高三数学轨迹方程50题及答案精选
高三数学一轮复习第十章 平面解析几何10.12第十二节 抛物线与轨迹方程课件
x y
f（k）， g（k）.
(3)消去参数k,得M的轨迹方程.
(4)由k的范围确定x,y的范围.
【对点练·找规律】 1.长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,
AC＝2CB ,则点C的轨迹方程是________.
【解析】设C(x,y),A(a,0),B(0,b),则a2+b2=9①,又
3
轨迹是两条平行于x轴的线段.
②当λ≠ 3 时,方程变形为
4
x2 112
y2 =1,其中x∈
112
[-4,4].
162 9 162
当0<λ< 3 时,点M的轨迹为中心在原点,实轴在y轴上
4
的双曲线满足-4≤x≤4的部分;
当 3 <λ<1时,点M的轨迹为中心在原点,长轴在x轴上
4
的椭圆满足-4≤x≤4的部分;
命题角度2 无明确等量关系求轨迹方程 【典例】已知直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,l与C交于 A,B两点,过点A,B分别作C的切线,且交于点P,则点P的 轨迹方程为________.
【解析】不妨将抛物线翻转为x2=4y,设翻转后的直线l
的方程为y=kx+1,翻转后的A,B两点的坐标分别为
(x1,y1),(x2,y2),联立
提醒:利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹是否 是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的 曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.
考点二 相关点法求轨迹方程 【典例】(1)已知抛物线y2=4x,焦点为F,顶点为O,点P 在抛物线上移动,Q是OP的中点,M是FQ的中点,则点M的 轨迹方程是__________.
直线A2Q的方程为y=
轨迹方程的求法及典型例题(含答案)
轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.一、知识复习例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。
例2、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1L 2, 点NL 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若AMN 为锐角三角形, |AM|=17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点。
依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点。
高中数学「求轨迹方程」知识点梳理+例题精练,建议收藏~
专题51曲线与方程-求轨迹方程【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法.1、求点轨迹方程的步骤：（1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）（3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程（4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围2、求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有：①圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r②椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p .若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程.【经典例题】例1．（2020·四川内江·高三三模）已知点()2,0A -、()3,0B ，动点(),P x y 满足2PA PB x ⋅=，则点P 的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线例2．（2020·广东深圳三模·）当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q -的连线PQ 的中点的轨迹方程是（）A．()2234x y ++=B．()2231x y -+=C．()222341x y -+=D．()222341x y ++=例3．（2020·江西新余四中高三三模）如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是1B C 的中点，动点M 在其表面上运动，且与平面11A DC 的距离保持不变，运行轨迹为S ，当M 从P 点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图像大致是（）A．B．C．D．例4．（2020·上海市嘉定区第一中学高三三模）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11ADD A 上一点，且满足ADP △为正三角形．点M 为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =．则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（）A．B．C．D．例5．（2020·辽宁高三三模）已知半径为r 的圆M 与x 轴交于,E F 两点，圆心M 到y 轴的距离为d .若d EF =，并规定当圆M 与x 轴相切时0EF =，则圆心M 的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线例6．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三三模）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，1AB =，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线210y -=相切，若存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值，则点P 的坐标为（）A．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C．14⎛⎫- ⎪⎝⎭0，D．102，⎛⎫- ⎪⎝⎭例7．（2020·东湖·江西师大附中高三三模）设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA = ，且1OQ AB ⋅= ，则点P的轨迹方程是（）A．()223310,02x y x y +=>>B．()223310,02x y x y -=>>C．()223310,02x y x y -=>>D．()223310,02x y x y +=>>例8．（2016·山西运城·高三三模）已知为平面内两定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线【精选精练】1．（2020·广东普宁·高三三模）与圆及圆都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线D．一个圆上2．（2020·上海高三三模）在平面直角坐标系内，到点()1,2A 和直线l ：30x y +-=距离相等的点的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线3．（2020·全国高考真题）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线4．（2020·辽宁沈阳·高三三模）已知椭圆22184x y +=，点A ，B 分别是它的左，右顶点.一条垂直于x 轴的动直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，又当直线l 与椭圆相切于点A 或点B 时，看作P ，Q 两点重合于点A 或点B ，则直线AP 与直线BQ 的交点M 的轨迹方程是（）A．22184y x -=B．22184x y -=C．22148y x -=D．22148x y -=5．如图，在平面直角坐标系中，()1,0A 、()1,1B 、()0,1C ，映射将平面上的点(),P x y 对应到另一个平面直角坐标系上的点()222,P xy x y '-，则当点沿着折线运动时，在映射的作用下，动点P '的轨迹是（）A．B．C．D．6．（2020·四川成都七中高三三模）正方形1111ABCD A B C D -中，若12CM MC =，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DP CPD P MP=，则点P 的轨迹为（）A．圆弧B．线段C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分7．（2020·天水市第一中学高三三模）动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是（）A．22320x y x +++=B．22320x y x +-+=C．22320x y y +++=D．22320x y y +-+=8．（2020·北京市陈经纶中学高三三模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A 、B 距离之比是常数λ(0,1)λλ>≠的点M 的轨迹是圆.若两定点A 、B 的距离为3，动点M 满足||2||MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（）.A．πB．2πC．3πD．4π9．（2020·内蒙古包头·高三三模）已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（）A．圆，但要去掉两个点B．椭圆，但要去掉两个点C．双曲线，但要去掉两个点D．抛物线，但要去掉两个点10．如图所示，已知12,F F 是椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线11．（2020·北京房山·高三三模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在平面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹为（）A．两个点B．线段C．圆的一部分D．抛物线的一部分12．（2020·四川内江·高三三模）已知平面内的一个动点P 到直线l ：x ＝433的距离与到定点F0）的距离之比为3，点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设动点P 的轨迹为曲线C ，过原点O 且斜率为k （k ＜0）的直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，则△MAN 面积的最大值为（）C．22D．1。
高三数学轨迹问题的求法
1、直接法 例1、动点 P到直线 x ＋y=6的距离的平方等于由两坐标轴及 点P到两坐标轴之垂线所围成的矩形面积，求P的轨迹方程． 解：设动点P（x，y）则 S=|x· y| 点P到直线x十y=6的距离
），P（x，y），由题设，
AP 1 PQ 2
则
∵Q（x1，y2）在双曲线上：, 即:
4、参数法 例题4、已知线段AB的长为a，P分AB为 AP∶PB= 2∶l两 部分，当A点在y轴上运动时，B点在x轴上运动，求动点P 的轨迹方程。 解：设动点P（x，y），AB和x轴的夹角为θ，|θ|≤ 2 ， 作PM⊥x于M, PN⊥y轴于N ∵|AB|= a, | AP | 2
其中r(t)=10t+60
若在时刻t城市O 受到侵袭，则有
(0 m) (0 n) (10t 60)
2 2
2
即：
30 2 10 2t ) (210 2 10 2t ) (10t 60)
2 2
2
∴
t 2 36t 288 0
解得12≤t≤24
答：12小时后该城市受到台风侵袭。
故P点的轨迹方程为：
即：（x+y-6）2=2|xy| 当xy≥0时，方程为(x-6)2+(y-6)2=36 当xy<0时，方程为x2+4xy+y2-12x-21y+36=0 2、定义法 ［例2］如图，在△ ABC中边BC=a，若三内角满足 1 sinC－ sinb= 2 sinA，求点 A的轨迹方程。
高三数学轨迹方程50题及答案
求轨迹程求曲线的轨迹程常采用的法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。
(1)直接法 直接法是将动点满足的几条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹程.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的程，通过转换而求动点的轨迹程.(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数程. （5）交轨法 若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹程.(6)待定系数法 求轨迹程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹程”是两个不同的概念.一、选择题：1、程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹程是： （ ） A 、x 2+y 2=1 B 、x 2+y 2=1(x ≠±1） C 、x 2+y 2=1(x ≠1） D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平，则动点的轨迹程是： （ ） A 、x 2+y 2=2(x+y) B 、x 2+y 2=2|x+y| C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|) D 、x 2+y 2=2(x －y) 5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆 C 、中点在原点的双曲线 D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹程是 （ ）A 、(x －2)2+y 2=4B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1)C 、(x －1)2+y 2=4D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1) 7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹程是：（ ）A 、y 2=12xB 、y 2=12x(x>0)C 、y 2=6xD 、y 2=6x(x>0)10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹程是 （ ）A 、x 2+y 2=21 B 、x 2+y 2=41 C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹程是 （ ） A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)y ¹ B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y ¹ C 、(x －2)2－(y+4)2=16 D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x+y=0对称，椭圆C 的程是（ ） A 、22(2)(3)149x y +++= B 、22(2)(3)194x y --+= C 、22(2)(3)194x y +++= D 、22(2)(3)149x y --+= 13、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹程为 ( )A.14922=+y xB.14922=+x y C.14922=-y xD.14922=-x y 14、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆程为 ( ) 12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x 15、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹程为 （ ） A 、x 2+y 2=2a 2 B 、x 2+y 2=4a 2 C 、x 2－y 2=4a 2 D 、x 2－y 2=a2二、填空题：16、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹程为 。
高三数学解析几何专题(含解析)
高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。
2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。
I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。
Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。
4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。
5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。
6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。
高三数学解答题难题突破—圆锥曲线中动点轨迹方程问题
高三数学解答题难题突破—圆锥曲线中动点轨迹方程问题本文介绍了解动点轨迹问题的四种方法：直译法、定义法、代入法和参数法。
其中，直译法包括建系、设点、列式、代换和证明五个步骤；定义法则是根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；代入法和参数法则是在特定条件下使用的方法。
此外，文章还提到了解轨迹问题时需要注意的两点：求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，要验证曲线上的点是否都满足方程。
接下来，文章以一个例题为例，介绍了利用代点法求轨迹方程的具体步骤。
该例题要求求出点P的轨迹方程，通过设点、列式、代换和证明四个步骤，最终得出了轨迹方程x2+y2=2.此外，文章还介绍了如何利用轨迹方程验证曲线上的点是否都满足方程，以及如何去掉满足方程的解而不再曲线上的点。
最后，文章介绍了另一种解轨迹问题的方法：定义法。
该方法是先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。
I）设圆心C的坐标为(x,y)，则圆方程为(x-1)^2+y^2=1，又因为在y轴上截得的弦长为2，所以C到y轴的距离为1，即x^2+y^2=1.联立两式可得圆心C的轨迹方程为x^2+y^2-x-1=0.II）由题意可知，直线l的斜率为k，且过点Q(1,0)，则直线方程为y=k(x-1)。
将直线方程代入圆的方程中，得到方程x^2+(k(x-1))^2-x-1=0，化简可得x^2(1+k^2)-2xk^2+k^2-1=0.由于直线l与轨迹C有交点A、B，所以方程有两个不同的实根，即Δ=4k^4-4(k^2+1)(k^2-1)≥0.解得-1≤k≤1.再将k带入直线方程可求出交点A、B的坐标，进而证明AR//FQ。
求AB中点的坐标为((k^2-1)/(1+k^2),k(k^2-2)/(1+k^2))，将其代入x^2+y^2-x-1=0中得到轨迹方程为x^4-2x^3+6x^2-2x+1-4y^2=0.1.定点、定值问题的解法定点、定值问题通常可以通过设定参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少。
高三数学解析几何练习及答案解析
高三数学解析几何练习及答案解析1．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，那么D与E的关系是()A．D＋E＝2 B．D＋E＝1C．D＋E＝－1 D．D＋E＝－2[来X k b 1 . c o m解析 D 依题意得，圆心－D2，－E2在直线x＋y＝1上，因此有－D2－E2＝1，即D＋E＝－2.2．以线段AB：x＋y－2＝0(02)为直径的圆的方程为()A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8解析 B 直径的两端点为(0,2)，(2,0)，圆心为(1,1)，半径为2，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3．F1、F2是椭圆x24＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，那么使|PF1||PF2|取最大值的点P为()A．(－2,0) B．(0,1) C．(2,0) D．(0,1)和(0，－1)解析 D 由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|PF1||PF2||PF1|＋|PF2|22＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|，即P(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．4．椭圆x216 ＋y225＝1的焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，假设连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形，那么点P到y轴的间隔是()A.165 B．3 C.163 D.253解析 A 椭圆x216＋y225＝1的焦点分别为F1(0，－3)、F2(0,3)，易得F1PF22，PF1F2＝2或PF2F1＝2，点P到y轴的间隔d＝ |xp|，又|yp|＝3，x2p16＋y2p25＝1，解得|xP|＝165，应选A.5．假设曲线y＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，那么l的方程为()A．4x＋y＋4＝0 B．x－4y－4＝0C．4x－y－12＝0 D．4x－y－4＝0解析 D 设切点为(x0，y0)，那么y|x＝x0＝2x0， 2x0＝4，即x0＝2，切点为(2,4)，方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.6．“m0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析 C 方程可化为x21m＋y21n＝1，假设焦点在y轴上，那么1n0，即m0.7．设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，那么双曲线的离心率为()A.54 B．5 C.52 D.5解析 D 双曲线的渐近线为y＝bax，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点即可由y＝x2＋1，y＝bax，得x2－bax＋1＝0.＝b2a2－4＝0，即b2＝4a2，e＝5.8．P为椭圆x24＋y23＝1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，假设F1PF2＝60，那么PF1PF2＝()A．3 B.3C．23 D．2解析D ∵S△PF1F2＝b2tan602＝3tan 30＝3＝12|PF1||PF2|sin 60，|PF1||PF2|＝4，PF1PF2＝412＝2.9．设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m0，n0)的右焦点与抛物线y2＝8x 的焦点相同，离心率为12，那么此椭圆的方程为()A.x212＋y216＝1B.x216＋y212＝1C.x248＋y264＝1D.x264＋y248＝1解析 B 抛物线的焦点为(2,0)，由题意得c＝2，cm＝12，m＝4，n2＝12，方程为x216＋y212＝1.10．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，那么C的离心率为()A.2B.3C．2 D．3解析 B 设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1，焦点F(－c，0)，将x＝－c代入x2a2－y2b2＝1可得y2＝b4a2，|AB|＝2b2a＝22a，b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，e＝ca＝3.11．抛物线y2＝4x的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，那么双曲线的焦距为()A.5 B．25C.3 D．23解析B ∵抛物线y2＝4x的准线x＝－1过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点，a＝1，双曲线的渐近线方程为y＝bax＝bx.∵双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，b＝2，c＝a2＋b2＝5，双曲线的焦距为25.12．抛物线y2＝2px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的间隔为5，双曲线x2a－y2＝1的左顶点为 A，假设双曲线的一条渐近线与直线AM平行，那么实数a的值为()A.19B.14C.13D.12解析 A 由于M(1，m)在抛物线上，m2＝2p，而M到抛物线的焦点的间隔为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－p2的间隔也为5，1＋p2＝5，p＝8，由此可以求得m＝4，双曲线的左顶点为A(－a，0)，kAM＝41＋a，而双曲线的渐近线方程为y＝xa，根据题意得，41＋a＝1a，a＝19.13．直线l1：ax－y＋2a＋1＝0和l2：2x－(a－1)y＋2＝0(aR)，那么l1l2的充要条件是a＝.解析 l1l2a2a－1＝－1，解得a＝13.【答案】 1314．直线l：y＝k(x＋3)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，|AB|＝22，那么实数k＝.解析∵|AB|＝22，圆O半径为2，O到l的间隔d＝22－2＝2.即|3k|k2＋1＝2，解得k＝ 147.【答案】 14715．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，那么线段的长为．解析如图，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝5，|OM|＝5，|OQ|＝25－5＝25.在△OQM中，12|QA||OM|＝12|OQ||QM|，|AQ|＝2555＝2，||＝4.【答案】 416．在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝22，那么顶点A的轨迹方程为．解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如下图的坐标系，E、F分别为两个切点．那么|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.|AB|－|AC|＝22，点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y0)，且a＝2，c ＝2，b＝2，方程为x22－y22＝1(x2)．【答案】 x22－y22＝1(x2)17．(10分)在平面直角坐标系中，圆心在直线y＝x＋4上，半径为22的圆C经过原点O.(1)求圆C的方程；(2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程．解析 (1)设圆心为(a，b)，那么b＝a＋4，a2＋b2＝22，解得a＝－2，b＝2，故圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)当斜率不存在时，x＝0，与圆的两个交点为(0,4)，(0,0)，那么弦长为4，符合题意；当斜率存在时，设直线为y－2＝kx，那么由题意得，8＝4＋－2k1＋k22，无解．综上，直线方程为x＝0.18．(12分)(xx合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－3，0)和F2(3，0)，且椭圆过点1，－32.(1)求椭圆方程；(2)过点－65，0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断MAN的大小是否为定值，并说明理由．解析 (1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a0)，由c＝3，椭圆过点1，－32可得a2－b2＝3，1a2＋34b2＝1，解得a2＝4，b2＝1，所以可得椭圆方程为x24＋y2＝1.(2)由题意可设直线MN的方程为：x＝ky－65，联立直线MN和椭圆的方程：x＝ky－65，x24＋y2＝1，化简得(k2＋4)y2－125ky－6425＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，那么y1y2＝－6425k2＋4，y1＋y2＝12k5k2＋4，又A(－2,0)，那么AMAN＝(x1＋2，y1)(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1625＝0，所以MAN＝2.19．(12分)椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的间隔分别为7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)假设P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP||OM|＝e(e为椭圆离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是曲线．解析 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由，得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3.椭圆方程为x216＋y27＝1.(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x[－4,4]，由得x2＋y21x2＋y2＝e2，而e＝34，故16(x2＋y21)＝9(x2＋y2)，①由点P在椭圆C上，得y21＝112－7x216，代入①式并化简，得9y2＝112.点M的轨迹方程为y＝473(－44)，轨迹是两条平行于x轴的线段．20．(12分)给定抛物线y2＝2x，设A(a,0)，a0，P是抛物线上的一点，且|PA|＝d，试求d的最小值．解析设P(x0，y0)(x00)，那么y20＝2x0，d＝|PA|＝x0－a2＋y20＝x0－a2＋2x0＝[x0＋1－a]2＋2a－1.∵a0，x00，(1)当01时，1－a0，此时有x0＝0时，dmin＝1－a2＋2a－1＝a；(2)当a1时，1－a0，此时有x0＝a－1时，dmin＝2a－1.21．(12分)双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)求△F1MF2的面积．解析(1)∵双曲线离心率e＝2，设所求双曲线方程为x2－y2＝(0)，那么由点(4，－10)在双曲线上，知＝42－(－10)2＝6，双曲线方程为x2－y2＝6.(2)假设点M(3，m)在双曲线上，那么32－m2＝6，m2＝3，由双曲线x2－y2＝6知F1(23，0)，F2(－23，0)，MF1MF2＝(23－3，－m)(－23－ 3，－m)＝m2－3＝0，MF1MF2，故点M在以F1F2为直径的圆上．(3)S△F1MF2＝12|F1F2||m|＝233＝6.22．(12分)实数m1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为－1m2.(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)当m＝2时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t0)与曲线C有且只有一个交点？(3)在(2)的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点(1,0)的间隔与到直线x＝2的间隔之比的最小值等于曲线C的离心率．解析 (1)设S(x，y)，那么kSA＝y－0x＋m，kSB＝y－0x－m.由题意，得y2x2－m2＝－1m2，即x2m2＋y2＝1(xm)．∵m1，轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.(2)当m＝2时，曲线C的方程为x22＋y2＝1(x2)．由2x－y＋t＝0，x22＋y2＝1，消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.令＝64t2－362(t2－1)＝0，得t＝3.∵t0，t＝3.此时直线l与曲线C有且只有一个公共点．(3)由(2)知直线l的方程为2x－y＋3＝0，设点P(a,2a＋3)(a2)，d1表示P到点(1,0)的间隔，d2表示P 到直线x＝2的间隔，那么d1＝a－12＋2a＋32＝5a2＋10a＋10，d2＝2－a，d1d2＝5a2＋10a＋102－a＝5a2＋2a＋2a－22.令f(a)＝a2＋2a＋2a－22，那么f(a)＝2a＋2a－22－2a2＋2a＋2a－2a－24＝－6a＋8a－23.令f(a)＝0，得a＝－43.∵当a－43时，f(a)0；当－432时，f(a)0.f(a)在a＝－43时取得最小值，即d1d2取得最小值，d1d2min＝5f－43＝22，又椭圆的离心率为22，d1d2的最小值等于椭圆的离心率．。
高三数学练习题及答案
高三数学练习题及答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x + 3，那么f(1)的值为（）。
A. 1B. 5C. 1D. 52. 若|a| = 5，则a的值为（）。
A. 5 或 5B. 0C. 5D. 53. 下列函数中，奇函数是（）。
A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = 1/x4. 在等差数列{an}中，若a1 = 1，a3 = 3，则公差d为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数z满足|z 1| = |z + 1|，则z在复平面上的对应点位于（）。
A. 实轴上B. 虚轴上C. 原点D. 不在坐标轴上二、填空题1. 已知等差数列{an}的通项公式为an = 3n 2，则第7项的值为______。
2. 若向量a = (2, 3)，向量b = (4, 1)，则2a 3b = ______。
3. 不等式2x 3 > x + 1的解集为______。
4. 二项式展开式(a + b)^10中，含a^3b^7的项的系数为______。
5. 在三角形ABC中，a = 5, b = 8, sinA = 3/5，则三角形ABC的面积为______。
三、解答题1. 讨论函数f(x) = x^3 3x在区间(∞, +∞)上的单调性。
2. 设函数f(x) = (1/2)^x 2^x，求f(x)的单调递减区间。
3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = 2n^2 + n，求该数列的通项公式。
4. 在△ABC中，a = 10, b = 15, C = 120°，求sinA和cosA的值。
5. 解三角形ABC，已知a = 8, b = 10, sinB = 3/5。
6. 已知函数f(x) = x^2 + ax + 1在区间[1, 3]上的最小值为3，求实数a的值。
7. 设函数f(x) = x^2 2x + c，讨论函数在区间[0, 3]上的最大值和最小值。
轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)
轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.求轨迹方程的一般方法：1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。
设点。
列式。
化简。
说明等，圆锥曲线标准方程的推导。
1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，求点P 的轨迹。
26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．1、 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2、一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠．注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.4、设Q 是圆x 2+y 2=4上动点另点A （3。
高三数学例谈消参法求轨迹问题
例谈消参法求轨迹问题作者：于华东 郑州市第十二中学邮编： 450044 Email ： yuhd16@求动点的轨迹问题，方法很多，但对消参法的考查每年高考都是热点，高考中的轨迹问题为选拔性试题，有一定的难度，区分度好，能使优秀生脱颖而出.本文对消参法求轨迹问题略举两例，从中体会对消参法求轨迹问题的灵活考查.例1 设椭圆方程为2214y x += ，过点M （0，1） 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+uu u r uu r uu u r ，点 N 的坐标为11(,)22，当直线l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程. 分析：由直线l 过点M （0，1），可设其斜率为k （斜率不存在时要讨论），则直线l 的方程可表示出来，根据直线l 的斜率变化直接影响动点P 的轨迹，所以，只要求出点P 的横、纵坐标与斜率k 的关系，然后消去参数k 即可求得点P 的轨迹方程.解:（1）当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，由直线l 过点M （0，1），则l 的方程为1y kx =+.记点A 、B 的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、,由题设可得点A 、B 的坐标1122(,)(,)x y x y 、是方程组221,14y kx y x ì=+ïïïíï+=ïïî的解. 将1y kx =+代入2214y x +=，并化简得，所以1212122228, ()2.44k x x y y k x x k k+=-+=++=++ 于是12122214()22244x x y y k OP OA OB k k++-=+=++uu u r uu r uu u r （,）=（,）.设点P 的坐标为(,)x y ,则22,44.4k x k y k ì-ïï=ïï+ïíïï=ïï+ïî消去参数k , 得2240x y y +-=；（2）当直线l 的斜率不存在时，A 、B 两点连线的中点为坐标原点（0，0），也满足方程2240x y y +-=.所以点P 的轨迹方程为2240x y y +-=.点评：在引入直线l 的斜率k 为参数时，应讨论直线l 的斜率存在与不存在两种情况，要注意解题的严谨性。
高考数学解答题(新高考)圆锥曲线中的轨迹方程问题 (典型例题+题型归类练)(解析版)
专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型例题+题型归类练)目录类型一：定义法求轨迹方程类型二：直接法类型三：代入法（相关点法）类型四：点差法一、必备秘籍1、曲线方程的定义一般地，如果曲线C 与方程(,)0F x y =之间有以下两个关系： ①曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0F x y =的解； ②以方程(,)0F x y =的解为坐标的点都是曲线C 上的点．此时，把方程(,)0F x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0F x y =的曲线． 2、求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为),(y x ； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围． 3、求轨迹方程的方法： 3.1定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
3.2直接法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标(,)x y 表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3.3代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P '的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线y x 、例题5．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知P 是平面上的动点，且点P 与(2,0),(2,0)F F -的距离之差的的直线分别与x 轴的正半轴和y 为坐标原点．若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点，则0,0a b >>，(,BP x y ∴=，(PA a =-2BP PA =，a ∴又(),AB a b =-=，(,OQ x =-，1OQ AB ⋅=，()332x x ⎛⎫∴-⋅-+ ⎪⎝⎭)2230,0x y y +=>.故答案为：)2302x y +>.例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知定点()0,4A ，满足12NR NM =，又12NR NM =，可得例题5．（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．(1)求动点P 的轨迹【答案】(1)24y x =设(),P x y ，()AP x =+，()1,0OB =，(1PB =-，(AP OB x ⋅=+()221x B y P =-+，因为AP OB PB ⋅=，则)221x x y +=-+，所以222121x x x x ++=-+，即24y x =．例题6．（2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习（文））已知直线线l 垂直于轴，动点在直线l 上，且OP OQ ⊥，记点的轨迹为C ，设点P 的坐标为(),x y ，则(Q x OP OQ ⊥，∴0OP OQ ⋅= 220x y -=，0x =时，P 、O 、Q 三点共线，不符合题意，故曲线C 的方程为(22x y x =≠ 412NR NM =；AP OB PB ⋅=；OP OQ ⊥等，根据这些已知条件直接转化为代数式求解.类型三：代入法（相关点法）21y =上运动时，连接A 与定点故答案为：()()22211x y -+-=，)()0,+∞.()22,x y ，(1221y y k-=)221212y y +=圆a=，24∴动圆圆心6．（2022·和2，动圆【答案】动圆O O=，大圆O的半径为5.过动点P分别作7．（2022·全国·高二课时练习）如图，圆O与圆O内切，且4【答案】圆心为(6,0)，半径为3的圆.【详解】如图，以O O所在直线为x轴，以O O的中点为原点，设动点(,)P x y ，(,0)Q t (01)t ≤≤， 高二专题练习）在ABC 中，2BC y x =⨯+足，且33QM QP =. 求动点M 的轨迹Γ的方程；【答案】(1)221x y +=；0,),(,)y M x y ，则Q ，所以0(,0),(,QP x QM x y ==，由33QM QP =得x y ⎧=⎪⎨⎪⎩，即()22313x y +=，故动点的轨迹Γ的方程为x【答案】点M的轨迹方程为：x2+y2＝a2（a＞0）．表示圆心在原点半径为a的圆.M x y，若A、B不与原点重合时，则AOB是直角三角形，且∠O为直角，设线段AB的中点(,)为半径的圆，。
2023年新高考数学大一轮复习专题37 求曲线的轨迹方程(原卷版)
专题37求曲线的轨迹方程【考点预测】曲线的方程和方程的曲线在直角坐标系中，如果是某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程(),0f x y=的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（完备性）（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（纯粹性）那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线．事实上，曲线可以看作一个点集C，以一个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集F，上述定义中(1)(2)C FC FF C⇔⊆⎧⇔=⎨⇔⊆⎩条件条件【方法技巧与总结】一．直接法求动点的轨迹方程利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：（1）建系：建立适当的坐标系（2）设点：设轨迹上的任一点(),P x y（3）列式：列出有限制关系的几何等式（4）代换：将轨迹所满足的条件用含,x y的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为,x y的方程式化简（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明．注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．二．定义法求动点的轨迹方程回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点P和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．三．相关点法求动点的轨迹方程如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出(,)P x y，用(,)x y表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程．四．交轨法求动点的轨迹方程在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．五．参数方程法求动点的轨迹方程动点(,)M x y 的运动主要是由于某个参数ϕ的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即()()x f y g ϕϕ=⎧⎨=⎩，再消参.六．点差法求动点的轨迹方程圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+，122y y y =+且直线AB 的斜率为2121y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程．【题型归纳目录】 题型一：直接法 题型二：定义法 题型三：相关点法 题型四：交轨法 题型五：参数法 题型六：点差法题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹 题型八：复数与圆锥曲线的轨迹 题型九：向量与圆锥曲线的轨迹 题型十：利用韦达定理求轨迹方程 【典例例题】 题型一：直接法例1．（2022·全国·高三专题练习）已知点P 是椭圆22164x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段PM 的中点(),N x y 的轨迹方程为______．【方法技巧与总结】如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含,x y 的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直接法．例2．（2022·河南河南·模拟预测（理））已知平面上的动点P 到点(0,0)O 和(2,0)AP 到x 轴的距离最大值为_____.例3．（2022·全国·高三课时练习）已知点(),P x y 到定点10,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离比它到x 轴的距离大12．(1)求点P 的轨迹C 的方程；例4．（2022·湖南·模拟预测）已知平面直角坐标系中有两点()()122,0,2,0F F -，且曲线1C 上的任意一点P 都满足125PF PF ⋅=．求曲线1C 的轨迹方程并画出草图；例5．（2022·湖南湘潭·高三开学考试） 已知,A B 两点的坐标分别为(2,0),(2,0)-，直线,AP BP 的交点为P ，且它们的斜率之积14-．求点P 的轨迹E 的方程;题型二：定义法例6．（2022·全国·高三专题练习）已知定点A （1，1）和直线L ：x +y -2=0，那么到定点A 和到定直线L 距离相等的点的轨迹为（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线【方法技巧与总结】若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知圆F ：()2221x y -+=，动圆P 与圆F 外切，且与定直线3x =-相切，设动点P 的轨迹为E ．求E 的方程；例8．（2022·江西南昌·三模（理））已知两条直线1l ：2320x y -+=，2l ：3230x y -+=，有一动圆（圆心和半径都在变动）与1l ，2l 都相交，并且1l ，2l 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．直线例9．（2022·上海市大同中学高三开学考试）已知定点()4,0P -和定圆22:8Q x y x +=，动圆M 和圆Q 外切，且经过点P ，求圆心M 的轨迹方程_______例10．（2022·全国·高三专题练习）设动圆M 与y 轴相切且与圆C :2220x y x +-=相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为______.例11．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末）已知圆1C ：()2239x y ++=和圆2C ：()2231x y +-=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程为______.例12．（2022·全国·高三专题练习（理））设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()10B ,且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；例13．（2022·全国·高三专题练习）已知P 是圆22:(1)16A x y -+=上的动点，M 是线段AP 上一点，()1,0B -，且PM MB =，求点M 的轨迹C 的方程例14．（2022·河南郑州·高三阶段练习（理））如图，已知圆1F 的方程为2249(1)8x y ++=，圆2F 的方程为221(1)8x y -+=，若动圆M 与圆1F 内切与圆2F 外切．求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；例15．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知圆M 与圆1F ：2221x y 外切，同时与圆2F ：()22249x y -+=内切.说明动点M 的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；例16．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．题型三：相关点法例17．（2022·全国·高三课时练习）设,A B 分别是直线2y x =和2y x =-上的动点，且满足AB 4=，则AB 的中点M 的轨迹方程为（ ） A ．22116y x +=B ．22116x y +=C ．22116y x -=D ．22116x y -=【方法技巧与总结】有些问题中，所求轨迹上点(),M x y 的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点(),M x y '''相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用,x y 表示,y x ''，再,y x ''将代入已知曲线方程，即得,x y 关系式． 例18．（2022·全国·高三课时练习）已知ABC 的顶点()3,0B -，()1,0C ，顶点A 在抛物线2y x 上运动，则ABC 的重心G 的轨迹方程为______．例19．（2022·全国·高三课时练习）当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q 的连线PQ 的中点的轨迹方程是（ ） A ．22650x y x +++= B ．22680x y x +-+= C ．22320x y x +-+=D ．22320x y x +++=例20．（2022·全国·高三课时练习）已知A 、B 分别是直线y =和y =上的两个动点，线段AB 的长为P 是AB 的中点．求动点P 的轨迹C 的方程．题型四：交轨法例21．（2022·四川凉山·高三期末（理））设椭圆22148x y +=的上、下顶点分别为A 、B ，直线y m =与椭圆交于两点M 、N ，则直线AM 与直线BN 的交点F 一定在下列哪种曲线上（ ） A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆【方法技巧与总结】在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．例22．（多选题）（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知椭圆C ：2212x y a +=（2a >）的离心率P （1，1）的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足AP PB λ=.动点Q 满足AQ QB λ=-，则下列结论正确的是（ ） A ．3a =B ．动点Q 的轨迹方程为2360x y +-=C ．线段OQ （OD ．线段OQ （O 例23．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校高三阶段练习）在矩形ABB A ''中，8,6A A AB ='=，把边AB 分成n 等份，在B B '的延长线上，以B B '的n 分之一为单位长度连续取点.过边AB 上各分点和点A '作直线，过B B '延长线上的对应分点和点A 作直线，这两条直线的交点为P ，如图建立平面直角坐标系，则点P 满足的方程是___________.例24．（河北省邢台市名校联盟2022届高三上学期开学考试数学试题）已知1A 、2A 为椭圆C ：2213y x +=的左右顶点，直线0x x =与C 交于AB 、两点，直线1A A 和直线2A B 交于点P .求点P 的轨迹方程.例25．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三阶段练习（理））已知反比例函数1y x=的图像C 是以x 轴与y 轴为渐近线的等轴双曲线.(1)求双曲线C 的顶点坐标与焦点坐标；(2)设1A ､2A 为双曲线C 的两个顶点，点()00,M x y ､()00,N y x 是双曲线C 上不同的两个动点.求直线1A M 与2A N 交点的轨迹E 的方程；例26．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0F ，过直线l ：4x =左侧且不在x 轴上的动点P ，作PH l ⊥于点H ，HPF ∠的角平分线交x 轴于点M ，且2PH MF =，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 与x 轴正半轴交于点1A ，过点()4,0S -的直线1l 交C 于A ，B 两点，AS BS λ=，点T 满足AT TB λ=，其中1λ<，证明：12ATB TSO ∠=∠.例27．（2022·全国·模拟预测（文））设抛物线C ：28x y =，过点()0,1的直线l 与C 交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作抛物线的切线，两切线相交于点P ，求点P 的轨迹方程；例28．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 为双曲线C 的左、右焦点，()2,3A 是双曲线C 上的一个点． (1)求双曲线C 的方程；(2)若过点()4,0B 且不与渐近线平行的直线l （斜率不为0）与双曲线C 的两个交点分别为M ，N ，记双曲线C 在点M ，N 处的切线分别为1l ，2l ，点P 为直线1l 与直线2l 的交点，试求点P 的轨迹方程（注：若双曲线的方程为22221x y a b-=，则该双曲线在点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b -=）例29．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()0,F c (0)c >到直线:20l x y --=的(1)求抛物线C 的方程；(2)设点0(P x ，0)y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；(3)过（2）中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，求1l ，2l 交点M 满足的轨迹方程．例30．（2022·上海·高三专题练习）双曲线22221x y a b -=的实轴为12A A ，点P 是双曲线上的一个动点，引11A Q A P ⊥，22A Q A P ⊥， 1A Q 与2A Q 的交点为Q ，求点Q 的轨迹方程.例31．（2022·全国·高三课时练习）已知点()2,2P -、()0,2Q 以及直线:l y x =的线段AB 在直线l 上移动（如图所示），求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．题型五：参数法例32．（2022·新疆·皮山县高级中学高三期末（文））已知()2cos ,4sin A θθ，()2sin ,4cos B θθ-，当R θ∈时，线段AB 的中点轨迹方程为（ ） A ．22128x y -=B ．22128x y +=C ．22182y x -=D ．22182x y +=【方法技巧与总结】有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标(),x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法．例33．（2022·全国·高三专题练习（理））已知曲线:C y l ：y =kx (k ≠0)，若C 与l 有两个交点A 和B ，求线段AB 中点的轨迹方程.例34．（2022·江西景德镇·高三期末（理））已知两条动直线14:xl y λ=与2:l y λ=（0λ≠，λ为参数）的交点为P .求点P 的轨迹C 的方程；例35．（2022·北京市第五十七中学高三期中）P 是圆224x y +=上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M满足2DP DM =.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q 作弦且弦被Q 平分，求此弦所在的直线方程及弦长；(3)过点(30)N ，的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程.例36．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l 1：y ＝k 1x 和l 2：y ＝k 2x 与抛物线y 2＝2px （p ＞0）分别相交于A ，B 两点（异于原点O ）与直线l ：y ＝2x +p 分别相交于P ，Q 两点，且122k k ⋅=-．求线段AB 的中点M 的轨迹方程；例37．（2022·江苏·周市高级中学高三阶段练习）已知直线:1,0,sin cos 2x y l πθθθ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭与坐标轴的交点分别为A ，B ，则线段AB 的中点C 的轨迹与坐标轴围成的图形面积为（ ） A ．2πB ．4π C ．8π D ．16π例38．（2022·全国·高三课时练习）已知曲线()1:10x yC a b a b+=>>所围成的封闭图形的面积为线1C 2C 是以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．(1)求椭圆2C 的标准方程；(2)设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上异于椭圆中心的点，MO OA λ=(O 为坐标原点，0λ≠)，当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程．题型六：点差法例39．（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________．【方法技巧与总结】圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法．例40．（2022·全国·高三课时练习）斜率为2的平行直线截双曲线221x y -=所得弦的中点的轨迹方程是______．例41．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22143x y +=的弦AB 所在直线过点()1,1E ，求弦AB 中点F 的轨迹方程.例42．（2022·上海市行知中学高三开学考试）已知曲线Γ上一动点P 到两定点()10,2F -，()20,2F 的距离之和为()1,0Q -的直线L 与曲线Γ相交于点()11,A x y ，()22,B x y ． (1)求曲线Γ的方程；(2)动弦AB 满足：AM MB =，求点M 的轨迹方程；例43．（2022·全国·高三期中）（1）若双曲线的一条渐近线方程为230x y +=，且两顶点间的距离为6，求该双曲线方程．（2）一组平行直线2y x b =+与椭圆221129x y +=相交，求弦的中点的轨迹方程．例44．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆22142x y +=，()11,M x y ，()22,N x y 是椭圆上的两个不同的点.（1）若点()1,1A 满足MA AN =，求直线MN 的方程；（2）若()11,M x y ，()22,N x y 的坐标满足121220x x y y +=，动点P 满足2OP OM ON =+(其中O 为坐标原点)，求动点P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状；题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹例45．（2022·全国·高三专题练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，F 为底面ABCD 上一动点，且EF 与底面ABCD 所成的角为60︒．若该正方体外接球的表面积为12π，则动点F 的轨迹长度为（ ）．A B C D 【方法技巧与总结】 利用坐标法解决．例46．（2022·全国·高三专题练习）如图，点A 是平面α外一定点，过A 作平面α的斜线l ，斜线l 与平面α所成角为50︒．若点P 在平面α内运动，并使直线AP 与l 所成角为35︒，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线的一支例47．（2022·北京市第十三中学高一阶段练习）如图，正方体1l l l ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 上的动点，且1PE A C ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是（ ）A ．线段B ．圆弧C ．抛物线的一部分D ．以上答案都不对例48．（多选题）（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图所示，在棱长为2的正六面体1111ABCD A B C D -中，O 为线段1A C 的中点（图中未标出），以下说法正确的有（ ）．A ．线段CD 中点为E ，则直线OE 与平面11A BCD 所成角的正弦值为12． B ．在线段AB 上取靠近B 点的三等分点F ，则直线OF 与直线11C D 不共面． C ．在平面ABCD 上存在一动点P ，满足2AP BP +=，则P 点轨迹为一椭圆．D ．在平面11C D AB 上存在一动点Q ，点Q 到点O 的距离和点Q 到直线AB 的距离相等，则点Q 的轨迹为抛题型八：复数与圆锥曲线的轨迹例49．（2022·河南开封·高三阶段练习（文））已知i 为虚数单位，且013i12iz -=+，复数z 满足01z z -=，则复数z 对应点的轨迹方程为（ ） A ．()()22114x y -++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22111x y +++=D ．()()22111x y -+-=【方法技巧与总结】 （1）利用坐标法解决． （2）利用复数几何意义例50．（多选题）（2022·重庆一中高一期末）若复数z 在复平面对应的点为Z ，则下来说法正确的有（ ） A ．若||3z =，则Z 在复平面内的轨迹为圆B ．若|4||4|8z z ++-=，则Z 在复平面内的轨迹为椭圆C ．不可能存在复数z 同时满足||3z =和|4||4|10z z ++-=D ．若||3z =，则|4||4|z z ++-的取值范围为[8，10]例51．（2022·上海市徐汇中学高三期末）如果复数z 满足6|13i 2i |z z +++--=，则复数z 对应的点的轨迹是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．线段D ．圆例52．（2022·全国·高一课时练习）已知复数z 满足2||2||30z z --=，则复数z 对应的点的轨迹是___________．例53．（2022·江西赣州·高三期末（文））设复数()1cos i sin z θθ=++⋅（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点(),x y 的轨迹方程为___________.题型九：向量与圆锥曲线的轨迹例54．（2022·全国·高三课时练习）已知()2,1A ，()2,1B -，O 为坐标原点，动点(),P x y 满足OP mOA nOB =+，其中,R m n ∈，且2212m n +=，则动点P 的轨迹方程是（ ）A ．2214y x +=B ．2214x y +=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【方法技巧与总结】 （1）利用坐标法解决． （2）利用向量几何意义例55．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知向量a ，b 是单位向量，若0a b ⋅=，且345c a c b -+-=，则c a +的取值范围是___________．例56．（2022·全国·高三课时练习）设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程是______． 例57．（2022·陕西师大附中高一期中）已知向量a ，b ，c ，满足4a =，a 与b 的夹角为3π，()3c c a ⋅-=-，则b c -的最小值为（ ）A ．2B 32C 1D 1例58．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的标准方程为22142x y +=． (1)设动点P 满足：OP OM ON =+，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，问：是否存在两个定点12,F F ，使得12PF PF +为定值？若存在，求12,F F 的坐标；若不存在，说明理由． (2)设动点P 满足：2OP OM ON =+，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，问：是否存在点F ，使得点P 到F 的距离与到直线x =求F 的坐标；若不存在，说明理由．例59．（2022·重庆八中高三阶段练习）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 在抛物线C 上，O 是坐标原点，当PF 与x 轴垂直时，OFP △的面积为1. (1)求抛物线C 的方程；(2)若A ，B 都在抛物线C 上，且4OA OB ⋅=-，过坐标原点O 作直线AB 的垂线，垂足是G ，求动点G 的轨迹方程.例60．（2022·全国·高三专题练习）已知平面上一定点(20)C ，和直线l ：x =8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且1()2PC PQ +·1()2PC PQ -=0．求动点P 的轨迹方程；题型十：利用韦达定理求轨迹方程例61．（2022·全国·高三课时练习）设椭圆E 的方程为2212x y +=，斜率为1的动直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，以线段AB 的中点C 为圆心，AB 为直径作圆，圆心C 的轨迹方程为______．【方法技巧与总结】联立直线与曲线方程得出两根之和与之积关系，再进行转化.例62．（2022·全国·高三专题练习）设不同的两点A ，B 在椭圆22:23C x y +=上运动，以线段AB 为直径的圆过坐标原点O ，过O 作OM AB ⊥，M 为垂足．求点M 的轨迹方程.例63．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高三期末）已知椭圆C ，其焦点是双曲线2213y x -=的顶点.(1)写出椭圆C 的方程；(2)直线l ：y kx m =+与椭圆C 有唯一的公共点M ，过点M 作直线l 的垂线分别交x 轴､y 轴于(),0A x ，()0,B y 两点，当点M 运动时，求点(),P x y 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.例64．（2022·广东·高三阶段练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>A 、B ，且AB 4=．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知点M 、N 是椭圆E 上异于A 、B 的不同两点，设点P 是以AM 为直径的圆1O 和以AN 为直径的圆2O 的另一个交点，记线段AP 的中点为Q ，若1AM AN k k =-⋅，求动点Q 的轨迹方程．例65．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆224580x y +=上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.（1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; （2）若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.【过关测试】一、单选题1．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）复平面中有动点Z ，Z 所对应的复数z 满足|3||i |-=-z z ，则动点Z 的轨迹为（ ） A ．直线B ．线段C ．两条射线D ．圆2．（2022·全国·高三专题练习）正三角形OAB 的边长为1，动点C 满足OC OA OB λμ=+，且221λλμμ++=，则点C 的轨迹是（ ） A ．线段B ．直线C ．射线D ．圆3．（2022·全国·高三专题练习）四边形ABCD 为梯形，且2AB DC =，||||2DC DA ==，3DAB π∠=，点P 是四边形ABCD 内及其边界上的点.若()()4AP DP PB BA -⋅+=-，则点P 的轨迹的长度是（ ）AB ．C ．4πD ．16π4．（2022·全国·高三专题练习）已知复数z 满足i i 2z z ++-=，则z 的轨迹为（ ） A ．线段B ．直线C ．椭圆D ．椭圆的一部分5．（2022·河南安阳·高三开学考试（文））平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线.若平面上到两条直线0x y -=，0y =的距离之和为2的点P 的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ围成的图形面积为（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））下列四个命题中不正确的是（ ） A ．若动点P 与定点()4,0A -、()4,0B 连线P A 、PB 的斜率之积为定值49，则动点P 的轨迹为双曲线的一部分．B ．设m ，R n ∈，常数0a >，定义运算“*”：()()22*m n m n m n =+--，若0x ≥，则动点(P x 的轨迹是抛物线的一部分．C ．已知两圆()22:11A x y ++=、圆()22:125B x y -+=，动圆M 与圆A 外切、与圆B 内切，则动圆的圆心M 的轨迹是椭圆．D ．已知()7,0A ，()7,0B -，()2,12C -，椭圆过A ，B 两点且以C 为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线．7．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E F ､分别是棱1AA ､11A D 的中点，点P 为底面四边形ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为（ ）A ．2BCD ．8．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ 和一段圆弧QM 组成，如图所示.假设圆弧QM 所在圆的方程为22:(25)(2)162C x y ++-=，若某运动员在起跳点M 以倾斜角为45且与圆C 相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y 轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（ ）A ．232(1)y x =--B ．21364y x =-- C ．232(1)x y =-- D ．2364x y =-+二、多选题9．（2022·福建省福州第一中学三模）已知曲线C 是平面内到定点(0,1)F 和定直线:1l y =-的距离之和等于4的点的轨迹，若()00,P x y 在曲线C 上，则下列结论正确的是（ ） A ．曲线C 关于x 轴对称 B ．曲线C 关于y 轴对称 C ．022x -D ．1||4PF10．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：22y px =(p >0)的焦点F 与圆22:20E x y x +-=的圆心重合，直线l 与C 交于1122(,)(,)A x y B x y 、两点，且满足：0OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点且A 、B 均不与O 重合)，则( )A ．121216,16x x y y ==-B ．直线l 恒过定点()4,0C ．A 、B 中点轨迹方程：224y x =-D ．AOB 面积的最小值为1611．（2022·福建·模拟预测）已知双曲线22:14y C x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线C 的右支上，若12F PF θ∠=，12PF F △的面积为S ，则下列选项正确的是（ ）A ．若60θ︒=，则S =B ．若4S =，则2PF =C ．若12PF F △为锐角三角形，则(S ∈D ．若12PF F △的重心为G ，随着点P 的运动，点G 的轨迹方程为22919143y x x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭ 12．（2022·全国·高三专题练习）已知A 、B 两点的坐标分别是(1,0)-，(1,0)，直线AP 、BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是（ ） A ．当1m =-时，点P 的轨迹圆（除去与x 轴的交点）B ．当10m -<<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆（除去与x 轴的交点）C ．当01m <<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线D ．当1m 时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除去与x 轴的交点） 三、填空题13．（2022·浙江·高三开学考试）已知双曲线221x y -=与直线():1l y kx m k =+≠±有唯一的公共点A ，过点A 且与l 垂直的直线分别交x 轴､y 轴于()()00,0,0,B xC y 两点，当点A 运动时，点()00,D x y 的轨迹方程是___________.14．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））①已知点)A ，直线:l x =P 满足到点A的距离与到直线l②已知圆C 的方程为224x y +=，直线l 为圆C 的切线，记点)A ，3,0B到直线l 的距离分别为1d ，2d ，动点P 满足1PA d =，2PB d =；③点S ，T 分别在x 轴，y 轴上运动，且3ST =，动点P 满足2133OP OS OT =+；在①，②，③这三个条件中，动点P 的轨迹W 为椭圆的是______．15．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）已知在直角坐标平面内，两定点()0,1F ，()1,1M -，动点Q 满足以FQ 为直径的圆与x 轴相切．直线FQ 与动点Q 的轨迹E 交于另一点P ，当90PMQ ∠=︒时，直线PQ 的斜率为______．16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是__． 四、解答题17．（2022·四川内江·模拟预测（理））在ABC 中，(2,0)A -，(2,0)B ，AC 与BC 斜率的积是14-．(1)求点C 的轨迹方程；(2)(4,0)P ，求PC 的中点M 的轨迹方程．18．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆22154x y +=的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C ，曲线C 的两条切线P A 、PB 交于点P ，且与C 分别切于A 、B 两点，求PA PB ⋅的最小值．19．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22:14x C y +=的右焦点F 与抛物线21:2C y px =的焦点重合．(1)求椭圆C 的离心率与抛物线1C 的方程；(2)过焦点F 的动直线与抛物线1C 交于A ，B 两点，从原点O 作直线AB 的垂线，垂足为M ，求动点M 的轨迹方程；(3)点R ⎭为椭圆C 上的点，设直线l 与OR 平行，且直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，若PQR 的面积为1，求直线l 的方程．20．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知12,A A 两点的坐标分别是(，直线,A B A B 12相交于点B ，且它们的斜率之积为13. (1)求点B 的轨迹方程；(2)记点B 的轨迹为曲线C ，,,,M N P Q 是曲线C 上的点，若直线MN ，PQ 均过曲线C 的右焦点F 且互相垂直，线段MN 的中点为R ，线段PQ 的中点为T . 是否存在点G ，使直线RT 恒过点G ，若存在，求出点G 的坐标，若不存在，说明理由.21．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 为双曲线C 的左、右焦点，()2,3A 是双曲线C 上的一个点． (1)求双曲线C 的方程；(2)若过点()4,0B 且不与渐近线平行的直线l （斜率不为0）与双曲线C 的两个交点分别为M ，N ，记双曲线C 在点M ，N 处的切线分别为1l ，2l ，点P 为直线1l 与直线2l 的交点，试求点P 的轨迹方程（注：若双曲线的方程为22221x y a b-=，则该双曲线在点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b -=）。
高三数学轨迹方程50题及答案
求轨迹方程求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。
(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.（5）交轨法 若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程. (6)待定系数法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、选择题：1、方程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=1B 、x 2+y 2=1(x ≠±1）C 、x 2+y 2=1(x ≠1）D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y) 5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆C 、中点在原点的双曲线D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0) 10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、x 2+y 2=21 B 、x 2+y 2=41 C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)y ¹B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y ¹C 、(x －2)2－(y+4)2=16D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（ ） A 、22(2)(3)149x y +++= B 、22(2)(3)194x y --+= C 、22(2)(3)194x y +++= D 、22(2)(3)149x y --+= 13、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为 ( )A.14922=+y xB.14922=+x y222214、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 ( ) 12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x15、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为 （ ） A 、x 2+y 2=2a 2 B 、x 2+y 2=4a 2 C 、x 2－y 2=4a 2 D 、x 2－y 2=a 2 二、填空题：16、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。
高三数学函数与方程试题
高三数学函数与方程试题1.设若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a的取值范围为．【答案】(0，]【解析】因为函数f(x)在区间(1，3)内有零点，又函数f(x)在区间(1，3)内最小值为，所以【考点】函数零点2.已知函数，.若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】如图，由已知，函数，的图象有两个公共点，画图可知当直线介于，之间时，符合题意，故选B.【考点】1.函数与方程；2.数形结合的数学思想.3.已知函数，，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是()A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】方程有两个不相等的实根，等价于函数，的图象有两个不同的交点，如图：在同一坐标系中作出函数，的图象，观察图象可知：，所以；故选Ｂ．【考点】１．方程的根与函数图象间的关系；２．数形结合法．4.已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 .【答案】【解析】作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有．【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．5.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题目图像可知：该三次函数过原点，故可设该三次函数为，则，由题得：，，即，解得，所以，故选A.【考点】函数的解析式.6.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.7.设，则函数的零点位于区间（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【答案】C【解析】，选C.【考点】零点的定义.8.若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．或D．【答案】C【解析】由零点存在定理得：因此或.选C.【考点】零点存在定理9.某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则．（1）；（2）函数的零点个数是.【答案】(1)；(2).【解析】（1）由题意可得函数=，当共线，即时，；（2）函数的零点个数，即的图象与交点的个数. 由（1），当P与B或C重合，即或时，．结合图象可知，交点个数为，故函数零点的个数是.【考点】函数的应用问题，函数的零点，函数的图象.10.已知函数f(x)=x-[x],其中[x]表示不超过实数x的最大整数，若关于x的方程f(x)=kx+k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是__________.【答案】【解析】关于的方程有三个不同的实数根，转化为，，两个函数图像有三个不同的交点，函数的图像如图，函数恒过定点为，观察图像易得：.【考点】新概念数形结合11.已知函数，若函数在上有两个零点，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】时，，要使函数在上有两个零点，必须，所以.【考点】函数及其零点.12.方程lgx＝2－x在区间(n，n＋1)(n∈Z)有解，则n的值为________．【答案】1【解析】令f(x)＝lgx＋x－2，由f(1)＝－1<0，f(2)＝lg2>0，知f(x)＝0的根介于1和2之间，即n＝1.13.设是一元二次方程的两个虚根.若，则实数．【答案】4【解析】复数范围一元二次的韦达定理仍然适用，因此一定有，故，，又实系数二次方程有虚根，从而，即，所以同.【考点】实系数一元二次方程根的判别式与韦达定理.14.直线y＝x与函数f(x)＝的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 ()．A．[－1,2)B．[－1,2]C．[2，＋∞)D．(－∞，－1]【答案】A【解析】直线y＝x与函数f(x)＝的图象恰有三个公共点，即方程x2＋4x＋2＝x(x≤m)与x＝2(x＞m)共有三个根．∵x2＋4x＋2＝x的解为x1＝－2，x2＝－1，∴－1≤m＜2时满足条件，故选A.15.方程有个不同的实数根【答案】2【解析】先确定的取值范围，,此题转化为函数和函数的焦点个数问题，这两个函数的图像如下：【考点】1.转化思想；2.数形结合思想，3.函数零点个数.16.设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在上是“关联函数”，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，得，即，即，若函数与在上是“关联函数”，则问题转化为直线与曲线在区间上有两个交点，在同一坐标系中作出直线与曲线在区间图象，由图象知，当时，直线与曲线在区间上有两个交点，故选A.【考点】1.新定义；2.函数的零点17.设，则函数的零点位于区间（）A．(0 ,1)B．(-1, 0) C．(1, 2) D．(2 ,3)【答案】A【解析】因为，由零点存在性定理知，在内有零点，有为单调函数，故存在唯一零点，选A.【考点】零点存在定理.18.“函数在上存在零点”的充要条件是 .【答案】或【解析】函数在上存在零点等价于直线在上与轴有交点，则或，即或.【考点】函数的零点，充要条件.19.函数的零点的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】根据函数平移，将的图像向右平移1个单位得到的图像，再画出的图像，观察即可.【考点】1.函数零点；2.函数的零点关系转化.20.方程有解，则的取值范围（）A．或B．C．D．【答案】D【解析】方程有解,即,因为,所以, ,即,解得.【考点】1、方程有解问题, 2、二次函数值域.21.若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是（）A．2个B．3个C．4个D．多于4个【答案】C【解析】试题分析:函数f(x)是以2为周期的周期函数，且是偶函数，根据上的解析式，图象关于y轴对称，可以绘制上的图象，根据周期性，可以绘制上的图象，而是个偶函数，绘制其在y轴右侧图象可知两图象右侧有两个交点，根据对称性可得共有四个交点，故选B.【考点】函数与方程.22.函数零点的个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，作出函数与图像可的结论．【考点】考查函数的图像．23.函数的零点的个数为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，令，得，故零点的个数为1,选B.【考点】零点的个数的判断.24.已知函数，其中表示不超过实数的最大整数．若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】关于的方程有三个不同的实根，转化为两个函数图像有三个不同的交点，函数的图像（如图），函数恒过定点为，观察图像易得【考点】函数图象交点个数.25.方程的实数解为．【答案】log43【解析】令t=3x（t＞0）则原方程可化为：（t﹣1）2=9（t＞0）∴t﹣1=3，t=4，即x=log4可满足条件3即方程的实数解为 log4．3【考点】函数的零点点评：本题考查的知识点是根的存在性，利用换元法将方程转化为一个一元二次方程是解答本题的关键，但在换元过程中，要注意对中间元取值范围的判断26.已知R上的函数y=f（x），其周期为2，且x∈（-1,1]时f（x）=1+x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）－g（x）在区间[-5,5]上的零点的个数为（）A．11B．10C．9D．8【答案】C【解析】易知，当时零点分别是，0,1,2,4,5共5个，当函数在区间间分别有一个零点，故共9个零点.【考点】函数的零点点评：解决本题的关键是把函数有零点的问题，转化成两函数在某区间内有交点的问题，属中档题.27.已知函数则下列关于函数的零点个数的判断正确的是 ( )A．当时，有3个零点；当时，有2个零点B．当时，有4个零点；当时，有1个零点C．无论为何值，均有2个零点D．无论为何值，均有4个零点【答案】B【解析】分四种情况讨论．（1）x＞1时，lnx＞0，∴y=f（f（x））+1=ln（lnx）+1，此时的零点为（2）0＜x＜1时lnx＜0，∴y=f（f（x））+1=" k" lnx+1，则k＞0时，有一个零点，k＜0时，没有零点，（3）若x＜0，k x+1≤0时，y=f（f（x））+1= k 2x+ k +1，则k＞0时，有一个零点，k＜0时，没有零点，（4）若x＜0，k x+1＞0时，y=f（f（x））+1=lnx（k x+1）+1，则k＞0时，有一个零点，k＜0时，没有零点，综上可知，当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点故选B28.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：由题意可得f（1）f（2）=（0-a）（3-a）＜0，解得 0＜a＜3，故实数a的取值范围是（0，3），故选C．29.若方程(为常数,),则下列判断正确的是( ).A．当时,没有实根B．当时,有一个实根C．当时,有三个实根D．当时,有两个实根【答案】D【解析】当时,分别作出函数的图像，有一个交点，所以方程有一个实根；当时, 方程等价于，令所以在（0,1）上是减函数，(1,上是增函数，最小值是.当，即时,有两个实根.30.若方程有解，则a的取值范围是（）A．a>0或a≤－8B．a>0C．D．【答案】D【解析】解：方程有解，等价于求的值域∵∴则a的取值范围为31.函数的零点的个数是（）A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】函数的零点的个数转化为函数与函数交点个数，画出两个函数图象易得两函数的交点有 2个，故选B32.方程在内（）A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根【答案】C【解析】作出函数的图像，然后从图像上观察其共有2个交点，所以方程在内有且仅有两个根33.已知，则代数式A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】解：34.已知函数，当且时，函数的零点，则．【答案】2【解析】的定义域为，则因为，所以，则所以在定义域内单调递减因为所以，则，则根据零点存在定理可得，存在，使得所以35.．函数在定义域内的零点的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】的定义域为。
高考数学复习---轨迹方程规律方法及典型例题
高考数学复习---轨迹方程规律方法及典型例题【规律方法】求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的一条渐近线为y =，(1)求双曲线方程；(2)过点()0,1的直线l 与双曲线交于异支两点,,P Q OM OP OQ =+，求点M 的轨迹方程. 【解析】（1）由渐近线为y知，ba=(),0c 到直线y ==2c =，224a b +=②，联立①②，解得21a =，23b =，则双曲线方程为2213y x −=.（2）因为直线l 与双曲线交于异支两点,P Q ，所以直线l 的斜率必存在，且经过()01，点，可设直线:1l y kx =+，与双曲线联立得：()223240kxkx −−−=，设()()()1122,,,,,M x y P x y Q x y ，则有122122Δ023403k x x k x x k ⎧⎪>⎪⎪+=⎨−⎪−⎪⋅=<⎪−⎩解得k <由OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r 知，()1221212223623k x x x k y y y k x x k ⎧=+=⎪⎪−⎨⎪=+=++=⎪−⎩两式相除得3x k y =，即3x k y =代入263y k=−得22230y y x −−=，又k <2y …， 所以点M 的轨迹方程为()222302y y x y −−=…. 例2．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知过定点()01P ，的直线l 交曲线2214y x −=于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为45︒，求AB ；(2)若线段AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程．【解析】（1）由题得l 方程为：1y x =+，将其与2214yx −=联立有22114y x y x =+⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去y 得：23250x x −−=，解得=1x −或53x =. 则令A ()1,0−，B 5833⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则AB=. （2）由题，直线l 存在，故设l 方程为：1y kx =+.将其与2214y x −=联立有：22114y kx y x =+⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去y 得：()224250k x kx −−−= 因l 与双曲线有两个交点，则2240Δ80160k k ⎧−≠⎨=−>⎩， 得205k ≤<且24k ≠.设()()1122,,A x y B x y ，. 又设M 坐标为()00x y ，，则12120022，x x y y x y ++==. 因A ，B 在双曲线上，则有()221112012212120222144414y x x x x y y k y y x x y y x ⎧−=⎪+−⎪⇒=⇒=⎨+−⎪−=⎪⎩. 又M ，()01P ，在直线l 上，则001y k x −=.故000014y x x y −=2200040x y y ⇒−+= 由韦达定理有，12224k x x k +=−，12284y y k +=−. 则M 坐标为22444,k k k ⎛⎫ ⎪−−⎝⎭.又0244y k=−，205k ≤<且24k ≠，则01y ≥或04y <−. 综上点M 的轨迹方程为：2240x y y −+=，其中()[)41y ⋃∞∈−∞−+，，. 例3．（2022·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．(1)已知动点P 为圆222:O x y r +=外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，若0PA PB ⋅=，求动点P 的轨迹方程；(2)若动点Q 为椭圆22:194x y M +=外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD ，C 、D 为切点，若0QC QD ⋅=，求出动点Q 的轨迹方程；(3)在（2）问中若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，其余条件都不变，那么动点Q 的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．【解析】（1）由切线的性质及0PA PB ⋅=可知，四边形OAPB 为正方形， 所以点P 在以O 为圆心，||OP长为半径的圆上，且|||OP OA ， 进而动点P 的轨迹方程为2222x y r += （2）设两切线为1l ，2l ，①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为0(Q x ，0)y 则03x ≠±， 设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k−，1l 的方程为00()y y k x x −=−，联立22194x y +=， 得2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++−+−−=，因为直线与椭圆相切，所以Δ0=，得22222000018()4(49)9[()4]0k y kx k y kx −−+⋅−−=， 化简，2222200009()(49)()(49)40k y kx k y kx k −−+−++=，进而2200()(49)0y kx k −−+=，所以2220000(9)240−−+−=x k x y k y 所以k 是方程222000(9)240−−+−=x k x y k y 的一个根， 同理1k−是方程222000(9)240−−+−=x k x y k y 的另一个根， 202041()9y k k x −∴⋅−=−，得220013x y +=，其中03x ≠±，②当1l 与x 轴垂直或平行时，2l 与x 轴平行或垂直， 可知：P 点坐标为：(3,2)±±，P 点坐标也满足220013x y +=，综上所述，点P 的轨迹方程为：220013x y +=．（3）动点Q 的轨迹方程是222200x y a b +=+以下是证明： 设两切线为1l ，2l ，①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为0(Q x ，0)y 则0x a ≠±， 设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k−，1l 的方程为00()y y k x x −=−，联立22221x y a b+=， 得2222222220000()2()()0b a k x a k y kx x a y kx a b ++−+−−=，因为直线与椭圆相切，所以Δ0=，得()222222220000222()4()[()]0a k y kx k y kx b a a b −−+⋅−−=，化简，222220002222202()()()()0a b a b a k y kx k y kx b k −−+−++=， 进而220220()()0y x b k a k −−+=，所以222000022()20x k x y k y a b −−+−= 所以k 是方程22200022()20x k x y k y a b −−+−=的一个根， 同理1k−是方程222000022()20x k x y k y a b −−+−=的另一个根，2020221()y k ax b k −∴⋅−=−，得222200x y a b +=+，其中0x a ≠±， ②当1l 与x 轴垂直或平行时，2l 与x 轴平行或垂直， 可知：P 点坐标为：(,)a b ±±，P 点坐标也满足222200x y a b +=+，综上所述，点P 的轨迹方程为：222200x y a b +=+．。
高三数学难题精选
高三数学难题(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程； (2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 2与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 2为定值．[自主解答] (1)设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y1x1＋a(x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y1x1－a (x －a )．②由①②得y 2＝－y21x21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x21a2＋y21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x21a2，代入③得x2a2－y2b2＝1(x <－a ，y <0)．(2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2|·|y 2|， 故x 21y 21＝x 2y 2.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以 b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x21a2＝b 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x22a2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 2＝a 2，从而y 21＋y 2＝b 2， 因此t 21＋t 2＝a 2＋b 2为定值．3．(2012·山东省实验中学模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)及定点A (a ，b )，B (－a,0)，ab ≠0，b 2≠2pa ，M 是抛物线上的点．设直线AM ，BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1，M 2，当M 变动时，直线M 1M 2恒过一个定点，此定点坐标为________．解析：设M ⎝⎛⎭⎪⎫y202p ，y0，M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y212p ，y1，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y222p ，y2，由点A ，M ，M 1共线可知y0－b y202p －a ＝y1－y0y212p －y202p，得y 1＝by0－2pa y0－b ，同理由点B ，M ，M 2共线得y 2＝2pa y0.设(x ，y )是直线M 1M 2上的点，则y2－y1y222p －y212p ＝y2－yy222p－x ，即y 1y 2＝y (y 1＋y 2)－2px ，又y 1＝by0－2pa y0－b ，y 2＝2pay0，则(2px －by )y 02＋2pb (a －x )y 0＋2pa (by －2pa )＝0. 当x ＝a ，y ＝2pa b 时上式恒成立，即定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2pa b .6．(2013·长沙)直线l ：x －y ＝0与椭圆x22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x22＋y2＝1，得3x 2＝2，∴x ＝±63， ∴A ⎝⎛⎭⎪⎫63，63，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，－63， ∴|AB |＝433. 设点C (2cos θ，sin θ)，则点C 到AB 的距离d ＝|2cos θ－sin θ|2＝32·⎪⎪sin(θ－φ)⎪⎪≤32，∴S △ABC ＝12|AB |·d ≤12×433×32＝2.答案：28．(2012·黄冈质检)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1. (1)求椭圆的方程；(2)已知点C (m,0)是线段OF 上一个动点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 点，使得|AC |＝|BC |？并说明理由．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧e ＝ca ＝22a ＋c ＝2＋1，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b ＝1，∴椭圆的方程为x22＋y 2＝1.(2)由(1)得F (1,0)，∴0≤m ≤1.假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为y ＝k (x －1)，代入x22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k22k2＋1，x 1x 2＝2k2－22k2＋1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k2k2＋1.设AB 的中点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k22k2＋1，－k 2k2＋1.∵|AC |＝|BC |，∴CM ⊥AB ，即k CM ·k AB ＝－1， ∴k 2k2＋1m －2k22k2＋1·k ＝－1，即(1－2m )k 2＝m .∴当0≤m ＜12时，k ＝±m1－2m，即存在满足题意的直线l ； 当12≤m ≤1时，k 不存在，即不存在满足题意的直线l .2．(2012·郑州模拟)已知圆C 的圆心为C (m,0)，m ＜3，半径为5，圆C 与离心率e ＞12的椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的其中一个公共点为A (3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．(1)求圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(4,4)，试探究直线PF 1与圆C 能否相切？若能，设直线PF 1与椭圆E 相交于D ，B 两点，求△DBF 2的面积；若不能，请说明理由．解：(1)由已知可设圆C 的方程为(x －m )2＋y 2＝5(m ＜3)， 将点A 的坐标代入圆C 的方程中，得(3－m )2＋1＝5， 即(3－m )2＝4，解得m ＝1，或m ＝5. ∴m ＜3，∴m ＝1.∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5. (2)直线PF 1能与圆C 相切，依题意设直线PF 1的斜率为k ，则直线PF 1的方程为y ＝k (x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0， 若直线PF 1与圆C 相切，则|k －0－4k ＋4|k2＋1＝5.∴4k 2－24k ＋11＝0，解得k ＝112或k ＝12.当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为－4，∴c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0)． ∴由椭圆的定义得： 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝3＋42＋12＋3－42＋12＝52＋2＝62.∴a ＝32，即a 2＝18，∴e ＝432＝223＞12，满足题意．故直线PF 1能与圆C 相切．直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x218＋y22＝1.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，把直线PF 1的方程代入椭圆E 的方程并化简得，13y 2－16y －2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝1613，y 1y 2＝－213，故S △DBF 2＝4|y 1－y 2|＝4y1＋y22－4y1y2＝241013.3．(2012·深圳模拟)如图，已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM u u u r ,·TN u u u r,的最小值，并求此时圆T 的方程； (3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：|OR |·|OS |为定值．解：(1)依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴c ＝3，b ＝a2－c2＝1. 故椭圆C 的方程为x24＋y 2＝1.(2)易知点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1＞0. 由于点M 在椭圆C 上，∴y 21＝1－x214.(*)由已知T (－2,0)，则TM u u u r ,＝(x 1＋2，y 1)，TN u u u r,＝(x 1＋2，－y 1)，∴TM u u u r ,·TN u u u r,＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x214＝54x 21＋4x 1＋3＝54⎝⎛⎭⎪⎫x1＋852－15.由于－2＜x 1＜2，故当x 1＝－85时，TM u u u r ,·TN u u u r,取得最小值－15. 把x 1＝－85代入(*)式，得y 1＝35，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，35，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325.故圆T 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝1325. (3)设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y0－y1x0－x1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x1y0－x0y1y0－y1，同理：x S ＝x1y0＋x0y1y0＋y1，故x R ·x S ＝x21y20－x20y21y20－y21.(**)又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)， 代入(**)式， 得x R ·x S ＝41－y21y20－41－y20y21y20－y21＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y20－y21y20－y21＝4.所以|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．5．(2012·郑州模拟)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为( )解析：依题意得，c ＋b 2＝77＋3×2c ，即b ＝45c (其中c 是双曲线的半焦距)，a ＝c2－b2＝35c ，则ca ＝53，因此该双曲线的离心率等于53.6．设双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，左，右顶点为M ，N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点的位置是( )A ．在线段MN 的内部B ．在线段F 1M 的内部或NF 2内部C ．点N 或点MD ．以上三种情况都有可能 解析：选C若P 在右支上，并设内切圆与PF 1，PF 2的切点分别为A ，B ，则|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝(|PA |＋|AF 1|)－(|PB |＋|BF 2|)＝|AF 1|－|BF 2|.所以N 为切点，同理P 在左支上时，M 为切点．10．(2012·南昌模拟)已知△ABC 外接圆半径R ＝1433，且∠ABC ＝120°，BC ＝10，边BC 在x 轴上且y 轴垂直平分BC 边，则过点A 且以B ，C 为焦点的双曲线方程为( )解析：∵sin ∠BAC ＝BC 2R ＝5314，∴cos ∠BAC ＝1114，|AC |＝2R sin ∠ABC ＝2×1433×32＝14，sin ∠ACB ＝sin(60°－∠BAC ) ＝sin 60°cos ∠BAC －cos 60°sin ∠BAC ＝32×1114－12×5314＝3314， ∴|AB |＝2R sin ∠ACB ＝2×1433×3314＝6，∴2a ＝||AC |－|AB ||＝14－6＝8，∴a ＝4，又c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9，∴所求双曲线方程为x216－y29＝1.11．(2012·乌鲁木齐模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P ，Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( )解析：依题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y212p ，y1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y222p ，y2(y 1≠y 2)．由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y212p ＋p 2＝y222p ＋p2，所以y 21＝y 2，所以y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，y1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2±3.14．已知F 1，F 2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，A ，B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点，O 是坐标原点，OP ∥AB ，PF 1⊥x 轴，|F 1A |＝10＋5，则此椭圆的方程是______________________．解析：由于直线AB 的斜率为－b a ，故直线OP 的斜率为－b a ，直线OP 的方程为y ＝－ba x .与椭圆方程联立得x2a2＋x2a2＝1，解得x ＝±22a .根据PF 1⊥x 轴，取x ＝－22a ，从而－22a ＝－c ，即a ＝2c .又|F 1A |＝a ＋c ＝10＋5，故 2c ＋c ＝10＋5，解得c ＝5，从而a ＝10.所以所求的椭圆方程为x210＋y25＝1.答案：x210＋y25＝118．(12分)(2012·南昌模拟)已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解：设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －1，x2＋y2＝2得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0.因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k2－2k －11＋k2.同理可得x B ＝k2＋2k －11＋k2，所以k AB ＝yB －yAxB －xA ＝－k xB －1－kxA －1xB －xA＝2k －k xB ＋xAxB －xA＝1＝k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行．20．(12分)(2012·河南模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，短轴的一个端点为M (0,1)，直线l ：y ＝kx －13与椭圆相交于不同的两点A ，B . (1)若|AB |＝4269，求k 的值； (2)求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M . 解：(1)由题意知c a ＝22，b ＝1.由a 2＝b 2＋c 2可得c ＝b ＝1，a ＝2， ∴椭圆的方程为x22＋y 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x22＋y2＝1得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0.Δ＝169k 2－4(2k 2＋1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－169＝16k 2＋649＞0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 32k2＋1，x 1x 2＝－1692k2＋1.∴|AB |＝1＋k2·|x 1－x 2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝41＋k29k2＋432k2＋1＝4269，化简得23k 4－13k 2－10＝0，即(k 2－1)(23k 2＋10)＝0， 解得k ＝±1.(2)∵MA u u u r ,＝(x 1，y 1－1)，MB u u u r,＝(x 2，y 2－1)， ∴MA u u u r ,·MB u u u r,＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)， ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169＝－161＋k292k2＋1－16k292k2＋1＋169＝0.∴不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M .21． (2012·广州模拟)设椭圆M ：x2a2＋y22＝1(a ＞2)的右焦点为F 1，直线l ：x ＝a2a2－2与x 轴交于点A ，若1OF u u u r ,＋21AF u u u u r,＝0(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆M 的方程；(2)设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的任意一条直径(E ，F 为直径的两个端点)，求PE u u u r ,·PF u u u r,的最大值． 解：(1)由题设知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2a2－2，0，F 1(a2－2，0)，由1OF u u u r ,＋21AF u u u u r,＝0，得a2－2＝2⎝⎛⎭⎪⎫a2a2－2－a2－2，解得a 2＝6.所以椭圆M 的方程为x26＋y22＝1.(2)设圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的圆心为N ，则PE u u u r ,·PF u u u r ,＝(NE u u u r ,－NP u u u r ,)·(NF u u u r ,－NP u u u r,) ＝(－NF u u u r ,－NP u u u r ,)·(NF u u u r ,－NP u u u r,)＝NP u u u r ,2－NF u u u r,2 ＝NP u u u r,2－1.从而将求PE u u u r ,·PF u u u r,的最大值转化为求NP ―→,2的最大值． 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设P (x 0，y 0)，所以x206＋y202＝1，即x 20＝6－3y 20.因为点N (0,2)，所以NP u u u r,2＝x 20＋(y 0－2)2＝－2(y 0＋1)2＋12. 因为y 0∈[－2， 2]，所以当y 0＝－1时，NP u u u r,2取得最大值12.所以PE u u u r ,·PF u u u r,的最大值为11.22． (2012·湖北模拟)如图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆的一部分．曲线C 2是以O 为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线C 1和C 2的交点且∠AF 2F 1为钝角，若|AF 1|＝72，|AF 2|＝52.(1)求曲线C 1和C 2的方程；(2)设点C 是C 2上一点，若|CF 1|＝ 2|CF 2|，求△CF 1F 2的面积． 解：(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝72＋52＝6，得a ＝3.设A (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则(x ＋c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722，(x －c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，两式相减得xc ＝32. 由抛物线的定义可知|AF 2|＝x ＋c ＝52，则c ＝1，x ＝32或x ＝1，c ＝32.又∠AF 2F 1为钝角，则x ＝1，c ＝32不合题意，舍去．当c ＝1时，b ＝22，所以曲线C 1的方程为x29＋y28＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－3≤x≤32，曲线C 2的方程为y 2＝4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x≤32.(2)过点F 1作直线l 垂直于x 轴，过点C 作CC 1⊥l 于点C 1，依题意知|CC 1|＝|CF 2|. 在Rt △CC 1F 1中，|CF 1|＝ 2|CF 2|＝2|CC 1|，所以∠C 1CF 1＝45°，所以∠CF 1F 2＝∠C 1CF 1＝45°.在△CF 1F 2中，设|CF 2|＝r ，则|CF 1|＝2r ，|F 1F 2|＝2. 由余弦定理得22＋(2r )2－2×2×2r cos 45°＝r 2， 解得r ＝2，11 / 11 所以△CF 1F 2的面积S △CF 1F 2＝12|F 1F 2|·|CF 1|sin 45°＝12×2×22sin 45°＝2.。
第22讲 轨迹方程(解析版)-突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练
第22讲轨迹方程参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．过点(2,1)P 斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于A ，B 两点．C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠，则PCD ∆外接圆半径的最小值为()ABC ．2413D ．1913【解答】解：如图，先固定直线AB ，设()BMf M AM=，则f （C ）f =（D ）()f P =，其中()BPf P AP=为定值，故点P ，C ，D 在一个阿波罗尼斯圆上，且PCD ∆外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r ，阿波罗尼斯圆会把点A ，B 其一包含进去，这取决于BP 与AP 谁更大，不妨先考虑BP AP >的阿波罗尼斯圆的情况，BA 的延长线与圆交于点Q ，PQ 即为该圆的直径，接下来寻求半径的表达式，由(2),2BP BQ AP BP r r AP AQ AP AP AQ BP+==+=+ ，解得111r AP BP =-，同理，当BP AP <时有，111r BP AP=-，综上，111||r AP BP=-；当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为1,1AP BP ==，则1912r =；当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为1(2)y k x -=-，即21y kx k =-+，与椭圆方程联立可得222(245)48(12)96(1)0k x k k x k k ++-+--=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则由根与系数的关系有，122212248(21)24596(1)245k k x x k k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩，∴1211111|||||2||2|r AP BP x x =-==---，注意到12x -与22x -异号，故1212121212|2||2|411||||(2)(2)2()419x x x x r x x x x x x ---+-===---++，设125t k =+，则11121226131919192419r === ，故1913r ，又19191213>，故选：D．2|2|x y =++表示()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【解答】解：方程|2|x y =++变形为：=，表示点(,)P x y 到定点(1,1)-与定直线的距离相等的点的轨迹，由抛物线的定义可知：点P 的轨迹是抛物线．故选：C ．3．若动圆过定点(3,0)A -且和定圆22(3)4x y -+=外切，则动圆圆心P 的轨迹为()A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线一支【解答】解：设动圆的半径为R ，动圆圆心为P ，点A 在动圆上，||PA R∴=又 定圆22(3)4x y -+=的圆心为(3,0)B ，半径为2，定圆与动圆P 相外切∴圆心距||2PB R =+由此可得||||(2)2PB PA R R -=+-=（常数），∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的左支故选：D．4．已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为()A ．2218y x -=B ．221(1)8y x x -=-C ．2218x y +=D ．221(1)8y x x -=【解答】解：设动圆圆心M 的坐标为(,)x y ，半径为r ，则由题意可得1||1MC r =+，2||3MC r =+，相减可得2112||||2||MC MC C C -=<，故点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的左支，由题意可得22a =，3c =，b ∴==故点M 的轨迹方程为221(1)8y x x -=-．故选：B ．5．已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点轨迹方程是()A ．212x y =-B ．21216x y =-C ．222x y =-D ．221x y =-【解答】解：由24x y =，得其焦点坐标为(0,1)，设线段PF 中点为(,)x y ，1(P x ，1)y ，由中点坐标公式得：11212x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴11221x xy y =⎧⎨=-⎩，P 是抛物线上的点，∴2114x y =，即244(21)x y =-，221x y ∴=-．故选：D ．二．填空题（共7小题）6．两定点的坐标分别为(1,0)A -，(2,0)B ，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，动点M 的轨迹方程是2233(1)x y x -=或0(12)y x =-<<．．【解答】解：设(,)M x y ，MAB α∠=，则2MBA α∠=，它们是直线MA 、MB 的倾角还是倾角的补角，与点M 在x 轴的上方还是下方有关；以下讨论：①若点M 在x 轴的上方，(0,)2πα∈，0y >，此时，直线MA 的倾角为α，MB 的倾角为2πα-，tan 1MA y k x α∴==+，tan(2)2y x πα-=-，0(290)α≠tan(2)tan 2παα-=- ，22121()1yy x y x x ⨯+∴-=--+，得：2233x y -=，||||MA MB > ，1x ∴．当290α=︒时，45α=︒，MAB ∆为等腰直角三角形，此时点M 的坐标为(2,3)，它满足上述方程．②当点M 在x 轴的下方时，0y <，同理可得点M 的轨迹方程为2233(1)x y x -=，③当点M 在线段AB 上时，也满足2MAB MBA ∠=∠，此时0(12)y x =-<<．综上所求点的轨迹方程为2233(1)x y x -=或0(12)y x =-<<．故答案为：2233(1)x y x -=或0(12)y x =-<<．7．设圆22(1)36x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为22198x y +=【解答】解：如图，连接MA ，根据垂直平分线的性质，MA MQ =，由已知得(1,0)C -，6r =，所以2AC =，同时62MA MC MQ MC CQ r AC +=+===>=，因此点M 的运动轨迹为椭圆，设其方程为22221x y a b +=，(0)a b >>，所以其方程为22198x y +=．故答案为：22198x y +=．8．已知点1(F ，0)，圆222:(16F x y +=，点M 是圆上一动点，1MF 的垂直平分线与2MF 交于N 点，则点N 的轨迹方程为22142x y +=．【解答】解：因为1MF 的垂直平分线与2MF 交于N 点，所以1NF NM =．所以1222124NF NF NM NF MF F F +=+==>=所以点N 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆，这里24a =，2c =2a ∴=，c =222422b a c =-=-=，所以点N 的轨迹方程为：22142x y +=．故答案为：22142x y +=．9．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，则C 的方程为221(2)43x y x +=≠-．【解答】解：由圆22:(1)1M x y ++=，可知圆心(1,0)M -；圆22:(1)9N x y -+=，圆心(1,0)N ，半径3．设动圆的半径为R ，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，||||1(3)4PM PN R R ∴+=++-=，而||2NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，2a ∴=，1c =，2223b a c =-=．∴曲线C 的方程为22143x y +=（去掉点(2,0))-故答案为：221(2)43x y x +=≠-．10．方程||x y +=所表示的曲线是双曲线．【解答】解：方程||x y +=意义是：平面内动点(,)x y 到定点(1,1)，与到定直线0x y +=的点的轨迹，1>，(1,1)不在直线0x y +=上，∴轨迹是双曲线．故答案为：双曲线．11．若动点(,)P x y 到定点(5,0)F 的距离是它到直线95x =的距离的53倍，则动点P 的轨迹方程是221916x y -=．【解答】解： 点(,)P x y 到定点(5,0)F的距离是点(,)P x y 到直线95x =的距离是9||5x -，∴59||35x =-，化简为221916x y -=．故答案为221916x y -=．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线(44)x t t =-<<与椭圆221169x y +=交于两点11(,)P t y 、22(,)P t y ，且10y >、20y <，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，则直线12A P 与21A P 的交点所在的曲线方程为221169x y -=．【解答】解：由题意，直线12A P 的方程为2(4)4y y x t =++，直线21A P 的方程为1(4)4y y x t =--，两式左右分别相乘得22122(16)16y y y x t =--①11(,)P t y 、22(,)P t y 在椭圆221169x y +=上∴2211169y t +=，2221169y t +=∴2219(1)16t y =-，2229(116t y =-10y > ，20y <2129(1)16t y y ∴=-代入①可得221169x y -=故答案为：221169x y -=三．解答题（共28小题）13．已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-，记M 的轨迹为曲线C ，求C 的方程，并说明C 是什么曲线．【解答】解：点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-，1222AM BM y y k k x x ⋅=⋅=-+-，化简得221(2)42x y x +=≠±，即曲线C 的方程为221(2)42x y x +=≠±，曲线C 是一个椭圆，除去左右顶点．14．已知坐标平面上点(,)M x y 与两个定点1(26,1)M ，2(2,1)M 的距离之比等于5．（1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C ，线段AB ，点A 为C 上一点，点(11,13)B ，求AB 的中点P 的轨迹方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点(,)M x y 与两个定点1(26,1)M ，2(2,1)M 的距离之比等于5，得125M M MM ==，化简得2222230x y x y +---=．即22(1)(1)25x y -+-=．∴点M 的轨迹方程是22(1)(1)25x y -+-=，所求轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．（2）设(,)P x y ，0(A x ，0)y ，根据题意有00112132x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所00211213x x y y =-⎧⎨=-⎩，点A 在圆C 上，所以有2200(1)(1)25x y -+-=，所以22(212)(214)25x y -+-=，所以2225(6)(7)4x y -+-=，所以AB 的中点P 的轨迹方程为2225(6)(7)4x y -+-=．15．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．【解答】解：因为||||AD AC =，//EB AC ，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以||||EB ED =，故||||||||||EA EB EA ED AD +=+=，又圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=，从而||4AD =，所以||||4EA EB +=⋯（5分）由题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2AB =，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：221(0)43x y y +=≠⋯（10分）16．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点(1,1)Q 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，求直线AB 被曲线C 截得的弦的中点坐标．【解答】解：（1）由已知得圆M 的圆心为(1,0)M -，半径11r =，圆N 的圆心为(1,0)N ，半径23r =．设动圆P 的圆心为(,)P x y ，半径为R ． 圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，1212||||()()4||PM PN R r r R r r MN ∴+=++-=+=>，由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点的椭圆（左定点除外），得24a =，2a ∴=，1c =，23b ∴=，∴椭圆方程为221(2)43x y x +=≠-；（2）||||2PA PB ==，以P 为圆心，||PA 为半径的圆22:(1)(1)4P x y -+-=与圆22:(1)1M x y ++=公共弦所在直线为l 的方程为21y x =--，联立曲线22:1(2)43x y C x +=≠-与直线:21l y x =--，可得2191680x x +-=，△0>，设交点1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，则121619x x +=-，∴中点的横坐标为128219x x +=-，代入直线:21l y x =--，得中点的纵坐标为319-，∴所求中点坐标为8(19-，3)19-．17．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）若直线:l y x k =+与曲线C 相切，求k 的值．【解答】解：（1）圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，设动圆P 半径为R ．M 在N 内，∴动圆只能在N 内与N 内切，不能是N 在动圆内，即：3R <动圆P 与圆M 外切，则1PM R =+，动圆P 与圆N 内切，则3PN R =-，4PM PN ∴+=，即P 到M 和P 到N 的距离之和为定值．P ∴是以M 、N 为焦点的椭圆．MN 的中点为原点，故椭圆中心在原点，24a ∴=，2a =，22c MN ==，1c =，222413b a c ∴=-=-=，C ∴的方程为221(2)43x y x +=≠-；（2）由22143x y y x k ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：22784120x kx k ++-=，若直线l 和曲线C 相切，则△226428(412)0k k =--=，解得：k =18．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．求C 的方程．【解答】解：圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，设动圆P 半径为R ．M 在N 内，∴动圆只能在N 内与N 内切，不能是N 在动圆内，即：3R <动圆P 与圆M 外切，则1PM R =+，动圆P 与圆N 内切，则3PN R =-，4PM PN ∴+=，即P 到M 和P 到N 的距离之和为定值．P ∴是以M 、N 为焦点的椭圆．MN 的中点为原点，故椭圆中心在原点，24a ∴=，2a =，22c MN ==，1c =，222413b a c ∴=-=-=，C ∴的方程为221(2)43x y x +=≠-．19．已知圆C 的方程为22(3)4x y -+=，定点(3,0)A -，求过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程．【解答】解： 圆P 与圆C 外切，如图，||||2PC PA ∴=+，即||||2PC PA -=，0||||||PC PA AC <-< ，∴由双曲线的定义，点P 的轨迹是以A ，C 为焦点，2为实轴长的双曲线的左支，其中1a =，3c =，222918b c a ∴=-=-=．故所求轨方程为221(0)8y x x -=<．20．已知两圆221:(4)2C x y ++=，222:(4)2C x y -+=．动圆M 与两圆都相切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解答】解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆221:(4)2C x y ++=，222:(4)2C x y -+=，动圆M 与两圆1C ，2C 都相切，12||||MC MC ∴=，即M 点在线段1C ，2C 的垂直平分线上又1C ，2C 的坐标分别为(4,0)-与(4,0)∴其垂直平分线为y 轴，∴动圆圆心M 的轨迹方程是0x =；②若一内切一外切，不妨令与圆221:(4)2C x y ++=内切，与圆222:(4)2C x y -+=外切，则M 到2C 的距离减去M 到2C 的距离的差是M 的轨迹是以(4,0)-与(4,0)为焦点，以为实半轴长的双曲线左支，故可得22214b c a =-=，故此双曲线的方程为221(0)214x y x -=<．同理与圆221:(4)2C x y ++=外切，与圆222:(4)2C x y -+=内切，此双曲线的方程为221(0)214x y x -=>．∴此双曲线的方程为221214x y -=．综①②知，动圆M 的轨迹方程为221214x y -=或0x =．21．在三角形ABC 中，||4BC =，ABC ∆的内切圆与BC 相切于点D ，||||2BD CD -=，求顶点A 的轨迹方程．【解答】解：如图，设E 、F 分别为圆与AB 、AC 的两个切点，则||||BE BD =，||||CD CF =，又||||AE AF =，||||||||||||2AB AC BE CF BD CD ∴-=-=-=，∴点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(0)y ≠，且1a =，2c =，b ∴=∴轨迹方程为221(1)13x y x -=>．故答案为：221(1)13x y x -=>．22．直角三角形ABC 的直角顶点A 为动点，(B 0)C 0)，作AD BC ⊥于D ，动点E 满足(1AE AD =-，当动点A 运动时，点E 的轨迹为曲线G ，（1）求曲线A 的轨迹方程；（2）求曲线G 的轨迹方程；（3）设直线L 与曲线G 交于M 、N 两点，坐标原点O 到直线L的距离为2，求||MN 的最大值．【解答】解：（1）直角三角形ABC 的直角顶点A的轨迹为圆：223(x y x +=≠；（2）设(,)E x y ，0(A x ，0)y ，则0(D x ，0)，22003x y +=，动点E 满足3(1)3AE =-AD ，∴0000)x x y y y -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得0x x =，0y =，代入曲线A 的轨迹方程可得2233x y +=，化为221(3x y x +=≠．（3）当直线L 的斜率不存在时，直线L的方程为：x =||MN =．当直线L 的斜率存在时，设直线L 的方程为：y kx m =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ． 坐标原点O 到直线L，∴=22433m k =+．联立2233y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，化为22(13)6330k x kmx m +++-=，则122613kmx x k -+=+，21223313m x x k -=+．又22433m k =+．||2MN ∴====，当且仅当213k =时取等号．综上可得：||MN 的最大值为2．23．动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，求动点P 的轨迹方程．【解答】解：由抛物线的定义知点P 的轨迹是以F 为焦点的抛物线，其开口方向向右，且22p=，解得4p =，所以其方程为28y x =．故答案为：28y x =．24．若动圆M 与圆22:(2)1C x y -+=外切，又与直线10x +=相切，求动圆圆心的轨迹方程．【解答】解：设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ， 圆22:(2)1C x y -+=，∴定圆圆心为(2,0)C ，半径1r =，两圆外切，||1MC R ∴=+，又 动圆M 与直线10x +=相切，∴圆心M 到直线10x +=的距离d R =，||1MC d ∴=+，即动点M 到定点(2,0)C 的距离等于它到直线20x +=的距离，由抛物线的定义可得，点M 的轨迹是以C 为焦点，20x +=为准线的抛物线，且22p=，即4p =，故动圆圆心的轨迹方程为28y x =．25．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =．求点P 的轨迹方程．【解答】解：设0(M x ，0)y ，由题意可得0(N x ，0)，设(,)P x y ，由点P 满足NP =．可得0(x x -，0))y y =，可得00x x -=，0y =，即有0x x =，0y 代入椭圆方程2212x y +=，可得22122x y +=，即有点P 的轨迹方程为圆222x y +=；故答案为：222x y +=．26．在平面直角坐标系xOy 中，点(P a ，)(0)b a b >>为动点，1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）设1(,0)F c -，2(F c ，0)(0)c >．由题得212||||PF F F =，即2c =，整理得22()10c c a a +-=，得1ca =-（舍)，或12c a =，所以12e =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知2a c =，b =，可得椭圆方程为2223412x y c +=，直线方程为)y x c =-．A ，B的坐标满足方程组2223412)x y cy x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消y 并整理得2580x xc -=，解得0x =，85x c =，得方程组的解为0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，85335x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不妨设8(5A c ，33)5c，(0,)B ．设点M 的坐标为(,)x y ，则8(5AM x c =- ，33)5y c -，(,)BM x y =+由)y x c =-得c x y =①，由2AM BM ⋅=-即8()()()255x c x y y -+-+=-．将①代入化简得218150x --=，2y ⇒=代入①化简得2105016x c x +=>．所以0x >，因此点M的轨迹方程为218150x --=(0)x >．27．设0λ>，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足，BQ QA λ=经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=，求点P 的轨迹方程．【解答】解：由QM MP λ=知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设(,)P x y ，0(,)Q x y ，2(,)M x x 则220()x y y x λ-=-即20(1)y x y λλ=+-①再设1(B x ，1)y 由BQ QA λ= 得()()11011x x y y λλλλ=+-⎧⎪⎨=+-⎪⎩②将①代入②式得()()12211(1)1x x y x y λλλλλλ=+-⎧⎪⎨=+-+-⎪⎩③又点B 在抛物线2y x =将③代入得222(1)(1)((1))x y x λλλλλλ+-+-=+-整理得2(1)(1)(1)0x y λλλλλλ+-+-+=因为0λ>所以210x y --=故所求的点P 的轨迹方程：21y x =-28．已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；（Ⅱ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF ，PF ，由AP AF =，BQ BF =及//AP BQ ，得90AFP BFQ ∠+∠=︒，90PFQ ∴∠=︒，R 是PQ 的中点，RF RP RQ ∴==，PAR FAR ∴∆≅∆，PAR FAR ∴∠=∠，PRA FRA ∠=∠，1802BQF BFQ QBF PAF PAR ∠+∠=︒-∠=∠=∠ ，FQB PAR ∴∠=∠，PRA PQF ∴∠=∠，//AR FQ ∴．（Ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1(2F ，0)，准线为12x =-，1211||||22PQF S PQ y y ∆==-，设直线AB 与x 轴交点为N ，121||||2ABF S FN y y ∆∴=-，PQF ∆ 的面积是ABF ∆的面积的两倍，2||1FN ∴=，1N x ∴=，即(1,0)N ．设AB 中点为(,)M x y ，由21122222y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得2212122()y y x x -=-，又12121y y yx x x -=--，∴11y x y=-，即21y x =-．AB ∴中点轨迹方程为21y x =-．29．已知点1(1,0)F -，2(1,0)F ，动点P 满足12F F 为1PF 和2PF 的等差中项．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过1F 作直线L 交C 于A ，B 两点，求AB 的中点M 的轨迹方程．【解答】解：（1）1(1,0)F - ，2(1,0)F ，12||2F F ∴=，12||F F 是1||PF 与2||PF 的等差中项，12122||||||F F PF PF ∴=+，即12||||4PF PF +=，∴点P 在以1F ，2F 为焦点的椭圆上，24a = ，2a ∴=，又1c =，222413b a c ∴=-=-=，∴椭圆的方程是22143x y +=；（2）设AB 中点(M x ，)(22)y x -<<，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，A ，B 在椭圆C 上，∴2211143x y +=①，2222143x y +=②，①-②得：12121212()()()()43x x x x y y y y -+-+=-，即12121212123323()4424y y x x x xx x x x y y y y-+=-=-=-≠-+ ．∴03(1)4y xx y-=---，整理得：223430(22)x y x x ++=-<<．而1(1,0)F -适合上式，AB ∴的中点M 的轨迹方程为23430(22)y x x ++=-<<．30．已知点(2,2)P ，圆22:80C x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．求M 的轨迹方程．【解答】解：圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=，所以圆心为(0,4)C ，半径为4．设(,)M x y ，则(,4)CM x y =- ，(2,2)MP x y =--．由题设知0CM MP =，..⋯（6分）故(2)(4)(2)0x x y y -+--=，即22(1)(3)2x y -+-=．由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=．..⋯（12分）31．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22211(41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数，)t R ∈．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l的参数方程为1(2x t y t⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数，)t R ∈，点1(,0)2M ，并且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||MA MB +．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为22211(41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数，)t R ∈，整理得曲线C 的普通方程221(1)4y x x +=≠-．（2）直线l的参数方程为1(2x t y t⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数，)t R ∈，代入2214y x +=；得到213120t +-=，所以12t t +=，121213t t =-；故1211||||MA MB +==．32．如图，椭圆22022:1(0x y C a b a b+=>>，a ，b 为常数），动圆22211:C x y t +=，1b t a <<．点1A ，2A 分别为0C 的左，右顶点，C 与0C 相交于A ，B ，C ，D 四点．（Ⅰ）求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程；（Ⅱ）设动圆22222:C x y t +=与0C 相交A '，B '，C '，D '四点，其中2b t a <<，12t t ≠．若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，证明：2212t t +为定值．【解答】()I 解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则21x x =，21y y =-，1(,0)A a - ，2(,0)A a ，则直线1A A 的方程为11()y y x a x a=++①直线2A B 的方程为11()y y x a x a-=--②由①⨯②可得：22221221()y y x a x a -=--③1(A x ，1)y 在椭圆0C 上，∴2211221x y a b +=222112(1)x y b a∴=-代入③可得：2212222221(1)()x b a y x a x a --=--∴22221(,0)x y x a y a b-=<-<；()II 证明：设3(A x '，3)y ，矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等11334||||4||||x y x y ∴=22221133x y x y ∴=A ，A '均在椭圆上，222222311322(1)(1)x x b x b x a a∴-=-4422311322x x x x a a∴-=-222441313()a x x x x ∴-=-12t t ≠ ，13x x ∴≠．22213x x a ∴+=222112(1)x y b a =- ，222332(1)x y b a=-22213y y b ∴+=∴222212t t a b +=+为定值．33．已知P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A 、B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=- ．（1）试判断直线AB 是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；（2）设点M 是PAB ∆的外接圆圆心，求点M 的轨迹方程．【解答】解：（1）因为点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，故点P 的坐标为(0,3)-，根据题意可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：y kx b =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，故1122(,3),(,3)PA x y PB x y =+=+，因为4PA PB ⋅=-，则1212(3)(3)4x x y y +++=-，因为A 、B 是C 上的两个动点，则有211134y x =-，222134y x =-，故212121416x x x x +=-，整理可得22121216640x x x x ++=，解得128x x =-，由2134y kx b y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得241240x kx b ---=，则有124x x k +=，12124x x b =--，所以1248b --=-，解得1b =-，故直线AB 的方程为1y kx =-，所以直线经过一个定点(0,1)-．（2）线段PA 的中点坐标为311(,3)28x x -，又直线PA 的斜率为2111144PAx x k x ==，所以线段PA 的垂直平分线的方程为211143(82x x y x x -+=--，①同理，线段PB 的垂直平分线的方程为222243()82x x y x x -+=--，②由①②解得21212(),28x x x x x y ++==，设点(,)M x y ，则有122122()8x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，消去12x x +，得到212x y =，所以点M 的轨迹方程为212x y =．34．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线2:4M y x =有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点作一条斜率为(0)k k ≠的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点E ，P 为弦AB 的中点，过点E 作直线OP 的垂线交OP 于点Q ，问是否存在一定点H ，使得QH 的长度为定值？若存在，则求出点H ，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线2:4M y x =的焦点为(1,0)，可得221a b -=①，抛物线的准线1x =-被椭圆截得的弦长为3，由1x =-代入椭圆方程可得2b y a =±，即有223b a=②，解①②可得2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）设直线:(1)AB y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与椭圆方程22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，所以21224234x x k k +=+，212122243(1)(1)223434y y x x k k k k k k ++-=-=-=++，所以224(34k P k +，23)34k k -+，直线3:4OP y x k=-③，直线AB 的方程(1)y k x =-中，令0x =可得y k =-，所以(0,)E k -，因为直线EQ OP ⊥，所以直线QE 的方程为43ky x k =-④，将③④联立相乘得到2234y x x =-+，即2239(864x y -+=，所以点Q 的轨迹为以3(8，0)为圆心，38为半径的圆，所以存在定点3(8H ，0)，使得QH 的长为定值38．35．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，椭圆C 的下顶点和上顶点分别为1B ，2B ，且12||2B B =，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当1k =时，求OMN ∆的面积；（Ⅲ）求证：直线1B M 与直线2B N 的交点T 的纵坐标为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为12||2B B =，所以22b =，即1b =，因为离心率为22，所以c a =设c m =，则a =，0m >，又222c a b =-，即2222m m b =-，解得1m =或1-（舍去），所以a =，1b =，1c =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（Ⅱ）联立22122x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(2)20x x ++-=，所以23860x x ++=，所以△284360=-⨯⨯<，所以直线与椭圆无交点，所以OMN ∆的面积不存在．（Ⅲ）证明：由题意知，直线l 的方程为2y kx =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(12)860k x kx +++=则22122122(8)46(12)0821621k k k x x k x x k ⎧⎪=-⨯+>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=⎪+⎩因为直线和椭圆有两个交点，所以△22(8)24(21)k k =-+>232k >，设(,)T m n ，因为1B ，T ，N 在同一条直线上，则111111313y kx n k m x x x +++===+，因为2B ，T ，N 在同一条直线上，则222221111y kx n k m x x x -+-===+，由于21212283()3()11213440621kx x n n k k k m m x x k ⋅-++-++⋅=+=+=+，所以12n =，所以交点T 恒在一条直线12y =上，所以交点T 的纵坐标为定值为12．36．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，直线2x =-被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 的右焦点F 与坐标轴不垂直的直线l 交C 于点A ，B ，交y 轴于点E ，P 为线段AB 的中点，EQ OP ⊥且Q 为垂足．问：是否存在定点H ，使得QH 的长为定值？若存在，求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得：22c e a ==，222a b c -=，化简得222a b =，故C 的方程为：22221(0)2x y b b b+=>，将2x =-代入椭圆C的方程得：||y =，所以=，解得：24b =，所以2228a b ==，所以椭圆C 的方程：22184x y +=（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(P x ，0)y ，直线AB 的方程为(2)y k x =-，则直线AB 与y 轴的交点为(0,2)E k -，由2211184x y +=，2222184x y +=，得212121214182y y y y x x x x -+⨯=-=--+又2121y y k x x -=-，021021OP y y y k x x x +==+，所以12OP k k =-，故OP 的方程为12y x k =-，由EQ OP ⊥得：2EQ k k =，所以直线EQ 的方程为22y kx k =-，即2(1)y k x =-，所以直线EQ 过定点(1,0)M ，所以Q 在以OM 为直径的圆220x y x +-=上，所以存在定点1(,0)2H ，使QH 的长为定值12．37．已知椭圆E 的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(F c ，0)(0)c >．点M 在E 上，212MF F F ⊥，△12MF F的周长为6+13c ．（1）求E 的方程．（2）设E 的左、右顶点分别为A ，B ，过点3(,0)2的直线l 与E 交于C ，D 两点，记直线AC的斜率为1k ，直线BD 的斜率为2k ，则____．（从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答）．①求直线AC 和BD 交点的轨迹方程；②是否存在实常数λ，使得12k k λ=恒成立；③过点C 作关于x 轴的对称点C '，连结C '，D 得到直线1l ，试探究：直线1l 是否恒过定点．【解答】解：（1）依题意，222222611223a c b c c a a b c⎧+=+⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解得31a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆E 的方程为：2219x y +=．（2）设直线l 的方程为32x ty =+，选择①，联立方程221932x y x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理得：224(9)12270t y ty ++-=，假设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由韦达定理，得12212239274(9)t y y t y y t -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以12129()4ty y y y =+，直线AC 的方程：11(3)3y y x x =++；直线BD 的方程：22(3)3y y x x =--，联立方程，得1122(3)3(3)3y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，两式相除，得121222112122122122121121121122112199()2()93(3)293()63(3)32433933(3)233()23()2()324ty y y y y y x x y ty y y y y y y y x x x y x y ty y y y y y y y ty y y y y ++++++++++=⋅=======----+-+-+-，即333x x +=-，解得6x =，所以直线AC 和BD 交点的轨迹方程是直线6x =．选择②联立方程221932x y x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理，得224(9)12270t y ty ++-=，假设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由韦达定理，得12212239274(9)t y y t y y t -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以12129()4ty y y y =+于是211211212112211212121212212122121239393()2()3(3)3(3)231242229992793(3)293()2()9(3)24222ty y y y y y y y y k y x x y ty y y k x y x y ty y y ty y y y y y y y y -⋅+-++---=⋅=======++++⋅++++，故存在实数13λ=，使得12k k λ=恒成立．选择③：设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，1(C x '，1)y -，联立方程，得221932x y x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理，得224(9)12270t y ty ++-=，由韦达定理，得12212239274(9)t y y t y y t -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，直线C D '与x 轴交于点M ，说明C '，D ，M 三点共线，于是C M DM k k '=，假设(,0)M m ，即1212y y m x x m =--，亦即1212y y x m x m-=--，则1221()()y x m y x m --=-，所以12211221121221121212223332733()()()((()2()()2()02224(9)29ty x m y x m x y x y m y y ty y ty y m y y ty y m y y t m t t ---+-=+-+=+++-+=+-+=+-⋅=++，即9(32)()0t m t -+-⋅-=，解得6m =，所以直线C D '恒过定点(6,0)M ．38．已知抛物线2:2(0)E y px p =>，直线:2pl y x =-交于抛物线E 于A 、B 两点，||8AB =．（1）求抛物线E 的方程．（2）互相垂直的直线1l 、2l 分别切抛物线E 于C 、D 两点，试求两切线交点的轨迹方程．【解答】解：（1）联立方程组222p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 得：22304p x px -+=，||348A B AB x x p p p p ∴=++=+==，即2p =．∴抛物线E 的方程为24y x =．（2）设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由于12l l ⊥，故120y y <，不妨设10y >，20y <，由24y x =可得y =±，∴当0y >时，y '=，即1k =0y <时，y '=，即2k =．又1(C x ，1)y 在抛物线24y x =上，2114y x ∴=，∴故直线1l的方程为：11)y y x x -=-，即1122y y x y =+，即21122y y y x =+，①同理可得直线2l 的方程为：22222y y y x =+．②由①②可得：1y ，2y 是关于t 的方程222t ty x =+，即2240t yt x -+=的两根．124y y x ∴=，1l ，2l 互相垂直，∴(1=-，即121x x =．12(4y y ∴=-=-，44x ∴=-，即1x =-．∴两切线交点的轨迹方程为1x =-．39．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其中一个顶点是双曲线221916x y -=的焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(0,3)P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，过点A ，B 分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．【解答】解：（1） 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其中一个顶点是双曲线221916x y -=的焦点．双曲线221916x y -=的焦点1(5,0)F -，2(5,0)F ，∴椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>中，222512a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得5a =，52c =，2754b =，∴椭圆C 的标准方程为：22412575x y +=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设在1(A x ，1)y 处切线方程为111()y y k x x -=-，与椭圆224:12575x y C +=联立11122()412575y y k x x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得22211111111(43)8()4()750k x k k x y x k x y ++-++-+-=，由△0=，得22211111111[8()]4(43)[4()75]0k k x y k k x y -+-+-+-=，化简，得222111111(4100)84750x k x y k y --+-=，由2211412575x y +=，得22111641003x y -=-，22114753y x -=-，∴上式化为222111111168303y k x y k x ---=，2111(43)0y k x ∴+=，11134x k y =-，∴椭圆在点A 处的切线方程为11412575xx yy +=，①同理，得椭圆在点B 处的切线方程为22412575xx yy +=，②联立①②，消去x ，得：112241754175yy x yy x -=-，解得21211275()4()x x y x y x y -=-，A 、B 都在直线l 上，∴221133y kx y kx =+⎧⎨=+⎩，21122133x y x y x x ∴-=-，21212112217(5)7(5)254()12()4x x x x y x y x y x x --∴===--，即此时的交点的轨迹方程为254y =．当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为0x =，则53(0,)2A ，53(0,)2B -，则椭圆在点A处的切线方程为y =，椭圆在B处的切线方程为y =，此时无交点．综上所述，过点A ，B 所作椭圆的两条切线的交点的轨迹方程为254y =．40．(1,0)F 为一定点，(0,)P b 是y 轴上的一动点，x 轴上的点M 满足0PM PF ⋅=，若点N满足20PN NM +=，求：（1）点N 的轨迹曲线C 的方程；（2）曲线C 的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹．【解答】解：（1）20PN NM +=，∴点M ，N 关于点P 对称，设(,)N x y ，则(,2)M x b y --，M 在x 轴上，2y b ∴=，即2yb =．(,)PM x b =-- ，(1,)PF b =- ， 0PM PF ⋅= ，20x b ∴-+=，204y x ∴-+=，即24y x =．∴点N 的轨迹曲线C 的方程是24y x =．（2）设曲线C 的两条互相垂直的垂线的交点坐标为0(x ，0)y ，切线的斜率为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，联立方程组002()4y y k x x y x -=-⎧⎨=⎩，消元得：20004ky y y kx -+-=，∴△001()0k y kx =--=，即20010x k y k -+=．12011k k x ∴==-，01x ∴=-．曲线C 的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹是直线1x =-．。
高三数学圆的标准方程与一般方程试题
高三数学圆的标准方程与一般方程试题1.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)【答案】D【解析】MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，以r＝2为半径的圆，除去与x轴的两个交点．2.设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是()A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定【答案】B【解析】将原点代入x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝(a－1)2>0，所以原点在圆外．3.已知x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值为________．【答案】【解析】表示圆上的点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，∴的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，由＝1，得k＝，结合图形可知≥，∴所求最小值为.4.已知平面上点其中，当，变化时，则满足条件的点在平面上所组成图形的面积是（）A．B．(C．D．【答案】C【解析】圆心在圆上运动一周，点在平面上所组成图形为以坐标原点为圆心，6为半径的实心圆减去以坐标原点为圆心，2为半径的实心圆的一个圆环，面积是.【考点】圆的方程，动点轨迹5.以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2+y2+2x=0B．x2+y2+x=0C．x2+y2﹣x=0D．x2+y2﹣2x=0【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2﹣2x+y2=0，故选D．6.若圆x2＋y2－2kx＋2y＋2＝0(k>0)与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围为( )A．-1<k<1B．1<k<C．1<k<2D．<k<2【答案】B【解析】圆的方程为(x－k)2＋(y＋1)2＝k2－1，圆心坐标为(k，－1)，半径r＝，若圆与两坐标无公共点，即，解得1<k<.故选B．7.已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆．(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆半径r的取值范围；(3)求圆心的轨迹方程．【答案】（1）－<m<1（2）0<r≤（3）y＝4(x－3)2－1【解析】(1)方程表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，即有4(m＋3)2＋4(1－4m2)2－4(16m4＋9) >0－<m<1.(2)半径r＝0<r≤.(3)设圆心坐标为(x，y)，则消去m，得y＝4(x－3)2－1.由于－<m<1，所以<x<4.故圆心的轨迹方程为y＝4(x－3)2－18. P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，试求x2＋y2的最小值．【答案】3－2【解析】由C(1，1)得OC＝，则OPmin ＝－1，即()min＝－1.所以x2＋y2的最小值为(－1)2＝3－2.9.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,则点P的轨迹方程为.【答案】(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点(-,)和(-,)【解析】设P(x,y),圆上的动点N(x0,y),则线段OP的中点坐标为(,),线段MN的中点坐标为(,),又因为平行四边形的对角线互相平分,所以有可得又因为N(x0,y)在圆上,所以N点坐标应满足圆的方程.即有(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点(-,)和(-,).10.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为()A．x2+y2-2x+4y=0B．x2+y2+2x+4y=0C．x2+y2+2x-4y=0D．x2+y2-2x-4y=0【答案】C【解析】由(a-1)x-y+a+1=0得(x+1)a-(x+y-1)=0,∴该直线恒过点(-1,2),∴所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.即x2+y2+2x-4y=0.11.设二次函数y=x2-x+1与x轴正半轴的交点分别为A,B,与y轴正半轴的交点是C,则过A,B,C 三点的圆的标准方程是.【答案】(x-2)2+(y-2)2=5【解析】【思路点拨】先由已知求出A,B,C三点坐标,再根据坐标特点选出方程,求方程.由已知三个交点分别为A(1,0),B(3,0),C(0,1),易知圆心横坐标为2,则令圆心为E(2,b),由|EA|=|EC|得b=2,半径为,故圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.12.已知点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，则圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的方程为________．【答案】(x－2)2＋(y－2)2＝10【解析】由圆C：x2＋y2－6x－2y＝0得，圆心坐标为(3,1)，半径r＝，所以对称圆C′的圆心为(1＋1,3－1)即(2,2)，所以(x－2)2＋(y－2)2＝10.13.已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________．【答案】(x－2)2＋y2＝10【解析】依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程，得解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.14.已知圆：，则下列命题：①圆上的点到的最短距离的最小值为；②圆上有且只有一点到点的距离与到直线的距离相等；③已知，在圆上有且只有一点，使得以为直径的圆与直线相切.真命题的个数为A．B．C．D．【答案】D【解析】已知动圆的圆心的轨迹方程为：，所以动圆构成的轨迹为夹在抛物线和抛物线之间的部分（包括边界），所以①②③都满足题意【考点】圆的方程的性质、点、直线与圆的位置关系及其判断.15.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】化为标准方程为，为圆的弦的中点，∴圆心与点P确定的直线斜率为，∴弦所在直线的斜率为2，∴弦所在直线的方程为，即，故选D．【考点】圆的方程，直线与圆的位置关系，直线的斜率，直线的方程.16.能够把圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”,下列函数不是圆的“和谐函数”的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】只有D答案是偶函数，这个圆的圆心是，则奇函数会是该圆的“和谐函数”.【考点】1.对称性；2.奇偶性.17.已知P是圆C：上的一个动点，A(,1)，则的最小值为______.【答案】2(-1) .【解析】如图：作PQ^OA于Q，CD^OA于D，根据向量数量积的几何意义得min =|OA|·|OQ|min=|OA|·|OT|="2" (|OD|-1)=2(-1) .【考点】圆的标准方程及向量数量积.18.已知圆C经过两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于圆C经过两点，圆心在x轴上，那么圆心在线段AB的垂直平分线上，可中点为(2,3),斜率为3，则方程为y-3=3(x-2).可知，3x-y-3=0,同时令y=0,x=1,故可知圆心为（1，0），半径为，因此可知方程为，选D.【考点】圆的方程点评：主要是考查了圆的方程的求解，属于基础题。
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高三数学轨迹方程50题及答案求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法. (1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程. (2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.（5）交轨法若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程.(6)待定系数法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、选择题：1、方程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ） A 、x 2+y 2=1 B 、x 2+y 2=1(x ≠±1） C 、x 2+y 2=1(x ≠1） D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y)5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆 C 、中点在原点的双曲线 D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0)10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、x 2+y 2=21 B 、x 2+y 2=41 C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)yB 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)yC 、(x －2)2－(y+4)2=16D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（ ） A 、22(2)(3)149x y B 、22(2)(3)194x yC 、22(2)(3)194x y D 、22(2)(3)149x y13、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为 ( )A.14922=+y xB.14922=+x y C.14922=-y xD.14922=-x y14、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 ( )12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x15、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为 （ ） A 、x 2+y 2=2a 2 B 、x 2+y 2=4a 2 C 、x 2－y 2=4a 2 D 、x 2－y 2=a 2二、填空题：16、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 . 17、过原点的动椭圆的一个焦点为F （1，0），长轴长为4，则动椭圆中心的轨迹方程为 . 18、曲线x 2+4y 2=4关于点M （3，5）对称的曲线方程为 . 19、经过抛物线y 2=4x 的焦点的弦中点轨迹方程是 .20、倾斜角为4π的直线交椭圆42x +y 2=1于A 、B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程是 .21、两条直线ax+y+1=0和x －ay －1=0(a ≠±1）的交点的轨迹方程是 .三、解答题：22、已知动点p 到定点F （1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求p 点的轨迹方程.23、求以直线2:-=x l 为准线，原点为相应焦点的动椭圆短轴MN 端点的轨迹方程.24、设△ABC 的两顶点B 、C 坐标为（－1，0），（1，0），当∠BAC=3时，求动点A 的轨迹方程.25、线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，|AB|=2a ，|CD|=2b ，动点P 满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，求动点P 的轨迹方程．26、 点A(-1，0)、B(2，0)，动点M 满足2∠MAB=∠MBA ，求点M 的轨迹方程．27、已知椭圆162422y x +=1，直线l :812y x +=1, P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于R ，又点Q 在OP 上，且满足|OQ||OP|=|OR|2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.28、△ABC 的底边BC=16，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.29、（2007北京）矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程；（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．30、已知△ABC，A(-2，0)、B(0，-2)，第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．31、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.2007年11月20日 zishi 编辑第 4 页共 24 页32、已知定点A（3，0），p是圆O：x2+y2=1上的一动点，且∠AOP的平分线交直线PA于Q，求点Q的轨迹.33、点Q 为双曲线x 2－4y 2=16上任一点，定点A(0,4)，求内分AQ 所成比为21的点P 的轨迹.34、已知直线l 过原点与抛物线C ：y=x 2－2x+2有两个交点P 、Q 、M 为射线OP 上的点，且||1||1||1OQ OP OM +=（O 为原点），求M 的轨迹方程.35、过点A （0，a ）作直线与圆(x －2)2+y 2=1顺次相交于B 、C 两点，在BC 上取满足BP ：PC=AB ：AC 的点P ，（1）求点P 的轨迹方程.（2）证明不论a 取何值，轨迹恒过一定点.3、已知椭圆C:和点P （4，1），过P 作直线交椭圆于A 、B 两点，在线段AB 上取点Q ，使，求动点Q 的轨迹所在曲线的方程及点Q 的横坐标的取值范围.37、已知直线l 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 有且仅有一个交点Q ，且与x 轴、y 轴分别交于R 、S ，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程．38、（05广东）在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO （如图4所示）.（Ⅰ）求△AOB 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； （Ⅱ）△AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.39、（2005江西）21．（本小题满分12分）如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. （1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹方程.40、设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ． （Ⅰ）证明2a b =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．41、（已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．（I ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；（II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．42、设点A 和B 为抛物线y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)43、如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 的切线垂直，l 与抛物线C 相交于另一点Q.（Ⅰ）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程； （Ⅱ）当点P 在抛物线C 上移动时，求线段PQ 中点M 的 轨迹方程，并求点M 到x 轴的最短距离.44、双曲线2222by a x =1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.45、已知点P 在直线x=2上移动，直线l 通过原点且与OP 垂直，通过点A （1，0）及点P 的直线m 和直线l 交于点Q ，求点Q 的轨迹方程.46、如图，给出定点A(a,0) (a>0)和直线L：x=－1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C，求点C的轨迹方程.47、过抛物线y2=4px(p>0)的顶点作互相垂直的两弦OA，OB，（1）求AB中点p的轨迹方程.（2）求抛物线顶点O在AB上射影M的轨迹方程.（求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程.）48、已知两点P（－2，2），Q（0，2）以及一直线l：y=x，设长为2的线段AB（A在B下方）在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.49、已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(22=-+轴上的动点， QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点， （1）如果324||=AB ，求直线MQ 的方程； （2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程.50、已知椭圆C 的方程为222y x +=1，点P(a, b)的坐标满足≤+222b a 1，过点P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求： （1）点Q 的轨迹方程.（2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点个数.求轨迹方程答案1、C2、B3、B4、C5、B6、B7、C8、C9、A 10、D 11、B 12、A 13、C 14、C 15、D 16、22220xy xy 17、2219()24xy 18、22(6)4(10)4x y19、22(1)yx 20、4440(55)55x yx21、221010({{x x y y x yx y 且) 22、2412(4){x x y(03)(34)x x23、解：设M （x ，y ），过M 作l MA ⊥于A ，22||y x MO +=，2||+=x MA ，∴e x y x =++222，又过M 作x O M ⊥'轴于O ＇，因为点M 为短轴端点，则O ＇必为椭圆中心，∴c x O O =='||，22||y x a MO +==，∴22yx x ac e +==，∴22222yx x x y x +++化简得y 2=2x ，∴短轴端点的轨迹方程为y 2=2x （x ≠0）.24、2234()33x y(y>0)和2234()33x y(y<0) 25、解 以AB 中点O 为原点，直线AB 为x 轴建立直角坐标系，如图2-4所示．设P(x ，y)，又A(-a ，0)、B(a ，0)、C(0，-b)、D(0，b)，由题设知|PA|·|PB|=|PC|·|PD|．26、解 设点M(x ，y)，∠MAB=α，则∠MBA=2α， tan α=k MA =(1)∵∠MBA=2∠MAB ，∴|MA|＞|MB|．(2)当∠MBA=90°时，MB 的斜率不存在，此时△MAB 为等腰直角三角形，求得点M(2，3)或M ′(2，-3)．经验证，点M 或M ′在曲线上． (3)当点M 为线段AB 的内分点时，满足题设∠MBA=2∠MAB ，∴y=0，且-1＜x ＜2是轨迹的一个方程． (4)点M 在x 轴下方时，∠MBA 为MB 的倾斜角，此时MA 的倾斜角为π-∠MAB ．用同样的方法，可求得上述方程．27、2223460(00)x y x y x y 且28、以直线BC 为x 轴，线段BC 的中点为原点建立直角坐标系2222(1)1(0)10036(2)1(0)900324x y y x yy 29、解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-． 又因为点(11)T -，在直线AD 上， 所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．即320x y ++=．（II ）由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，解得点A 的坐标为(02)-，， 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，．所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心． 又22(20)(02)22AM =-++=．从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=．（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，所以22PM PN =+，即22PM PN -=．故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为22的双曲线的左支． 因为实半轴长2a =，半焦距2c =．所以虚半轴长222b c a =-=．从而动圆P 的圆心的轨迹方程为221(2)22x y x -=-≤ 30、解 设△ABC 重心为G(x ，y)，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)，由重心坐标公式得∴y=9x 2+12x+3，即为所求轨迹方程．31、解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. 32、29(3)16xy 33、2294(38)16x y34、220(22)y x y x35、（1）22222323230()44aa aa x ay ya a （2） 3(,0)236、解：设()),(),(,,2211y x Q y x B y x A ，，则由QBAQPB AP -=可得：x x x x x x --=--212144，解之得：)(82)(4212121x x x x x x x +--+=（1）设直线AB 的方程为：1)4(+-=x k y ，代入椭圆C 的方程，消去y 得出关于 x 的一元二次方程：()08)41(2)41(412222=--+-++k x k k x k（2）∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+-=+.128)41(2,12)14(42221221k k x x k k k x x 代入（1），化简得：.234++=k k x (3) 与1)4(+-=x k y 联立，消去k 得：().0)4(42=--+x y x在（2）中，由02464642>++-=∆k k ，解得41024102+<<-k ，结合（3）可求得 .910216910216+<<-x 故知点Q 的轨迹方程为：042=-+y x （910216910216+<<-x ）. 37、 解：从直线l 所处的位置, 设出直线l 的方程,由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(≠+=k m kx y 代入椭圆方程，222222b a y a x b =+ 得 .)2(22222222b a m kmx x k a x b =+++ 化简后，得关于x 的一元二次方程.02)(222222222=-+++b a m a mx ka x b k a于是其判别式).(4))((4)2(222222222222222m b k a b a b a m a b k a m ka -+=-+-=∆ 由已知，得△=0．即.2222m b k a =+ ①在直线方程m kx y +=中，分别令y=0，x =0，求得).,0(),0,(m S kmR -令顶点P 的坐标为（x ，y ）， 由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.,.,y m x y k m y k m x 解得 代入①式并整理，得 12222=+y b x a , 即为所求顶点P 的轨迹方程．38、（I ）设1122(,),(,),(,)G x y A x y B x y ，则消去1212,,,x x y y 得2223y x =+； （II ）222244112212111()()2222AOB S OA OB x y x y x x ∆==++=++ 21212()212x x ≥+=，当4412x x =，即121x x =-=-时，等号成立.39、解：（1）设M （y 20,y 0），直线ME 的斜率为k(l>0) 则直线MF 的斜率为－k ，).(200y x k y y ME -=-∴的方程为直线⎪⎩⎪⎨⎧=-=-∴xy y x k y y 2200)(由消0)1(002=-+-ky y y ky x 得2200)1(,1kky x k ky y F F -=∴-=解得 ).(2142)1()1(1102022022000定值y k ky k k ky k ky k ky k ky x x y y k F E F E EF-=-=+---+--=--=∴所以直线EF 的斜率为定值（2）,1,45,90==∠=∠k MAB EMF 所以时当).(200y x k y y ME -=-∴的方程为直线).1,)1((,0202200y y E xy y x y y --⎪⎩⎪⎨⎧=-=-得由 同理可得)).1(,)1((020y y F +-+设重心G （x , y ），则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--+=++=+=++-+=++=33)1()1(33323)1()1(3000020202020y y y y x x x x y y y y x x x x F E M F E M).32(2729120>-=x x y y 得消去参数40、（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中0y >．由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，即222221a b y a b-+=． 解得2b y a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．直线1AF 的方程为2()2b y x c ac=+，整理得2220b x acy b c -+=． 由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF，即23c =将222c a b =-代入上式并化简得222a b =，即a =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．过点O 作1OB AF ⊥，垂足为B ，易知1F BO △∽12F F A △，故211BO F AOF F A=． 由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =，所以2212132F AF A F A a F A==-， 解得22aF A =，而22b F A a =，得22b a a =，即a =． （Ⅱ）解法一：设点D 的坐标为00()x y ，．当00y ≠时，由12OD Q Q ⊥知，直线12Q Q 的斜率为0x y -，所以直线12Q Q 的方程为0000()x y x x y y =--+，或y kx m =+，其中00x k y =-，200x m y y =+．点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，．将①式代入②式，得2222()2x kx m b ++=， 整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=，于是122412km x x k+=-+，21222212m b x x k -=+． 由①式得2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k =++=+++2222222222242121212m b km m b k k km m k k k ---=++=+++··．由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得22222322012m b b k k --=+， 22232(1)m b k =+．将200000x x k m y y y =-=+，代入上式，整理得2220023x y b +=．当00y =时，直线12Q Q 的方程为0x x =，111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩，．所以120x x x ==，12y =，． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=，即22200202b x x --=， 解得22023x b =．这时，点D 的坐标仍满足2220023x y b +=． 综上，点D 的轨迹方程为 22223x y b +=． 解法二：设点D 的坐标为00()x y ，，直线OD 的方程为000y x x y -=，由12OD Q Q ⊥，垂足为D ，可知直线12Q Q 的方程为220000x x y y x y +=+．记2200m x y =+（显然0m ≠），点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ①． ②由①式得00y y m x x =-． ③由②式得22222200022y x y y y b +=． ④将③式代入④式得222220002()2y x m x x y b +-=．整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=， 于是2220122200222m b y x x x y -=+． ⑤ 由①式得00x x m y y =-． ⑥由②式得22222200022x x x y x b +=． ⑦将⑥式代入⑦式得22222000()22m y y x y x b -+=，整理得2222220000(2)220x y y my y m b x +-+-=， 于是222012220022m b x y y x y -=+． ⑧ 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将⑤式和⑧式代入得2222220022220000222022m b y m b x x y x y --+=++， 22220032()0m b x y -+=．将2200m x y =+代入上式，得2220023x y b +=．所以，点D 的轨迹方程为22223x y b +=． 41、解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． 解法一：（I ）设()M x y ，，则则1(2)FM x y =+，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，，由1111FM F A F B FO =++得121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩，即12124x x x y y y+=-⎧⎨+=⎩， 于是AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，121224822yy y y x x x x -==----，即1212()8y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-． 将1212()8y y y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．（II ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=． 则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-， 于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++--222222(12)2442(12)11m k m m m m k k -+-=+=-++--． 因为CA CB 是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =1-．当AB 与x 轴垂直时，点A B ，的坐标可分别设为(2，(2，， 此时(12)(12)1CA CB =-=-，，． 故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．解法二：（I ）同解法一的（I ）有12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩， 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=． 则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-． 21212244(4)411k k y y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭． 由①②③得22441k x k -=-．…………………………………………………④ 241k y k =-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，4x k y -=，将其代入⑤有 2222444(4)(4)(4)1x y x y y x x y y -⨯-==----．整理得22(6)4x y --=． 当0k =时，点M 的坐标为(40)，，满足上述方程． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=． （II ）假设在x 轴上存在定点点(0)C m ，，使CA CB 为常数，当AB不与x轴垂直时，由（I）有212241kx xk+=-，2122421kx xk+=-．以上同解法一的（II）．42、解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有。