圆周运动中的临界问题

圆周运动中的临界问题

1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题

⑴如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况

①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用 v 临界＝Rg

②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。

③不能过最高点的条件：v ＜v 临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。 ⑵如图3所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力

①能过最高点v 临界＝0，此时支持力N ＝mg

②当0＜v ＜Rg 时，N 为支持力，有0＜N ＜mg ，且N 随v 的增大而减小 ③当v ＝Rg 时，N ＝0

④当v ＞Rg ，N 为拉力，有N ＞0，N 随v 的增大而增大

例1 （99年高考题）如图4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是 （ ）

A 、a 处为拉力，b 处为拉力

B 、a 处为拉力，b 处为推力

C 、a 处为推力，b 处为拉力

D 、a 处为推力，b 处为推力

图 1

v 0

图

2

图 3

例2 长度为L ＝0.5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为m ＝3.0kg 的小球，如图5所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m ／s ，g 取10m ／s 2，则此时细杆OA 受到 （ ）

A 、6.0N 的拉力

B 、6.0N 的压力

C 、24N 的拉力

D 、24N 的压力

例3 长L ＝0.5m ，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O 点，上端连接着一个质量m ＝2kg 的小球A ，A 绕O 点做圆周运动（同图5），在A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：

①当A 的速率v 1＝1m ／s 时 ②当A 的速率v 2＝4m ／s 时

2、在水平面内作圆周运动的临界问题

在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。

例4 如图6所示，两绳系一质量为m ＝0.1kg 的小球，上面绳长L ＝2m ，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad ／s 时，上、下两绳拉力分别为多大？

图 5

C

图 6

例5 如图7所示，细绳一端系着质量M ＝0.6kg 的物体，静止在水平肌，另一端通过光滑的小孔吊着质量m ＝0.3kg 的物体，M 的中与圆孔距离为0.2m ，并知M 和水平面的最大静摩擦力为2N 。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m 会处于静止状态？（g ＝10m ／s 2）说明：一般求解“在什么范围内……”这一类的问题就是要分析两个临界状态。

3、巩固练习

1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 m ／s 时，车对桥的压力为车重的3

4 。如果使汽

车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为 （ ）

A 、15 m ／s

B 、20 m ／s

C 、25 m ／s

D 、30m ／s

2、如图8所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。求：

⑴当转盘角速度ω1＝μg

2r

时，细绳的拉力T 1。 ⑵当转盘角速度ω2＝3μg

2r

时，细绳的拉力T 2。 三、小结

1、解圆周运动的问题时，一定要注意找准圆心，绳子的悬点不一定是圆心。

2、把临界状态下的某物理量的特征抓住是关键。如速度的值是多大、某个力恰好存在还是不存在以及这个力的方向如何。

图 8

图 7

答案

例1分析：答案A是正确的，只要小球在最高点b的速度大于gL ，其中L是杆的长；答案B也是正确的，此时小球的速度有0＜v＜gL ；答案C、D肯定是错误的，因为小球在最低点时，杆对小球一定是拉力。

例2解法：小球在A点的速度大于gL 时，杆受到拉力，小于gL 时，杆受压力。

V0=gL ＝10×0.5 m／s＝ 5 m／s

由于v＝2.0 m／s＜ 5 m／s，我们知道：过最高点时，球对细杆产生压力。

小球受重力mg和细杆的支持力N

由牛顿第二定律mg－N＝m v2 L

N＝mg－m v2

L＝6.0N故应选B。

例3

解法一：（同上例）小球的速度大于 5 m／s时受拉力，小于 5 m／s时受压力。

①当v1＝1m／s＜ 5 m／s时，小球受向下的重力mg和向上的支持力N

由牛顿第二定律mg－N＝m v2 L

N＝mg－m v2

L＝16N

即杆受小球的压力16N。

②当v2＝4m／s＞ 5 m／s时，小球受向下的重力mg和向下的拉力F

由牛顿第二定律mg＋F＝m v2 L

F＝m v2

L－mg＝44N

即杆受小球的拉力44N。

解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力。我们可不去做具体的判断而假设一个方向。如设杆竖直向下拉小球A，则小球的受力就是上面解法中的②的情形。

由牛顿第二定律mg＋F＝m v2 L

得到F＝m（v2

L－g

）

N