第二章 算法
第二章 算法概述(下)
枚举法的应用
打印“九九乘法表” 可使用枚举法的问题还有如
完全平方数 完全平方数是指能写成一个正整 数的平方的数，如25=5^2，所以， 25是完全平方数。100=10^2，所 以，100也是完全平方数。
17
百钱买百鸡问题：有一个人有一百块钱，打算买 一百只鸡。到市场一看，大鸡三块钱一只，小鸡 一块钱三只，不大不小的鸡两块钱一只。现在， 请你编一程序，帮他计划一下，怎么样买法，才 能刚好用一百块钱买一百只鸡？ 此题很显然是用枚举法，我们以三种鸡的个数 为枚举对象（分别设为x,y,z）,以三种鸡的总数（ x+y+z）和买鸡用去的钱的总数(x*3+y*2+z/3)为 判定条件，穷举各种鸡的个数。
11
问题分析：
使用列表保存5种水果名。 通过三重循环结构，枚果（解空间） 它们互不相等（筛选条件） 摆放先后次序有区别
•
输出所有可能的方案。
12
算法步骤描述：
步骤1：建立水果列表fruit； 步骤2：使变量x遍历fruit 步骤3：对于x的每个值，使变量y遍历fruit 步骤4：对于x、y的每个值，使变量z遍历fruit 步骤5： 若zx且 zy 且xy 打印该方案
29
递推与迭代
递推的过程实际上就是迭代的过程，即 不断用变量的旧值推出新值的过程。 一般递推使用数组（列表），在循环处 理时利用其下标的变化实现变量的迭代 ，而狭义的迭代是指使用简单变量来完 成这一过程。
30
程序设计中的数组（列表）是指具有相同 名称、通过下标区分的一组变量。 如：a[0]、a[1]、a[2]或b[1,1]、b[1,2] 、b[1,3]、b[2,1]、b[2,2]、b[2,3]等。 在循环结构中，通过变量控制其下标值的 变化(如a[i]、b[i,j])，达到变量轮换的目的。 例如：循环：从a[0]到a[9] 循环：a[i]， i从0到9
C语言程序设计(谭浩强版)第二章
不应是中断程序的执行，而应是返回一个
表示错误或错误性质的值，以便在更高的
抽象层次上进行处理。
算法设计的原则
4．高效率与低存储量需求
通常，效率指的是算法执行时间； 存储量指的是算法执行过程中所需 的最大存储空间， 两者都与问题的规模有关。
算法设计的原则
算法的时间复杂度
第二章 程序的灵魂——算法
2.1 算法的概念 2.2 算法的简单举例
2.3 算法的特性 2.4 怎样表示一个算法 2.5 结构化程序设计方法
算法的概念
计算机应用： 提取数学模型—设计算法— 编程—测试—应用
程序设计=数据结构+算法
数据结构：对数据的描述 算法：对操作的描述 除此之外程序设计还包括：程序设计方法， 和程序设计语言
怎样表示一个算法
例4的伪代码表示法如下 开始 读入整数n 置sum的初值为0 置k的初值为1 执行下面的操作： 如果k为奇数，置item=1/k 如果k为偶数，置item=-1/k sum=sum+item 直到k>n 打印sum的值 结束
算法设计的原则
算法设计的原则
设计算法时，通常应考虑达到以下目标： 1.正确性 2.可读性 3.健壮性 4.高效率与低存储量需求
从算法中选取一种对于所研究的问题 来说是 基本操作 的原操作，以该基 本操作 在算法中重复执行的次数 作 为算法运行时间的衡量准则。
结构化程序设计方法
采用结构化算法写成的计算机程序是结构 化程序。要编写出结构化程序，经常采用 的方法是结构化程序设计方法。这种方法 的基本思路是： 把给定的问题按层次（纵方向）、分阶段 （横方向）分解为一系列易于编程解决的 小问题，然后对应着这些分解的小问题， 设计结构化的算法，最后采用语言将算法 描述出来。这样一种程序设计方法就是结 构化程序设计方法。
《计算机算法基础》教学大纲
《计算机算法基础》教学大纲计算机算法基础教学大纲课程简介本课程作为计算机科学与技术专业必修课，旨在让学生掌握计算机算法的基础知识和基本应用，为后续深入研究算法提供基础。
教学目标通过本课程的研究，学生将能够：- 熟练掌握常用的计算机算法- 理解各种算法的基本思想和运行原理- 能够运用算法进行简单的问题求解和程序设计- 培养编写高效算法的能力教学内容第一章算法基础1.1 算法的定义和特性1.2 算法的分类1.3 时间复杂度和空间复杂度第二章常用算法2.1 排序算法（冒泡排序、快速排序、归并排序）2.2 查找算法（顺序查找、折半查找、哈希查找）2.3 图算法（最短路径算法、最小生成树算法）第三章算法应用3.1 算法在智能搜索、机器研究等领域的应用3.2 算法在计算机游戏、网络安全等领域的应用3.3 算法在大数据处理中的应用教学方法本课程采用讲授和实践相结合的教学方法。
教师将通过课堂讲解、板书演示、案例分析等方式向学生介绍算法基础原理和应用技巧，并通过实例编程和练巩固学生的实际应用能力。
考核方式本课程考核方式包括课堂作业、实验报告、期中考试和期末考试。
其中，期中考试占30%的成绩，期末考试占50%的成绩，课堂作业和实验报告占20%的成绩。
教材与参考书目教材《数据结构与算法分析》，作者：Mark Allen Weiss，出版社：机械工业出版社参考书目《算法导论》，作者：Thomas H. Cormen，出版社：机械工业出版社《算法设计与分析基础》，作者：Sun Limin，出版社：高等教育出版社实验环境本课程实验环境为Windows操作系统，使用Java语言进行编程实现。
教学进度。
第二章-算法推荐原理
四、用户画像的“冷启动”
策略二：
用户分类和聚类。尽管个体用户都有“千人千面”的兴趣特点，但在 一定程度上仍可以对用户进行分类和聚类，而针对同一类用户的推荐对此 类用户中的所有个体的推荐均有一定的有效性和合理性。具体地，对于新 注册使用系统的用户，可以使用其基本信息标签（如性别、年龄、手机机 型、网络特征、地理位置）
在这种情况下，算法推荐系统可以根据用户的授权读取用户在微博、微信 等平台的公开数据如昵称、发布内容、阅读历史等等，如此便可在不需要 用户直接提供个人兴趣爱好信息的情况下，使用自然语言处理和机器学习 等算法，根据用户在其他服务中的行为数据提取用户的兴趣特征，扩充用 户画像的标签数量，达到尽快完善用户画像的目的。
五、用户画像的设置和调整策略
一、用户画像的概念和作用
用户画像在多个领域都有广泛的应用，并不局限于算法分发系统。涉及用户画像 的领域通常与销售、推荐和个性化服务相关。以下简要介绍用户画像的一般作用。
●精准营销： 分析产品的潜在用户，定向特定群体。比如，在内容推荐领域，假设系统中
有一则关于花样滑冰的新闻，则可以定向推送给画像包含“花样滑冰”或某些花 样滑冰运动员名字的用户。
用户画像的构建过程可以分为三个阶段 第一阶段进行基础数据的收集。重点采集用户的个人信息、网络使用行为等 方面的数据。 第二阶段对采集到的基础数据进行分析和挖掘，实现用户行为的建模。 第三阶段是为每个用户构建个性化的用户画像，这是对前两个阶段采集数据 的进一步提炼和抽象。
二、如何构建用户画像
用户画像的构建并不是孤立静态的单次过程，推荐系统会根据用户的行为数据 不断更新用户画像，以达到提高刻画用户特征准确度的目的，最终目标是提高 推荐的准确度和有效性。
二、算法分发系统的基本模型
算法之2章递归与分治
算法分析(第二章)：递归与分治法一、递归的概念知识再现：等比数列求和公式：1、定义：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
2、与分治法的关系：由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
3、递推方程：(1)定义：设序列01,....na a a简记为{na}，把n a与某些个()ia i n<联系起来的等式叫做关于该序列的递推方程。
(2)求解：给定关于序列{n a}的递推方程和若干初值，计算n a。
4、应用：阶乘函数、Fibonacci数列、Hanoi塔问题、插入排序5、优缺点：优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。
缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。
二、递归算法改进：1、迭代法：(1)不断用递推方程的右部替代左部(2)每一次替换，随着n的降低在和式中多出一项(3)直到出现初值以后停止迭代(4)将初值代入并对和式求和(5)可用数学归纳法验证解的正确性2、举例：-----------Hanoi塔算法----------- ---------------插入排序算法----------- ()2(1)1(1)1T n T nT=−+=()(1)1W n W n nW=−+−（1）=021n-23()2(1)12[2(2)1]12(2)21...2++2 (121)n n n T n T n T n T n T −−=−+=−++=−++==++=−（1）2 ()(1)1((n-2)+11)1(2)(2)(1)...(1)12...(2)(1)(1)/2W n W n n W n n W n n n W n n n n =−+−=−−+−=−+−+−==++++−+−=−3、换元迭代：(1)将对n 的递推式换成对其他变元k 的递推式 (2)对k 进行迭代(3)将解（关于k 的函数）转换成关于n 的函数4、举例：---------------二分归并排序---------------()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0（1）换元：假设2kn =，递推方程如下()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0 → 1(2)2(2)21k k k W W W−=+−（0）=0（2）迭代求解：12122222321332133212()2(2)212(2(2)21)212(2)22212(2)2*2212(2(2)21)2212(2)222212(2)3*2221...2(0)*2(22...21)22k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k W n W W W W W W W W k k −−−−−−−+−+−−−=+−=+−+−=+−+−=+−−=+−+−−=+−+−−=+−−−==+−++++=−1log 1n n n +=−+（3）解的正确性—归纳验证： 证明递推方程的解是()(1)/2W n n n =−()(1)1W n W n n W =−+−（1）=0,(n 1)=n +n=n(n-1)/2+n =n[(n-1)/2+1]=n(n+1)/2n W W +方法：数学归纳法证 n=1,W(1)=1*(1-1)/2=0假设对于解满足方程，则（）---------------快速排序--------------------->>>平均工作量：假设首元素排好序在每个位置是等概率的112()()()(1)0n i T n T i O n n T −==+=∑ >>>对于高阶方程应该先化简，然后迭代(1)差消化简：利用两个方程相减，将右边的项尽可能消去，以达到降阶的目的。
算法-第2章-算法效率分析基础
The Big-O and Related Notations
2.2.7 基本的效率类型
1 log n n n log n n2 n3 2n n! constant logarithmic linear n log n quadratic cubic exponential factorial
思考
2.2.2 符号О
定义1 我们把函数t(n)属于O(g(n)) ，记作t(n) ∈ O(g(n)) ; 它的成立条件是：对于所有足够大的n， t(n) 的上界由g(n) 的常数倍数所确定，也就是说，存在大于0的常数c和非负 的整数n0，使得： 对于所有的n≥ n0来说， t(n) ≤c g(n)
cg(n)
2.2 渐进符号和基本效率类型
2.2.1 非正式的介绍
O(g(n)) 是增长次数小于等于g(n) (以及其常数倍，n趋 向于无穷大)的函数集合。 n∈O(n2),100n+5∈O(n2), n(n-1) /2 ∈O(n2),n3∈/ O(n2), Ω(g(n))，代表增长次数大于等于g(n)(以及其常数倍,n趋 向于无穷大)的函数集合。 n3∈ Ω(n2)， n(n-1) /2 ∈ Ω(n2)，但是100n+5 ∈/ Ω(n2) Θ(g(n))是增长次数等于g(n) )(以及其常数倍,n趋向于无 穷大)的函数集合。因此，每一个二次方程an2+bn+c在 a>0的情况下都包含在Θ(n2)中，除了无数类似于n2+sin n和n2+log n的函数（你能解释原因吗？）。
t(n) cg(n)
n0之前的情 况无关重要
n n0 符号Ω：t(n)∈Ω(g(n))
2.2.4 符号Θ
定义 3 我们把函数t(n)属于Θ(g(n)) ，记作t(n) ∈Θ(g(n)) ; 它的成立条件是：对于所有足够大的n， t(n) 的上界和下 界都由g(n)的常数倍数所确定，也就是说，存在大于0的 常数c1，c2和和非负的整数n0，使得： 对于所有的n≥ n0来说， c2g(n) ≤t(n) ≤ c1g(n)
第二章程序的灵魂——算法
S1: 1 i;
S2: 如果gi80,则打印ni和gi,否则不打印。 S3: i+1 i; S4: 如果i50,返回s2,继续执行，否则算法结束。 本例中，变量i作为下标，用它来控制序号（第几个
学生，第几个成绩）。当 i超过50时，表示已对50 个学生的成绩处理完毕，算法结束。
例4
判断2000年---2500年中的每一年是否闰 年，将结果输出。
束。最后得到的p就是5!的值。
例2.求1×3×5×7×9 ×11
• 如果题目改为求1×3×5×7×9 ×11。 上述算法稍作改动： s1: 1 p; s2: 3 i; s3: p ×i p; s4: i+2 i s5: 若i11,返回s3;否则，结束。
求1×3×5×7×9 ×11
可以看出，用这种方法表示的算法 具有通用性、灵活性。S3到s5 组成一个 循环，在实现算法时，要反复多次执行 s3、s4、s5等步骤，直到某一时刻，执 行s5步骤时经过判断，乘数i已超过规定 的数值而不返回s3步骤为止。
•N-S流程图适于结构化程序设计
顺序结构程序设计
•依次顺序执行程序语句 执行a块 执行b块
先执行a操作，再执行b操作
判别选择结构程序设计
满足条件否
满足
不满足
执行a块 执行b块
•当条件成立，执行a操作，当条件不成立，执行b操作。 a，b操作允许空操作，即什么都不做。注意选择结构 是一个整体，代表一个基本结构。
买电视机的步骤：
选好货物 开票 付款
拿发票
取货
回家
考大学上大学的步骤
填报名单 交报名费
拿准考证
参加考试
报到注册
得到录取通知书
2.2、 简单算法举例
第2章 算法分析基础(《算法设计与分析(第3版)》C++版 王红梅 清华大学出版社)
3
Page 11
2.1.2 算法的渐近分析
常见的时间复杂度：
Ο(1)＜(log2n)＜(n)＜(nlog2n)＜(n2)＜(n3)＜…＜(2n)＜(n!)
多项式时间，易解问题
算
法
指数时间，难解问题
设 计 与
分
析
（
第
时间复杂度是在不同数量级的层面上比较算法
版 ）
清
华
大
学
时间复杂度是一种估算技术（信封背面的技术）
Page 7
2.1.2 算法的渐近分析
3
每条语句执行次数之和 = 算法的执行时间 ＝ 每条语句执行时间之和
基本语句的执行次数 for (i = 1; i <= n; i++)
单位时间
算
法
设
计
与
执行次数 × 执行一次的时间
分 析 （
第
for (j = 1; j <= n; j++)
版 ）
x++;
指令系统、编译的代码质量
算法设计：面对一个问题，如何设计一个有效的算法
算
法
设
检
指
验
导
评
计 与 分 析 （ 第 版
改
估
） 清
进
华 大
学
出
版
算法分析：对已设计的算法，如何评价或判断其优劣
社
3
Page 3
2.1.1 输入规模与基本语句
如何度量算法的效率呢？
事后统计：将算法实现，测算其时间和空间开销
缺点：（1）编写程序实现算法将花费较多的时间和精力 （2）所得实验结果依赖于计算机的软硬件等环境因素
算法设计与分析第二章
归并排序
总结词
归并排序是一种采用分治法的排序算法。它将一个数 组分成两个子数组，分别对子数组进行递归排序，然 后将两个有序的子数组合并成一个有序的数组。
详细描述
归并排序的基本思想是，将两个或两个以上的有序表合 并成一个新的有序表。具体过程是先递归地将两个有序 表合并成一个较大的有序表，然后再将这个较大的有序 表与第三个有序表合并，以此类推，直到所有记录都合 并成一个有序表。归并排序的时间复杂度在最坏情况下 为O(nlogn)，但在平均情况下也为O(nlogn)。
空间复杂度分类
根据空间复杂度的不同，可以将算 法分为线性、多项式、指数和对数 等不同级别。
算法复杂度分析方法
递归树法
递归树法是一种用于分析递归算法时 间复杂度的方法，通过构建递归树来 计算基本操作的执行次数。
主方法
空间复杂度分析方法
空间复杂度分析方法主要关注算法中 数据结构的使用和存储需求，通过分 析数据结构的规模和数量来确定空间 复杂度。
堆栈是一个后进先出（LIFO） 的数据结构，最后一个进堆 栈的元素第一个出来。
Floyd-Warshall算法
总结词
详细描述
总结词
详细描述
Floyd-Warshall算法是一种用 于查找给定图中所有节点对之 间的最短路径的动态规划算法 。
该算法通过逐步构建最短路径 来找到所有节点对之间的最短 路径，最终得到一个距离矩阵 ，其中每个元素表示源节点到 目标节点的最短距离。
二分搜索
总结词
二分搜索是一种在有序数组中查找目标元素的搜索算法。它 通过将数组分成两半，比较中间元素与目标元素，然后根据 比较结果决定在数组的哪一半继续搜索，直到找到目标元素 或确定目标元素不存在于数组中。
第2章 算法与程序设计基础
优点：通俗易懂； 缺点：容易产生歧义；不直观。
(2)传统流程图
美国国家标准化协会ANSI(American National Standard Institute)规定了 一些常用的流程图符号：
起止框
判断框
处理框
输入/输出框
注释框
流向线
连接点
程序的三种基本结构
输出 s 的值
t≤n
成立
不成立
输出 s 的值
结束
2.3 程序设计典型算法
1. 枚举法（穷举法）
根据题目的部分条件确定答案的大致范围，然后在 此范围内对所有可能的情况逐一验证，直到所有情况均 通过验证。若某个情况符合题目条件，则为本题的一个 答案；若全部情况验证完后均不符合题目的条件，则问 题无解。
如：百元买百鸡问题。假定小鸡每只0.5元，公鸡每 只2元，母鸡每只3元。现在有100元钱要求买100只鸡，
问共有几种购鸡方案？(源程序：Eg2_2.c)
2.递推法（迭代法）
基本思想：
利用问题本身所具有的某种递推关系求解问题。
从初值出发，归纳出新值与旧值间直到最后值为 止存在的关系，从而把一个复杂的计算过程转换为简 单过程的多次重复，每次重复都从旧值的基础上递推 出新值，并由新值代替旧值。
可以用不同的方法表示算法，常用方法有： –自然语言 –传统流程图 –N-S流程图
（1）自然语言
【例2-1】求n! (源程序：Eg2_1.c)
设s代表连乘的积，t代表乘数
1)使s=1,t=1; 2)计算s×t，得到的积仍存放在s中； 3)使t的值加1； 4)如果t≤n,返回步骤2）重新执行，否则循环结束，
P
成立
算法与问题解决
含在算法中)
5.有1个或多个输出 (算法必须有结果，即包含至少一
个输出)
“程序出错” 也是一种输出
算法的描述方法
计算机是人脑的延伸，要研究计算机解决问题的 过程，首先要从人解决问题的角度谈起。
人们日常生活中使用的语言，汉语，英语等都是 自然语言，这些自然语言描述算法符合我们的表达习惯，且容易 理解，但不直观，并且容易产生歧义。
方法甲 方法乙
区别？ 哪个更高效？
方法丙
算法的三种基本结构
算法基本是由顺序结构、分支结构、循环结构这三种 基本结构组合而成。
大程序采用“自上而下，逐步细化”的方法，把大任 务拆分成若干个小任务组成，每一个小任务再分解为若 干个子任务，逐级分解，直至三种基本结构。
算法的三种基本的控制结构
1.顺序结构
Y
停电了？ N
到教室上课
到机房上课
算法的三种基本的控制结构
• 对某个情况e进行判断，当结果为真时，执行处理
3.
步骤step，然后再次判断这个情况e，当结果为真
循
是，再次执行步骤step，并继续判断情况e。总是 重复上述过程，直到判断的结果为假。
环 • 如电影《捉妖记》中井柏然吃面。
结
构
你还饿吗？ N
Answer:
过河的方案: 第一步：人和羊过河，人返回，留下羊； 第二步：人和狼过河，人和羊返回，留下狼； 第三步：人和菜过河，人返回，留下菜； 第四步：人和羊过河
什么是算法？
• 广义的讲， 是
。
• 计算机科学领域内，“算法”指的是用计算机解决问题
的步骤，是为了解决问题而需要让计算机
的集合。解决的问题包含数值计算
算法的描述方法——自然语言
计算机导论(第5版 方英兰)第2章 算法基础
r的值赋给n； ④ 如果r=0，返回m的值
作为结果，过程结束， 否则进入②。
自然语言
流程图
euclid(m，n) do
r:= m mod n; m:=n; n:=r while r≠0 return m;
伪代码
2.2.4 算法结构
当型循环
循环结构
直到型循环
选择结构
如何设计算法，常用的算法设计方法有分治递归、贪心法、回溯法、动态规划、分支限界等； 对给定算法，如何分析它的效率和性能。
小结
汉诺塔问题
旅行商问题
排序问题
n皇后问题
学习算法的意义
小结
算法研究的典型例子
计算领域最重要的问题类型
学习算法的意义
第2章 算法基础
2.2 算法初步
1
算法概念
3
算法描述
5
算法设计方法
11
5
1
5个
1个
4个
3个
2.2.5 算法设计方法
走不通，就掉头
回溯法：也称“万能算法”。求解过程相当于在所有可能解构成的解空间树中
搜索满足约束条件的解。
【例】4皇后问题。 1
1 . .2
1 2
....
1 2
.3
(a)
(b)
1
1
2
3
....
(e)
(f)
(c) 1 . . .2
(g)
(d)
1 2
3 . .4
设有n个城市，已知任意两城市间的距离，现有一推销员想从某一城市出发经 过每一城市（且只经过一次）最后又回到出发点，问如何找一条最短路径？
AE D CB F A
《大话数据结构》第二章：算法(思维导图)
2. 算法定义算法是解决特点问题求解步骤的描述， 在计算机中表现为指令的有限序列， 并且每条指令表示一个或多个操作。
没有通用的算法， 就像没有万能药一样。
特定的问题，有特定的对应的算法。
特性输入算法具有0个或多个输入。
输出算法至少有1个或多个输出。
有穷性指算法在执行有限的步骤之后， 自动结束而不会出现无限循环， 并且每个步骤在可接受的时间内完成。
确定性算法的每一步骤都具有确定的含义， 不会出现二义性。
可能性算法的每一步都必须是可行的， 也就是说每一步都能够通过执行有限次数完成。
设计算法的要求正确性指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反应问题的需求、能够得到问题的正确答案。
可读性算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。
健壮性当输入数据不合法时， 算法也能做出相关处理， 而不是产生异常或莫名其妙的结果。
时间效率高和存储量低算法最好用最少的存储空间，花费最少的实际，办成同样的事。
算法的度量方法事后统计方法通过设计好的测试程序和数据， 利用计算机计时器多不同算法编制的程序的运行时间进行比较， 从而确定算法效率的高低。
具有很大缺陷：编号程序后才能发现程序的运行时间， 若算法很糟糕，不就是竹篮打水一场空。
不同计算机硬件和软件各有不同会造成结果的不同。
（操作系统、编译器、运行框架、处理器的不同）很难设计算法的测试数据， 小的测试数据往往无法测试出算法的真正的效率。
事前分析估算方法在计算机程序编制前， 一句统计方法对算法进行估算。
对于运行时间的影响因素：算法采用的策略、方法编译产生的代码指令问题的输入规模（指输入量的多少）机器执行指令的速度时间复杂度如何推导大O阶?1. 用常数1取代运行时间中所有加法常数（忽略加法常数）2. 在修改后的运行次数函数中， 只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项存在且不是1， 则去除与这个项相乘的常数。
得到的结果就是大O阶。
常数阶O(1)线性阶O(n)对数阶O(logn)平方阶O(n^2)用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是:。
第2章 算法效率分析基础
一个显而易见的事实：几乎所有的算法，对于更大规模输入都需要运行 更长的时间（即算法耗费的时间随着输入规模的增大而增加） 。例如： 1. 更大的数组排序需要花费更多的运行时间； 2. 更大的矩阵相乘需要花费更多的运算时间。 因此，采用一个以算法输入规模 n 为参数的函数，来研究算法效率就是 非常合乎逻辑的。 输入规模的选择问题： 在大多数情况下，选择这样一个参数是非常直接的。例如，对于排序、 查找以及其他大多数与列表相关的问题来讲，这个参数就是列表长度； 对于 n 次多项式求值问题，这个参数是多项式次数或者系数个数。 4
5
❖运行时间的度量：
接下来考虑运行时间的度量问题。我们为何不选择时间的标准度量单位 （秒、毫秒等）来度量算法的运行时间呢？其理由如下： 1. 它依赖于特定计算机的运行速度； 2. 它依赖于实现算法的代码质量；（程序员编程的水平问题） 3. 它依赖于编译器的好坏；（编译成机器码的质量，即指令条数） 4. 它还依赖于一些其他问题如操作系统的调度策略等。 鉴于此，希望找到一个不依赖于上述因素的时间度量。 问：是否统计算法的每步操作执行次数来作为算法的时间效率度量呢？ 答：无此必要且较困难。一个算法中有许多操作，决定算法时间效率的 是那些很耗费时间的操作步，因此只需关心这些操作即可评价一个算法 时间效率，这些最关键的操作步称为基本操作，它们对算法执行时间的 占用最大（基本操作即算法中最费时的操作）。所以，用基本操作执行 次数来作为时间效率的度量。
前述已知，我们用输入规模 n 的函数 T(n) 来度量算法的效率。若T(n) 随 n 增长快，则算法效率较差；若T(n) 随 n 增长较慢，则算法效率更好。 这里，没考虑算法效率与特定输入的关系。诸多算法的效率不仅与规模 有关，且与特定的输入有关。下面以顺序查找算法为例：
算法-第2章-算法效率分析基础(李静)
2.2.2 符号О
定义1 我们把函数t(n)属于O(g(n)) ，记作t(n) ∈ O(g(n)) ; 它的成立条件是：对于所有足够大的n， t(n) 的上界由g(n) 的常数倍数所确定，也就是说，存在大于0的常数c和非负 的整数n0，使得： 对于所有的n≥ n0来说， t(n) ≤c g(n)
cg(n)
思考
• • • • P46 2T P46 4.bT P46 5T P46 6.aT
补充知识
• 渐近分析中函数比较
– f(n)∈ O(g(n)) a b; – f(n)∈ (g(n)) a b; – f(n)∈ (g(n)) a = b; – f(n)∈ o(g(n)) a < b; – f(n)∈ (g(n)) a > b.
• 无论是最差效率分析还是最优效率分析都不能提供一 种必要的信息：在“典型”或者“随机”输入的情况 下， 一个算法会具有什么样的行为。这正是平均效率 试图提供给我们信息。 • 摊销效率: 它并不适用于算法的单次运行，而是应用于 算法对同样数据结构所执行的一系列操作。
2.1.4 算法的最优、最差和平均效率
对于两个连续执行部分组成的算法，应该如何应 用这个特性呢？它意味着该算法的整体效率是由 具有较大的增长次数的部分所决定的，即它的效 率较差的部分.
பைடு நூலகம்
算法分析：加法规则
t(n, m)=t1(n)+t2 (m) ∈O(max (f (n), g (m)))
两个并列循环的例子 void example (float x[ ][ ], int m, int n, int k) { float sum [ ]; for ( int i=0; i<m; i++ ) { //x[][]中各行 sum[i] = 0.0; //数据累加 for ( int j=0; j<n; j++ ) sum[i]+=x[i][j]; } for ( i = 0; i < m; i++ ) //打印各行数据和 cout << “Line ” << i << “ : ” <<sum [i] << endl; } 渐进时间复杂度为O(max (m*n, m))
第2章-程序的灵魂-算法(备课笔记)
第二章（备课笔记）问题：输入三个数a，b，c，按照从大到小的顺序排列输出。
（假设输入三个数5，9，4，经过大小对比，从大到小排列为9，5，4。
如果把更多的数按照从大到小的顺序排列呢，计算量就随之变大，仅靠人脑会很吃力。
考虑借助计算机来解决。
）如何用计算机解决？用计算机求解问题的一般步骤：★问题的分析★算法分析及设计算法★设计编制程序★调试程序★运行与维护程序其中，第二步：算法的分析与设计，即解决问题的操作步骤，是最为关键的一步，称之为程序灵魂。
比如说，从徐州到上海，可以坐飞机，坐动车，坐火车等等，这些不同的方法或者步骤，在计算机的求解问题中，就是选用不同的算法。
下面就具体介绍第二章程序的灵魂——算法。
第2章程序的灵魂——算法2.1 算法的概念★几个基本概念❖数据：是计算机程序处理的对象，可以是整数、实数、字符，也可以是图像、声音等的编码表示。
❖数据结构：程序中指定数据的类型与数据的组织形式●在程序设计语言中，与数据结构密切相关的便是数据的类型和数据的存放。
❖软件= 程序+ 文档。
❖程序：用程序设计语言表达问题的求解过程。
●程序=数据结构+算法。
❖算法：用某种工具（文字、数学公式、框图、计算机伪代码等）解决问题的步骤。
程序设计1. 对于较小的简单问题，一般采用下列步骤进行程序设计：●确定数据结构,如：变量、数组●确定算法●编写程序代码●上机调试●整理并写出文档资料2. 对于较大的复杂问题采用的是“模块化、自顶向下、逐步细化”的程序设计方法。
2.2 算法的基本表达方法(1) 什么是算法？简单地理解，算法是为解决一个特定问题而采取的确定的、有限的方法和步骤。
(2) 算法的特性（P19）正确的算法应该满足5个特性：•有穷性：一个算法应包含有限的操作步骤，而不是无限的。
•确定性：算法中的每个步骤都应该是确定的，不应含糊不清。
（不应产生歧义）•有效性：每个步骤都应有效执行，得到确定结果。
如果b=0，则执行a/b就不能有效执行。
C语言第2章算法
第2章程序的灵魂——算法本章重点：1、初步掌握如何设计一个算法2、掌握结构化的程序设计方法——传统的流程图和N-S流程图。
程序=算法(叙述：对操作的描述)+数据结构(叙述：数据类型及组织形式)+程序设计方法+语言工具和环境。
C程序的设计：包括分析问题，写出算法，用C语句(叙述：包括定义语句，控制语句，函数调用，表达式语句，空语句，复合语句)写出程序（设计程序），上机运行。
算法是程序设计的关键。
2.1算法的概念算法：为解决一个问题而采取的方法和步骤。
简单地说就是：解决问题需要做什么并且怎么做。
2.2 简单算法举例高级语言程序设计均是结构化的设计方法。
结构化的设计方法：使用结构清晰，便于阅读的程序结构；体现为自顶向下，逐步细化。
先理解：i=i+1同理：如i=2,p=1, p=p×i通过以下五个例子逐步熟悉算法的设计方法：P14~18例2.1求5！例2.2假设一个班有50个学生，将成绩为80分以上的学生学号及成绩打印出来。
例2.3判断2000~2500年中的哪些年是闰年，并输出结果。
见P17图的分析例2.4求1-1/2+1/3-1/4+...+1/99-1/100例2.5判断≥3的正整数是否为素数。
2.3 算法的特性1、有穷性。
若有循环，则需要有使程序结束的条件；避免死循环。
2、确定性。
算法中每一步骤都应当是确定无误的，不能模棱两可，否则产生歧义性。
3、有0或多个输入。
即程序中可以没有输入语句。
4、有一个或多个输出。
即至少要有一个输出。
5、有效性。
如设计的算法中避免用零做除数。
2.4 怎样表示一个算法本节主要介绍三种方法：自然语言，传统流程图，结构化流程图：N-S流程图。
一、用自然语言：表述要清楚、确定。
2.2节例子就是用它表示的。
缺点：需根据上下文理解正确含义，若断章取义则会失去本身含义。
二、用流程图●美国国家标准化协会ANSI规定常用的流程图符号：P20图2.3●第二节中的例子用流程图表示的结果：P20~23●传统流程图的缺点：复杂问题流程线多，容易绕糊涂，象走迷宫。
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2算法示例
欧几里德算法 查找有无特定的字符串
§2.1 算法的概念
为了有效地进行解题，不仅需要保证算法正 确，还要考虑算法的质量，选择合适的算法。希 望方法简单，运算步骤少。 计算机算法可分为两大类别： 数值运算算法：求数值解，例如求方程的根、求 函数的定积分等。 非数值运算：包括的面十分广泛，最常见的是用 于事务管理领域，例如图书检索、人事管理、行 车调度管理等。
2.1.2 程序设计的一般步骤
分析：问题定义 设计：计划解题 选择与创建界面：选择和确定界面对象 编码：用程序设计语言描述算法 测试与调试：查找并排除程序中的任何错误 完成文档：整理和组织描述程序的所有资料
2.2算法与编程工具
1算法的基本概念
广义：解决某个问题或处理某个事件的方法和步骤 狭义：计算机解决某个问题的方法和步骤。
S1：p＝1 S2：i＝3 S3：p＝p×i S4：i＝i＋2 S5：若i≤1000，返回S3。否则，结束。
例2.2 有50个学生，要求将他们之中成绩在80 分以上者打印出来。设n表示学号， n1代表 第一个学生学号， ni代表第i个学生学号。用 G代表学生成绩 ， gi代表第i个学生成绩，算 法表示如下:
简单算法举例
例2.1: 求1×2×3×4×5
步骤1：先求1×2，得到结果2 步骤2：将步骤1得到的乘积2再乘以3，得到结果6 步骤3：将6再乘以4，得24 步骤4：将24再乘以5，得120
如果要求1×2×…×1000，则要写999个步骤
可以设两个变量：一个变量代表被乘数，一 个变量代表乘数。不另设变量存放乘积结 果，而直接将每一步骤的乘积放在被乘数 变量中。设p为被乘数，i为乘数。用循环 算法来求结果, 算法可改写：
Visual Basic 程序设计教程
孙宁
第2章 程序设计与算法（问题求解）
2.1程序的基本组成
计算机解题示例 程序设计的一般步骤 算法概念 算法示例 算法的特征 算法的描述 基本算法结构
2.2算法与编程工具
2.1.1计算机解题示例
确定希望的“输出”结果 确定“输入” 确定如何由“输入”得到“输出”
确定性 可行性 有穷性 输入性 输出性
4算法的描述
处理
输入/输出
判断
起止
特定过程
流程线
连接点
例2.6 将求5!的算法用流程图表示
如果需要将最后结 果打印出来，可在 菱形框的下面加一 个输出框。
例2.7 将例2.2的算法 用流程图表示。打印50 名 学生中成绩在80分以 上者的学号和成绩。
如果如果包括 这个输入数据 的部分，流程 图为
二、将下列流程图填写完整。
1、求1+2+3+……+100
开始
1
输出s
S =0
i=1
结束
i=i+1
Y
1 N
二、将下列流程图填写完整。
1、求1+2+3+……+100
开始
1
输出s
S 0
i 1
S=s+i i=i+1
结束
Y
i<=100 1 N
S1：使p=1 S2：使i=2 S3：使p=p×i，乘积仍放在变量p中 S4：使i＝i+1， 即i值加1放到变量i中 S5：如果i不大于5，返回重新执行步骤S3以及其后 的步骤S4和S5；否则，算法结束。最×1000算法 只需作很少的改动：
S1：i＝1 S2：如果gi ≥80，则打印，否则不打印。 S3：i＝i＋1 S4：如果i≤50，返回S2，继续执行。否则算法结束 变量i作为下标，用来控制序号(第几个学生，第 几个成绩)。当i超过50时，表示 已对50个学生的 成绩处理完毕，算法结束。
2.2算法与编程工具
3算法的特征