二次根式讲解大全Word
初中二次根式的知识点归纳
初中二次根式的知识点归纳一、定义1、二次根式：又称二次多项式，指的是二次项不为零的多项式，即具有ax^2 + bx + c 的多项式，其中a≠o。
二、概念1、二次项：又称“平方项”，形式为 ax^2，指的是以被平方的变量为指数的多项式，一般用系数a来表示，a可以是实数或复数。
2、一般式：指具有ax^2 + bx + c 的二次多项式，其中 a、b、c可以是实数或复数，此式也叫二次根式。
3、系数：指二次根式 ax^2 + bx + c 中的 a、b、c，称为它的系数。
三、展开1、运用乘积平方公式，可把二次根式拆分展开：ax^2 + bx + c = a(x + b/2a)^2 - (b^2)/(4a) + c2、如果二次根式没有复数系数，可以使用完全平方公式，将二次根式展开为两项，形式为：ax^2 + bx + c = (x + a1)^2 + c1。
四、解决方式1、平方根法：指将平方根和立方根准确到小数点后两位加减法，称之为平方根法。
2、完全平方公式：将ax^2 + bx + c = (x + a1)^2 + c1 方法，此方法可将一般式Ax^2+bx+c转换为(x+a1)^2+c1的形式，采用此方法可以直接求出根式的解。
3、因式分解法：此方法适用的几何平均数，多次乘方求和，解析求根，其中包含了一些基本算术技巧，比如乘法交换律，变乘法公式等。
五、配套计算器的使用1、计算机的完成二次根式的算子运算，是根据一般式 ax^2 + bx + c = 0 这种二次根式，采用特定的算子运算，得到根式的解及解的类别。
2、计算机在进行算子运算时，根据具体情况采用不同的算子算法，从而得出不同的解，如采用二次公式，可以得出根式的解及解的类别。
3、计算机给出的结果即为根式的解，如配套的计算器能够得到，ax^2+bx+c=0的两个实数根，或有2个复根的情况。
六、实际应用1、二次根式的实际运用比较广泛，它可以用来准确表达物理现象，例如平抛运动中的受力，圆锥曲面等物理现象等。
(完整word版)二次根式知识点复习,文档
二次根式复习【知识回忆】1. 二次根式： 式子 a 〔 a ≥ 0〕叫做二次根式。
2. 最简二次根式： 必定同时满足以下条件：⑴被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ； ⑵被开方数中 不含分母 ； ⑶分母中 不含根式 。
3. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4. 二次根式的性质：〔1〕〔2〔 a ≥ 0〕；〔2〕a 〕 = a 2aa 5. 二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，尔后合并同类二次根式即可。
⑵二次根式的乘除运算：a 〔 a ＞0〕0 〔 a =0〕；a 〔 a ＜ 0〕① ab =a ?b 〔 a ≥ 0,b ≥ 0〕；②aaba 0,b 0b【例题讲解】例 1 计算：〔1〕 (3)2 ；〔2〕 (2 ) 2 ； 〔3〕 ( a b )2〔a+b ≥ 0〕3解析：依照二次根式的性质可直接获取结论。
例 2 计算：⑴6·15⑵ 1 ·24⑶ a 3 · ab 〔 a ≥ 0，b ≥ 0〕2解析：本例先利用二次根式的乘法法那么计算， 再利用积的算术平方根的意义进行化简得出计算结果。
例 3计算：〔1〕32+23－22+3〔 2〕12 +18 － 8 －32〔 3〕40 －1 +10510【基础训练】1．化简：〔 1〕72____ ；〔2〕252242___ __；〔3〕612 18 ____；〔4〕75x3 y2 (x0, y0) ____；〔5〕204_______ 。
2.(08 ，安徽 ) 化简42=_________。
3. 〔 08，武汉〕计算 4 的结果是Ａ .2Ｂ．± 2Ｃ． -2Ｄ． 44. 化简：〔1〕〔 08，泰安〕9 的结果是；〔 2〕〔 08，南京〕12 3 的结果是；〔3〕(08 ，宁夏 ) 528 =；〔 4〕〔 08，黄冈〕 5 x -2x =_____ _；5．〔 08，重庆〕计算82的结果是A、 6B、 6C、 2D、 26．〔 08，广州〕 3 的倒数是。
初中数学二次根式经典讲解
初中数学二次根式经典讲解一、知识要点概述1、二次根式：式子叫做二次根式．2、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式．(1)被开方数的因数是整数，因式是整式．(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．4、二次根式的主要性质5、二次根式的运算(1)因式的外移和内移如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外；如果被开方数是多项式的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外．反之，也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去．(2)有理化因式与分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，将分母中的根号化去，叫做分母有理化．(3)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式．(4)二次根式的乘除法二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)所得的积(商)仍作积(商)的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式．(5)有理数的加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．二、典例剖析分析：因一个等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，仔细观察两被开方数互为相反数，不妨从二次根式定义入手．例3、已知xy＞0，化简二次根式的正确结果是（）A．B．－C．D．－分析：解题的关键是首先确定被开方式中字母的符号，既可以化简被开方式，又可把根号外的因式移入根号内．说明：运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”与“逆用”特别地字母因式由根号内(外)移到根号(外)内时必须考虑字母因式隐含的符号．例6、已知，求a＋b＋c的值．分析：已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢？考虑从配方的角度试一试．点评：应用非负数概念和性质是初中代数解题的常用方法之一，|a|，a2n，是三种重要的非负数表现形式．判断一个数是否为非负数，最关键的是看它能否通过配方得到完全平方式，如：在解多变元二次根式，复合二次根式等问题时，常用到配方法，如化简二次函数的图象与性质主讲：童丽丹知识要点概述1、二次函数的定义：如果y=ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)，那么y叫x的二次函数．2、二次函数的图象：二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线．3、二次函数的解析式有下列三种形式：(1)一般式：y=ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y=a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)交点式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)，这里x1，x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标．确定二次函数的解析式一般要三个独立条件，灵活地选用不同方法求出二次函数的解析式是解与二次函数相关问题的关键．4、抛物线y=ax2＋bx＋c中系数a、b、c的几何意义抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴是，顶点坐标是，其中a的符号决定抛物线的开口方向．a>0，抛物线开口向上，a<0，抛物线开口向下；a，b同号时，对称轴在y轴的左边；a，b异号时，对称轴在y轴的右边；c确定抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方还是下方．5、抛物线顶点式y=a(x－h)2＋k(a≠0)的特点(1)a>0，开口向上；a<0，开口向下；(2)x=h为抛物线对称轴；(3)顶点坐标为（h，k）．依顶点式，可以很快地求出二次函数的最值．当a>0时，函数在x=h处取最小值y=k；当a<0时，函数在x=h处取最大值y=k．6、抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的联系与区别抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，位置不同．前者是后者通过“平移”而得到．要想弄清抛物线的平移情况，首先将解析式化为顶点式．7、抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为A、B，且方程ax2＋bx＋c=0的两根为x1，x2，则有A(x1，0)，B(x2，0)．典型剖析例1、已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示．下列结论：①a＋b＋c<0；②a－b＋c>0；③abc>0；④b=2a．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1解：选A．令x=1及由图象知a＋b＋c<0，①正确；令x=－1及由图象a－b＋c>0，②正确；由对称轴知，④正确；由④知a、b同号且抛物线与y轴的交点在x轴上方，即c>0，故③正确．所以选A．例2、二次函数y=x2＋(a－b)x＋b的图象如图所示．那么化简的结果是____________．解：原式=－1．∵图象与y轴交点在x轴上方，∴b＞0．又∵图象的对称轴在y轴右边且二次项系数为1，一次项系数为a－b，例3、已知抛物线y=x2－(2m＋4)x＋m2－10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．(1)用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；(2)若AB的长为，求抛物线的解析式．解：(1)∵y=x2－(2m＋4)x＋m2－10=[x－(m＋2)] 2－4m－14，∴顶点C的坐标为(m＋2，－4m－14)．(2)∵A、B是抛物线y=x2－(2m＋4)x＋m2－10与x轴的交点且|AB|=，化简整理得：16m=－48，∴m=－3．当m=－3时，抛物线y=x2＋2x－1与x轴有交点且AB=，符合题意．故所求抛物线的解析式为y=x2＋2x－1．例4、如果抛物线y=－x2＋2(m－1)x＋m＋1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b．(1)求m的取值范围；(2)若a︰b=3︰1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式．解：(1)设A、B两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)．∵A、B分处原点两侧，∴x1x2<0，即－(m＋1)<0，得m>－1．又∵△=[2(m－1)]2－4×(－1)(m＋1)=4m2－4m＋8=4(m－)2＋7>0，∴m>－1为m的取值范围．(2)∵a︰b=3︰1．设a=3k，b=k(k>0)，则x1=3k，x2=－k．例5、已知某二次函数，当x=1时有最大值－6，且其图象经过点（2，－8）．求此二次函数的解析式．解：∵二次函数当x=1时有最大值－6，∴抛物线的顶点为（1，－6），故设所求的二次函数解析式为y=a(x－1)2－6．由题意将点（2，－8）的坐标代入上式得：a(2－1)2－6=－8，∴a=－2，∴二次函数的解析式为y=－2(x－1)2－6，即y=－2x2＋4x－8．例6、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．(1)请判断实数a的取值范围，并说明理由；(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C．当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值．解：（1）由图象可知：a<0，图象过点（0，1），∴c=1．图象过点（1，0），∴a＋b＋c=0，∴b=－(a＋c)=－(a＋1)．由题意知，当x=－1时，应有y>0，∴a－b＋c>0，∴a＋(a＋1)＋1>0，∴a>－1，∴实数a的取值范围是－1<a<0．(2)此时函数为y=ax2－(a＋1)x＋1,与x轴两交点A、C之间的距离为例7、根据下列条件，求抛物线的解析式．(1)经过点（0，－1），（1，），（－2，－5）；(2)经过点（－3，2），顶点是（－2，3）；(3)与x轴两交点（－1，0）和（2，0）且过点（3，－6）．分析：求解析式应用待定系数法，根据不同的条件，选用不同形式求二次函数的解析式，可使解题简捷．但应注意，最后的函数式均应化为一般形式y=ax2＋bx＋c．解：（1）设y=ax2＋bx＋c，把（0，－1），（1，），（－2，－5）代入得方程组∴解析式为y=＋x－1．（2）设y=a(x＋2)2＋3，把（－3，2）代入得2=a(－3＋2)2＋3，解得a=－1．解析式为y＝－x2－4x－1.（3）设y=a(x＋1)(x－2)，把（3，－6）代入得－6=a(3＋1)(3－2)，解得．∴解析式为y=(x＋1)(x－2)，即．函数的应用主讲：童丽丹一、知识要点概述命题趋势分析：函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的热点．由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力和较好的区分度，因此每年中考试卷中都要出现与函数有关的题目，而且多以压轴题出现．1、函数与方程的综合主要是二次函数与一元二次方程、一次函数与二元一次方程组的综合较多，常涉及到一元二次方程的解法、根与系数关系以及根的判别式；方程组的解法，有时也涉及到分式方程的解法，关键是把函数的问题转化为方程(组)的问题，但是，仅含方程与函数的综合题型不多，而是与面积、存在性、开放性、探索性等问题糅合在一起的命题较多．2、函数与图形的面积综合题，通常出现在压轴题中的某一小题中占3—5分，主要类型有：已知函数的解析式，求有关三角形、四边形和不规则的多边形面积，其中以求三角形、四边形的面积为主；已知图形的面积，求函数关系式或某些特殊点的坐标，还有求面积关于某个变量的函数关系式等，函数与图形面积问题是中考中热门问题，题型常考常新，体现了数形结合的思想、转化的思想、分类讨论思想等．3、函数与几何的综合题几乎每份中考试卷都有函数与几何的综合题，是因为函数题目体现了数与形的结合，体现了代数知识与几何知识的灵活运用，它能考查许多知识点，考查学生的分析问题、综合运用知识解决问题的能力，函数与几何的综合，主要包括一次函数、二次函数与三角形、四边形与圆的综合、涉及全等三角形、直角三角形、直角三角形与圆的有关知识，一般有3—4个小题，占分约12—16分，是一类很热门的题目，常有存在性、开放性与分类讨论的题目．二、典型例题剖析例1、已知抛物线与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)两点与y轴交于C点，O为坐标原点．(1)求m的取值范围；(2)若且OA＋OB=3OC，求抛物线的解析式．分析：一元二次方程与二次函数的关系是：抛物线y=ax2＋bx ＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标x1，x2是一元二次方程ax2＋bx ＋c=0(a≠0)的两根，从而可利用根的判别式及根与系数的关系来解二次函数与x轴相交的有关问题．另外OA=|x1|，OB=|x2|体现了数形结合．解：(1)∵抛物线与x有两个不同的交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴(2)∵A(x1，0)，B(x2，0)是抛物线与x轴的两个交点，∴x1，x2是方程的两个不等实根，∴x1＋x2=－24mx1x2=8(18m2－m)，∴x1＋x2＜0x1x2＞0∴x1与x2同负∵C点的坐标为C(0，18m2－m)，∴OC=|18m2－m|=18m2－m又∵OA＋OB=3OC∴－x1－x2=3(18m2－m)即－(－24m)=3(18m2－m)点评：抛物线与x轴有两个交点，就可以转化为一元二次方程的△＞0，要根据x1＋x2与x1·x2的符号来确定x1与x2的符号，从而得|x1|与|x2|去绝对值后的值．求出m有两个值后，要及时地检验，舍去不合题意的m值，这些都是在解函数与方程有关综合题时应注意的地方，也是易错点．例2、某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元．但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P与x的函数表达式．(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000元，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本)解：(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x个，则因此当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好为51元．(2)当0≤x≤100时，P=60．当100＜x＜550时，当x≥550时，P=51．(3)设销售商一次订购量为x个时，工厂获利为W元．当x=550时，W=6000 ；当x=1000时，W=11000．因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获利6000元，若订购1000个，利润是11000元．例3、已知二次函数y=x2＋bx＋c与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，其顶点坐标为，AB=|x1－x2|，若S△APB=1，则b与c的关系式是（）A．b2－4c＋1=0B．b2－4c－1=0C．b2－4c＋4=0D．b2－4c－4=0例4、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点Q（0，2），顶点P在第一象限且S△ABP=2S△ABQ．若R(－1，－4)在抛物线上，求抛物线的解析式．分析：设一般式y=ax2＋bx＋c由S△ABP=2S△ABQ可知P点的纵坐标为4，根据顶点坐标公式，得到一个方程，再把Q、R两点坐标代入一般式中，又得到两个方程，由这三个方程组成一个方程组，可求出a、b、c的值．例5、《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%(纳税款=应纳税所得额×对应的税率) 按此规定解答下列问题：(1)设甲的月工资、薪金所得为x元(1300＜x＜2800)需缴交的所得税款为y元，试写出y与x的函数关系式．(2)若乙一月份应交所得税款95元，那么他一月份的工资、薪金是多少元？分析：本题是用列表法表示的分段函数型应用题，解题的关键是理解税率表，要将超800元部分分段，每段对应不同的税率，应交税款是每段税款之和．解：(1)因为甲的月工资、薪金所得x元，而1300＜x＜2800．∴500＜x－800＜2000，所交税款由两部分组成．500元按税率5%交税，另一部分(x－800－500)元，按10%交税，故y与x之间的函数关系式为y=500×5%＋(x－800－500)×10%=(x－1300)×10%＋25(2)根据第(1)小题中，当收入在1300元至2800元之间时，纳税在500×5%=25元至500×5%＋(2800－800－500)×10%=175(元)之间，由于乙职工纳税95元，知他的工资、薪金肯定在1300元至2800元之间，适用(1)的函数关系式：∴95=(x－1300)×10%＋25解得x=2000．例6、如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC．(1)求△ABC的面积；(2)如果在第二象限内有一点，试用含a的式子表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP的面积与△ABC的面积相等时a的值．(3)在x轴上，是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．(3)因为△ABM为等腰三角形，分类讨论：1°以AB为底边的等腰△ABM，则AB的中垂线与x轴的交点为M，可求出M1的坐标为2°，以AB为腰的等腰△ABM，以B为圆心，AB为半径画弧交x轴于点M2，可求出其坐标为；以A为圆心，AB为半径画弧交x轴于点M3，M4可求其坐标为故满足条件的点M有4个，三角形主讲：童丽丹一、知识要点概述1、定义：由不在同一直线上的三条线段顺次首尾相接而成的封闭图形叫三角形．2、三角形的分类（1）按边分（2）按角分3、三角形的一些重要性质（1）边与边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；（2）角与角的关系：三角形内角之和等于180°，一个外角大于任何一个和它不相邻的内角且等于和它不相邻的两内角之和；4、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等，反之，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等边对等角、等角对等边）；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角形三线合一）．5、等边三角形的性质等边三角形的三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°．6、等边三角形的判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．7、直角三角形的性质（1）直角三角形的两锐角互余；（2）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边长的一半；（3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边长的一半；（4）直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．8、直角三角形的判定（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有一边的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；（3）若一个三角形中，有两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对角是直角．9、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．10、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应角相等、对应线段（边、高、中线、角平分线）相等；（2）全等三角形的周长相等、面积相等．11、全等三角形的判定（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称“SAS”）；（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简称“ASA”）；（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简称“AAS”）；（4）有三边对应相等的两个三角形全等（简称“SSS”）；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）．二、典例例题剖析例1、若一个三角形的三条边长均满足方程x2－6x＋8=0，则此三角形的周长为__________．解：解方程x2－6x＋8=0得x1=2，x2=4．由题设的条件，三角形的三边长无外乎四种组合：2，2，2；4，4，4；2，2，4；2，4，4．其中2＋2=4，说明以2，2，4为边不能构成三角形，其他三组均符合三角形的形成条件．因此，所求三角形的周长为6或10或12．例2、如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD 与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情形，说明△ABC是等腰三角形．分析：本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理．这道题设计新颖，第（1）题是一道条件探索题，也是一道分类讨论题．第（2）题与第（1）题衔接十分紧密，很有创意．这种题型是中考热点题型，应引起重视．解：（1）依据等腰三角形的判定方法可知：满足①③，①④，②③，②④可判定△ABC是等腰三角形．（2）选择①④．已知：∠EBO=∠DCO，OB=OC，求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．又∵∠EBO=∠DCO，∴∠EOB＋∠OBC=∠DCO＋∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AC=AB，∴△ABC是等腰三角形．例3、已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成9cm和15cm两部分．求这个三角形腰长和底边长．解：如图，可设AB=AC=x，底边BC=y．又BD是中线，则AD=DC=．因为BD将△ABC的周长分成AB＋AD和BC＋CD两部分为9和15，由于未指明哪一部分是9，哪一部分是15，因此，有如下两种情况：（1）解得x=6，y=12，不满足三角形的三边关系，舍去．（2）解得x=10，y=4，满足三角形的三边关系．故这个三角形腰长为10cm，底边长是4cm．点评：方程思想是一种很重要的数学思想，解题时要注意重视，在解答本例时要注意两点：一是要注意分类讨论；二是求出解之后要检验（即所有解是否满足三角形三边之间的关系定理）．例4、已知，如图在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点．试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．分析：这是一道探究型试题，首选可大胆地猜想一个△MEF是Rt△，即要证明∠FME=90°，注意到M是BC的中点，可连结AM，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求证．解：△MEF是等腰直角三角形．证明：连接AM．∵AB=AC，∠BAC=90°，M点是BC的中点，∴AM==BM，且AM⊥BC于点M，∠MAB=∠MAC=∠BAC=45°．又∵DE⊥AC，DF⊥AB，AB⊥AC，∴DE//AB，DF//AC．而∠BAC=90°，∴四边形DFAE是矩形，∴DF=AE．∵DF⊥BF，∠B=45°，∴∠BDF=45°=∠B，∴BF=FD，∴AE=BF，∴△AEM≌△BFM（SAS），∴EM=FM，∠AME=∠BMF．∵∠BMF＋∠AMF=90°，∴∠AME＋∠AMF=90°，即∠EMF=90°，从而证明△EMF 是Rt△．又MF=EM，故△EMF是等腰直角三角形．例5、如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC 上一点，AE⊥BD交BD延长线于点E，且AE=．求证：BD是∠ABC的平分线．分析：AE边上的高与∠ABC的平分线重合，联想到等腰三角形．通过作辅助线构造全等三角形、等腰三角形．证明：延长BC、AE交于F点．∵AC⊥BC于点C，AE⊥BD于E，∴∠AED=90°，∠ACF=∠ACB=90°，∴∠1＋∠3=90°，∠2＋∠4=90°．又∠3＝∠4，∴∠1=∠2．又∵AC=CB，∴△ACF≌△BCD（ASA），∴AF=BD=2AE，则AE=EF．又∵∠AEB=∠BEF=90°，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠ABE=∠FBE，即BD是∠ABC的平分线．例6、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE＋CD．证明：在AC上截取AM=AE，连结FM.∴，∴，∴.又，∴.又.∴，又FC=FC ，.∴，∴CD=CM，∴AC=AE＋CD.例7、如图，已知O是等边△ABC内的一点，∠AOB、∠BOC、∠AOC的角度之比为6︰5︰4．求在以OA、OB、OC为边的三角形中，此三边所对的角度之比．解：以点A为中心将△AOB逆时针旋转60°得到△AO′C，则△AO′C≌△AOB，∴O′C=OB．连接O′O，则△AOO′为等边三角形．∴OO′=OA，故△OO′C为以OA、OB、OC为边组成的三角形．因为∠AOB︰∠BOC︰∠AOC=6︰5︰4，∠AOB＋∠BOC＋∠AOC=360°，∴∠AOB=144°，∠BOC=120°，∠AOC=96°，∴∠AO′C=∠AOB=144°，∴∠OO′C=∠AO′C－∠AO′O=144°－60°=84°，∠O′OC=∠AOC－∠AOO′=96°－60°=36°，∴∠OCO′=180°－∠OO′C－∠O′OC=180°－84°－36°=60°．故以OA、OB、OC为边组成的三角形中，其三边所对的角度比为60°︰36°︰84°=5︰3︰7．。
(完整word版)最新苏教版八年级下册数学第十二章二次根式知识点
第十二章二次根式一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成2232 。
二、二次根式的性质：★（ a ）2（a≥0）与a2的区别与联系：三、代数式用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。
例：3，x，x+y，3x （x≥0），-ab，st（t≠0，x3都是代数式注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）（1）将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。
如2x+3＞3x-5是关系式。
列代数式的常用方法：（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。
（2）公式法：根据公式列出代数式。
（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。
四、二次根式的乘除1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
五、二次根式的乘法法则a ．b =ab （a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变（1）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。
二次根式讲义 Word
二次根式及其运算概述：二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法。
知识盘点：1、二次根式的性质：2、二次根式的运算法则：（5）3、设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅4、当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．典典例精析：例1 化简：点评：若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．例2 化简：点评：两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．解法1 配方法．配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法．例4 化简：点评：（1）将被开方数的化成分母是2的分数就可以按例3的方法解决了，还要注意开方时考虑符号；(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简。
例5：(2010湖北省荆门市)已知a ＝2b ＝2a b -的值． 点评：由于a+b 和ab 都是有理数，所以整体代人较为简便。
点评：考虑到被开方数的平方差特点待定系数法设原式为x ，两边平方可以使原式简化。
例7：化简441296222+--+-+++x x x x x x点评：本题的解法叫零点法，也叫分段讨论法，是解决绝对值题型的基本方法。
例8：设154-=a ，试求a a a 4223--的值。
点评：原式=a(a 2-2a-4)=a(a 2-2a+1)-5a ….通过配方巧妙解答，流畅自然。
例9：计算10121011101144++-++点评：设10,10,10424===a a a 则达到化繁为简之妙。
例10：已知a 、b 都是有理数，且347-是方程02=++b ax x 的解，求a+b 。
二次根式Microsoft Word 文档
（3）、 （4）
（5）、 （6）、
教学目标：
1.理解二次根式的概念及实际意义，了解被开方数必须是非负数的理由。运用二次根式知识解决相关问题。
2.学生经历运用已有知识解决问题的过程，抽象、概括二次根式的概念。
3.在探究二次根式相关知识的过程中，调动学生积极、主动的参与学习，提高学生探究与概括的能力，认识到数学知识来源于现实生活的思想意识。
一、自主学习：
运用已学知识和经验，完成下列各题.
1.面积为9m2的正方形的边长是＿＿m，面积，为S的正方形的边长是＿＿。 2.要修一个面积为18.84 m2圆形养鱼池，它的半径是＿＿m。（π取3.14）
3.一个物体从高出自由下落，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始下落时的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=＿
下面请大家讨论一下，下面式子中a的取值范围是什么
通过讨论大家很容易理解，很容易的知道a的取值范围a≥0.
因此，式子 成立的条件是： （a≥0.）
课后反思：
八年级数学学科导学案基地：五中基地主备人：于泽建
课题
16.1.1二次根式
例1当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
解：因为x-2≥0，所以x≥2；
所以当x≥2时， 在实数范围内有意义。
三、当堂检验：
1、填空
（1）、若 有意义，则x的取值范围是＿＿＿。
（2）若 有意义，则a的取值范围是＿＿＿。
2、当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
4.如果一个正数的平方等于a，那么这个正数可表示为＿＿。
通过对上面各题答案的观察、归纳、概括，于是得出：
新知：形如 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。“a”称为被开方数。“ ” 是“ ”的简写，“2”称为根指数，这里省略不写。
二次根式的知识点汇总
二次根式的知识点汇总二次根式是指含有平方根（开方）的代数式。
学习和掌握二次根式的知识点，对于进一步理解和应用高等数学和物理学等学科内容至关重要。
以下是二次根式的知识点汇总：一、基本概念与性质：1.平方根与二次根式的概念：平方根的定义及其在代数中的性质，二次根式的定义与示例。
2.约分与化简：二次根式的约分、化简及约分规则。
3. 同类二次根式的合并与分解：同类二次根式的合并与分解法则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm\sqrt{b})^2}$。
二、四则运算：1. 加减法：同类二次根式的加减法规则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm \sqrt{b})^2}$。
2. 乘法：二次根式的乘法规则，如$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。
3. 除法：二次根式的除法规则，如$\frac{a+b}{c+d}=\frac{(a+b)(c-d)}{(c+d)(c-d)}$。
4.有理化方法：如分子、分母都有二次根式时的有理化方法，分别是乘以共轭式和有理化因式。
三、二次根式的化简与证明：1.合并同类项：在二次根式的化简中，将同类项合并为一个二次根式。
2.分解因式：在二次根式的化简中，将二次根式分解为若干个二次根式相乘的形式。
3.公因式提取：在二次根式的化简中，提取公因式使其化简为整数或其他形式。
四、二次根式的应用：1.代数方程的解：使用二次根式求解一元二次方程。
2.几何意义：二次根式在几何中的应用，例如计算三角形的边长、面积等。
3.物理问题：通过建立代数模型和运用二次根式，解决物理问题，如自由落体、速度、力等。
五、常见的二次根式：1. $\sqrt{a^2}=，a，$，其中$a$表示任意实数。
2. $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，其中$a$和$b$分别表示任意非负实数。
(完整word)二次根式的运算
二次根式的运算编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨一、目标认知1。
学习目标（1)理解二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质及二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，并能利用它们进行计算和化简；（2）了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简；(3）理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；(4）会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算。
2.重点(1)理解，及利用它们进行计算和化简；（2)理解,及利用它们进行计算和化简；（3）最简二次根式的运用；（4)合并同类二次根式；(5）二次根式的混合运算.3。
难点（1)发现规律，归纳出二次根式的乘除法则；（2)会判定一个二次根式是否是最简二次根式，及二次根式的化简．二、知识要点梳理知识点一：二次根式的乘法法则:，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘。
要点诠释：(1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时,一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；（在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)（2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：（3）若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简,如.知识点二、积的算术平方根的性质，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
要点诠释：（1）在这个性质中,a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数,还是代数式，都必须满足才能用此式进行计算或化简,如果不满足这个条件,等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；（2）二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点三、二次根式的除法法则:,即两个二次根式相除,根指数不变,把被开方数相除.要点诠释：（1）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，其中,因为b在分母上，故b不能为0.（2）运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号。
(word完整版)二次根式知识点总结及常见题型,推荐文档
应用与书写规范:∵ A B 2 C 0 ,
A ≥0, B 2 ≥0, C ≥0
∴ A 0, B 0, C 0 . 该性质常与配方法结合求字母的值.
第1页
（2）
A B2
AB
A B
BA AA
B B;主要用于二次根式的化简.
（3） A
B
A2 B A 0
,其中 B ≥0;
A2 B A 0
（1）双重非负性: a ≥0, a ≥0;（主要用于字母的求值）
2
（2）回归性: a a （ a ≥0）;（主要用于二次根式的计算）
（3）转化性:
a2
a
a(a a(a
0) 0)
.（主要用于二次根式的化简）
重要结论:
（1）若几个非负数的和为 0,则每个非负数分别等于 0.
若 A B 2 C 0 ,则 A 0, B 0, C 0 .
a2 三、二次根式的乘法
一般地,有: a b ab （ a ≥0, b ≥0）
（1）以上便是二次根式的乘法公式,注意公式成立的条件: a ≥0, b ≥0.即参与乘法运算的 每个二次根式的被开方数均为非负数; （2）二次根式的乘法公式用于二次根式的计算;
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（3）两个带系数的二次根式的乘法为: m a n b mn ab （ a ≥0, b ≥0）; （4）二次根式的乘法公式可逆用,即有:
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例 6. 计算:
2
（1） 6 ;
2
（2） 2x 3 ;
（3） 3
2 3
2
.
2
分析:本题考查二次根式的性质: a a （ a ≥0）.该性质主要用于二次根式的计算.
2
解:（1） 6 6 ;
二次根式知识点总结大全
二次根式知识点总结大全二次根式是含有平方根的代数表达式，在高中数学中，学习和掌握二次根式的相关知识点是非常重要的。
下面是二次根式的知识点总结：一、二次根式的定义与性质1.定义：二次根式是形如√a的代数式，其中a为非负实数。
2.平方根的性质：a)非负实数的平方根是唯一的。
b)负实数不能作为平方根。
3.二次根式的性质：a)如果a≥0，则√a≥0。
即非负数的平方根是非负数。
b)如果a≥b≥0，则√a≥√b。
c)如果a>b≥0，则√a>√b。
二、二次根式的化简与运算1.化简二次根式：a) 利用化简公式√(ab) = √a · √b，可以将二次根式中的因数分解为二个较简单的二次根式。
b)利用化简公式√(a/b)=√a/√b，可以将二次根式中的因式进行有理化，即分子或分母有理化。
2.二次根式的四则运算：a)加减：对于同根号下的项，进行加减运算，其他项保持不变。
b)乘法：将同根号下的对应项相乘，其他项保持不变。
c)除法：将被除数和除数分别有理化后进行除法运算。
三、二次根式的大小比较1.二次根式的大小比较：a)在同号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分大小比较一致。
b)在异号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分的大小关系相反。
2. 已知ab≥0，√a ≥ √b的条件：a)若a≥0，b≥0，则√a≥√b。
b)若a<0，b<0，则√a≤√b。
c)若a<0，b≥0，则√a≤√b。
d)若a≥0，b<0，则√a≥√b。
四、求二次根式的值1.简单二次根式的值：如求√4的值等，可以直接得到结果。
2.复杂二次根式的值：如求√(2+√3)的值等，可以通过有理化的方法，先进行化简，再进行求值。
五、二次根式的应用1.几何应用：二次根式可以用来计算各种几何图形的边长、面积、体积等。
2.物理应用：在物理学中，二次根式可以用来求解力、速度、加速度等物理量。
3.经济应用：在经济学中，二次根式可以用来描述成本、效益等经济指标。
(word完整版)初二数学二次根式概念及性质讲义
二次根式的概念1、判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x2、计算 ： (1) 2)4((2) （3）2)5.0(（4）2)31(3、 x 取何值时，下列各二次根式有意义？①43-x ③ 4、（1）若a 的值为___________．（2）若在实数范围内有意义，则x 为（ ）。
A.正数B.负数C.非负数D.非正数【总结】 1、二次根式的基本性质(a )2=a 成立的条件是a ≥0，利用这个性质可以求二次根式的平方，如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2.2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。
【拓展延伸】1、(1)在式子xx +-121中，x 的取值范围是____________. (2)已知42-x +y x +2＝0，则x-y ＝ _____________.(3)已知y ＝x -3+23--x ,则x y = _____________。
2、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a=2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：5 0.35(2)在实数范围内因式分解72-x 4a 2-11【练习】A 组(一)填空题：1、2)3(x --2123⎪⎪⎫ ⎛2、 在实数范围内因式分解：（1）x 2-9= x 2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)（2） x 2 - 3 = x 2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____)（二）选择题：1、计算（ ）A. 169B.-13C±13 D.132、已知的值不能确定3、下列计算中，不正确的是 （ ）。
A. 3= 2)3( B 0.5=2)5.0( C .2)3.0(=0.3 D 2)75(=35B 组（一）选择题：1、下列各式中，正确的是（ ）。
(完整word版)二次根式知识结构
(完整word版)二次根式知识结构1、定义:一般的，式子a( a≥0 ) 叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a叫做被开方数。
（根号下的a可以是任意代数式,必须被看做一个整体。
）只有当a是一个非负数时，a才有意义。
2、性质：非负性：（1）根号下的a必须是非负数,表示为a≥0；（2）a（a≥0）本身是一个非负数．表示为a≥03、基本运算：(1）a（a≥0）的平方根是±a，a（a≥0)的算术平方根是a（2）2a＝│a│= 要特别注意:绝对值内代数式的正负性，绝对值内是一个整体。
（3)(a)2＝a（a≥0)(4）a·b＝ab（a≥0，b≥0）反过来：ab=a·b(a≥0，b≥0）(5）ab=ab（a≥0，b>0）反过来，ab=ab（a≥0,b>0）a (a≥0)-a (a＜0)二次根式4、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式;(2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式5、化简最简二次根式的方法：(1）把被开方数(或根号下的代数式）化成积的形式，即分解因式；(2) 化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化；基本概念运算1、加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式）进行合并。
（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
2、乘法:a·b＝ab（a≥0,b≥0），结果要化为最简二次根式。
3、除法：二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后把分母的根号化去。
把分母的根号化去，叫做分母有理化。
方法为：（1）分子、分母可以约分；（2）分子、分母都乘以分母的有理化因式。
常见的互为有理化因式有如下几类: ①与；②与;③与；④与．。
二次根式讲义
教学情况记录表课程类别□同步□串讲□其他（请注明类别:_____________________）本次课授课目标1、了解二次根式和最简二次根式的概念2、理解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算3、会确定二次根式有意义的条件教学重点二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算教学难点二次根式的混合运算教学步骤及内容一、错题回顾二、知识总结1、二次根式的概念（例1）一般地，我们把形如)0(≥aa的式子叫做二次根式.在二次根式中，a可以是一个数，也可以是一个代数式，但不管是什么形式，作为被开方数的a必须满足0≥a，当0<a时，二次根式无意义.也就是说，当被开方数0≥a时，二次根式才有意义.注意：二次根式的两个基本特征：一是根指数为2，二是被开方数为非负数.比如)1(1,0,2≥-aa等均是二次根式，而像1,32---a等均不是二次根式. 2、二次根式的性质（例2）（1）二次根式的非负性，即)0(0≥≥aa，这一性质也是非负数的算术平方根. （2）一个非负数的算术平方根的平方是它本身，即)0()(2≥=aaa.把公式)0()(2≥=aaa反过来就得到了式子)0()(2≥=aaa，也就是说，逆用这一性质，可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式.（3）任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值，即aa=2.3、积的算术平方根的性质（例3）积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即baba∙=∙).,0(≥≥ba注意：（1）在这个性质中，ba,可以是实数，也可以是代数式，但不管是实数，还是代数式，都必须使二次根式有意义，即0,0≥≥b a .要防止出现94)9()4(-⨯-=-⨯-这样的错误.（2）另外该性质并非局限于被开方数为两个因数，它可以推广到更多个，如)0,0,0(≥≥≥∙∙=c b a c b a abc .(3)如果一个二次根式的被开方数比较大，可以运用该性质将其分解为若干个，再分别运用a a =2化简二次根式.4、商的算术平方根的性质（例4）商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即).0,0)((>≥÷=÷=b a b a b a ba b a 或可以简单地说：商的算术平方根等于算术平方根的商.注意：（1）在运用商的算术平方根的性质解决有关计算时，一定要准确把握性质成立的条件，即被开方数的分子为非负数，而分母大于0.(2)如果被开方数是带分数，应先化成假分数，如412必须先化成49，注意412412⨯≠；如果被开方数是小数，应先化成分数，如5.0必须先化成21 5、最简二次根式（例5）定义：一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式如229,465,54,63都是最简二次根式.要注意分母中不能含有根号，如21不是最简二次根式.把二次根式化为最简二次根式时，当被开方数为小数或分数时，可运用商的算术平方根的性质变形，使被开方数化为整数；当被开方数为整数时，可以把它分解因数，再运用积的算术平方根的性质变形，化为最简二次根式.6、二次根式的乘法和除法（例6）（1）把积的算术平方根的性质)0,0(≥≥∙=b a b a ab 反过来写为)0,0(≥≥∙=∙b a b a b a ，则为二次根式的乘法法则，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式进行相乘的运算，如)0,0,0(≥≥≥=∙∙c b a abc c b a .二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即系数之积作为积的系数，被开方数之积作为被开方数.（2)把商的算术平方根的性质).0,0)((>≥÷=÷=b a b a b a ba b a 或反过来写为)00)((>≥÷=÷=b a b a b a b a ba ，或，则为二次根式的除法法则，即二次根式相除，就是把被开方数相除，根指数不变.注意：二次根式的乘、除法法则和积的算术平方根、商的算术平方根的性质互为逆运算，在计算和化简二次根式时可结合题目灵活运用，但始终要注意法则与性质成立的条件.7、分母有理化(例7）定义：把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化.例如36963232=== 注意：（1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式.(2）分母有理化的依据：分式的基本性质.(3）分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的二次根式.(4）分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜，如)0(>a a 的有理化因式是a .8、二次根式的合并（例8）合并被开方数相同的二次根式，把系数相加减，根指数和被开方数不变.方法与整式加减运算中的合并同类项类似，例如3233)2123(3213233=+-=+-.二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式.9、二次根式的加减法（例9)二次根式的加减法法则：二次根式的加减运算，就是将被开方数相同的项进行合并。
(完整word版)二次根式重点内容
次
1. 二次根式的定义:形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时,才有意义．
2。
二次根式的性质：
①②
③④
3。
二次根式的运算
二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．
（1）二次根式的加减：
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式)的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数．
（2）二次根式的乘法：
（3）二次根式的除法：
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
(4）二次根式的混合运算：
先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的;能利用运算律或乘法公式进行运算的,可适当改变运算顺序进行简便运算．
注意：进行根式运算时,要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成．
（5）有理化因式:
一般常见的互为有理化因式有如下几类:
①与；②与；
③与；④与．
说明:利用有理化因式的特点可以将分母有理化．。
(完整word版)二次根式的基本定义
知识点一:二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．注意理解：1、定义是从结构形式上定义的,必须含有二次根号。
根指数省略不写.不能从化简结果上判断，如，都是二次根式。
2、被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子.但前提条件是必须是大于或等于0.3、如果是给定的式子，就是有意义的.、4、形如b （a 的式子也是二次根式，b 与是相乘关系，当b 是分数时，写成假分数。
5、式子（a表示的是非负数。
6、+b （a 和形式是含有二次根式的式子,不能叫二次根式。
二次根式定义： 【例1】下列各式22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+,其中是二次根式的是_________（填序号)． 变式练习：1、下列各式中，一定是二次根式的是( ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个3、下列的式子一定是二次根式的是（ ） A ．B ．C ．D ．4、式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ;⑥ ；⑦ ⑧ 中是二次根式的代号为( ） A ．①②④⑥ B ．②④⑧C ．②③⑦⑧D ．①②⑦⑧【例2】若是正整数,最小的整数n 是（ )A ．6B ．3C ．48D ．2变式练习： 1、已知: 是整数，则满足条件的最小正整数n 的值是（ )A ．0B ．1C ．2D ．52、二次根式 是一个整数,那么正整数a 最小值是 ．注意掌握：1、二次根式具有双重非负性。
（a，2、如果式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数,分式中的分母不为0.3、如果式子中含有零指数幂或负整数指数幂，有意义的条件是，度数不为0。
【例3】来式子有意义的x 的取值范围是 源：学＊科＊网Z*X ＊X*K]变式练习：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ）A 、x 〉3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42221x x -+-x 的取值范围是 3、如果代数式mnm 1+-有意义,那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在( ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 【例4】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=变式练习：1、若11x x ---2()x y =+,则x －y 的值为（ ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数,且y=4x 233x 2+-+-,求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。
二次根式的化简及计算精编WORD版
二次根式的化简及计算精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】二次根式的化简及计算一、学习准备：1、平方根：如果 x2 = a，那么x叫做a的平方根。
若0a≥, 则a的平方根记为．2、算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
若0a≥, 则a的算术平方根记为_____．3100的_______，结果为_______．②表示4964的_______，结果为_____．③ 0.81的算术平方根记为___________，结果为_________．__________，__________．二、阅读理解4、二次根式的概念：”叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数。
在实数范围内，负数没有平方根，所以被开方数只能是正数或零，即被开方数只能是非负数。
5、积的算术平方根= = . =× = ，所以一般地a b = (0,0)a b ≥≥（注意：公式中,a b 必须都是非负数）积的算术平方根，等于 ．=例1、化简:（1 （2 （3 （4）0,0)a b ≥≥即时练习：计算（1 （2（3（4）6、二次根式的乘法=(0,0)a b ≥≥0,0)a b =≥≥．即：二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘．运用此公式，可以进行二次根式的乘法运算。
例2、计算 （1 （2）即时练习：计算（1（2 （3）(-7、商的算术平方根== ，23= == (0,0)a b ≥> 商的算术平方根，等于 。
化简（1 （2（3即时练习：化简（1 （2（3课堂检测1、计算:（1 （2 （3（42、设直角三角形的两条直角边分别为a, b, 斜边为c.（1）如果6,9,a b c ==求； （2）如果4,12,a c b ==求； （3）如果15,10,c b a ==求3、计算：（1 （2）（3 （44、化简（1 （2（38．根式分母有理化例1：把下列各式化为最简二次根式（1（2（3）即时练习：把下列和各式化为最简二次根式（1（2（3（4）x（2例2、把下列各式分母有理化:（1（3（2即时练习：把下列各式分母有理化课堂检测1、下列各式中哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由（1（2（3）32、把下列各式化为最简二次根式（1）（2）（3（4（23、把下列各式分母有理化:（19.同类二次根式概念：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．注意：判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须将不是最简二次根式的式子化为最简二次根式，再看它们的被开方数是否相同。
二次根式深度理解-概述说明以及解释
二次根式深度理解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数学、几何学以及物理学等领域中都有广泛的应用。
它由一个数与一个根号组成，常见的形式为√a，其中a是一个非负实数。
二次根式的特点之一是它可以表示正数、负数以及零。
二次根式的重要性在于它能够描述许多自然现象和数学问题。
例如，在几何学中，二次根式可以用来求解直角三角形中的斜边长；在物理学中，它可以表示物体的加速度、速度等；在代数学中，二次根式是许多方程的解。
本文的目的是帮助读者深入理解二次根式的概念、性质和运算，并探索二次根式在数学中的更多应用。
在接下来的部分，我们将首先介绍什么是二次根式，包括它的定义和一些基本性质。
然后，我们将进一步探讨二次根式的运算，包括加减乘除等操作。
最后，我们将总结二次根式的重要性，并深入思考二次根式在数学中的意义，以及对其进行进一步的探索和研究的可能性。
通过对二次根式的深入理解，我们可以更好地应用它们解决实际问题，提高数学能力，培养逻辑思维和创造力。
二次根式是数学中的一个精彩且复杂的主题，希望这篇文章能够帮助读者更好地理解和应用二次根式，在数学学习中取得更好的成绩。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述和探讨二次根式的深度理解：1. 引言：在本部分将对本文的主题进行概述，说明文章的目的以及结构安排。
2. 正文：本部分将详细介绍二次根式的相关内容，包括二次根式的定义、性质和运算。
具体来说，将从以下几个方面进行阐述：2.1 什么是二次根式：本节将对二次根式的概念进行解释和说明，包括二次根式的定义和基本形式。
2.2 二次根式的性质：本节将介绍二次根式的一些重要性质，如二次根式的非负性、分离性、加减性等，通过理解这些性质可以更好地掌握和运用二次根式。
2.3 二次根式的运算：本节将详细介绍二次根式的运算方法，包括二次根式的加减乘除以及乘法公式和除法公式的推导和应用。
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【知识回顾】1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a）2=a（a≥0）；（2）5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质例1下列各式 1-其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxya（a＞0）==aa2a-（a＜0）0 （a=0）；例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b 2、二次根式的化简与计算 例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.； B. －； C. －； D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()ba b b a a b ++++，其中a=51+，b=51-．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---3、在实数范围内分解因式 例. 在实数范围内分解因式。
（1）； （2）4、比较数值 （1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >a b >a b <a b <例1、比较35与53的大小。
（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。
例2、比较323（3）、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
例331-21-（4）、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
例4、比较1514-与1413-的大小。
（5）、倒数法例5、比较76-与65-的大小。
（6）、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
例6、比较73+与873-的大小。
（7）、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔< 例7、比较2131++与23的大小。
（8）、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①1a a b b>⇔>； ②1a a b b<⇔<例8、比较53-与23+的大小。
5、规律性问题例1. 观察下列各式及其验证过程：， 验证：；验证:.（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415的变形结果，并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程. 例2. 已知，则a _________发展：已知，则a ______。
例3、化简下列各式：（1）423+ （2）526-例4、已知a>b>0，a+b=6ab ，则a ba b-+的值为（ ）A ．22 B ．2 C ．2 D ．12例5、甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形：甲：==；乙：=。
其中，（ ）。
A. 甲、乙都正确B. 甲、乙都不正确C. 只有甲正确D. 只有乙正确【基础训练】1．化简：（1）72=__ __； （2）222524-=___ __； （3）61218⨯⨯=___ _；（4）3275(0,0)x y x y ≥≥=___ _； （5）_______420=-。
2.(08，安徽)化简()24-=_________。
3.（08，武汉）计算4的结果是Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4 4. 化简：（1）（08，泰安）9的结果是 ； （2）123-的结果是 ； （3）(08，宁夏)825-= ； （4）（08，黄冈）5x -2x =_____ _；（5）（08，宜昌）3＋（5－3）=_________； （6） ； （7）(08，荆门)＝________；（8）．5．（08，重庆）计算28-的结果是A 、6B 、6C 、2D 、2 6．（08，广州）3的倒数是 。
7. (08，聊城)下列计算正确的是 A ．B ．C ．D ．8.下列运算正确的是 A 、4.06.1= B 、()5.15.12-=- C 、39=- D 、3294= 9．（08，中山）已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是____________；10. 比较大小：３1011．（082x -x 的取值范围是 ． 12.(08，常州)5x +,则x 的取值范围是A.x >-5B.x <-5C.x ≠-5D.x ≥-513. (08，黑龙江)函数中，自变量的取值范围是 ．14.下列二次根式中，x 的取值范围是x ≥2的是A 、2－xB 、x+2C 、x －2D 、1x －215.（08，荆州）下列根式中属最简二次根式的是A.21a +B.12C.8D.27 16．（08，中山）下列根式中不是最简二次根式的是A ．10B ．8C ．6D ．217．（08，常德）下列各式中与是同类二次根式的是A ．2B ．C ．D ．18．下列各组二次根式中是同类二次根式的是A ．2112与B ．2718与C ．313与 D ．5445与 19.(08，乐山)已知二次根式与是同类二次根式，则的α值可以是A 、5B 、6C 、7D 、8 20．（08，大连）若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为A ．a 2B ．b 2C ．b a +D ．b a - 21.（08，遵义）若230a b -+-=，则2a b -= ． 22．（08，遵义）如图，在数轴上表示实数15的点可能是A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N23.计算： （1） （2）（3）（08，上海）． （4）（08，庆阳）．（5）27124148÷⎪⎭⎫⎝⎛+24.先将22x x --÷322x x x-化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值。
25.( 08，济宁)若，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．26.(08，济宁)如图，数轴上两点表示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是 A ．B ．C ．D ．过关测试 一、选择题： 1. 若在实数范围内有意义，则m 的取值范围是（ ）。
A. m≥2B. m>2C. m≤2D. m<2 2. 若=3，则x 的取值范围是（ ）。
A. x=0 B. －1≤x≤2 C. x≥2 D. x≤－1 3. 二次根式、、的大小关系是（ ）。
A. <<B. <<C. <<D.<<4. 下列式子中，正确的是（ ）。
A. （－3）（+3）=2 B. 5÷×=5 C. 2×（=2－1 D.（2－）（2+）2=－2－5. 使等式成立的实数a 的取值范围是（ ）。
A.a≠3 B. a≥，且a≠3 C. a>3 D.a≥6. 下列各组二次根式（a>0）中，属于同类二次根式的是（ ）。
A.C.7. 当0<x<2时，化简2的结果是（ ）。
A.8．下列运算正确的是（ ）A ．3273-=B ．0(π 3.14)1-=C ．1122-⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．93=±9．估计1832⨯+的运算结果应在（ ）A ．1到2之间B ．2到3之间C ．3到4之间D ．4到5之间 二、填空题：1. 已知a 、b 在数轴上的位置如图所示，－│b－a│的化简结果是______。
2 若x≠0，y≠0，则成立的条件是__________。
3. 已知m 是小于10的正整数，且可化为同类二次根式，m 可取的值有_______。
4. 如果xy=，x －y=5－1，那么（x+1）（x －1）的值为________。
5. 已知x =12，x=________。
6. 若a<－2，的化简结果是________。
三、解答题1.已知2，求（22121x x x x x x +---+）÷1x 的值．2．对于题目“化简求值：1a+2212aa+-，其中a=15”，甲、乙两个学生的解答不同．甲的解答是：1a+2212aa+-=1a+21()aa-=1a+1a－a=2495aa-=乙的解答是：1a+2212aa+-=1a+21()aa-=1a+a－1a=a=15谁的解答是错误的？为什么？3. 已知a、b、c均为实数，且=c。
化简。
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