KL变换
k-l变换 原理
k-l变换原理
k-l变换（Kullback-Leibler transform）是一种用于描述两个概
率分布之间的差异的数学方法。
k-l变换被广泛应用于信息论、统计学和机器学习等领域。
其
原理是基于信息熵的概念，即用来描述一个随机变量不确定性的度量。
信息熵可以表示一个概率分布的平均不确定性。
给定两个概率分布P和Q，k-l变换用来计算从P到Q的信息
熵差异，记为D(P||Q)。
其计算公式如下：
D(P||Q) = Σ P(x) log(P(x)/Q(x))
其中，P(x)和Q(x)分别代表P和Q在某个取值x处的概率。
该公式的基本含义是，对于每个取值x，计算P(x)相对于Q(x)的
比例，并求其对数。
然后将所有取值的结果求和。
k-l变换的值越小，表示P和Q之间的差异越小，即两个概率
分布越接近。
当且仅当P和Q是完全相同的分布时，k-l变换
的值为0。
k-l变换可以用于多种任务，如分类、聚类和降维等。
在分类
任务中，k-l变换可以用来计算一个样本与某个类别之间的相
似度。
在聚类任务中，k-l变换可以用来度量不同簇之间的差异。
在降维任务中，k-l变换可以用来选择最具信息量的特征。
总之，k-l变换是一种用于衡量概率分布之间差异的方法，通
过计算两个概率分布之间的信息熵差异来量化它们的相似度或差异性。
Karhunen-Loeve变换
Karhunen-Loeve变换K-L变换（ Karhunen-Loeve Transform）是建立在统计特性基础上的一种变换，有的文献也称为霍特林（Hotelling）变换，因他在1933年最先给出将离散信号变换成一串不相关系数的方法。
K-L变换的突出优点是相关性好，是均方误差（MSE，Mean Square Error）意义下的最佳变换，它在数据压缩技术中占有重要地位。
假定一幅N x N的数字图像通过某一信号通道传输M次，由于受随机噪音干扰和环境条件影响，接收到的图像实际上是一个受干扰的数字图像集合对第i次获得的图像fi(x,y) ，可用一个含N2 个元素的向量Xi 表示，即该向量的第一组分量（N个元素）由图像fi(x,y) 的第一行像素组成，向量的第二组分量由图像 f i(x,y) 的第二行像素组成，依此类推。
也可以按列的方式形成这种向量，方法类似。
X向量的协方差矩阵定义为：m f定义为： C f 和m f 的表达式中，“ E ”是求期望。
对于M幅数字图像，平均值向量 m f 和协方差矩阵 C f可由下述方法近似求得：可以看出，m f 是 N2 个元素的向量， C f 是 N2 x N2 的方阵。
根据线性代数理论，可以求出协方差矩阵的N2 个特征向量和对应的特征值。
假定是按递减顺序排列的特征值，对应的特征向量ei = 。
则K-L变换矩阵A定义为：从而可得K-L变换的变换表达式为：该变换式可理解为，由中心化图像向量 X - mx 与变换矩阵A 相乘即得到变换后的图像向量Y。
Y的组成方式与向量X相同。
K-L变换虽然具有MSE意义下的最佳性能，但需要先知道信源的协方差矩阵并求出特征值。
求特征值与特征向量并不是一件容易的事，维数较高时甚至求不出来。
即使能借助计算机求解，也很难满足实时处理的要求，而且从编码应用看还需要将这些信息传输给接收端。
这些因素造成了K-L变换在工程实践中不能广泛使用。
人们一方面继续寻求解特征值与特征向量的快速算法，另一方面则寻找一些虽不是“最佳”、但也有较好的去相关与能量集中的性能且容易实现的一些变换方法。
实验2_KL变换实验
实验二：KL 变换实验学时：4学时实验目的：1. 掌握特征提取的基本方法。
2. 掌握基于KL 变换的特征提取的方法。
3. 培养学生灵活使用KL 变换进行模式识别的能力。
实验内容：给出ORL 人脸数据库，共有400幅人脸图像（40人，每人10幅，大小为92*112象素）。
其中第一个人的图像如下图：选取数据库中的部分样本（每个人的前5张图片）作为训练样本，其余作为未知的测试样本。
从训练样本中得到KL 变换矩阵，然后对训练样本和测试样本都进行变换，用变换后的数据作最近邻识别，距离可以为对应灰度值之差的平方和，统计识别率。
KL 变换方法简介：设图像数据库图像大小为Width ⨯Height ，令d = Width ⨯Height ，则每幅图像可以用按行或者按列堆成一个d 维向量表示。
令111()()N T T t i i t t i S x m x m N N==--=ΦΦ∑，其中1(,,)t N x m x m Φ=-- 。
特征脸方法(KL 变换方法)是从PCA 方法导出的。
PCA 方法就是要寻找正交归一的变换矩阵12(,,,)d L L W u u u R ⨯=∈ ，1T WW =，使得判别准则()()T t J W tr W S W =达到最大，即arg max ()T t WW tr W S W =。
也就是在T y W x =的正交变换后使得总体散度矩阵y T t t S W S W =的迹最大，即各个样本分离得尽量远，将样本的方差尽量的保留下来，和原样本的均方误差尽量小。
可以证明求得12(,,,)L W u u u = 就是对应于矩阵t S 的前L 个最大的特征值的特征向量。
即12(,,,)L W u u u = 的各列向量是下面特征方程的解：t i i i S u u λ=显然，变换后的y T t t S W S W =是一个对角阵，对角线上的元素为相应的特征值，即1()dt i i tr S λ==∑，也就是说每个特征值都代表了相应的特征向量保留总体散度（方差）的能力。
KL变换和主成分分析
根据经济学知识，斯通给这三个新 变量分别命名为总收入F1、总收入变化 率F2和经济发展或衰退的趋势F3。更有 意思的是，这三个变量其实都是可以直 接测量的。
主成分分析就是试图在力保数据信息丢 失最少的原则下，对这种多变量的数据表进 行最佳综合简化，也就是说，对高维变量空 间进行降维处理。
jd 1
λ j ：拉格朗日乘数
g(uj )
uTj Ru j
j
(u
T j
u
j
1)
jd 1
jd 1
用函数 g(u j ) 对 u j 求导，并令导数为零，得
(R j I )u j 0 j d 1, ,
——正是矩阵 R 与其特征值和对应特征向量的关系式。
• 如果这些数据形成一个椭圆形状的 点阵（这在变量的二维正态的假定下 是可能的）.
3.2 PCA: 进一步解释
• 椭圆有一个长轴和一 个短轴。在短轴方向上， 数据变化很少；在极端的 情况，短轴如果退化成一 点，那只有在长轴的方向 才能够解释这些点的变化 了；这样，由二维到一维 的降维就自然完成了。
分为： 连续K-L变换 离散K-L变换
1．K-L展开式 设{X}是 n 维随机模式向量 X 的集合，对每一个 X 可以
用确定的完备归一化正交向量系{u j } 中的正交向量展开：
X a juj j 1
d
用有限项估计X时 ：Xˆ a juj j 1
aj：随机系数；
引起的均方误差： E[( X Xˆ )T ( X Xˆ )]
总样本数目为 N。将 X 变换为 d 维 (d n) 向量的方法：
kl变换 例题
kl变换例题
K-L变换（Karhunen-Loève Transform）是一种常用的特征提取方法，用于将高维数据投影到低维空间，同时保留数据的主要特征。
以下是一个简单的K-L变换的例子：假设我们有一个二维数据集，包含100个样本，每个样本有2个特征（X1和X2）。
首先，我们需要计算协方差矩阵，该矩阵描述了数据集的方差和协方差。
协方差矩阵计算如下：
Σ = (σ11 σ12; σ21 σ22)
其中，σ11 = Σ (X1 - μ1)^2，σ12 = Σ (X1 - μ1) * (X2 - μ2)，σ21 = Σ (X2 - μ2) * (X1 - μ1)，σ22 = Σ (X2 - μ2)^2。
μ1和μ2分别是X1和X2的均值。
接下来，我们需要计算协方差矩阵Σ的特征值λi和特征向量ei。
这些特征向量将构成新的坐标系，其中新的坐标轴分别与λi对应。
选择前d个特征向量构成投影矩阵E，将数据集投影到这d个特征向量上：
Y = E * X
其中，Y是投影后的数据，X是原始数据。
在本例中，我们将选择前d个最大的特征值对应的特征向量作为投影矩阵。
最后，我们可以将原始数据集X投影到新的坐标系上，得到低维特征Y。
Y将保留原始数据的主要特征，可以用于分类、聚类等机器学习任务。
K-L变换的一些典型应用
K-L变换的性质。
归结起来，它消除了各分量之间的相关性，因而用它来描述事物时，可以减少描述量的冗余性，做到用最经济有效的方法描述事物。
下面结合一些应用实例来说明如何运用K-L变换的这一性质。
1．降维与压缩以人脸图象这个例子看，K-L变换的降维效果是十分明显的。
对一幅人脸图象，如果它由M行与N到象素组成，则原始的特征空间维数就应为M×N。
而如果在K-L变换以及只用到30个基，那么维数就降至30，由此可见降维的效果是极其明显的。
另一方面降维与数据压缩又是紧密联系在一起的。
譬如原训练样本集的数量为V，而现采用30个基，每个基实质上是一幅图象，再加上每幅图象的描述参数(式(补4-3)中的C)，数据量是大大降低，尤其是图象数很大时，压缩量是十分明显的。
2．构造参数模型使用K-L变换不仅仅起到降维与压缩数据的作用，更重要的是每个描述量都有明确的意义，因而改变某一个参数就可让图象按所需要的方向变化。
在没有使用K-L变换的原数据集中对图象的描述量是每个象素的灰度值，而弧立地改变某个象素的灰度值是没有意义的。
而在使用K-L变换后，每个描述量都有其各自的作用。
因此通过改变这些参数的值就可实现对模型的有效描述，这在图象生成中是很有用的。
因此利用K-L变换构造出可控制的，连续可调的参数模型在人脸识别与人脸图象重构采方面的应用是十分有效的。
3．人脸识别利用K-L变换进行人脸图象识别是一个著名的方法。
其原理十分简单，首先搜集要识别的人的人脸图象，建立人脸图象库，然后利用K-L变换确定相应的人脸基图象，再反过来用这些基图象对人脸图象库中的有人脸图象进行K-L变换，从而得到每幅图象的参数向量(试问用哪个公式？)并将每幅图的参数向量存起来。
在识别时，先对一张所输入的脸图象进行必要的规范化，再进行K-L变换分析，得到其参数向量。
将这个参数向量与库中每幅图的参数向量进行比较，找到最相似的参数向量，也就等于找到最相似的人脸，从而认为所输入的人脸图象就是库内该人的一张人脸, 完成了识别过程。
KL变换
1. 主分量分析（PCA ）、K-L 变换（Hotelling 变换） 一般而言，这一方法的目的是寻找任意统计分布的数据集合之主要分量的子集。
相应的基向量组满足正交性且由它定义的子空间最优地考虑了数据的相关性。
将原始数据集合变换到主分量空间使单一数据样本的互相关性(cross-correlation)降低到最低点。
设s j x j ,...,1:=是N 维向量的数据集合，m 是其均值向量：有了特征向量集合，任何数据x 可以投影到特征空间（以特征向量为基向量）中的表示：相反地，任何数据x 可以表示成如下的线性组合形式：如果用A 代表以特征向量为列向量构成的矩阵，则A T 定义了一个线性变换：上述去相关的主分量分析方法可以用于降低数据的维数。
通过略去对应于若干较小特征值的特征向量来给y 降维。
例如，丢弃底下N-M 行得到N M ⨯的矩阵B ，kk sj Tj j x j j j sj j u d d s C mx d d x s m 向量及满足下列条件的特征特征值求出其从大到小排列的协方差矩阵是：是：差别向量λ∑∑===-==1111⎩⎨⎧≠===kl k l u u kl k T l ,0,1,δT N T k k y y y y m x u y ),...,,(,)(21=-=∑=+=s k k k u y m x 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==+=-=N x T y T A C A C A Ay m x m x A y λλ00()(1 ：变换后的协方差矩阵为是正交矩阵）并为简单起见假定均值m=0，则有：它只是被舍弃的特征向量所对应的特征值的和。
通常，特征值幅度差别很大，忽略一些较小的值不会引起很大的误差。
上述方法是图象数据压缩的数学基础之一，通常被称为Principal Component Analysis (PCA)或Karhunen-Loeve (K-L)变换。
K-L 变换的核心过程是计算特征值和特征向量，有很多不同的数值计算方法。
K-L变换
K-L 变换（Karhunen-Lo éve ）离散K-L 展开式的矩阵表示设非周期随机过程)(t x ，在采样区间[a, b]作均匀采样，采样样本表示为向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()(21D t x t x t x x （理解为每个样本向量有D 个特征）其相关函数][T xx E 为D 维方阵，有D 个线性无关的特征向量。
【假如有N 个采样样本，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯DN D D N N ND x x x x x x x x x212222111211x ， 相关函数][Txx E ＝TN D N D N⨯⨯x x 1】 则采样序列x 的展开式仅含有D 项∑-=Dj j c 1jx ϕ，式中，j ϕ为第j 个正交基函数（也叫基向量），j c 为对应的展开式系数。
【对于“K-L 展开式满足正交变换，且是最小均方误差的”证明如下：】假设向量集合),2,1}({ =i i x 中的x 可以用完备正交归一向量系或者称为变换基向量),,2,1(∞= j i u 来展开，则有∑∞==1j j j c u x基向量满足正交性⎩⎨⎧≠==i j ij j T i ,0,1u u在离散情况下使用有限基向量集合来表示，即∑==dj jj c 1ˆux其均方误差为][)]()[()]ˆ()ˆ[(1211∑∑∑∞+=∞+=∞+===--=d j jd j jjT d j jjTcE c c E E u u x x xx ξ将展开式系数x u Tj j c =（理解为x 在基坐标上的投影，而展开式系数就是坐标值）代入均方误差表达式，有∑∑∑∞+=∞+=∞+====111)(][d j jT jd j j TT jd j j TT jE E ψuu u xx uu xx u ξ（理解上式中j TT j j c u x x u ==，因为是行向量和列向量）)(T E xx ψ=为自相关矩阵（这是一个对称矩阵，因为T T T xx xx =)(）由拉格朗日条件极值法求均方误差的极限，相应的拉格朗日函数为]1[)(11--=∑∑∞+=∞+=jT jd j jd j j Tjj L u u ψu uu λ令0)(=j jL d du u （理解j 从的d ＋1取到无穷，总共就有这么多方程） 则022=-j j j u ψu λ得0)(=-j j u E ψλ，∞+=,,1 d j 【 这是矩阵的导数问题！相关概念知识如下： 令A 是一个与列向量x 无关的矩阵，则T ∂=∂x A A x ， ()T T T ∂=+=+∂x AxAx A x A A x x 特别地，若A 为对称矩阵，则有2T ∂=∂x AxAx x证明：前半部分：假设111221112222111112212211122111222222()()()()Tx a x a x a x a x x a a aa x a x a x a x a x x ∂∂⎡⎤++⎢⎥∂∂⎡⎤∂⎢⎥===⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎣⎦++⎢⎥∂∂⎣⎦x A A x 后半部分：11nnTij i j i j A x x ===∑∑x Ax — 一个多项式梯度T ∂∂x Axx（是一个列向量）的第k 个分量为1111[]T n n n nk ij ijik ikjji j i j kA x x A x A xx ====∂∂==+∂∂∑∑∑∑x Ax x()T T T ∂=+=+∂x AxA x Ax A A x x】 其解就是使均方误差为极小的基向量j u ，同时求得的j u 为矩阵ψ的特征向量，其对应的特征值为j λ，则截断均方误差为∑∞+==1d j jλξ（此处用矩阵对角化的概念理解j j T j λ=ψu u ），式中j λ为矩阵ψ的特征值。
k l变换原理
k l变换原理
KL变换原理是一种基于信息论的数学方法，用于解决信号处理和模式识别问题。
它最早由著名的信息论学家Claude Shannon提出，得名于他的名字和信息熵的首字母。
KL变换原理可以用来衡量两个概率分布之间的差异。
它通过计算两个分布的KL散度来度量这种差异。
KL散度是一个非对称的度量，意味着它用来衡量一个概率分布相对于另一个分布的“信息损失”。
在信号处理中，KL变换可以将一个信号从一个域（如时域或空域）转换到另一个域（如频域或小波域）。
这种变换可以提取信号中的特征，并且常常用于信号压缩、图像处理和模式识别等应用中。
KL变换的基本思想是通过最小化KL散度的方式来找到最佳的变换。
这样做可以最大限度地保留信号中的信息，并且能够减少噪声和冗余。
根据KL变换原理的定义，当两个概率分布相同时，KL散度为0，即两个分布完全相同。
在实际应用中，KL变换原理可以应用于多种领域，如图像处理、语音识别、数据挖掘等。
它为处理复杂的信号和数据提供了一种有效且理论上坚实的方法。
然而，由于KL变换原理的计算复杂度较高，对于大规模数据和高维信号的处理仍然面临一定的挑战。
总之，KL变换原理是一种重要的数学方法，用于解决信号处
理和模式识别问题。
它通过度量概率分布之间的差异来提取信号中的特征，并且在多个领域中得到广泛应用。
k-l变换的原理
k-l变换的原理
k-l变换又称为Karhunen-Loève变换，是一种统计学中常用的
线性变换方法，可以将具有相关性的样本数据转化为无关的特征变量。
其主要原理是通过对协方差矩阵的特征值分解和特征向量的选择，找到一组最能描述样本数据特征的基向量，并将原始数据变换到这组基向量所张成的新坐标系中。
具体而言，k-l变换的原理包括以下几个步骤：
1. 数据的预处理：对原始数据进行零均值化，将每个特征的平均值减去整体平均值。
这样做可以消除样本的直流分量，使得变换后的数据更加稳定。
2. 构建协方差矩阵：根据预处理后的数据，计算其协方差矩阵。
协方差矩阵描述了数据向量之间的相关性，是k-l变换的基础。
3. 特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
特征值代表了协方差矩阵的特征，而特征向量表示了数据在新坐标系中的方向。
4. 特征向量的选择：选择协方差矩阵特征值从大到小排序后的前k个特征向量作为基向量，其中k是希望保留的特征数目。
选择前k个特征向量的原因是这些向量对应的特征值较大，能够更好地保留原始数据的信息。
5. 数据变换：将原始数据通过选取的特征向量进行线性变换，得到新的特征变量。
这些特征变量是在新的坐标系下表示的，
它们之间是相互独立且无关的。
通过k-l变换，我们可以将原始数据从高维空间转换到低维空间，同时保持了最多的数据信息。
这一转换使得后续的数据处理和分析更加简便和高效。
KL变换和主成分分析精讲
系数向量a就是变换后的模式向量。
2．利用自相关矩阵的K-L变换进行特征提取
设 X 是 n 维模式向量， { X } 是来自 M 个模式类的样本集， 总样本数目为 N。将 X 变换为 d 维 (d n) 向量的方法：
第一步：求样本集{X}的总体自相关矩阵R。 N 1 R E[ XX T ] X j X T j N j 1 第二步：求 R 的特征值 λ j ， j 1,2,, n 。对特征值由大到小
j 1
d
矩阵形式：
X Ua
（5-49）
T a [ a , a , , a ] 式中， ，U nd [u1 ,, u j ,, ud ] 。 1 2 d T u [ u , u , , u ] 其中： j j1 j2 jn
T u1 T u2 T U U [u1 u2 ud ] I T u d T —— K-L变换 对式(5-49)两边左乘U t ：a U X
5.1 基于K-L变换的多类模式特征提取
特征提取的目的： 对一类模式：维数压缩。 对多类模式：维数压缩，突出类别的可分性。
卡洛南-洛伊（Karhunen-Loeve）变换（K-L变换）： * 一种常用的特征提取方法； * 最小均方误差意义下的最优正交变换； * 适用于任意的概率密度函数；
* 在消除模式特征之间的相关性、突出差异性方面 有最优的效果。
利用K-L变换进行特征提取的优点： 1）变换在均方误差最小的意义下使新样本集{X *}逼近原样本集 {X}的分布，既压缩了维数又保留了类别鉴别信息。
2）变换后的新模式向量各分量相对总体均值的方差等于原样本 集总体自相关矩阵的大特征值，表明变换突出了模式类之间 的差异性。 0 1 2 C * E{( X * M * )( X * M * ) T } d 0
第二章 正交变换、K-L变换与离散余弦变换
从数学的观点看，“集合”等效于空间。比如， 实数集合构成一维实数空间，记为R1，复数集合 构成一维复数空间，记为C1。 一般我们研究的是带有一定规律的“空间”，最 常见的是“线性空间”。粗略的说，线性空间指 这样一种集合，其中任意两元素的线性组合得到 集合内的另一元素。 把集合中的元素和信号之间建立对应关系，我们 就可以把线性空间理解为信号矢量空间。
1.2 常见的线性空间
N维实数空间RN和N维复数空间CN 连续时间信号空间L，定义在复数或实数域 上，时间变量为实数：无穷维空间 离散时间信号空间l，定义在复数或实数域 上，自变量为整数：无穷维空间或有限维 空间
1.3 范数(norm)
范数是矢量长度的度量，与信号的能量特性 相关 线性空间中元素x的范数以符号||x||表示，满 足以下公理 （1）半正定性: x ≥ 0 ， x = 0 iff x=0 （2）正齐性: （3）三角不等式:
2.3 H空间中的正交变换
设X和Y为两个H空间，矢量x∈X，矢量 y∈Y，若将x变换到y，有关系式 y = Ax A为线性算子，完成的是线性变换，若有 < Ax, Ax > = < x , x > = < y, y >，则变换 前后，二阶范数保持不变，这是一种正 交变换，正交变换保持了变换前后的能 量相同。
4.3 2N点FFT来实现DCT
令x(n)=0,n=N,…2N-1 DCT可写成(k>0)
X c (k ) =
2π j nk 2 N 1 2N 2 jk π / 2 N Re{ e ∑0 x 2 N ( n ) e N n=
上式告诉我们，计算一个N点的DCT可通过 2N点FFT来实现，步骤是：
第二章 正交变换、 正交变换、K-L变换 与离散余弦变换
KL变换与主成分分析
。由大于
的
对应的特征向量构成主成分，主成分构成的变换矩阵为：
这样每一幅为M×d。有了这样一个降维的子空间，任何一幅人脸图像都可以向其作投影
，即并获得一组坐标系数，即低维向量y，维数d×1,为称为KL分解系数。这组系数表明了图像在子空间的位置，从而可以作为人脸识别的依据。
矩阵形式：
上式两边乘以U的转置，得
向量y就是变换（降维）后的系数向量，在人脸识别Eigenface算法中就是用系数向量y代替原始特征向量x进行识别。
下面，我们来看看相关矩阵R到底是什么样子。
因此，我们可以看出相关矩阵R是一个实对称矩阵（或者严谨的讲叫正规矩阵），正规矩阵有什么特点呢？？学过《矩阵分析》的朋友应该知道：
若矩阵R是一个实对称矩阵，则必定存在正交矩阵U，使得R相似于对角形矩阵，即：
因此，我们可以得出这样一个结论：
降维后的系数向量y的相关矩阵是对角矩阵，即通过K-L变换消除原有向量x的各分量间的相关性，从而有可能去掉那些带有较少信息的分量以达到降低特征维数的目的。
2、主成分分析（PCA)
主成分分析（PCA）的原理就是将一个高维向量x,通过一个特殊的特征向量矩阵U，投影到一个低维的向量空间中，表征为一个低维向量y，并且仅仅损失了一些次要信息。也就是说，通过低维表征的向量和特征向量矩阵，可以基本重构出所对应的原始高维向量。
这个公式由来我想应该是任一n维欧式空间V均存在正交基，利用施密特正交化过程即可构建这个正交基。
现在我们希望用d个有限项来估计向量x，公式如下：
计算该估计的均方误差如下：
要使用均方误差最小，我们采用Langrange乘子法进行求解：
因此，当满足上式时，
取得最小值。
K L变换
K-L变换的应用
卡亨南洛维（Ｋ-Ｌ）变换法在图像压 缩、地震勘探资料处理、探地雷信号处 理以及语音增强中有广泛应用。
它将信号展开为正交基函数的线性组合， 使得信号相对于基函数的各个分量不会 互相干扰。
正交基函数根据信号观测样本的自相关 矩阵进行适当选择，就可能在所有正交 基函数中获取具有最小均方误差的信号 表示。
在均方误差最小的情况下所表示的信号 算是最优的信号表示。
K-L变换在雷达高度表中应用
假设对接收到的回波数据序列取N个点的 样本表示： (1) x [ x(1), x(2),, x( N )]
(2) N 为数据长度，x 的自相关矩阵为R E{xx } 。 由于 Rx 是一个正定矩阵，因此必然存在一 个正交矩阵 u (u, u2 ,, uN ) 使：
1 k ,l uu l,k 0 k , u T x ( y1 , y2 ,, y N )T （6）
N 1 随机矢量 y 即为 x 的K-L变换。
R 实际处理中，x自相关矩阵 往往只是 k 个相对 比较大的特征值，代表了信号的主要能量。 因此，对于高度表回波数据，则可认为这几 个特征值反映了目标信号，而其余较小的特 征值所反映的是杂波。
T j
)ui
i k 1
（7）
i
N
由于 , i k 1, k 2,, N 都是自相关矩阵 Rx 的次特 征值，故均方误差 Ek 很小。
i
H x
x(k ) s(k ) n(k )
i 0 q u T Rx u 0
T l k
0
2
1.k-l变换的原理
1.k-l变换的原理
k-l变换是指在机械设计过程中，通过调整零件的轮廓来改变零件的强度和刚度的一种方法。
k-l变换的原理是利用结构的等效截面模量与等效截面系数之间的关系，通过调整零件的截面形状来改变结构的刚度和强度。
k-l变换的原理可以用下列公式表示：
K = k × I / A
其中，K是结构的等效截面模量，k是截面系数，I是截面惯性矩，A是截面面积。
由公式可知，当截面形状发生变化时，截面惯性矩I和截面面积A会发生变化，进而改变等效截面模量K的值，从而改变零件的强度和刚度。
KL变换、DCT、DFT比较
plot(k,xkl,'r');
hold on
corrcoef(x,xkl)
%x和xkl的协方差即两者相似的程度
%ydct为x的dct变换截取前十个点，xdct为ydct的逆dct变换
xx2=dct(x);
ydct=zeros(100,1);
ydct(1:10)=xx2(1:10);
xdct=idct(ydct);
xdft=ifft(ydft);
corrcoef(x,xdft)
%x和xdft的相似程度
plot(k,xdft,'k');
legend('x','xkl','xdct','xdft',0)
hold off
请您及时更换请请请您正在使用的模版将于2周后被下线请您及时更换
KL变换、 DCT、 DFT比较
KL变换、DCT、DFT比较
%产生100点信号x，改变f可以改变单频信号的频率
f=0.1;
N=99;k=0:N;
x=sin(2*pi*f*k)+0.1*randn(1,1+N);
x=x';
plot(k,x,'b');hold on
title('频率为0.01Hz');
%yy为x的KL变换截取前十个点，xkl为y的逆KL变换
r=xcorr(x);
cr(1:100)=r(100:end);
C=toeplitz(cr);
[U,S,V]=svd(C);
y=U'*x;
yy=zeros(100,1);
yy(1:10)=y(1:10);
K-l变换.
f x, y f1 x, y L fl x, y
Step2 : 采用行堆叠将每一个M N大小样本表为向量
fi,0
fi j,0
fi
fi,1 M
其中元ห้องสมุดไป่ตู้fij
fi j,1
M
fi,M
1
fi
j,
N
1
Step3：定义f向量的协方差阵和相应变换核矩阵
Y = AX 式中：X为变换前多光谱空间的像元矢量；
Y为变换后多光谱空间的像元矢量； A为一个n×n的线性变换矩阵。
对于K-L变换中的矩阵A，必须满足以下要求：
✓ A为n×n正交矩阵，A=[φ1,φ2,φ3,…,φn] ✓ 对正交矩阵A来说，取φi为X的协方差矩阵∑x
的特征向量，协方差矩阵除对角线以外的元 素都是零
量 之间的信息是相互独立的。
一维K-L变换
一种可以去掉随机向量中各元素间相关性的线性变换。 STEP1：定义协方差矩阵。
假设f 是一个N 1的随机向量集合f f1, f2 , f3,L , fn，
即fi都是随机变量,f 的均值可统计N个样本向量估计。
E f
1 N
N i1
fi
其协方差矩阵定义为
∑y =
λ 1
0
... 0
0
λ 2
...
0
... ... ... ...
0
0
...
λ n
这里λ按由小到大的顺序排列。K-L变换后新的坐标轴
的是选y1,择y2,分y3…布y的n为主个要特分征量矢作量为的新方的向坐，标由轴上，式对表角明化这表实明际了上新
的分量彼此之间是互不相关的，即变换后的图像Ｙ的各分
数字图像 K-L变换
STEP3：定义变换核矩阵和反变换。
因此变换核矩阵为特征向量组成 1 2 n 正交化后为*，将* 记作A。 因此定义一维K L变换为 F
*T T
f A f
反变换定义为
f * F AT F
1 主分量分析（K-L变换）
f f
T
1 N T f f N i 1
1N T fi fi T N i 1
1 主分量分析（K-L变换）
STEP2：求协方差矩阵的特征值和特征向量。
C f i i i， 0 i N 1 式中i是特征值，相应的特征向量是 i。
a2 an
1 主分量分析（K-L变换）
4 CF中各元素是不相关的
由于CF 为对角阵，所以各元素是不相关的。 由于K L变换是正交对称的，所以 A A
T 1 T
5 特征值i就是特征向量ai方向上f 第i个元素的方差
所以反变换 f A F uf
1 主分量分析（K-L变换）
Digital Image
1 主分量分析（K-L变换）
3）主分量分析及一维K-L变换
一种可以去掉随机向量中各元素间相关性的线性变换。 STEP1：定义协方差矩阵。
假设f 是一个N 1的随机向量集合f f1 , f 2 , f 3 ,, f n ， 即fi都是随机变量,f 的均值可统计N 个样本向量估计。 1 N E f fi N i 1 其协方差矩阵定义为 Cf E
2 图像数据压缩
Fk 相当于原F的K 维投影。 图象重建后恢复的图象为， A TF f