小的向心力，物体受到的静摩擦力必背离圆心。 依向心力公式有m ω02

R=k(R －L)，所以()0

k R l mR

ω-=

，故()54k R l mR

ω-=

,得ω＞ω0。

可见物块所受静摩擦力指向圆心。

【例3】如图所示，细绳长为L ，一端固定在O 点，另一端系一质量为m 、电荷量为+q 的小球，置于电场强度为E 的匀强电场中，欲使小球在竖直平面内做圆周运动，小球至最高点时速度应该是多大？

解析：小球至最高点时能以L 为半径做圆周运动，所需向心力最小时绳子无拉力，则Mg ＋Eq=mv 02

/L ，得()m L Eq mg v /0+=

，故小球在竖直平面内能

够做圆周运动时，小球至最高点的速度 ()m L Eq mg v /+≥

拓展：该题中物理最高点与几何最高点是重合的，物理最高点是在竖直平面

内做圆周运动的物体在该点势能最大，动能最小，若把该题中的电场变为水平向右．如图，当金属球在环内做圆周运动时，则物理最高点为A 点，物理最低点为B 点，而几何最高点为C 点，几何最低点为D 点（这种情况下，两个最高点已不再重合，两个最低点也不再重合）． A 处速度的最小值（临界速度）应满足：()()222

/Eq mg F R mv A +=

=合

思考：物体恰能到达几何最高点时，绳的拉力为多少？

【例4】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R （比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A 球的质量为m 1，B 球的质量为m 2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v 0。设A 球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m 1，m 2，R 与v 0应满足怎样的关系式?

解析：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图所示。A 球在圆管最低点必受向上弹力N 1，此时两球对圆管的合力为零，m 2必受圆管向下的弹力N 2，且N 1=N 2。

据牛顿第二定律A 球在圆管的最低点有ΛΛR

v m g m N 20

111=-① E

m ，q L ·O

同理m 2在最高点有ΛΛR

v m N g m 2

1222=+② m 2球由最高点到最低点机械能守恒Λ20221222

1212v m v m R g m =+

③又N 1=N 2……④

【小结】 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会

变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。

【例5】如图所示，赛车在水平赛道上作900转弯，其内、外车道转弯处的半径分别为r 1和r 2，车与路面间的动摩擦因数和静摩擦因数都是μ．试问：竞赛中车手应选图中的内道转弯还是外道转弯？在上述两条弯转路径中，车手做正确选择较错误选择所赢得的时间是多少？ 分析:赛车在平直道路上行驶时，其速度值为其所能达到的最大值，设为v m 。转弯时，车做圆周运动，其向心力由地面的静摩擦力提供，则车速受到轨道半径和向心加速度的限制，只能达到一定的大小．为此，车在进入弯道前必须有一段减速过程，以使其速度大小减小到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值，走完弯路后，又要加速直至达到v m 。车道的选择，正是要根据内外道上的这些对应过程所历时间的比较来确定． 对于外车道，设其走弯路时所允许的最大车速为v 2，则应有mv 22

/r 2=μmg 解得v 2=2r g μ

如图所示，设车自M 点开始减速，至N 点其速度减为v 2，且刚好由此点进入弯道，此减速过程中加速度的大小为a=μmg/m=μg

此减速过程中行驶的路径长度（即MN 的长度）为x 2=a

v v m 22

22-=g v m μ22－22r

车沿弯道到达A 点后，由对称关系不难看出，它又要在一段长为x 2的路程上加速，才能达

到速度v m 。上述过程所用的总时间为

t 2=t 减速＋t 圆弧＋t 加速=

a v v m 2-＋222v r π＋a

v v m 2-=g v m μ2－（2－2π

）g r μ2

同样的道理可以推得车走内车道所用的总时间为t 1=

g

v m μ2－（2－2π

）g r μ1

另一方面，对内车道和外车道所历路程的直线部分进行比较，由图可见，车往内车道多

走了长度 ΔL ＝ r 2－ r l

同时，在直线道上车用于加速和减速的行程中，车往内道也多走了长度 Δx=2x 1－2x 2= r 2－ r l

由于上述的ΔL 和Δx 刚好相等，可见车在直道上以v m 匀速行驶的路程长度对于内外两道来说是相等的．这样，为决定对内外道的选择，只需比较上述的t 1和t 2即可由于 t 2＜t 1，显然，车手应选择走外道，由此赢得的时间为 Δt=t 1一t 2=21

(2)2r r g

πμ--