轨迹方程的求法及典型例题(含答案)
求动点的轨迹方程方法例题习题答案
求动点的轨迹方程（例题，习题与答案）在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型）。
求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。
求动点轨迹的常用方法动点P 的轨迹方程是指点P 的坐标（x, y ）满足的关系式。
1. 直接法（1）依题意，列出动点满足的几何等量关系；（2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。
例题 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长等与MQ ，求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解：设动点M(x,y)，直线MN 切圆C 于N 。
依题意：MN MQ =，即22MN MQ = 而222NO MO MN-=,所以(x-2)2+y 2=x 2+y 2-1 化简得：x=45。
动点M 的轨迹是一条直线。
2. 定义法分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。
依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。
例题：动圆M 过定点P （－4，0），且与圆C ：0822=-+x y x 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
解：设M(x,y)，动圆Ｍ的半径为r 。
若圆M 与圆C 相外切，则有 ∣M C ∣=r ＋4 若圆M 与圆C 相内切，则有 ∣M C ∣=r-4 而∣M P ∣=r, 所以∣M C ∣-∣M P ∣=±4动点M 到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4，所以动点M 的轨迹为双曲线。
其中a=2, c=4。
动点的轨迹方程为： 3. 相关点法若动点P(x ，y)随已知曲线上的点Q(x 0，y 0)的变动而变动，且x 0、y 0可用x 、y 表示，则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程。
直接法求轨迹方程
例 如：一条线段ＡＢ的长等于２a，两个端点 Ａ和Ｂ分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB中点 Ｍ的轨迹方程 . 解法一:设M点的坐标为(ｘ，ｙ) ， 则Ａ（２ｘ，０），Ｂ(０，２ｙ)
.
由于 AB 2a Q
(2x)Байду номын сангаас (2y)2 2a
(2x)2 (2y)2 (2a)2 x2 y2 a2
求轨迹方程的常见方法系列微课（一）
直接法求轨迹方程
适应对象 高二和高三学生
求轨迹方程的常见方法（一）
直接法 如果动点满足的几何条件本身就是一 些几何量的等量关系，且这些条件简明易于表 达，我们只须把这种关系直接“翻译”成含x， y的等式，就得到点的轨迹方程.这种求轨迹方 法叫直接法，又叫直译法.
课本上,求圆、椭圆、双曲线、抛物线的标 准方程都是用的直接法.
求点Ｍ的轨迹方程.
参考答案 y2 x2 1 4
求轨迹方程的直接法，我就介绍到这里， 谢谢你的观看 .
下一节我要介绍的是定义法求轨迹方程. 欢迎你继续观看. 再见
２.设点 设轨迹上的任一点Ｍ(ｘ，ｙ) ；
３.列式 列出动点Ｍ所满足的关系式； ４.代换 依条件的特点，将其转化为关于
ｘ，ｙ的方程式，并化简； ５.证明 证明所求方程即为符合条件的动点
轨迹方程.
来试试
在直角坐标系中，长度为３的线段ＡＢ的
端点Ａ、Ｂ分别在x、y轴上运动，点Ｍ在线段
ＡＢ上,且
uuuur uuur AM 2MB.
则点Ｍ的轨迹方程是 x2 y2 a2
法二、设M点的坐标为(ｘ，ｙ) ，由平 面几何中直角三角形的性质可知
OM 1 AB 1 2a a
2
2
2023年高考数学轨迹问题的9种方法答案和解析
1.（北京市中国科学院附属实验学校 2020-2021 学年高二期中）已知坐标平面上点 M ( x, y ) 与
两个定点 M1 (26,1) ， M 2 (2,1) 的距离之比等于 5．
（1）求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为 C ，过点 A(2,3) 的直线 l 被 C 所截得的线段的长为 8，求直线 l 的
（
）
A．直线
B．圆
C．抛物线的一部分
D．椭圆
知识点二：直接法求轨迹
可以直接列出等量关系式
（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的
距离公式、直线斜率公式等。）
（2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
简化为：设点----列式---化简----去掉“多点”或者补上“少点”
（2，0）。求过点 A 且和◎B 相切的动圆圆心 P 的轨迹。
2
2.（天津市第三中学 2020-2021 学年高二上学期）已知圆 M : x 2 y 2 2 y 7 0 和点
N 0,1 ，动圆 P 经过点 N 且与圆 M 相切，圆心 P 的轨迹为曲线 E.
（1）求曲线 E 的方程；
5
（3）在（2）的条件下，若过点 , 0 的直线 m 与曲线 W 有两个交点，求直线 m 的斜率
2
的取值范围.
知识点六：参交轨法
交轨法；轨迹交点法。
1. 动点满足第一个条件。求出对应的含参方程。用参数 t 表示。
f（x，y，t）0
=
2. 动点满足第二个条件。求出对应的含参方程。用同一参数 t 表示。
（1）求曲线 C 的方程；
（2）已知 A(2, 0) ，过点 F 的动直线 l 与曲线 C 交于 B ， D 两点，记 AOB 和 △AOD 的面积
轨迹方程的求法及典型例题含答案
轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有1直接法；2定义法；3待定系数法4参数法5交轨法；6相关点法注意：求轨迹方程时注意去杂点,找漏点.一、知识复习例1：点P－3,0是圆x2+y2－6x－55=0内的定点,动圆M与已知圆相切,且过点P,求圆心M的轨迹方程;例2、如图所示,已知P 4,0是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点,且满足∠APB =90°,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ,坐标为x ,y ,则在Rt △ABP 中,|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点,依垂径定理：在Rt △OAR 中,|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－x 2+y 2 又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有x －42+y 2=36－x 2+y 2,即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上,而当R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Qx ,y ,Rx 1,y 1,因为R 是PQ 的中点,所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1⊥L 2, 点N ∈L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若∆AMN 为锐角三角形, |AM|= 错误!, |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.解法一：如图建立坐标系,以l 1为x 轴,MN 的垂直平分线为y 轴,点O 为坐标原点;依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点,以l 2为准线的抛物线的一段,其中A ,B 分别为C 的端点;设曲线段C 的方程为)0,(),0(22>≤≤>=y x x x p px y B A ,其中x A,x B 分别为A ,B 的横坐标,P=|MN|;)2(92)2()1(172)2(3||,17||)0,2(),0,2(22=+-=++==-A A A A px px px px AN AM p N p M 得由所以 由①,②两式联立解得p x A 4=;再将其代入①式并由p>0解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧====2214A A x p x p 或 因为△AMN 是锐角三角形,所以Ax p >2,故舍去⎩⎨⎧==22A x p∴p=4,x A =1由点B 在曲线段C 上,得42||=-=pBN x B ;综上得曲线段C 的方程为)0,41(82>≤≤=y x x y解法二：如图建立坐标系,分别以l 1、l 2为作AE ⊥l 1,AD ⊥l 2,BF ⊥l 2垂足分别为E 、D 、F 设Ax A , y A 、Bx B , y B 、Nx N , 0 依题意有)0,63)(2(8}0,,)(|),{(),(6||||4||||||||||22||||||3|||||22222222>≤≤-=>≤≤=+-====++=+=∆=+======y x x y C y x x x x y x x y x P C y x P NB BE x AE AM ME EN ME x AMN DA AM DM y AN DA ME x B A N B N A A 的方程故曲线段属于集合上任一点则由题意知是曲线段设点为锐角三角形故有由于例4、已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y =x ,设长为2的线段AB 在直线λ上移动,求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．解：PA 和QB 的交点Mx ,y 随A 、B 的移动而变化,故可设)1,1(),,(++t t B t t A , 则PA ：),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB ：).1(112-≠+-=-t x t t y 消去t ,得.082222=+-+-y x y x当t =－2,或t =－1时,PA 与QB 的交点坐标也满足上式,所以点M 的轨迹方程是.0822222=+--+-y x x y x例5、设点A 和B 为抛物线 y 2=4pxp ＞0上原点以外的两个动点,已知OA ⊥OB ,OM ⊥AB ,求点M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.解法一：设Mx ,y ,直线AB 的方程为y =kx +b 由OM ⊥AB ,得k =－yx由y 2=4px 及y =kx +b ,消去y ,得k 2x 2+2kb －4px +b 2=0 所以x 1x 2=22kb , y 1y 2=kpb 4,由OA ⊥OB ,得y 1y 2=－x 1x 2所以k pk4=－22kb , b =－4kp故y =kx +b =kx －4p , 得x 2+y 2－4px =0x ≠0故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0x ≠0,它表示以2p ,0为圆心,以2p 为半径的圆,去掉坐标原点.解法二：设Ax 1,y 1,Bx 2,y 2,Mx ,y依题意,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x yx y px y px y①－②得y 1－y 2y 1+y 2=4px 1－x 2 若x 1≠x 2,则有2121214y y px x y y +=-- ⑥ ①×②,得y 12·y 22=16p 2x 1x 2 ③代入上式有y 1y 2=－16p 2⑦⑥代入④,得yxy y p -=+214 ⑧ ⑥代入⑤,得py x y y x x y y y y p442111121--=--=+所以211214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px －y 12=yy 1+y 2－y 12－y 1y 2 ⑦、⑧代入上式,得x 2+y 2－4px =0x ≠0 当x 1=x 2时,AB ⊥x 轴,易得M 4p ,0仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0x ≠0它表示以2p ,0为圆心,以2p 为半径的圆,去掉坐标原点.① ②③ ④ ⑤|轨 迹 方 程练习11．08、山东文22已知曲线1C ：||||1(0)x y a b a b+=>>所围成的封闭图形的面积为 45,曲线1C 的内切圆半径为253,记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．1求椭圆2C 的标准方程； 2设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦,L 是线段AB 的 垂直平分线,M 是L 上异于椭圆中心的点．①若||MO ＝λ||OA O 为坐标原点,当点A 在椭圆2C 上运动时,求点M 的轨迹方程；②若M 是L 与椭圆2C 的交点,求AMB ∆的面积的最小值．解：1由题意得22245253ab ab a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩⇒4522==b a ，⇒椭圆方程：2254x y +＝1．2若AB 所在的斜率存在且不为零,设 AB 所在直线方程为y ＝kxk≠0,A A A y x ，．①由22154,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩⇒2222220204545A A k x y k k ==++， ⇒2222220(1)||45AAk OA x y k+=+=+． 设Mx,y,由|MO|＝λ|OA|λ≠0⇒|MO|2＝λ2|OA|2⇒2222220(1)45k x y k λ++=+．因为L 是AB 的垂直平分线,所以直线L 的方程为y ＝1x k -⇒k ＝x y-,代入上式有：22222222222220(1)20()4545x x y y x y x y x yλλ+++==++⨯,由022≠+y x ⇒2225420x y λ+=, 当k ＝0或不存时,上式仍然成立.,综上所述,M 的轨迹方程为22245x y λ+=,λ≠0．②当k 存在且k ≠0时,2222220204545AA k x y k k ==++，⇒|OA|2＝222220(1)45A A k x y k ++=+． 由221541x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⇒2222220205454M M k x y k k ==++，⇒22220(1)||54k OM k +=+． ⇒222222111120(1)20(1)4554k k OAOMk k +=+++++＝209． 222119||||20OA OB OA OM≤+=⨯⇒||||OB OA ⨯≥940．||||21OB OA S AMB ⨯⨯⨯=∆＝||||OB OA ⨯≥40,当且仅当4＋5k 2＝5＋4k 2时,即k ＝±1时等号成立．当1400229AMB k S ∆==⨯=>，； 当k 不存在时,140429AMB S ∆==>．综上所述,AMB ∆的面积的最小值为409．2．07、江西理21设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ,2APB θ∠=,且存在常数(01)λλ<<,使得212sin d d θλ=．1证明：动点P 的轨迹C 为双曲线,并求出C 的方程；2过点B 作直线与双曲线C 的右支于M N ，两点,试确定λ的范围,使OM ·ON ＝0,其中点O 为坐标原点．解：1在PAB △中,2AB =,即222121222cos 2d d d d θ=+-, 2212124()4sin d d d d θ=-+,即2121244sin 212d d d d θλ-=-=-<常数,点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点,实轴长221a λ=-的双曲线,方程为：2211x y λλ-=-． 2设11()M x y ，,22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时,MN 的方程为1x =,(11)M ，,(11)N -，在双曲线上．即2111511012λλλλλ-±-=⇒+-=⇒=-, 因为01λ<<,所以512λ-=． ②当MN 不垂直于x 轴时,设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得： 2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦,由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦ ⇒21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--,2122(1)()(1)k x x kλλλλ--+=-- ⇒22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--． 由OM ·ON ＝0,且M N ，在双曲线右支上,所以2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>-⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩． 由①②知32215<≤-λ．3．09、海南已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．1求椭圆C 的方程；2若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,2OP e OMe 为椭圆C 的离心率,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线．解：Ⅰ设椭圆长半轴长及分别为a,c ．由已知得⎩⎨⎧=+=-71c a c a ⇒a ＝4,c ＝3⇒椭圆C 的方程为221167x y +=． 2设Mx,y,P 0x ,0y ． 其中0x ∈－4,4,0x ＝x ．有22001167x y +=……① 由OP e OM=得：2240022x y e x y +=+＝169． 故22220016()9()x y x y +=+下面是寻找关系式0x ＝fx,y,0y ＝gx,y 的过程又⎪⎩⎪⎨⎧-==167112220220x y x x ……………………………………②②式代入①：22001167x y +=并整理得：47(44)3y x =±-≤≤,所以点M 的轨迹是两条平行于x 轴的线段．轨 迹 方 程练习24．09、重庆理已知以原点O 为中心的椭圆的一条准线方程为433y =,离心率32e =,M 是椭圆上的动点． 1若C 、D 的坐标分别是0,√3、0,－√3,求||MC ·||MD 的最大值；2如图,点A 的坐标为1,0,点B 是圆221x y +=上的点,点N 是点M 椭圆上的点在x 轴上的射影,点Q 满足条件：OQ ＝OM ＋ON ,QA ·BA ＝0．求线段QB 的中点P 的轨迹方程．解：1设椭圆方程为：22221x y a b +=a ＞b ＞0．准线方程3y =＝c a 2,2e =＝ac ⇒2=a ,32=c 1=⇒b ⇒椭圆方程为：2214y x +=．所以：C 、D 是椭圆2214y x +=的两个焦点⇒||MC ＋||MD ＝4．||MC ·||MD ≤4)2||||(2=+MD MC ,当且仅当||MC ＝||MD ,即点M 的坐标为(1,0)±时上式取等号⇒||MC ·||MD 的最大值为4．2设M(,),(,)m m B B x y B x y ,(,)Q Q Q x y ,N 0，m x ⇒4422=+m m y x ,122=+B B y x ． 由OQ ＝OM ＋ON⇒m Q x x 2=,m Q y y =⇒4)2(2222=+=+m m Q Qy x y x ………①由QA ·BA ＝0 ⇒Q Q y x --，1·B B y x --，1＝Q x -1B x -1＋B Q y y ＝0 ⇒=+B Q B Q y y x x 1-+B Q x x …………②记P 点的坐标为P x ,P y ,因为P 是BQ 的中点⇒B Q P x x x +=2,B Q P y y y +=2⇒2222)2()2(BQ B Q P P y y x x y x +++=+＝)22(412222B Q B Q B Q B Q y y x x y y x x +++++ ＝)]1(25[41-++B Q x x ＝)245(41-+P x ⇒P P P x y x +=+4322 ⇒动点P 的方程为：1)21(22=+-y x ．5．09、安徽已知椭圆22a x ＋22by ＝1a ＞b ＞0的离心率为33．以原点为圆心,以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．1求a 与b 的值；2设该椭圆的左,右焦点分别为1F 和2F ,直线1L 过2F 且与x 轴垂直,动直线2L 与y 轴垂直,2L 交1L 于点p.求线段1PF 的垂直平分线与直线2L 的交点M 的轨迹方程,并指明曲线类型解：1e ＝33⇒22a b ＝32．又圆心0,0到直线y ＝x ＋2的距离d ＝半径b ＝22112+, ∴2b ＝2,2a ＝3．12322=+y x 21F －1,0、2F 1,0,由题意可设P 1,tt ≠0.那么线段1PF 的中点为N0,2t ． 2L 的方程为：y ＝t,设M M M y x ,是所求轨迹上的任意点.下面求直线MN 的方程,然后与直线2L 的方程联立,求交点M 的轨迹方程直线1PF 的斜率k ＝2t ,∴线段1PF 的中垂线MN 的斜率＝－t2． 所以：直线MN 的方程为：y －2t ＝－t 2x ．由⎪⎩⎪⎨⎧+-==22t x t y t y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=t y t x MM 42, 消去参数t 得：M M x y 42-=,即： x y 42-=,其轨迹为抛物线除原点．又解：由于MN ＝－x,2t －y,1PF ＝－x,2t －y ．∵MN ·1PF ＝0, ∴⎪⎩⎪⎨⎧==---ty y t x t x 0)2(·)2,(，,消参数t 得：x y 42-=x ≠0,其轨迹为抛物线除原点．6．07湖南理20已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．直接法求轨迹1若动点M 满足1111F M F A F B FO =++其中O 为坐标原点,求点M 的轨迹方程；2在x 轴上是否存在定点C ,使CA ·CB 为常数 若存在,求出点C 的坐标；若不存在,请说明理由．解：1由条件知1(20)F -，,2(20)F ，,设11()A x y ，,22()B x y ，．设()M x y ，,则1(2)F M x y =+，,111(2)F A x y =+，,1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，, 由1111F M F A F B FO =++⇒121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩ ⇒12124x x x y y y+=-⎧⎨+=⎩⇒AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时,1212024822y y y y x x x x --==----, 即1212()8y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上,所以22112x y -=,22222x y -=,两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+,即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8y y y x x x -=--代入上式,化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(80)M ，,也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=． 2假设在x 轴上存在定点(0)C m ，,使CA ·CB 为常数． 当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=． 则12x x ，是上述方程的两个实根,所以212241k x x k +=-,2122421k x x k +=-,于是CA ·CB 22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++-- 222222(12)2442(12)11m k m m m m k k -+-=+=-++--． 因为CA ·CB 是与k 无关的常数,所以440m -=,即1m =,此时CA ·CB ＝－1．当AB 与x 轴垂直时,点A B ，的坐标可分别设为(2,(2,此时CA ·CB ＝1,√2·1,－√2＝－1．故在x 轴上存在定点(10)C ，,使CA ·CB 为常数．。
第4节 求轨迹方程的专题训练
2 kt
t
(t为参数),直线l2的参数方程为
x y
2 m k
m
(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
写出C的普通方程.
【解析】 直线l1的普通方程为y k(x 2), 直线l2的普通方程为x 2 ky, 消去k得, x2 y2 4 即C的普通方程为x2 y2 4.
【例11】 (新课标卷)已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线l:y=x, 设长为 2 的线段AB在直线l上移动,求直线PA和QB交点M的轨 迹方程.
【解析】 PA和QB的交点M (x, y)随A、B的移动而变化, 故可设A(t,t), B(t 1,t 1),则直线PA的方程 : y 2 t 2 (x 2)(t 2),
(4)多参问题中,根据方程的观点,引入n个参数,需建立n+1个 方程,才能消参(特殊情况下,能整体处理时,方程个数可减少).
【例9】 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A 点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.
【解析】设M (x, y),连接MP,则A(2x, 0), B(0, 2 y), l1 l2 ,△PAB为直角三角形.
(2)用参数法求解时,选用什么变量为参数,要看动点随什么量 的变化而变化,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量, 如时间,速度,距离,角度,有向线段的数量,直线的斜率,点的横、 纵坐标等.也可以没有具体的意义.常见的参数有:斜率、截距、 定比、角、点的坐标等.
(3)选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值 范围的影响,要特别注意消参前后保持范围的等价性.
求轨迹的几种求法
15
M
10
N
5
P
-30
-20
点P的 轨 迹 方 x2 程 y2 为 1
16 7
-10
A
B
10
-5
-10
【练习3】第3题-----变式
已知A圆 的方程 (x为 3)2 y2 1166,B(3,0)为一定 , 点 15 M为圆 A上的一个 ,线动段 M点的 B 中垂线A和M直
求轨迹的几种求法
三、定义法
分析题设几何条件，根据所学曲线的定义， 判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲 线的方程.
圆的定义：
|PC|=r (r>0)
椭圆的定义： |PF1| + |PF2| = 2a (2a > |F1F2|)
双曲线的定义： ||PF1| - |PF2|| = 2a (0 < 2a < |F1F2|)
的交点 P,N为 为垂,求 足动P的 点轨迹.方程 10
5
M
N
-20
-10
A
B
P
-5
【练习3】第3题-----变式
已知A圆 的方程 (x为 3)2 y2 1166,B(3,0)为一定 , 点 M为圆 A上的一个 ,线动段 M点的 B 中垂线A和M直 的交点 P,N为 为垂,求 足动P的 点轨迹.方程
问题1：一动圆与圆O1：(x+3)2+y2=4外切， 同时与圆O2：(x-3)2+y2=9内切，求动圆圆心 的轨迹方程，并说明它是什么类型的曲线．
想一想:
在两定圆不动的前提下，适当改变其他条件 使动圆圆心形成新的轨迹？
【例题3】
已知圆A：(x+2)2+y2=1与点A（-2，0），B（2，0）， 分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程. （1）△PAB的周长为10; （2）圆P与圆A外切，且点B在动圆P上（P为动圆圆心）; （3）圆P与圆A外切且与直线x=1相切（P为动圆圆心）.
求轨迹方程的常用方法(经典)
求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)
轨迹方程的六种求法整顿求轨迹方程是高考中罕有的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳,供同窗们参考.求轨迹方程的一般办法：1.直译法：假如动点P的活动纪律是否合乎我们熟知的某些曲线的界说难以断定,但点P知足的等量关系易于树立,则可以先暗示出点P所知足的几何上的等量关系,再用点P的坐标（x,y）暗示该等量关系式,即可得到轨迹方程.2.界说法：假如动点P的活动纪律合乎我们已知的某种曲线（如圆.椭圆.双曲线.抛物线）的界说,则可先设出轨迹方程,再依据已知前提,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程3. 参数法：假如采取直译法求轨迹方程难以奏效,则可追求引动员点P活动的某个几何量t,以此量作为参变数,分离树立P 点坐标x,y与该参数t的函数关系x＝f（t）, y＝g（t）,进而经由过程消参化为轨迹的通俗方程F（x,y）＝0.4. 代入法（相干点法）：假如动点P的活动是由别的某一点P'的活动激发的,而该点的活动纪律已知,（该点坐标知足某已知曲线方程）,则可以设出P（x,y）,用（x,y）暗示出相干点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程.5.交轨法：在求动点轨迹时,有时会消失请求两动曲线交点的轨迹问题,这种问题平日经由过程解方程组得出交点（含参数）的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程）,该法经常与参数法并用. 6. 待定系数法：已知曲线是圆,椭圆,抛物线,双曲线等一.直接法把标题中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程根本步调是：建系.设点.列式.化简.解释等,圆锥曲线尺度方程的推导. 1. 已知点(20)(30)A B -，，，,动点()P x y ，知足2PA PB x =·,求点P 的轨迹.26y x =+,2. 2.已知点B （－1,0）,C （1,0）,P 是平面上一动点,且知足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅（1）求点P 的轨迹C 对应的方程;（2）已知点A （m,2）在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE,且AD⊥AE,断定：直线DE 是否过定点？试证实你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD,AE,且AD,AE 的斜率k1.k2知足k1·k2=2.求证：直线DE 过定点,并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二.界说法应用所学过的圆的界说.椭圆的界说.双曲线的界说.抛物线的界说直接写出所求的动点的轨迹方程,这种办法叫做界说法．这种办法请求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的前提,或应用平面几何常识剖析得出这些前提．1. 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x=2相切,则动圆圆心的轨迹方程是解：如图,设动圆圆心为M,由题意,动点M 到定圆圆心（－2,0）的距离等于它到定直线x=4的距离,故所求轨迹是以（－2,0）为核心,直线x=4为准线的抛物线,并且p=6,极点是（1,0）,启齿向左,所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2.一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切,则动圆圆心轨迹为解：如图,设动圆圆心为M,半径为r,则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1,由双曲线界说知,其轨迹是以O.C 为核心的双曲线的左支3.在ABC △中,24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39,求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 地点直线为x 轴,线段BC 的中垂线为y 轴树立直角坐标系,如图1,M 为重心,则有239263BM CM +=⨯=． M ∴点的轨迹是认为B C ，核心的椭圆,个中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 留意：求轨迹方程时要留意轨迹的纯粹性与完整性.4.设Q 是圆x2+y2=4上动点另点A （3.0）.线段AQ 的垂直等分线l 交半径OQ 于点P(见图2－45),当Q 点在圆周上活动时,求点P 的轨迹方程．解：衔接PA ∵l⊥PQ,∴|PA|=|PQ|．又P在半径OQ 上．∴|PO|+|PQ|=2．由椭圆界说可知：P 点轨迹是以O.A 为核心的椭圆．5.已知ΔABC中,A,B,C 所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b 成等差数列,|AB|=2,求极点C 的轨迹方程 解：|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的界说可知,点C 的轨迹是以A.B 为核心的椭圆,其长轴为4,焦距为2, 短轴长为23,∴椭圆方程为13422=+y x , 又a>b, ∴点C 在y 轴左侧,必有x<0,而C 点在x 轴上时不克不及组成三角形,故x≠─2,是以点C 的轨迹方程是：13422=+y x (─2<x<0) 点评：本题在求出了方程今后评论辩论x 的取值规模,现实上就是斟酌前提的须要性6.一动圆与圆22650x y x +++=外切,同时与圆226910x y x +--=内切,求动圆圆心M 的轨迹方程,并解释它是什么样的曲线.解析：（法一）设动圆圆心为(,)M x y ,半径为R ,设已知圆的圆心分离为1O .2O ,将圆方程分离配方得：22(3)4x y ++=,22(3)100x y -+=,当M 与1O 相切时,有1||2O M R =+①当M 与2O 相切时,有2||10O M R =-②将①②两式的双方分离相加,得21||||12O M O M +=, 即2222(3)(3)12x y x y +++-+=③移项再双方分离平方得：222(3)12x y x ++=+④双方再平方得：22341080x y +-=,整顿得2213627x y +=, 所以,动圆圆心的轨迹方程是2213627x y +=,轨迹是椭圆. （法二）由解法一可得方程2222(3)(3)12x y x y +++-+=, 由以上方程知,动圆圆心(,)M x y 到点1(3,0)O -和2(3,0)O 的距离和是常数12,所以点M 的轨迹是核心为1(3,0)O -.2(3,0)O ,长轴长等于12的椭圆,并且椭圆的中间在坐标原点,核心在x 轴上,∴26c =,212a =,∴3c =,6a =,∴236927b =-=,∴圆心轨迹方程为2213627x y +=. 三.相干点法此办法实用于动点随已知曲线上点的变更而变更的轨迹问题. 若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x0,y0)的变动而变动,且x0.y0可用x.y 暗示,则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点P 的轨迹方程．这种办法称为相干点法(或代换法)．x y 1O 2O P1.已知抛物线y2=x+1,定点A(3,1).B 为抛物线上随意率性一点,点P 在线段AB 上,且有BP∶PA=1∶2,当B 点在抛物线上变动时,求点P 的轨迹方程．剖析解：设点P(x,y),且设点B(x0,y0)∵BP∶PA=1∶2,且P 为线段AB 的内分点．2.双曲线2219x y -=有动点P ,12,F F 曲直线的两个核心,求12PF F ∆的重心M 的轨迹方程.解：设,P M 点坐标各为11(,),(,)P x y M x y ,∴在已知双曲线方程中3,1a b ==,∴9110c =+=∴已知双曲线两核心为12(10,0),(10,0)F F -,∵12PF F ∆消失,∴10y ≠ 由三角形重心坐标公式有11(10)10003x x y y ⎧+-+=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩,即1133x x y y =⎧⎨=⎩ . ∵10y ≠,∴0y ≠.3.已知点P 在双曲线上,将上面成果代入已知曲线方程,有22(3)(3)1(0)9x y y -=≠ 即所求重心M 的轨迹方程为：2291(0)x y y -=≠.4.（上海,3）设P 为双曲线-42x y2＝1上一动点,O 为坐标原点,M 为线段OP 的中点,则点M 的轨迹方程是.解析：设P （x0,y0） ∴M（x,y ） ∴2,200y y x x ==∴2x＝x0,2y ＝y0∴442x －4y2＝1⇒x2－4y2＝15.已知△ABC 的极点(30)(10)B C -，，，,极点A 在抛物线2y x =上活动,求ABC △的重心G 的轨迹方程．解：设()G x y ，,00()A x y ，,由重心公式,得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上,200y x =∴． ③将①,②代入③,得23(32)(0)y x y =+≠,即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠． 四.参数法假如不轻易直接找出动点的坐标之间的关系,可斟酌借助中央变量（参数）,把x,y 接洽起来．若动点P （x,y ）的坐标x 与y 之间的关系不轻易直接找到,而动点变更受到另一变量的制约,则可求出x.y 关于另一变量的参数方程,再化为通俗方程．1.已知线段2AA a '=,直线l 垂直等分AA '于O ,在l 上取两点P P '，,使有向线段OP OP '，知足4OP OP '=·,求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程． 解：如图2,以线段AA '地点直线为x 轴,以线段AA '的中垂线为y 轴树立直角坐标系．设点(0)(0)P t t ≠，, 则由题意,得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，． 由点斜式得直线AP A P ''，的方程分离为4()()t y x a y x a a ta =+=--，． 两式相乘,消去t ,得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程,症结有两点：一是选参,轻易暗示出动点;二是消参,消参的门路灵巧多变.2.设椭圆中间为原点O,一个核心为F （0,1）,长轴和短轴的长度之比为t ．（1）求椭圆的方程;（2）设经由原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q,点P 在该直线上,且12-=t t OQ OP,当t 变更时,求点P 的轨迹方程,并解释轨迹是什么图形．解：（1）设所求椭圆方程为).0(12222＞＞b a b x a y =+由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==-,,122t b a b a 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.11.122222t b t t a 所以椭圆方程为222222)1()1(t y t x t t =-+-．(2)设点),,(),,(11y x Q y x P 解方程组⎩⎨⎧==-+-,,)1()1(1122122122tx y t y t x t t 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x 由12-=t t OQ OP 和1x x OQ OP =得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2,2,2222t y t x t y t x 或 个中t ＞1．消去t,得点P 轨迹方程为)22(222>=x y x 和)22(222-<-=x y x ．其轨迹为抛物线y x 222=在直线22=x 右侧的部分和抛物线y x 222-=在直线22-=x 在侧的部分．3.已知双曲线2222n y m x -=1(m ＞0,n ＞0)的极点为A1.A2,与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P.Q 求直线A1P 与A2Q 交点M 的轨迹方程; 解设P 点的坐标为(x1,y1),则Q 点坐标为(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0),则A1P 的方程为y=)(11m x mx y ++① A2Q 的方程为y=－)(11m x mx y --② ①×②得y2=－)(2222121m x m x y --③又因点P 在双曲线上,故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即 代入③并整顿得2222n y m x +=1此即为M 的轨迹方程4.设点A 和B 为抛物线 y2=4px(p ＞0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M 的轨迹方程,并解释它暗示什么曲线 解法一设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0)直线AB 的方程为x=my+a由OM⊥AB,得m=－y x 由y2=4px 及x=my+a,消去x,得y2－4pmy －4pa=0所以y1y2=－4pa, x1x2=22122()(4)y y a p = 所以,由OA⊥OB,得x1x2 =－y1y2所以244a pa a p =⇒=故x=my+4p,用m=－y x代入,得x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M 的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0),它暗示以(2p,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去失落坐标原点 解法二设OA 的方程为y kx =,代入y2=4px 得222(,)p p A k k则OB 的方程为1y x k =-,代入y2=4px 得2(2,2)B pk pk -∴AB 的方程为2(2)1k y x p k=--,过定点(2,0)N p , 由OM⊥AB,得M 在以ON 为直径的圆上（O 点除外）故动点M 的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0),它暗示以(2p,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去失落坐标原点 解法三设M(x,y) (x≠0),OA 的方程为y kx =,代入y2=4px 得222(,)p p A k k 则OB 的方程为1y x k =-,代入y2=4px 得2(2,2)B pk pk -由OM⊥AB,得M 既在以OA 为直径的圆222220p p x y x y k k+--=……①上, 又在以OB 为直径的圆222220x y pk x pky +-+=……②上（O 点除外）,①2k ⨯+②得 x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M 的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0),它暗示以(2p,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去失落坐标原点5.过点A （－1,0）,斜率为k 的直线l 与抛物线C ：y2=4x 交于P,Q 两点.若曲线C 的核心F 与P,Q,R 三点按如图次序组成平行四边形PFQR,求点R 的轨迹方程;解：请求点R 的轨迹方程,留意到点R 的活动是由直线l 的活动所引起的,是以可以寻找点R 的横.纵坐标与直线l 的斜率k 的关系．然而,点R 与直线l 并没有直接接洽．与l 有直接接洽的是点P.Q,经由过程平行四边形将P.Q.R 这三点接洽起来就成为解题的症结．由已知:(1)l y k x =+,代入抛物线C ：y2=4x 的方程,消x 得：204k y y k -+=∵C l P 直线交抛物线于两点.Q∴20410k k ⎧≠⎪⎨⎪∆=->⎩解得1001k k -<<<<或设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ,M 是PQ 的中点,则由韦达定理可知：122,2M y y y k+==将其代入直线l的方程,得2212M M x k y k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵四边形PFQR 是平行四边形, ∴RF 中点也是PQ 中点M .∴242342M F Mx x x k y y k ⎧=-=-⎪⎪⎨⎪==⎪⎩又(1,0)(0,1)k ∈-⋃∴(1,)M x ∈+∞．∴点R 的轨迹方程为.1),3(42>+=x x y6.垂直于y 轴的直线与y 轴及抛物线y2=2(x –1)分离交于点A 和点P,点B 在y 轴上且点A 分OB 的比为1:2,求线段PB 中点的轨迹方程解：点参数法 设A(0,t),B(0,3t),则P(t2/2 +1, t),设Q(x,y),则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=t tt y t t x 223)2(4121222,消去t 得：y2=16(x –21) 点评：本题采取点参数,即点的坐标作为参数在求轨迹方程时应剖析动点活动的原因,找出影响动点的身分,据此恰当地选择参数7.过双曲线C ：x2─y2/3=1的左核心F 作直线l 与双曲线交于点P.Q,以OP.OQ 为邻边作平行四边形OPMQ,求M 的轨迹方程解：k 参数法 当直线l 的斜率k 消失时,取k 为参数,树立点M 轨迹的参数方程设M(x,y),P(x1,y1), Q(x2,y2),PQ 的中点N(x0,y0), l:y=k(x+2), 代入双曲线方程化简得：(3─k2)x2─4k2x─4k2─3=0,依题意k≠3,∴3─k2≠0,x1+x2=4k2/(3─k2), ∴x=2x0=x1+x2=4k2/(3─k2),y=2y0=2k(x0+2)=12k/(3─k2),∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22231234k k y k k x , 消去k 并整顿,得点M 的轨迹方程为：1124)2(22=-+y x 当k 不消失时,点M(─4,0)在上述方程的曲线上,故点M 的轨迹方程为：点评：本题用斜率作为参数,即k 参数法,k 是经常应用的参数设点P.Q 的坐标,但没有求出P.Q 的坐标,而是用韦达定理求x1+x2,y1+y2,从整体上行止理,是处懂得析几何分解题的罕有技能8.（06辽宁,20）已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 知足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为(I) 证实线段AB 是圆C 的直径;(II)当圆C 的圆心到直线X2Y=0的距离的最小值为5时,求p 的值.解析：(I)证实1:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 整顿得:0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅=设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的随意率性一点,则0MA MB ⋅= 即1212()()()()0x x x x y y y y --+--=整顿得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径(II)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则又因12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22121224y y y y p∴-⋅= 所以圆心的轨迹方程为222y px p =- 设圆心C 到直线x2y=0的距离为d,则当y=p 时,d=2p ∴=.五.交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其进程是选出一个恰当的参数,求出二动曲线的方程或动点坐标合适的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程．1. 已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y=x,设长为2的线段AB 在直线λ上移动,求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．解：PA 和QB 的交点M （x,y ）随 A.B 的移动而变更,故可设)1,1(),,(++t t B t t A ,则PA ：),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB ：).1(112-≠+-=-t x t t y 消去t,得.082222=+-+-y x y x 当t=－2,或t=－1时,PA 与QB 的交点坐标也知足上式,所以点M 的轨迹方程是.0822222=+--+-y x x y x以上是求动点轨迹方程的重要办法,也是经常应用办法,假如动点的活动和角度有显著的关系,还可斟酌用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何办法,都要留意所求轨迹方程中变量的取值规模．2.自抛物线y2＝2x 上随意率性一点P 向其准线l 引垂线,垂足为Q,贯穿连接极点O 与P 的直线和贯穿连接核心F 与Q 的直线交于R 点,求R 点的轨迹方程.解：设P （x1,y1）.R （x,y ）,则Q （－21,y1）.F （21,0）,∴OP 的方程为y=11x y x,①FQ 的方程为y=－y1（x －21）.②由①②得x1＝xx 212-,y1＝xy 212-,代入y2＝2x,可得y2＝－2x2+x.六.待定系数法当曲线（圆.椭圆.双曲线以及抛物线）的外形已知时,一般可用待定系数法解决.1.已知Ａ,Ｂ,Ｄ三点不在一条直线上,且(20)A -，,(20)B ，,2AD =,1()2AE AB AD =+．（1）求E 点轨迹方程;（2）过A 作直线交认为A B ，核心的椭圆于M N ，两点,线段MN 的中点到y 轴的距离为45,且直线MN 与E 点的轨迹相切,求椭圆方程．解：（1）设()E x y ，,由1()2AE AB AD =+知E 为BD 中点,易知(222)D x y -，．又2AD =,则22(222)(2)4x y -++=．即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠; （2）设1122()()M x y N x y ，，，,中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-,直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切, 2211k k =+∴,解得33k =±． 将33y =±(2)x +代入椭圆方程并整顿,得222244(3)41630a x a x a a -++-=,2120222(3)x x a x a +==--∴,又由题意知045x =-,即2242(3)5a a =-,解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．2.已知圆C1的方程为(x －2)2+(y －1)2=320,椭圆C2的方程为2222by ax +=1(a ＞b ＞0),C2的离心率为22,假如C1与C2订交于A.B 两点,且线段AB 恰为圆C1的直径,求直线AB 的方程和椭圆C2的方程..解：由e=22,可设椭圆方程为22222b y b x +=1,又设A(x1,y1).B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2, 又2222222212212,12by bx by bx +=+=1,两式相减,得22221222212by y bx x -+-=0,2121x x y y --=－1,故直线AB 的方程为y=－x+3,代入椭圆方程得3x2－12x+18－2b2=0. 有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=3204)(221221=-+x x x x ,得3209722422=-⋅b ,解得b2=8.故所求椭圆方程为81622y x +=1.3.已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 订交于A.B 两点,且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上.（１）求此椭圆的离心率;（2 ）若椭圆的右核心关于直线l 的对称点的在圆422=+y x 上,求此椭圆的方程. 讲授:（1）设A.B 两点的坐标分离为⎪⎩⎪⎨⎧=++-=11).,(),,(22222211b y ax x y y x B y x A ，则由得02)(2222222=-+-+b a a x a x b a , 依据韦达定理,得∴线段AB的中点坐标为（222222,ba b b a a ++）.由已知得2222222222222)(22,02c a c a b a ba b b a a =∴-==∴=+-+ 故椭圆的离心率为22=e .（2）由（1）知,c b =从而椭圆的右核心坐标为),0,(b F 设)0,(b F 关于直线2:=-y x l 的对称点为,02221210),,(000000=⨯-+-=⋅--yb x b x y y x 且则解得b y b x 545300==且由已知得 4,4)54()53(,42222020=∴=+∴=+b b b y x故所求的椭圆方程为14822=+y x .。
轨迹方程的求法及典型例题含答案
轨迹方程的求法及典型例题(含答案) 轨迹方程是描述一条曲线在平面上的运动轨迹的方程。
在二维平面上，轨迹方程通常由一元二次方程、三角函数方程等形式表示。
在三维空间中，轨迹方程可能会更加复杂，可以由参数方程或参数化表示。
一、轨迹方程的求解方法：1. 根据题目给出的条件，确定轨迹上的点的特点或特殊性质。
2. 将轨迹上的点的坐标表示为一般形式。
3. 将坐标表示代入到方程中，消去多余的变量，得到轨迹方程。
二、典型例题及其解答：【例题1】已知点P(x,y)到坐标原点O的距离为定值d，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，根据勾股定理，可以得到点P到原点O的距离公式：d = √(x^2 + y^2)3. 将坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：d^2 = x^2 + y^2【例题2】已知点P(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离为定值d，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，点P到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d = |Ax+By+C| / √(A^2 + B^2)3. 将点P的坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：(Ax+By+C)^2 = d^2(A^2 + B^2)【例题3】已知点P(x,y)满足|x|+|y|=a，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，可以得到两种情况下的轨迹方程：当x≥0，y≥0时，有x+y=a，即y=a-x；当x≥0，y<0时，有x-y=a，即y=x-a；当x<0，y≥0时，有-x+y=a，即y=a+x；当x<0，y<0时，有-x-y=a，即y=-a-x。
3. 将上述四种情况合并，得到轨迹方程：|x|+|y|=a【例题4】已知点P(x,y)满足y = a(x^2 + b)，求点P的轨迹方程。
高考数学解答题(新高考)圆锥曲线中的轨迹方程问题 (典型例题+题型归类练)(解析版)
专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型例题+题型归类练)目录类型一：定义法求轨迹方程类型二：直接法类型三：代入法（相关点法）类型四：点差法一、必备秘籍1、曲线方程的定义一般地，如果曲线C 与方程(,)0F x y =之间有以下两个关系： ①曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0F x y =的解； ②以方程(,)0F x y =的解为坐标的点都是曲线C 上的点．此时，把方程(,)0F x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0F x y =的曲线． 2、求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为),(y x ； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围． 3、求轨迹方程的方法： 3.1定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
3.2直接法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标(,)x y 表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3.3代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P '的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线y x 、例题5．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知P 是平面上的动点，且点P 与(2,0),(2,0)F F -的距离之差的的直线分别与x 轴的正半轴和y 为坐标原点．若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点，则0,0a b >>，(,BP x y ∴=，(PA a =-2BP PA =，a ∴又(),AB a b =-=，(,OQ x =-，1OQ AB ⋅=，()332x x ⎛⎫∴-⋅-+ ⎪⎝⎭)2230,0x y y +=>.故答案为：)2302x y +>.例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知定点()0,4A ，满足12NR NM =，又12NR NM =，可得例题5．（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．(1)求动点P 的轨迹【答案】(1)24y x =设(),P x y ，()AP x =+，()1,0OB =，(1PB =-，(AP OB x ⋅=+()221x B y P =-+，因为AP OB PB ⋅=，则)221x x y +=-+，所以222121x x x x ++=-+，即24y x =．例题6．（2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习（文））已知直线线l 垂直于轴，动点在直线l 上，且OP OQ ⊥，记点的轨迹为C ，设点P 的坐标为(),x y ，则(Q x OP OQ ⊥，∴0OP OQ ⋅= 220x y -=，0x =时，P 、O 、Q 三点共线，不符合题意，故曲线C 的方程为(22x y x =≠ 412NR NM =；AP OB PB ⋅=；OP OQ ⊥等，根据这些已知条件直接转化为代数式求解.类型三：代入法（相关点法）21y =上运动时，连接A 与定点故答案为：()()22211x y -+-=，)()0,+∞.()22,x y ，(1221y y k-=)221212y y +=圆a=，24∴动圆圆心6．（2022·和2，动圆【答案】动圆O O=，大圆O的半径为5.过动点P分别作7．（2022·全国·高二课时练习）如图，圆O与圆O内切，且4【答案】圆心为(6,0)，半径为3的圆.【详解】如图，以O O所在直线为x轴，以O O的中点为原点，设动点(,)P x y ，(,0)Q t (01)t ≤≤， 高二专题练习）在ABC 中，2BC y x =⨯+足，且33QM QP =. 求动点M 的轨迹Γ的方程；【答案】(1)221x y +=；0,),(,)y M x y ，则Q ，所以0(,0),(,QP x QM x y ==，由33QM QP =得x y ⎧=⎪⎨⎪⎩，即()22313x y +=，故动点的轨迹Γ的方程为x【答案】点M的轨迹方程为：x2+y2＝a2（a＞0）．表示圆心在原点半径为a的圆.M x y，若A、B不与原点重合时，则AOB是直角三角形，且∠O为直角，设线段AB的中点(,)为半径的圆，。
专题26 求动点轨迹方程 微点2 定义法求动点的轨迹方程及答案
专题26 求动点轨迹方程 微点2 定义法求动点的轨迹方程专题26 求动点轨迹方程 微点2 定义法求动点的轨迹方程 【微点综述】在解析几何教学中，求动点的轨迹方程历来是教学重要专题之一，而曲线的定义反映了曲线的本质属性，它是相应标准方程和几何性质的“源”，也是解题的重要工具，如果能在求动点的轨迹方程中充分利用曲线的定义，常常会达到言简意明、异曲同工的效果．下面就其应用作一些举例介绍． 一、求轨迹方程——定义法若某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆、圆锥曲线的定义，则可以利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义等直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 二、常见情形1．到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线． 2．到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线．3．平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径． 4．平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之和等于常数（12122,PF PF a F F a +=>为常数）的动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点，2a 为长轴长的椭圆． 5．平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数（12122,PF PF a F F a -=<为常数）的动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点，2a 为实轴长的双曲线．6．平面内与一定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离之比对于常数()0e e >的动点的轨迹是圆锥曲线．当01e <<时为椭圆；当1e >时为双曲线；当1e =时为抛物线．其中，定点F 叫做圆锥曲线的焦点，定直线l 叫做圆锥曲线的准线． 三、应用举例1．利用圆的定义求轨迹方程 例11．一条定长为2a 的线段AB ，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上滑动．求线段AB 的中点P的轨迹方程．2．利用椭圆的定义求轨迹方程 例2（2022·黑龙江·哈尔滨三中二模）2．已知圆1C ：22(3)1x y ++=，2C ：22(3)81x y -+=，动圆C 与圆1C ，2C 都相切，则动圆C 的圆心轨迹E 的方程为________________l 与曲线E 仅有三个公共点，依次为P ，Q ，R ，则||PR 的值为________. 例3（2019年高考江苏卷17（1））3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．3．利用双曲线的定义求轨迹方程 例4（2021年新高考I 卷21（1））4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M的轨迹为C . （1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.例55．如图，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)y x C a b a b +=>>均过点P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求12,C C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论．4．利用抛物线的定义求轨迹方程 例6（2014年高考福建文21）6．已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线=3y -的距离小2. （1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论. 例7（2013年高考全国II 理11）7．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为 F ，点M 在 C 上，5MF =，若以 MF 为直径的圆过点（0,2），则C 的方程为 A ．24y x =或 28y x = B ．22y x =或 28y x = C ．24y x =或 216y x = D ．22y x =或 216y x =5．解析几何与立体几何交汇轨迹问题例8（2022·全国·模拟预测）8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为点Q 为棱1AA 上一点，点P 在底面ABCD上，且PQ =M 为线段PQ 的中点，则线段1C M 长度的最小值是（ ）A ．2B ．6C ．2D ．6例9（2022·新疆·二模）9．在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 为ABC 所在平面内一动点，且满足+=PA PB PD 的最大值为____________． 小结：定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线的几乎每个性质和问题都是由定义派生出来．对于这些常见的圆锥曲线问题，领悟定义优先的思想，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，往往能准确判断、简化运算，灵活解题．我们解决问题，总是希望寻找到最简单又不失本质的原理与方法，从以上案例中，不难发现解决圆锥曲线问题的首选策略是回归定义，优先考虑定义是求解圆锥曲线有关问题的第一思路，运用定义往往能使问题快捷求解． 【强化训练】（2022·四川凉山·三模）10．已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，点M 是抛物线C 上的动点，过点F 作直线()1210a x y a -+-+=的垂线，垂足为P ，则MFMP +的最小值为（ ）A B C ．5D ．3（2022·浙江·慈溪中学模拟预测）11．在直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 分别是定直线y kx =和(0)=->y kx k 上的动点，若AOB 的面积为定值S ，则线段AB 的中点的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线（2022·上海青浦·三模）12．如图，ABC ⊥平面,D α为AB 中点，2AB =，60CDB ∠=，点P 为平面α内动点，且P 到直线CD APB ∠的最大值为__________.（2022·山西晋城·三模）13．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点M 是棱AB 的中点，点P 是底面ABCD 内的动点，且P 到平面11ADD A 的距离等于线段PM 的长度，则线段1B P 长度的最小值为______．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）14．已知平面上一动点P 到定点()1,0F 的距离与它到定直线=1x -的距离相等，设动点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的轨迹方程(2)已知点(B ，过点B 引圆()()222:402M x y r r -+=<<的两条切线BP ；BQ ，切线BP 、BQ 与曲线C 的另一交点分别为P 、Q ，线段PQ 中点N 的纵坐标记为λ，求λ的取值范围．（2022·广东·模拟预测）15．平面直角坐标系内有一定点(1,0)F -，定直线:5l x =-，设动点P 到定直线的距离为d ，且满足||PF d =(1)求动点P 的轨迹方程；(2)直线:3m y kx =-过定点Q ，与动点P 的轨迹交于不同的两点M ，N ，动点P 的轨迹与y 的负半轴交于A 点，直线,AM AN 分别交直线=3y -于点H 、K ，若||||35QH QK +≤，求k 的取值范围．（2022·云南师大附中高三月考）16．已知定圆()221:11F x y ++=，圆()222:125F x y -+=，动圆M 与定圆1F 外切，与定圆2F 内切．（1）求动圆圆心M 的轨迹方程E ；（2）直线l 的方向向量()1,2a =-，直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，若AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 纵截距m 的取值范围．17．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. （2018年高考江苏卷18（1））18．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；①直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB ，求直线l 的方程． 19．已知点()0,2F ，过点()02P ,-且与y 轴垂直的直线为1l ，2l x ⊥轴，交1l 于点N ，直线l 垂直平分FN ，交2l 于点M . (1)求点M 的轨迹方程；(2)记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，且2211x x m =-+ (m 为常数)，直线l '与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问ABC的面积是否为定值.若为定值，求出ABC 的面积；若不是定值，说明理由.参考答案：1．222x y a +=【分析】设AB 的中点坐标为(,)x y ，当A 、B 均不与原点重合时，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AB 中点轨迹，验证A 、B 有一点与原点重合时成立得答案． 【详解】当OA OB ⊥时，12OP AB =，即,OP a P =∴的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆，∴方程是222x y a +=（0x ≠且0y ≠）．当A 点为原点时，()0,B a 或()0,B a -，当B 点在原点时，()0A a ,或(),0A a -，P ∴点的轨迹方程是222x y a +=．2． 2212516x y +=，221167x y += 6011 【分析】根据动圆C 与圆1C ，2C 的位置关系，分情况讨论可知动圆C 的圆心轨迹为椭圆，然后计算,,a b c 即可，然后假设直线方程，根据直线于曲线E 的位置关系以及弦长公式，可得结果.【详解】设动圆C 的半径为R 由题可知：当动圆C 与圆1C 外切，与圆2C 内切时 则112122=+11069CC R CC CC C C CC R ⎧⎪⇒+=>=⎨=-⎪⎩所以可知动圆C 圆心轨迹为椭圆所以210=5,3=⇒=a a c ，故22216b a c =-=所以动圆C 的圆心轨迹E 的方程为2212516x y +=当动圆C 与圆1C 内切，与圆2C 内切时 则112122=1869CC R CC CC C C CC R ⎧-⎪⇒+=>=⎨=-⎪⎩所以可知动圆C 圆心轨迹为椭圆所以28=4,3=⇒=a a c ，故2227b a c =-= 所以动圆C 的圆心轨迹E 的方程为221167x y +=所以动圆C的圆心轨迹E的方程为2212516x y+=，221167x y+=设直线l方程为y m=+，()()1122,,,P x y R x y由直线l与曲线E仅有三个公共点则直线l与221167x y+=相切于点Q，与2212516x y+=相交于点P,R所以2222139161120167x yx by m⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩则()()22243916112039∆=-⨯⨯-=⇒=b b22221662540002516x yx by m⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩212122540066-+==bx x x x则PR则PR239=b代入可得6011=PR故答案为：2212516x y+=，221167x y+=；6011【点睛】本题考查椭圆的定义，以及弦长公式，考验分析问题能力以及计算能力，属中档题. 3．（1）22143x y+=；（2）3(1,)2E--.【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线1AF的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B的坐标，联立直线BF2与椭圆的方程即可确定点E的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E的坐标.【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=52，AF2①x轴，所以DF232=，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2， 因为AF 2①x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2. 由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-. 由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得=1x -或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以=1x -.将=1x -代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而①BF 1E =①B .因为F 2A =F 2B ，所以①A =①B ， 所以①A =①BF 1E ，从而EF 1①F 2A . 因为AF 2①x 轴，所以EF 1①x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-.因此3(1,)2E --.【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. 4．（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C 的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得12k k +的值. 【详解】(1)因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b =，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥. （2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立如图所示，设1(,)2T n ,设直线AB 的方程为112211(),,(2,(),)y n k x A x y B x y -=-．联立1221()2116y n k x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 化简得22221111211(16)(2)1604k x k k n x k n k n -+---+-=.则22211112122211111624,1616k n k n k k n x x x x k k +-+-+==--．故12,11||)||)22TA x TB x -=-．则222111221(12)(1)11||||(1)()()2216n k TA TB k x x k ++⋅=+--=-．设PQ 的方程为21()2y n k x -=-，同理22222(12)(1)||||16n k TP TQ k ++⋅=-． 因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，所以22122212111616k k k k ++=--，化简得22121717111616k k +=+--，所以22121616k k -=-，即2212k k =．因为11k k ≠，所以120k k +=． [方法二] ：参数方程法设1(,)2T m ．设直线AB 的倾斜角为1θ，则其参数方程为111cos 2sin x t y m t θθ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩， 联立直线方程与曲线C 的方程2216160(1)x y x --≥=，可得222221111cos 116(cos )(sin 2sin )1604t m t t mt θθθθ+-++-=+，整理得22221111(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m θθθθ-+--+=．设12,TA t TB t ==，由根与系数的关系得2212222111(12)12||||16cos sin 117cos t m m TA TB t θθθ-++⋅===--⋅．设直线PQ 的倾斜角为2θ，34,TP t TQ t ==， 同理可得2342212||||117cos m T T t P Q t θ+⋅==-⋅ 由||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，得2212cos cos θθ=．因为12θθ≠，所以12s o o s c c θθ=-．由题意分析知12θθπ+=．所以12tan tan 0θθ+=， 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0． [方法三]：利用圆幂定理因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，由圆幂定理知A ，B ，P ，Q 四点共圆． 设1(,)2T t ,直线AB 的方程为11()2y t k x -=-，直线PQ 的方程为21()2y t k x -=-,则二次曲线1212()()022k kk x y t k x y t --+--+=． 又由22116y x -=，得过A ，B ，P ，Q 四点的二次曲线系方程为：221212()()(1)0(0)2216k k y k x y t k x y t x λμλ--+--++--=≠，整理可得： []2212121212()()()()16k x y k k xy t k k k k k x μμλλλλ++--+++-12(2)02y k k t m λ++-+=， 其中21212()42k k t m t k k λμ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦．由于A ，B ，P ，Q 四点共圆，则xy 项的系数为0，即120k k +=.【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.5．(1)1C 的方程为：2213y x -=；2C 的方程为22132y x+= (2)不存在，证明见解析【分析】（1）根据以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形得 121,1a c ==，分别将P 的坐标代入双曲线和椭圆方程，可求出双曲线和椭圆方程；（2）当直线l 垂直于x 轴时，求出,A B 的坐标，可以验证OA OB AB +≠；当直线l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y kx m =+，代入双曲线方程，由韦达定理得到,A B 两个点的横坐标、纵坐标之间的关系，代入椭圆方程，根据判别式得到2223k m =-，利用韦达定理推出0OA OB ⋅≠，从而可推出OA OB AB +≠.（1）设2C 的焦距为22c ，因为1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．所以2122,22c a ==，从而121,1a c ==，因为点P ⎫⎪⎝⎭在双曲线22211y x b -=上，所以22121113b b -=⇒=⎝⎭， 所以1C 的方程为：2213y x -=.因为点P ⎫⎪⎝⎭在222222222:1(0)y x C a b a b +=>>上，所以22221314a b +=， 因为222222221b a c a =-=-，所以22221413(1)a a +=-，解得223a =，所以222b =， 所以2C 的方程为22132y x+=. （2）不存在符合题设条件的直线，证明如下：当直线l 垂直于x 轴时，因为l 与2C只有一个公共点，所以直线的方程为x =或x =当x,,AB所以22,23OA OB AB +==此时OA OB AB +≠，当x =OA OB AB +≠.当直线l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y kx m =+，由 2213y kx my x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()2223230k x kmx m ----=，当l 与1C 相交于,A B 两点时，230k -≠,222(2)4(3)(3)0km k m ∆=-+-+>,即2230m k +->，设()()1122,,,A x y B x y ，则212122223,33km m x x x x k k ++==--， 于是()22222221212121222(3)2()()33k m k m y y kx m kx m k x x km x x m m k k+=++=+++=++-- 222333k m k -=-， 由22132y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222234260k x kmx m +++-=， 因为直线l 与2C 只有一个公共点，所以()()2222016423260k m k m ∆=⇒-+-=，化简可得2223k m =-，因此22222212122222333332303333m k m k m k OA OB x x y y k k k k +-+---⋅=+=+==≠----， 于是222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++⋅≠+-⋅， 即22OA OB OA OB +≠-，所以OA OB AB +≠， 综上所述：OA OB AB +≠，所以不存在符合题目条件的直线l ．6．（1）24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明见解析. 【详解】试题分析：（1）思路一：设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点， 依题意可知曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线， 得到曲线Γ的方程为24x y =.思路二：设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，由(3)2y --==，化简即得.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下： 由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =， 设000(,)(0)P x y x ≠，得20014y x =， 应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线l 的方程为2001124y x x x =-. 由20011240y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得01(,0)2A x . 由20011243y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得0016(,3)2M x x +. 根据(0,3)N ，得圆心0013(,3)4C x x +，半径0011324r MN x x ==+，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定AB 试题解析：解法一：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点， 依题意，点S 到(0,1)F 的距离与它到直线1y =-的距离相等， 所以曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下： 由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =， 设000(,)(0)P x y x ≠，则20014y x =， 由12y x '=，得切线l 的斜率001|2x x k y x =='=， 所以切线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，即2001124y x x x =-. 由20011{240y x x x y =-=，得01(,0)2A x .由20011{243y x x x y =-=，得016(,3)2M x x +. 又(0,3)N ，所以圆心0013(,3)4C x x +，半径0011324r MN x x ==+，AB ===所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变.解法二：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，则(3)2y --==，依题意，点(,)S x y 只能在直线=3y -的上方，所以3y >-，1y =+，化简得，曲线Γ的方程为24x y =.（2）同解法一.考点：抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系. 7．C【详解】①抛物线C 方程为22(0)y px p =>,①焦点(,0)2pF ，设(,)M x y ,由抛物线性质52p MF x =+=,可得52p x =-，因为圆心是MF 的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为52，由已知圆半径也为52,据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4， 即(5,4)2pM -,代入抛物线方程得210160p p -+=，所以p=2或p=8. 所以抛物线C 的方程为24y x =或216y x =. 故答案C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF ,以MF 为直径的圆交抛物线于点(0,2)，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出p 的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键. 8．B【分析】根据给定条件，确定点M 所在的轨形迹图，再利用该图形的性质即可求解作答.【详解】依题意，正方体1111ABCD A B C D -，当点P 与A 不重合时，AQ AP ⊥，如图，因点M 为线段PQ 的中点，则12AM PQ ==P 与A 重合时，12AM PQ ==即无论点P ，Q 如何运动，总有AM M 在以点A 18球面上，而16AC ==，所以线段1C M 长度的最小值是16AC = 故选：B【点睛】结论点睛：球面一点与球面上的点间距离最小值等于这一点与球心距离减球半径；球面一点与球面上的点间距离最大值等于这一点与球心距离加球半径，9．【分析】先由+=PA PB P 的轨迹是椭圆，由点D 在底面ABC 上的射影恰为短轴端点E ，得到PD =)P θθ，求出PE 最大值，进而得到PD 的最大值.【详解】取AB 的中点O ，连接OC ，以AB 为x 轴，OC 为y 轴，建立直角坐标系，则点P 在以A ，B 为焦点的椭圆上，且3==a c ，①23b =，即椭圆方程为221123x y +=，易知点D 在底面ABC 上的射影恰为短轴端点E ，DE ==①==PD设)P θθ，由E ，则2222112cos 3sin 6sin 39sin 163⎛⎫=+-+=-++ ⎪⎝⎭PE θθθθ，①()2max16=PE，当1sin 3θ=-取得，①max ||==PD故答案为：【点睛】本题关键点在于确定点P 的轨迹是椭圆，由点D 在底面ABC 上的射影恰为短轴端点E ，将PD 的最大值转化为PE 最大值，再借助椭圆的参数方程求出PE 最大值即可. 10．A【分析】由条件确定点P 的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求MF MP +的最小值. 【详解】① 抛物线C 的方程为24y x =， ① (1,0)F ，抛物线C 的准线方程为=1x -，① 方程()1210a x y a -+-+=可化为()1(1)2y a x -=--， ①()1210a x y a -+-+=过定点(2,1)B ，设(,)P x y ，设,F B 的中点为A ，则31,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，因为FP BP ⊥，P 为垂足，①122PA FB ==，所以22311222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即点P 的轨迹为以A 过点M 作准线=1x -的垂线，垂足为1M ，则1MM MF =,① 1=MF MP MM MP ++,，又MP MA ≥，当且仅当,,M P A 三点共线且P 在,M A 之间时等号成立，① 1MF MP MM MA +≥+， 过点A 作准线=1x -的垂线，垂足为1A ，则115=2MM MA AA +≥,当且仅当1,,A M A 三点共线时等号成立，① MF MP +≥1,,,A M P A 四点共线且P 在,M A 之间时等号成立，所以MF MP +故选：A.11．C【分析】设()()1122,,,-A x kx B x kx ，由于AOB 的面积为定值，可得出12x x 为定值，设12=x x T ，设线段AB 的中点为M，因为()22224M M y x T k ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，即可得出线段AB 的中点的轨迹为双曲线.【详解】设()()1122,,,-A x kx B x kx ，则12||,||==OA OB .由于AOB 的面积为定值且sin AOB ∠为定值，从而12x x 为定值，设12=x x T . 设线段AB 的中点为M ，则122M x x x +=，()122-=M k x x y ， 故()()()22221212122244⎛⎫-=+--==± ⎪⎝⎭M M y x x x x x x x T k 为定值， 从而线段AB 的中点的轨迹为双曲线. 故选：C. 12．3π 【分析】由题意，可知P 的椭圆轨迹，即可知当PA PB =，即P 在椭圆短轴的顶点上时APB ∠最大，即可求最大值.【详解】由题设，ABC ⊥平面,D α为AB 中点，2AB =，60CDB ∠=，点P 为平面α内动点，且P 到直线CD①P 是以CD 为轴，α相交的椭圆轨迹上，即以D 为中心,A B 为焦点，2b =24a ==为长轴长的椭圆上，如下图示，①由椭圆的性质知：当且仅当PA PB =，即P 在椭圆短轴的端点上时，APB ∠最大有3APB π∠=.故答案为：3π. 【点睛】关键点点睛：根据题设，确定P 在圆柱体在平面α的交线上，以D 为中心,A B 为焦点， 4为长轴长的椭圆.13．【分析】根据抛物线的定义，可知点P 是以M 为焦点，以AD 为准线的抛物线，然后根据空间中两点的距离来求解.【详解】由P 到平面11ADD A 的距离等于线段PM 的长度，可知点P 是以M 为焦点，以AD 为准线的抛物线.以AM 中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.()1,0,0M ()13,0,4B ，设(),0P x y ，点P 的方程为：()24,03y x x =≤≤1B P 当1x =时，1B P 长度最小为故答案为： 14．(1)24y x ＝；(2)λ的取值范围为(--．【分析】(1)根据曲线轨迹方程的定义求解；(2)设切线BP 的方程为12y k x +＝（﹣）BQ 的方程为22y k x +＝（﹣）12k k += 212284r k k r =--，再求出122y y t +==-，即得解.（1） 设(,)P x y ，|1|x =+， 化简得()222(1)1x y x -+=+， 所以24y x =，所以曲线C 的方程为24y x ＝， （2）由已知2B（，所以切线,BP BQ 的斜率存在，设切线BP 的方程为12y k x -+＝（） 则圆心40M （，）到切线AP的距离d r ==，所以22211480r k r -++（）﹣＝， 设切线BQ 的方程为22y k x -+＝（）同理可得22222480r k r -++（）﹣＝， 所以12kk ，是方程222480r k r -++（）﹣＝的两根，所以12k k += 212284r k k r =--，设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立12(2)4y k x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩211048k y y k +﹣﹣，所以11=所以114y k =-，同理224y k =-，所以121244(=22y y k k λ-+-++=12112k k ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=12122k k k k +⋅=﹣224284r r r -=-⋅--=- 因为02r ＜＜，所以2111884r <<-所以--<- 所以λ的取值范围为(--．【点睛】求取值范围常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）基本不等式法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 15．(1)动点P 的轨迹方程为椭圆22154x y +=(2)[7,1)(1,7]--【分析】（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，根据题意列式再化简方程求解即可；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，再根据,AM AN 的直线方程得出,K H x x ，联立直线MN 与椭圆的方程，得出韦达定理与判别式中k 的范围，进而将韦达定理代入||||QH QK +化简可得||7k ≤，结合判别式中k 的范围即可得（1）设动点P 的坐标为(,)x y，因为||PF d ==2225(1)|5|x y x ⎡⎤++=+⎣⎦，整理得22154x y +=．所以动点P 的轨迹方程为椭圆22154x y +=． （2）设()()1122,,,M x y N x y ，由（1）可得A 的坐标为(0,2)-， 故直线112:2y AM y x x +=-，令=3y -，则112H xx y =-+，同理222K x x y =-+．直线:3MN y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 得()224530250k x kx +-+=， 故()22Δ900100450k k =-+>，解得1k <-或1k >．又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >， 又1212||||22H K x xQH QK x x y y +=+=+++ ()()22121212222121212225030245455||253011114545k kkx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --+++=+===---++-+++， ①||||35QH QK +≤， 故5||35k ≤，即||7k ≤， 综上，71k -≤<-或17k <≤． 所以k 的取值范围是[7,1)(1,7]--．16．（1）22198x y ；（2）⎛-⋃ ⎝⎭⎝． 【分析】（1）设动圆M 的半径为r ，分析得出1262MF MF +=>，利用椭圆的定义可知点M的轨迹为椭圆，确定该椭圆的焦点，求出a 、b 、c 的值，即可得出轨迹E 的方程； （2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为2y x m =-+，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由已知条件得出0OA OB ⋅>，结合0∆>可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）设动圆M 的半径为r ，由图可知，圆1F 内含于圆2F ，圆1F 的半径为1，圆2F 的半径为5.动圆M 与定圆1F 外切，则11MF r =+，动圆M 与定圆2F 内切，则25MF r =-， 由题意知：()()121562MF MF r r +=++-=>，根据椭圆定义，圆心M 的轨迹是以原点为中心，1F 、2F 为焦点，长半轴长3a =，半焦距1c =的椭圆，2228b a c ∴=-=，E ∴的方程为22198x y ；（2）直线l 的方向向量为()1,2a =-，所以直线l 的斜率为2-． 设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为2y x m =-+，由222198y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2244369720x mx m -+-=．直线l 与椭圆E 有两个交点，所以，()()22223644498288440m m m ∆=-⨯⨯-=->，解得m -<<由韦达定理可得12911m x x +=，21297244m x x -=，AOB ∠为锐角，()()1212121222OA OB x x y y x x x m x m ∴⋅=+=+-+-+()()22212122597223652401444736044m m m x x m x x m m m -==-⨯⋅-++-+=>，m ∴>m <综上，直线l 的纵截距m 的取值范围为⎛-⋃ ⎝⎭⎝． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． （2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围． （3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围． （4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．17．(①)答案见解析；(①)⎡⎣.【详解】试题分析：（①）利用椭圆定义求方程；（①）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值．试题解析：（①）因为，，故，所以，故. 又圆的标准方程为，从而，所以. 由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.（①）当与轴不垂直时，设的方程为，，.由得.则，.所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为()12,83.当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为.【考点】圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.18．（1）2214x y +=，223x y +=；（2）①；①y =+【分析】（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a ,b ，即得椭圆方程；（2）方法一：①先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标；①先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程. 【详解】（1）因为椭圆C 的焦点为()12,F F ，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎨=⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=． （2）［方法一］：【通性通法】代数法硬算①设直线l 与圆O 相切于()0000,(0,0)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为()0000x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由22000143x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得()222200004243640x y x x x y +-+-=（*），因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()()()22222200000024443644820x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y =，因此，点P的坐标为． ①因为三角形OAB，所以12AB OP ⋅=，从而AB = 设()()1122,,,A x y B x y ，由（*）得1,20024x x y =+所以()()2221212AB x x y y =-+-()()222000222200048214y x x y x y -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭+． 因为22003x y +=，所以()()2202216232491x AB x-==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为⎝⎭． 综上，直线l的方程为y =+［方法二］： 圆的参数方程的应用设P点坐标为π),0,2ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为原点到直线cos sin x y αα+=d r ==，所以与圆O 切于点P 的直线l的方程为cos sin x y αα+=由22cos sin 1,4x y x y αα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()()22213cos )124sin 0x x ααα+-+-=． ①因为直线l 与椭圆相切，所以()()22Δ16cos 23cos 20αα=-⋅--=．因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos (0,1)α∈，故cos α=，sin α=．所以，P点坐标为．①因为直线:cos sin l x y αα+=O 相切，所以OAB 中边ABr =，因为OAB，所以||AB = 设()()1122,,,A x y B x y ，由①知22121222124sin 84cos 13cos 13cos x x x x αααα-++===++||AB ==， 即64218cos 153cos 235cos 1000ααα-+-=，即()()()2226cos 5cos 13cos 200ααα---=．因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos (0,1)α∈，故25cos 6α=，所以cos αα==所以直线l的方程为y =+．［方法三］：直线参数方程与圆的参数方程的应用设P点坐标为π),0,2ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则与圆O 切于点P 的直线l 的参数方程为：πcos2πsin2x ty tαααα⎧⎛⎫=++⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=++⎪⎪⎝⎭⎩（t为参数），即sincosx ty tαααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t为参数）．代入2214xy+=，得关于t的一元二次方程()()22213cos cos)89cos0t tαααα+++-=．①因为直线l与椭圆相切，所以，()()222Δcos)413cos89cos0αααα=-+-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos(0,1)α∈，故cosα=，sinα=．所以，P点坐标为．①同方法二，略．【整体点评】（2）方法一：①直接利用直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系代数法硬算，即可解出点P的坐标；①根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点P的坐标，是该题的通性通法；方法二：①利用圆的参数方程设出点)αα，进而表示出直线方程，根据直线与椭圆的位置关系解出点P的坐标；①根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点P的坐标；方法三：①利用圆的参数方程设出点)αα，将直线的参数方程表示出来，根据直线与椭圆的位置关系解出点P的坐标；①根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点P的坐标．19．(1)28x y=(2)是定值，23(1)64m+【分析】（1）由题意得FM MN=，结合抛物线的定义即可求得点M的轨迹方程；（2）设出直线AB的方程，联立抛物线求得AB的中点Q坐标，再联立切线与抛物线求出切点坐标，得到CQ x⊥轴，结合2211x x m=-+以及1212ABCCS Q x x=⋅-求得23(1)64ABCmS+=即可求解.（1）。
求轨迹方程的常用方法(经典)
求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
轨迹方程的求法
故P点的轨迹方程为：
即：（x+y-6）2=2|xy| 当xy≥0时，方程为(x-6)2+(y-6)2=36 当xy<0时，方程为x2+4xy+y2-12x-21y+36=0
2、定义法
［例2］如图，在△ABC中边BC=a，若三内角满足 1 sinC－ sinb= 2 sinA，求点 A的轨迹方程。 解:以BC所在的直线为x轴，BC中点为坐标 原点，建立如图所示的直角坐标系，则 B （一 a/2 ， 0 ）， C （ a/2 ， 0 ），设 A （ x ， y ） 则 1 由sinC－ sinB= 2 sinA 1 ∴c-b= 2 a
x y _____________________ . 12 16
2
2
1 y 0，x 0
3x 4 y -1 5
5.动点M(x,y)满足 x - 12 y - 3 2 (D) (A)圆 (B)双曲线
则点M轨迹是
(C)椭圆
(D)抛物线
6. 函数 y=x2+(2m+1)x+m2-1(m∈R) 的图象的顶点轨迹 4x-4y-3=0 方程是___________________.
轨迹方程的基本求法
求平面上的动点的轨迹方程不仅是 教学大纲要求掌握的主要内容之一，也 是高考考查的重点内容之一。
一 方法探究
1、直接法
例1、动点P到直线x＋y=6的距离的平方等于 由两坐标轴及点 P 到两坐标轴之垂线所围成 的矩形面积，求P的轨迹方程． 解：设动点P（x，y）则 S=| x︱· ︱y |=︱xy︱ 点P到直线x十y=6的距离
| AP | 2 | PB | 1
A
2 3 a, 1 3
轨迹方程培优(含参考答案)
《轨迹方程培优材料（含参考答案）》一、知识归纳求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念. 二、典型例题例1：如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.例2：抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线L 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF为邻边作平行四边形FARB ，试求动点R 的轨迹方程.[解析]：设R(x ,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB 的中心为)21,2(+y x C ，L:y=k x －1,代入抛物线方程得x 2－4k x +4=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2－16＞0，即|k|＞1 ①，2442)(4221221222121-=-+=+=+∴k x x x x x x y y ，∵C 为AB 的中点.∴ 1222122222222-=+=+=+=k y y y k x x x ⇒3442-==k y k x ，消去k 得x 2=4(y+3),由① 得，4>x ，故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)( 4>x )．三、巩固训练 一、选择题1.已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y x B.14922=+x y C.14922=-y xD.14922=-x y二、填空题3.△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4.高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6.双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7.已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆. 答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0) ∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x yx x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得 答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-. 答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC | =|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ). ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2.即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0), 则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①³②得：y 2=－)(2222121m x mx y -- ③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =mn m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =nm n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ， ∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |²|OB |²sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2. 此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
求轨迹方程的方法(整理)
§2.1 曲线与方程知识点一 直接法求曲线的方程已知线段AB 的长度为10，它的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动，则AB 的中点P 的轨迹方程是________．解析 设点P 的坐标为(x ，y)，则A 点坐标为(2x,0)，B 点坐标为(0,2y)．由两点间的距离公式可得(2x)2＋(2y)2＝10，即(2x)2＋(2y)2＝100，整理、化简得x 2＋y 2＝25. 答案 x 2＋y 2＝25知识点二 代入法求曲线的方程已知△ABC 的两顶点A 、B 的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．分析 由重心坐标公式，可知△ABC 的重心坐标可以由A 、B 、C 三点的坐标表示出来，而A 、B 是定点，且C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，故重心与C 相关联．因此，设出重心与C 点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程y ＝x 2＋3即可．解 设G(x ，y)为所求轨迹上任一点，顶点C 的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋6＋x′3，y ＝0＋0＋y′3∴⎩⎨⎧x′＝3x －6，y′＝3y.∵顶点C(x′，y′)在曲线y ＝x 2＋3上， ∴3y＝(3x －6)2＋3，① 整理，得y ＝3(x －2)2＋1， 故所求轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1.知识点三 定义法求曲线的方程设A(1,0)，B(－1,0)，若动点M 满足k MA ²k MB ＝－1，求动点M 的轨迹方程． 解 如图所示，设动点M 的坐标为(x ，y)．由题意知：MA⊥MB.所以△MAB 为直角三角形，AB 为斜边． 又因为原点O 是AB 的中点， 所以，|MO|=12， |AB|=1，所以，动点M 在以O(0,0)为圆心，|MO|为半径的圆上． 根据圆的方程的定义知：方程为x 2+y 2=1.又因为动点M 不能与点A ，B 重合，所以，x ≠±1， 所以，动点M 的轨迹方程为x 2+y 2=1 (x ≠±1)． 知识点四 参数法求曲线的方程已知定点P(a ，b)不在坐标轴上，动直线l 过点P ，并分别交x 轴，y 轴于点A ，B ，分别过A ，B 作x 轴，y 轴的垂线交于点M ，求动点M 的轨迹方程．解 设M(x ，y)，并设l ：y －b ＝k(x －a)，由题意知k 存在，且k≠0，则得A(a －bk ，0)，B(0，b －ak)，又AM ，BM 分别是x 轴，y 轴的垂线，得M(a －bk，b －ak)．即⎩⎨⎧x ＝a －b k ，y ＝b －ak ，消去参数k ，得xy －ay －bx ＝0.所以动点M 的轨迹方程是xy －ay －bx ＝0. 知识点五 交轨法求曲线的方程如果两条曲线的方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是P(x 0，y 0)，证明：f 1(x ，y)＋λf 2(x ，y)＝0的曲线也经过P 点(λ∈R )，并求经过两条曲线x 2＋y 2＋3x －y ＝0和3x 2＋3y 2＋y ＝0的交点的直线方程．解 ∵P (x 0，y 0)是两曲线的交点， ∴f 1(x 0，y 0)＝0，f 2(x 0，y 0)＝0， ∴f 1(x 0，y 0)＋λf 2(x 0，y 0)＝0.即方程f 1(x ，y )＋λf 2(x ，y )＝0的曲线经过P 点．⎩⎨⎧x 2＋y 2＋3x －y ＝0， ①3x 2＋3y 2＋y ＝0， ②①³3－②得9x －4y ＝0.即过两曲线的交点的直线方程为9x －4y ＝0.考点赏析1.(福建高考) 如图，已知点F （1,0），直线l:x=-1,P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且²=².求动点P 的轨迹C 的方程.解 方法一 设点P(x ，y)，则Q(-1，y)，由PQ →²QF →＝FP →²FQ → 得：(x ＋1,0)²(2，－y )＝(x －1，y )²(－2，y )， 化简得C ：y 2＝4x .方法二 由 QF →²QF →＝FP →²FQ → 得：(PQ →²(PQ →＋PF →) ＝0，∴ PF →－PF →)²(PQ →＋PF →)＝0， PQ →2－PF →2－PF →2＝0， ∴ |PQ →|＝|PF →|.所以点P 的轨迹C 是抛物线， 由题意，轨迹C 的方程为：y 2＝4x .2.（陕西高考）如图所示，三定点A （2，1）B （0， -1），C （-2，1）；三动点D ，E ，M 满足=t ，=t BC ， =t ，t ∈［0，1］.(1)求动直线DE 斜率的变化范围； (2)求动点M 的轨迹方程．解 (1)设D (x D ，y D )，E (x E ，y E )，M (x ，y )由=t ，=t ，知（x D -2，y D -1）= t （-2， -2）， ∴⎩⎨⎧x D ＝－2t ＋2，y D ＝－2t ＋1.同理⎩⎨⎧x E ＝－2t ，y E ＝2t －1.∴k DE ＝y E －y D x E －x D ＝2t －1－(－2t ＋1)－2t －(－2t ＋2)＝1－2t . ∵t ∈[0,1]，∴k DE ∈[－1,1]． （2）∵ tDE→＝tDE →，∴(x ＋2t －2，y ＋2t －1) ＝t (－2t ＋2t －2,2t －1＋2t －1) ＝t (－2,4t －2)＝(－2t,4t 2－2t )． ∴⎩⎨⎧x ＝2(1－2t )，y ＝(1－2t )2.∴y ＝x 24，即x 2＝4y .∵t ∈[0,1]，∴x ＝2(1－2t )∈[－2,2]． 所求轨迹方程为x 2＝4y ，x ∈[－2,2]1．如果命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，那么下列命题中正确的是( )A ．坐标满足f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上B ．曲线C 上的点的坐标不都满足方程f (x ，y )＝0C ．坐标满足方程f (x ，y )＝0的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上D ．至少有一个不在曲线C 上的点，其坐标满足f (x ，y )＝0 答案 D解析 对于命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”的否定是“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点不都在曲线C 上”，即至少有一个不在曲线C 上的点，它的坐标满足方程f (x ，y )＝0.2．△ABC 中，若B 、C 的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，中线AD 的长度是3，则A 点的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝3B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝9(y ≠0)D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0) 答案 C解析 易知B 、C 中点D 即为原点O ，所以|OA |＝3， 所以点A 的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆， 又因△ABC 中，A 、B 、C 三点不共线，所以y ≠0.所以选C.3．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0 答案 B解析 由两点式，得直线AB 的方程是y －04－0＝x ＋12＋1，即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度|AB |＝(2＋1)2＋42＝5.设C 的坐标为(x ，y )，则12³5³|4x －3y ＋4|5＝10，即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.4．在下列图中方程表示图中曲线的是( )答案 C解析 对于A ，方程x 2+ y 2=1表示一个完整的圆．对于B ，x 2-y 2=(x+y)(x -y)=0，它表示两条相交直线．对于D ，由lgx+lgy=0知xy=1，x>0且y>0.5. 设过点P （x ，y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若=2，且²=1，则P 点的轨迹方程是 ( ) A ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)B ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)C.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) D.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) 答案 D解析 如图所示，若P (x ，y )，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，0，B (0,3y )，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ，OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ，OQ →＝(－x ，y )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ，OQ →＝1，∴32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)，即为点P 轨迹方程．6．设动点P 是曲线y ＝2x 2＋1上任意一点，定点A (0，－1)，点M 分PA 所成的比为2∶1，则点M 的轨迹方程是( )A ．y ＝6x 2－13B ．y ＝3x 2＋13C ．y ＝－3x 2－1D ．x ＝6y 2－13答案 A解析 设点M 的坐标为(x 0，y 0)，因为点A (0，－1)，点M 分PA 所成的比为2∶1，所以P 点的坐标为(3x 0,3y 0＋2)，代入曲线y ＝2x 2＋1得y 0＝6x 20－13，即点M 的轨迹方程是y ＝6x2－13. 7．点P (a ，b )是单位圆上的动点，则Q (a ＋b ，ab )的轨迹方程是________________． 答案 x 2－2y －1＝0解析 设Q (x ，y )则⎩⎨⎧x ＝a ＋b ，y ＝ab .因为a 2＋b 2＝1，即(a ＋b )2－2ab ＝1.所以x 2－2y ＝1.所以点Q 的轨迹方程是x 2－2y －1＝0.8．平面上有三个点A (－2，y )，B (0，y2)，C (x ，y ) 若⊥，则动点C 的轨迹方程为________．答案 y 2＝8x解析 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ，OQ →＝(0，y 2)－(－2，y )＝(2，－y 2)，＝(x ，y )－(0，y 2)＝(x ，y2)．因为⊥,所以²,所以(2，－y 2)²(x ，y2)＝0，即y 2＝8x .所以动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .9．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2.若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解 方法一 设点M 的坐标为(x ，y )． ∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P (2,4)， ∴PA ⊥PB ，k PA ²k PB ＝－1. 而k PA ＝4－02－2x (x ≠1)，k PB ＝4－2y2－0， ∴21－x ²2－y 1＝－1(x ≠1)． 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)， 它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0. 方法二设M 的坐标为(x ，y)，则A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y)，连结PM. ∵l 1⊥l2，∴2|PM|=|AB|.而|PM|=|AB|=∴=化简，得x+2y -5=0，为所求轨迹方程. 方法三 ∵l 1⊥l 2，OA ⊥OB ， ∴O 、A 、P 、B 四点共圆， 且该圆的圆心为M ， ∴|MP|=|MO|，∴点M 的轨迹为线段OP 的中垂线． ∵kOP==204-- = 2，OP 的中点坐标为(1,2)， ∴点M 的轨迹方程是y -2= -21(x -1)，x+2y -5=0.方法四 设点M 的坐标为(x ，y)，则A(2x,0)，B(0,2y)， ∵PA ⊥PB ，即⊥，∴ ²=0.∴（2x-2，-4）²（-2，2y-4）=0，即-2（2x-2）-4（2y -4）=0，化简得：x+2y-5=0.10. 设F （1，0），点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN =2， ⊥.当点P 在y 轴上运动时，求N 点的轨迹C 的方程.设 M （a,0）,P(0,b),动点N （x,y ）, 则=（x-a,y ）,=(-a,b),PF →＝(1，－b )．因为MN →＝2MP →， PF →⊥PF →，所以⎩⎨⎧x －a ＝－2a ，y ＝2b ，且－a －b 2＝0.上述方程组消去a ，b ，得y 2＝4x .所以动点N 的轨迹方程为y 2＝4讲练学案部分2．1.1 曲线与方程对点讲练知识点一 曲线的方程与方程的曲线如果曲线C 上的点的坐标满足方程F (x ，y )＝0，则下列说法正确的是( ) A ．曲线C 的方程是F (x ，y )＝0 B ．方程F (x ，y )＝0的曲线是CC ．坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上D ．坐标满足方程F (x ，y )＝0的点都在曲线C 上 答案 C解析 直接法：原说法写成命题形式即“若点M (x ，y )是曲线C 上的点，则M 点的坐标适合方程F (x ，y )＝0”，其逆否命题即“若M 点的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则M 点不在曲线C 上”，此即说法C.特值方法：作如上图所示的曲线C ，考查C 与方程F(x ，y)=x 2 -1=0的关系，显然A 、B 、D 中的说法全不正确．【反思感悟】 “曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上点的坐标没有不满足方程的，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外，“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏．设方程f (x ，y )＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，则下面命题中正确的是( )A ．坐标满足f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上B ．曲线C 上的点的坐标都不满足f (x ，y )＝0C．坐标满足f(x，y)＝0的点有些在C上，有些不在曲线上D．一定有不在曲线上的点，其坐标满足f(x，y)＝0答案 D解析“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，就是说“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的，这意味着一定有这样的点(x，y0)，虽然f(x0，y)＝0，但(x0，y0)∉C，即一定有不在曲线上的点，其坐标满足f(x，y)＝0.故应选D知识点二判断方程是否为曲线的方程(1)过P(0，－1)且平行于x轴的直线l的方程是|y|＝1吗？为什么？(2)设A(2,0)，B(0,2)，能否说线段AB的方程是x＋y－2＝0？为什么？解(1)如图所示，过点P且平行于x轴的直线l的方程为y＝－1，因而在直线l上的点的坐标都满足|y|＝1，但是以|y|＝1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l上．所以|y|=1不是直线l的方程，直线l只是方程|y|=1所表示曲线的一部分．(2)由方程x+y -2=0知，当x=4时，y= -2.故点(4，- 2)的坐标是方程x+y -2=0的一个解，但点(4，- 2)不在线段AB上．∴x+y -2=0不是线段AB的方程．【反思感悟】判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．下列命题是否正确？若不正确，说明原因．(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程是|x|＝2；(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝x.解(1)错误．因为以方程|x|=2的解为坐标的点，不都在直线l上，直线l只是方程|x|=2所表示的图形的一部分．(2)错误．因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线l1和l2，直线l1上的点的坐标都是方程y=x 的解，但是直线l2上的点(除原点)的坐标不是方程y=x 的解．故y=x 不是所求的轨迹方程．知识点三 证明方程是曲线的方程证明与两条坐标轴的距离的积是常数k (k >0)的点的轨迹方程是xy ＝±k . 证明 (1)如图所示，设M(x 0，y 0)是轨迹上的任意一点．因为点M 与x 轴的距离为| y 0|，与y 轴的距离为|x0|，所以| x 0 |²| y 0|=k ，即(x0，y0)是方程xy=±k 的解．(2)设点M1的坐标(x 1 ，y 1)是方程xy=±k 的解，则x 1y 1=±k ， 即| x 1|²| y 1|=k.而| x 1|、| y 1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k ，点M1是曲线上的点．由(1)(2)可知，xy=±k 是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程． 【反思感悟】 要证某轨迹的方程为f(x ，y)，由曲线的方程的概念可知，既要证轨迹上的任意一点M(x0，y0)的坐标都是f(x ，y)=0的解，也要证明方程的任一解(x1，y1)对应的点都在轨迹上．已知两点A (0,1)，B (1,0)，且|MA |＝2|MB |，求证：点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋132＝89. 证明 设点M 的坐标为(x ，y )，由两点间距离公式， 得|MA |＝(x －0)2＋(y －1)2 |MB |＝(x －1)2＋(y －0)2 又|MA |＝2|MB |， ∴(x －0)2＋(y －1)2＝2(x －1)2＋(y －0)2.两边平方，并整理得3x 2＋3y 2＋2y －8x ＋3＝0， 即⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝89①所以轨迹上的每一点的坐标都是方程①的解； 设M 1的坐标(x 1，y 1)是方程①的解， 即⎝⎛⎭⎪⎫x 1－432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋132＝89.即3x 21＋3y 21－8x 1＋2y 1＋3＝0，|M 1A |＝(x 1－0)2＋(y 1－1)2＝x 21＋y 21－2y 1＋1＝x 21＋y 21＋3x 21＋3y 21－8x 1＋3＋1＝2(x 1－1)2＋(y 1－0)2＝2|M 1B | 即点M 1(x 1，y 1)在符合条件的曲线上． 综上可知：点M 的轨迹方程为 ⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝89.课堂小结： 1.称曲线C 的方程是f(x,y)=0(或称方程f(x,y)=0的曲线是C)必须具备两个条件:(1)曲线C 上的点的坐标都是方程f(x , y)=0的解(纯粹性);(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上(完备性).2.设曲线C 的方程是f(x , y)=0,则点P(x 0 , y 0)在曲线C 上f(x 0 , y 0)=0.课时作业一、选择题1．已知曲线C 的方程为x 3＋x ＋y －1＝0，则下列各点中在曲线C 上的点是( ) A ．(0,0) B ．(－1,3) C ．(1,1) D ．(－1,1) 答案 B解析 点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )上⇔f (x 0，y 0)＝0.2．已知直线l 的方程是f (x ，y )＝0，点M (x 0，y 0)不在l 上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线是( )A ．直线lB ．与l 垂直的一条直线C．与l平行的一条直线D．与l平行的两条直线答案 C解析方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示过M(x0，y0)且和直线l平行的一条直线．选C.3．已知圆C的方程f(x，y)＝0，点A(x0，y0)在圆外，点B(x′，y′)在圆上，则f(x，y)－f(x，y0)＋f(x′，y′)＝0表示的曲线是( )A．就是圆CB．过A点且与圆C相交的圆C．可能不是圆D．过A点与圆C同心的圆答案 D解析由点B(x′，y′)在圆上知f(x′，y′)＝0.由A(x0，y0)在圆外知f(x0，y0)为不为0的常数，点A(x0，y0)代入方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0成立．所以f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲线过A点．因此选D.4．下列各组方程中表示相同曲线的是( )A．y＝x，yx＝1 B．y＝x，y＝x2C．|y|＝|x|，y＝x D．|y|＝|x|，y2＝x2答案 D解析A中y＝x表示一条直线，而yx＝1表示直线y＝x除去(0,0)点；B中y＝x表示一条直线，而y＝x2表示一条折线；C中|y|＝|x|表示两条直线，而y＝x表示一条射线；D 中|y|＝|x|和y2＝x2均表示两条相交直线，故选D.5．“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 f (x ，y )＝0是曲线C 的方程必须同时满足以下两个条件：①以f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上；②曲线C 上的点的坐标都符合方程f (x ，y )＝0，故选B.二、填空题6．求方程|x |＋|y |＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为________． 答案 2 解析方程|x|+|y|=1所表示的图形是正方形ABCD(如图)，其边长为2. ∴方程|x|+|y|=1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为2. 7．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为______________________________．答案 4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0 解析 可设动点坐标为(x ，y )， 则|4x ＋3y －5|5＝1，即|4x ＋3y －5|＝5. ∴所求轨迹为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.8．若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A (0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则a ＝____________，b ＝________.答案 16－8 3 2 三、解答题9．已知直线l 1：mx －y ＝0，l 2：x ＋my －m －2＝0. 求证：对m ∈R ，l 1与l 2的交点P 在一个定圆上．证明 l 1与l 2分别过定点(0,0)及(2,1)，且l 1⊥l 2，∴l 1与l 2的交点P 必在以(0,0)，(2,1)为端点的直径的圆上，其方程为x 2＋y 2－2x －y ＝0.10．曲线x 2＋(y －1)2＝4与直线y ＝k (x －2)＋4有两个不同的交点，求k 的范围，若有一个交点呢？无交点呢？解 由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)＋4，x 2＋(y －1)2＝4，得(1＋k 2)x 2＋2k (3－2k )x ＋(3－2k )2－4＝0， Δ＝4k 2(3－2k )2－4(1＋k 2)[(3－2k )2－4]＝48k －20. ∴Δ>0，即k >512时，直线与曲线有两个不同的交点； Δ＝0，即k ＝512时，直线与曲线有一个交点； Δ<0，即k <512时，直线与曲线没有交点． 2．1.2 求曲线的方程.对点讲练知识点一 直接法求轨迹的方程设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆x 2+2y 2=4交于A 、B 两点， P 是l 上满足²=1的点，求点P 的轨迹方程.解 设P 点的坐标为(x ，y )， 又由方程x 2＋2y 2＝4得2y 2＝4－x 2， ∴y ＝±4－x 22， ∴A 、B 两点的坐标分别为(x, 4－x 22)，(x ，－4－x 22) ²PB →＝1. ∴(0,4－x 22－y )²(0，－4－x 22－y )＝1， 即y 2－4－x 22＝1，∴x 26＋y 23＝1又直线l 与椭圆交于两点， ∴－2<x <2∴点P 的轨迹方程为x 26＋y 23＝1(－2<x <2)．【反思感悟】 直接法：根据条件、直接寻求动点坐标所满足的关系式，或依据圆锥曲线定义直接确定曲线类型．已知△ABC 的一边AB 的长为定值4，边BC 的中线AD 的长为定值3，求顶点C的轨迹方程．解 方法一以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系，则B 点坐标为(4,0)．设C 点坐标为(x ，y)． ∵D 为BC 边中点， ∴D 点坐标为(24+x , 2y). 又∵|AD|=3，∴(24+x )2 + (2y)2 = 9 化简得(x+4)2+y2=36，即为C 点的轨迹方程(点(2,0)，(-10,0)除外)． 方法二 如图，作CB ′∥OD 交x 轴于B ′ ∵D 是BC 中点，则OD 为△BCB ′的中位线 ∴B ′(-4,0)且|B ′C|=6，|AD|=3，故C 在以B ′(-4,0)为圆心，6为半径的圆上． 其方程为(x+4)2+y2=36 (y ≠0)．知识点二 代入法(相关点法)求轨迹方程已知△ABC 的两顶点A 、B 的坐标分别为A (0,0)、B (6，0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．分析 由重心坐标公式，可知△ABC 的重心坐标可以由A 、B 、C 三点的坐标表示出来，而A 、B 是定点，且C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，故重心与C 相关联．因此，设出重心与C 点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程y ＝x 2＋3即可．解 设G (x ，y )为所求轨迹上任一点，顶点C 的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3∴⎩⎨⎧x ′＝3x －6，y ′＝3y .∵顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上， ∴3y ＝(3x －6)2＋3，整理，得y ＝3(x －2)2＋1， 故所求的轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1.【反思感悟】 代入法求轨迹方程就是根据条件建立所求动点与相关动点坐标间的关系式，用所求动点坐标表示相关动点的坐标，并代入相关动点所在曲线的方程，从而得到所求动点的轨迹方程．此法也称相关点法．已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．解(代入法)设A(a,0)、B(0，b)、M(x 、y)， 一方面：∵|AB |＝6，∴a 2＋b 2＝36.① 另一方面：M 分AB 的比为12，∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝a ＋12³01＋12＝23a ，y ＝0＋12b1＋12＝13b .⇒⎩⎨⎧a ＝32x ，b ＝3y .②将②式代入①式化简为：x 216＋y 24＝1. 知识点三 参数法求轨迹方程已知∠AOB ＝π3，P ，Q 分别是∠AOB 两边上的动点，若△POQ 的面积为8，试建立适当的坐标系，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．解以O 为原点，∠AOB 的平分线所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．则射线OA 的方程为y=33x( x >0)射线OB 的方程为y= -33x( x >0) 设P{x 1 ,33 x 1}, Q{ x 2 , -33x 2} M(x ，y)．由题意得x= 21( x 1+x 2), 又S △POQ=21|OP|²|OQ|sin60° =21²32 x 1²32 x 2²23 = 33 x 1²x 2∴2121212,x x x x x x x +=⎧⎪-=⎨⎪⨯=⎩ 由(x 1+x 2)2 - (x 1 -x 2)2=4x 1x 2， 消去x 1，x 2得x 2 -3y 2=83 由于x 1>0，x 2>0，故x>0，动点M 的轨迹方程为x 2 -3y 2=83 (x>0)．【反思感悟】 参数法：根据条件，将所求动点的坐标用恰当的参数(如角度、直线斜率等)解析式表示出来，再利用某些关系式消去参数得到轨迹方程．过点P 1(1,5)作一直线交x 轴于点A ，过点P 2(2，7)作直线P 1A 的垂线，交y轴于点B ，点M 在线段AB 上，且BM ∶MA ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．解 设P 2B 的直线方程为：y －7＝k (x －2)，则P 1A 的方程为：y －5＝－1k(x －1)，则有A (5k ＋1,0)、B (0，－2k ＋7)．设M (x ，y )，则由BM ∶MA ＝1∶2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5k ＋13，y ＝－4k ＋143.消去k ，并整理得12x ＋15y －74＝0. ∴动点M 的轨迹方程为12x ＋15y －74＝0. 课堂小结：1.坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同.2.一般的，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是（x ，y ），而不要设成（x 1，y 1）或（x ′,y ′）等.3.方程化简到什么程度,课本上没有给出明确的规定,一般指将方程f(x,y)=0化成x,y 的整式.如果化简过程破坏了同解性,就需要剔除不属于轨迹上的点,找回属于轨迹而遗漏的点.求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线,求轨迹方程则不必说明.课时作业一、选择题1．已知点A (－2,0)，B (2,0)，C (0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝0(0≤y ≤3) C ．y ＝0 D ．y ＝0(0≤x ≤2) 答案 B解析 直接法求解，注意△ABC 底边AB 的中线是线段，而不是直线．所以选B. 2．与点A (－1,0)和点B (1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1) C ．y ＝1－x 2 D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0) 答案 B解析 设P (x ，y )，则k PA ＝y x ＋1，k PB ＝y x －1，所以k PA ²k PB ＝yx ＋1²yx －1＝－1.整理得x 2＋y 2＝1，又k PA 、k PB 存在，所以x ≠±1. 所以所求轨迹方程为x 2＋y 2＝1 (x ≠±1)，所以选B.3. 设动点P 是抛物线y=2x 2+1上任意一点，定点A （0，- 1），点M 分所成的比 为2∶1，则点M 的轨迹方程是（ ）A ．y ＝6x 2－13 B ．y ＝3x 2＋13C ．y ＝－3x 2－1 D ．x ＝6y 2－13答案 A解析 设点M 的坐标为(x,y)，点P 的坐标为(x 0 , y 0)，因点P 在抛物线上，即y 0=2x 02+1MA12PM=2,即（x - x 0 , y - y 0）=2(-x, -1 -32y + y),所以002,22,x x x y y y -=-⎧⎨-=--⎩即003,32,x x y y =⎧⎨=+⎩因此有 ：32y += 2⨯9x 2 +1,即y=6x 2 - 31.4．自圆x 2＋y 2＝1外动点P 作该圆的两条切线，切点分别为A ，B .若∠APB ＝π2，则动点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝2 C.x 24＋y 2＝1 D.x 22＋y 2＝1 答案 B解析 四边形PAOB 为正方形，故|OP |＝ 2.5．已知点A (2,0)及原点O ，动点P 满足(|PA |＋|PO |)²(|PA |－|PO |)＝1，则点P 的轨迹方程是( )A ．x ＝14B ．x ＝12C ．x ＝34D ．x ＝32答案 C解析 设P (x ，y )，条件即|PA |2－|PO |2＝1，故[(x －2)2＋y 2]－(x 2＋y 2)＝1，化简得x ＝34. 二、填空题6．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线是________．答案 射线x ＋y －1＝0(x ≥1)与直线x ＝1解析 由(x ＋y －1)x －1＝0得：⎩⎨⎧ x ＋y －1＝0，x －1≥0，或⎩⎨⎧ x －1≥0，x －1＝0.即x ＋y －1＝0(x ≥1)，或x ＝1.所以，方程表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1.7. 已知两点M （-2，0），N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||²||+²= 0，则动点P(x,y)的轨迹方程为. ________．答案 y 2＝－8x解析 由题意知 ＝(4,0)， MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )，所以|MN →|＝4，|MP →|＝(x ＋2)2＋y 2，MN →²NP →＝4(x －2)，根据已知条件得4(x ＋2)2＋y 2＝4(2－x )，整理，得y 2＝－8x ，所以点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .8．两条直线ax ＋y ＋1＝0和x －ay －1＝0(a 为参数且a ≠±1)的交点的轨迹方程是______________．答案 x 2＋y 2－x ＋y ＝0解析 设两条直线的交点为(x 0，y 0)．则有⎩⎨⎧ ax 0＋y 0＋1＝0，x 0－ay 0－1＝0.求出(x 0，y 0)的方程即为轨迹的方程．当a ＝0时，交点为(1，－1)．当a ≠0时，由ax 0＋y 0＋1＝0，∴a ＝－y 0＋1x 0， 代入x 0－ay 0－1＝0，得x 20＋y 20－x 0＋y 0＝0，即交点的轨迹方程为x 2＋y 2－x ＋y ＝0.同时，点(1，－1)也适合方程x 2＋y 2－x ＋y ＝0，综上可知所求方程为x 2＋y 2－x ＋y ＝0.三、解答题9．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆C 的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 解 方法一 直接法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ .设OC 中点为M (12，0)， 则|MP |＝12|OC |＝12，由两点间距离公式得方程(x －12)2＋y 2＝12，考虑轨迹的范围知0<x ≤1.所以弦的中点轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x ≤1)．方法二 定义法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，则CP ⊥OQ ，即∠OPC=90°，设OC 中点为M(21,0)，所以|PM|=21|OC|=21，所以动点P 在以M(21，0)为圆心，OC 为直径的圆上，圆的方程为(x-)2+y 2=.14因为所作弦的中点应在已知圆的内部，所以弦中点轨迹方程为(x-21)2+y 2=14 (0<x ≤1)． 方法三 代入法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，设Q(x 1，y 1)，则11,2,2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒112,2,x x y y =⎧⎨=⎩ 又因为点Q(x 1，y 1)在⊙C 上，所以(x 1-1)2+y 12 =1.将112,2,x x y y =⎧⎨=⎩代入上式得：(2x-1)2+(2y)2=1，即(x - 21)2 + y 2 =41，又因为OQ 为过O 的一条弦，所以0<x1≤2，所以0<x ≤1，所以所求轨迹方程为(x -21)2 + y 2 =41 (0<x ≤1)． 方法四 参数法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，动弦OQ 所在直线的方程为y=kx ，代入圆的方程得(x -1)2+k 2x 2=1，即(1+k 2)x 2-2x=0.设方程(1+k 2)x 2-2x=0.的两根为x 1，x 2，所以212x x x +==21k k +，y = kx = 21k k +. 消去参数k 得：x 2 -x+y 2=0， 所以，所求轨迹方程为x 2+y 2 -x=0(0<x ≤1)．10．点A (3,0)为圆x 2＋y 2＝1外一点，P 为圆上任意一点，动点M 满足|AM ||MP |＝12，求点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)．（1）若＝12MP →，则(x －3，y )＝12(x 0－x ，y 0－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝12(x 0－x )y ＝12(y 0－y )∴⎩⎨⎧ x 0＝3x －6y 0＝3y又∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上∴(3x －6)2＋(3y )2＝1即(x －2)2＋y 2＝19. （2）若＝－12MP →，则(x －3，y )＝－12(x 0－x ，y 0－y ) ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝x －x 02y ＝y －y 02，∴⎩⎨⎧ x 0＝－x ＋6y 0＝－y .又∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴(－x ＋6)2＋(－y )2＝1，即(x －6)2＋y 2＝1. ∴M 点的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝19或(x －6)2＋y 2＝1.。
专项练习题集定义法求轨迹方程
2016年专项练习题集-定义法求轨迹方程选择题1、点p （x ，y 10=，则点p 的轨迹方程是（ ）C ．221925x y += D ．221925x y -= 分值：5答案：A【考查方向】本题考查椭圆的定义，熟练掌握椭圆的定义是解题的关键。
看做点（x,y ）和点（4,0）之间的距离。
【解题思路】利用椭圆的定义即可得出．【解析】∵点p （x ，y ）10=， ∴点p 到两定点F （4，0），F′（-4，0）的距离之和满足：|PF|+|P F′|=1o ＞8． 故点P 的轨迹是以点F ，F′为焦点，10为长轴长的椭圆．易知，c=4,a=5,∴b=3,∴椭圆的方程为221259x y +=，故选A ． 2、已知圆1c ：（x+3）2+y 2=4，圆2c （x ﹣3）2+y 2=100，动圆c 与圆1c 、圆2c 都内切，则动圆圆心的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【分值】5【答案】A【考查方向】本题主要考查椭圆的定义、轨迹方程、圆与圆的位置关系及其判定。
菁优网版权所有【易错点】找不出1cc +2cc 为定值这一关系。
【解题思路】设动圆的半径为r ，由相切关系建立圆心距与r 的关系，进而得到关于圆心距的等式，结合椭圆的定义即可解决问题．【解析】设动圆的半径为r ，动圆圆心为c （x ，y ），因为动圆与圆1c ：（x+3）2+y 2=4及圆2c （x ﹣3）2+y 2=100都内切，则1cc =r ﹣2，2cc =10﹣r ．∴1cc +2cc =8＞12c c =6因此动圆圆心为c 的轨迹是焦点为1c 、2c ，中心在（0，0）的椭圆．故选A ．3、设动圆M 与y 轴相切且与圆C ：x 2+y 2﹣4x=0相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）A ．y 2=8xB ．y 2=﹣8xC ．y 2=8x 或y=0（x ＜0）D ．y 2=8x 或y=0【分值】5【答案】C【考查方向】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题．【易错点】忽视讨论x.【解题思路】设出动圆圆心M 的坐标，利用动圆M 与y 轴相切且与圆C ：x 2+y 2﹣4x=0相外切，建立方程，化简可得动圆圆心M 的轨迹方程．【解析】设动圆圆心M 的坐标为（x ，y ），则∵动圆M 与y 轴相切且与圆C ：x 2+y 2﹣4x=0相外切2x =+当x ＜0时，y=0；当x≥0时，y 2=8x故选C ．4、若动圆过定点A （﹣2，0）且和定圆（x ﹣2）2+y 2=4外切，则动圆圆心P 的轨迹方程为（ ） A ．2213y x -= B ．221(0)3y x x -=> C ．2213y x += D ．221(0)3y x x -=< 【分值】5【答案】D【考查方向】考查了双曲线的定义、两圆外切的性质和动点轨迹求法等知识，属于中档题．【易错点】容易错误的把轨迹看成整支双曲线。
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又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)
又|AR|=|PR|=
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.
，由 ，
当k＝0或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M的轨迹方程为 ，（λ 0）．
②当k存在且k 0时， |OA|2＝ ．
由 ．
＝ ．
≥ ．
＝ ≥ ，
当且仅当4＋5k2＝5＋4k2时，即k＝ 1时等号成立．
当 ；
当k不存在时， ．
综上所述， 的面积的最小值为 ．
2．（07、江西理21）设动点 到点 和 的距离分别为 和 ， ，且存在常数 ，使得 ．
解法一：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+b
由OM⊥AB，得k=－
由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0
所以x1x2= ,y1y2= ，
由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2
所以 =－ ,b=－4kp
故y=kx+b=k(x－4p),
得x2+y2－4px=0(x≠0)
即 ，
因为 ，所以 ．
②当 不垂直于 轴时，设 的方程为 ．
由 得：
，由题意知：
，
．
由 · ＝0，且 在双曲线右支上，
所以 ．
由①②知 ．
3．（09、海南）已知椭圆 的中心为直角坐标系 的原点，焦点在 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．（1）求椭圆 的方程；（2）若 为椭圆 上的动点， 为过 且垂直于 轴的直线上的点， （e为椭圆C的离心率），求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
②若 是 与椭圆 的交点，求 的面积的最小值．
解：(1)由题意得
椭圆方程： ＝1．
(2)若AB所在的斜率存在且不为零，设
AB所在直线方程为y＝kx(k≠0)，A( )．
①由
．
设M(x，y)，由|MO|＝λ|OA|(λ≠0) |MO|2＝λ2|OA|2 ．
因为L是AB的垂直平分线，所以直线L的方程为y＝ k＝ ，代入上式有：
解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。
依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。
设曲线段C的方程为 ，
其中xA,xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|。
由①，②两式联立解得 。再将其代入①式并由p>0解得
因为△AMN是锐角三角形，所以 ，故舍去
故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，
它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.
解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有
①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2)
若x1≠x2,则有 ⑥①×②,得y12·y22=16p2x1x2③代入上式有y1y2=－16p2⑦
(1)证明：动点 的轨迹 为双曲线，并求出 的方程；
(2)过点 作直线与双曲线 的右支于 两点，试确定 的范围，使 · ＝0，其中点 为坐标原点．
解：(1)在 中， ，即 ，
，即 （常数），
点 的轨迹 是以 为焦点，实轴长 的双曲线，方程为： ．
（2）设 ，
①当 垂直于 轴时， 的方程为 ， ， 在双曲线上．
轨迹方程的求法
一、知识复习
轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法
注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.
一、知识复习
例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。
例2、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
轨迹方程(练习1)
1．(08、山东文22)已知曲线 ： 所围成的封闭图形的面积为
，曲线 的内切圆半径为 ，记 为以曲线 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 是过椭圆 中心的任意弦， 是线段 的
垂直平分线， 是 上异于椭圆中心的点．
①若 ＝λ ( 为坐标原点)，当点 在椭圆 上运动时，求点 的轨迹方程；
解：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设 ，
则PA： QB：
消去t，得
当t=－2，或t=－1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是
例5、设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a，c．由已知得 a＝4，c＝3 椭圆C的方程为 ．
（2）设M（x，y），P（ ， ）．
其中 ∈[－4，4]， ＝x．有 ……①
⑥代入④，得 ⑧⑥代入⑤，得 所以
即4px－y12=y(y1+y2)－y12－y1y2⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0)
当x1=x2时，AB⊥x轴，易得M(4p,0)仍满足方程.
故点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.
设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1= ,
代入方程x2+y2－4x－10=0,得
－10=0
整理得：x2+y2=56,这就是所求 Nhomakorabea轨迹方程.
例3、如图,直线L1和L2相交于点M,L1L2,点NL1.以A, B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等.若AMN为锐角三角形, |AM|= , |AN| = 3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
∴p=4,xA=1
由点B在曲线段C上，得 。
综上得曲线段C的方程为
解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为
轴，M为坐标原点。
作AE⊥l1,AD⊥l2，BF⊥l2垂足分别为E、D、F
设A(xA, yA)、B(xB, yB)、N(xN, 0)
依题意有
例4、已知两点 以及一条直线 ：y=x，设长为 的线段AB在直线 上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．