甘肃省兰州一中2011-2012学年度高二下学期期末考试 数学文

甘肃兰州一中2011—2012学年度下学期期末考试高二数学文试题说明: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分100分, 考试时间100分钟. 答案写在答题卡上, 交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中只有一个．．．．选项符合题意)1. 已知集合2{|320,R A x x x x =-+=∈}，{|05,N B x x x =<<∈}, 集合C 满足条件 A C B ⊆⊆, 则集合C 的个数为.1A .2B .3C .4D2. 下列有关命题的说法正确的是.A 命题 “若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠” .B “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件.C 命题“存在R x ∈, 使得210x x ++<”的否定是：“对任意x R ∈, 均有210x x ++<”.D 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题3. 若函数21()sin (),()2f x x x R f x =-∈则是 .A 最小正周期为2π的奇函数.B 最小正周期为π的偶函数 .C 最小正周期为π2的偶函数 .D 最小正周期为π的奇函数4. 已知数列{}n a 为等比数列，若561516(0),a a a a a a b +=≠+=，则2526a a +等于.A b a .B 22b a .C 2b a.D 2b a5. 如右图, AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上, CD AB ⊥于点D , 且3AD DB =, 设COD θ∠=, 则2tan 2θ=1.3A 1.4B .4C - .3D6. 若 1,2,a b c a b ===+，⊥c a ，则向量a 与b 的夹角为.A 30 .B 60 .C 120 .D 1507．一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为.A 2 .B 1.C 13 .D 238. 已知三个函数()2x f x x =+，()2g x x =-，2()log h x x x =+的零点依次为,,,a b c 则,,a b c 的大小关系为.A a b c >>.B a b c << .C a c b <<.D a c b >>9．已知函数),0()0,()(,4)(2+∞⋃-∞-=是定义在x g x x f 上的奇函数，当0x >时，)()(,log )(2x g x f y x x g ⋅==则函数的大致图象为10. 若[2,2]k ∈-，则k 的值使得过点(1,1)A 可以做两条直线与圆222x y k x y ++-504k -=相切的概率等于 .A 21 .B 41 .C 43.D 不确定第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）11. 某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：右图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填 ， 输出的s = .12. 已知,x y 满足不等式30301x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩, 则3z x y =+的最大值是_______________.13．已知半径为4的球O 中有一内接圆柱, 当圆柱的侧面积最大时, 球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 . 14．设,a b 为正实数, 现有下列命题: ① 若221a b -=, 则1a b -<；② 若111b a -=, 则1a b -<；③若1=, 则||1a b -<； ④ 若33||1a b -=, 则||1a b -<.其中的真命题有 .（写出所有真命题的编号）三、解答题（本大题共5大题,共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题8分)如图所示，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ， EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F ，FG 切圆O 于点G .（1）求证：△DFE ∽△EFA ； （2）如果EF =1，求FG 的长. 16.（本小题8分）已知向量(sin ,sin )m A B = ，(cos ,cos )n B A =，sin 2m n C ⋅= ，且ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别,,a b c .（1）求角C 的大小；（2）若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且()18CA AB AC ⋅-=，求c .17. (本小题8分)在长方形11AA B B 中，112,,AB AA C C =分别11,AB A B 是的中点（如下左图）．将此长方形沿1CC 对折，使平面11AA C C ⊥平面11CC B B （如下右图），已知,D E 分别是11A B ，1CC 的中点．（1）求证：1C D ∥平面1A BE ； （2）求证：平面1A BE ⊥平面11AA B B .18. (本小题8分)已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，对*N n ∀∈总有2，n a ，n S 成等差数列. （1）求数列{n a }的通项公式； （2）若2log n n b a =，nn nb c a =，求数列{n c }的前n 项和n T .19. (本小题12分)已知定义在实数集R 上的奇函数()f x 有最小正周期2，且当(0,1)x ∈时，2().41xx f x =+（1）证明()f x 在(0,1)上为减函数； （2）求函数()f x 在[]1,1-上的解析式；（3）当λ取何值时，方程()f x λ=在R 上有实数解.参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11.1234566?,i a a a a a a ≤+++++ 12. 11 13.32π 14.① ④三.解答题（本大题共5大题,共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题8分)（1）证明//EF CBDEF DCB ∴∠=∠. D EF D AB ∴∠=∠， D EF D AB ∴∠=∠.又DFE EFA ∠=∠ DFE ∴ ∽EFA ………………… 4分 （2）解 D FE ∽EFA ，∴FA EF =EFFD. 2EF FA FD ∴=⋅.又FG 切圆于G ，2GF FA FD ∴=⋅. 22EF FG ∴=.EF FG ∴=. 已知1,EF =.1FG ∴= ………………… 8分16.（本小题8分）.解：（1）sin cos sin cos sin()sin m n A B B A A B C ⋅=+=+=,又sin 2m n C ⋅=， sin sin 22sin cos C C C C ∴==1cos ,2C ∴= ………………………3分又0,C π<< .3C π∴=………………………4分(2) 由已知得sin sin 2sin A B C +=，即2a b c +=又∵()18CA AB AC ⋅-=，∴18CA CB ⋅= 36ab =即 ………………………6分由余弦定理得：2222cos 36c a b ab C =+-=∴ 6.c = ………………………8分17.（本小题8分）.解：（1）取1A B 的中点F ,连结,,DF EF111,D F A B A B 分别为，的中点， 11DF A BB ∴∆是的中位线，1111////1122DF BB CC DF BB CC ∴==且 即四边形1C EFD 为平行四边形, 1//EF C D ∴1,E F A B E⊂ 平面 11//.C D A BE ∴平面 ………………………4分（2）依题意：1111A B C A BBA ⊥平面平面,11D A B 为的中点，111A CB 且三角形为等腰直角三角形， 111CD A B ∴⊥，由面面垂直的性质定理得 111C D A BB A ⊥平面， ……………………6分1//,C D EF 又 11EF A BB A ∴⊥平面，1,EF A BE ⊂ 平面平面A 1B E ⊥平面AA 1B 1B . ……………………8分18. (本小题8分)解：（1）∵2，n a , n S 成等差数列， 22n n a S ∴=+当1=n 时，111222a S a ∴=+=+，解得12a ∴=． …………………2分 当2n ≥时，．即1122(22)n n n n n a S S a a --=-=---12n n a a -=即．∴数列}{n a 是首项为2，公差为2的等差数列，2.n n a ∴= ……………………4分 （2）22log log 2,n n n b a n ===又nn nb c a =2n n n c ∴= ………………………5分,2232221322211n n n n na b a b a b T ++++=+++= ①.2232221211432+++++=n n nT ② ①—②，得n n T 212121212132++++= .21+-n n………………………6分 111(1)222212212n n n n n n T +-+∴=-=-- ………………………8分 19. (本小题12分)解：（1）证明：设1212,(0,1)x x x x ∈<且则，12121222()()4141x x x x f x f x -=-++ 1221122412414141x x x x x x +-+=++（）（）（）（） 211212+22214141x x x x x x --=++（）（）（）（）………………………3分 1201x x <<< ，211222,21x x x x +∴>> 1212()-()0,()()f x f x f x f x ∴>>即，∴()f x 在(0,1)上为减函数. ………………………4分（2）(1,0)(0,1)x x ∈-∴-∈,2()41xxf x --∴-=+, ()f x 又为奇函数，2()()41xx f x f x --∴-==-+2()41xxf x --∴=-+ ………………………6分 (1)=(1)(1)=(1)f f f f --- 又，且 (1)(1)=f f ∴=- 2(0,1),4100,1,()2(1,0)41xxxx x x f x x ⎧∈⎪+⎪=±⎪∴=⎨⎪∈-⎪+⎪⎩………………………8分（3）若(0,1),x ∈21()14122x x x f x ∴==++ 又152(2,),22x x +∈ 21()(,),52f x ∴∈ ………………………10分若(1,0),x ∈-21()14122x x xxf x ∴=-=-++ 12()(,),25f x ∴∈--λ∴的取值范围是1221|=0,<<<.2552λλλλ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或-,或 ………………………12 分。