高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理课件文
高考数学第一轮章节复习课件 第三章 三角函数 解三角形
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
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考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
高三数学一轮复习 第3章第7课时 正弦定理和余弦定理精品课件
微能力认证作业
• 第7课时 正弦定理和余弦定理
• 正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C
＝
a2＝b2＋c2－2bc·cos_A ， b2＝c2＋a2－2ca·cos_B ，
1．(2010·天津卷)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，
c，若 a2－b2＝ 3bc，sin C＝2 3sin B，则 A＝( )
• 3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三 角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等 变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的 突破口．
• 从近两年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热 点．主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的 度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式， 甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现， 属解答题中的低档题．
方法二：∵(2b－c)cos A－acos C＝0， 由余弦定理，得(2b－c)·b2＋2cb2c－a2－a·a2＋2ba2b－c2＝0. 整理，得 b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12. ∵0＜A＜π，∴A＝π3.
(2)∵S△ABC＝12bcsin A＝34 3，
即12bcsinπ3＝34 3， ∴bc＝3. ∵a2＝b2＋c2－2bccos A，∴b2＋c2＝6， 由①②得 b＝c＝ 3，∴△ABC 为等边三角形．
常用的三角形面积公式 (1)S＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B； (2)S＝12ah.
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3_7正弦定理和余弦定理课件理新人教A版
4．三角形的面积公式
S△ABC＝12aha＝12bhb＝12chc
＝
1
1
2absin C ＝ 2bcsin
A ＝ 12acsin B
．
[三基自测] 1．(必修 5·习题 1.1B 组改编)在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC 的形 状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 答案：C
2．余弦定理
b2＋c2－a2
a2＝ b2＋c2－2bccos A ，cos A＝
2bc
；
a2＋c2－b2
b2＝ a2＋c2－2accos B ，cos B＝
2ac
；
a2＋b2－c2
c2＝ a2＋b2－2abcos C ，cos C＝
2ab .
3．勾股定理 在△ABC 中，∠C＝90°⇔ a2＋b2＝c2 .
面积为154 3，则 BC 边的长为
．
[解析] 由 S△ABC＝154 3得12×3×ACsin 120°＝154 3，所以 AC＝5，因此 BC2＝AB2
＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得 BC＝7.
[答案] 7
方法 4 已知三边解三角形
【例 4】 (2015·高考北京卷)在△ABC 中，a＝4，b＝5，c＝6，则ssiinn2CA＝
(2)△ABC中，若cos2A2＝b＋ 2cc，∴cos
A2 ＋1＝sin
B＋sin 2sin C
C⇒cos
A＋1＝ssiinn
CB＋1，
∴sin Ccos A＝sin B，∴sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C．
高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形3.7正弦定理、余弦定理
【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.7 正弦定理、余弦定理1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：在△ABC 中，常有以下结论： (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sinA ＋B2＝cos C2；cos A ＋B2＝sin C2.(5)tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . (6)A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，三角形为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，三角形为钝角三角形．( × ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝120°，a ＝2，b ＝233，则B等于( ) A.π3B.5π6C.π6或5π6 D.π6答案 D解析 ∵A ＝120°，a ＝2，b ＝233，∴由正弦定理a sin A ＝bsin B 可得，sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12.∵A ＝120°，∴B ＝30°，即B ＝π6.2．(2015·北京)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.答案 1解析 由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378，∴sin 2Asin C ＝2×34×74378＝1.3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则边a ＝________；△ABC 的面积等于________． 答案6＋ 2 1＋ 3解析 A ＝π－B －C ＝7π12，sin 7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝32×22＋12×22＝64＋24.由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，即asin 7π12＝2sinπ6，解得a ＝6＋2， ∴△ABC 的面积等于12ab sin C ＝12×(6＋2)×2×22＝3＋1. 4．(教材改编)△ABC 中，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为________三角形． 答案 直角三角形解析 由已知得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ， ∴sin A ＝sin 2A ，又sin A ≠0，∴sin A ＝1，A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．5．(2015·杭州二中高中第二次月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a －c ＝0，则角B ＝________.答案π3解析 由正弦定理知，sin B cos C ＋3sin B sin C －sin A －sin C ＝0. ∵sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 代入上式得3sin B sin C －cos B sin C －sin C ＝0. ∵sin C ＞0，∴3sin B －cos B －1＝0，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6＝12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定(2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________．(3)(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________. 答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 解析 (1)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个．(2)由题意知a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 又c 2＝b 2＋2bc ， ∴cos A ＝22，A ＝45°，sin B ＝12，B ＝30°，∴C ＝105°.(3)因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1.思维升华 (1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．(1)已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞2B ．x ＜2C ．2＜x ＜2 2D ．2＜x ＜2 3(2)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________． 答案 (1)C (2)1解析 (1)若三角形有两解，则必有a ＞b ，∴x ＞2，又由sin A ＝a b sin B ＝x 2×22＜1，可得x ＜22，∴x 的取值范围是2＜x ＜2 2. (2)∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3， 设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，化简得x 2－2x ＋1＝0， ∴x ＝1，即AB ＝1.题型二 和三角形面积有关的问题例2 (2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C .所以－cos 2B ＝sin 2C .① 又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－C ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－2C＝sin 2C ＝2sin C cos C ，② 由①②解得tan C ＝2. (2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得 sin C ＝255，cos C ＝55，因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ， 所以sin B ＝31010，由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．(2015·天津七校4月联考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝3b sin A －a cos B .(1)求角B ；(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c .解 (1)由a ＝3b sin A －a cos B 及正弦定理，得sin A ＝3sin B ·sin A －sin A ·cos B ， ∵0<A <π，∴sin A >0，∴3sin B －cos B ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6＝12.又∵0<B <π，∴－π6<B －π6<5π6，∴B ＝π3.(2)∵S ＝12ac sin B ＝3，∴ac ＝4，①又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2＝8.② 由①②联立解得a ＝c ＝2.题型三 正弦、余弦定理的简单应用 命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c b<cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形(2)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 (1)A (2)B解析 (1)已知c b <cos A ，由正弦定理，得sin Csin B<cos A ，即sin C <sin B cos A ，所以sin(A＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sinA >0，于是有cosB <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(2)∵cos 2B 2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c 2c ， ∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a，∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2， ∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形． 命题点2 求解几何计算问题例4 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ， ∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得 sin B sin C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a－b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为______．答案 (1)D (2) 3解析 (1)∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴s in A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ∴cos A (sin B －sin A )＝0， ∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ， ∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，∴△ABC 为等腰或直角三角形．(2)sin∠BAC ＝sin(π2＋∠BAD )＝cos∠BAD ，∴cos∠BAD ＝223.BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223，即BD 2＝3，BD ＝ 3.二审结论会转换典例 (14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值．规范解答解 (1)△ABC 中，由b sin B ＝csin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c ，[2分] 又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ，[4分] 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64.[7分] (2)在△ABC 中，由cos A ＝64， 可得sin A ＝104.[9分] 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.[12分] 所以，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A cos π6＋sin 2A sin π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×32＋154×12＝15－38.[14分] 温馨提醒 (1)本题将正弦定理、余弦定理和和差公式综合进行考查，具有一定的综合性，要求考生对公式要熟练记忆；通过审题理清解题方向．(2)本题还考查考生的基本运算求解能力，要求计算准确无误，尽量简化计算过程，减少错误．[方法与技巧]1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化，一般要只含角或只含边． [失误与防范]1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．在解三角形或判断三角形形状时，要注意三角函数值的符号和角的范围，防止出现增解、漏解．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝3，cos A ＝13，则B 等于( )A.π4 B.π3C.π6D.2π3答案 A解析 因为cos A ＝13，所以sin A ＝1－19＝223， 由正弦定理，得4sin A ＝3sin B ，所以sin B ＝22， 又因为b ＜a ，所以B ＜π2，B ＝π4，故选A.2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C 等于( ) A.2π3B.π3C.3π4D.5π6答案 A解析 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝5b .因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝25＋9－2×3×5cosC ，解得cos C ＝－12，所以C ＝2π3. 3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)及已知条件sin A ∶sinB ∶sinC ＝5∶11∶13，可设a ＝5x ，b ＝11x ，c ＝13x (x ＞0)．则cos C ＝x2＋x 2－x22·5x ·11x＝－23x 2110x2＜0， ∴C 为钝角．∴△ABC 为钝角三角形．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3B.932C.332D ．3 3答案 C解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B 等于( ) A.π6B.π4C.π3D.3π4答案 C解析 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝ac ＋b， 即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝sin B cos C ，则B ＝______.若A ＝π6，则ac ＝________.答案π2 33解析 由sin A ＝sin B cos C ，得sin(B ＋C )＝sin B cos C ，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ，得cos B sin C ＝0，显然sin C ≠0， ∴cos B ＝0，∴B ＝π2.若A ＝π6，则C ＝π－A －B ＝π3.由正弦定理，得a c ＝sin A sin C ＝1232＝33.7．(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24， 又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52， 由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8. 8．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________． 答案3解析 由正弦定理，可得(2＋b )(a －b )＝(c －b )·c . ∵a ＝2，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴si n A ＝32. 由b 2＋c 2－bc ＝4，得b 2＋c 2＝4＋bc . ∵b 2＋c 2≥2bc ，即4＋bc ≥2bc ，∴bc ≤4. ∴S △ABC ＝12bc ·sin A ≤3，即(S △ABC )max ＝ 3.9．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且b (cos A －3cos C )＝(3c －a )cosB .(1)求sin A sin C的值；(2)若cos B ＝16，且△ABC 的周长为14，求b 的值．解 (1)由正弦定理得到：sin B cos A ＋sin A cos B ＝3(sin B cos C ＋cos B sin C )， 即sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )，由三角形内角和为π，得到：sin C ＝3sin A ⇒sin A sin C ＝13. (2)由sin A sin C ＝13可得：a c ＝13⇒c ＝3a ，△ABC 的周长a ＋b ＋c ＝14⇒b ＝14－4a ，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16，解得a ＝2(a ＝14舍去)，则b ＝6.10．(2015·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33，sin(A ＋B )＝69，ac ＝23， 求sin A 和c 的值． 解 在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69.因为sin C ＜sin B ，所以C ＜B ，可知C 为锐角． 所以cos C ＝539.因此sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69＝223. 由a sin A ＝c sin C ，可得a ＝c sin Asin C ＝223c 69＝23c ， 又ac ＝23，所以c ＝1.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝c ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B 知7＝c 2＋4－2c ，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)．∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 12．若△ABC 中，若3cos 2A －B2＋5cos 2C2＝4，则tan C 的最大值为( )A ．－34B ．－43C ．－24D ．－2 2答案 B解析 由条件得3×A －B ＋12＋5×cos C ＋12＝4，即3cos(A －B )＋5cos C ＝0，所以3cos(A －B )－5cos(A ＋B )＝0，所以3cos A cos B ＋3sin A sin B －5cos A cos B ＋5sin A sin B ＝0，即cos A cos B ＝4sin A sin B ，所以tan A tan B ＝14，tan A ＋tan B ≥2tan A tan B ＝1.又tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－43(tan A ＋tan B )≤－43，故选B.13．(2015·重庆)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________.答案 6解析 由正弦定理得ABsin∠ADB ＝AD sin B ，即2sin∠ADB ＝3sin 120°，解得sin∠ADB ＝22，所以∠ADB ＝45°，从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ，所以C ＝180°－120°－30°＝30°，AC ＝2×sin 120°sin 30°＝ 6.14．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 答案 27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A，∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sinB ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ， 得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2 C 2，得12sin B ＝1＋cos C 2， 即sin B ＝1＋cos C ， 则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin(5π6－C )＝1＋cos C ，化简得cos(C ＋π3)＝－1，解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，由余弦定理得AM 2＝b 2＋(a2)2－2b ·a2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.。
高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形3.7正弦定理和余弦定理课件文
(2)(2015· 浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分 π 1 别是a，b，c.已知A＝ ，b2－a2＝ c2. 4 2 ①求tanC的值； ②若△ABC的面积为3，求b的值． 1 1 1 【解】 ①由b2－a2＝2c2及正弦定理得sin2B－2＝2
sin2C，所以－cos2B＝sin2C. π 3 又由A＝4，即B＋C＝4π，得－cos2B＝sin2C＝ 2sinCcosC，解得tanC＝2.
答案：1
突破考点 02
利用正、余弦定理判断三角形的形状
（题点多变型——一题多变）
三角形中常见的结论 (1)A＋B＋C＝π. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三 边．
(4)三角形内的诱导公式： sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC； A＋B C tan(A＋B)＝－tanC；sin 2 ＝cos 2 ； A＋B C cos 2 ＝sin 2 . (5)在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA· tanB· tanC.
2 5 5 ②由tanC＝2，C∈(0，π)得sinC＝ 5 ，cosC＝ 5 .
π 又因为sinB＝sin(A＋C)＝sin4＋C，
3 10 所以sinB＝ 10 . 2 2 由正弦定理得c＝ 3 b， π 1 又因为A＝4，2bcsinA＝3，所以bc＝6 2，故b＝3.
(1)在解三角形中，正、余弦定理及勾股定理是 解题的基础，如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利 用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系． 如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦 定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则 考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理 都有可能用到． (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限 制．
2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.6正弦定理和余弦定理课件文
题型 3 与三角形有关的最值 角度 1 与三角形边长有关的最值
典例 (2017·杏花岭区模拟)已知锐角三角形 ABC 的内
角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，且
a＝bcosC＋
3 3 csinB.
(1)求 B；
(2)若 b＝2，求 ac 的最大值．
本题采用转化法．
解 (1)在△ABC 中，∵a＝bcosC＋ 33csinB， ∴sinA＝sinBcosC＋ 33sinCsinB， ∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋ 33sinCsinB， 化为 cosBsinC＝ 33sinCsinB，sinC≠0， 可得 tanB＝ 3，B∈(0，π)，∴B＝π3.
(2)(2016·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别
为
a，b，c，若
cosA＝45，cosC＝153，a＝1，则
21 b＝____1_3___.
解析 由已知可得 sinA＝35，sinC＝1123，则 sinB＝sin(A
＋C)＝35×153＋54×1123＝6635，再由正弦定理可得sianA＝sibnB⇒b
[条件探究 1] 将本典例条件变为“若 2sinAcosB＝
sinC”，那么△ABC 一定是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析 解法一：由已知得 2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B) ＝sinAcosB＋cosAsinB，即 sin(A－B)＝0，
1 (2)S＝21bcsinA＝ 2acsinB
＝
1 2absinC .
(3)S＝21r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理课件文北师大版
且 A＝75°，则 b＝( )
A．2
B．4＋2 3
C．4－2 3
D． 6－ 2
[解析] 在△ABC 中，易知 B＝30°，由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos 30°＝4.
∴b＝2.
[答案] A
(2)在△ABC 中，已知 AB＝3，A＝120°，且△ABC 的面积为154 3，则 BC 边的长 为________． [解析] 由 S△ABC＝154 3得12×3×ACsin 120°＝154 3，所以 AC＝5，因此 BC2＝AB2 ＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得 BC＝7. [答案] 7
cos A＝35，则 b 等于(
)
5
10
A.3
B. 7
C.57
D．5142
[解析] 因为 cos A＝35，所以 sin A＝ 1－cos2A＝ 1－352＝45，所以 sin C＝sin[π
－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝45cos 45°＋35sin 45°＝7102.
0＜C＝π－3A＜π2，
[解析] 因为 B＝2A，所以 sin B＝sin 2A＝2sin Acos A，
由正弦定理得 b＝assiinnAB＝2acos A，所以ab＝2co1s A，所以asibn A＝s2icnos AA＝12tan A.
因为△ABC 是锐角三角形，
0＜A＜π2， 所以0＜B＝2A＜π2， 解得π6＜A＜π4，
A．4 3
B．2 3
C. 3 答案：B
D．
3 2
2．(基础点：正、余弦定理)在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC 的形
2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3_7正弦定理和余弦定理课时规范练文(含解析)新人教A版
3-7 正弦定理和余弦定理课时规范练 A 组 基础对点练1．(2016·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( D )A. 2B. 3 C ．2D.32．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( D ) A ．10 B.9 C ．8D.53．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( B )A ．5 B. 5 C ．2D.1解析：∵钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝c ＝1，BC ＝a ＝2，∴S ＝12ac sin B ＝12，即sin B ＝22，当B 为钝角时，cos B ＝－1－sin 2B ＝－22， 利用余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2＋2＝5，即AC ＝5， 当B 为锐角时，cos B ＝1－sin 2B ＝22， 利用余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2－2＝1，即AC ＝1， 此时AB 2＋AC 2＝BC 2，即△ABC 为直角三角形，不合题意，舍去， 则AC ＝ 5.故选B.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( A ) A ．a ＝2b B.b ＝2a C ．A ＝2BD.B ＝2A5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B ，则B ＝( C ) A.π6B.π4C.π3D.π26．(2018·衡阳联考)已知△ABC 的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是( B ) A.23 B.34 C.56D.710解析：设三边长依次是x －1，x ，x ＋1，其中x 是自然数，且x ≥2， 令三角形的最小角为A ，则最大角为2A ，由正弦定理，有x －1sin A ＝x ＋1sin 2A ＝x ＋12sin A cos A，∴cos A ＝x ＋1x －，由余弦定理，有cos A ＝x 2＋x ＋2－x －22x x ＋，∴x ＋1x －＝x 2＋x ＋2－x －22x x ＋，即x ＋1x －1＝x 2＋4x x 2＋x ＝x ＋4x ＋1，整理得(x ＋1)2＝(x －1)(x ＋4)， 解得x ＝5， 三边长为4,5,6， 则cos A ＝52＋62－422×5×6＝34.7．(2018·西安模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cosB ＝a sin A ，且sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 的形状为(D )A ．等腰三角形 B.锐角三角形 C ．直角三角形D.等腰直角三角形解析：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， 所以sin(B ＋C )＝sin 2A ， 所以sin A ＝sin 2A . 因为0<A <π， 所以sin A ≠0， 所以sin A ＝1. 所以A ＝π2.因为sin 2B ＝sin 2C ，所以由正弦定理得b 2＝c 2. 因为b >0，c >0， 所以b ＝c .所以△ABC 是等腰直角三角形． 综上所述，故选D.8．(2016·高考北京卷)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝__1__.9．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是__45°，30°，105°__.10．在△ABC 中， A ＝30°，AB ＝4，满足此条件的△ABC 有两解，则BC 边长度的取值范围为__(2,4)__．解析：由正弦定理可得BC sin A ＝ABsin C ，∴BC ＝AB ·sin A sin C ＝2sin C，∵△ABC 有两个解，∴30°＜C ＜150°，且C ≠90°， ∴12＜sin C ＜1， ∴BC ＝2sin C∈(2,4)． 11．已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是152，cos ∠BDC ＝ 104. 解析：如图，取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意知AE ⊥BC ，BF ⊥CD . 在Rt △ABE 中，cos ∠ABE ＝BE AB ＝14， ∴cos ∠DBC ＝－14，sin ∠DBC ＝1－116＝154.∴S △BCD ＝12×BD ×BC ×sin∠DBC ＝152.∵cos ∠DBC ＝1－2sin 2∠DBF ＝－14，且∠DBF 为锐角，∴sin ∠DBF ＝104.在Rt △BDF 中，cos ∠BDF ＝sin ∠DBF ＝104. 综上可得，△BCD 的面积是152，cos ∠BDC ＝104. 12．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 解析：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cosC ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2sin 60° ＝2 3.13．△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC . (1)求sin Bsin C；(2)若∠BAC ＝60°，求∠B . 解析：(1)由正弦定理，得AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin C ＝DCsin ∠CAD . 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ， 所以sin B sin C ＝DC BD ＝12.(2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°， 所以sin C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos B ＋12sin B.由(1)知2sin B ＝sin C ，所以tan B ＝33，即∠B ＝30°. B 组 能力提升练1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( A ) A.725 B.－725C ．±725D.2425解析：由C ＝2B ，得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理及8b ＝5c ，得cos B ＝sin C2sin B＝c 2b ＝45， 所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选A.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝3bc ，且b ＝3a ，则下列关系一定不成立的是( B ) A ．a ＝c B.b ＝c C ．2a ＝cD.a 2＋b 2＝c 2解析：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32，则A ＝30°.又b ＝3a ，由正弦定理得sin B ＝3sin A ＝3sin 30°＝32，所以B ＝60°或120°.当B ＝60°时，△ABC 为直角三角形，且2a ＝c ，可知C ，D 成立；当B ＝120°时，C ＝30°，所以A ＝C ，即a ＝c ，可知A 成立，故选B.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若满足c ＝2，a cos C ＝c sin A 的△ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是( D ) A ．(1，2) B.(1，3) C ．(3，2)D.(2，2)解析：因为a cos C ＝c sin A ，由正弦定理得sin A cos C ＝sin C sin A ，易知sin A ≠0，故tan C ＝1，所以C ＝π4.过点B 作AC 边上的高BD (图略)，垂足为D ，则BD ＝22BC ，要使满足条件的△ABC 有两个，则BC >2>22BC ，解得2<BC <2.故选D. 4．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B ·(2－cos C )＝sin 2 C 2＋12，则△ABC 为( D )A ．等边三角形B.钝角三角形C ．锐角非等边三角形 D.等腰直角三角形解析：由2a cos B ＝c ⇒2a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ⇒a 2＝b 2，所以a ＝b .因为sin A sin B (2－cos C )＝sin 2 C 2＋12， 所以2sin A sin B (2－cos C )－2＋1－2sin 2C2＝0，所以2sin A sin B (2－cos C )－2＋cos C＝0，所以(2－cos C )(2sin A sin B －1)＝0，因为cos C ≠2，所以sin A sin B ＝12，因为a ＝b ，所以sin 2A ＝12，所以A ＝B ＝π4，所以C＝π2，所以△ABC 是等腰直角三角形，故选D. 5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为3 .解析：由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，则△ABC 面积的最大值为 3.6．(2017·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cosC ＋c cos A ，则B ＝π3. 解析：由正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ⇒cos B ＝12⇒B ＝π3. 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b sin A －3a cos B ＝0，且b 2＝ac ，则a ＋c b的值为__2__.解析：由题意及正弦定理得sin B sin A －3sin A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，所以tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cosB ＝a 2＋c 2－ac ，即b 2＝(a ＋c )2－3ac ，又b 2＝ac ，所以4b 2＝(a ＋c )2，解得a ＋cb＝2.8．(2018·高考北京卷)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝__60°__；ca的取值范围是__(2，＋∞)__． 解析：∵S △ABC ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝12ac sin B ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ＝sin B3，即cos B ＝sin B 3，∴sin B cos B ＝3，∠B ＝π3，则c a ＝sin C sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A ＝32cos A －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·sin A sin A ＝32·1tan A ＋12， ∴∠C 为钝角，∠B ＝π3，∴0<∠A <π6，∴tan A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，1tan A ∈(3，＋∞)， 故c a∈(2，＋∞)．9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cosC . (1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解析：(1)证明：在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )． 由已知，得(1－sin 2B )－cos(A ＋C )＝1－cos A cos C ， ∴－sin 2B －(cos A cosC －sin A sin C )＝－cos A cos C ， 化简，得sin 2B ＝sin A sinC . 由正弦定理，得b 2＝ac ， ∴a ，b ，c 成等比数列． (2)由(1)及题设条件，得ac ＝4.则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时，等号成立． ∵0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ≤ 1－122＝32， ∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×32＝ 3.即△ABC 的面积的最大值为 3.10．(2018·海口调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )cos C ＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin B sin A的值；(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解析：(1)由正弦定理，得(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ， ∴sin B sin A＝3. (2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.。
高考数学(理科)一轮复习课件：第三章 第7讲 正弦定理和余弦定理
解析：(1)方法一， 已知等式可化为 a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B) －sin(A－B)]， ∴2a2cos Asin B＝2b2cos Bsin A. 由正弦定理知上式可化为 sin2Acos Asin B＝sin2Bcos Bsin A， ∴sin 2A＝sin 2B. 由 0<2A<2π，0<2B<2π， 得 2A＝2B 或 2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＝π2－B. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选 D.
方法二，同方法一，可得 2a2cos Asin B＝2b2sin Acos B. a2b·c2＋2bb2c－a2＝b2a·a2＋2ca2c－b2， ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0. ∴a＝b 或 a2＋b2＝c2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选 D. 答案：D
思路点拨：利用正、余弦定理化边角关系为边(或角)的 关系：(1)注意到b2＋c2－a2想余弦定理求解.(2)边角关系化为 角的关系求解.
解：(1)由余弦定理知：b2＋c2－a2＝2bccos A， ∴tan A＝2co3s A⇒sin A＝ 23.∵A∈0，π2，∴A＝π3. (2)a＋c＝bcos C＋ 3bsin C，由正弦定理有：sin A＋sin C ＝sin Bcos C＋ 3sin Bsin C， 而 A＝B＋C，∴sin Bcos C＋cos Bsin C＋sin C＝sin Bcos C ＋ 3sin Bsin C，
C
＝2cR
cos B＝a2＋2ca2c－b2； cos C＝a2＋2ba2b－c2
①已知两角及任一边，求其他
应用
边或角； ②已知两边及一边对角，求其
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2Rsin C； 变形形
cos A＝b2＋2cb2c－a2；
式(边角 sin A＝2aR，sin B＝2bR， 转化) sin C＝2cR；
cos B＝c2＋2ac2a－b2； cos C＝ a2＋b2－c2
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
2ab
2．三角形中常用的面积公式
(1)S＝12ah(h 表示边 a 上的高)；
3．在△ABC 中，a＝3 2，b＝2 3，cos C＝13，则△ABC 的面 积为________．
答案：4 3
1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另 一边的对角时易忽视解的判断．
2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式， 应移项提取公因式，以免漏解．
3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定 理对角的范围的限制．
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(2)∵S△ABC＝12absin C＝12asin C＝ 23，∴sin C＝ a3， ∵a＋1a＝4cos C，sin C＝ a3，∴14a＋1a2＋ a32＝1， 化简得(a2－7)2＝0，∴a＝ 7，从而 c＝ a2＋b2－2abcos C ＝ 72＋12－2× 7×1×277＝2．
[由题悟法] 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式 S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A， 一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦 定理进行边和角的转化．
[即时应用]
(2016·河北三市二联)在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C
∴b＝c，∴bc＝1． 答案：1
[由题悟法] (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式， 要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时， 则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理 都有可能用到． (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是 确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具 有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理 进行判断．
[类题通法] 判定三角形形状的 2 种常用途径
[提醒] 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一， 并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角 A，B， C 的范围对三角函数值的影响．
[即时应用]
1．在△ABC 中，c＝ 3，b＝1，∠B＝π6，则△ABC 的形状
为
()
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
第七节
正弦定理和余弦定理
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C
＝2R，
a2＝b2＋c2－2bccos b2＝c2＋a2－2cacos
A； B；
(R 为△ABC 外接圆半径) c2＝ a2＋b2－2abcos C
定理
正弦定理
余弦定理
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
考点一 利用正、余弦定理解三角形
[典例引领]
1．(2016·兰州实战考试) △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别
为 a，b，c，若 b2＝ac，c＝2a，则 cos C＝
()
A．
2 4
B．－
2 4
C．34
D．－34
解析：由题意得，b2＝ac＝2a2，即 b＝ 2a，∴cos C＝a2＋2ba2b－c2
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
A，化简得
tan
A＝－
33，∵A∈(0，π)，∴A＝56π．
(2)∵A＝56π，∴sin A＝12，
由 S＝ 43c2＝12bcsin A＝14bc，得 b＝ 3c， ∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，则 a＝ 7c，
1
由正弦定理得
sin
C＝csian
A＝
2 7
c ＝ c
147．
编后语
考点三 与三角形面积有关的问题 [典例引领]
(2017·武汉调研)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，
b，c，a＋1a＝4cos C，b＝1．
(1)若 A＝90°，求△ABC 的面积；
(2)若△ABC 的面积为 23，求 a，c． 解：(1)∵b＝1，∴a＋1a＝4cos C＝4×a2＋2ba2b－c2＝2a2＋a1－c2， ∴2c2＝a2＋1．又 A＝90°，∴a2＝b2＋c2＝c2＋1， ∴2c2＝a2＋1＝c2＋2，∴c＝ 2，a＝ 3， ∴S△ABC＝12bcsin A＝12bc＝12×1× 2＝ 22．
A．直角三角形
B．等腰非等边三角形
C．等边三角形
D．钝角三角形
解析：∵ssiinn AB＝ac，∴ab＝ac，∴b＝c．
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12．
∵A∈(0，π)，∴A＝π3，∴△ABC 是等边三角形．
答案：C
的对边，且 asin B＝－bsinA＋π3．
(1)求角 A 的大小； (2)若△ABC 的面积 S＝ 43c2，求 sin C 的值． 解：(1)∵asin B＝－bsinA＋π3，∴由正弦定理得 sin A＝－
sinA＋π3，即
sin
A＝－12sin
A－
3 2 cos
[小题纠偏]
1．在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( )
A．无解
B．两解
C．一解
D．解的个数不确定
解析：∵sina A＝sinb B，
∴sin B＝basin A＝2148sin 45°＝232．
又∵a<b，∴B 有两个解，
即此三角形有两解．
答案：B
2．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 a ＝ 3，sin B＝12，C＝π6，则 b＝________． 解析：在△ABC 中， ∵sin B＝12，0<B<π，∴B＝π6或 B＝56π． 又∵B＋C<π，C＝π6，∴B＝π6，∴A＝23π． ∵sina A＝sinb B，∴b＝assiinnAB＝1． 答案：1
＝a2＋2a2×a2－2a4a2＝－ 42，故选 B．
答案：B
2．(2016·北京高考)在△ABC 中，∠A＝23π，a＝ 3c，则bc＝______． 解析：在△ABC 中，∠A＝23π， ∴a2＝b2＋c2－2bccos23π，即 a2＝b2＋c2＋bc． ∵a＝ 3c，∴3c2＝b2＋c2＋bc， ∴b2＋bc－2c2＝0， ∴(b＋2c)(b－c)＝0，∴b－c＝0，
C．等边三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：根据余弦定理有 1＝a2＋3－3a，解得 a＝1 或 a＝2，
当 a＝1 时，三角形 ABC 为等腰三角形，当 a＝2 时，三角
形 ABC 为直角三角形，故选 D．
答案：D
2．在△ABC
中，角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，若ssiinn
A B
＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC 的形状为( )
(2)S＝12bcsin A＝
1 2acsin B ＝
1 2absin C
；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．
[小题体验]
1．(2016·天津高考)在△ABC 中，若 AB＝ 13，BC＝3，∠C
＝120°，则 AC＝
()
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：A
2．在△ABC 中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则 a 等于________． 答案：6 2
[即时应用] (2016·山师大附中一模)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，且 bsin A＝ 3acos B． (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝3，sin C＝2sin A，求 a，c 的值． 解：(1)∵bsin A＝ 3acos B，由正弦定理得 sin Bsin A＝ 3sin AcosB．在△ABC 中，sin A≠0，即得 tan B＝ 3，∴B＝π3． (2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得 c＝2a，由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B，即 9＝a2＋4a2－2a·2acosπ3，解得 a＝ 3，∴c＝2a＝2 3．