复化梯形公式和复化Simpson公式word.doc

数值计算方法上机题目3

一、计算定积分的近似值：

2

21x e xe dx =⎰ 要求：

（1）若用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算，要求误差限7102

1

-⨯=ε，分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估计；

（2）分别利用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算定积分；

（3）将计算结果与精确解比较，并比较两种算法的计算量。

1.复化梯形公式

程序：

程序1（求f （x ）的n 阶导数：

syms x

f=x*exp(x) %定义函数f （x ）

n=input('输入所求导数阶数:')

f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n 阶导数

结果1

输入n=2

f2 =

2*exp(x) + x*exp(x)

程序2：

clc

clear

syms x%定义自变量x

f=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可

f2=inline('(2*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。

f3='-(2*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，以便求最大值

e=5*10^(-8) %精度要求值

a=1 %积分下限

b=2 %积分上限

x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的二阶导数的最小值点，也就是求二阶导数的最大值点对应的x值

for n=2:1000000 %求等分数n

Rn=-(b-a)/12*((b-a)/n)^2*f2(x1) %计算余项

if abs(Rn)

break% 符合要求时结束

end

end

h=(b-a)/n %求h

Tn1=0

for k=1:n-1 %求连加和

xk=a+k*h

Tn1=Tn1+f(xk)

end

Tn=h/2*((f(a)+2*Tn1+f(b)))

z=exp(2)

R=Tn-z %求已知值与计算值的差

fprintf('用复化梯形算法计算的结果 Tn=')

disp(Tn)

fprintf('等分数 n=')

disp(n) %输出等分数

fprintf('已知值与计算值的误差 R=')

disp(R)

输出结果显示：

用复化梯形算法计算的结果Tn= 7.3891

等分数n=7019

已知值与计算值的误差R= 2.8300e-008

2. Simpson公式

程序：

程序1：（求f（x）的n阶导数）：

syms x

f=x*exp(x) %定义函数f（x）

n=input('输入所求导数阶数:')

f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n阶导数

结果1

输入n=4

f2 =

4*exp(x) + x*exp(x)

程序2：

clc

clear

syms x%定义自变量x

f=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可

f2=inline('(4*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的四阶导数，输入程序1里求出的f2即可

f3='-(4*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，一边求最大值

e=5*10^(-8) %精度要求值

a=1 %积分下限

b=2 %积分上限

x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的四阶导数的最小值点，也就是求四阶导数的最大值点对应的x值

for n=2:1000000 %求等分数n

Rn=-(b-a)/180*((b-a)/(2*n))^4*f2(x1) %计算余项

if abs(Rn)

break% 符合要求时结束

end

end

h=(b-a)/n %求h

Sn1=0

Sn2=0

for k=0:n-1 %求两组连加和

xk=a+k*h

xk1=xk+h/2

Sn1=Sn1+f(xk1)

Sn2=Sn2+f(xk)

end

Sn=h/6*(f(a)+4*Sn1+2*(Sn2-f(a))+f(b)) %因Sn2多加了k=0时的值，故减去f(a)

z=exp(2)

R=Sn-z %求已知值与计算值的差

fprintf('用Simpson公式计算的结果 Sn=')

disp(Sn)

fprintf('等分数 n=')

disp(n)

fprintf('已知值与计算值的误差 R=')

disp(R)

输出结果显示：

用Simpson公式计算的结果Sn= 7.3891

等分数n=24

已知值与计算值的误差R= 2.7284e-008

用复化梯形公式计算的结果为：7.3891，与精确解的误差为：2.8300e-008。等分数n=7019

用复化Simpson公式计算的结果为：7.3891，与精确解的误差为：2.7284e-008。等分数n=24

3、柯斯特公式求积分：

程序代码：

（1）function [y,Ck,Ak]=NewtonCotes(fun,a,b,n)