2018-数一考研真题及答案
2018-2019年考研数学一真题及答案
2018考研数学一真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．若函数1cos 0(),0xx f x b x ⎧->⎪=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xx f x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ） 2．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）3．函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为（A ）12 （B ）6 (C ）4 （D ）2 【详解】22,,2f f fxy x z x y z∂∂∂===∂∂∂，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为()4,1,0gradf =，所以22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为()014,1,0(1,2,2)23f gradf n n∂=⋅=⋅=∂应该选（D ）４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（ ） （A ）010t = （B ）01520t <<（C ）025t = （D ）025t >【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，21()()T T S t v t dt =⎰表示时刻[]12,T T 内所走的路程．本题中的阴影面积123,,S S S -分别表示在时间段[][][]0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t =时乙追上甲，应该选（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）TE αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆 （C ）2TE αα+不可逆 （D ）2TE αα-不可逆 【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）． 6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B 是两个随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(/)(/)P A B P A B >的充分必要条件是（A ）(/)(/)P B A P B A > （B ）(/)(/)P B A P B A < （C ）(/)(/)P B A P B A > （D ）(/)(/)P B A P B A <【详解】由乘法公式：()()(/),()()((/)P AB P B P A B P AB P B P A B ==可得下面结论：()()()()(/)(/)()()()()1()()P AB P AB P A P AB P A B P A B P AB P A P B P B P B P B ->⇔>=⇔>- 类似，由()()(/),()()(/)P AB P A P B A P AB P A P B A ==可得()()()()(/)(/)()()()()1()()P AB P AB P B P AB P B A P B A P AB P A P B P A P A P A ->⇔>=⇔>- 所以可知选择（A ）． 8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()ni i Xμ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布 （C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()nii Xμ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．已知函数21()1f x x=+，则(3)(0)f = ．解：由函数的马克劳林级数公式：()0(0)()!n nn f f x x n ∞==∑，知()(0)!n n f n a =，其中n a 为展开式中nx 的系数． 由于[]24221()1(1),1,11n n f x x x x x x==-+-+-+∈-+，所以(3)(0)0f =．10．微分方程230y y y '''++=的通解为 ．【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程2230r r ++=有一对共共轭的根1r =-，所以通解为12()x y e C C -=+ 11．若曲线积分221L xdx aydy x y -+-⎰在区域{}22(,)|1D x y x y =+<内与路径无关，则a = .【详解】设 2222(,),(,)11x ay P x y Q x y x y x y -==+-+-，显然 (,),(,)P x y Q x y 在区域内具有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有1Q Pa x y∂∂≡⇒=-∂∂ 12．幂级数111(1)n n n nx ∞--=-∑在区间(1,1)-内的和函数为【详解】111121111(1)(1)()(1)1(1)n n n nn n n n n x nxx x x x ∞∞∞----===''⎛⎫⎛⎫'-=-=-== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 所以21(),(1,1)(1)s x x x =∈-+13．设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的分布函数4()0.5()0.52x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX = ．【详解】随机变量X 的概率密度为4()()0.5()0.25()2x f x F x x ϕϕ-'==+，所以 4()()0.5()0.25()240.25()0.252(24)()22()2x E X xf x dx x x dx x dx x x dx t t dt t dt ϕϕϕϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞+∞-∞-==+-==⨯+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、解答题15．（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,cos )xy f e x =，求0|x dy dx=，202|x d y dx =．【详解】12(,cos )(,cos )(sin )x x x dy f e x e f e x x dx ''=+-，01|(1,1)x dyf dx='=； 2111122222122(,cos )((,cos )sin (,cos ))cos (,cos )sin (,cos )sin (,cos )x x x x x x x x x x d ye f e x e f e x e xf e x xf e x dx xe f e x xf e x ''''''=+--''''-+2011122|(1,1)(1,1)(1,1)x d yf f f dx=''''=+-．16．（本题满分10分） 求21limln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰17．（本题满分10分）已知函数()y x 是由方程333320x y x y +-+-=． 【详解】在方程两边同时对x 求导，得2233330x y y y ''+-+= （1）在（1）两边同时对x 求导，得2222()0x y y y y y '''''+++=也就是222(())1x y y y y'+''=-+令0y '=，得1x =±．当11x =时，11y =；当21x =-时，20y = 当11x =时，0y '=，10y ''=-<，函数()y y x =取极大值11y =； 当21x =-时，0y '=，10y ''=>函数()y y x =取极小值20y =． 18．（本题满分10分）设函数()f x 在区间[]0,1上具有二阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x-→<，证明： （1）方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；（2）方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件0()lim 0x f x x-→<可知，存在01δ<<，及1(0,)x δ∈，使得1()0f x <，由于()f x 在[]1,1x 上连续，且1()(1)0f x f ⋅<，由零点定理，存在1(,1)(0,1)x ξ∈⊂，使得()0f ξ=，也就是方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；（2）由条件0()lim 0x f x x-→<可知(0)0f =，由（1）可知()0f ξ=，由洛尔定理，存在(0,)ηξ∈，使得()0f η'=；设()()()F x f x f x '=，由条件可知()F x 在区间[]0,1上可导，且(0)0,()0,()0F F F ξη===，分别在区间[][]0,,,ηηξ上对函数()F x 使用尔定理，则存在12(0,)(0,1),(,)(0,1),ξηξηξ∈⊂∈⊂使得1212,()()0F F ξξξξ''≠==，也就是方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．19．（本题满分10分）设薄片型S 是圆锥面z =被柱面22z x =所割下的有限部分，其上任一点的密度为μ=C ．（1）求C 在xOy 布上的投影曲线的方程； （2）求S 的质量.M【详解】（1）交线C的方程为22z z x⎧=⎪⎨=⎪⎩z ，得到222x y x +=．所以C 在xOy 布上的投影曲线的方程为222.0x y xz ⎧+=⎨=⎩（2）利用第一类曲面积分，得222222(,,)1864SSx y xx y xM x y z dS μ+≤+≤=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰20．（本题满分11分）设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥． 假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他．（1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量122ni i Z nσ===∑．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=2019考研数学一真题及答案一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2. C.3.D.4.2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn nu 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u.4.设函数2),(yxy x Q =，如果对上半平面（0>y ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为A.32yx y -.B.321yx y -. C.y x 11-. D.yx 1-. 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,，则A..3)(,2)(==A r A rB..2)(,2)(==A r A rC..2)(,1)(==A r A rD..1)(,1)(==A r A r7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X PA.与μ无关，而与2σ有关.B.与μ有关，而与2σ无关.C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅11= . 10. 微分方程02'22=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .11. 幂级数nn n x n ∑∞=-0)!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S . 12. 设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧，则dxdy z x z⎰⎰--2244= .13. 设），，（321αααA =为3阶矩阵.若 21αα，线性无关，且2132ααα+-=，则线性方程组0=x A 的通解为 .14. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数)(x y 是微分方程2'2x e xy y -=+满足条件0)0(=y 的特解.（1）求)(x y ；（2）求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点.16.（本题满分10分）设b a ,为实数，函数222by ax z ++=在点（3，4）处的方向导数中，沿方向j i l 43--=的方向导数最大，最大值为10.（1）求b a ,；（2）求曲面222by ax z ++=（0≥z ）的面积.17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x与x 轴之间图形的面积.18.设dx x x a n n ⎰-=121，n =（0，1，2…）（1）证明数列{}n a 单调减少，且221-+-=n n a n n a （n =2，3…） （2）求1lim-∞→n nn a a .19.设Ω是锥面())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体，求Ω的形心坐标.20.设向量组TT T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα，为3R 的一个基，T)1,1,1(=β在这个基下的坐标为Tc b )1,,(.（1）求c b a ,,.（2）证明32,a a ，β为3R 的一个基，并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.已知矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A 与⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似（1）求y x ,.（2）求可可逆矩阵P ，使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =（1）求z 的概率密度.（2）p 为何值时，X 与Z 不相关. （3）X 与Z 是否相互独立?23.（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中μ是已知参数，0>σ是未知参数，A 是常数，n X …X X ，，21来自总体X 的简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量参考答案1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yx x y cos cos + 10.23-xe 11.x cos 12.332 13. ，T)1,2,1(-k k 为任意常数. 14.3215. 解：（1）)()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰，又0)0(=y ，故0=c ，因此.)(221x xe x y -=（2）22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x e x x xex xey -----=-=---=''，令0=''y 得3,0±=x所以，曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞，凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(23---e，)3,3(23-e .16. 解：（1）)2,2(by ax z =grad ，)8,6()4,3(b a z =grad ，由题设可得，4836-=-ba ，即b a =，又()()108622=+=b a z grad ，所以，.1-==b a（2）dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1=dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1 =dxdy y x y x ⎰⎰≤+++22222441 =ρρρθπd d ⎰⎰+202241=20232)41(1212ρπ+⋅=.313π 17.18.19.由对称性，2,0==y x ，⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z20.（1）123=b c βααα++即11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.（2）()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，所以()233r ααβ=，，，则23ααβ，，可为3R 的一个基.()()12323=P αααααβ，，，，则()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，，，.21.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以存在()1123=P ααα,,，使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，30=01ξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭.所以存在()2123=P ξξξ,,，使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 所以112211=P AP P AP --=Λ，即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 22.解：（I ）Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当0z ≤时，()zF z pe =；当0z >时，()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=--则Z 的概率密度为()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩. （II ）由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，又()()1,12D X E Y p ==-，从而当12p =时，(),0Cov X Z =，即,X Z 不相关.（III ）由上知当12p ≠时，,X Z 相关，从而不独立；当12p =时，121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭，121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭，显然1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，即,X Z 不独立. 从而,X Z 不独立. 23. 解：（I ）由()2221x Aedx μσμσ--+∞=⎰t =2012t e dt +∞-==⎰，从而A =（II ）构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i nL x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其他，当,1,2,,i x i nμ≥=时，取对数得()22211ln ln ln 22nii n L n A x σμσ==---∑，求导并令其为零，可得()22241ln 1022ni i d L n x d μσσσ==-+-=∑，解得2σ的最大似然估计量为()211n i i x n μ=-∑.。
考研真题【2018考研数学(一)真题+答案解析】2018年考研数学一真题及答案解析
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷及答案解析一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）下列函数中，在0x =处不可导的是（）(A)()sin f x x x =(B)()f x x =(C)()cos f x x =(D)()f x =【答案】（D）【解析】根据导数的定义：（A）sin limlim0,x x x x x x x x→→== 可导；（B）0,x x →→==可导；（C）1cos 12limlim0,x x xx xx→→--==可导；（D）000122lim lim,x x x xx x→→→-==极限不存在，故选D。
（2）过点()()1,0,0,0,1,0，且与曲面22z x y =+相切的平面为（）(A)01z x y z =+-=与(B)022z x y z =+-=与2(C)1x y x y z =+-=与(D)22x y x y z =+-=与2【答案】（B）【解析】()()221,0,0,0,1,0=0z z x y =+过的已知曲面的切平面只有两个，显然与曲面相切，排除C 、D22z x y =+曲面的法向量为(2x,2y,-1),111(1,1,1),,22x y z x y +-=-==对于A选项,的法向量为可得221.z x y x y z z A B =++-=代入和中不相等，排除，故选（3）()()23121!nn n n ∞=+-=+∑（）(A)sin1cos1+(B)2sin1cos1+(C)2sin12cos1+(D)2sin13cos1+【答案】（B）【解析】00023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!nn nn n n n n n n n ∞∞∞===++-=-+-+++∑∑∑0012=(1)(1)cos 2sin1(2)!(21)!nn n n l n n ∞∞==-+-=++∑∑故选B.（4）设()(2222222211,,1,1x x xM dx N dx K dx x e ππππππ---++===++⎰⎰⎰则（）(A)M N K >>(B)M K N >>(C)K M N >>(D)K N M>>【答案】（C）【解析】22222222222(1)122=(1).111x x x x M dx dx dx x x x πππππππ---+++==+=+++⎰⎰⎰22222111(0)11xx xxx e x N dx dx Meeπππππ--+++<≠⇒<⇒=<=<⎰⎰2222=11K dx dx M πππππ--+>==⎰⎰（,K M N >>故应选C 。
考研数学一(参数估计与假设检验)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（参数估计与假设检验）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2018年] 设总体X服从正态分布X～N(μ，σ2)其中σ2已知．X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，对总体均值μ进行检验，假设H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0．则( )．A．若显著性水平α=0．05时拒绝H0，则在检验水平α=0．01时也拒绝H0B．若显著性水平α=0．05时接受H0，则在检验水平α=0．01时拒绝H0 C．若显著性水平α=0．05时拒绝H0，则在检验水平α=0．01时接受H0 D．若显著性水平α=0．05时接受H0，则在检验水平α=0．01时也接受H0正确答案：D解析：如图所示，Zα/2表示标准正态分布的上分位数，即图中阴影部分的面积为．区间(一Zα/2，Zα/2)是在显著性水平α下的接受域．若显著性水平α=0．05时接受H0，即表示检验统计量的观察值落在接受域(一Z0.025，Z0.025)内．区间(一Z0.005，Z0.005)包含(一Z0.025，Z0.025)，因此其观察值也落在区间(一Z0.005，Z0.005)内，即落在接受域内，所以选项D正确，B错误．α=0．05时拒绝H0，即Z的观察值落在拒绝域(一∞，一Z0.025]∪[Z0.025，+∞)内；但区间(一∞，一Z0.005]∪[Z0.005，+∞)包含于(一∞，一Z0.025]∪[Z0.025，+∞)，因此无法判断观察值是否落在区间(一∞，一Z0.005]∪[Z0.005，+∞)内，选项A、C无法确定．故选D．知识模块：参数估计与假设检验填空题2．[2009年] 设X1，X2，…，Xm为来自-N分布总体B(n，p)的简单随机样本，和S2分别为样本均值和样本方差，若+kS2为np2的无偏估计量，则k=______．正确答案：一1解析：由题设有E(+kS2)=np2，而E(X2+kS2)=E()+kE(S2)=E(X)+kD(X)=np+knp(1一p)，故np+kn(1-p)=np2，即k(1一p)=p-1，亦即k=一1．知识模块：参数估计与假设检验3．[2014年] 设总体X的概率密度为其中θ是未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体的简单样本，若是θ2的无偏估计，则c=______．正确答案：解析：由无偏估计的定义得到，因而故知识模块：参数估计与假设检验4．[2016年] 设x1，x2，…，xn为来自总体N(μ，σ2)的简单随机样本，样本均值．=9．5，参数μ的置信度为0．95的双侧置信区间的置信上限为10．8，则μ的置信度为0．95的双侧置信区间为______．正确答案：(8．2，10．8)解析：因，则故其中α=0．05，故μ的置信度为0．95的双侧置信区间为因μ的置信区间的置信上限为10．8，且，则所以μ的双侧置信区间为(9．5—1．3，9．5+1．3)=(8．2，10．8)．知识模块：参数估计与假设检验5．[2003年] 已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布N(μ，1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则μ的置信度为0．95的置信区间是______．(注：标准正态分布函数值ф(1．96)=0．975，ф(1．645)=0．95)正确答案：(39．51，40．49)解析：因1一α=0．95，即α=0．05，故uα/2=u0.025，1—0．025=0．975=ф(1．96)，则uσ/2=1．96．于是由，得到将=40，σ=1，n=16代入上式，即得μ的置信度为0．95的置信区间(40一(1／4)×1．96，40+(1／4)×1．96)=(39．51，40．49)．知识模块：参数估计与假设检验解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2018年考研数学(一)真题与答案解析(完整版)
2018年考研数学一试题与答案解析（完整版)1.下列函数中不可导的是（）。
A.()sin()f x x x =B.()f x x =C.()cos f x x=D.()f x =【答案】D 【解析】【解析】A 可导：()()()()-0000sin sin sin sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x x x x xf f x x x x--+++→→→→⋅⋅''=====B 可导：()()-000sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x f f x x--+++→→→→-⋅⋅''=====C 可导：()()22-000011cos -1cos -1220lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x f f x x--+++→→→→--''=====D 不可导：()()()()()-000-11-11220lim lim 0lim lim -2200x x x x x x f f x x f f --+++→→→→+--''====''≠2.过点(1,0,0)与(0,1,0)且与22z x y =+相切的平面方程为A.0z =与1x y z +-= B.0z =与222x y z +-=一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.C.y x =与1x y z +-=D.y x =与222x y z +-=【答案】B【解析】因为平面过点(1,0,0)与(0,1,0)，故C 、D 排除，22(2,2,1),(1,0,0)2(1)20(0,1,0)z x y x y x X yY Z x y=+--+-==曲面的法向量为因为平面过，则平面方程为，又因为平面过，故由此，取特殊值；令x=1,则法向量为(2,2,1)-，故B 选项正确。
[实用参考]2018考研数学一真题及解析答案
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2016考研数学（一）真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()222211y xy x=+-=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，则（） （A ）0x =是()f x 的第一类间断点（B ）0x =是()f x 的第二类间断点（C ）()f x 在0x =处连续但不可导（D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（） （A ）TA 与TB 相似（B ）1A -与1B -相似（C ）TA A +与TB B +相似（D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（）（A ）单叶双曲面（B ）双叶双曲面（C ）椭球面（C ）柱面 （7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（）（A ）p 随着μ的增加而增加（B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少（D ）p 随着σ的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛； ()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值 （18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
考研数学一(矩阵的特征值和特征向量)历年真题试卷汇编1(题后含
考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )．A．P-1αB．PTαC．PαD．(P-1)Tα正确答案：B解析：由题设有Aα=λα，且AT=A．令B=(P-1AP)T，则B=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(PT)-1，A=(PT)-1BPT．故Aα=(PT)-1BPTα，即(PT)-1B(PTα)=λα．两边乘以PT得到B(PTα)=λPTα．如能证明PTα≠0，则PTα为B的属于λ的特征向量．事实上，如PTα=0，则由P为可逆矩阵知，PT也为可逆矩阵，于是有(PT)-1PTα=(PT)-10=0，即a=0．这与a≠0矛盾．仅B 入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．[2016年] 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )．A．AT与BT相似B．A-1与B-1相似C．A+AT与B+BT相似D．A+A-1与B+B-1相似正确答案：C解析：因A～B，故存在可逆矩阵P使得B=P-1AP．①在式①两边取转置，得到BT=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=[(PT)-1]-1AT[(PT)-1]故AT与BT相似，选项A正确．在式①两边求逆运算得到B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1(P-1)-1=P-1A-1P，②故A与A-1相似，选项B正确．由式①+式②得到B+B-1=P-1AP+P-1A-1P=P-1(A+A-1)P，故A+A-1～B+B-1，选项D正确，仅C 入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量3．[2017年] 已知矩阵，则( )．A．A与C相似，B与C相似B．A与C相似，B与C不相似C．A与C不相似，B与C相似D．A与C不相似，B与C相似正确答案：B解析：显然A，B，C的特征值都为λ1=λ2=2，λ3=1．由2E—A=得秩(2E —A)=1，则A可以相似对角化，故A与C相似．由2E—B=得秩(2E—B)=2，则B不可相似对角化，故B与C不相似．综上，仅B入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量4．[2018年] 下列矩阵中，与矩阵相似的为( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：记矩阵，则｜λE—M｜==(λ一1)3=0，所以矩阵M的特征值为λ1=λ2=λ3=1，且秩(λE—M)=秩(E—M)=2．设选项A，B，C，D的矩阵分别记为A，B，C，D，容易计算出其特征值均为1，且秩(λE—A)=秩(E—A)=2，秩(E —B)=秩(E—C)=秩(E—D)=1，若两矩阵相似，其对应的特征值矩阵也相似，故秩相等．所以可以判断选项A正确．知识模块：矩阵的特征值和特征向量5．[2013年] 矩阵与相似的充分必要条件为( )．A．a=0，b=2B．a=0，b为任意常数C．a=2，b=0D．a=2，b为任意常数正确答案：B解析：令，则=λ[λ2一(b+2)λ+2b—2a2]，=λ(λ—2)(λ—b)．因λ=2为B的特征值，故λ=2也必为A的特征值，则｜2E一A｜=2[22一(b+2)·2+2b—2a2]=2(一2a2)=0，所以a=0．因λ=b为B的特征值，故λ=b也必为A的特征值，则｜bE—B｜=b[b2一(b+2)b+2b]=b·0=0，即b可为任意常数．仅B入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量6．[2010年] 设A为四阶实对称矩阵，且A2+A=O，若A的秩为3，则A 相似于( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：设λ为A的特征值，则由A2+A=O得到λ2+λ=(λ+1)λ=0，于是A 的特征值为一1或0．又因A为实对称矩阵，故A必与对角矩阵A相似．因A 的秩为3，知，A的非零特征值个数为3，故对角矩阵A的秩也为3．于是A=diag(一1，一1，一1，0)．仅D入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量填空题7．设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是______．正确答案：n解析：因秩（A）=1，知A有n一1个零特征值λ1=λ2=…=λn-1=0，另一特征值为λn=a11+a22+…+ann=1+1+…+1=n．知识模块：矩阵的特征值和特征向量8．[2009年] 若三维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为______．正确答案：2解析：(βαT)T=(βαT)(βαT)=β(αTβ)αT=2βαT，则βαT的任意特征值λ满足λ2=2λ，故矩阵βαT的特征值λ只能为0或2．若λ只能取零，则A为零矩阵，故αTβ=0．这与αTβ=2矛盾，故βαT有非零特征值2．知识模块：矩阵的特征值和特征向量9．[2008年] 设A为二阶矩阵，α1，α2为线性无关的二维列向量，A α1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为______．正确答案：λ=1解析：因矩阵A满足矩阵等式，可用定义求出A的非零特征值．事实上，因Aα1=0，故A(2α1+α2)=2Aα1+Aα2一Aα2=2α1+α2=1·(2α1+α2)．又因α1，α2线性无关，故2α1+α2≠0，由定义知λ=1为A的非零特征值．知识模块：矩阵的特征值和特征向量10．[2018年] 设二阶矩阵A有两个不同的特征值，α1，α2是A的线性无关的特征向量，且满足A2(α1+α2)=α1+α2，则｜A｜=______．正确答案：-1解析：由A2(α1+α2)=α1+α2可知(A2一E)(α1+α2)=0．α1，α2线性无关，因此方程(A2一E)x=0有非零解，从而｜A2一E｜=0，所以特征值λ满足方程λ2一1=0，即λ=1或λ=一1．又A有两个不同的特征值，所以｜A｜=1·(一1)=一1．知识模块：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2018考研数学一真题和答案与解析
WORD 格式整理版2017 年考研数学一真题及答案解析跨考教育数学教研室一、选择题：1～ 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .．．．1 cos x （ 1）若函数f ( x)ax, x 0在 x0 处连续，则（）b, x0( A)ab 1B ab1 22(C) ab 0D ab2【答案】 A1cos x 1 x111.选A.【解析】lim lim2, f (x) 在x0 处连续b abx0ax x 0ax2a2a2（ 2）设函数 f ( x) 可导，且f (x) f'( x)0 ，则（）( A) f (1) f (1)B f (1) f (1)(C ) f (1) f ( 1)D f (1) f ( 1)【答案】 C【解析】 f ( x) f ' ( x) 0, f (x)0(1)或 f ( x)0(2) ，只有C选项满足(1)且满足(2)，所以选C。
f '(x)0 f '(x)0（ 3）函数f (x, y, z)x2 y z2在点(1,2,0)处沿向量 u1,2,2的方向导数为（）(A)12(B)6(C)4(D)2【答案】 D【解析】gradf{2 xy, x2 ,2 z},gradf (1,2,0) {4,1,0}f gradf u{4,1,0} {1,2,2} 2.u| u |333选 D.（ 4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位： m）处，图中实线表示甲的速度曲线v v1 (t )（单学习指导参考Born to win!精勤求学 自强不息位： m / s ），虚线表示乙的速度曲线 v v 2 (t ) ，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t 0 （单位： s ），则（）v(m / s)10 200 5 10 15 20 25 30t ( s)( A)t 0 10(B)15 t 0 20 (C)t 0 25 ( D )t 0 25【答案】 B0 到t 0t 0v 1 t 0【解析】从这段时间内甲乙的位移分别为(t)dt, v 2 (t)dt,则乙要追上甲，则t 0 v 1 (t)dt 10 ，当 t 0 25时满足，故选 C.v 2 (t)（ 5）设是 n 维单位列向量，E 为 n 阶单位矩阵，则（）(A)ET不可逆B E T不可逆(C)E 2T不可逆 D E 2T不可逆【答案】 A【解析】选项 A, 由 ( ET) 0 得 ( ET) x 0 有非零解，故 ET0。
2018年考研数学一试题与答案解析(完整版)
1 1 1
6.设 A, B 为 n 阶矩阵，记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩， ( X Y ) 表示分块矩阵，则 A. r ( A AB ) r ( A). C. r ( A B ) max{r ( A)，r ( B )}. 【答案】A. 【解析】根据矩阵的运算性质， r ( E , B ) n r ( A, AB ) r[ A( E , B )] r ( A) ,故 A 正确. 若A B. r ( A BA) r ( A). D. r ( A B ) r ( A B ).
T T
0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 ,B ， 则 BA ， 所 以 r ( A BA) r 2, 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0
r ( A) 1. 排除 B. 1 2 0 0 若A ,B , 那么r A B 0 0 3 4 所以C排除. 1 2 0 0 r 2, r A 1, r B 1, 0 0 3 4
1 0 1 B. 0 1 1 0 0 1 1 0 1 D. 0 1 0 0 0 1
1 1 0 令 Q 0 1 1 ，特征值为 1,1,1， r E Q 2 0 0 1 1 1 1 0 1 1 选项 A：令 A 0 1 1 ， A 的特征值为 1,1,1， r E A r 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 选项 B：令 B 0 1 1 ， B 的特征值为 1,1,1， r E B r 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 选项 C：令 C 0 1 0 ， C 的特征值为 1,1,1， r E C r 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
2018年硕士研究生入学考试数学一 试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1） 下列函数不可导的是：()()()()sin sin cos cosA y x xB y xC y xD y====（2）22过点（1，0，0）与（0，1，0）且与z=x 相切的平面方程为y + ()()()()0与10与222与x+y-z=1与222A zx y z B z x y z C y x D yx c y z =+-==+-===+-=（3）023(1)(2n 1)!nn n ∞=+-=+∑()()()()sin 1cos 12sin 1cos 1sin 1cos 13sin 12cos 1A B C D ++++（4）22222222(1x)1xN= K=(11xM dx dx x e ππππππ---++=++⎰⎰⎰），则M,N,K的大小关系为()()()()A M N K B M K N C K M N D NM K>>>>>>>>（5）下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭相似的为______. A.111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B.101011001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ C.111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D.101010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭（6）.设A ，B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，（X Y ） 表示分块矩阵，则A.()()r A AB r A =B.()()r A BA r A =C.()max{(),()}r A B r A r B =D.()()TT r A B r A B =（7）设()f x 为某分部的概率密度函数，(1)(1)f x f x +=-，20()d 0.6f x x =⎰，则{0}p X = .A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6 （8）给定总体2(,)XN μσ，2σ已知，给定样本12,,,n X X X ，对总体均值μ进行检验，令0010:,:H H μμμμ=≠，则A . 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时也拒绝0H . B. 若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时拒绝0H . C. 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时接受0H . D. 若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时也接受0H .二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）1sin 01tan lim ,1tan kxx x e x →-⎛⎫= ⎪+⎝⎭则k =（10）()y f x =的图像过（0,0），且与x y a =相切与（1,2），求1'()xf x dx =⎰（11）(,,),(1,1,0)F x y z xy yz xzk rot F εη=-+=求（12）曲线S 由22210x y z x y z ++=++=与相交而成，求xydS =⎰ （13）二阶矩阵A 有两个不同特征值，12,αα是A 的线性无关的特征向量，21212()(),=A A αααα+=+则（14）A,B 独立，A,C 独立，11,()()(),()24BC P A P B P AC ABC P C φ≠===，则=三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）.求不定积分2x e ⎰（16）.一根绳长2m ，截成三段，分别折成圆、三角形、正方形，这三段分别为多长是所得的面积总和最小，并求该最小值。
考研数学一真题及解析
考研数学一真题及解析在考研数学的考场上，每一位考生都希望能尽可能地发挥出自己的实力，取得理想的成绩。
而要想在数学考试中取得好成绩，除了平时的勤奋学习和积累知识外，对于历年真题的熟悉和掌握也是非常重要的。
本文将为大家带来一份考研数学一真题及解析，希望能够帮助大家更好地理解和学习考研数学。
题目：设函数f(x)在[0,1]上连续，且满足0 ≤ f(x) ≤ 1，证明：存在ξ∈[0,1]，使得f(ξ)=ξ。
本题主要考察的是中值定理的应用。
由于题目中给出了f(x)在[0,1]上的取值范围，我们可以利用函数的介值性质进行证明。
（1）介值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。
（2）零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。
根据题目条件，我们知道0 ≤ f(x) ≤ 1，根据介值定理，我们知道在[0,1]这个闭区间上，f(x)必然取得其最小值0和最大值1之间的某个值。
因此，我们可以构造一个辅助函数g(x)=f(x)-x，则g(0)=f(0)-0≥0，g(1)=f(1)-1≤0。
根据零点存在定理，存在ξ∈[0,1]，使得g(ξ)=f(ξ)-ξ=0，即f(ξ)=ξ。
通过以上解析过程，我们证明了存在ξ∈[0,1]，使得f(ξ)=ξ。
这正是题目要求我们证明的结果。
本题主要考察了中值定理的应用，特别是介值定理和零点存在定理的应用。
在解题过程中，我们首先需要明确问题的要求和条件，然后利用相关的数学定理和性质进行证明。
对于考研数学一的考生来说，熟悉并掌握这些基本的数学定理和性质是非常重要的。
也要注意对于题目中给出的条件和限制进行合理的利用和转化。
标题：考研数学一真题及答案：揭秘数学考研真题对于正在准备考研数学一的考生来说，理解和掌握真题及答案是至关重要的。
2018考研数一真题答案及详细解析
0
0
) ,B= (
0
1
0
) ,则 r (A
0
B)=2 #- r (AT
矿），排除 D.
(7) A
解 由 J(l+x) = J(l-x)可知，J(x)关千x = l对称，所以f�J(x)dx =厂J(x)dx = 0. 5.
r。 r 又已知，J:!<x)dx = O. 6,则 J (x)dx = (x)dx = O. 3.
罕
dr
了
(1 +3r 2)rdx
气f rCl+3尸）了37dr.
✓ 设 1 -3r2 =t,则
气。 亨
21rf r0+3尸）二37dr =
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(2- t2汒dt
14冗
45
JI又
xdy dz
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(y 3
+2)dzdx+z3 dxdy = 0,所以
I
14 穴 =百·
:El
08) 解 C I)当 f(x)=x 时，方程化为 y '+y =x,其通解为
假设 O<x,.+1 <立，则
e石t-2
工
e
n+I
=
-1
=e�(0
<
r;
<
X n+l),
X n +l
所以 0 < Xn+2 < Xn+l•
故 {xn} 是单调减少的数列，且有下界，从而 {x九 ｝收敛．
设
limx n-=
n
=a,得
aea =ea
— 1.
易知
a =O为其解
2018年考研数学一二三真题解析及点评(史上最强版)
证明数列收敛只有唯一的方法：证明数列单调有界。 《金讲》17页予以重要说明并给出两道难度高于本题 的同型例题详解，本题再不济，直接用第一问的结论 求出第二问的结果应该是一丝难度都没有。
数一第20题 数三第20题 数二第22题
《金讲》403-405页不仅给出了通用性齐次 方程组的详细解题过程，还给予具体具体方 程解析示例，详细程度超越市面任何一本数 学参考书，足以解答任何复杂齐次方程组。
本质 一样
数一第18题
(Ⅰ)是简单一阶微分方程求解，直接套公式即得， 送分题；(Ⅱ)不定积分函数与变现积分函数的灵活 转换，需要对两者关系有较深度地掌握方可轻易转 换，稍有难度，本题完整证明出来的同学应该不超 过万分之一。
较 难 题
考查不等式的证明，具有天然的难题属性。但 《金讲》在142页对这类题型设了一个专题给予 了本质性的总结，任何不等式证明本质都可以归 结到两类情况，每类情况的证明有唯一思路，因 此，不等式证明对于《金讲》读者不太可能成为 难题，但《金讲》以外，没有任何参考书做过这 种深度总结，因此本道题对于有些人是难题。
数二第18题
数三第18题
简单函数的级数展开并求通项。展开部分直接套公 式，属于送分。求通项虽偶有难度，但任何求通项 都可以通过适当展开进行归纳这一万能方法，在 《金讲》 中有强调，所以也属于半送分。《金讲》 254页至259页用了一个重点专题予以详解本考点， 足以解决任何函数的展开式。
数一第19题 数三第19题 数二第21题
数二第20题
考查微分的基本应用，将题目 内容用数学式子表示出来，问 题就转化为了最简单的微分或 积分问题，本题几乎是《金 讲》配套暑期集训讲义中的原 题。
数一第11题
考查旋度公式的记忆，直接用 旋度公式计算即得答案。旋度 公式的详细计算公式参见《金 讲》288页，属送分题。
2018年考研数学模拟试题(数学一)(附答案)
2018年考研数学模拟试题（数学一）参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设()f x 在(,)-∞+∞内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（）. （A ）sin ()f x '（B ）sin ()x t f t dt ⋅⎰（C ）0(sin )x f t dt ⎰（D ）0[sin ()]xt f t dt +⎰2.设111e ,0,()1e 1,0,x xx f x x ⎧+⎪≠⎪=⎨-⎪⎪=⎩ 则0x =是()f x 的（）.（A ）可去间断点（B ）跳跃间断点（C ）第二类间断点（D ）连续点 3.若函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内可导，且()()f x g x <，则必有（）. （A ）()()f x g x ->- （B ）()()f x g x ''< （C ）0lim ()lim ()x x x x f x g x →→< （D ）()()x xf t dtg t dt <⎰⎰4.已知级数11(1)n n n a ∞-=-∑和21n n a ∞=∑分别收敛于,a b ，则级数1n n a ∞=∑（）(A)不一定收敛 (B) 必收敛，和为2a b + (C)必收敛，和为2a b - (D) 必收敛，和为2a b +5.设矩阵A 与101020101B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则()(2)r A r A E +-=（）.(A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 66.设3阶方阵A 的特征值是1,2,3，它们所对应的特征向量依次为123,,ααα，令312(3,,2)P ααα=，则1P AP -=（）.（A ）900010004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）300010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）100020003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）100040009⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭7. 设随机变量X 服从[1,1]-上的均匀分布，则X 与eXY -=（）.（A ）不相关 （B ）相关 （C ）独立 （D ）相关且不独立 8. 设1,,n X X 是取自正态总体(0,1)N 一个简单随机样本，则下列结论中错误的是（）.（A~(0,1)N （B ）22(1)~(1)n S n χ--（C~(1)t n -（D ）2121~(1,)n i i nX F n X =∑ 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上） 9.设函数(,)f x y 具有连续偏导数，且2(,234)f x x x x -+=，(1,3)2x f =，则(1,3)y f = .10.微分方程(e 1)1xy y -'+-=的通解为 . 11.设2cos nn x anx ∞==∑，则2a = .12.设S为锥面(01)z z =≤≤外侧，则 Sy dydz =⎰⎰ .13.设A 为n 阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组0Ax =的通解为 . 14.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布(0,1)N ，则{}max(,)0P X Y ≥= .三、解答题（本题共9小题，满分94分。
2018考研真题及答案汇总
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2018年考研数学一真题及解析
Z 0 或者 2 X 2Y Z 2 。
因此选择（B）
3、 (1)n
2n 3
（
n0
(2n 1)!
）
（A） sin1 cos1 （C） 3sin1 cos1
【答案】：（B）
（B） 2 sin1 cos1 （D） 3sin1 2 cos1
【分析】 (1)n
2n 3
(1)n 2n 1 2
（C） f (x) cos | x |
（D） f (x) cos | x |
【答案】：（D） 【分析】因为
对选项（A）， lim f (x) f (0) lim | x | sin | x | lim | x | 2 lim x 2 lim x 0 f (0)
x0
x
x0
x
x0 x
x x0
1 x ex
dx
，因为 ex
1
x
1 x
，所以
ex
1 ，故
N
M
对于 K
2
(1
cos x )dx ，因为1
cos x 1 ，故 K M
2
因此 K M N
因此选择（C）
1 1 0
5、下列矩阵中，与矩阵
0 0
1 0
1 1
相似的为（
）
2
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
1 1 1
2x( X x) 2 y(Y y) (Z z) 0 ，因为平面过点 (1, 0, 0) 与 (0,1, 0) ，故法向量与向量
{1, 1, 0} 垂直，因此有 2x 2 y 0 ，即 y x …………………………………………①
将 y x 带入 z x2 y2 中，有 z 2x2 …………………………………………………②
19考研数一真题和答案
. .2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学一考研真题与全面解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上 .1.下列函数中在x 0处不可导的是（）（A）f ( x) x sin x （B）f (x) x sin x（C） f ( x) cos x （D） f (x) cos x2.过点(1,0,0) ，(0,1,0) ，且与曲面2 2z x y 相切的平面为（）（A）z0与x y z 1 （B）z0与2x 2y z 2 （C）x y与x y z 1 （D）x y与2x 2y z 23.nn( 1)2n 3(2n 1)!（）A sin1 cos1B 2sin1 cos1C 2sin1 2cos1D 2sin1 3cos14.设2(1 x)M dx221 x21 x， 2N dx， 2K (1 cosx)dx，则（）xe2 2（A）M N K （B）M K N（C）K M N （D）K N M1 1 00 1 1 5. 下列矩阵中阵，与矩阵相似的是（）0 0 1. .专业资料 . .. .1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 （A）（B）（C）（D）0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 5.设A, B是n阶矩阵，记r(X ) 为矩阵X 的秩，( X ,Y)表示分块矩阵，则（）（A）r ( A, AB) r (A) （B）r ( A, BA) r (A)T T（C）r ( A, B) max{ r ( A), r ( B)} （D）( , ) ( , )r A B r A B6.设随机变量X 的概率密度 f (x) 满足f (1 x) f (1 x) ，且20 f (x)dx 0.6则P{ X 0} ( )（A）0.2 （B）0.3 （C）0.4 （D）0.57.设总体 X 服从正态分布2N(, ) , X1, X2, ,X n 是来自总体X 的简单随机样本，据此样本检测，假设H0 : 0 ,H1 : 0 ,则（）（A）如果在检验水平0.05下拒绝H，那么在检验水平0.01下必拒绝0 H ；（B）如果在检验水平0.05下拒绝H，那么在检验水平0.01下必接受0 H ；（C）如果在检验水平0.05下接受H，那么在检验水平0.01下必拒绝H0；（D）如果在检验水平0.05下接受H，那么在检验水平0.01下必接受H0。