高考数学导数题型归纳文科
高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用
高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用高考压轴题：导数题型及解题方法一、切线问题题型1：求曲线y=f(x)在x=x处的切线方程。
方法：f'(x)为在x=x处的切线的斜率。
题型2：过点(a,b)的直线与曲线y=f(x)的相切问题。
方法：设曲线y=f(x)的切点(x,f(x))，由(x-a)f'(x)=f(x)-b求出x，进而解决相关问题。
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条。
例题：已知函数f(x)=x-3x。
1）求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程；（答案：9x-y-16=0）2）若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。
提示：设曲线y=f(x)上的切点(x,f(x))，建立x,f(x)的等式关系。
将问题转化为关于x,m的方程有三个不同实数根问题。
答案：m的范围是(-3,-2)）练1：已知曲线y=x-3x。
1）求过点(1,-3)与曲线y=x-3x相切的直线方程。
（答案：3x+y=0或15x-4y-27=0）2）证明：过点(-2,5)与曲线y=x-3x相切的直线有三条。
题型3：求两个曲线y=f(x)、y=g(x)的公切线。
方法：设曲线y=f(x)、y=g(x)的切点分别为(x1,f(x1))、(x2,g(x2))，建立x1,x2的等式关系，(x2-x1)f'(x1)=g(x2)-f(x1)，(x2-x1)f'(x2)=g(x2)-f(x1)；求出x1,x2，进而求出切线方程。
解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例题：求曲线y=x与曲线y=2elnx的公切线方程。
（答案：2ex-y-e=0）练1：求曲线y=x与曲线y=-(x-1)的公切线方程。
（答案：2x-y-1=0或y=0）2.设函数f(x)=p(x-2)-2lnx，g(x)=x，直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于(1,0)，求实数p的值。
高考文科导数考点汇总完整版
高考文科导数考点汇总 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】高考导数文科考点总结一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
导数概念与运算知识清单1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim→∆x x y ∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x yx ∆∆→∆0lim。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
高中数学导数题型归纳总结
高中数学导数题型归纳总结高中数学中，导数是一个重要的概念，它是微积分的基础。
在考试中，导数题型往往是必考的内容。
为了帮助同学们更好地复习导数，下面对高中数学导数题型进行归纳总结。
1. 求函数的导数：这是最基本的导数题型，要求根据函数的定义求出其导数。
常见的函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 导数的四则运算：利用导数的基本性质，可以进行导数的四则运算。
例如，两个函数的和、差、积或商的导数可以通过分别求出函数的导数，然后利用四则运算的性质计算得到。
3. 链式法则：当函数是复合函数时，可以使用链式法则进行求导。
链式法则的基本思想是将复合函数分解为内层函数和外层函数，并利用导数的链式法则求出导数。
4. 隐函数求导：当一个函数的表达式中包含未知数的隐式关系时，可以利用隐函数求导的方法求出导数。
常见的隐函数求导题型包括求曲线的切线斜率、求极值等。
5. 参数方程求导：当函数由参数表示时，可以通过对参数方程进行求导，然后用参数方程的导数表达式消去参数，得到函数的导数。
6. 反函数求导：如果函数存在反函数，可以利用反函数求导的方法求出导数。
反函数求导的基本思想是将函数的自变量和因变量互换，然后求出反函数的导数。
7. 极限与导数：导数的定义中包含了极限的概念，所以在求导过程中经常需要应用极限的性质。
例如，使用极限的性质求出函数导数的极限，或者利用导数的定义证明极限存在等。
除了上述的题型，还有一些常见的应用题型，如最值问题、曲线的凹凸性、切线和法线方程等。
这些题型往往需要综合运用导数的概念和性质进行解答。
总之，高中数学导数题型的归纳总结包括基本的导数求法、导数的四则运算、链式法则、隐函数求导、参数方程求导、反函数求导以及与极限的关系等。
通过对这些题型的理解和熟练掌握，可以帮助同学们更好地应对高中数学考试中的导数题目。
高考文科导数考点汇总定稿版
高考文科导数考点汇总 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】高考导数文科考点总结一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
导数概念与运算知识清单1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim→∆x x y ∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x yx ∆∆→∆0lim。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
文科导数复习与题型归纳
导数复习知识点一、 导数的概念 导数xy x f x ∆∆=→∆00lim )('。
二、 导数的几何意义函数y=f(x)在点0x 处的导数，就是曲线y=(x)在点),(00y x P 处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：(1)求出函数y=f(x)在点0x 处的导数，即曲线y=f(x)在点),(00y x P 处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为三、 常见函数的导数及运算法则(1) 八个基本求导公式)('C ＝ ； )('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝ )('x e ＝ ， )('x a ＝ )(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝ (2) 导数的四则运算)('±v u ＝ ])(['x Cf ＝ )('uv ＝ ，)('vu ＝ )0(≠v (3) 复合函数的导数设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导， 且)(x f '＝ ，即x u x u y y '⋅'='四、 导数的应用（要求：明白解题步骤）1．函数的单调性（1） 设函数y=f(x)在某个区间内可导，若)(/x f >0，则f(x)为增函数；若)(/x f <0，则f(x)为减函数。
（2） 求可导函数单调区间的一般步骤和方法。
①分析 )(x f y =的定义域； ②求导数 )(x f y '='③解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为 区间解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为 区间 例如：求函数xx y 1+=的减区间 2．可导函数的极值（采用表格或画函数图象）（1） 极值的概念设函数f(x)在点x 0附近有定义，且若对x 0附近所有的点都有f(x)<f(x 0)（或f(x)>f(x 0)），则称f(x 0)为函数的一个极大（小）值，称x 0为极大（小）值点。
文科高考数学导数知识点
文科高考数学导数知识点导数是高中数学中重要的知识点之一，它是微积分的基础。
掌握导数的概念和运算规则，对于理解数学的发展和应用具有重要意义。
本文将对文科高考中与导数相关的知识点进行探讨和总结。
一、导数的定义与计算导数是描述函数变化率的概念，它表示函数在某一点上的瞬时变化率。
对于一个函数f(x)，其在点x处的导数可以用极限的概念表示为：f'(x) = lim（h→0）（f(x+h) - f(x)）/h其中h为接近于0的一个无限小的实数。
在计算导数时，常用的求导法则包括常数法则、幂法则、和差法则、积法则和商法则等。
这些法则在导数的计算中提供了方便的方法，使我们能够快速准确地求得函数的导数。
二、导数的几何意义导数的几何意义体现在函数曲线上的切线斜率上。
函数曲线在某一点上的切线斜率等于该点的导数值。
这意味着导数可以告诉我们函数在某一点上是上升还是下降，以及上升或下降的速率。
利用导数的几何意义可以解决很多与函数变化率相关的问题，例如求极大值和极小值点、确定函数在某个区间上的单调性以及判定函数的凸凹性等。
三、导数的应用导数不仅仅是一种数学工具，它还在实际问题的建模和求解中具有广泛的应用。
例如，在经济学中，导数可以用来解决边际成本、边际效益和最优决策等问题；在物理学中，导数可以用来描述物体的运动状态、速度和加速度等；在生物学中，导数可以用来研究物种的增长和衰退规律等。
导数在各个领域的应用都展示了它的重要性和实用性。
四、导数与其他数学概念的联系导数与其他数学概念之间存在着紧密的联系，它们相互依存、相互推进，共同构成了数学学科的核心。
在微积分中，导数与积分是密切相关的。
导数可以通过积分来求解，而积分则可以通过导数来解释和解决问题。
导数与函数的极限、连续性以及泰勒级数展开等概念也有紧密的关联。
掌握导数的知识，有助于我们更好地理解和运用这些数学概念。
五、导数在解决实际问题中的应用举例最后，我们通过举例来说明导数在解决实际问题中的应用。
文科导数复习与题型归纳
导数复习知识点一、 导数的概念 导数xy x f x ∆∆=→∆00lim )('; 二、 导数的几何意义函数y=fx 在点0x 处的导数,就是曲线y=x 在点),(00y x P 处的切线的斜率．由此,可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：1求出函数y=fx 在点0x 处的导数,即曲线y=fx 在点),(00y x P 处的切线的斜率； 2在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为三、 常见函数的导数及运算法则1 八个基本求导公式)('C ＝ ； )('n x ＝ ；n∈Q )(sin 'x ＝ , )(cos 'x ＝ )('x e ＝ , )('x a ＝ )(ln 'x ＝ , )(log 'x a ＝2 导数的四则运算)('±v u ＝ ])(['x Cf ＝)('uv ＝ ,)('v u ＝ )0(≠v 3 复合函数的导数设)(x u θ=在点x处可导,)(u f y =在点)(x u θ=处可导,则复合函数)]([x f θ在点x 处可导, 且)(x f '＝ ,即x u xu y y '⋅'=' 四、 导数的应用要求：明白解题步骤1． 函数的单调性（1） 设函数y=fx 在某个区间内可导,若)(/x f >0,则fx 为增函数；若)(/x f <0,则fx 为减函数;（2） 求可导函数单调区间的一般步骤和方法;①分析 )(x f y =的定义域； ②求导数 )(x f y '='③解不等式0)(>'x f ,解集在定义域内的部分为 区间解不等式0)(<'x f ,解集在定义域内的部分为 区间 例如：求函数xx y 1+=的减区间 2． 可导函数的极值采用表格或画函数图象（1） 极值的概念设函数fx 在点x 0附近有定义,且若对x 0附近所有的点都有fx <fx 0或fx >fx 0,则称fx 0为函数的一个极大小值,称x 0为极大小值点;（2） 求可导函数fx 极值的步骤① 求导数)(x f '；② 求方程)(x f '＝0的 ；③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负先增后减,那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负,右侧为正先减后增,那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 .3． 函数的最大值与最小值⑴ 设y ＝)(x f 是定义在区间a ,b 上的函数,y ＝)(x f 在a ,b 内有导数,则函数y ＝)(x f 在a ,b 上 必 有最大值与最小值；但在开区间内 未必 有最大值与最小值．2 求最值可分两步进行：① 求y ＝)(x f 在a ,b 内的 值；② 将y ＝)(x f 的各 值与)(a f 、)(b f 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.3 若函数y ＝)(x f 在a ,b 上单调递增,则)(a f 为函数的 ,)(b f 为函数的 ；若函数y ＝)(x f 在a ,b 上单调递减,则)(a f 为函数的 ,)(b f 为函数的 .4.求过函数上一点的切线的斜率或方程例题1：分析函数x x y 33-=单调性,极值,最值,图象例题2：函数ax x y 33-=在)1,(--∞上为增函数,在)1,1(-上为减函数,求实数a 例题3：求证方程1lg =⋅x x 在区间)3,2(内有且仅有一个实根.分析解本题要用的知识点一．求值1． ()f x '是31()213f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是．2.)(x f =ax 3+3x 2+2 ,4)1(=-'f ,则a=3.已知函数fx 的导函数为)(x f ',且满足fx=3x 2+2x )2('f ,则)5('f = .4.设fx 、g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x <0时,fx g ′x +f ′x g x >0且g －3=0,则不等式fx g x <0的解集是__________.5．2008海南、宁夏文设()ln f x x x =,若0'()2f x =,则0x =A. 2eB. eC.ln 22 D. ln 2 二．切线11 曲线31y x x =++在点(1,3)处的切线方程是 ；2已知函数x x x f 3)(3-=,过点)6,2(-P 作曲线)(x f y =的切线的方程 ．变式．1曲线y ＝x 3－3x ＋1在点1,－1处的切线方程为 2已知3:()2C f x x x =-+,则经过(1,2)P 的曲线C 的切线方程为 3曲线fx=x 3－3x,过点A0,16作曲线f x 的切线,则曲线的切线方程为 ; 2 ．1曲线3)(x x f =在点A 处的切线的斜率为3,则该曲线在A 点处的切线方程为 ; 2 过曲线x x x f -=4)(上点P 处的切线平行于直线03=-y x ,则点P 的坐标为 3 若直线y x =是曲线323y x x ax =-+的切线,则a = ;3.垂直于直线2x-6y+1=0,且与曲线5323-+=x x y 相切的直线的方程是________．4．已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3切于点1,3,则b 的值为A ．3B ．－3C ．5D ．－55．若点P 在曲线23+-=x x y 上移动,经过点P 的切线的倾斜角为α,则α的取值范围为A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,432,0 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,43 D.⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,22,0πππ 6.08全国Ⅱ设曲线2ax y =在点1,a 处的切线与直线062=--y x 平行,则=aA ．1B ．12C ．12-D ．1- 7．09宁夏曲线21x y xe x =++在点0,1处的切线方程为 ; 809全国卷Ⅱ理曲线21x y x =-在点()1,1处的切线方程为 A. 20x y --= B. 20x y +-= C.450x y +-= D. 450x y --= 9若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 . 10．08海南理曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为三．单调性1.1设fx=x 22-x,则fx 的单调增区间是A.0,)34B.,34+∞C.-∞,0D.-∞,0∪34,+∞2函数y=x+1x 2－1的单调递增区间为A.-∞,－1B.－1,+∞C. -∞,－1 与－1,+∞D. -∞,－1 ∪－1,+∞3函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．0,22.1若函数fx=x 3-ax 2+1在0,2内单调递减,则实数a 的取值范围为2设ax x x f a -=>3)(,0函数在),1[+∞上是单调函数. 则实数a 的取值范围为 ；3函数y =ax 3－x 在－∞,+∞上是减函数,则实数a 的取值范围为 ；3．1若函数fx =ax 3－x 2+x －5在R 上单调递增,则a 的范围是 ．2已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数,则a 的取值范围是： ．4.若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上是增函数,则A 240b ac ->B 0,0b c >>C 0,0b c =>D 230b ac -<5、函数3y x ax b =++在(1,1)-上为减函数,在(1,)+∞上为增函数,则A 1,1a b ==B 1,a b R =∈C 3,3a b =-=D 3,a b R =-∈四．极值1、函数331x x y -+=的极大值,极小值分别是A. 极小值-1,极大值1B. 极小值-2,极大值3C. 极小值-2,极大值2D. 极小值-1,极大值32．函数93)(23-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =A2 B3 C4 D53.函数fx=x 3-ax 2-bx+a 2,在x=1时有极值10,则a 、b 的值为=3,b=-3,或a=-4,b=11=-4,b=11 =3,b=-3 D.以上都不正确4、已知函数)(x f 的导数为x x x f 44)(3-=',且图象过点0,-5,当函数)(x f 取得极大值-5时,x 的值应为A. –1B. 0C. 1D. ±15.若函数fx=x 3-3bx+3b 在0,1内有极小值,则<b<1 <1 >0 <216.若fx=x 3+3ax 2+3a+2x+1没有极值,则a 的取值范围为 .7. 已知函数y=2x 3+ax 2+36x －24在x=24处有极值,则该函数的一个递增区间是A.2,3B.3, +∞C.2, +∞D. －∞,38.2009辽宁卷文若函数2()1x a f x x +=+在1x =处取极值,则a = 五．最值1．函数5123223+--=x x x y 在0,3上的最大值、最小值分别是A ．5,－15B ．5,－4C ．－4,－15D ．5,－162.06浙江文32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是A-2 B0 C2 D4 3函数y =x 3+x3在0,+∞上的最小值为4．07湖南理函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是 ．507江苏已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ,则M m -=____________变式、函数3()3f x x x a =--在区间[]0,3上的最大值、最小值分别为M,N,则M －N 的值为 ;6.2008安徽文设函数1()21(0),f x x x x=+-< 则()f xA ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数 六．综合1．07福建理、文已知对任意实数x ,有()()()()f x f x g x g x -=--=，,且0x >时,()0()0f x g x ''>>，,则0x <时A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<， 2．对于R 上可导的任意函数()f x ,若满足'(1)()0x f x -≥,则必有A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤C. (0)(2)2(1)f f f +≥D. (0)(2)2(1)f f f +>3.2009陕西卷文设曲线1*()n y x n N +=∈在点1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为 A 1n B 11n + C 1n n + D 1 图1所示,4 设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图象如右则导函数y =f x 可能为5．浙江卷11设f 'x 是函数fx 的导函数,y =f 'x 的图象如右图所示,则y =fx 的图象最有可能的是A B C D 6.2009湖南卷文若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数,则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是x y y x y xyx O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 2 xy O 1 2 a b a b a o x o x y b a o x y o xyb yx y O A x y O B x y O xyO DCA ．B ．C ．D ．7、已知函数32()(6)1f x x mx m x =++++既有极大值又存在最小值,则实数m 的取值范围是 ;8、若函数()f x 的定义域为()0,+∞,且/()0,()0f x f x >>,那么函数()y xf x = A 存在极大值B 存在最小值C 是增函数D 是减函数9、当[]0,2x ∈时,函数2()4(1)3f x ax a x =+--在x=2时取得最大值,则a 的取值范围是 ;七．解答题重点题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值;1.已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1Ⅰ若函数2)(-=x x f 在处有极值,求)(x f 的表达式；Ⅱ在Ⅰ的条件下,求函数)(x f y =在－3,1上的最大值；Ⅲ若函数)(x f y =在区间－2,1上单调递增,求实数b 的取值范围2：已知三次函数32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值,且(2)4f -=-． 1 求函数()y f x =的表达式；2 求函数()y f x =的单调区间和极值；3 若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-,试求m 、n 应满足的条件．3．海南文 本小题满分12分设函数2()ln(23)f x x x =++Ⅰ讨论()f x 的单调性；Ⅱ求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值． 4、已知32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =±取得极值,且(1)1f =;1试求常数,,a b c 的值；2试判断1x =±是函数的极大值还是极小值,并说明理由;5．已知函数fx=－x 3＋3x 2＋ax ＋b 在x ＝1,f1处的切线与直线12x －y －1＝0平行．1求实数a 的值；2求fx 的单调递减区间；3若fx 在区间－2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．题型二：利用导数研究不等式恒成立;1.已知两个函数x x x f 287)(2-=,c x x x x g +-+=4042)(23.Ⅰ,)()(图像关于原点对称图像与x f x F 解不等式3)()(--≥x x f x FⅡ若对任意∈x －3,3,都有≤)(x f )(x g 成立,求实数c 的取值范围；2.已知函数fx=x 3-21x 2+bx+c.1若fx 在-∞,+∞上是增函数,求b 的取值范围;2若fx 在x=1处取得极值,且x∈-1,2时,fx<c 2恒成立,求c 的取值范围.3.天津卷21本小题满分14分已知函数432()2f x x ax x b =+++x R ∈,其中R b a ∈,．Ⅰ当103a =-时,讨论函数()f x 的单调性； Ⅱ若函数()f x 仅在0x =处有极值,求a 的取值范围；Ⅲ若对于任意的[2,2]a ∈-,不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立,求b 的取值范围． 训练题1.本小题12分设函数d cx bx x a x f +++=43)(23的图象关于原点对称,)(x f 的图象在点(1,)P m 处的切线的斜率为6-,且当2=x 时)(x f 有极值． Ⅰ求a b c d 、、、的值；Ⅱ求()f x 的所有极值．2.设函数()32()f x x bx cx x R =++∈,已知()()()g x f x f x '=-是奇函数;(1) Ⅰ求b 、c 的值;(2) Ⅱ求()g x 的单调区间与极值;3.2005北京理科、文科 已知函数fx =－x 3＋3x 2＋9x ＋a .I 求fx 的单调递减区间；II 若fx 在区间－2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．4.2006安徽文设函数()32()f x x bx cx x R =++∈,已知()()()g x f x f x '=-是奇函数;Ⅰ求b 、c 的值; Ⅱ求()g x 的单调区间与极值;5．2008全国Ⅱ卷文 设a ∈R ,233)(x ax x f -=． Ⅰ若2=x 是函数)(x f y =的极值点,求a 的值； Ⅱ若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，,在0=x 处取得最大值,求a 的取值范围．6. 2008湖北文 已知函数322()1f x x mx m x =+-+m 为常数,且m >0有极大值9. Ⅰ求m 的值； Ⅱ若斜率为-5的直线是曲线()y f x =的切线,求此直线方程. 7 已知函数1)(3--=ax x x f ．Ⅰ若)(x f 在实数集R 上单调递增,求a 的范围； Ⅱ是否存在实数a 使)(x f 在)1,1(-上单调递减．若存在求出a 的范围,若不存在说明理由．09福建理科14.若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线,则实数a 取值范围是_____________.20、本小题满分14分 已知函数321()3f x x ax bx =++,且'(1)0f -= 1 试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间； 2令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值,记点M 1x ,1()f x ,N 2x ,2()f x ,P ,()m f m , 12x m x <<,请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势,并解释以下问题： I 若对任意的m ∈1x , x 2,线段MP 与曲线fx 均有异于M,P 的公共点,试确定t 的最小值,并证明你的结论；II 若存在点Q n ,fn , x ≤n< m ,使得线段PQ 与曲线fx 有异于P 、Q 的公共点,请直接写出m 的取值范围不必给出求解过程 09福建文科15. 若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 . 21．本小题满分12分已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= I 试用含a 的代数式表示b ； Ⅱ求()f x 的单调区间；Ⅲ令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值,记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ,证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点；08福建理科11如果函数y=fx 的图象如右图,那么 导函数y=fx 的图象可能是 19本小题满分12分 已知函数321()23f x x x =+-.Ⅰ设{a n }是正数组成的数列,前n 项和为S n ,其中a 1=3.若点211(,2)n n n a a a ++-n ∈N 在函数y =f ′x 的图象上,求证：点n ,S n 也在y =f ′x 的图象上；Ⅱ求函数fx 在区间a -1,a 内的极值. 文科21本小题满分12分已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点-1,-6,且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.Ⅰ求m 、n 的值及函数y =fx 的单调区间； Ⅱ若a ＞0,求函数y =fx 在区间a -1,a +1内的极值. 07福建11．已知对任意实数x ,有()()()()f x f x g x g x -=--=，,且0x >时,()0()0f x g x ''>>，,则0x <时 A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，22．本小题满分14分 已知函数()e x f x kx x =-∈R ，Ⅰ若e k =,试确定函数()f x 的单调区间；Ⅱ若0k >,且对于任意x ∈R ,()0f x >恒成立,试确定实数k 的取值范围； Ⅲ设函数()()()F x f x f x =+-,求证：12(1)(2)()(e2)()n n F F F n n +*>+∈N ．全国一文 20设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．Ⅰ求a 、b 的值；Ⅱ若对于任意的[03]x ∈，,都有2()f x c <成立,求c 的取值范围． 陕西文21已知cx bx ax x f ++=23)(在区间0,1上是增函数,在区间),1(),0,(+∞-∞上是减函数,又.23)21(='f Ⅰ求)(x f 的解析式;Ⅱ若在区间],0[m m ＞0上恒有)(x f ≤x 成立,求m 的取值范围.12．已知函数3211()(1)32f x x b x cx =+-+,① 若()f x 在1,3x x ==处取得极值,试求常数,b c 的值；② 若()f x 在()()12,,,x x -∞+∞上都是单调递增,在()12,x x 上单调递减,且满足211x x ->,求证：22(2)b b c >+14．设0≠t ,点P t ,0是函数c bx x g ax x x f +=+=23)()(与的图象的一个公共点,两函数的图象在点P 处有相同的切线. Ⅰ用t 表示a,b,c ；Ⅱ若函数)()(x g x f y -=在－1,3上单调递减,求t 的取值范围.例1已知曲线x x x y S 432:23++-=及点)0,0(P ,求过点P 的曲线S 的切线方程. 正解：设过点P 的切线与曲线S 切于点),(00y x Q ,则过点P 的曲线S 的切线斜率4220200++-='==x x y k x x ,又00x y k PQ =,00020422x yx x =++-∴;① 点Q 在曲线S 上,.432020300x x x y ++-=∴②,②代入①得002030020432422x x x x x x ++-=++-化简,得0342030=-x x ,00=∴x 或430=x .若00=x ,则4=k ,过点P 的切线方程为x y 4=；若430=x ,则835=k ,过点P 的切线方程为.835x y =∴过点P 的曲线S 的切线方程为x y 4=或.835x y =例2已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围. 错解：,163)(2-+='x ax x f )(x f 在R 上是减函数,0)(<'∴x f 在R 上恒成立,01632<-+∴x ax 对一切R x ∈恒成立,0<∆∴,即01236<+a ,3-<∴a .正解:+='23)(ax x f 16-x ,)(x f 在R 上是减函数,∴)(x f '0≤在R 上恒成立,0≤∆∴且0<a ,即01236≤+a 且0<a ,3-≤∴a .例5函数5)()(,133)('3--=-+=ax x f x g ax x x f ,其中)('x f 是)(x f 的导函数.1对满足－1≤a ≤1的一切a 的值,都有)(x g ＜0,求实数x 的取值范围；2设a ＝－2m ,当实数m 在什么范围内变化时,函数y ＝)(x f 的图象与直线y ＝3只有一个公共点.解：1由题意()2335g x x ax a =-+-令()()2335x x a x ϕ=-+-,11a -≤≤对11a -≤≤,恒有()0g x <,即()0a ϕ<∴()()1010ϕϕ<⎧⎪⎨-<⎪⎩ 即22320380x x x x ⎧--<⎨+-<⎩解得213x -<<故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,对满足－1≤a ≤1的一切a 的值,都有()0g x <. 2()'2233f x x m =-①当0m =时,()31f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点 ②当0m ≠时,列表：极大极小∴()()2211f x f x m m ==--<-极小又∵()f x 的值域是R ,且在(),m +∞上单调递增∴当x m >时函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点. 当x m <时,恒有()()f x f m ≤-由题意得()3f m -<即3221213m m m -=-<解得()()332,00,2m ∈-综上,m 的取值范围是()332,2-.例6、 1是否存在这样的k 值,使函数 在区间1,2上递减,在2,+∞上递增,若存在,求出这样的k 值；2若 恰有三个单调区间,试确定 的取值范围,并求出这三个单调区间;解：1由题意,当时 ,当x∈2,+∞ 时 ,∴由函数的连续性可知 ,即整理得解得或验证：Ⅰ当时,∴若 ,则；若 , 则 , 符合题意；Ⅱ当时,,显然不合题意;于是综上可知,存在使在1,2上递减,在2,+∞上递增;2若 ,则 ,此时只有一个增区间 ,与题设矛盾；若 ,则 ,此时只有一个增区间 ,与题设矛盾；若 ,则并且当时,；当时,∴综合可知,当时,恰有三个单调区间：减区间；增区间点评：对于1,由已知条件得 ,并由此获得k的可能取值,进而再利用已知条件对所得k 值逐一验证,这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略;例7、已知函数 ,当且仅当时,取得极值,并且极大值比极小值大4.1求常数的值；2求的极值;解：1 ,令得方程∵在处取得极值∴或为上述方程的根,故有∴ ,即①∴又∵仅当时取得极值,∴方程的根只有或 ,∴方程无实根,∴即而当时,恒成立,∴的正负情况只取决于的取值情况当x变化时,与的变化情况如下表：1 1,+∞ +0 —0 +极大值极小值∴在 处取得极大值,在 处取得极小值 ;由题意得整理得②于是将①,②联立,解得2由1知,点评：循着求函数极值的步骤,利用题设条件与 的关系,立足研究 的根的情况,乃是解决此类含参问题的一般方法,这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法,突出了“导数”与“在处取得极值”的必要关系;1．已知函数2)12()(23+-+=x a ax x f ,若1-=x 是)(x f y =的一个极值点,则a 值为A ．2 C. 722.已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值为10,则)2(f = . 3．给出下列三对函数：①1)(,1)(--=-=x x g xx f ②)0()(2>=a ax x f ,ax x g =)( ③x x f )31()(-=,)log()(x x g --=；其中有且只有一对函数“既互为反函数,又同是各自定义域上的递增函数”,则这样的两个函数的导函数分别是)(x f ' ,=')(x g .4．已知函数1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值,求a 的取值范围.5．已知抛物线22+-=x y ,过其上一点P 引抛物线的切线l ,使l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小,求l 的方程.6．设43241)(y xy x y g -+-=在[]0,1-∈y 上的最大值为)(x f ,R x ∈,1求)(x f 的表达式；2求)(x f 的最大值.设a ∈R ,233)(x ax x f -=．Ⅰ若2=x 是函数)(x f y =的极值点,求a 的值；Ⅱ若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，,在0=x 处取得最大值,求a 的取值范围． 解：Ⅰ2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是()y f x =的极值点,所以(2)0f '=,即6(22)0a -=,因此1a =． 经验证,当1a =时,2x =是函数()y f x =的极值点． ·········· 4分 Ⅱ由题设,3222()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+． 当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时,(0)(2)g g ≥, 即02024a -≥．故得65a ≤． ············ 9分反之,当65a ≤时,对任意[02]x ∈，,23(210)5x x x =+-3(25)(2)5xx x =+-0≤, 而(0)0g =,故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ．综上,a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，． ················· 12分3 已知 是函数的一个极值点,其中Ⅰ求 与 的关系表达式；Ⅱ求 的单调区间；Ⅲ当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求的取值范围;解析：1本小题主要考查了导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想,第2小题要根据的符号,分类讨论的单调区间；第3小题是二次三项式在一个区间上恒成立的问题,用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号,体现出将一般性问题特殊化的数学思想;解答：Ⅰ ,是函数的一个极值点∴∴；Ⅱ令 ,得与的变化如下表：1—0 + 0 —单调递减极小值单调递增极大值单调递减因此,的单调递减区间是和；的单调递增区间是；Ⅲ由Ⅱ即令 ,且 ,即m的取值范围是 ;4已知函数 ;Ⅰ求的单调区间和值域；Ⅱ设 ,函数 ,若对于任意 ,总存在 ,使得成立,求的取值范围;解析：本题考查导数的综合运用,考查综合运用数学知识解决问题能力,考查思维及推理能力以及运算能力,本题入手点容易,Ⅰ中对分式函数定区间内单调性与值域问题,往往以导数为工具,Ⅱ是三次函数问题,因而导数法也是首选,若成立,则二次函数值域必满足关系,从而达到求解目的;解：Ⅰ由得或 ;∵∴舍去则 , ,变化情况表为：0 1—0 +↘↗因而当时为减函数；当时为增函数；当时,的值域为；Ⅱ因此,当时因此当时为减函数,从而当时有又 ,即当时有任给 , ,存在使得则由1得或 ,由2得又故的取值范围为 ;5 已知 ,函数1当为何值时,取得最小值证明你的结论；2设在上是单调函数,求的取值范围;解析：本题考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力,本题Ⅰ常规题型,方法求 ,解的根,列表,确定单调性,并判断极值点,对Ⅱ由Ⅰ在上单调,而 ,因此只要即满足题设条件,从中解出的范围;解答：Ⅰ令则从而,其中当变化时, ,的变化情况如下表+ 0 —0 +↗极大值↘极小值↗∴在处取得极大值,处取得极小值当时 , ,且在为减函数,在为增函数而当时 ,当时∴当时取最小值；Ⅱ当时在上为单调函数的充要条件是,解得综上,在上为单调函数的充要条件为 ,即的取值范围为 ;6.已知 ,函数Ⅰ当时,求使成立的成立的的集合；Ⅱ求函数在区间上的最小值;答案：Ⅰ｛0,1,｝。
高考数学导数压轴大题7大题型梳理归纳
导数压轴大题7个题型梳理归纳题型一：含参分类讨论 类型一：主导函数为一次型例1：已知函数()ln f x ax a x =--，且()0f x ≥.求a 的值 解：()1ax f x x-'=.当0a ≤时，()0f x '<，即()f x 在()0,+∞上单调递减，所以当01x ∀>时，()()010f x f <=，与()0f x ≥恒成立矛盾.当0a >时，因为10x a <<时()0f x '<，当1x a>时()0f x '>，所以()min 1f x f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为()1ln10f a a =--=，所以11a =，解得1a =类型二：主导函数为二次型例2: 已知函数()()320f x x kx x k =-+<.讨论()f x 在[],k k -上的单调性. 解：()f x 的定义域为R ，()()23210f x x kx k '=-+<，其开口向上，对称轴3k x =，且过()0,1，故03kk k <<<-，明显不能分解因式，得2412k ∆=-.（1）当24120k ∆=-≤时，即0k ≤<时，()0f x '≥，所以()f x 在[],k k -上单调递增；（2）当24120k ∆=->时，即k <令()23210f x x kx '=-+=，解得：12x x ==，因为()()210,010f k k f ''=+>=>，所以两根均在[],0k 上.因此，结合()f x '图像可得：()f x 在,,33k k k k ⎡⎡⎤+-⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上单调递增，在⎢⎥⎣⎦上单调递减.类型三：主导函数为超越型例3：已知函数()cos xf x e x x =-.求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值. 解：定义域0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()cos sin 1x f x e x x '=--，令()()cos sin 1xh x e x x =--，则()()cos sin sin cos 2sin .xx h x e x x x x e x '=---=-当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0h x '≤，即()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，可得()()()000h x h f '≤==，则()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦递减，所以()()()max01,.22f x f f x f ππ⎛⎫====- ⎪⎝⎭类型四：复杂含参分类讨论例4：已知函数()()33f x x x a a R =+-∈.若()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为()(),M a m a ，求()()M a m a -.解：()33333,333,x x a x a f x x x a x x a x a ⎧+-≥⎪=+-=⎨-+<⎪⎩，()2233,33,x x af x x x a⎧+≥⎪'=⎨-<⎪⎩ ①当1a ≤-时，有x a ≥，故()333f x x x a =+-，所以()f x 在()1,1-上是增函数，()()()()143,143M a f a m a f a ==-=-=--，故()()8M a m a -=.②当11a -<<时，若()()3,1,33x a f x x x a ∈=+-，在(),1a 上是增函数；若()1,x a ∈-，()333f x x x a =-+，在()1,a -上是减函数，()()(){}()()3max 1,1,M a f f m a f a a =-==，由于()()1162f f a --=-+因此当113a -<≤时，()()334M a m a a a -=--+；当113a <<时，()()332M a m a a a -=-++.③当1a ≥时，有x a ≤，故()333f x x x a =-+，此时()f x 在()1,1-上是减函数，因此()()()()123,123M a f a m a f a =-=+==-+，故()()4M a m a -=.题型二：利用参变分离法解决的恒成立问题类型一：参变分离后分母跨0例5：已知函数()()()242,22xf x x xg x e x =++=+，若2x ≥-时，()()f x kg x ≤，求k 的取值范围.解：由题意()24221xx x ke x ++≤+，对于任意的2x ≥-恒成立.当1x =-，上式恒成立，故k R ∈；当1x >-，上式化为()24221x x x k e x ++≥+，令()()()2421,21x x x h x x e x ++=>-+ ()()()22+221x xxe x h x e x -'=+，所以()h x 在0x =处取得最大值，()01k h ≥= 当21x -≤<-时，上式化为()24221x x x k e x ++≤+，()h x 单调递增，故()h x 在2x =-处取得最小值，()22k h e ≤-=.综上，k 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦.类型二：参变分离后需多次求导例6：已知函数()()()()212ln ,f x a x x a R =---∈对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立，求a 的最小值.解：即对12ln 0,,221xx a x ⎛⎫∈>-⎪-⎝⎭恒成立. 令()2ln 12,0,12x l x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭，则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x l x x x --+-'=-=-- 再令()()()222121122ln 2,0,,02x m x x x m x x x x x --⎛⎫'=+-∈=-+=< ⎪⎝⎭()m x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=->⎪⎝⎭，从而，()0l x '>，于是()l x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，()124ln 22l x l ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，故要2ln 21xa x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞，即a 的最小值24ln 2-. 变式1：已知函数()()1ln ,0x f x x a R a ax -=+∈≠，()()()11x g x b x xe b R x=---∈（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，若关于x 的不等式()()2f x g x +≤-恒成立，求b 取值范围.类型三：参变分离后零点设而不求例7：已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且()1f x k x <-对于任意1x >恒成立，求k 的最大值.解：恒成立不等式()minln ln ,111f x x x x x x x k k x x x ++⎛⎫<=< ⎪---⎝⎭，令()ln 1x x x g x x +=-，则()()2ln 21x x g x x --'=-，考虑分子()ln 2,h x x x =-- ()110h x x'=->，()h x 在()1,+∞单调递增.()()31ln 30,42ln 20h h =-<=->由零点存在定理，()3,4b ∃∈，使得()0h b =.所以()1,x b ∈，()()00h x g x '<⇒<，同理()(),,0x b g x '∈+∞>，所以()g x 在 ()1,b 单调递减，在(),b +∞单调递增.()()min ln 1b b bg x g b b +==-，因为()0h b =即ln 20ln 2b b b b --=⇒=-，()()()23,4,1b b b g b b b +-==∈-所以,k b <得max 3k =变式1：（理）已知函数().x ln x eaxx f x +-=（2）当0>x 时，()e x f -≤，求a 的取值范围.题型三：无法参变分离的恒成立问题类型一：切线法例8：若[)20,,10x x e ax x ∈+∞---≥，求a 的取值范围.类型二：赋值法例9：已知实数0a ≠，设函数()ln 1,0f x a x x x =++>.（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对于任意21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭均有()2x f x a ≤，求a 的取值范围. 解析：（1）当34a =-时，3()ln 1,04f x x x x =-++>． 3(12)(21()42141x x f 'x x x x x++=-=++ 所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a≤，得0a <≤当04a <≤时，()2f x a≤等价于22ln 0x a a --≥．令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t t x t =≥，则()2ln g t g x ≥=．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤则()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x =-=.故所以，()(1)0p x p ≥= ．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1()1g t g x ⎛+= ⎝．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =+>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫⎪⎝⎭．由（i ）得11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，()<0q x ． 因此1()10g t g x ⎛+=>⎝．由（i ）（ii ）得对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2x f x a．综上所述，所求a 的取值范围是⎛ ⎝⎦题型四：零点问题类型一：利用单调性与零点存在定理讨论零点个数 例10：已知函数()()31+ln .4f x x axg x x =+=-，（2）用{}min ,m n 表示,m n 中最小值，设函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>讨论()h x 零点个数.解：（2）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =<≤，∴()h x 在(1,)+∞无零点．当x =1时，若54a -≥，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g ===, 故x =1是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<,故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数． (ⅰ)若3a -≤或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a -≤时，()f x 在(0,1)有一个零点； 当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点.(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（01）单调递增，故当x ()f x 取的最小值，最小值为f 14．①若f ＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在(0,1)无零点．②若f =0，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点；③若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+， 所以当5344a -<<-时，()f x 在(0,1)有两个零点； 当534a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点．类型二：±∞方向上的函数值分析例11：已知函数()()22.x xf x ae a e x =+--若()f x 有两个零点，求a 取值范围.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点． （ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+．①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<． 又422(2)e(2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点．设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>+⎪⎝⎭，则()()000032ln 10n nf n e ae n f a ⎛⎫⎛⎫>-->+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点．综上，a 的取值范围为(0,1)．总结：若()01,ln 0a f a <<-<，要证明()f x 有两个零点，结合零点存在定理，分别在a 的左右两侧，这两个点的函数值()f x 都大于0，这时候需要我们对函数进行适当地放缩，化简，以便取值.先分析当x →-∞，2,x x ae ae 虽然为正，但是对式子影响不大，因此可以大胆的舍掉，得出()2xf x x e >--，显然我们对于右侧这个式子观察，就容易得出一个足够小的x （如1x =-），使得式子大于0了.再分析当x →+∞，我们可以把x ae 这个虽然是正数，但贡献比较小的项舍掉来简化运算，得到()()2xxf x eaex >--，显然当x 足够大，就可以使()2x ae -大于任何正数.那么把它放缩成多少才可以使得x e 的倍数大于x 呢？由常用的不等式1x e x x ≥+>，因此只需要使得21x ae ->即3ln x a >（如3ln 1x a=+）就可以了.题型五：极值点偏移类型一：标准极值点偏移例13:已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点1,2x x ，证明12 2.x x +<解： 不妨设12x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，又()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-， 而22222()(2)(1)0xf x x e a x =-+-=，所以222222(2)(2)x x f x x ex e --=---．设2()(2)xx g x xex e -=---，则2'()(1)()x x g x x e e -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <． 从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<．类型二：推广极值点偏移例14：已知()()()12ln ,f x x x f x f x ==，求证121x x +<. 解：我们可以发现12,x x 不一定恒在12x =两侧，因此需要分类讨论： （1）若12102x x <<<，则1211122x x +<+=，该不等式显然成立； （2）若121012x x <<<<，令()()()()()1ln 1ln 1g x f x f x x x x x =--=---102x <<，故()()()()12ln ln 12,01x g x x x g x x x -'''=+-+=>-，()g x '在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当0x →时，()1;22ln 202g x g ⎛⎫''→-∞=-> ⎪⎝⎭.010,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()00g x '=即()g x 在()00,x 上单调递减，在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又0x →时，()0g x →，且102g ⎛⎫=⎪⎝⎭，故()0g x <，即()()1f x f x <-对10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立，得证.题型六：双变量问题类型一：齐次划转单变量例15：已知函数()()1ln 1a x f x x x -=-+()2a ≤.设,m n R +∈，且m n ≠，求证ln ln 2m n m nm n -+<-. 解：设m n >，证明原不等式成立等价于证明()2ln m n mm n n-<+成立，即证明21ln 1m m n m n n⎛⎫- ⎪⎝⎭<+成立.令m t n =，1t >，即证()()21ln 01t g t t t -=->+.由（1）得，()g t 在()0,+∞上单调递增，故()()10g t g >=，得证.变式1：对数函数()x f 过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,e P ，函数()()()为常数m ,n x f m n x g '-=，()()的导函数为其中x f x f '.（1）讨论()x g 的单调性；（2）若对于()+∞∈∀,x 0有()m n x g -≤恒成立，且()()n x x g x h -+=2在()2121x x x ,x x ≠=处的导数相等，求证：()()22721ln x h x h ->+.解：（2）因为()1g n m =-，而()0,x ∀∈+∞有()()1g x n m g ≤-=恒成立，知()g x 当1x =时有最大值()1g ，有（1）知必有1m =.∴()()()11ln ,22ln ,g x n x h x g x x n x x x x=--=+-=-- 依题意设()()211122221120,1120k x x h x h x k k x x ⎧-+-=⎪⎪''==⎨⎪-+-=⎪⎩∴12111x x +=121212+=4x x x x x x ⇒≥>∴()()()()121212*********+ln ln 21ln h x h x x x x x x x x x x x ⎛⎫+=-+-+=-- ⎪⎝⎭令()124,21ln t x x t t t ϕ=>=--，()()1204t t tϕ'=->> ∴()t ϕ在4t >单调递增，∴()()472ln 2t ϕϕ>=-类型二：构造相同表达式转变单变量例16：已知,m n 是正整数，且1m n <<，证明()()11.nmm n +>+解：两边同时取对数，证明不等式成立等价于证明()()ln 1ln 1n m m n +>+，即证明()()ln 1ln 1m n m n ++>，构造函数()()ln 1x f x x+=，()()2ln 11xx x f x x -++'=，令()()ln 11x g x x x =-++，()()()22110111x g x x x x -'=-=<+++，故()()00g x g <=，故()0f x '<，结合1,m n <<知()()f m f n >类型三：方程消元转单变量例17：已知()ln xf x x=与()g x ax b =+，两交点的横坐标分别为1,2x x ，12x x ≠，求证：()()12122x x g x x ++>解：依题意11211112222222ln ln ln ln x ax b x x ax bx x x ax bx ax b x ⎧=+⎪⎧=+⎪⎪⇒⎨⎨=+⎪⎪⎩=+⎪⎩，相减得： ()()()12121212ln ln x x a x x x x b x x -=+-+-，化简得()()121212lnx x a x x b x x ++=-，()()()()()()112121121212121122221ln ln 1x x x x x x x x g x x x x a x x b x x x x x x ++++=+++==⎡⎤⎣⎦-- 设12x x >，令121x t x =>，()()()12122112ln 2ln 011t t x x g x x t t t t -+++>⇔>⇔->-+ 再求导分析单调性即可.变式1：已知函数()1++=ax x ln x f 有两个零点21x ,x .()10a -<<（2）记()x f 的极值点为0x ，求证：()0212x ef x x >+.变式2：设函数()()3211232xf x ex kx kx =--+. 若()f x 存在三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，求k 范围，证明1322x x x +>.变式3：已知函数()122ln 21x ef x a x x x-⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭在定义域()0,2内有两个极值点.（1）求实数a 的取值范围；（2）设12,x x 是()f x 两个极值点，求证12ln ln ln 0x x a ++>.类型四：利用韦达定理转单变量例18：已知()()21ln 02f x x x a x a =-+>，若()f x 存在两极值点1,2x x ， 求证：()()1232ln 24f x f x --+>.解：()21,a x x af x x x x-+'=-+=由韦达定理12121,x x x x a +==1140,4a a ∆=->< ()()()()()212121212121+2ln 2f x f x x x x x x x a x x ⎡⎤=+--++⎣⎦ ()11121ln ln 22a a a a a a =--+=--令()()11ln ,0,ln 024g a a a a a g a a '=--<<=<，()g a 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故()132ln 244g a g --⎛⎫>=⎪⎝⎭. 变式1:已知函数().R a ,x ax x ln x f ∈-+=22（2）若n ,m 是函数()x f 的两个极值点，且n m <，求证：.mn 1>方法二：变式2：已知函数()213ln 222f x x ax x =+-+()0a ≥. （1）讨论函数()f x 的极值点个数；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明()()110f x f x +<.题型六：不等式问题类型一：直接构造函数解决不等式问题例19：当()0,1x ∈时，证明：()()221ln 1x x x ++<.解：令()()()221ln 1f x x x x =++-，则()00f =，而()()()()2ln 1ln 12,00f x x x x f ''=+++-=，当()0,1x ∈时，有()ln 1x x +<，故()()()ln 12222ln 10111x f x x x x x x+''=+-=+-<⎡⎤⎣⎦+++， ()f x '在()0,1上递减，即()()00f x f ''<=，从而()f x 在()0,1递减，()()00f x f ≤=，原不等式得证.变式1：已知函数()()()R a ex x ln x a x f ∈+-=1.（1）求函数()x f 在点1=x 处的切线方程；（2）若不等式()0≤-x e x f 对任意的[)+∞∈,x 1恒成立，求实数a 的取值范围解：（2）令()()()()1ln 1,x xg x f x e a x x ex e x =-=-+->()1ln 1xg x a x e e x ⎛⎫'=+-+- ⎪⎝⎭， ①若0a ≤，则()g x '在[)1,+∞上单调递减，又()10g '=.即()0g x '≤恒成立，所以()g x 在[)1,+∞上单调递减，又()10g =，所以()0g x ≤恒成立.②0a >，令()()1ln 1,x h x g x a x e e x ⎛⎫'==+-+- ⎪⎝⎭所以()211xh x a e x x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭，易知211x x +与x -e 在[)1,+∞上单调递减，所以()h x '在[)1,+∞上单调递减，()12h a e '=-. 当20a e -≤，即02ea <≤时，()0h x '≤在[)1,+∞上恒成立，则()h x 在[)1,+∞上单调递减，即()g x '在[)1,+∞上单调递减，又()10g '=，()0g x '≤恒成立，()g x 在[)1,+∞上单调递减，又()10g =，()0g x ≤恒成立.当20a e ->时，即2ea >时，()01,x ∃∈+∞使()00h x '=，所以()h x 在()01,x 上单调递增，此时()()10h x h >=，所以()0g x '>所以()g x 在()01,x 递增，得()()10g x g >=，不符合题意. 综上，实数a 的取值范围是2e a ≤. 变式2：（文）已知函数()()()().R a ,x a x g ,x ln x x f ∈-=+=11（1）求直线()x g y =与曲线()x f y =相切时，切点T 的坐标. （2）当()10,x ∈时，()()x f x g >恒成立，求a 的取值范围.解：(1)设切点坐标为()00x y ，，()1ln 1f x x x'=++，则()()000001ln 11ln 1x a x x x a x ⎧++=⎪⎨⎪+=-⎩，∴00012ln 0x x x -+=.令()12ln h x x x x=-+，∴()22210x x h x x -+'=-≤，∴()h x 在()0+∞，上单调递减， ∴()0h x =最多有一根.又∵()10h =，∴01x =，此时00y =，T 的坐标为(1，0).(2)当()0 1x ∈，时，()()g x f x >恒成立，等价于()1ln 01a x x x --<+对()0 1x ∈，恒成立. 令()()1ln 1a x h x x x -=-+，则()()()()2222111211x a x ah x x x x x +-+'=-=++，()10h =. ①当2a ≤，()1x ∈0，时，()22211210x a x x x +-+≥-+>， ∴()0h x '>，()h x 在()0 1x ∈，上单调递增，因此()0h x <. ②当2a >时，令()0h x '=得1211x a x a =-=-由21x >与121x x =得，101x <<.∴当()1 1x x ∈，时，()0h x '<，()h x 单调递减， ∴当()1 1x x ∈，时，()()10h x h >=，不符合题意； 综上所述得，a 的取值范围是(] 2-∞，.变式3：（文）已知函数().x x x ln x f 12---=（2）若存在实数m ，对于任意()∞+∈0x ，不等式()()()0212≤+-+x x m x f 恒成立，求实数m 的最小整数值.解：（2）法一：参变分离+二次局部求导+虚设零点变式4：（理）已知函数()()()R a x a eae x f xx∈-++=-22.（1）讨论()x f 的单调性；（2）当0≥x 时，()(),x cos a x f 2+≥求实数a 的取值范围.变式5：已知()1ln ,mf x x m x m R x-=+-∈. （1）当202e m <≤时，证明()21x e x xf x m >-+-.类型二：利用min max f g >证明不等式问题例20：设函数()1ln x xbe f x ae x x-=+曲线()y f x =在点()()1,1f 的切线方程为()12y e x =-+.（1）求,a b 值； （2）证明：()1f x >【解析】(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，112()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x--=+-+． 由题意可得(1)2f =，(1)f e '=．1, 2.a b ==故(2)由(1)知12()ln xx f x e x e x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-． 设函数()1g x x nx =，则'()1g x nx =．所以当1(0,)x e ∈时，()0g x '<；当1(,)x e ∈+∞时，()0g x '>．故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e+∞单调递增，从而()g x 在(0,)+∞的最小值为11()g e e=-． 设函数2()xh x xee-=-，则'()(1)x h x e x -=-． 所以当(0,1)x ∈时()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<故()h x 在(0,1)单调递增， 在(1,)+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)h e=-．变式1. 已知函数()x ln a bx x f +=2的图像在点()()11f ,处的切线斜率为2+a .（1）讨论()x f 的单调性； （2）当20e a ≤<时，证明：()222-+<x e xx x f 解：（2）要证()222x f x x e x -<+，需证明22ln 2x a x e x x-<.令()ln 02a x e g x a x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，则()()21ln a x g x x -'=， 当()0g x '>时，得0x e <<；当()0,g x '<得x e >. 所以()()max ag x g e e==. 令()()2220x e h x x x -=>，则()()2322x e x h x x--'=. 当()0h x '>时，得2x >；当()0h x '<时，得02x <<. 所以()()min 122h x h ==.因为02e a <≤，所以()max 12a g x e ==. 又2e ≠，所以22ln 2x a x e x x-<，即()222x f x x e x -<+得证.变式2：（理）已知函数()().ax ln axx f -=（1）求()x f 的极值；（2）若()012≤+-++m x e mx x ln e x x ，求正实数m 的取值范围.变式3：已知()1ln ,mf x x m x m R x-=+-∈. （2）当202e m <≤时，证明()21x e x xf x m >-+-.类型三：利用赋值法不等式问题例21：已知函数()2x xf x e e x -=--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >，()0g x >，求b 的最大值. （3）估计ln 2（精确小数点后三位）.解：因为()()()()()2224484xx x x g x f x bf x e e b e e b x --=-=---+-所以()()()()()2222422222xx x x x x x xg x ee b e e b e e e e b ----⎡⎤'=+-++-=+-+-+⎣⎦①当2b ≤时，()0,g x '≥等号仅当0x =时成立，所以()g x 在R 上单调递增，而()00g =，所以对于任意()0,0x g x >>.②当2b >，若x 满足222x x e e b -<+<-，即(20ln 12x b b b <<-+-时，()0g x '<，而()00g =，因此当(20ln 12x b b b <≤--时，()0g x <，综上最大为2.（3）由（2）知，(()3221ln 22g b =-+-，当2b =时，(36ln 20,ln 20.69282g =->>>；当14b =+时，(ln 1b -+=(()32ln 202g =--<，18ln 20.69328+<<，所以近似值为0.693类型四：利用放缩法构造中间不等式例22：若0x >，证明：()ln 1.1x x xx e +>- 解：转化成整式()()2ln 11xx e x +->.令()()()2ln 11xf x x e x =+--，则()()1ln 121x xe f x e x x x -'=++-+()()()21ln 1211x x x e x e f x e x x x +''=+++-++.由()+1ln 11x x e x x x ≥+≥+，， 得()()()()3222112120,11x x x x f x x x x +++''≥++-=>++()()00,f x f ''≥=故()()00f x f ≥=，得证.变式1：（2020河南鹤壁市高三期末）已知函数()21xf x e kx =--，()()()2ln 1g x k x x k R =+-∈.（2）若不等式()()0f x g x +≥对任意0x ≥恒成立，求实数k 范围.变式2:（2020年河南六市联考）已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，()1ln g x ax b x =-- 证明：当1,x >-()()2sin 22xf x x x e<++类型五：与数列相关的不等式例23：设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m 的最小值.解：（2）由（1）知当(1,)x ∈+∞时，1ln 0x x -->令112n x =+得11ln(1)22n n +<，从而 221111111ln(1)ln(1)ln(1)112222222n n n ++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+=-<故2111(1)(1)(1)222n e ++⋅⋅⋅+<而23111(1)(1)(1)2222+++>，所以m 的最小值为3．变式1：（理）已知函数()()()021>+-+=a ax xx ln x f .（1）若不等式()0≥x f 对于任意的0≥x 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：().N n ln ln ln ln n n n *-∈⎪⎭⎫⎝⎛->⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⋅⋅⋅+++1212121279353变式1：（2020河南开封二模）已知函数()1xf x e x =--.（1）证明()0f x >；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 求m 的最小值.类型六：与切、割线相关的不等式例24：已知函数()()2901xf x a ax =>+ （1）求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线()y f x =的切线，求实数的值；（3）当2a =时，设12141,,22x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，且121414x x x +⋅⋅⋅+=，若不等式()()()1214f x f x f x λ+⋅⋅⋅+≤恒成立，求实数λ的最小值.解：证明()29412xf x x x=≤-++，即32281040x x x -+-+≥， 令()3228104F x x x x =-+-+，()261610F x x x '=-+-，所以()F x在1,12⎛⎫⎪⎝⎭，5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增.而()50,203F F ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，表明不等式()29412xf x x x =≤-++成立.所以()()()12141244+442n f x f x f x x x x ++⋅⋅⋅+≤-+-+⋅⋅⋅-+=， 等号在全部为1时成立，所以λ最小值为42。
文科《导数》高考常考题型专题训练
文科《导数》高考常考题型专题训练1.已知函数/。
）= 6'一。
工一3（。
£/?）（1）若函数段）在函,—1））处的切线与直线木广0平行,求实数”的值;（2）当a=2, k为整数，且当Q1时，“一外/'（x） + 2x + l＞0,求〃的最大值.1 .【解析】(1)由/(x) = "—ax — 3,则/'*・) = "—〃又函数7U）在（1,火1））处的切线与直线片厂0平行，则=（2）当〃=2,且当x＞l 时，&一行（。
”一+ 2x + l>0等价于2）, 2x+l)当x>l 时，k< x + ^—k " - 2 7m j n2x + \，-2X-3)令g(x) = x + ^-则g (幻=—：-------------------e -2 (。
”-2)-再令h(x) = e x - 2x - 3(x > 1),则/(x) = " - 2 > 0 ,所以,〃（x）在（L+o。
）上单调递增，且以l）vO,以2）＞0,所以，/?（x）在（1, 2）上有唯一的零点，设该零点为小,则x°w（l,2）,且e"=2%+3, 当xw。
,,q）时，〃（％）v。
，即g'（x）＜。
：当xw（小，+°°）时，"（x）＞。
，即g'（x）＞0, 所以，g （x）在。
,小）单调递减，在（/，+8）单调递增，2（ +1所以，g（X）min +c - z而x°e（L2）,故一+le（2,3）且"vg（瓦）,又k为整数,所以k的最大值为2.2.已知函数/（x） = 6 + sinx,其中（1）若函数”刈在区间上单调递增，求k的取值范围:⑵若k = l时，不等式/Oarcosx在区间0尚上恒成立，求实数。
的取值范围.2・1解析】(1)由题意，f\x) = k+cosx t(冗5兀।「兀5兀、因为/(”)在区间二；上单调递增，所以工£二：时，/'(x) = Z + cosxNO恒成立，即k 3 6 7 V3 6 yk>—COSX9因为函数)'= -cosx在(工:上单调递增，所以—cosxK—cos^ =无，所以攵之五. (361 6 2 2(2) 〃 = 1 时，/(x) = x + sinx,令g(x) = /(x)—ovcosx = x+sinx-arcosx, xw[o.g],则g(x)A。
高二文科数学导数知识点及基本题型
高二文科数学导数一、知识点梳理（1）平均变化率对于一般的函数()y f x =，在自变量x 从1x 变化到2x 的过程中，若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ 则函数的平均变化率为（2）导数的概念一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0时，xx f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('（3）导数的几何意义函数(x )在0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的 。
（4）基本初等函数的导数公式表及求导法则（默写）（5）函数单调性与导数：在某个区间(,)f x>，那a b内，如果'()0么函数()f x<，那么=在这个区间内；如果'()0y f x函数()y f x=在这个区间内．说明：（1）特别的，如果'()0f x=，那么函数()y f x=在这个区间内是常函数．（6）求解函数()y f x=单调区间的步骤：（7）求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值（8）函数的最值与导数：一般地，在闭区间[]b a,上函数()=的y f x图像是一条连续不断的曲线，那么函数()=在[]b a,上必y f x有 ．二、典型例题1、曲线y ＝在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋12、函数x x y ln =在区间( ) (A) )1,0(e 上单调递减 (B) ),1(+∞e上单调递减(C) ),0(+∞上单调递减 (D) ),0(+∞上单调递增3、若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为；4、函数x e x x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ）(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,05、函数x x x f 12)(3-=的极值是6、已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如下，则( )A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点7、已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ． Ⅰ、试求常数a 、b 、c 的值；Ⅱ、试判断1±=x 是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．三、练习1、（基础题）设y ＝8x 2－，则此函数在区间(0，)和(，1)内分别( )A ．单调递增，单调递减B ．单调递增，单调递增C ．单调递减，单调递增D ．单调递减，单调递减2、（基础题）函数2（x －3）的减区间是3、（基础题）函数b ax x x f +-=3)(3)0(>a 的极大值为6，极小值为2，（Ⅰ）求实数b a ，的值. （Ⅱ）求)(x f 的单调区间.4、（基础题）已知函数y＝f(x)＝.(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝处的切线方程；(2)求y＝f(x)的最大值；(3)设实数a＞0，求函数F(x)＝(x)在[a,2a]上的最小值（选做）5、（基础题）设f （x ）3－22x －25.（1）求f （x ）的单调区间；（2）当x ∈［1，2］时，f （x ）<m 恒成立，求实数m 的取值范围.6、（提高题，选做）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．注：e 为自然对数的底数．。
高考文科数学导数真题汇编(带答案)
高考文科数学导数真题汇编(带答案)高考数学文科导数真题汇编答案一、客观题组4.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。
5.设函数f(x)=x^2-2x，则f(x)的单调递减区间为。
7.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=2处取得极大值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。
8.设函数f(x)=1/(2x-lnx)，则x=2为f(x)的极小值点。
9.函数y=1/(2x-lnx)的单调递减区间为(0,1]。
11.已知函数f(x)=x^2+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,3)处的切线斜率为4，则b=3.12.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1)，且在点(2,3)处的切线斜率为5，则a=2.二、大题组2011新课标】21.已知函数f(x)=aln(x/b)+2，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1) 求a、b的值；(2) 证明：当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)。
解析】1) f'(x)=a/(xlnb)+2/x，由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2，且过点(1,f(1))，解得a=1，b=1.2) 由(1)知f(x)=ln(x)+1，所以f(x)-2ln(x/b)=ln(x/b)+1>0，当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)成立。
2012新课标】21.设函数f(x)=ex-ax-2.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若a=1，k为整数，且当x>0时，(x-k)f'(x)+x+1>0，求k的最大值。
解析】1) f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f'(x)=ex-a，若a≤0，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增。
人教版高考数学(文科)题型复习：导数
导数及其应用导数复习概念及其应用一、定义及意义1. 定义及概念: 0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的意义，①物理意义：瞬时速率，变化率 ②几何意义：切线斜率000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-③代数意义：函数增减速率 二、导数的计算1.基本初等函数的导数公式 ① （c 为常数），即常数的导数等于0。
②③；④； ⑤；2.导数的运算法则①[()()]()()f x g x f x g x '''±=±②[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•③2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3.复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•三、导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性一般的，在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>（等于），那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<（等于），那么函数()y f x =在这个区间单调递减；如果恒有，则在这一区间上为常函数。
(单调增或单调减区间内，可以存在'()=0f x )2.函数的极值与导数极值：设函数在点附近（区间）有定义，如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极小值，记作。
设函数可导，且在点处连续，判定是极大（小）值的方法是：（Ⅰ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极大值；（Ⅱ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极小值；注意：导数为0的不一定是极值点，如；函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的既不充分又不必要条件；3．函数的最大值与最小值（最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。
高中文科导数知识点汇总
高中文科导数知识点汇总高中文科导数知识点汇总高中文科中，导数是数学分析中的重要概念之一。
导数可以帮助我们研究函数的变化情况以及求解函数的极值等问题。
下面是一些高中文科中常见的导数知识点的汇总：1. 定义：导数可以被视为函数在某一点处的变化率。
如果函数f(x)在点x=a处导数存在，则导数的定义为：f'(a)=lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)。
其中，lim表示极限。
2. 导数记号：函数的导数可以用不同的符号表示。
除了上面提到的f'(a)，还可以用dy/dx、f(x)、y′等来表示。
3. 导函数：如果一个函数在定义域上的每个点都存在导数，那么我们可以得到一个新的函数，称为原函数的导函数。
导函数的表示可以是f'(x)或者y'。
4. 在数值上求导：对于函数f(x)，如果我们要求它在某点x=a 处的导数，可以通过计算函数在该点附近的斜率来近似求得。
具体方法有使用差商和利用求极限。
差商的计算方式为：(f(a+h)-f(a))/h，其中h→0。
5. 导数的几何意义：函数在某一点的导数可以表示函数在该点处的切线的斜率。
切线的斜率是函数在该点的局部增长率的表示。
6. 导数的运算法则：导数满足一些有用的运算法则，这些法则可以帮助我们简化求导的过程。
常见的导数运算法则包括：常数法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则、商法则、复合函数法则等。
7. 高阶导数：除了一阶导数，我们还可以计算高阶导数。
高阶导数表示导函数求导的结果。
例如，f''(x)表示函数f(x)的二阶导数。
8. 反函数和导数：如果一个函数f(x)在某一区间上是可递增或可递减的，并且在该区间上的导数不为零，那么它的反函数f^(-1)(x)在相应区间上也有导数，并且具有以下关系式：(f^(-1))'(y)=1/f'(x)，其中y=f(x)。
9. 隐函数和导数：隐函数是指不能直接用y=f(x)的形式表示的函数，而是以xy的关系表示的函数。
导数专题的题型总结
导数专题的题型总结一、导数的概念与运算题型1. 求函数的导数- 题目：求函数y = x^3+2x - 1的导数。
- 解析：- 根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，对于y = x^3+2x - 1。
- 对于y = x^3，其导数y^′=(x^3)^′ = 3x^2；对于y = 2x，其导数y^′=(2x)^′=2；对于y=-1，因为常数的导数为0，所以y^′ = 0。
- 综上，函数y = x^3+2x - 1的导数y^′=3x^2+2。
2. 复合函数求导- 题目：求函数y=(2x + 1)^5的导数。
- 解析：- 设u = 2x+1，则y = u^5。
- 根据复合函数求导公式y^′_x=y^′_u· u^′_x。
- 先对y = u^5求导，y^′_u = 5u^4；再对u = 2x + 1求导，u^′_x=2。
- 所以y^′ = 5u^4·2=10(2x + 1)^4。
二、导数的几何意义题型1. 求切线方程- 题目：求曲线y = x^2在点(1,1)处的切线方程。
- 解析：- 对y = x^2求导，根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，可得y^′ = 2x。
- 把x = 1代入导数y^′中，得到切线的斜率k = 2×1=2。
- 由点斜式方程y - y_0=k(x - x_0)（其中(x_0,y_0)=(1,1)，k = 2），可得切线方程为y - 1=2(x - 1)，即y = 2x-1。
2. 已知切线方程求参数- 题目：已知曲线y = ax^2+3x - 1在点(1,a + 2)处的切线方程为y = 7x + b，求a和b的值。
- 解析：- 先对y = ax^2+3x - 1求导，y^′=2ax + 3。
- 把x = 1代入导数y^′中，得到切线的斜率k = 2a+3。
- 因为切线方程为y = 7x + b，所以切线斜率为7，即2a + 3=7，解得a = 2。
高考数学导数题型归纳(文科)
文科导数题型1.基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('=x f 得到两个根；第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题2.不等式恒成立常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，4323()1262xm x x f x =--（1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.解:由函数4323()1262xm x x f x =--得32()332xm x f x x '=-- 2()3g x x m x ∴=--（1） ()y f x = 在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2()30g x x m x ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于m ax ()0g x <(0)0302(3)09330g m g m <-<⎧⎧⇒⇒>⎨⎨<--<⎩⎩ 解法二：分离变量法：∵ 当0x =时, 2()330g x x m x ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2()30g x x m x =--<恒成立等价于233x m x xx->=-的最大值（03x <≤）恒成立，而3()h x x x=-（03x <≤）是增函数，则m ax ()(3)2h x h == 2m ∴>(2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”则等价于当2m ≤时2()30g x x m x =--< 恒成立变更主元法：再等价于2()30F m m x x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）22(2)023011(2)0230F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩ 2b a ∴-=例2：设函数),10(3231)(223R b a b x a axx x f ∈<<+-+-=（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围. （二次函数区间最值的例子）解：（Ⅰ）()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---01a <<令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为(,3)a a令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为(,)(3,)a a -∞+∞和∴当x=a 时，)(x f 极小值=;433b a+-当3x a =时，)(x f 极大值b =（Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 2243a x ax a a -≤-+≤恒成立①则等价于()g x 这个二次函数m ax m in ()()g x a g x a ≤⎧⎨≥-⎩ 22()43g x x ax a =-+的对称轴2x a =01,a << 12a a a a +>+=（放缩法）即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
高考文科数学导数专题复习
高考文科数学导数专题复习第1讲 变化率与导数、导数的计算知 识 梳 理1.导数的概念1函数y ＝fx 在x ＝x 0处的导数f ′x 0或y ′|x ＝x 0,即f ′x 0＝0lim x ∆→错误!. 2函数fx 的导函数f ′x ＝0lim x ∆→错误!为fx 的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝fx 在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝fx 在点Px 0,fx 0处的切线的斜率,过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′x 0x －x 0.3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′x ,g ′x 存在,则有：考点一 导数的计算例1 求下列函数的导数：1y ＝e x ln x ；2y ＝x 错误!；解 1y ′＝e x ′ln x ＋e x ln x ′＝e x ln x ＋e x 错误!＝错误!e x .2因为y ＝x 3＋1＋错误!, 所以y ′＝x 3′＋1′＋错误!′＝3x 2－错误!.训练1 1 已知函数fx 的导函数为f ′x ,且满足fx ＝2x ·f ′1＋ln x ,则f ′1等于A.－eB.－1解析由fx＝2xf′1＋ln x,得f′x＝2f′1＋错误!,∴f′1＝2f′1＋1,则f′1＝－1.答案B22015·天津卷已知函数fx＝ax ln x,x∈0,＋∞,其中a为实数,f′x为fx的导函数.若f′1＝3,则a的值为________.2f′x＝a错误!＝a1＋ln x.由于f′1＝a1＋ln 1＝a,又f′1＝3,所以a＝3.答案23考点二导数的几何意义命题角度一求切线方程例22016·全国Ⅲ卷已知fx为偶函数,当x≤0时,fx＝e－x－1－x,则曲线y＝fx在点1,2处的切线方程是________.解析1设x>0,则－x<0,f－x＝e x－1＋x.又fx为偶函数,fx＝f－x＝e x－1＋x,所以当x>0时,fx＝e x－1＋x.因此,当x>0时,f′x＝e x－1＋1,f′1＝e0＋1＝2.则曲线y＝fx在点1,2处的切线的斜率为f′1＝2,所以切线方程为y－2＝2x－1,即2x－y＝0.答案2x－y＝0训练22017·威海质检已知函数fx＝x ln x,若直线l过点0,－1,并且与曲线y＝fx相切,则直线l的方程为＋y－1＝0 －y－1＝0 ＋y＋1＝0 －y＋1＝02∵点0,－1不在曲线fx＝x ln x上,∴设切点为x0,y0.又∵f′x＝1＋ln x,∴错误!解得x＝1,y0＝0.∴切点为1,0,∴f′1＝1＋ln 1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1,即x－y－1＝00.答案B命题角度二求切点坐标例32017·西安调研设曲线y＝e x在点0,1处的切线与曲线y＝错误!x>0上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.解析由y′＝e x,知曲线y＝e x在点0,1处的切线斜率k1＝e0＝1.设Pm,n,又y＝错误!x>0的导数y′＝－错误!,曲线y＝错误!x>0在点P处的切线斜率k2＝－错误!.依题意k1k2＝－1,所以m＝1,从而n＝1.则点P的坐标为1,1.答案1,1训练3若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0,则点P的坐标是________.解析1由题意得y′＝ln x＋x·错误!＝1＋ln x,直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设Pm,n,则1＋ln m＝2,解得m＝e,所以n＝eln e＝e,即点P的坐标为e,e. 答案1e,e命题角度三求与切线有关的参数值或范围例42015·全国Ⅱ卷已知曲线y＝x＋ln x在点1,1处的切线与曲线y＝ax2＋a＋2x＋1相切,则a＝________.解析由y＝x＋ln x,得y′＝1＋错误!,得曲线在点1,1处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2,所以切线方程为y－1＝2x－1,即y＝2x－1.又该切线与y＝ax2＋a＋2x＋1相切,消去y,得ax2＋ax＋2＝0,∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0,解得a＝8.答案8训练41.函数fx＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线,则实数a的取值范围是________.函数fx＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线,即f′x＝2在0,＋∞上有解,而f′x＝错误!＋a,即错误!＋a在0,＋∞上有解,a＝2－错误!,因为a＞0,所以2－错误!＜2,所以a的取值范围是－∞,2.答案 2－∞,22.点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点,则点P到直线y＝x－2的最小距离为解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点,当过点P的切线和直线y＝x－2平行时,点P 到直线y＝x－2的距离最小,直线y＝x－2的斜率为1,令y＝x2－ln x,得y′＝2x－错误!＝1,解得x＝1或x＝－错误!舍去,故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为1,1,点1,1到直线y＝x－2的距离等于错误!,∴点P到直线y＝x－2的最小距离为错误!.答案D第2讲导数在研究函数中的应用知识梳理函数的单调性与导数的关系函数y＝fx在某个区间内可导,则：1若f′x>0,则fx在这个区间内单调递增；2若f′x<0,则fx在这个区间内单调递减；3若f′x＝0,则fx在这个区间内是常数函数.考点一利用导数研究函数的单调性例1设fx＝e x ax2＋x＋1a＞0,试讨论fx的单调性.解f′x＝e x ax2＋x＋1＋e x2ax＋1＝e x ax2＋2a＋1x＋2＝e x ax＋1x＋2＝a e x错误!x＋2①当a＝错误!时,f′x＝错误!e x x＋22≥0恒成立,∴函数fx在R上单调递增；②当0＜a＜错误!时,有错误!＞2,令f′x＝a e x错误!x＋2＞0,有x＞－2或x＜－错误!,令f′x＝a e x错误!x＋2＜0,有－错误!＜x＜－2,∴函数fx在错误!和－2,＋∞上单调递增,在错误!上单调递减；③当a＞错误!时,有错误!＜2,令f′x＝a e x错误!x＋2＞0时,有x＞－错误!或x＜－2,令f′x＝a e x错误!x＋2＜0时,有－2＜x＜－错误!,∴函数fx在－∞,－2和错误!上单调递增；在错误!上单调递减.训练12016·四川卷节选设函数fx＝ax2－a－ln x,gx＝错误!－错误!,其中a∈R,e＝…为自然对数的底数.1讨论fx的单调性；2证明：当x>1时,gx>0.1解由题意得f′x＝2ax－错误!＝错误!x>0.当a≤0时,f′x<0,fx在0,＋∞内单调递减.当a>0时,由f′x＝0有x＝错误!,当x∈错误!时,f′x<0,fx单调递减；当x∈错误!时,f′x>0,fx单调递增.2证明令sx＝e x－1－x,则s′x＝e x－1－1.当x>1时,s′x>0,所以e x－1>x,从而gx＝错误!－错误!>0.考点二求函数的单调区间例22015·重庆卷改编已知函数fx＝ax3＋x2a∈R在x＝－错误!处取得极值.1确定a的值；2若gx＝fx e x,求函数gx的单调减区间.解1对fx求导得f′x＝3ax2＋2x,因为fx在x＝－错误!处取得极值,所以f′错误!＝0,即3a·错误!＋2·错误!＝错误!－错误!＝0,解得a＝错误!.2由1得gx＝错误!e x故g′x＝错误!e x＋错误!e x＝错误!e x＝错误!xx＋1x＋4e x.令g′x<0,得xx＋1x＋4<0.解之得－1<x<0或x<－4.所以gx的单调减区间为－1,0,－∞,－4.训练2 已知函数fx＝错误!＋错误!－ln x－错误!,其中a∈R,且曲线y＝fx在点1,f1处的切线垂直于直线y＝错误!x.1求a的值；2求函数fx的单调区间.解1对fx求导得f′x＝错误!－错误!－错误!,由fx在点1,f1处的切线垂直于直线y ＝错误!x知f′1＝－错误!－a＝－2,解得a＝错误!.2由1知fx＝错误!＋错误!－ln x －错误!,x>0.则f′x＝错误!.令f′x＝0,解得x＝－1或x＝5.但－10,＋∞,舍去.当x∈0,5时,f′x<0；当x∈5,＋∞时,f′x>0.∴fx的增区间为5,＋∞,减区间为0,5.考点三已知函数的单调性求参数例32017·西安模拟已知函数fx＝ln x,gx＝错误!ax2＋2xa≠0.1若函数hx＝fx－gx存在单调递减区间,求a的取值范围；2若函数hx＝fx－gx在1,4上单调递减,求a的取值范围.解1hx＝ln x－错误!ax2－2x,x>0.∴h′x＝错误!－ax－2.若函数hx在0,＋∞上存在单调减区间,则当x>0时,错误!－ax－2<0有解,即a>错误!－错误!有解.设Gx＝错误!－错误!,所以只要a>Gx min.又Gx＝错误!错误!－1,所以Gx min＝－1.所以a>－1.即实数a的取值范围是－1,＋∞.2由hx在1,4上单调递减,∴当x∈1,4时,h′x＝错误!－ax－2≤0恒成立,则a≥错误!－错误!恒成立,所以a≥Gx max.又Gx＝错误!错误!－1,x∈1,4因为x∈1,4,所以错误!∈错误!,所以Gx max＝－错误!此时x＝4,所以a≥－错误!.当a＝－错误!时,h′x＝错误!＋错误!x－2＝错误!＝错误!,∵x∈1,4,∴h′x＝错误!≤0,当且仅当x＝4时等号成立.∴hx在1,4上为减函数.故实数a的取值范围是错误!.训练3已知函数fx＝x3－ax－1.1若fx在R上为增函数,求实数a的取值范围；2若函数fx的单调减区间为－1,1,求a的值.解1因为fx在R上是增函数,所以f′x＝3x2－a≥0在R上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a＝0时,f′x＝3x2≥0,当且仅当x＝0时取等号.∴fx＝x3－1在R上是增函数.所以实数a的取值范围是－∞,0.2f′x＝3x2－a.当a≤0时,f′x≥0,fx在－∞,＋∞上为增函数,所以a≤0不合题意.当a>0时,令3x2－a<0,得－错误!<x<错误!,∴fx的单调递减区间为错误!,依题意,错误!＝1,即a＝3.第3讲导数与函数的极值、最值知识梳理1.函数的极值与导数的关系1函数的极小值与极小值点:若函数fx在点x＝a处的函数值fa比它在点x＝a附近其他点的函数值都小,f′a＝0,而且在点x＝a附近的左侧f′x<0,右侧f′x>0,则点a叫做函数的极小值点,fa叫做函数的极小值.2函数的极大值与极大值点:若函数fx在点x＝b处的函数值fb比它在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′b＝0,而且在点x＝b附近的左侧f′x>0,右侧f′x<0,则点b叫做函数的极大值点,fb叫做函数的极大值.2.函数的最值与导数的关系1函数fx在a,b上有最值的条件:如果在区间a,b上函数y＝fx的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.2求y＝fx在a,b上的最大小值的步骤考点一用导数研究函数的极值命题角度一根据函数图象判断极值例1设函数fx在R上可导,其导函数为f′x,且函数y＝1－xf′x的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是A.函数fx有极大值f2和极小值f1B.函数fx有极大值f－2和极小值f1C.函数fx有极大值f2和极小值f－2D.函数fx有极大值f－2和极小值f2解析由题图可知,当x<－2时,1－x>3,此时f′x>0；当－2<x<1时,0<1－x<3,此时f′x<0；当1<x<2时,－1<1－x<0,此时f′x<0；当x>2时,1－x<－1,此时f′x>0,由此可以得到函数fx在x＝－2处取得极大值,在x＝2处取得极小值.答案D命题角度二求函数的极值例2求函数fx＝x－a ln xa∈R的极值.解由f′x＝1－错误!＝错误!,x>0知：1当a≤0时,f′x>0,函数fx为0,＋∞上的增函数,函数fx无极值；2当a>0时,令f′x＝0,解得x＝a.又当x∈0,a时,f′x<0；当x∈a,＋∞,f′x>0,从而函数fx在x＝a处取得极小值,且极小值为fa＝a－a ln a,无极大值.综上,当a≤0时,函数fx无极值；当a>0时,函数fx在x＝a处取得极小值a－a ln a,无极大值.命题角度三已知极值求参数例3已知关于x的函数fx＝－错误!x3＋bx2＋cx＋bc在x＝1处有极值－错误!,试求b,c 的值.解∵f′x＝－x2＋2bx＋c,由fx在x＝1处有极值－错误!,可得错误!解得错误!或错误!若b＝1,c＝－1,则f′x＝－x2＋2x－1＝－x－12≤0,fx没有极值.若b＝－1,c＝3,则f′x ＝－x2－2x＋3＝－x＋3x－1.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下表：∴当x＝1时,fx有极大值－错误!,满足题意.故b＝－1,c＝3为所求.训练1设函数fx＝ax3－2x2＋x＋ca>0.1当a＝1,且函数图象过0,1时,求函数的极小值；2若fx在R上无极值点,求a的取值范围.解由题意得f′x＝3ax2－4x＋1.1函数图象过0,1时,有f0＝c＝1.当a＝1时,f′x＝3x2－4x＋1.令f′x>0,解得x<错误!或x>1；令f′x<0,解得错误!<x<1.所以函数在错误!和1,＋∞上单调递增；在错误!上单调递减.故函数fx的极小值是f1＝13－2×12＋1＋1＝1. 2若fx在R上无极值点,则fx在R上是单调函数,故f′x≥0或f′x≤0恒成立.当a＝0时,f′x＝－4x＋1,显然不满足条件；当a≠0时,f′x≥0或f′1≤0恒成立的充要条件是Δ＝－42－4×3a×1≤0,即16－12a≤0,解得a≥错误!.综上,a的取值范围是错误!.考点二利用导数求函数的最值例4 2017·郑州模拟已知函数fx＝x－k e x.1求fx的单调区间；2求fx在区间0,1上的最小值.解1由fx＝x－k e x,得f′x＝x－k＋1e x,令f′x＝0,得x＝k－1.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下表：所以,fx的单调递减区间是－∞,k－1；单调递增区间是k－1,＋∞.2当k－1≤0,即k≤1时,函数fx在0,1上单调递增,所以fx在区间0,1上的最小值为f0＝－k,当0<k－1<1,即1<k<2时,由1知fx在0,k－1上单调递减,在k－1,1上单调递增,所以fx在区间0,1上的最小值为fk－1＝－e k－1.当k－1≥1,即k≥2时,函数fx在0,1上单调递减,所以fx在区间0,1上的最小值为f1＝1－k e.综上可知,当k≤1时,fx min＝－k；当1<k<2时,fx min＝－e k－1；当k≥2时,fx min＝1－k e.训练2设函数fx＝a ln x－bx2x>0,若函数fx在x＝1处与直线y＝－错误!相切,1求实数a,b的值；2求函数fx在错误!上的最大值.解1由fx＝a ln x－bx2,得f′x＝错误!－2bxx>0.∵函数fx在x＝1处与直线y＝－错误!相切.∴错误!解得错误!2由1知fx＝ln x－错误!x2,则f′x＝错误!－x＝错误!,当错误!≤x≤e时,令f′x>0,得错误!<x<1,令f′x<0,得1<x<e,∴fx在错误!上单调递增,在1,e上单调递减,∴fx max＝f1＝－错误!.考点三函数极值与最值的综合问题例5已知函数fx＝错误!a>0的导函数y＝f′x的两个零点为－3和0.1求fx的单调区间；2若fx的极小值为－e3,求fx在区间－5,＋∞上的最大值.解1f′x＝错误!＝错误!.令gx＝－ax2＋2a－bx＋b－c,由于e x>0.令f′x＝0,则gx＝－ax2＋2a－bx＋b－c＝0,∴－3和0是y＝gx的零点,且f′x与gx的符号相同.又因为a>0,所以－3<x<0时,gx>0,即f′x>0,当x<－3或x>0时,gx<0,即f′x<0,所以fx的单调递增区间是－3,0,单调递减区间是－∞,－3,0,＋∞.2由1知,x＝－3是fx的极小值点,所以有错误!解得a＝1,b＝5,c＝5,所以fx＝错误!.因为fx的单调递增区间是－3,0,单调递减区间是－∞,－3,0,＋∞.所以f0＝5为函数fx的极大值,故fx在区间－5,＋∞上的最大值取f－5和f0中的最大者,又f－5＝错误!＝5e5>5＝f0,所数fx在区间－5,＋∞上的最大值是5e5.训练3 2017·衡水中学月考已知函数fx＝ax－1－ln xa∈R.1讨论函数fx在定义域内的极值点的个数；2若函数fx在x＝1处取得极值,x∈0,＋∞,fx≥bx－2恒成立,求实数b的最大值.解1fx的定义域为0,＋∞,f′x＝a－错误!＝错误!.当a≤0时,f′x≤0在0,＋∞上恒成立,函数fx在0,＋∞上单调递减.∴fx在0,＋∞上没有极值点.当a>0时,由f′x<0,得0<x<错误!；由f′x>0,得x>错误!,∴fx在错误!上递减,在错误!上递增,即fx在x＝错误!处有极小值.综上,当a≤0时,fx在0,＋∞上没有极值点；当a>0时,fx在0,＋∞上有一个极值点.2∵函数fx在x＝1处取得极值,∴f′1＝a－1＝0,则a＝1,从而fx＝x－1－ln x.因此fx≥bx－21＋错误!－错误!≥b,令gx＝1＋错误!－错误!,则g′x＝错误!,令g′x＝0,得x＝e2,则gx在0,e2上递减,在e2,＋∞上递增,∴gx min＝g e2＝1－错误!,即b≤1－错误!.故实数b的最大值是1－错误!.第4讲导数与函数的综合应用考点一利用导数研究函数的性质例12015·全国Ⅱ卷已知函数fx＝ln x＋a1－x.1讨论fx的单调性；2当fx有最大值,且最大值大于2a－2时,求a的取值范围.解1fx的定义域为0,＋∞,f′x＝错误!－a.若a≤0,则f′x>0,所以fx在0,＋∞上单调递增.若a>0,则当x∈错误!时,f′x>0；当x∈错误!时,f′x<0.所以fx在错误!上单调递增,在错误!上单调递减.2由1知,当a≤0,fx在0,＋∞上无最大值；当a>0时,fx在x＝错误!取得最大值,最大值为f 错误!＝ln错误!＋a错误!＝－ln a＋a－1.因此f 错误!>2a－2等价于ln a＋a－1<0.令ga＝ln a＋a－1,则ga在0,＋∞上单调递增,g1＝0.于是,当0<a<1时,ga<0；当a>1时,ga>0.因此,a的取值范围是0,1.训练1设fx＝－错误!x3＋错误!x2＋2ax.1若fx在错误!上存在单调递增区间,求a的取值范围；2当0＜a＜2时,fx在1,4上的最小值为－错误!,求fx在该区间上的最大值.解1由f′x＝－x2＋x＋2a＝－错误!错误!＋错误!＋2a,当x∈错误!时,f′x的最大值为f′错误!＝错误!＋2a；令错误!＋2a＞0,得a＞－错误!.所以,当a＞－错误!时,fx在错误!上存在单调递增区间.2已知0＜a＜2,fx在1,4上取到最小值－错误!,而f′x＝－x2＋x＋2a的图象开口向下,且对称轴x＝错误!,∴f′1＝－1＋1＋2a＝2a＞0,f′4＝－16＋4＋2a＝2a－12＜0,则必有一点x0∈1,4,使得f′x0＝0,此时函数fx在1,x0上单调递增,在x0,4上单调递减,f1＝－错误!＋错误!＋2a＝错误!＋2a＞0,∴f4＝－错误!×64＋错误!×16＋8a＝－错误!＋8a＝－错误!a＝1.此时,由f′x0＝－x错误!＋x0＋2＝0x0＝2或－1舍去,所以函数fx max＝f2＝错误!.考点二利用导数研究函数的零点或方程的根例2 2015·北京卷设函数fx＝错误!－k ln x,k>0.1求fx的单调区间和极值；2证明：若fx存在零点,则fx在区间1,错误!上仅有一个零点. 1解由fx＝错误!－k ln xk>0,得x>0且f′x＝x－错误!＝错误!.由f′x＝0,解得x＝错误!负值舍去.fx与f′x在区间0,＋∞上的情况如下：所以fx的单调递减区间是0,错误!,单调递增区间是错误!,＋∞.fx在x＝错误!处取得极小值f错误!＝错误!.2证明由1知,fx在区间0,＋∞上的最小值为f错误!＝错误!.因为fx存在零点,所以错误!≤0,从而k≥e.当k＝e时,fx在区间1,错误!上单调递减,且f错误!＝0,所以x＝错误!是fx 在区间1,错误!上的唯一零点.当k>e时,fx在区间0,错误!上单调递减,且f1＝错误!>0,f错误!＝错误!<0,所以fx在区间1,错误!上仅有一个零点.综上可知,若fx存在零点,则fx在区间1,错误!上仅有一个零点.训练22016·北京卷节选设函数fx＝x3＋ax2＋bx＋c.1求曲线y＝fx在点0,f0处的切线方程；2设a＝b＝4,若函数fx有三个不同零点,求c的取值范围.解1由fx＝x3＋ax2＋bx＋c,得f′x＝3x2＋2ax＋b.因为f0＝c,f′0＝b,所以曲线y＝fx 在点0,f0处的切线方程为y＝bx＋c.2当a＝b＝4时,fx＝x3＋4x2＋4x＋c,所以f′x＝3x2＋8x＋4.令f′x＝0,得3x2＋8x＋4＝0,解得x＝－2或x＝－错误!.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下：所以,当c>0且c－错误!<0,存在x1∈－4,－2,x2∈错误!,x3∈错误!,使得fx1＝fx2＝fx3＝0.由fx的单调性知,当且仅当c∈错误!时,函数fx＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点.考点三导数在不等式中的应用命题角度一不等式恒成立问题例32017·合肥模拟已知fx＝x ln x,gx＝x3＋ax2－x＋2.1如果函数gx的单调递减区间为错误!,求函数gx的解析式；2对任意x∈0,＋∞,2fx≤g′x＋2恒成立,求实数a的取值范围.解1g′x＝3x2＋2ax－1,由题意3x2＋2ax－1<0的解集是错误!,即3x2＋2ax－1＝0的两根分别是－错误!,1.将x＝1或－错误!代入方程3x2＋2ax－1＝0,得a＝－1.所以gx＝x3－x2－x ＋2.2由题意2x ln x≤3x2＋2ax－1＋2在x∈0,＋∞上恒成立,可得a≥ln x－错误!x－错误!,设hx＝ln x－错误!x－错误!,则h′x＝错误!－错误!＋错误!＝－错误!,令h′x＝0,得x＝1或－错误!舍,当0<x<1时,h′x>0,当x>1时,h′x<0,所以当x＝1时,hx取得最大值,hx max＝－2,所以a≥－2,所以a的取值范围是－2,＋∞.训练3已知函数fx＝x2－ln x－ax,a∈R.1当a＝1时,求fx的最小值；2若fx>x,求a的取值范围.解1当a＝1时,fx＝x2－ln x－x,f′x＝错误!.当x∈0,1时,f′x<0；当x∈1,＋∞时,f′x>0.所以fx的最小值为f1＝0.2由fx>x,得fx－x＝x2－ln x－a＋1x>0.由于x>0,所以fx>x等价于x－错误!>a＋1.令gx ＝x－错误!,则g′x＝错误!.当x∈0,1时,g′x<0；当x∈1,＋∞时,g′x>0.故gx有最小值g1＝1.故a＋1<1,a<0,即a的取值范围是－∞,0.命题角度二证明不等式例42017·昆明一中月考已知函数fx＝ln x－错误!.1求函数fx的单调递增区间；2证明：当x>1时,fx<x－1.1解f′x＝错误!－x＋1＝错误!,x∈0,＋∞.由f′x>0得错误!解得0<x<错误!.故fx的单调递增区间是错误!.2证明令Fx＝fx－x－1,x∈0,＋∞.则有F′x＝错误!.当x∈1,＋∞时,F′x<0,所以Fx在1,＋∞上单调递减,故当x>1时,Fx<F1＝0,即当x>1时,fx<x－1.故当x>1时,fx<x－1.训练4 2017·泰安模拟已知函数fx＝ln x.1求函数Fx＝错误!＋错误!的最大值；2证明：错误!＋错误!<x－fx；1解Fx＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!,F′x＝错误!,当F′x>0时,0<x<e；当F′x<0时,x>e,故Fx在0,e上是增函数,在e,＋∞上是减函数,故Fx max＝F e＝错误!＋错误!.2证明令hx＝x－fx＝x－ln x,则h′x＝1－错误!＝错误!,当h′x<0时,0<x<1；当h′x>0时,x>1,故hx在0,1上是减函数,在1＋∞上是增函数,故hx min＝h1＝1.又Fx max＝错误!＋错误!<1,故Fx<hx,即错误!＋错误!<x－fx.。
高中文科导数知识点及例题
一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ①'0()C C =为常数；②1()'nn x nx-=；11()'()'n n n x nx x---==-1()'m mn n m x x n -==③(sin )'cos x x=； ④(cos )'sin x x=-⑤()'x xe e = ⑥()'ln (0,1)x x a a a a a =>≠且；⑦1(ln )'x x =； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且 法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f xg x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x =题型一 求导函数例1 求下列函数的导数．⑴5x y = ⑵5y = ⑶x ln y = ⑷ x1y =⑸x log y 2= ⑹x cos y =⑺5x y = ⑻5x 1y =⑼x 5y =⑴xcos x )x (f 2= ⑵x cos x x 3y 2+= ⑶x cos )x 1(y 2+=⑷4x 1x 2y +-= ⑸22x22x y += ⑹x 2)1x (y += 1、)x (f '是1x 2x 31)x (f 3++=的导函数，则)1(f '-的值是 导数中的切线问题导数的几何意义：函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。
完整版)导数的综合大题及其分类
完整版)导数的综合大题及其分类.导数在高考中是一个经常出现的热点，考题难度比较大，多数情况下作为压轴题出现。
命题的主要热点包括利用导数研究函数的单调性、极值、最值，不等式，方程的根以及恒成立问题等。
这些题目体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用。
题型一：利用导数研究函数的单调性、极值与最值这类题目的难点在于分类讨论，包括函数单调性和极值、最值综合问题。
1.单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，将函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号。
如果不能确定导数等于零的点的相对位置，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论。
2.极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点。
3.最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的。
在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值。
例题：已知函数f(x)＝x－，g(x)＝alnx(a∈R)。
x1.当a≥－2时，求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；2.设h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)有两个极值点为x1，x2，其中h(x1)＝h(x2)，求a的值。
审题程序]1.在定义域内，依据F′(x)＝0的情况对F′(x)的符号进行讨论；2.整合讨论结果，确定单调区间；3.建立x1、x2及a间的关系及取值范围；4.通过代换转化为关于x1（或x2）的函数，求出最小值。
规范解答]1.由题意得F(x)＝x－x/(x2－ax＋1)－alnx，其定义域为(0，＋∞)。
则F′(x)＝(x2－ax＋1)－x(2ax－2)/(x2－ax＋1)2.令m(x)＝x2－ax＋1，则Δ＝a2－4.①当－2≤a≤2时，Δ≤0，从而F′(x)≥0，所以F(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a>2时，Δ>0，设F′(x)＝0的两根为x1＝(a＋√(a2－4))/2，x2＝(a－√(a2－4))/2，求h(x1)－h(x2)的最小值。
高考文科导数考点汇总
高考导数文科考点总结一、考试内容导数概念，导数几何意义，几种常见函数导数；两个函数与、差、根本导数公式，利用导数研究函数单调性与极值，函数最大值与最小值。
导数概念与运算知识清单1．导数概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f〔x+〕－f〔x〕，比值叫做函数y=f〔x〕在x到x+之间平均变化率，即=。
如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f 〔x〕在点x处导数，记作f’〔x〕或y’|。
即f〔x〕==。
说明：〔1〕函数f〔x〕在点x处可导，是指时，有极限。
如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。
〔2〕是自变量x在x处改变量，时，而是函数值改变量，可以是零。
由导数定义可知，求函数y=f〔x〕在点x处导数步骤〔可由学生来归纳〕：〔1〕求函数增量=f〔x+〕－f〔x〕；〔2〕求平均变化率=；〔3〕取极限，得导数f’(x)=。
2．导数几何意义函数y=f〔x〕在点x处导数几何意义是曲线y=f〔x〕在点p〔x，f〔x〕〕处切线斜率。
也就是说，曲线y=f〔x〕在点p〔x，f〔x〕〕处切线斜率是f’〔x〕。
相应地，切线方程为y－y=f/〔x〕〔x －x〕。
3．几种常见函数导数:4．两个函数与、差、积求导法那么法那么1：两个函数与(或差)导数,等于这两个函数导数与(或差)，即： (法那么2：两个函数积导数,等于第一个函数导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数导数，即：假设C为常数,那么.即常数与函数积导数等于常数乘以函数导数：法那么3：两个函数商导数，等于分子导数与分母积，减去分母导数与分子积，再除以分母平方：‘=〔v0〕。
形如y=f函数称为复合函数。
复合函数求导步骤：分解——求导——回代。
法那么：y＇|= y＇|·u＇|导数应用知识清单单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，如果，那么为增函数；如果，那么为减函数；如果在某区间内恒有，那么为常数；2．极点与极值：曲线在极值点处切线斜率为0，极值点处导数为0；曲线在极大值点左侧切线斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线斜率为负，右侧为正；3．最值：一般地，在区间[a，b]上连续函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。
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2、不等式恒成立常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；（请同学们参看2010省统测2）例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，4323()1262x mx x f x =--（1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.例2：设函数),10(3231)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.（二次函数区间最值的例子）第三种：构造函数求最值题型特征：)()(x g x f >恒成立0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立；从而转化为第一、二种题型例3；已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-， （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。
二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例4：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(21121)(23++++=． （Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32f x x a x a x a =+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间；（II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。
子集思想三、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)（或与x 轴）的交点======即方程根的个数问题 解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可； 例6、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．（1） 求实数k 的取值范围；（2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 根的个数知道，部分根可求或已知。
例7、已知函数321()22f x ax x x c =+-+（1）若1x =-是()f x 的极值点且()f x 的图像过原点，求()f x 的极值；（2）若21()2g x bx x d =-+，在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x 的图像与函数()f x 的图像恒有含1x =-的三个不同交点？若存在，求出实数b 的取值范围；否则说明理由。
题2：切线的条数问题====以切点0x 为未知数的方程的根的个数例7、已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)，求：（1）()f x 的解析式；（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．题3：已知()f x 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法 例8、例9、已知函数23213)(x x a x f +=，)0,(≠∈a R a （1）求)(x f 的单调区间；（2）令()g x ＝14x 4＋f （x ）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a 的取值范围．其它例题：1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R 上的函数32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 2、（根分布与线性规划例子）（1）已知函数322()3f x x ax bx c =+++(Ⅰ) 若函数()f x 在1=x 时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, 求)(x f 的解析式；(Ⅱ) 当()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值时, 设点(2,1)M b a -+所在平面区域为S, 经过原点的直线L 将S 分为面积比为1:3的两部分, 求直线L 的方程.解： (Ⅰ). 由2()22f x x ax b '=++, 函数()f x 在1=x 时有极值 ,∴ 220a b ++= ∵ (0)1f = ∴ 1c = 又∵ ()f x 在(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, ∴ (0)3f b '==- 故 12a = ∴3221()3132f x x x x =+-+ ……………………. 7分 (Ⅱ) 解法一: 由2()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值,∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即 0220480b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩令(,)M x y , 则21x b y a =-⎧⎨=+⎩∴ 2b x ⎨=+⎩ ∴ 220460y x y x ++<⎨⎪++>⎩故点M 所在平面区域S 为如图△ABC,易得(2,0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3(0,)2E -,2ABC S ∆=同时DE 为△ABC 的中位线, 13DEC ABED S S ∆=四边形∴ 所求一条直线L 的方程为: 0x =另一种情况设不垂直于x 轴的直线L 也将S 分为面积比为1:3的两部分, 设直线L 方程为y kx =,它与AC,BC 分别交于F 、G, 则 0k >, 1S =四边形DEGF由 220y kx y x =⎧⎨++=⎩ 得点F 的横坐标为: 221F x k =-+由 460y kx y x =⎧⎨++=⎩得点G 的横坐标为: 641G x k =-+∴OGE OFD S S S ∆∆=-四边形DEGF 61311222214121k k =⨯⨯-⨯+⨯=+即 216250k k +-=解得: 12k = 或 58k =- (舍去) 故这时直线方程为: 12y x = 综上,所求直线方程为: 0x =或12y x =.…………….………….12分 (Ⅱ) 解法二: 由2()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值,∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即 0220480b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩令(,)M x y , 则 21x b y a =-⎧⎨=+⎩∴ 2b x ⎨=+⎩ ∴ 220460y x y x ++<⎨⎪++>⎩故点M 所在平面区域S 为如图△ABC,易得(2,0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3(0,)2E -,2ABC S ∆=同时DE 为△ABC 的中位线, 13DEC ABED S S ∆=四边形 ∴所求一条直线L 的方程为:0x =另一种情况由于直线BO 方程为: 12y x =, 设直线BO 与AC 交于H ,由 12220y xy x ⎧=⎪⎨⎪++=⎩得直线L 与AC 交点为: 1(1,)2H -- ∵ 2ABC S ∆=, 1112222DEC S ∆=⨯⨯=,11222211122H ABO AOH S S S ∆∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=AB∴ 所求直线方程为: 0x = 或12y x =3、（根的个数问题）已知函数32f(x)ax bx (c 3a 2b)x d (a 0)=++--+>的图象如图所示。
（Ⅰ）求c d 、的值；（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x y 110+-=，求函数f ( x )的解析式；（Ⅲ）若0x 5,=方程f(x)8a =有三个不同的根，求实数a 的取值范围。
解：由题知：2f (x)3ax 2bx+c-3a-2b '=+（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且()1f '= 0得332c 320d a b a b =⎧⎨++--=⎩⇒⎩⎨⎧==03c d （Ⅱ）依题意 ()2f '= – 3 且f ( 2 ) = 5 124323846435a b a b a b a b +--=-⎧⎨+--+=⎩ 解得a = 1 , b = – 6所以f ( x ) = x 3 – 6x 2 + 9x + 3（Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax 3 + bx 2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a ＞0 ) ()x f '= 3ax 2+ 2bx – 3a – 2b由()5f '= 0⇒b = – 9a①若方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3＜8a ＜7a + 3⇒111＜a ＜3所以 当111＜a ＜3时，方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根。