圆周运动中的临界问题和周期性问题

圆周运动中的临界问题和周期性问题一、圆周运动问题的解题步骤：1、确定研究对象2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径3、分析研究对象的受力情况，画受力图4、确定向心力的来源5、由牛顿第二定律r Tm r m r v m ma F n n 222)2(πω====……列方程求解 二、临界问题常见类型：1、按力的种类分类： （1）、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无,或从无到有绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无 （2）、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦 2、按轨道所在平面分类： （1）、竖直面内的圆周运动 （2）、水平面内的圆周运动三、竖直面内的圆周运动的临界问题1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv 2/R →v 临界=Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度） 即此时小球所受重力全部提供向心力②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） 例1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg ，绳子长度为l=60cm ，求：（g 取10m/s 2）A 、最高点水不留出的最小速度？B 、设水在最高点速度为V=3m/s ，求水对桶底的压力？ 答案：（1）s m /6 （2）2.5N变式1、如图所示，一质量为m 的小球，用长为L 细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？(2)若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg ，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题：汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度gr v =时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥面不能对汽车产生拉力．例2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体， 如图所示。

今给小物体一个水平初速度0v Rg = ）A.沿球面下滑至 M 点B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动 Ｃ.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动 D.立即离开半圆球做平抛运动3、双向约束之轻杆、管道约束下的竖直面内圆周运动的临界问题物体(如小球)在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变化，杆或管道对其弹力发生变化．这里的弹力可以是支持力，也可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与轻绳的模型不同．因为绳子只能提供拉力，不能提供支持力；而杆、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产生压力，而速度较小时可对下壁产生压力．在弹力为零时即出现临界状态．（一）轻杆模型如图所示，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动．(1)能过最高点的临界条件是：0v =．这可理解为恰好转过或恰好不能转过最高点的临界条件，此时支持力mg N =．(2)当0v Rg <<mg N <<0，N 仍为支持力，且N 随v 的增大而减小，mg O(3)当v Rg =时，N ＝0，此为轻杆不受弹力的临界条件． (4)当v Rg >时，N 随v 的增大而增大，且N 为拉力指向圆心，例3、如图所示，有一长为L 的细线，细线的一端固定在O 点，另一端拴一质量为m 的小球，现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。

已知水平地面上的C 点位于O 点正下方，且到O 点的距离为1.9L 。

不计空气阻力。

(1)求小球通过最高点A 时的速度v A ;(2)若小球通过最低点B 时，细线对小球的拉力T 恰好为小球重力的6倍，且小球经过B 点的瞬间让细线断裂，求小球落地点到C 点的距离。

解：(1)小球恰好能做完整的圆周运动，则小球通过A 点时细线的拉力刚好为零，根据向心力公式有：mg=2A v mL解得:A v gL =。

(2)小球在B 点时根据牛顿第二定律有T-mg=m 2B v L其中T=6mg解得小球在B 点的速度大小为vB=5gL细线断裂后，小球从B 点开始做平抛运动，则由平抛运动的规律得:竖直方向上1.9L-L=21gt2(2分) 水平方向上x=vBt(2分) 解得:x=3L(2分)即小球落地点到C 点的距离为3L 。

答案:(1)gL(2)3L㈡管道模型质点(小球)在光滑、竖直面内的圆管中作圆周运动(圆管截面半径r 远小于球的圆周运动的半径R)，如图所示．小球达到最高点时对管壁的压力有三种情况：(1)刚好对管壁无压力，此时重力为向心力，临界速度为Rg v =．(2)当Rg v <时，对下管壁有压力，此时Rv m mg N 2-=，故mg N <<0。

(3)当Rg v >时，对上管壁有压力，此时mg Rv m N -=2。

实际上，轻杆和管道两种约束情况可化归为同类的物理模型，即双向约束模型．例4、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R （比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。

A 球的质量为m 1，B 球的质量为m 2。

它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v 0。

设A 球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m 1，m 2，R 与v 0应满足关系式是 。

解：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图4-1所示。

A 球在圆管最低点必受向上弹力N 1，此时两球对圆管的合力为零，m 2必受圆管向下的弹力N 2，且N 1=N 2。

据牛顿第二定律A 球在圆管的最低点有：R v m mg N 2011=- 同理m 2在最高点有： Rv m mg N 2122=+m 2球由最高点到最低点机械能守恒： 22212221212v m v m gR m =+21N N =由上述方程可得：12120)5(m m gR m m v -+=【小结】 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。

找出其中的联系就能很好地解决问题。

四、水平面内圆周运动中的临界问题： 解决圆周运动中临界问题的一般方法 1、对物体进行受力分析2、找到其中可以变化的力以及它的临界值3、求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值4、用向心力公式求出运动学量（线速度、角速度、周期、半径等）的临界值例5、水平转盘上放有质量为m 的物快，当物块到转轴的距离为r 时,若物块始终相对转盘静止，物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的μ倍，求转盘转动的最大角速度是多大？解：由r m mg 2ωμ= 得：r gμω=OO’A点评：提供的向心力的临界值决定了圆周运动角速度的临界值变式5、物体与圆筒壁的动摩擦因数为μ ，圆筒的半径为R ，若要物体不滑下，圆筒的角速度至少为多少？ 解： 得例6、如图所示，两绳系一质量为m ＝0.1kg 的小球，上面绳长L ＝2m ，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad ／s 时，上、下两绳拉力分别为多大？解：当ω渐大，AC 绳与杆夹角变大，但BC 绳还没拉直。

当AC 绳与杆夹角为30°时，BC 绳处在虚直状态。

之后ω再增大， BC 绳上也会有拉力。

所以BC 绳虚直为临界状态。

20tan 30sin 30mg m L ω=0 2.4rad/s cos302ω⇒===≈∴0ωω>，BC 绳上有拉力。

分析小球，由牛顿第二定律：2cos30cos 45sin 30sin 45sin 30AC BC AC BC T T mg T T m L ω⎧+=⎨+=⎩221122AC BC AC BC mg T m L ω⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1N 10N AC BC T T ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩变式6-1：如图，长为L 的绳子，下端连着质量为m 的小球，上端接于天花板上，当把绳子拉直时，绳与竖直方向夹角θ=60°。

此时小球静止于光滑水平面上。

CCrm F N 2ω=mgF N =μrgμω=（1）当小球以L g=ω 做圆锥摆运动时，绳子张力多大？桌面支持力多大？ （2）当小球以L g4=ω 做圆周运动时，绳子张力多大？桌面受到的压力多大？答案：（1）T=mg mg F N 21=(2)T=4mg 0=N F变式6-2、如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L 的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O 处，另一端拴着一个质量为m 的小物体（物体可看质点），物体以速率v 绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。

⑴当v ＝16gL 时，求绳对物体的拉力； ⑵当v ＝32gL 时，求绳对物体的拉力。

解：物体在水平面内做匀速圆周运动，由重力G 、拉力T 、支持力N 提供向心力，当角速度ω很小时，物体在圆锥体上运动。

2sin cos (1)sin cos sin (2)v T N mL T N mg θθθθθ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩由（2）得：sin cos mg N T θθ-=代入（1）得：2tan (tan sin cos )sin v mg N mL θθθθθ-+= 由此可得，当v 增大时，N 减少。

∴当ω大到一定值时，物体将离开锥面，绳与竖直方向的夹角将变大。

显然当球与锥面虚接触（即N=0，θ=30°）时的线速度值为物体的临界速度。

对球分析，由牛顿第二定律：22(3)2(4)v T m L mg ⎧=⎪⎪=3T mg ⇒=0v ⇒=⑴当10v v =，所以N>0。

21sin cos (1)sin cos sin (2)v T N mL T N mg θθθθθ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩由（2）得：cos sin mg T N θθ-=代入（1）得：21(sin cot cos )cot sin v T mg mL θθθθθ+-=201cot 6sin 1.03sin cot cos gLmvmmg LL T mg θθθθθ++===≈+⑵当20v v =>，此时N=0，但夹角变大，不为30°2sin (5)sin cos (6)v T mL T mg ααα⎧=⎪⎨⎪=⎩由（6）得：cos mgT α=（7），代入（5）得：2sin cos sin v mg m L ααα= 223sin 2 1.5cos gLv gL gL αα⇒===60α⇒=代入（7）得：2T mg =例7、如图所示，细绳一端系着质量M ＝0.6kg 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m ＝0.3kg 的物体，M 的中与圆孔距离为0.2m ，并知M 和水平面的最大静摩擦力为2N 。