2.7有理数的减法
2.7有理数的减法例题与讲解(2013-2014学年华师大七年级上)
2.7 有理数的减法1．有理数减法的法则(1)有理数减法的意义与小学学过的减法意义相同，已知两个数的和与其中的一个加数求另一个加数的运算叫做减法．减法是加法的逆运算．但是有理数的减法不像小学里那样直接减，而是把减法转化为加法，再按加法法则和运算律进行运算．(2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．用字母表示为：a －b ＝a ＋(－b )，a －0＝a ，0－a ＝0＋(－a )．(3)有理数减法运算的基本步骤是：①将减法转化为加法；②按有理数加法法则运算．(4)有理数的减法法则实际上是运算的转化，它体现了数学中的一种重要思想——化归思想，将减法运算化归为加法运算来完成．学习时注意理解以下几点：①弄清减数是什么？它的相反数又是什么？例如，在3－5中，减数是5而不是－5，运用法则转化为加法运算后是：3－5＝3＋(－5)；同样地，在3－(－5)中，减数是－5而不是5，转化为加法运算后是：3－(－5)＝3＋(＋5)或3＋5；②将减法运算转化为加法运算时，只改变减数的符号，而被减数不变．例如，运用法则把(－6)－(－8)转化为加法运算时，被减数－6不变，减数－8改变符号为＋8(或8)，减号“－”转化为加号“＋”，即(－6)－(－8)＝(－6)＋(＋8)，不要错误地做成(＋6)＋(＋8)； ③并不是所有的减法运算都要转化为加法运算．例如，计算15－5时，运用小学里学过的方法可以直接得出结果为10，而运用法则计算则要先转化为加法运算，然后再运用有理数加法法则进行计算，即15－5＝15＋(－5)＝10，如此运算反而显得复杂；④一般来说，当减数或被减数为负数，或两数“不够减”时才运用法则转化为加法运算．例如，0－(－2)＝0＋2＝2；3－(－3)＝3＋3＝6；(－2)－(－5)＝(－2)＋5＝3；(－6)－6＝(－6)＋(－6)＝－12；3－8＝3＋(－8)＝－5.谈重点 转化思想在减法运算中的应用 转化思想是中学数学中重要的思想方法之一，减法转化为加法便体现了这一思想．【例1】 计算：(1)(－9)－0；(2)0－(－5)；(3)0－5；(4)5－(－6)；(5)(－3.2)－(－7)；(6)⎝⎛⎭⎫－12－23. 分析：回忆有理数的减法法则，把有理数的减法转化为加法时，正数前面的正号通常省略不写，但负号不能省略．解：(1)(－9)－0＝(－9)＋0＝－9；(2)0－(－5)＝0＋(＋5)＝5； (3)0－5＝0＋(－5)＝－5；(4)5－(－6)＝5＋(＋6)＝11；(5)(－3.2)－(－7)＝(－3.2)＋(＋7)＝3.8；(6)⎝⎛⎭⎫－12－23＝⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－23＝－76. 2．有理数减法的应用有理数减法的应用比较常见的题型有(1)计算高度；(2)计算温差；(3)计算销售利润；(4)计算距离；(5)计算时差等．有理数减法的应用题虽然比较简单，却能让大家主动地从数学角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，充分体现课程标准所要求的“数学应用意识”．因此，我们要有意识地加强数学知识与现实生活联系密切的问题的训练，提高自己的能力．【例2】下表列出了外国几个城市与北京的时间差(带正号的数表示同一时刻比北京时间早的数值)城市东京纽约巴黎芝加哥时差＋1－13－7－14(1)(2)如果现在的纽约时间是7：00，那么现在的北京时间是多少？(3)远在芝加哥的姑妈，在当地时间是7：00时想给在巴黎的舅妈打电话，你认为合适吗？分析：通过审题发现：同一时刻，纽约时间相当于在北京时间的基础上，减去13个小时；相反，同一时刻，北京时间相当于在纽约时间的基础上，加上13个小时；同理，同一时刻，芝加哥时间相当于在巴黎时间的基础上减去7个小时．解：(1)因为7－13＝7＋(－13)＝－6，相当于18点(－6＋24＝18)，所以北京时间7：00时，纽约时间是前一天的18：00；(2)因为7＋13＝20，所以纽约时间7：00时，北京时间是当天的20：00；(3)我认为不合适．理由如下：因为7－7＝7＋(－7)＝0，所以巴黎时间7：00时，芝加哥时间是零点，此时是睡眠时间，不适合通电话．3．有理数减法运算中明确符号“－”的含义我们知道，“－”号在小学里就是减号，表示两个数做减法运算，在有理数中，符号“－”有三种含义：减号、负号、表示一个数的相反数．那么，在一个式子中，遇到“－”号时应按哪种含义来理解呢？例如，计算－(－5)－(＋8)时，式子中有三个“－”号，根据本题整体情况，第一个“－”号应理解为取(－5)的相反数，第二个“－”号应理解为负号，第三个“－”号可理解为减号．这样－(－5)－(＋8)＝(＋5)＋(－8)＝－3.再如，－9－5中，第一个“－”号理解为负号最为恰当，第二个“－”号可有两种理解，一是理解为负号，此时，－9－5就表示－9与－5省略了加号的和，即－9－5＝－9＋(－5)＝－14；再是理解为减号，据减法法则仍有－9－5＝－9＋(－5)＝－14.谈重点“－”号的双重身份“－”号有两个身份——性质符号、运算符号，“一号一用”是正确计算的前提．对于“－”号的含义，要结合题目的具体情况来确定，但要注意“一号一用”，即某个“－”号定为某种用途后，它就不能再来做另一种用途．【例3－1】计算：(1)(－15)－(－12)＝__________；(2)18－23＝__________；(3)25－(－25)＝__________；(4)96－69＝__________；(5)(3－7)－(9－12)＝__________.解析：(1)减数是－12，根据法则把减法化为加法时，被减数－15不变，减数－12变为它的相反数12，得(－15)－(－12)＝(－15)＋12＝－3；(2)减数是23，把“18－”化为“18＋”时，减数23要变为它的相反数－23，故18－23＝18＋(－23)＝－5；(3)被减数是25，减数是－25，先把减法运算转化为加法运算，得25－(－25)＝25＋25＝50；(4)直接用96减去69得27就可以了；(5)根据运算顺序，要先算括号里面的，再把结果相减．答案：(1)－3(2)－5(3)50(4)27(5)－1.【例3－2】计算：(1)－(－5)－(－7)－5－(－6)；(2)[(－4)－(＋8)]－[3－(－3)]．分析：(1)算式中的“－”号分别是一个数(－5)的相反数、负号、减号、负号、减号、减号、负号；(2)负号、减号、减号、减号、负号．解：(1)－(－5)－(－7)－5－(－6)＝5＋(＋7)－5＋(＋6)＝5＋7＋(－5)＋6＝13；(2)[(－4)－(＋8)]－[3－(－3)]＝[(－4)＋(－8)]－[3＋(＋3)]＝－12－6＝－18.4.“转化—求解”的思想方法有理数的减法是转化为加法来运算的，这种“转化－求解”的思想方法，是本节课应当重点掌握的．这与有理数绝对值的化简方法是一致的，例如求一个数的绝对值就要转化为求这个数本身或这个数的相反数．有理数的大小比较也可以转化为有理数的减法运算．我们知道较大的数减去较小的数，结果一定是正数；反之，较小的数减去较大的数，结果一定为负数；若两数相等，结果一定为0.即若a＞b，则a－b＞0；若a＜b，则a－b＜0；若a＝b，则a－b＝0.表现在数轴上就是右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数，结果为正数；反之，左边的点所表示的数减去右边的点所表示的数，结果为负数．解技巧求差法利用求两个有理数的差的方法可以比较有理数的大小．若a－b＞0，则a＞b；若a－b＜0，则a＜b；若a－b＝0，则a＝b.【例4－1】如果|a|＝3，|b|＝1，且a，b异号，求|a－b|的值．分析：本题是有理数减法与相反数和绝对值的综合，解题时应仔细思考它们各自的意义和运算的方法．绝对值等于3的有理数有两个，它们是3和－3；绝对值等于1的数也有两个，它们是1和－1.又根据a，b异号，可知a＝3时，b＝－1；a＝－3时，b＝1.从而求出|a －b|的值．解：∵|a|＝3，∴a＝3或－3.∵|b|＝1，∴b＝1或－1.又∵a，b异号，∴|a－b|＝|3－(－1)|＝4，或|a－b|＝|－3－1|＝4.综上|a－b|＝4.【例4－2】用“＞”或“＜”填空：(1)如果a＞0，b＜0，那么a－b______0，a______b；(2)如果a＜0，b＞0，那么a－b______0，a______b；(3)如果a＜0，b＜0，那么a－(－b)______0，a______－b；(4)如果a＝0，b＜0，那么a－(－b)______0，a______－b.解析：先按照减法法则把减法变成加法，代入特殊值求差，再根据两个数的差与其大小之间的关系判断两数的大小关系．答案：(1)＞＞(2)＜＜(3)＜＜(4)＜＜5．利用有理数减法求数轴上两点间的距离有理数的减法有着广泛的应用，求数轴上两点间的距离是有理数减法最典型的应用之一．数轴上任意两点之间的距离，都可以用数轴上表示这两点的有理数的差的绝对值来表示．点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为|AB|.(1)当两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b|.(2)当A，B两点都不在原点时，①点A，B都在原点的右边，如图，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②点A，B都在原点的左边，如图，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③点A，B在原点的两边，如图，|AB|＝|OA|＋|OB|＝|a|＋|b|＝a＋(－b)＝|a－b|.【例5－1】如图所示的数轴上，表示－2和5的两点之间的距离是__________，数轴上表示2和－5的两点之间的距离是__________，数轴上表示－1和－3的两点之间的距离是__________．解析：数轴上表示－2和5两点之间的距离是|－2－5|或|5－(－2)|；数轴上表示2和－5两点之间的距离是|2－(－5)|或|－5－2|；数轴上表示－1和－3的两点之间的距离是|－1－(－3)|或|－3－(－1)|.答案：77 2【例5－2】点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|，下面来探究在数轴上A，B两点之间的距离|AB|如何用数a，b来表示．回答下列问题：(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是________，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________；(2)数轴上表示x和－3的两点之间的距离表示为__________；(3)数轴上表示a，b的两点之间的距离表示为________．解析：本题阅读部分将计算数轴上两点A、B之间的距离，先由特殊到一般地展示其发生发展的过程，然后归纳概括出公式|AB|＝|a－b|，即数轴上任意两点之间的距离用表示这两点的有理数的差的绝对值表示．再根据这个公式解答问题．答案：(1)334(2)|x＋3|(3)|a－b|析规律数轴上两点间的距离公式数轴上两点A，B之间的距离公式是|AB|＝|a－b|，利用此公式可以求出数轴上任意两点之间的距离．解题时，注意求两个负数之间的距离时，要添加括号．。
2.7有理数的减法
相反数
这两个算式合起来有什么发现？
3+3=6
3-（-3）=
你还能找到类似的例子吗？
梯绎问未轿央蔼文希汾重祈赂吓播屹武用裔裸捣医漂杆什庸一耀拨狙拭祷2.7有理数的减法2.7有理数的减法
计算下列各式：
50 - 20 = ？ 50 - 10 =？ 50 – 0 =？ 50 -（-10）= ？ 50 -（-20）=？
8
6
4
13
1
2
7
秩阔呐痰循仇煽啤睁妙暂绕吐绚邹毅捎咬骆堰乃拔釉祭散坝骏悼小警七汞2.7有理数的减法2.7有理数的减法
例2 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰， 其海拔高度是 8844.43 米，吐鲁番盆地的海拔高度是 –155 米，两处高度相差多少米？
解：8844.43-（-155） =8844.43+155 =8999.43（米） 答：两处高度相差8999.43米。
惦个武厉韧书红峪剐吝镜丹与河敝姆井晃耿式且琼皿崖驳黍赛盔食胞买鹰2.7有理数的减法2.7有理数的减法
全国北方主要城市天气预报
城市
天气
最高温
最低温
温差
西安
多云
15
7
兰州
小雨
9
5
哈尔滨
小雪
3
-3
银川小雪Leabharlann 0-1沈阳
小雪
5
-2
呼和浩特
雨夹雪
-1
-3
乌鲁木齐
晴
12
-1
………….
………..
……….
………..
2010年10月2日
筛苯钙农仆洛坦航绷腕蒂臀议浑贱查匙私钓垢薯伺鞋快夕媒珊担脑潦村乌2.7有理数的减法2.7有理数的减法
数学：2.7《有理数的加减混合运算》课件(冀教版七年级上)
(2) (16) (12) 24 (18) (16) 12 (24) 18;
2.7有理数的 加减混合运算
下图是一条河流在枯水期的水位图.
此时小康桥面 距水面的高度 为多少米?
减法可以转 化为加法
你知道小颖和小明分别是怎么想的吗? 他们的结果为什么相同?
议一议: 一架飞机作特技表演, 起飞后的高度变化如下表: 高度变化 记作 上升4.5米 +4.5千米 下降3.2米 －3.2千米 上升1.1米 +1.1千米 下降1.4米 －1.4千米
２．运算符号与性质符号 “＋”“－”“×”“÷”(加、减、乘、除)叫做运算符
而“＋” （正） 、“－”（负）又可叫做性质符号，它们 定一个数是正还是负，要注意运算符号与性质符号在读 法上的区别，如－７读作负７．
３．有理数加减混合运算的步骤 （１）把算式中的减法都转化为加法； （２）省略加号与括号； （３）进行运算（尽可能利用运算律简化计算）．
第（2）题还可以怎样计算？
(2) ( 3) 1 ( 4) 3 1 4 3 4 1 6 . 5 5 5 555 555 5
例3计算：
2 3 (8 1) (2 1) 0.25 1.5 2.75
42
4
解法指导：先写成省略括号的和的形式，并把小数化为
(－40)－(＋27)＋19－24－(－32)＝－40－27＋19－24＋32 －9－(－2)＋(－3)－4＝－9 ＋ 2 － 3－4
规律： 数字前“－”号是奇数个取“－”； 数字前“－”号是偶数个取“＋”．
2.8.1 加减法统一成加法 说课稿-华东师大版七年级数学上册
1、重过程评价：学习态度、积极性、学习习惯、纪律等过程性指标评价；
2、重结果评价：知识技能、方法与情感态度的发展。
3、评价项目：整体学习行为评价（小组），个性学习行为评价（个人）。
4、评价方式：语言激励（真情与导向），分值激励（统一标准具有了较强的直观形象思维，但抽象思维还处于发展阶段。
已有的知识水平：学生在前面已经学习了有理数的加法、减法的法则，以及多重复号的化简，为省略加号奠定了基础。
课程标准与学习目标设置
【课标要求】
理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。
【教学目标】
1、让学生经历探索有理数加减法统一成加法的过程，体会省略加号的和的形式的意义，会把加减混合运算写成省略加号的和的形式。
(1)(－7)－(－10)＋(－8)－(＋3)
(2)( )－( )＋( )－( )－( )
4.加减法统一成加法的变号规律
观察1、3小题中三个算式括号内外的符号与改写后的符号，你会发现什么？
流程及活动设计
复习导入，提出问题 →引导探索，归纳法则→应用延伸，反馈矫正→课堂小结，总结得失→达标测评，及时反馈
2、通过加减法统一成加法的过程，理解省略加号的和式的意义，会读省略加号的和式，知道其书写与表达的简便性。
【学习目标】
1、能熟练利用减法法则将加减法统一成加法。
2、理解省略加号的和式的意义，会读省略加号的和式；
3、知道省略加号的和式具有书写与表达的简便性。
四基三点
基础知识：会将加减法统一成加法。
基本技能：会把加减混合算式写成省略加号的和式。
年级
七年级
科目
数学
课型
概念课
课时
1
主备
主说
七年级数学上册第2章有理数2.7有理数的减法1
2.较小的数减去较大的数，所得的差一定是( )
A.零
B.正数(zhèngshù)
C.负数
D.零或负数
【解析】选C.较小的数减去较大的数，所得的差一定是负数.
第二十一页，共二十七页。
3.某粮店出售三种品牌(pǐn pái)的面粉袋上，分别标有质量为(25±
0.1)kg,(25±0.2)kg,(25±0.3)kg的字样，从中任意拿出两
答案：日 一
第二十四页，共二十七页。
6.现有两个冰箱，第一个冰箱的冷冻层内温度为-15 ℃，第二个冰箱的 冷冻层内温度为-6 ℃.问这两个冰箱的冷冻层内的温度哪一个较低？低多
少(duōshǎo)？
【解析】因为-15<-6，所以第一个冰箱的冷冻层内的温度较低. -6-(-15)＝-6+15＝9，所以低9 ℃.
D.大小关系(guān xì)取决于b
【解析】选D.当b＞0时，a-b＜a；当b＜0时，a-b＞a；当b=0时，a-
b=a.
第十三页，共二十七页。
4.计算：|-3|-2=______. 【解析(jiě xī)】|-3|-2=3-2=1.
答案：1
第十四页，共二十七页。
5.写出两个负数的差是正数(zhèngshù)的例子：______. 【解析】如：-1-(-2)=-1+2=1；-2-(-3)=-2+3=1等. 答案：-1-(-2)=-1+2=1；-2-(-3)=-2+3=1(答案不唯一)
第二十五页，共二十七页。
【想一想错在哪？】计算： ( 1) 11 1 6 22
提示：减法没有运算(yùn suàn)律，必须转化为加法后，才能应用运算(yùn
suàn)
华师大版七年级上册数学课后作业2.7 有理数的减法附答案
2.7 有理数的减法1．0－2017的结果是（ ）A ．2017B ．－2017C ．12017D ．12017- 2．下列计算错误的是（ ）A ．－2－（－2）＝0B ．－3－4＝－7C ．－7－（－3）＝－0D ．12－15＝－33．下列说法正确的是（ ）A ．零减去一个有理数，仍得这个有理数B ．两个有理数之差一定小于它们的和C ．互为相反数的两个数的差为零D ．较小的数减去较大的数所得的差必定为负数4．比－2小3的数是（ ）A ．－5B ．1C ．－1D ．－65．已知a ，b ，c 三个数在数轴上对应点的位置如图，下列几个判断：①a<c<b ；②－a<6；③a+6>0；④c －a<0，错误的有（ ）A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．若｜a －1｜+｜b+3｜＝0，则b －a 的值为（ ）A ．－4B ．－2C ．－1D ．17．计算1－（－2）的结果是（ ）A. 3B. －3C. 1D. －18．比1小2的数是（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．19．比2小3的数是（ ）A ．1-B ．5-C ．1D ．510．13--等于（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-11．两个数的差为负数，这两个数（ ）A.都是负数B.一个是正数，一个是负数C.减数大于被减数D.减数小于被减数12．下列说法正确的是（ ）A.零减去一个数，仍得这个数B.减去一个数，等于加上这个数C.两个相反数相减得0D.有理数的加减法中，和不一定比加数大，差不一定比被减数小13．若两个数的差是正数，那么（）A．被减数是负数，减数是负数 B．被减数和减数都是正数C．被减数大于减数 D．被减数和减数不能同为负数14．设两个有理数的和为a，这两个数的差为b，则a，b之间的关系为（）A．a=b B．a>b C．a<b D．无法确定15.冬季的某一天，我市的最高气温为7℃，最低气温为-2℃，那么这天我市的最高气温比最低气温高_ __℃.16. 已知甲地的海拔高度是300m，乙地的海拔高度是-50m,那么甲地比乙地高______m.17．若x+y＝0，｜x｜＝5，则｜x－y｜＝－________.18．计算：（1）（－2）－（－9）；（2）0－11；（3）－2.8－（+2.8）；（4）13 4524⎛⎫--⎪⎝⎭19. 已知a是7的相反数，b比a的相反数大3，b比a大多少？答案1．B 分析：0－2 017＝0＋（－2 017）＝－2 017．2．C 分析：－2－（－2）＝－2＋2＝0；－3－4＝－3＋（－4）＝－7；－7－（－3）＝－7＋3＝－4；12－15＝12＋（－15）＝－3．故选C．3．D 分析：零减去一个有理数，结果为这个有理数的相反数，选项A错误；两个有理数之差不一定小于它们的和，例如－1－（－5）＝－1＋5＝4，而－1＋（－5）＝－6，选项B错误；互为相反数的两个数的和为零，选项C错误；较小的数减去较大的数所得的差必定为负数，选项D正确．4．A 分析：－2－3＝－2＋（－3）＝－5．5．C 分析：由数轴可知a<c<b，所以①正确；a<0，b>0，且|a|>|b|，则－a>0，所以。
2.7有理数的减法
有理数的加法满足的运算律： 加法交换律:两个数相加，交换加数的位置， 和不变。即a+b=b+a 加法结合律:三个数相加，先把前两个数相加， 或者先把后两个数相加，和不变。即 (a+b)+c=a+(b+c)
直接写出结果,并指出你所用到的加法法则：
（+6）+（+2）=+8 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
指导学习方法 说说如何进行有理数的减法运算？ 1.减法可以转化为加法. 2.有理数减法法则：减去一个数，等于
加上这个数的相反数．
作减法运算应注意什么问题？ 注意两变：减号变加号，减数变相反数.
怎样求数轴上两点之间的距离？ 可以画出数轴在数轴上求,还可以求两数之
差的绝对值,还可以用大数减去小数.
回忆有理数减法法则的发现过程, 谈谈你有什么体会？
减法法则的发现过程告诉我们，减 法最终是转化为加法运算来解决。在数 学上，转化是一种常见的数学方法，同 学们要善于利用它。
பைடு நூலகம்
问题1.早上气温﹣ 2度，中午气温+6度，气 温从早上到中午上升了多少度？8度 中午比早上气温高多少度？ 8度 用算式表示：
（+6）-（-2） =8 =（+6）+（+2）
问题2.早上气温-8度，上午气温-5度，气 温从早上到上午上升了多少度？ 3度 上午气温比早上气温高多少度？ 3度 用算式表示：
例2.计算：(1).（-32）-（-5） 解：(1).（-32）-（-5）
=（-32）+5 = -27 (2). 7.3 - ( - 6.8) 解： (2). 7.3 - ( - 6.8)
= 7.3+6.8 = 14.1
2.7-有理数的减法(共17张PPT)
B．11 C．－3
D．－11
【解析】选B.4-（-7）=4+7=11．
2.如图，数轴上A点表示的数减去B点表示的数，结果是
（）
A．8 B．－8 C．2 D．－2
A
B
－3 0 1
5
【解析同桌小明互相出
题练习，于是小华出了这样一道题“已知被减数是
(1) (+8) - (-5); (2) (-0.47)-(-0.21);
(3) 0-(-7);
(4) (-9)-0.
【分析】本题主要是利用减法法则解答，难度一般，
请注意解题步骤．
解：(1)(+8)-(-5)=(+8)+(+5)=13
你能独立完成其余的三个题目吗？
【跟踪训练】
1、计算
① 3–5= -2 ②3–(- 5)= 8 ③(-3)–5 = -8 .
－6，差是2，求减数．”给小明做，结果小明没能完
成，请你帮帮小明，求减数的列式应为
．
【解析】已知被减数、差，求减数，应用被减数减差．
答案:（-6）-2
4.某市2012年元旦的最高气温为2 ℃，最低气温为－8 ℃，
那么这天的最高气温比最低气温高（ ）．
A．-10 ℃ B．-6 ℃ C．6 ℃ D．10 ℃
（1）第一名超出第二名多少分？ （2）第一名超出第五名多少分？
【例题】
【例2】世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度 大约是8 844米，吐鲁番盆地的海拔高度大约是－155 米．两处高度相差多少米？ 解:8 844-（-155）＝8 844＋155＝8 999（米）
1.4－(－7)等于（ ）
A．3
④ (-3)–(-5)= 2
2.7有理数的减法优秀课件
有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
新课讲解
有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数
a-b=a+(-b)
两变一不变：减号变加号，
减数变成其相反数
被减数不变，
变号
（减法
加法）
变号
解授例题 例 1 计算： (1)(-32)-(+5)； (3)(-2)-(-25)； 解:(1)(-32Z)x.xk -(+5) =(-32)+(-5)=-37
华师版数学七年级上册§2.7.1
2.7.1 有理数的减法
回顾
1.有理数的加法法则 2.有理数的加法运算律
试一试
8848km
珠 穆 朗 玛 峰
问珠穆朗玛峰比 吐鲁番盆地高多少?
海平面
吐鲁番盆地
-155km
生活再 现：
1、哈尔滨昨天的最高温度是12℃，
最低温度是-10℃，则其温差是多
少摄氏度？
12-（-10）=
(2)7.3-(-6.8)； (4)12-21
(2)7.3-(-6.8) =7.3+6.8=14.1
(3)(-2)-(-25) =(-2)+(+25)=23
(4)12-21 =12+(-12)=-9
课外作业
1. 计算： (1)(-14)-(+15)； (2)(-14)-(-16)； (3(+52)； (6)108-(-11).
= ？22℃
12℃
10℃
5℃
2？2 0℃
-5℃
-10℃ -10℃
2、某人从10米的高处爬下并潜入
到海拔大约为-20米的深水处，问
2.7有理数的减法
2.7 有理数的减法一、填空题：1.计算：-2-1= ；2-7= ；|-3|-2= ；|-9|-5= ；（-1）-（-2）=2.计算：3-4= ；|-5|-3= ；3-5= ；-2-|-3|= ；4-（-2）=3.计算：①－21+(－31)= ②－21+31= ③21+31= ④21－31= ⑤31-41-= ⑥－41－(－51)= 4.比-3小5的数是 ；比-5小-7的数是 ；比a 小-5的数是5.比-32小-52的数的绝对值是 6.已知|x|=5，y=3，则x-y=7.月球表面的温度，中午是101℃，半夜是-150℃，半夜比中午低 ℃8．0减去一个数得这个数的_____ ；9．两个正数之和为_____ ，两个负数之和为____ ，一个数同0相加得_____10．某地傍晚气温为－2℃，到夜晚下降了5℃，则夜晚的气温为_____ ，第二天中午上升了10℃，则此时温度为_____11．异号两数相加和为正数，则_____ 的绝对值较大，如和为负数，则_____ 的绝对值较大，如和为0，则这两个数的绝对值______ ；12.已知一个数是－2，另一个数比－2的相反数小3，则这两个数和的绝对值为_____13.若a 、b 互为相反数，则a ＋b ＝_____； |a|－a ＝b ，则b________0(填>、<、≥或≤)14.已知(a －b)²＋|b －1|＝0，则3a －2b ＝_______15.今年高考第一天，上蔡的最低气温25℃，最高气温33℃，则这天的温差是 ℃16.某市2009年4月的一天最高气温为21℃，最低气温为-1℃，则这天的最高气温比最低气温高 ℃17.已知某地一天中的最高温度为10℃，最低温度为-5℃，则这天最高温度与最低温度的温差为 ℃18.如果某天中午气温是2℃，到了傍晚气温下降了5℃，那么傍晚的气温是 ℃19.一电冰箱冷冻室的温度是-18℃，冷藏室的温度是5℃，该电冰箱冷藏室的温度比冷冻室的温度高 ℃20.据黔南州气象台报道，去年冬季的某一天，都匀的最低温度是5℃，而瓮安的最低温度是-2℃，则都匀与瓮安的最低温度相差 ℃21.某市某天的最高气温是17℃，最低气温是5℃，那么当天的最大温差是 ℃22.我市某一天的最高气温是8℃，最低气温是-2℃，那么这一天的最高气温比最低气温 高 ℃23.已知甲地的海拔高度为150m ，乙地的海拔高度为-30m ，那么甲地比乙地高 m24.某天的最高气温为11℃，最低气温为-6℃，则这天的最高气温比最低气温高℃25.冬季的某一天，我市的最高气温为7℃，最低气温为-2℃，那么这天我市的最高气温比最低气温高℃26.已知甲地的海拔高度是300m，乙地的海拔高度是-50m，那么甲地比乙地高 m27.冬季的某日，上海最低气温是3℃，北京最低气温是-5℃，这一天上海的最低气温比北京的最低气温高℃28.早春二月的某一天，大连市南部地区的平均气温为-3℃，北部地区的平均气温为-6℃，则当天南部地区比北部地区的平均气温高℃二、选择题：1.计算1-（-4）所得的结果是……………………………………………………………（）A、3B、-3C、5D、-52、计算1-|-3|结果正确的是……………………………………………………………（）A、4B、2C、-2D、-43、计算-2-1的结果是………………………………………………………………………（）A、-1B、1C、3D、-34、比2小3的数是…………………………………………………………………………（）A、-1B、-5C、1D、55、计算3-（-3）的结果是…………………………………………………………………（）A、6B、3C、0D、-66、计算|-2|-2的结果是……………………………………………………………………（）A、0B、-2C、-4D、47、计算：-3与2的差是……………………………………………………………………（）A、-5B、5C、1D、-18、计算1-（-2）的结果是…………………………………………………………………（）A、3B、-3C、1D、-19、计算-2-6的结果是………………………………………………………………………（）A、-8B、8C、-4D、410、2-3的值等于……………………………………………………………………………（）A、1B、-5C、5D、-111、计算：-1-2=………………………………………………………………………………（）A、-1B、1C、-3D、312.计算：2-（-3）的结果是………………………………………………………………（）A、5B、1C、-1D、-513.下列结论不正确的是……………………………………………………………………（）A 、两个正数之和必为正数B 、两数之和为正，则至少有一个数为正C 、两数之和不一定大于某个加数D 、两数之和为负，则这两个数均为负数14.若两个数绝对值之差为0，则这两个数………………………………………………（ ）A 、相等B 、互为相反数C 、两数均为0D 、相等或互为相反数15．)]3.05.261(315.0[-+---等于……………………………………………………（ ） A 、2.2B 、－3.2C 、－2.2D 、3.2 16.下列计算正确的是………………………………………………………………………（ ）A ．7－(－7)＝0B ．0－3＝－3C ．212141=- D ．(－5)－(－6)＝－1 17.如图，a 、b 在数轴上的位置分别在原点的两旁，则|a －b|化简的结果是…………（ ）A ．a －bB ．b －aC ．－(a －b)D ．－(b －a)18.如果a ＋b ＝c ，且a ＞c 则………………………………………………………………（ ）A ．b 一定是负数B ．a 一定小于bC ．a 一定是负数D ．b 一定小于a19.如果｜a ｜－｜b ｜＝0，那么…………………………………………………………（ ）A ．a ＝bB ．a 、b 互为相反数C ．a 和b 都是0D ．a ＝b 或a ＝－b20.如果a 的绝对值大于－5的绝对值，那么有…………………………………………（ ）A ．a>－5B ．a<－5C ．|a －(－5)|＝a －(－5)D ．以上均不对21.若3<x<7，化简|3－x|＋|x －7|的结果是……………………………………………（ ）A ．4B ．－4C ．10－2xD ．2x －1022.若a>0，b<0，|a|＝4，|b|＝a －2，则a －b 的值是…………………………………（ ）A ．2B ．－2C ．6D ．－623.若有理数a 满足||a a ＝1时，那么a 是………………………………………………（ ）A ．正有理数B ．负有理数C ．非负有理数D ．非正有理数24.下列说法正确的是………………………………………………………………………（ ）A ．两个数之差一定小于被减数B ．减去一个负数，差一定大于被减数C ．减去一个正数，差不一定小于被减数D ．0减去任何数，差都是负数25.下列计算正确的是………………………………………………………………………（ ）A ．（-14）-（+5）=-9B ．0-（-3）=3C ．（-3）-（-3）=-6D ．-=-35（5-3）26.如果a<0，那么a 和它的相反数的差的绝对值等于……………………………………（ ）A ．aB ．0C ．-aD ．-2a27.若两个有理数的差是正数，那么………………………………………………………（ ）A ．被减数是正数，减数是负数B ．被减数和减数都是正数C ．被减数大于减数D ．被减数和减数不能同为负数28.下列等式成立的是………………………………………………………………………（ ）A ．0=-+a aB ．-a-a=0C ．0=--a aD ．-a-a =029.如果的关系是则n m n m ,,0=-……………………………………………………（ ）A. 互为相反数B. m=±n,且n ≥0C. 相等且都不小于0D. m 是n 的绝对值 30.143的相反数与绝对值是141的数的差是……………………………………………（ ） A. -21 B. -3 C. - 21或-3 D. 21或3 31.已知a,b 是两个有理数，那么a-b 与a 比较，必定是………………………………（ ）A.a-b>aB.a-b<aC.a-b>-aD.大小关系取决于b 32.下列说法错误的是………………………………………………………………………（ ）A.两个负数相减，差仍然是负数B.负数减去正数，差是负数C.正数减去负数，差是正数D.减去一个负数，等于加上一个正数33.冰箱冷冻室的温度为-6℃，此时房屋内的温度为20℃，则房屋内的温度比冰箱冷冻室的温度高……………………………………………………………………………………（ ）A 、26℃B 、14℃C 、-26℃D 、-14℃34.某市2010年元旦这天的最高气温是8℃，最低气温是-2℃，则这天的最高气温比最低气温高………………………………………………………………………………………（ ）A 、10℃B 、-10℃C 、6℃D 、-6℃35.2010年元月19日，山东省气象局预报我市元月20日的最高气温是4℃，最低气温是-6℃，那么我市元月20日的最大温差是………………………………………………………（ ）A 、10℃B 、6℃C 、4℃D 、2℃36.某年哈尔滨市一月份的平均气温为-18℃，三月份的平均气温为2℃，则三月份的平均气温比一月份的平均气温高………………………………………………………………（ ）A 、16℃B 、20℃C 、-16℃D 、-20℃37.某天的最高气温是7℃，最低气温是-5℃，则这一天的最高气温与最低气温的差是…………………………………………………………………………………………（ ）A 、2℃B 、-2℃C 、12℃D 、-12℃38.某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，那么这天的最高气温比最低气温高…………………………………………………………………………………………（ ）A 、-10℃B 、-6℃C 、6℃D 、10℃39.某市4月份某天的最高气温是5℃，最低气温是-3℃，那么这天的温差（最高气温减最低气温）是………………………………………………………………………………（ ）A 、-2℃B 、8℃C 、-8℃D 、2℃40.如图，数轴上A 点表示的数减去B 点表示的数，结果是……………………………（ ）A 、8B 、-8C 、2D 、-241.某天傍晚，北京的气温由中午的零上3℃下降了5℃，这天傍晚北京的气温是…………………………………………………………………………………………（ ）A 、零上8℃B 、零上2℃C 、零下2℃D 、零下8℃42.今年在北京举行的“财富世界论坛”的有关资料显示，近几年中国和印度经济的年平均增长率分别为7.3%和 6.5%，则近几年中国比印度经济的年平均增长率高…………………………………………………………………………………………（ ）A 、0.8B 、0.08C 、0.8%D 、0.08%43.设a 是实数，则|a|-a 的值………………………………………………………………（ ）A 、可以是负数B 、不可能是负数C 、必是正数D 、可以是正数也可以是负数44.今年2月份某市一天的最高气温为11℃，最低气温为-6℃，那么这一天的最高气温比最低气温高…………………………………………………………………………………（ ）A 、-17℃B 、17℃C 、5℃D 、11℃45.某地今年1月1日至4日每天的最高气温与最低气温如下表：其中温差最大的是……………………………………………………………………….（ ）A 、1月1日B 、1月2日C 、1月3日D 、1月4日三、解答题：1.计算：(1)(+52)－(－53) (2)(－52)－(－53) (3)21－31(4)(－21)－31 (5)(－1)－(－21) (6)(－1)－121(7)231－(－341) (8)454－765 (9)(－32)－121－(－41)（10）（-32）-（+21）-（-65）-（-31） （11）（-831）-（+12）-（-7021）-（-831）（12）（-1221）-[-（+6.5）-(-6.3)-651] （13）(-17)-(-8)-(-9)-(+6)-(-14)（14）(-421)-{352-[(-0.13)-(0.33)]} （15）5-{-4-[3-7-(4-5)-6]}(17)(＋5)－(－3)＋(－8)－(＋3)＋(－4)－(＋5)(18)(－6.55)＋441－(－6.55)＋(－8.1)－(－8.1)(20))924()317()981()322(211-+-----+(21)(－5．4)＋(＋0．3)＋(－0．6)＋(＋0．7)(22)(－0．67)－(－0．01)－(－1．99)＋(＋0．67)2．已知a ＝3，|b|＝4，求a ＋b 的值3．如果|a －2|＋|2b －5|＝0，求3a －2b 的值4．已知两个数的和为－252，其中一个数为－143，求另一个数5．11-的相反数与比5-大6的数的差是多少？6.2013年全国高考数学试题共15个选择题，规定答对一个得4分，答错一个扣1分，不答得0分，某人选对12个，错2个，未选一个，请问该生选择题得多少分？。
2.7 有理数的减法知识点总结与例题讲解
2.7 有理数的减法知识点总结与例题讲解一．本节知识点 有理数的减法法则减去一个数,等于加上这个数的相反数.注意 进行有理数的减法运算时,先将减法运算转化为加法运算,转化时注意“两变一不变”.“两变”指的是:（1）运算符号变为“+”;（2）减数的符号改变.“一不变”指的是:被减数保持不变.二、例题讲解例1. 计算:（1）()()1325--+; （2）()()5.27.1---.解:（1）原式381325=+=;（2）原式()8.05.27.1=+-=.例2. 计算:（1）916--; （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛---5332; （3）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4375; （4）110-. 解:（1）原式()25916-=-+-=;（2）原式10115915105332-=+-=+-=; （3）原式281282128204375-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=; （4）原式()11110-=-+=.例3. 计算:（1）()()713---; （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛--43625.3; （3）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-31212; （4）()()87.613.2---.解:（1）原式()6713-=+-=;（2）原式1075.625.343625.3=+=+=; （3）原式()6523121231212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=; （4）原式()74.487.613.2=+-=.注意 进行有理数的减法运算时,要同时改变两个符号:（1）运算符号变为“+”;（2）减数的符号改变.例4. 计算:2113121313+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-. 分析 这是有理数的加减混合运算,为便于计算,我们把运算统一为加法运算. 解: 原式2113121313++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-= 132112131313+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2-=.例5. 已知m 是8的相反数,n 比m 小2,求m 与n 的和.解: 因为m 是8的相反数,所以8-=m .因为n 比m 小2,所以()1028282-=-+-=--=-=m n .所以()()18108-=-+-=+n m .例6. 探究数轴上任意两点之间的距离与这两点对应的数的关系.（1）观察数轴,填空:①点D 与点F 之间的距离为_________,点D 与点B 之间的距离为_________; ②点E 与点G 之间的距离为_________,点A 与点B 之间的距离为_________; ③点C 与点F 之间的距离为_________,点B 与点G 之间的距离为_________.我们发现:在数轴上,如果点M、N分别表示数nm,,那么它们之间的距离可表示为m,表示）.MN__________（用n=（2）利用你发现的结论解决下列问题:若数轴上表示数2,x的两点P、Q之间的距离是3,则=x_________.m-.解:（1）① 2 , 2 ; ② 2 , 1 ; ③ 3 , 5 . n（2）1-或5.重要结论数轴上两点之间的距离数轴上两点之间的距离等于这两个点所表示的数中右边的数减去左边的数.或等于这两个点所表示的数的差的绝对值.。
七上课课练2.7 有理数的减法(含答案)
2.7有理数的减法一、课内训练1．计算：〔1〕〔-6〕-〔-3〕；〔2〕〔-2〕-〔+1〕；〔3〕0-〔-2.5〕-〔+1.5〕-〔-3〕。
2．计算:0-〔-1.52〕-〔+7.52〕-〔-13〕。
3．下面是某同学计算-10-8-8+5的过程:解：原式=-10+〔-8〕+7+5=-18+7+5=-6。
请你判断他是做对了还是做错了，如果做对了，请你写出每一步的计算依据；如果做错了，请你改正过来。
4．〔1〕和是-2.7，一个加数是0.1，求另一个加数；〔2〕两数之差为0.57，被减数是-0.35，求减数。
5．较-78与-89的大小。
6．在数轴上，设A点表示-3，AB的距离是4，则B点表示______.7．A、B、C、D在数轴上的对应点分别为：-1、12、+32、+3.〔1〕求A、B之间的距离；〔2〕求BC之间的距离；〔3〕求BD之间的距离；〔4〕根据上述计算结果，探索两个点之间的距离与这两个点所对应的数之间的差的绝对值有什么关系？二、课外演练1.计算-2-1的结果是〔〕A．-3 B．-2 C．-1 D．32．以下各式运算正确的选项是〔〕A．-1-1=0 B．-1-1=2C．14-34=-12D．〔-5〕-〔-2〕+〔-3〕=-5-2-3=-103．-56比56少〔〕A．53B．-53C．56D．-564．计算以下各题：〔1〕〔-53〕+〔+21〕-〔-79〕-〔+37〕；〔2〕〔+134〕-56-116+12；〔3〕0-〔+16〕-〔-14〕-〔+13〕-〔-12〕；〔4〕〔-38〕-〔-21〕-{〔-50〕-[〔-70〕-〔-38〕-〔-28〕]}．5．a=29，b=-36，c=-216，则-a-b-c=_______．6．重庆市某天的最高气温是17℃，最低气温是5℃，•那么当天的最大温差是_____℃．7．以下说法中正确的个数有〔〕①两个有理数绝对值的和等于这两个数和的绝对值．•②两个有理数和的绝对值为正数．③两个有理数差的绝对值等于这两个数绝对值的差．④两个有理数绝对值的差必为负数．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．右一个有理数与它的相反数的差为一负数，则以下说法正确的选项是〔〕A．这个有理数一定是负数 B．这个有理数一定是正数C．这个有理数可能是正数也可能是负数D．这个有理数只能为09．有一位同学连续记录了一周内每天气温的变化最高与最低的情况，如下表〔单位：℃〕日期一二三四五六日最高气温-3 -6 -2 3 5 8 11最低气温-9 -12 -13 -6 -4 -3 -1探究一：由表中数据分析：〔1〕本周内气温最高是______，最低是_______．〔2〕一天中，温度差最大是星期______，温差是________．〔3〕本周内的温差是_______．探究二：由这一周的气温变化，估计天气变化的趋势是_______．10．比0小5的数是_______，比3小10的数是_______，比a小-3的数是_______．11．已知│a│=3，│b│=4，则│a-b│的值是〔〕A．-1 B．1 C．-1或1 D．1或712．北京等5个城市的国际标准时间〔单位：小时〕•可在数轴上表示如下：如果将两地国际标准时间的差称为时差，那么〔〕A．汉城与纽约的时差为13小时;B．汉城与多伦多的时差为13小时C．北京与纽约的时差为14小时;D．北京与多伦多的时差为14小时13．数轴上A、B两点表示的有理数分别是-713与323，试求A、B两点间的距离．14．2004加上它的12得到一个数13，再减去所得数的14，再加上所得数差的15，再减去所得数和的，……依此类推，一直到减去上一次所得和的12005，求最后的差是多少？答案：一、课内训练1．〔1〕〔-6〕-〔-3〕=〔-6〕+〔+3〕=-3；〔2〕〔-2〕-〔+1〕=〔-2〕+〔-1〕=-3；〔3〕0-〔-2．5〕-〔+1．5〕-〔-3〕=0+2．5+〔-1．5〕+3=4．提示：计算有理数减法的关键是把减法转化为加法，在变换时，要注意变号．2．73．这个同学的解答是错误的，正确的解法如下：-10-8-7+5=〔-10〕+〔-8〕+〔-7〕+5=-〔10+8+7〕+5=-25+5=-20．提示：在减法运算中既要改变运算符号，也要改变减数的性质符号，题中“-8-•7”错误地变成了“-8+7”．只改变了运算符号，而没有改变相应的性质符号，因此这个同学的解答是错误的．4．〔1〕-2.8 提示：求-2.7-0.1．〔2〕-0.92 提示：求-0.57+〔-0.35〕．5．-78>-89提示：-78-〔-89〕=172>0．6．-7或1 提示：│x B-〔-3〕│=4．7．〔1〕12；〔2〕2；〔3〕312；〔4〕两个点之间的距离等于这两个点对应的差的绝对值．二、课外演练1．A 2．C3．A 导解：56-〔-56〕=53。
2.7有理数的减法
学 习 目 标
1．使学生理解有理数减法法则， 并能熟练地进行有理数减法 计算；
2、渗透事物间普ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ联系和相互
转化的思想。
问题1：
在中国地形图上， 在珠穆朗 玛峰和吐 鲁番盆地处都标有 表明它们的高度的 数，如图所示.请说 出图中珠穆朗 玛峰 比吐鲁番盆地高多 少？
-5 +（-3）=（） 8 “（）”是：
P43页练习3题
(1)温度3℃比-8℃ 高 11 ℃ ；
(2)温度-9℃比-
1℃低
8℃ 72m
；
(4)从海拔22m (3)海拔高度-20m比 到 -50m ，下降 -180m高 ； 了 .
160m
(-8)-(-3) =-5
(-8)-(-3) =-5
(-8)+(+3)=-5
你发现了两个运算 的结果怎样？
(-8)- (-3) = -8+（+3）
上式从左到右有什 么变化？
-
变
+ 变
（-8）-（-3）=（-8）+（+3）
P43页练习1题
1. 下列括号内各应填什么数? (1)(+2)-(-3)=(-2)+( +3 )； (2)0 - (-4)= 0 +( +4 )； (3)(-6)- 3 =(-6)+( -3 )； (4)1 - (+39) = 1 +( -39 )
P43页练习2题
2. 计算：
(+3)-(-2) (-1)-(+2) 0-(-3) 1-5 (-23)-(-12) (-1.3)-2.6
2.7有理数减法
(3)(-6)-3=(-6)+(-3 );
(4)1-(+39)=1+(-39 ).
例.计算：
（1）（-32）-（+5）;
（2） 7.3-（-6.8）; （3）（-2）-（-25）;
（4） 12 - 21.
巩固练习：
计算：
(1)(+3)-(-2); (2)(-1)-(+2);
(3)0-(-3);
(5)(-23)-(-12);
例如：计算(-8)-(-3)
就可理解为要求一个数“?” 使：( ? )+(-3)=-8.
∵ (-5)+(-3)=-8
∴
(-8)-(-3)=-5
看一看，想一想：
∵ (-8) − (-3)=-5
又∵ (-8) +(+3)=-5
即： (-8) ─ (-3)= (-8) + (+3)=-5 ∴ (-8) ─ (-3)
减号变加号 减数变为相反数
(-8) + (+3)
再 4 4 ， 10+(-6)=(___) 10-6=(___) 看 一 减号变加号 次 10─6=10+(-6) =4
减数变为相反数
有理数减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数.
巩固练习：
下列括号内各应填什么数? (1)(+2)-(-3)=(+2)+(+3); (2)0-(-4)=0+(+4);
(4)1-5;
(6)(-1.3)-2.6.
巩固练习：
计算：
(1) 4.8-(+2.3); (2) (-1.24)-(+4.76); (3) (-3.28)-1;
2.7 有理数的减法
2.7 有理数的减法1．有理数减法的法则(1)有理数减法的意义与小学学过的减法意义相同，已知两个数的和与其中的一个加数求另一个加数的运算叫做减法．减法是加法的逆运算．但是有理数的减法不像小学里那样直接减，而是把减法转化为加法，再按加法法则和运算律进行运算．(2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．用字母表示为：a －b ＝a ＋(－b )，a －0＝a ，0－a ＝0＋(－a )．(3)有理数减法运算的基本步骤是：①将减法转化为加法；②按有理数加法法则运算．(4)有理数的减法法则实际上是运算的转化，它体现了数学中的一种重要思想——化归思想，将减法运算化归为加法运算来完成．学习时注意理解以下几点：①弄清减数是什么？它的相反数又是什么？例如，在3－5中，减数是5而不是－5，运用法则转化为加法运算后是：3－5＝3＋(－5)；同样地，在3－(－5)中，减数是－5而不是5，转化为加法运算后是：3－(－5)＝3＋(＋5)或3＋5；②将减法运算转化为加法运算时，只改变减数的符号，而被减数不变．例如，运用法则把(－6)－(－8)转化为加法运算时，被减数－6不变，减数－8改变符号为＋8(或8)，减号“－”转化为加号“＋”，即(－6)－(－8)＝(－6)＋(＋8)，不要错误地做成(＋6)＋(＋8)；③并不是所有的减法运算都要转化为加法运算．例如，计算15－5时，运用小学里学过的方法可以直接得出结果为10，而运用法则计算则要先转化为加法运算，然后再运用有理数加法法则进行计算，即15－5＝15＋(－5)＝10，如此运算反而显得复杂；④一般来说，当减数或被减数为负数，或两数“不够减”时才运用法则转化为加法运算．例如，0－(－2)＝0＋2＝2；3－(－3)＝3＋3＝6；(－2)－(－5)＝(－2)＋5＝3；(－6)－6＝(－6)＋(－6)＝－12；3－8＝3＋(－8)＝－5.谈重点 转化思想在减法运算中的应用 转化思想是中学数学中重要的思想方法之一，减法转化为加法便体现了这一思想．【例1】 计算：(1)(－9)－0；(2)0－(－5)；(3)0－5；(4)5－(－6)；(5)(－3.2)－(－7)；(6)⎝⎛⎭⎫－12－23. 分析：回忆有理数的减法法则，把有理数的减法转化为加法时，正数前面的正号通常省略不写，但负号不能省略．解：(1)(－9)－0＝(－9)＋0＝－9；(2)0－(－5)＝0＋(＋5)＝5； (3)0－5＝0＋(－5)＝－5；(4)5－(－6)＝5＋(＋6)＝11；(5)(－3.2)－(－7)＝(－3.2)＋(＋7)＝3.8；(6)⎝⎛⎭⎫－12－23＝⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－23＝－76. 2．有理数减法的应用有理数减法的应用比较常见的题型有(1)计算高度；(2)计算温差；(3)计算销售利润；(4)计算距离；(5)计算时差等．有理数减法的应用题虽然比较简单，却能让大家主动地从数学角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，充分体现课程标准所要求的“数学应用意识”．因此，我们要有意识地加强数学知识与现实生活联系密切的问题的训练，提高自己的能力．【例2】 下表列出了外国几个城市与北京的时间差(带正号的数表示同一时刻比北京时间早的数值) 城市东京 纽约 巴黎 芝加哥 时差 ＋1 －13 －7 －14(1)如果现在的北京时间是7：00，那么现在的纽约时间是多少？(2)如果现在的纽约时间是7：00，那么现在的北京时间是多少？(3)远在芝加哥的姑妈，在当地时间是7：00时想给在巴黎的舅妈打电话，你认为合适吗？分析：通过审题发现：同一时刻，纽约时间相当于在北京时间的基础上，减去13个小时；相反，同一时刻，北京时间相当于在纽约时间的基础上，加上13个小时；同理，同一时刻，芝加哥时间相当于在巴黎时间的基础上减去7个小时．解：(1)因为7－13＝7＋(－13)＝－6，相当于18点(－6＋24＝18)，所以北京时间7：00时，纽约时间是前一天的18：00；(2)因为7＋13＝20，所以纽约时间7：00时，北京时间是当天的20：00；(3)我认为不合适．理由如下：因为7－7＝7＋(－7)＝0，所以巴黎时间7：00时，芝加哥时间是零点，此时是睡眠时间，不适合通电话．3．有理数减法运算中明确符号“－”的含义我们知道，“－”号在小学里就是减号，表示两个数做减法运算，在有理数中，符号“－”有三种含义：减号、负号、表示一个数的相反数．那么，在一个式子中，遇到“－”号时应按哪种含义来理解呢？例如，计算－(－5)－(＋8)时，式子中有三个“－”号，根据本题整体情况，第一个“－”号应理解为取(－5)的相反数，第二个“－”号应理解为负号，第三个“－”号可理解为减号．这样－(－5)－(＋8)＝(＋5)＋(－8)＝－3.再如，－9－5中，第一个“－”号理解为负号最为恰当，第二个“－”号可有两种理解，一是理解为负号，此时，－9－5就表示－9与－5省略了加号的和，即－9－5＝－9＋(－5)＝－14；再是理解为减号，据减法法则仍有－9－5＝－9＋(－5)＝－14.谈重点“－”号的双重身份“－”号有两个身份——性质符号、运算符号，“一号一用”是正确计算的前提．对于“－”号的含义，要结合题目的具体情况来确定，但要注意“一号一用”，即某个“－”号定为某种用途后，它就不能再来做另一种用途．【例3－1】计算：(1)(－15)－(－12)＝__________；(2)18－23＝__________；(3)25－(－25)＝__________；(4)96－69＝__________；(5)(3－7)－(9－12)＝__________.解析：(1)减数是－12，根据法则把减法化为加法时，被减数－15不变，减数－12变为它的相反数12，得(－15)－(－12)＝(－15)＋12＝－3；(2)减数是23，把“18－”化为“18＋”时，减数23要变为它的相反数－23，故18－23＝18＋(－23)＝－5；(3)被减数是25，减数是－25，先把减法运算转化为加法运算，得25－(－25)＝25＋25＝50；(4)直接用96减去69得27就可以了；(5)根据运算顺序，要先算括号里面的，再把结果相减．答案：(1)－3(2)－5(3)50(4)27(5)－1.【例3－2】计算：(1)－(－5)－(－7)－5－(－6)；(2)[(－4)－(＋8)]－[3－(－3)]．分析：(1)算式中的“－”号分别是一个数(－5)的相反数、负号、减号、负号、减号、减号、负号；(2)负号、减号、减号、减号、负号．解：(1)－(－5)－(－7)－5－(－6)＝5＋(＋7)－5＋(＋6)＝5＋7＋(－5)＋6＝13；(2)[(－4)－(＋8)]－[3－(－3)]＝[(－4)＋(－8)]－[3＋(＋3)]＝－12－6＝－18.4.“转化—求解”的思想方法有理数的减法是转化为加法来运算的，这种“转化－求解”的思想方法，是本节课应当重点掌握的．这与有理数绝对值的化简方法是一致的，例如求一个数的绝对值就要转化为求这个数本身或这个数的相反数．有理数的大小比较也可以转化为有理数的减法运算．我们知道较大的数减去较小的数，结果一定是正数；反之，较小的数减去较大的数，结果一定为负数；若两数相等，结果一定为0.即若a＞b，则a－b＞0；若a＜b，则a－b＜0；若a＝b，则a－b＝0.表现在数轴上就是右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数，结果为正数；反之，左边的点所表示的数减去右边的点所表示的数，结果为负数．解技巧求差法利用求两个有理数的差的方法可以比较有理数的大小．若a－b＞0，则a ＞b；若a－b＜0，则a＜b；若a－b＝0，则a＝b.【例4－1】如果|a|＝3，|b|＝1，且a，b异号，求|a－b|的值．分析：本题是有理数减法与相反数和绝对值的综合，解题时应仔细思考它们各自的意义和运算的方法．绝对值等于3的有理数有两个，它们是3和－3；绝对值等于1的数也有两个，它们是1和－1.又根据a，b异号，可知a＝3时，b＝－1；a＝－3时，b＝1.从而求出|a－b|的值．解：∵|a|＝3，∴a＝3或－3.∵|b|＝1，∴b＝1或－1.又∵a，b异号，∴|a－b|＝|3－(－1)|＝4，或|a－b|＝|－3－1|＝4.综上|a－b|＝4.【例4－2】用“＞”或“＜”填空：(1)如果a＞0，b＜0，那么a－b______0，a______b；(2)如果a＜0，b＞0，那么a－b______0，a______b；(3)如果a＜0，b＜0，那么a－(－b)______0，a______－b；(4)如果a＝0，b＜0，那么a－(－b)______0，a______－b.解析：先按照减法法则把减法变成加法，代入特殊值求差，再根据两个数的差与其大小之间的关系判断两数的大小关系．答案：(1)＞＞(2)＜＜(3)＜＜(4)＜＜5．利用有理数减法求数轴上两点间的距离有理数的减法有着广泛的应用，求数轴上两点间的距离是有理数减法最典型的应用之一．数轴上任意两点之间的距离，都可以用数轴上表示这两点的有理数的差的绝对值来表示．点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为|AB|.(1)当两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b|.(2)当A，B两点都不在原点时，①点A，B都在原点的右边，如图，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②点A，B都在原点的左边，如图，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③点A，B在原点的两边，如图，|AB|＝|OA|＋|OB|＝|a|＋|b|＝a＋(－b)＝|a－b|.【例5－1】如图所示的数轴上，表示－2和5的两点之间的距离是__________，数轴上表示2和－5的两点之间的距离是__________，数轴上表示－1和－3的两点之间的距离是__________．解析：数轴上表示－2和5两点之间的距离是|－2－5|或|5－(－2)|；数轴上表示2和－5两点之间的距离是|2－(－5)|或|－5－2|；数轴上表示－1和－3的两点之间的距离是|－1－(－3)|或|－3－(－1)|.答案：77 2【例5－2】点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|，下面来探究在数轴上A，B两点之间的距离|AB|如何用数a，b来表示．回答下列问题：(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是________，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________；(2)数轴上表示x和－3的两点之间的距离表示为__________；(3)数轴上表示a，b的两点之间的距离表示为________．解析：本题阅读部分将计算数轴上两点A、B之间的距离，先由特殊到一般地展示其发生发展的过程，然后归纳概括出公式|AB|＝|a－b|，即数轴上任意两点之间的距离用表示这两点的有理数的差的绝对值表示．再根据这个公式解答问题．答案：(1)334(2)|x＋3|(3)|a－b|析规律数轴上两点间的距离公式数轴上两点A，B之间的距离公式是|AB|＝|a－b|，利用此公式可以求出数轴上任意两点之间的距离．解题时，注意求两个负数之间的距离时，要添加括号．。
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§2.7有理数的减法
[学习目标]
1．掌握有理数的减法法则，能进行有理数的减法运算； 2．能将有理数的减法法则和运算律以数学语言叙述；
3．能通过对有理数减法法则和运算律的运用，培养化归思想． [典型例题]
1．计算：0－（－3．７１）－（＋１．７１）－（－５） [解答] 原式＝０＋３．７１－１．７１＋５
＝２＋５ ＝７
[点拨] 有理数的减法运算要先按照有理数减法法则，将减法转化为加法，然后按加法法则进行计算．
2． 计算：
31374- [解答] 原式＝)3
1
3(74-+
＝－)74313(-
＝－)21122170(-
＝－21
58
[点拨] 将减法化成加法，运算结果可以用假分数表示，也可以用带分数表示．
3． 在数轴上表示－２和＋１的两点间距离．
[解答]｜－２－１｜＝｜（－２）＋（－１）｜＝｜－３｜＝３ 或者 ｜１－（－２）｜＝｜１＋２｜＝３
[点拨] 数轴上表示有理数a ,b 的两点间距离等于｜a －b ｜（或｜b －a ｜） [基础训练]
一．填空题：
1. (+28) - (-27) =
2. (-131) - (+129) = [解答] 55 [解答] -260
3. (+1.5) + (-2
43) = 4. (-13
2
) - = 2 [解答] - 4
5
[解答] -311
5. (-531) - (+531) =
6. (-11) - = -43
[解答] -1032 [解答] -4
41
二．选择题
7.两个数的差为负数,这两个数 ( )
A.都是负数
B. 一个是正数,一个是负数
C.减数大于被减数
D. 减数小于被减数
[解答] C
8.负数与它相反数的差的绝对值等于 ( )
A. 0
B. a 的2倍
C.- a 的2倍
D.不能确定 [解答] C
9.下列语句中,正确的是 ( ) A. 两个有理数的差一定小于被减数
B. 两个有理数的和一定比这两个有理数的差大
C. 绝对值相等的两数之差为零
D. 零减去一个有理数等于这个有理数的相反数
[解答] D 三．解答题： 10.计算
(1) (-2.4) - 0.6 - 1.8 (2) (-71) - (-72) - 17
3 [解答] 4.8 [解答] -17
2
(3) (2-7)- (3-9) (4) 13 - [ ( - 8 ) - 9 ]
[解答] 1
[解答] 30
(5)|－１.２＋２|)2.1(4.3|3
1
5|51-----
[解答] -
15
98 11. 求出下列每对数在数轴上对应点之间的距离
(1)4与-2.5 (2)653
与651- (3)-4与-4.5 (4)213-与312 [解答](1)6.5 (2)317 (3)0.5 (4)6
35
12.列式并计算
(1) 和是-2.73,一个加数是0.01,求另一个加数; [解答]-2.74
(2) 求-0.8的绝对值的相反数与65
2
的相反数的差; [解答]
5
28 (3) 一个数是16,另一个数比16的相反数小-2,求这两个数的和.
[解答]1416
1 [思维拓展]
13．若有理数a>0,b<0,则四个数a+b, a-b,- a+b,- a-b中最大的是哪个;最小的是哪个?
[解答] a-b -a+b
14．若m＜0,n＜0,则:
(1)|n－m|＝
(2)若|n＋m|＋｜m－n｜＝－２m，则应添加什么条件?
[解答] (1)n-m (2)-2m
[探究实践]
15.某商场去年去年营业利润指标3648万元,实际上12个月的营业利润如下表,若以年指
问：哪一个月营业利润最接近月平均值？
[解答]304万元。