新版人教版高中数学必修一期末综合测试题含答案
人教版高中一年级数学必修1测试题(含答案)
人教版数学必修I 测试题（含答案）一、选择题1、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===，则()U AC B =（ ）A 、{}2B 、{}2,3C 、{}3D 、{}1,32、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈，则集合 MN （ ）A 、{}0B 、{}0,1C 、{}1,2D 、{}0,23、函数()21log ,4y x x =+≥的值域是 （ ）A 、[)2,+∞B 、()3,+∞C 、[)3,+∞D 、(),-∞+∞4、关于A 到B 的一一映射，下列叙述正确的是 （ ） ① 一一映射又叫一一对应 ② A 中不同元素的像不同③ B 中每个元素都有原像 ④ 像的集合就是集合BA 、①②B 、①②③C 、②③④D 、①②③④5、在221,2,,y y x y x x y x===+=，幂函数有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6、已知函数()213f x x x +=-+，那么()1f x -的表达式是 （ ）A 、259x x -+B 、23x x --C 、259x x +-D 、21x x -+7、若方程0x a x a --=有两个解，则a 的取值范围是 （ ）A 、()0,+∞B 、()1,+∞C 、()0,1D 、∅ 8、若21025x =，则10x -等于 （ ）A 、15-B 、15C 、150D 、1625 9、若()2log 1log 20a a a a +<<，则a 的取值范围是 （ ）A 、01a <<B 、112a <<C 、102a << D 、1a >10、设 1.50.90.4814,8,2a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小顺序为 （ ）A 、a b c >>B 、a c b >>C 、b a c >>D 、c a b >> 11、已知()()2212f x x a x =+-+在(],4-∞上单调递减，则a 的取值范围是 （ ）A 、3a ≤-B 、3a ≥-C 、3a =-D 、以上答案都不对 12、若()lg f x x =，则()3f = （ ）A 、lg 3B 、3C 、310D 、103 二、填空题13、设{}{}12,0A x x B x x a =<<=-<，若A B Ø，则a 的取值范围是 ；14、函数y =的定义域为 ；15、若2x <，3x -的值是 ； 16、100lg 20log 25+= 。
【人教版】高中数学必修一期末试题(含答案)
一、选择题1．已知函数22,2,()3, 2.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的函数()y f x k =-有且只有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()3,1-B ．()0,1C ．(]3,0-D ．()0,∞+2．已知函数()21,04,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若函数()y f x a =-有3个不同的零点1x ，2x ，3x （123x x x <<），则123ax x x ++的取值范围是( ) A ．()2,0-B ．[]2,0-C ．[]2,0-D ．(]2,0-3．已知函数f (x )＝1,01,0x x x⎧⎪⎨>⎪⎩则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是（ ）A ．(1，2)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)4．已知：23log 2a =，42log 3b =，232c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<5．已知函数()y f x =与x y e =互为反函数，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，若()1g a =，则实数a 的值为 A ．e -B ．1e-C ．eD ．1e6．函数2ln 8x y x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，其图形在形状上像一个倒悬着的钟，高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.14-=-，[]4.84=.则函数21()122x x f x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域为（ ）A ．{}0,1B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-8．已知函数()y f x =的定义域为[]0,4，则函数0(2)1y x x =--的定义域是（ ） A ．[1,5]B ．((1,2)(2,5) C ．(1,2)(2,3]⋃D ．[1,2)(2,3]⋃9．已知函数log ,0(),0a xx x f x a x >⎧=⎨≤⎩（0a >，且1a ≠），则((1))f f -=（ ） A ．1B ．0C ．-1D ．a10．对于非空集合P ，Q ，定义集合间的一种运算“★”：{P Q x x P Q =∈★∣且}x P Q ∉⋂．如果{111},{1}P x x Q x y x =-≤-≤==-∣∣，则P Q =★（ ）A ．{12}xx ≤≤∣ B ．{01xx ≤≤∣或2}x ≥ C ．{01xx ≤<∣或2}x > D ．{01xx ≤≤∣或2}x > 11．设集合{}21xA y y ==-，{}1B x x =≥，则()R A C B =（ ）A ．(],1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,1-D ．[)1,+∞12．设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =，求实数a 组成的集合的子集个数有 A ．2B ．3C ．4D ．8二、填空题13．若函数244y ax a x =+-存在零点，则实数a 的取值范围是______． 14．若方程22(1)10kx k x k +-+-=(0)k >的两根为12,x x ，且110x -<<，201x <<，则实数k 的取值范围是__________.15．设函数123910()lg 10x x x x x af x +++++=,其中a 为实数,如果当(,1]x ∈-∞时()f x 有意义,则a 的取值范围是________.16．已知函数()()log 21101a y x a a =-+>≠,的图象过定点A ，若点A 也在函数()2x f x b =+的图象上，则()2log 3f =________.17．函数222421x x y x ++=+的值域为_________. 18．已知函数()f x 的定义域为[]2,2-，当[]0,2x ∈时，()1f x x =+，当[)2,0x ∈-时，()(2)f x f x =-+，求()f x =___________19．若集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是________20．若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有5,6，则b 的取值范围是______.三、解答题21．已知a R ∈，函数21()log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若函数()()22log g x f x x =+只有一个零点，求实数a 的取值范围； 22．已知函数()2()log 41xf x mx =++． （1）若()f x 是偶函数，求实数m 的值；（2）当0m >时，关于x 的方程()242148log 2log 41f x x m ⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦在区间[1,上恰有两个不同的实数解，求m 的范围．23．已知指数函数()f x 的图象经过点()1,3-，()()2()23x g x f a x f =-+在区间[]1,1-上的最小值是()h a . （1）求函数()f x 的解析式；（2）若3a ≥时，求函数()g x 的最小值()h a 的表达式；（3）是否存在m 、n ∈R 同时满足以下条件：①3m n >>；②当()h a 的定义域为[],n m 时，值域为22,n m ⎡⎤⎣⎦；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由.24．已知函数()21log 1xf x x-=+. （1）求函数()f x 的定义域； （2）讨论函数()f x 的奇偶性；（3）证明：函数()f x 在定义域上单调递减.25．已知定义在R 上的函数()f x 的单调递增函数，且对∀x ，y ∈R ，都有()()()1f x y f x f y +=++，f (2)=5.（1）求f (0)，f (1)的值；（2）若对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀，都有2()(21)1f kx f x +-<成立，求实数k 的取值范围.26．设全集U R =，集合{|2A x x =≤-或}{}5,|2x B x x ≥=≤．求（1）()UA B ⋃；（2）记(){},|23U A B D C x a x a ⋃==-≤≤-，且C D C ⋂= ，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】函数()y f x k =-零点的个数，即为函数()y f x =与函数y k =图象交点个数，结合函数图象可得实数k 的取值范围． 【详解】因为关于x 的函数()y f x k =-有且只有三个不同的零点，所以函数()y f x =与函数y k =图象有三个不同的交点，画出图象，如图：由图可知，当01k <<时，函数()y f x =与函数y k =图象有三个不同的交点， 所以实数k 的取值范围是(0,1). 故选：B 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.2．D解析：D 【分析】作出函数()f x 的图象，由函数()f x 的图象与直线y a =的交点得123,,x x x 的范围与关系，从而可求得123ax x x ++的取值范围． 【详解】函数()y f x a =-的零点就是函数()y f x =的图象与直线y a =的交点的横坐标，作出函数()y f x =的图象，作出直线y a =，如图，由图可知122x x +=-，由241x =得12x =（12x =-舍去），∴3102x <≤，234x a =，∴23123334224(2,0]x ax x x x x ++=-+=-+∈-． 故选：D ．【点睛】本题考查函数的零点，解题关键是掌握转化与化归思想，函数零点转化为函数图象与直线的交点，由数形结合思想确定零点的性质，得出结论．3．D解析：D 【分析】分别讨论x ≤0和x >0，方程有解时，m 的取值. 【详解】当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1；当x >0时，x ＋f (x )＝m ，即1x m x+=，解得m ≥2， 即实数m 的取值范围是(,1][2,)-∞⋃+∞故选：D 【点睛】本题考查了方程有解求参数的取值问题，考查了计算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.4．A解析：A 【分析】由换底公式和对数函数的性质可得112b a <<<，再由指数函数的性质可得102c <<，即可得解. 【详解】23ln3ln12log =02ln 2ln 2a ==>，4212ln ln 2ln1323log =03ln 4ln 2ln 2b ====<， a b ∴>22223231log log 410,239222a c -⎛⎫⎛⎫<===< ⎪ ⎪⎭=⎝>⎭=⎝，b c a ∴<<， 故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于常考题.5．D解析：D 【分析】根据指数函数与对数函数的关系，以及函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，求得()ln g x x =-，再由()1g a =，即可求解. 【详解】由题意，函数()y f x =与xy e =互为反函数，所以()ln f x x =，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，所以()ln g x x =-， 又由()1g a =，即ln 1a -=，解得 1a e= 故选D. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的关系，其中熟记指数函数与对数函数的关系，以及函数的对称性求得函数()g x 的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．D解析：D 【分析】先根据偶函数性质排除B ，再考虑当0x >且0x →时，y →+∞，排除A.再用特殊值法排除C ，即可得答案. 【详解】解：令()2ln 8x f x y x ==-，则函数定义域为{}0x x ≠ ，且满足()()f x f x -=，故函数()f x f (x )为偶函数，排除选项B ； 当0x >且0x →时，y →+∞，排除选项A ；取特殊值x =1ln 1ln 0y e =-<-=，排除选项C. 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查函数的基本性质，是中档题.7．C解析：C 【分析】先求出函数()21122x x f x =-+的值域，再根据题干中要求即可得出()21122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域. 【详解】()21121111=122122212x x x x xf x +-=--=-+++， ()121,x +∈+∞，()10,112x∴∈+， ()11,012x∴-∈-+， 1111,21222x ⎛⎫∴-∈- ⎪+⎝⎭， 即函数()21122x xf x =-+的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由高斯函数定义可知：函数()21122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域为{}1,0- 故选：C. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.8．C解析：C 【分析】由函数定义域的定义，结合函数0(2)y x =-有意义，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数()y f x =的定义域为[]0,4，即[]0,4x ∈，则函数0(2)y x =-满足0141020x x x ≤+≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解得13x <≤且2x ≠，所以函数0(2)y x =+-的定义域是(1,2)(2,3]⋃. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，根据题设条件和函数的解析式有意义，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9．C解析：C 【分析】根据分段函数的解析式，代入求值即可. 【详解】 因为log ,0(),0a xx x f x a x >⎧=⎨≤⎩， 所以11(1)f a a--==， 所以11((1))()log 1a f f f a a--===-，故选：C 【点睛】本题主要考查了利用分段函数的解析式，求函数值，涉及指数函数与对数函数的运算，属于中档题.10．C解析：C 【分析】先确定,P Q ，计算P Q 和P Q ，然后由新定义得结论．【详解】由题意{|02}P x x =≤≤，{|10}{|1}Q x x x x =-≥=≥， 则{|0}PQ x x =≥，{|12}P Q x x =≤≤，∴{|01P Q x x =≤<★或2}x >． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合新定义运算，解题关键是正确理解新定义，确定新定义与集合的交并补运算之间的关系．从而把新定义运算转化为集合的交并补运算．11．C解析：C 【解析】 【分析】化简集合A ，B 根据补集和交集的定义即可求出． 【详解】集合A ＝{y |y ＝2x ﹣1}＝（﹣1，+∞），B ＝{x |x ≥1}＝[1，+∞）， 则∁R B ＝（﹣∞，1） 则A ∩（∁R B ）＝（﹣1，1）， 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．12．D解析：D 【分析】先解方程得集合A ，再根据A B B =得B A ⊂，最后根据包含关系求实数a ，即得结果.【详解】{}2|8150{3,5}A x x x =-+==,因为AB B =，所以B A ⊂，因此,{3},{5}B =∅，对应实数a 的值为110,,35，其组成的集合的子集个数有328=，选D. 【点睛】本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题13．【分析】将函数存在零点转化为与图像有交点作出图像观察图像得出实数的取值范围【详解】解：设则函数存在零点等价于与图像有交点如图：函数的图像恒过点当其和函数的图像相切时有解得由图像可知所以所以与的图像有解析：30,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】将函数244y ax a x =+--存在零点转化为()()4f x a x =+与2()4g x x =-图像有交点，作出图像，观察图像得出实数a 的取值范围. 【详解】解：设()()4f x a x =+，2()4g x x =-，则函数244y ax a x =+--存在零点等价于()()4f x a x =+与2()4g x x =-图像有交点， 如图：函数()()4f x a x =+的图像恒过点(4,0)-，当其和函数2()4g x x =-2421aa =+，解得3a =±，由图像可知，0a >，所以33a =，所以()()4f x a x =+与2()4g x x =-303a ≤≤. 故答案为：3⎡⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考查数形结合的思想，是中档题.14．【分析】将方程的根转化为函数零点问题再利用零点存在性定理求解【详解】由题知方程的两根为且故设则有故答案为:【点睛】本题考查二次函数根的分布问题需要学生熟悉二次函数的图像性质解决此类问题时常结合零点存解析：3(,1)4【分析】将方程的根转化为函数零点问题,再利用零点存在性定理求解. 【详解】由题知方程22(1)10kx k x k +-+-=(0)k >的两根为12,x x , 且110x -<<,201x <<,故设()f x =22(1)1kx k x k +-+-,(0)k >则有(1)2210103(0)10114(1)221034f k k k f k k k f k k k k ⎧⎪-=-++->>⎧⎪⎪=-<⇒<⇒<<⎨⎨⎪⎪=+-+->⎩⎪>⎩, 故答案为:3(,1)4. 【点睛】本题考查二次函数根的分布问题,需要学生熟悉二次函数的图像性质,解决此类问题时常结合零点存在性定理解决.15．【分析】由题意可得对任意的恒成立分离变量后利用函数的单调性求得在上的范围即可得解【详解】根据题意对任意的恒成立即恒成立则因为函数在上为增函数所以故答案为：【点睛】本题考查对数函数的定义域指数函数的单 解析：[ 4.5,)-+∞【分析】由题意可得对任意的(,1]x ∈-∞，10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，分离变量a 后利用函数的单调性求得981()101010x x xg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上的范围，即可得解. 【详解】根据题意对任意的(,1]x ∈-∞，123910010x x x x x a+++++>恒成立，即10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，则981101010x x xa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为函数981()101010xxxg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上为增函数，所以111981 4.5101010a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：[ 4.5,)-+∞【点睛】本题考查对数函数的定义域，指数函数的单调性，不等式恒成立问题，属于基础题.16．2【分析】先利用函数的解析式得出其图象必过哪一个定点再将该定点的坐标代入函数中求出最后即可求出相应的函数值得到结果【详解】因为函数的图象恒过定点将代入得所以所以则故答案为：【点睛】该题考查的是有关函解析：2 【分析】先利用函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数()2xf x b =+中求出b ，最后即可求出相应的函数值2(log 3)f ，得到结果. 【详解】因为函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过定点(1,1)， 将1,1x y ==代入()2x f x b =+，得121b +=，所以1b =-， 所以()21xf x =-， 则2log 32(log 3)21312f =-=-=，故答案为：2. 【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有对数型函数图象过定点问题，点在函数图象上的条件，已知函数解析式求函数值，属于简单题目.17．【分析】将函数变形为关于的方程分析二次项的系数并结合与的关系求解出的取值范围从而值域可求【详解】因为所以所以当即时此时；当即时此时所以综上可知：所以的值域为故答案为：【点睛】易错点睛：利用判别式法求 解析：[]0,4【分析】将函数变形为关于x 的方程，分析二次项的系数并结合∆与0的关系求解出y 的取值范围，从而值域可求. 【详解】因为222421x x y x ++=+，所以222+42yx y x x +=+，所以()22420y x x y -++-=， 当20y -=，即2y =时，此时0x =；当20y -≠，即2y ≠时，此时()216420y ∆=--≥，所以[)(]0,22,4y ∈，综上可知：[]0,4y ∈，所以222421x x y x ++=+的值域为[]0,4， 故答案为：[]0,4. 【点睛】易错点睛：利用判别式法求解函数值域需要注意的事项： （1）原函数中分子分母不能约分； （2）原函数的定义域为实数集R .18．【分析】当时可得可求出结合可求出时的表达式进而可得出答案【详解】当时；当时所以则所以故答案为：【点睛】本题考查分段函数解析式的求法考查学生的推理能力属于中档题解析：1,023,20x x x x +≤≤⎧⎨---≤<⎩ 【分析】当[)2,0x ∈-时，可得[)20,2x +∈，可求出(2)3f x x +=+，结合()(2)f x f x =-+，可求出[)2,0x ∈-时，()f x 的表达式，进而可得出答案.【详解】当[]0,2x ∈时，()1f x x =+；当[)2,0x ∈-时，[)20,2x +∈，所以(2)3f x x +=+， 则()(2)3f x f x x =-+=--.所以1,02()3,20x x f x x x +≤≤⎧=⎨---≤<⎩. 故答案为：1,023,20x x x x +≤≤⎧⎨---≤<⎩.【点睛】本题考查分段函数解析式的求法，考查学生的推理能力，属于中档题.19．【分析】由f （x ）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a ＜0可得x2﹣2x+1＜a （x+1）﹣1即直线在二次函数图像的上方的点只有一个整数1则满足题意结合图象即可求出【详解】f （x ）＝x2﹣（a+2）x+2﹣解析：12(,]23【分析】由f （x ）＝x 2﹣（a +2）x +2﹣a ＜0可得x 2﹣2x +1＜a （x +1）﹣1，即直线在二次函数图像的上方的点只有一个整数1，则满足题意，结合图象即可求出． 【详解】f （x ）＝x 2﹣（a +2）x +2﹣a ＜0， 即x 2﹣2x +1＜a （x +1）﹣1， 分别令y ＝x 2﹣2x +1，y ＝a （x +1）﹣1，易知过定点（﹣1，﹣1）， 分别画出函数的图象，如图所示：∵集合A ＝{x ∈Z|f （x ）＜0}中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得∴10{120 311a a a -≤--≤＜，解得1 2＜a23≤故答案为（12，23]【点睛】本题考查了二次函数的性质以及参数的取值范围，考查了转化思想和数形结合的思想，属于中档题20．【分析】先求得不等式的解集根据不等式的解集中的整数有且仅有得出不等式组即可求解得到答案【详解】由题意不等式即解得要使得不等式的解集中的整数有且仅有则满足解得即实数的取值范围是故答案为【点睛】本题主要解析：[]16,17【分析】先求得不等式34x b-<的解集4433b bx-++<<，根据不等式34x b-<的解集中的整数有且仅有5,6，得出不等式组44534673bb-+⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，即可求解，得到答案.【详解】由题意，不等式34x b-<，即434x b-<-<，解得4433b bx-++<<，要使得不等式34x b-<的解集中的整数有且仅有5,6，则满足44534673bb-+⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，解得1617b≤≤，即实数b的取值范围是[]16,17.故答案为[]16,17.本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及集合的应用，其中解答中正确求解绝对值不等式，根据题设条件得到不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题21．（1）1(,)(0,)4-∞-+∞；（2）1{}[0,)4-+∞.【分析】（1）当5a =时，得到21()log (5)f x x =+，根据()0f x >，得出不等式151x+>，即可求解；（2）化简()221log ()g x a x x=+⋅（其中0x >），根据函数()g x 只有一个零点，得到方程210ax x +-=在(0,)+∞上只有一个解，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）当5a =时，21()log (5)f x x=+， 由()0f x >，即21log (5)0x +>，可得151x+>，解得14x <-或0x >，即不等式()0f x >的解集为1(,)(0,)4-∞-+∞. （2）由()()22222112log log ()2log log ()g x f x x a x a x xx=+=++=+⋅（其中0x >），因为函数()()22log g x f x x =+只有一个零点，即()0g x =只有一个根， 即21()1a x x+⋅=在(0,)+∞上只有一个解， 即210ax x +-=在(0,)+∞上只有一个解，①当0a =时，方程10x -=，解得1x =，复合题意； ②当0a ≠时，设函数21y ax x =+-当0a >时，此时函数21y ax x =+-与x 轴的正半轴，只有一个交点，复合题意；当0a <时，要使得函数21y ax x =+-与x 轴的正半轴只有一个交点，则满足102140a a ⎧->⎪⎨⎪∆=+=⎩，解得14a =- ，综上可得，实数a 的取值范围是1{}[0,)4-+∞.根据函数的零点求参数的范围的求解策略：转化：把已知函数的零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况； 列式：根据函数零点的存在性定理或结合函数的图象、性质列出方程（组）或不等式（组）；结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围； 22．（1）1m =-；（2）8,19m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）根据偶函数的定义()()f x f x -=，求得实数m 的值；（2）首先观察函数的单调性和()01f =，可得()242148log 2log 40x x m++-=，再根据换元设2log x t =，30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用参变分离的方法转化为24224t t m -++=，根据函数2224y t t =-++的图象，求m 的取值范围.【详解】（1）()2()log 41xf x mx =++，()2()log 41x f x mx --=+-，()()f x f x =-即()()22log 41log 41xxmx mx -++=+-，化简得到22x mx =-，∴1m =-（2）0m >，函数()2()log 41xf x mx =++单调递增，且(0)1f =，()242148log 2log 41(0)f x f x m ⎡⎤++-==⎢⎥⎣⎦，故()242148log 2log 40x x m++-= 设2log x t =，30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即24224t t m -++=，画出2224y t t =-++的图像，如图所示：根据图像知4942m ≤<，解得819m <≤，即8,19m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.23．（1）1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）()126h a a =-；（3）不存在，理由见解析. 【分析】（1）设()xf x c =（0c >且1c ≠），由题意可得()13f -=，可求得c 的值，进而可求得函数()f x 的解析式；（2）令11,333xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，设()223k t t at =-+，分析当3a ≥时，函数()k t 的单调性，进而可得出()()min h a k t =，即可得解；（3）分析出函数()h a 在区间[],n m 上单调递减，可得出22126126n m m n ⎧-=⎨-=⎩，将两个等式作差可得出6m n +=，结合3m n >>判断可得出结论. 【详解】（1）设()xf x c =（0c >且1c ≠），因为指数函数()f x 的图象经过点()1,3-，()113f c-∴-==，即13c =，因此，()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）令()13xt f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，[]1,1x ∈-，1,33t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦， 所以，设()223k t t at =-+，对称轴为t a =.3a ≥，可知()k t 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当3t =时，()k t 取最小值，即()g x 取最小值()()3126h a k a ==-； （3）由（2）知3m n >>时，()126h a a =-在[],n m 上单调递减，若此时()h a 的值域为22,n m ⎡⎤⎣⎦，则22126126n m m n ⎧-=⎨-=⎩，即()()()6m n m n m n -=-+，m n ≠，则0m n -≠，6m n ∴+=，又3m n >>，则6m n +>，故不存在满足条件的m 、n 的值. 【点睛】方法点睛：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴动区间定，不论哪种类型，解决的关键就是考查对称轴于区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解. 24．(1) (1,1)- (2) 函数()f x 为奇函数 (3)证明见解析. 【分析】(1)由()f x 的定义域满足101xx->+可得答案. (2)直接判断()f x 与()f x -的关系可得答案. (3) 设1211x x -<<<，先作差判断出212111011--<<++x x x x ，再由对数函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增有，21222111log log 11x x x x --<++，即可得出结论. 【详解】解：（1）令101xx->+，可得()()110x x -+>，即()()110x x -+<，解得11x -<< 函数()f x 的定义域为(1,1)-（2）由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称 由2211()log log ()11x xf x f x x x+--==-=--+，可得函数()f x 为奇函数 （3）设1211x x -<<<设()()()()()()()()()122112212112121111211111111+--+-----==++++++x x x x x x x x x x x x x x∵1211x x -<<<∴121210,10,0x x x x +>+>-< ∴212111011--<<++x x x x 利用对数函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增有，21222111log log 11x x x x --<++ 即()()21f x f x <故函数()f x 在(1,1)-上单调递减． 【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域、奇偶性的判断和用定义法证明单调性，解答本题的关键是先得出2211x x -+与1111x x -+的大小关系，再由函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增得到21222111log log 11x x x x --<++，即()()21f x f x <，属于中档题. 25．（1）(0)1f =-；()12f =；（2）4k <. 【分析】（1）令0x y ==可得(0)f ，令1x y ==可得()1f ； （2）转化条件为222k x x <-对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀恒成立，换元后求得222x x -的最小值即可得解. 【详解】（1）令0x y ==，则(0)(0)(0)1f f f =++，所以(0)1f =-； 令1x y ==，则(2)(1)(1)15f f f =++=，所以()12f =；（2）由题意，不等式2()(21)1f kx f x +-<可转化为2()(21)12f kx f x +-+<，所以()()2211f kx x f +-<，因为函数()f x 单调递增，所以2211kx x +-<， 所以222k x x <-对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀恒成立， 令[]12,3t x =∈，则221122222t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以当2t =即12x =时，222t t -取最小值4， 所以4k <.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的单调性转化不等式为222k x x<-对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀恒成立，再转化为求222x x -的最小值即可得解.26．（1）{}|25x x <<；（2）()1,+∞. 【解析】试题分析：（1）根据题意和并集的运算求出A B ，再由补集的运算求出()U C A B ；（2）由（1）得集合D ，由C D C =得C D ⊆，根据子集的定义对C 分类讨论，分别列出不等式求出a 的范围． 试题(1)由题意知，A ＝x |x ≤－2或x ≥5}，B ＝x |x ≤2}，则A ∪B ＝x |x ≤2或x ≥5}，又全集U ＝R ，∁U (A ∪B )＝x |2＜x ＜5}．(2)由(1)得D ＝x |2＜x ＜5}，由C ∩D ＝C 得C ⊆D ， ①当C ＝∅时，有－a ＜2a －3，解得a ＞1；②当C ≠∅时，有232325a aa a -≤-⎧⎪->⎨⎪-<⎩,解得a ∈∅.综上，a 的取值范围为(1，＋∞).。
最新高中数学必修1综合测试卷(三套+含答案)教学教材
１、设全集 集合 从 到 的一个映射为 ，其中 则 _________________。
2、已知 是方程 的根， 是方程 的根，则 值为______________。
3、已知函数 的图象关于直线 对称，且当 时 则当 时
________________。
4、函数 的反函数 的图像与 轴交于点 （如图所示），则方程 在 上的根是
5、设
A、0B、1 C、2D、3
6、从甲城市到乙城市 分钟的电话费由函数 给出，其中 ， 表示不大于 的最大整数（如 ），则从甲城市到乙城市 分钟的电话费为______________。
7、函数 在区间 上为增函数，则 的取值范围是______________。
8、函数 的值域为______________。
令 (0≤t≤ )，则x=t2+1，
∴ …………………………………………………8分
故当t= 时,可获最大利润 万元.……………………………………………………10分
此时，投入乙种商品的资金为 万元,
投入甲种商品的资金为 万元.……………………………………………………12分
21、（1）证明： ，令x=y=1，则有：f（1）=f（1）-f（1）=0，…2分
22、解：（1） 是R上的奇函数 ，
即 ，即
即 ∴
或者 是R上的奇函数
，解得 ，然后经检验满足要求。…………………………………3分（2）由（1）得
设 ，则
，
，所以 在 上是增函数…………………………………7分
（3） ，
所以 的值域为(-1，1)
或者可以设 ，从中解出 ，所以 ，所以值域为(-1，1)…12分
高中数学必修1综合测试卷(三套+含答案)
【人教版】高中数学必修一期末试卷(附答案)
一、选择题1．已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间1(,)2+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2332a << B ．213a < C ．9aD ．293a < 2．若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根1x ，2x ，且12x x <，则下列结论中错误的是（ ）A ．当0m =时，12x =，23x =B ．14m ≥-C ．当0m >时，1223x x <<<D ．二次函数()()12y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为()2,0和()3,0 3．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=- ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =，则函数()()()1g x x f x π=-- 在区间3-,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为( ) A ．πB ．2πC ．3πD ．4π4．定义：若函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，点对(),A B 与(),B A 看作同一对“镜像点对”，已知函数()23,02,0xx f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则该函数的“镜像点对”有（ ）对.A ．1B ．2C ．3D ．45．已知1311531log ,log ,363a b c π-===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a << 6．计算log 916·log 881的值为（ ） A ．18B ．118C ．83D ．387．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为（ ） A ．](2-∞，B ．[)2，+∞C ．[]24-，D ．[]14，8．已知函数22|1|,7,()ln ,.x x e f x x e x e --⎧+-≤<=⎨≤≤⎩若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[-1，+∞) B ．(-∞，-1]∪[3，+∞) C ．[-1，3] D ．(-∞，3]9．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 10．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1C ．-3或2D ．-1或211．若集合3| 01x A x x -=≥+⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{|10}B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎛-⎤⎥⎝⎦C ．(,1)[0,)-∞-+∞ D ．1[,0)(0,1)3-⋃12．已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（ ）①1A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．已知f (x )＝23,123,1x x x x x +≤⎧⎨-++>⎩，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________． 14．（文）已知函数2cos ,1()21,1xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩，则关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是________个．15．函数()()()212log 24f x ax x a R =-+∈，若()f x 的值域为(],1-∞，则a 的值为______.16．若函数()()20.2log 1f x kx kx =-+的定义域是R ，则实数k 的取值范围是______.17．定义在R 上的减函数()f x 满足(0)4f =，且对任意实数x 都有()(2)4f x f x +-=，则不等式|()2|2f x -<的解集为____________.18．若函数()y f x = 的定义域为[-1,3]，则函数()()211f xg x x +=-的定义域 ___________19．已知集合{}1,2,5,7,13,15,16,19A =，设,i j x x A ∈，若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解，则实数k 的所有可能取值是________20．若集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是________三、解答题21．中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台需要另投入成本()C x （万元）．当年产量不足80台时，21()402C x x x =+（万元），当年产量不小于80台时，8100()1012180C x x x=+-（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式．（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．22．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()241f x x x =-+．（1）求函数()f x 的解析式：（2）根据解析式在图画出()f x 图象． （3）讨论函数()()g x f x m =-零点的个数．23．已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=. （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断函数()(2)(2)g x f x f x =++-的奇偶性，并说明理由.24．（1）求满足不等式221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合；（2）求函数235()log (45)f x x x =--的单调递减区间.25．定义：满足()f x x =的实数x 为函数()f x 的“不动点”，已知二次函数()()20f x ax bx a =+≠，()1f x +为偶函数，且()f x 有且仅有一个“不动点”．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增，求实数k 的取值范围；（3）是否存在区间[](),m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ？若存在，请求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．26．已知集合{()(1)0}M xx t x =-+≤∣，{|21}N x x =|-|<. （1）当2t =时，求M N ⋃； （2）若N M ⊆，求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】可设2()(3)1f x ax a x =+-+，0a ≠，讨论0a >，0a <，结合对称轴与区间的关系和1()2f 的符号、判别式的符号，解不等式可得所求范围． 【详解】解：方程有两个实数根，显然0a ≠，可设2()(3)1f x ax a x =+-+，对称轴是32ax a-=， 当0a >时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++>，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23a >，且9a 或1a ，则213a <；当0a <时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++<，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23<a ，且9a 或1a ，则a ∈∅．综上可得，a 的取值范围是213a <．故选：B ． 【点睛】本题解题关键是结合二次函数的图象特征研究二次方程根的分布，分类讨论借助图象准确列出不等关系，突破难点.2．C解析：C 【分析】画出函数()()23y x x =--的图像，然后对四个选项逐一分析，由此得出错误结论的选项. 【详解】画出二次函数()()23y x x =--的图像如下图所示，当0m =时，122,3x x ==成立，故A 选项结论正确. 根据二次函数图像的对称性可知， 当 2.5x =时，y 取得最小值为14-， 要使()()23y x x m =--=有两个不相等的实数根， 则需14m >-，故B 选项结论正确. 当0m >时，根据图像可知122,3x x <>，故C 选项结论错误.由()()23x x m --=展开得2560x x m -+-=， 根据韦达定理得12125,6x x x x m +=⋅=-. 所以()()()2121212y x x x x m x x x x x x m =--+=-+++()()25623x x x x =-+=--，故()()12y x x x x m =--+与x 轴的交点坐标为()()2,0,3,0. 故选：C. 【点睛】思路点睛：一元二次方程根的分布，根据其有两个不等的实根，结合根与系数的关系、函数图象，判断各选项的正误.3．D解析：D 【解析】函数()()()1g x x f x π=--在区间3,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点就是函数()y f x =与函数1()h x x π=-的交点的横坐标． ∵()()f x f x π+=-∴()()2f x f x π+=，即函数()f x 的周期为2π，且函数()f x 的图象关于直线2x π=对称．又可得()()2f x f x π+=--，从而函数()f x 的图象关于点(π,0)对称．函数1()h x x π=-的图象关于点(π,0)对称． 画出函数f(x),h(x)的图象（如下所示），根据图象可得函数f(x),h(x)的图象共有4个交点，它们关于点(π,0)对称． 所以函数()()()1g x x f x π=--在区间3,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为2π+2π=4π． 选D ．点睛：解答本题的关键是将函数()()()1g x x f x π=--零点问题转化为两个函数图象交点的横坐标问题，借助函数图象的直观性使得问题得到解答，这是数形结合在解答数学题中的应用，解题中要求正确画出函数的图象．同时本题中还用到了函数的周期性、对称性、奇偶性之间的互相转化，对于这些知识要做到熟练运用．4．C解析：C 【分析】由新定义可知探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数即得结果. 【详解】由题意可知，函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，因为()23,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，由y 轴左侧部分()3,0xy x =-<图像关于原点中心对称的图像3x y --=-，即3xy -=，()0x >，作函数3xy -=，()0x >和()22,0y x x x =-≥的图象如下：由图像可知两图象有三个公共点，即该函数有3对“镜像点对”. 故选：C. 【点睛】本题解题关键是理解新定义，寻找对称点对，探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数，通过数形结合，即突破难点.5．D解析：D 【分析】根据指数函数和对数函数性质，借助0和1进行比较． 【详解】由对数函数性质知151log 16>，13log 03π<，由指数函数性质知13031-<<，∴b c a <<． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：本题考查指数式、对数式的大小比较，比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．6．C解析：C 【分析】根据对数的运算性质，换底公式以及其推论即可求出． 【详解】原式＝23443232448log 2log 3log 2log 3233⋅=⋅=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查对数的运算性质，换底公式以及其推论的应用，属于基础题．7．C解析：C 【分析】根据题意可得()f x 在[0，)+∞上为减函数，结合奇偶性以及()31f =-可得(|1|)f x f ⇒-|1|3x -，解出x 的取值范围，即可得答案．【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0，)+∞上是减函数， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，由f （3）1=-，则不等式(1)10(1)1(1)f x f x f x f -+⇒--⇒-（3）(|1|)f x f ⇒-（3）|1|3x ⇒-， 解之可得24x -， 故不等式的解集为[2-，4]． 故选：C ． 【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.8．C解析：C 【分析】根据函数()f x 的图象，得出值域为[2-，6]，利用存在实数m ，使2()24f m a a =-成立，可得22246a a --，求解得答案． 【详解】作出函数22|1|,7()ln ,x x e f x x e x e --⎧+-<=⎨⎩的图象如图： (7)6f -=，2()2f e -=-，∴值域为[2-，6]，若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，22246a a ∴--，解得13a -，∴实数a 的取值范围是[1-，3]．故选：C【点睛】本题考查分段函数的性质，考查函数值域的求解方法，同时考查了数形结合思想的应用，属于中档题．函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．9．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 1243a ---=，x 223a-+=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴123a-＜2，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 34-＜． 故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；10．C解析：C 【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)， 本题选择C 选项.11．A解析：A 【分析】先根据分式不等式求解出集合A ，然后对集合B 中参数a 与0的关系作分类讨论，根据子集关系确定出a 的范围. 【详解】因为301x x -≥+，所以()()10310x x x +≠⎧⎨-+≥⎩，所以1x <-或3x ≥，所以{|1A x x =<-或}3x ≥，当0a =时，10≤不成立，所以B =∅，所以B A ⊆满足， 当0a >时，因为10ax +≤，所以1x a≤-，又因为B A ⊆，所以11-<-a，所以01a <<， 当0a <时，因为10ax +≤，所以1x a ≥-， 又因为B A ⊆，所以13a -≥，所以103a -≤<， 综上可知：1,13a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.故选：A.【点睛】本题考查分式不等式的求解以及根据集合间的包含关系求解参数范围，难度一般.解分式不等式的方法：将分式不等式先转化为整式不等式，然后根据一元二次不等式的解法或者高次不等式的解法（数轴穿根法）求出解集. 12．C解析：C【分析】①②③都可以写成m a =+,a b 是否是有理数，④计算.【详解】①当1a +=+时，可得1,a b π==，这与,a b Q ∈矛盾，3==3a ∴+=，可得3,1a b == ，都是有理数，所以正确，1==，12a ∴+=-，可得11,2a b ==-，都是有理数，所以正确，④2426=+=而(22222a a b +=++， ,a b Q ∈，(2a ∴+是无理数，不是集合M 中的元素，只有②③是集合M 的元素.故选：C【点睛】本题考查元素与集合的关系，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.二、填空题13．2【详解】把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数在同一坐标系中画出这两个函数的图象由图象可知函数g(x)＝f(x)－ex 的零点个数为2解析：2【详解】 把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，由图象可知，函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为2.14．5【分析】先解方程再根据图象确定实根个数【详解】或图象如图：则由图可知实根的个数是5个故答案为：5【点睛】本题考查函数与方程考查综合分析求解能力属中档题解析：5【分析】先解方程2()3()20f x f x -+=，再根据()f x 图象确定实根个数.【详解】2()3()20()1f x f x f x -+=∴=或()2f x =，2cos ,1()21,1x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩图象如图：则由图可知，实根的个数是5个故答案为：5【点睛】本题考查函数与方程，考查综合分析求解能力，属中档题.15．【分析】根据对数的性质可知且最小值为即可求得的值【详解】因为的值域为所以函数的最小值为即解得故答案为：【点睛】本题考查对数函数的值域考查对数的性质合理转化是解题的关键考查了运算能力属于中档题 解析：27【分析】根据对数的性质可知2240y ax x =-+>，且最小值为1，即可求得a 的值. 【详解】因为()()()212log 24f x ax x a R =-+∈的值域为(],1-∞，所以2240ax x -+>， 函数224y ax x =-+的最小值为12，即()20442142a a a >⎧⎪⎨⨯--=⎪⎩，解得27a =， 故答案为：27【点睛】本题考查对数函数的值域，考查对数的性质，合理转化是解题的关键，考查了运算能力，属于中档题.16．【分析】由题可知恒成立再分情况讨论即可【详解】由题可知恒成立当时成立当时当时不等式不恒成立故实数k 的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题属于中等题型解析：[)0,4【分析】由题可知210kx kx -+>恒成立.再分情况讨论即可.【详解】由题可知210kx kx -+>恒成立.当0k =时成立.当0k >时,24004k k k ∆=-<⇒<<. 当k 0<时，不等式不恒成立.故实数k 的取值范围是[)0,4.故答案为：[)0,4【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题.属于中等题型.17．【分析】由绝对值不等式可知利用中x 的任意性得再利用函数的单调性解不等式即可【详解】因为任意实数都有且令则故不等式解得即又函数为上的减函数解得故不等式的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查了解抽 解析：(0,2)【分析】由绝对值不等式可知0()4f x <<，利用()(2)4f x f x +-=中x 的任意性得(2)0f =，再利用函数的单调性解不等式即可.【详解】因为任意实数x 都有()(2)4f x f x +-=，且(0)4f =，令2x =，则(2)(0)4f f +=，故(2)0f =不等式|()2|22()22f x f x -<⇒-<-<，解得0()4f x <<，即(2)()(0)f f x f << 又函数()f x 为R 上的减函数，解得02x <<，故不等式|()2|2f x -<的解集为(0,2) 故答案为：(0,2)【点睛】方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是： （1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.18．【分析】由函数的定义域得出的取值范围结合分母不等于0可求出的定义域【详解】函数的定义域函数应满足：解得的定义域是故答案为：【点睛】本题考查了求函数定义域的问题函数的定义域是函数自变量的取值范围应满足 解析：[1,1)-【分析】由函数()y f x =的定义域，得出21x +的取值范围，结合分母不等于0，可求出()g x 的定义域．【详解】函数()y f x =的定义域[1-，3]，∴函数(21)()1f xg x x +=-应满足： 121310x x -≤+≤⎧⎨-≠⎩解得11x -≤< ()g x ∴的定义域是[1,1)-.故答案为：[1,1)-．【点睛】本题考查了求函数定义域的问题，函数的定义域是函数自变量的取值范围，应满足使函数的解析式有意义，是基础题．19．【分析】先将的可能结果列出然后根据相同结果出现的次数确定出的取值集合【详解】将表示为可得如下结果：其中为都出现了次所以若方程至少有三组不同的解则的取值集合为故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关 解析：{}3,6,14【分析】先将i j x x -的可能结果列出，然后根据i j x x -相同结果出现的次数确定出k 的取值集合.【详解】将i j x x k -=表示为(),,i j x x k ，可得如下结果： ()()()()()()()19,1,18,16,1,15,15,1,14,13,1,12,7,1,6,5,1,4,2,1,1，()()()()()()19,2,17,16,2,14,15,2,13,13,2,11,7,2,5,5,2,3，()()()()()()19,5,14,16,5,11,15,5,10,13,5,8,7,5,2,19,7,12，()()()()()()16,7,9,15,7,8,13,7,6,19,13,6,16,13,3,15,13,2，()()()19,15,4,16,15,1,19,16,3，其中k 为3，6，14都出现了3次，所以若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解， 则k 的取值集合为{}3,6,14，故答案为：{}3,6,14【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解的含义，即i j x x -的差值出现的次数不小于三次，由此可进行问题的求解.20．【分析】由f （x ）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a ＜0可得x2﹣2x+1＜a （x+1）﹣1即直线在二次函数图像的上方的点只有一个整数1则满足题意结合图象即可求出【详解】f （x ）＝x2﹣（a+2）x+2﹣ 解析：12(,]23由f（x）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0可得x2﹣2x+1＜a（x+1）﹣1，即直线在二次函数图像的上方的点只有一个整数1，则满足题意，结合图象即可求出．【详解】f（x）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，即x2﹣2x+1＜a（x+1）﹣1，分别令y＝x2﹣2x+1，y＝a（x+1）﹣1，易知过定点（﹣1，﹣1），分别画出函数的图象，如图所示：∵集合A＝{x∈Z|f（x）＜0}中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得∴10 {120 311aaa-≤--≤＜，解得12＜a23≤故答案为（12，23]【点睛】本题考查了二次函数的性质以及参数的取值范围，考查了转化思想和数形结合的思想，属于中档题三、解答题21．（1）2160500,080281001680,80x x xyx xx⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．（1）分别求080x <<和80x ≥时函数的解析式可得答案；（2）当080x <<时，21(60)13002y x =--+，配方法求最值、；当80x ≥时， 利用基本不等式求最值，然后再做比较.【详解】 （1）当080x <<时，2211100405006050022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭， 当80x ≥时，8100810010010121805001680y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 于是2160500,080281001680,80x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）由（1）可知当080x <<时，21(60)13002y x =--+， 此时当60x =时y 取得最大值为1300（万元），当80x ≥时，8100168016801500y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当8100x x=即90x =时y 取最大值为1500（万元）， 综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22．（1）()2241,00,041,0x x x f x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【分析】（1）当0x <时，0x ->，运用已知区间的解析式和奇函数的定义结合()00f =，即可求解；（2）根据（1）中的解析式作出图象即可；（3）()()g x f x m =-零点的个数即等价于()y f x =与y m =两个函数图象交点的个数，数形结合讨论m 的值即可.【详解】（1）当0x =时，()00f =，当0x <时，0x ->，()241f x x x -=++，因为()f x 时奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()241f x x x f x -=++=-，即()()2410f x x x x =---<，所以()2241,00,041,0x x x f x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩（2）()f x 图象如图所示：（3）由()f x 图象知：()23f -=，()23f =-，①当3m <-或3m >时，()y f x =与y m =两个函数图象有1个交点，函数()()g x f x m =-有1个零点；②当3m =±时，()y f x =与y m =两个函数图象有2个交点，函数()()g x f x m =-有2个零点；③当31m -<≤-或13m ≤<时，()y f x =与y m =两个函数图象有3个交点，函数 ()()g x f x m =-有3个零点；④当11m -<<且0m ≠时，()y f x =与y m =两个函数图象有4个交点，函数 ()()g x f x m =-有4个零点；⑤当0m =时，()y f x =与y m =两个函数图象有5个交点，函数()()g x f x m =-有5个零点；综上所述：当3m <-或3m >时，()g x 有1个零点；当3m =±时，，()g x 有2个零点；当31m -<≤-或13m ≤<时，()g x 有3个零点；当11m -<<且0m ≠时，()g x 有4个零点；当0m = 时，()g x 有5个零点；【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.23．（1）2()log f x x =（2）偶函数.见解析【分析】（1）根据(4)(2)1f f -=，代入到函数的解析式中可求得2a =，可求得函数()f x 的解析式; （2）由函数()f x 的解析式，求得函数()g x 的解析式，先求得函数()g x 的定义域，再由函数的奇偶性的判断方法证得函数的奇偶性.【详解】（1）因为()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=，所以log 4log 21a a -=，即log 21a =.，解得2a =，所以2()log f x x =;（2）因为()log a f x x =，所以22()log (2)log (2)g x x x =++-,由2020x x +>⎧⎨->⎩,得22x -<<,所以()g x 的定义域为()22-，， 又因为22()log (2)log (2)()g x x x g x -=-++=，所以22()log (2)log (2)g x x x =++-为偶函数.【点睛】本题考查对数函数的函数解析式的求解，函数的奇偶性的证明，属于基础题.24．（1）32x x⎧⎨⎩或}1x <- （2）(5,)+∞ 【分析】 （1）先使得()22222139x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭,再由3x y =的单调性求解即可； （2）先求定义域,再根据复合函数单调性的“同增异减”原则求解即可.【详解】 解:（1）因为221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭,且()22222139x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()222133x x --->,因为3x y =在R 上单调递增,所以()2221x x -->-,解得32x >或1x <-, 则满足不等式221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合为32x x ⎧⎨⎩或}1x <- （2）由题,2450x x -->,解得5x >或1x <-,则定义域为()(),15,-∞-+∞, 设245u x x =--,35log y u =, 因为35log y u =单调递减,若求()f x 的递减区间,则求245u x x =--的递增区间, 因为245u x x =--的对称轴为2x =,所以在()5,+∞上单调递增,所以函数()f x 的单调减区间为()5,+∞【点睛】本题考查解指数不等式,考查复合函数的单调区间.25．（1）21()2f x x x =-+（2）3,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）4,0m n =-=，证明见解析 【分析】（1）根据二次函数的对称性求出2b a =-，再将()f x 有且仅有一个“不动点转化为方程()f x x =有且仅有一个解，从而得出()f x 的解析式；（2）当102k -=时，由一次含函数的性质得出12k =满足题意，当102k -≠时，讨论二次函数()g x 的开口方向，根据单调性确定112x k =-与区间()0,4端点的大小关系得出实数k 的取值范围；（3）由2111()(1)222f x x =--+得出16m n <，结合二次函数的单调性确定()f x 在区间[],m n 上是增函数，从而得出()3()3f m m f n n =⎧⎨=⎩，再解方程2132x x x -+=得出m ，n 的值.【详解】（1）22(1)(1)(1)(2)f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++为偶函数20,22a b b a a+∴=∴=-- 2()2f x ax ax ∴=-f x 有且仅有一个“不动点”∴方程()f x x =有且仅有一个解，即[](21)0ax x a -+=有且仅有一个解211210,,()22a a f x x x ∴+==-=-+ （2）221()()2g x f x kx k x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，其对称轴为112x k =- 函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增∴当12k <时，1412k -，解得3182k < 当12k =时，()g x x =符合题意 当12k >时，1012k <-恒成立 综上，3,8k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭ （3）221111()(1)2222f x x x x =-+=--+ f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ，113,26nn ∴，故16m n < ()f x ∴在区间[],m n 上是增函数()3()3f m m f n n =⎧∴⎨=⎩，即22132 132m m m n n n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ∴,m n 是方程2132x x x -+=的两根，解得0x =或4x =- 4,0m n ∴=-=【点睛】关键点睛：已知函数21()2g x k x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在具体区间上的单调性求参数k 的范围时，关键是讨论二次项系数的值，结合二次函数的单调性确定参数k 的范围.26．（1）[1,3)-（2）[3,)+∞【分析】（1）可得出N ={x |1 <x <3 }，t =2时求出集合M ，然后进行并集的运算即可;（2）根据N M ⊆即可得出集合M ={x |-1≤x ≤t }，进而可得出t 的取值范围.【详解】（1）{|21}N x x =|-|<={13}xx <<∣， 当2t =时，{(2)(1)0}(1,2)M xx x =-+≤=-∣， [)1,3M N ∴⋃=-（2）N M ⊆，∴M ={x |-1≤x ≤t }，3t ∴≥，∴实数t 的取值范围[3,)+∞【点睛】本题主要考查了一元二次不等式和绝对值不等式的解法，并集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题.。
高中数学必修一综合测试题(全册含答案)
高中数学必修一综合测试题第一章至第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合U=,集合M=,N=,则M∩(N)等于( )UA. B.C. D.(A∪B)【补偿训练】设全集U={x|x<6且x∈N*},集合A={1,3},B={3,5},则U= ( )A.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}2.函数y=的定义域为( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪[3,+∞)【补偿训练】函数y=+的定义域是( )A.[-1,2)B.[-1,2)∪(2,+∞)C.(2,+∞)D.[-1,+∞)3.下列图形中,不是函数图象的是( )【补偿训练】下列各组函数是同一函数的是( )A.y=与y=1B.y=|x-1|与y=C.y=|x|+|x-1|与y=2x-1D.y=与y=x4.下列函数在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是( )A.y=B.y=3xC.y=lg|x|D.y=x35.已知函数f(x)=,则有( )A.f(x)是奇函数,且f=-f(x)B.f(x)是奇函数,且f=f(x)C.f(x)是偶函数,且f=-f(x)D.f(x)是偶函数,且f=f(x)6.函数f(x)=若f(x)=2,则x的值是( )A. B.± C.0或1 D.0.3,b=20.3,c=0.30.2,则a,b,c三者的大小关系是( )7.已知a=log2A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a【补偿训练】已知函数f(x)=lo|x+2|,若a=f(lo3),b=f,c=f(ln3),则( ) A.c<b<a B.b<c<aC.c<a<bD.a<b<c8.函数f(x)=2x-1+x-5的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【补偿训练】函数f(x)=lnx+x3-9的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)9.某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是( )A.y=100B.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+10010.已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<0成立,则a的范围是( )A. B.(0,1)C. D.(0,3)【补偿训练】若函数f(x)=logm(m-x)在区间[3,5]上的最大值比最小值大1,则实数m=( ) A.3- B.3+C.2-D.2+11.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(1+x),则当x<0时,f(x)的表达式是( )A.f(x)=(1-x)B.f(x)=-(1-x)C.f(x)=(1+x)D.f(x)=-(1+x)12.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么解析式为y=2x2-1,值域为{1,7}的所有“孪生函数”的个数等于( )A.6B.7C.8D.9二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.函数y=a x-1+1a>0,且a≠1一定过定点.14.= .15.如果函数f(x)=x2-ax+1仅有一个零点,则实数a的值是.【延伸探究】若将函数改为f(x)=x2+ax-4在(0,1)内只有一个零点,则实数a的取值范围是.16.对于定义在R上的函数f(x),有如下命题:①若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数;②若f(-4)≠f(4),则函数f(x)不是偶函数;③若f(0)<f(4),则函数f(x)是R上的增函数;④若f(0)<f(4),则函数f(x)不是R上的减函数.其中正确的有(写出你认为正确的所有的序号).三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)化简:÷×(式中字母都是正数).18.(12分)已知集合A=,B=.(1)分别求R (A B)∩,(RB)∪A.(2)已知C=,若C⊆B,求实数a的取值集合.19.(12分)已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).(1)求定义域.(2)判断函数的奇偶性.20.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时f(x)=x2+4x.(1)求函数f(x)的解析式.(2)画出函数的大致图象,并求出函数的值域.【补偿训练】已知函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2,1),B(5,2).(1)求函数f(x)的解析式及定义域.(2)求f(14)÷f的值.21.(12分)某公司要将一批不易存放的蔬菜从A地运到B地,有汽车、火车两种运输工具可供选择,两种运输工具的主要参考数据如下表:运输工具途中速度(km/h)途中费用(元/km)装卸时间(h)装卸费用(元)汽车50 8 2 1 000火车100 4 4 2 000若这批蔬菜在运输过程(含装卸时间)中损耗为300元/h,设A,B两地距离为xkm.(1)设采用汽车与火车运输的总费用分别为f(x)与g(x),求f(x)与g(x).(2)试根据A,B两地距离大小比较采用哪种运输工具比较好(即运输总费用最小). (注:总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用)22.(12分)已知函数f(x)=a+b x(b>0,b≠1)的图象过点(1,4)和点(2,16).(1)求f(x)的表达式.(2)解不等式f(x)>.(3)当x∈(-3,4]时,求函数g(x)=log2f(x)+x2-6的值域.高中数学必修一(第一至第三章) （参考答案）(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合U=,集合M=,N=,则M∩(UN)等于( )A. B.C. D.【解析】选B.因为U N=,M=,所以M∩(UN)=.【补偿训练】设全集U={x|x<6且x∈N*},集合A={1,3},B={3,5},则U(A∪B)= ( )A.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}【解析】选C.由题意知U={1,2,3,4,5},又A∪B={1,3,5},所以U(A∪B)={2,4}.2.(2015·淮南高一检测)函数y=的定义域为( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪[3,+∞)【解析】选C.要使函数y=有意义,必须解得,故函数的定义域为(1,2)∪(2,+∞).【补偿训练】函数y=+的定义域是( )A.[-1,2)B.[-1,2)∪(2,+∞)C.(2,+∞)D.[-1,+∞)【解析】选B.要使函数y=+有意义,必须,解得x≥-1且x≠2,故函数的定义域为[-1,2)∪(2,+∞).3.下列图形中,不是函数图象的是( )【解析】选B.由函数的定义可知:选项B中存在给定某一实数,有两个值与之对应.【补偿训练】下列各组函数是同一函数的是( )A.y=与y=1B.y=|x-1|与y=C.y=|x|+|x-1|与y=2x-1D.y=与y=x【解析】选D.A定义域不同,故不是同一函数.B定义域不同,故不是同一函数.C对应法则不同,故不是同一函数.D定义域与对应法则均相同,所以是同一函数.4.下列函数在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是( )A.y=B.y=3xC.y=lg|x|D.y=x3【解析】选D.选项A中函数的定义域为x≥0,故不具备奇偶性;选项B是增函数但不是奇函数;选项C是偶函数;而选项D在R上是奇函数并且单调递增.5.已知函数f(x)=,则有( )A.f(x)是奇函数,且f=-f(x)B.f(x)是奇函数,且f=f(x)C.f(x)是偶函数,且f=-f(x)D.f(x)是偶函数,且f=f(x)【解析】选C.因为f(x)=,{x|x≠±1},所以f====-=-f(x),又因为f(-x)===f(x),所以f(x)为偶函数.【误区警示】解答本题在推导f与f(x)的关系时容易出现分式变形或符号变换错误.6.(2015·绍兴高一检测)函数f(x)=若f(x)=2,则x的值是( ) A. B.± C.0或1 D.【解析】选A.当x+2=2时,解得x=0,不满足x≤-1;当x2=2时,解得x=±,只有x=时才符合-1<x<2;当2x=2时,解得x=1,不符合x≥2.故x=.7.已知a=log0.3,b=20.3,c=0.30.2,则a,b,c三者的大小关系是( )2A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a【解析】选A.由于a=log20.3<log21=0,0<0.30.2<0.30=1,20.3>20=1,故log20.3<0.30.2<20.3,即a<c<b.【补偿训练】已知函数f(x)=lo|x+2|,若a=f(lo3),b=f,c=f(ln3),则( ) A.c<b<a B.b<c<aC.c<a<bD.a<b<c【解题指南】作出函数f(x)=lo|x+2|的图象判断此函数的单调性,利用中间量0,1比较lo3,,ln3的大小,最后利用函数单调性比较a,b,c的大小.【解析】选A.函数y=lo|x|的图象如图(1),把y=lo|x|的图象向左平移2个单位得到y=lo|x+2|的图象如图(2),由图象可知函数y=lo|x+2|在(-2,+∞)上是减函数,因为lo3=-log23<-log22=-1,0<<=1,ln3>lne=1.所以-2<lo3<<ln3,所以f(lo3)>f>f(ln3),即c<b<a.8.函数f(x)=2x-1+x-5的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选 C.利用根的存在性定理进行判断,由于f(2)=2+2-5=-1,f(3)=4+3-5=2,所以f(2)·f(3)<0,又f(x)为单调递增函数,所以函数f(x)=2x-1+x-5的零点所在的区间为(2,3). 【补偿训练】函数f(x)=lnx+x3-9的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选C.由题意知x>0,且f(x)在其定义域内为增函数,f(1)=ln1+13-9=-8<0,f(2)=ln2+23-9=ln2-1<0,f(3)=ln3+33-9=ln3+18>0,f(4)=ln4+43-9>0,所以f(2)f(3)<0,说明函数在区间(2,3)内有零点.9.某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是( )A.y=100B.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100【解析】选C.对于A中的函数,当x=3或4时,误差较大.对于B中的函数,当x=4时误差也较大.对于C中的函数,当x=1,2,3时,误差为0,x=4时,误差为10,误差很小.对于D中的函数,当x=4时,据函数式得到的结果为300,与实际值790相差很远.综上,只有C中的函数误差最小.10.已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<0成立,则a的范围是( )A. B.(0,1)C. D.(0,3)【解析】选A.由于x1≠x2,都有<0成立,即函数在定义域内任意两点的连线的斜率都小于零,故函数在定义域内为减函数,所以有解得0<a≤.【补偿训练】若函数f(x)=logm(m-x)在区间[3,5]上的最大值比最小值大1,则实数m=( )A.3-B.3+C.2-D.2+【解析】选 B.由题意知m>5,所以f(x)=log m(m-x)在[3,5]上为减函数,所以log m(m-3)-log m(m-5)=1,log m=1,即=m,m2-6m+3=0,解得m=3+或m=3-(舍去).所以m=3+.11.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(1+x),则当x<0时,f(x)的表达式是( )A.f(x)=(1-x)B.f(x)=-(1-x)C.f(x)=(1+x)D.f(x)=-(1+x)【解题指南】当x<0时,-x>0,由题意可知f(-x),再利用f(-x)=-f(x),可求f(x).【解析】选A.设x<0,则-x>0,f(-x)=(1-x)=-(1-x),又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以-f(x)=-(1-x),所以f(x)=(1-x).12.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么解析式为y=2x2-1,值域为{1,7}的所有“孪生函数”的个数等于( )A.6B.7C.8D.9【解析】选D.当y=2x2-1=1时,解得x=±1,当y=2x2-1=7时,解得x=±2,由题意可知是“孪生函数”的函数的定义域应为,,,,,,,,共9个.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.函数y=a x-1+1a>0,且a≠1一定过定点.【解析】当x-1=0时,y=a x-1+1=a0+1=2,由此解得x=1,即函数恒过定点(1,2).答案:(1,2)14.= .【解析】===1.答案:115.如果函数f(x)=x2-ax+1仅有一个零点,则实数a的值是.【解析】由于函数f(x)=x2-ax+1仅有一个零点,即方程x2-ax+1=0仅有一个根,故Δ=a2-4=0,解得a=±2.答案:±2【延伸探究】若将函数改为f(x)=x2+ax-4在(0,1)内只有一个零点,则实数a的取值范围是.【解析】由于函数f(x)=x2+ax-4在(0,1)内只有一个零点,且f(0)=-4<0,函数f(x)的图象开口向上,则必有f(1)>0,即1+a-4>0,所以a>3.答案:a>316.对于定义在R上的函数f(x),有如下命题:①若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数;②若f(-4)≠f(4),则函数f(x)不是偶函数;③若f(0)<f(4),则函数f(x)是R上的增函数;④若f(0)<f(4),则函数f(x)不是R上的减函数.其中正确的有(写出你认为正确的所有的序号).【解析】例如函数f(x)=x2,f(0)=0,但此函数不是奇函数,故①错误;若函数为偶函数,则在其定义域内的所有的x,都有f(-x)=f(x),若f(-4)≠f(4),则该函数一定不是偶函数,故②正确;对于函数f(x)=x2,f(0)<f(4),但该函数不是R上的增函数,故③错误;由于f(0)<f(4),则该函数一定不是减函数,故④正确.答案:②④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)化简:÷×(式中字母都是正数).【解析】原式=÷×=××=×a×=a2.18.(12分)已知集合A=,B=.(1)分别求R (A B)∩,(RB)∪A.(2)已知C=,若C⊆B,求实数a的取值集合. 【解析】(1)因为A∩B=,所以R (A B)∩=或,因为RB=,所以(RB)∪A=x<6或.(2)因为C⊆B,所以解之得3≤a≤8,所以a∈.19.(12分)已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).(1)求定义域.(2)判断函数的奇偶性.【解析】(1)由已知得所以可得-1<x<1,故函数的定义域为.(2)f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-lg(1+x)+lg(1-x)=-=-f(x).所以f(x)=lg(1+x)-lg(1-x)为奇函数.20.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时f(x)=x2+4x.(1)求函数f(x)的解析式.(2)画出函数的大致图象,并求出函数的值域.【解析】(1)当x>0时,-x<0,因为函数是偶函数,故f(-x)=f(x),所以f(x)=f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x,所以f(x)=(2)图象如图所示:函数的值域为[-4,+∞).(ax+b)的图象经过点A(2,1),B(5,2). 【补偿训练】已知函数f(x)=log3(1)求函数f(x)的解析式及定义域.(2)求f(14)÷f的值.【解析】(1)因为函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2,1),B(5,2),所以即所以解得所以f(x)=log3(2x-1),定义域为.(2)f(14)÷f=log327÷log 3=3÷=6.21.(12分)某公司要将一批不易存放的蔬菜从A地运到B地,有汽车、火车两种运输工具可供选择,两种运输工具的主要参考数据如下表:运输工具途中速度(km/h)途中费用(元/km)装卸时间(h)装卸费用(元)汽车50 8 2 1 000火车100 4 4 2 000若这批蔬菜在运输过程(含装卸时间)中损耗为300元/h,设A,B两地距离为xkm.(1)设采用汽车与火车运输的总费用分别为f(x)与g(x),求f(x)与g(x).(2)试根据A,B两地距离大小比较采用哪种运输工具比较好(即运输总费用最小).(注:总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用)【解析】(1)由题意可知,用汽车运输的总费用为:f(x)=8x+1000+·300=14x+1600(x>0),用火车运输的总费用为:g(x)=4x+2000+·300=7x+3200(x>0).(2)由f(x)<g(x)得x<.由f(x)=g(x)得x=.由f(x)>g(x)得x>.所以,当A,B两地距离小于km时,采用汽车运输好;当A,B两地距离等于km时,采用汽车或火车都一样;当A,B两地距离大于km时,采用火车运输好.【拓展延伸】选择数学模型分析解决实际问题(1)特点:信息由表格数据的形式给出,要求对数据进行合理的转化处理,建立数学模型,解答有关的实际问题.(2)三种常用方法:①直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问题即可获解;②列式比较法:若题所涉及的是最优化方案问题,则可根据表格中的数据先列式,然后进行比较;③描点观察法:若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型,则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点,作出散点图,然后观察这些点的位置变化情况,确定所需要用的数学模型,问题即可顺利解决.22.(12分)已知函数f(x)=a+b x(b>0,b≠1)的图象过点(1,4)和点(2,16).(1)求f(x)的表达式.(2)解不等式f(x)>.f(x)+x2-6的值域.(3)当x∈(-3,4]时,求函数g(x)=log2【解析】(1)由题知所以或(舍去),所以f(x)=4x.(2)因为4x>,所以22x>,所以2x>x2-3,所以x2-2x-3<0,所以-1<x<3,所以不等式的解集为(-1,3).(3)g(x)=log24x+x2-6=log222x+x2-6=2x+x2-6=(x+1)2-7,因为-1∈(-3,4],所以g(x)min=-7,当x=4时,g(x)max=18,所以值域为[-7,18].。
2021-2022学年高中数学 1 空间向量与立体几何章末综合测评新人教A版选择性必修第一册
2021-2022学年高中数学1 空间向量与立体几何章末综合测评新人教A版选择性必修第一册年级：姓名：章末综合测评(一) 空间向量与立体几何(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1,5，－1)，则a ·(a ＋3b )＝( ) A ．(0,34,10) B ．(－3,19,7) C ．44D ．23C [a ＋3b ＝(－3,2,5)＋3(1,5，－1)＝(0,17,2)，则a ·(a ＋3b )＝(－3,2,5)·(0,17,2)＝0＋34＋10＝44.]2．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．2C ．12D ．3B [若l 1⊥l 2，则a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴1×(－2)＋2×3＋(－2m )＝0，解得m ＝2.]3．在空间四边形ABCD 中，若向量AB →＝(－3,5,2)，CD →＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →的坐标为( )A ．(2,3,3)B ．(－2，－3，－3)C ．(5，－2,1)D ．(－5,2，－1)B [取AC 中点M ，连接ME ，MF (图略)，则ME →＝12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，1，MF →＝12CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－12，－2，所以EF →＝MF →－ME →＝(－2，－3，－3)，故选B ．]4．如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若BE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则( )A ．x ＝－12，y ＝12B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝－12，y ＝－12D ．x ＝12，y ＝12A [BE →＝BA →＋AA 1→＋A 1E →＝－AB →＋AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝－AB →＋AA 1→＋12AB →＋12AD →＝－12AB →＋AA 1→＋12AD →，∴x ＝－12，y ＝12.]5．已知A (2，－5,1)，B (2，－4,2)，C (1，－4,1)，则AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．45°D ．90°B [由题意得AB →＝(0,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12×2＝12，所以AB →与AC →的夹角为60°.] 6．已知二面角αl β的大小为π3，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3B [设m ，n 的方向向量分别为m ，n .由m ⊥α，n ⊥β知m ，n 分别是平面α，β的法向量．∵|cos〈m ，n 〉|＝cos π3＝12，∴〈m ，n 〉＝π3或2π3.但由于两异面直线所成的角的范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，故异面直线m ，n 所成的角为π3.]7.如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，Q 为A 1B 1上任意一点，E ，F 为CD 上两个动点，且EF 的长为定值，则点Q 到平面PEF 的距离( )A ．等于55a B ．和EF 的长度有关 C ．等于23a D ．和点Q 的位置有关A [取B 1C 1的中点G ，连接PG ，CG ，DP ，则PG ∥CD ，所以点Q 到平面PEF 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，与EF 的长度无关，B 错．又A 1B 1∥平面PGCD ，所以点A 1到平面PGCD 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，即点Q 到平面PEF 的距离，与点Q 的位置无关，D 错．如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，则C (0，a ,0)，D (0,0,0)，A 1(a ,0，a )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，a ，∴DC →＝(0，a ,0)，DA 1→＝(a ,0，a )，DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，a ， 设n ＝(x ，y ，z )是平面PGCD 的法向量， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DP →＝0，n ·DC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a2x ＋az ＝0，ay ＝0，令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0，所以n ＝(－2,0,1)是平面PGCD 的一个法向量． 设点Q 到平面PEF 的距离为d ，则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪DA 1→·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2a ＋a 5＝5a 5，A 对，C 错．故选A ．]8.如图所示，ABCD A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF .当A 1，E ，F ，C 1四点共面时，平面A 1DE 与平面C 1DF 所成夹角的余弦值为( )A ．22 B ．12C ．15D ．265B [以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，易知当E (6,3,0)，F (3,6,0)时，A 1，E ，F ，C 1共面，设平面A 1DE 的法向量为n 1＝(a ，b ，c )，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧DE →·n 1＝6a ＋3b ＝0，DA 1→·n 1＝6a ＋6c ＝0，可取n 1＝(－1,2,1)，同理可得平面C 1DF 的一个法向量为n 2＝(2，－1,1)， 故平面A 1DE 与平面C 1DF 的夹角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝12.故选B ．]二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中正确的有( ) A ．OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量 B ．OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量C ．OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量 D ．OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量ACD [∵O 为正方体的中心，∴OA →＝－OC 1→，OD →＝－OB 1→，故OA →＋OD →＝－(OB 1→＋OC 1→)，同理可得OB →＋OC →＝－(OA 1→＋OD 1→)，故OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝－(OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→)，∴AC 正确；∵OB →－OC →＝CB →，OA 1→－OD 1→＝D 1A 1→，∴OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是两个相等的向量，∴B 不正确；∵OA 1→－OA →＝AA 1→，OC →－OC 1→＝C 1C →＝－AA 1→，∴OA 1→－OA →＝－(OC →－OC 1→)，∴D 正确．]10．在以下选项中，不正确的命题有( ) A ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件 B ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λbC ．对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底ABC [A ．|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 共线，但a 与b 共线时|a |－|b |＝|a ＋b |不一定成立，故不正确；B ．b 需为非零向量，故不正确；C ．因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；D ．由基底的定义知正确．]11．下列说法正确的是( )A ．直线l 的方向向量a ＝(1，－1,2)，直线m 的方向向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－12，则l与m 垂直B ．直线l 的方向向量a ＝(0,1，－1)，平面α的法向量n ＝(1，－1，－1)，则l ⊥αC ．平面α，β的法向量分别为n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)，则α∥βD ．平面α经过三点A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)，向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量，则u ＋t ＝1AD [对于A ，∵a ＝(1，－1,2)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2，1，－12，∴a ·b ＝1×2＋(－1)×1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，∴a ⊥b ，∴直线l 与m 垂直，A 正确．对于B ，∵a ＝(0,1，－1)，n ＝(1，－1，－1)，∴a ·n ＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，∴a ⊥n ，∴l ∥α或l ⊂α，B 错误．对于C ，∵n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)，∴n 1与n 2不共线，∴α∥β不成立，C 错误．对于D ，由于A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)，则AB →＝(－1,1,1)，BC →＝(－1,1,0)，又向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧－1＋u ＋t ＝0，－1＋u ＝0，则u ＋t ＝1，D 正确．]12．如图(1)是一副直角三角板的示意图．现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD ，如图(2)所示，则下列结论中正确的是( )A ．BD →·AC →＝0B ．平面BCD 的法向量与平面ACD 的法向量垂直C ．异面直线BC 与AD 所成的角为60° D ．直线DC 与平面ABC 所成的角为30°AD [以B 为坐标原点，分别以BD →，BC →的方向为x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设BD ＝2，则B (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,23，0)，A (0，3，3)，∴BD →＝(2,0,0)，AC →＝(0，3，－3)，BC →＝(0,23，0)，AD →＝(2，－3，－3)，DC →＝(－2,23，0)．∴BD →·AC →＝(2,0,0)·(0，3，－3)＝0，A 正确；易得平面BCD 的一个法向量为n 1＝(0,0，3)，平面ACD 的一个法向量为n 2＝(3，1,1)，n 1·n 2≠0，B 错误；|cos 〈BC →，AD →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·AD →|BC →||AD →|＝|0，23，0·2，－3，－3|23×10＝310≠12，C 错误；易得平面ABC 的一个法向量为BD →＝(2,0,0)，设直线DC 与平面ABC 所成的角为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DC →·BD →|DC →|·|BD →|＝44×2＝12，故D 正确．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC ，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________.⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－3 [∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴3＋5－2z ＝0，∴z ＝4. ∵BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎨⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.故BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.] 14．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 共面，则λ＝________.657[易知a 与b 不共线，由共面向量定理可知，要使a ，b ，c 共面，则必存在实数x ，y ，使得c ＝x a ＋y b ，即⎩⎨⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337，y ＝177，λ＝657.]15．已知A (0,0，－x )，B (1，2，2)，C (x ，2，2)三点，点M 在平面ABC 内，O 是平面ABC 外一点，且OM →＝xOA →＋2xOB →＋4OC →，则x ＝________，AB →与AC →的夹角为________．(本题第一空2分，第二空3分)－1π3[由A ，B ，C ，M 四点共面可知x ＋2x ＋4＝1，∴x ＝－1. ∴A (0,0,1)，C (－1，2，2)，∴AB →＝(1，2，1)，AC →＝(－1，2，1)， ∴cos〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，即AB →与AC →的夹角为π3.]16．如图，等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D 的余弦值为33，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则EM ，AN 所成角的余弦值为________．16[如图所示，过点C 作CO ⊥平面ABDE ，垂足为O ，取AB 的中点F ，连接CF ，OF ，OA ，OB ，则∠CFO 为二面角C AB D 的平面角，所以cos∠CFO ＝33. 设AB ＝1，则CF ＝32，OF ＝12，OC ＝22，所以O 为正方形ABDE 的中心．如图建立空间直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫24，0，24，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，24，24，所以EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24，22，24，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，24，24，所以cos 〈EM →，AN →〉＝EM →·AN →|EM →||AN →|＝16.]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(3)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值． [解] (1)∵c ∥BC →，∴存在实数m ，使得c ＝mBC →＝m (－2，－1,2)＝(－2m ，－m ,2m )． ∵|c |＝3， ∴－2m2＋－m2＋2m2＝3|m |＝3，∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.又∵|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝－12＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝－110＝－1010， 即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (3)∵k a ＋b ＝(k －1，k ,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，∴(k －1，k ,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52.∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.18.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．(1)求证：B 1D ⊥平面ABD ； (2)求证：平面EGF ∥平面ABD ．[解] 如图，以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Bxyz ，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)．(1)设BA ＝a ，则A (a ,0,0)．所以BA →＝(a ,0,0)，BD →＝(0,2,2)，B 1D →＝(0,2，－2)． 所以B 1D →·BA →＝0，B 1D →·BD →＝0＋4－4＝0.所以B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD ． 又BA ∩BD ＝B ， 所以B 1D ⊥平面ABD ．(2)由题意及(1)，知E (0,0,3)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，4，F (0,1,4)，所以EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，1，1，EF→＝(0,1,1)．所以B 1D →·EG →＝0＋2－2＝0，B 1D →·EF →＝0＋2－2＝0. 所以B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF . 又EG ∩EF ＝E ， 所以B 1D ⊥平面EGF . 由(1)，知B 1D ⊥平面ABD ， 故平面EGF ∥平面ABD ．19．(本小题满分12分)如图，已知四边形ABCD 为矩形，四边形ABEF 为直角梯形，FA ⊥AB ，AD ＝AF ＝FE ＝1，AB ＝2，AD ⊥BE .(1)求证：BE ⊥DE ；(2)求点F 到平面CBE 的距离．[解] ∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ⊥AB ， 又AD ⊥BE ，AB ∩BE ＝B ， ∴AD ⊥平面ABEF ， 又AD ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ABEF .∵FA ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， ∴FA ⊥平面ABCD ．∴FA ⊥AD ． (1)证明：如图，建立空间直角坐标系，则B (0,2,0)，C (1,2,0)，D (1,0,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)， ∴BE →＝(0，－1,1)，DE →＝(－1,1,1)， ∴BE →·DE →＝0×(－1)＋(－1)×1＋1×1＝0， ∴BE →⊥DE →，∴BE ⊥DE .(2)由(1)得BC →＝(1,0,0)，BE →＝(0，－1,1)，FE →＝(0,1,0)， 设n ＝(x ，y ，z )是平面CBE 的法向量，则由 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，－y ＋z ＝0，令y ＝1，得z ＝1，∴n ＝(0,1,1)是平面CBE 的一个法向量． 设点F 到平面CBE 的距离为d ， 则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪FE →·n |n |＝12＝22.∴点F 到平面CBE 的距离为22. 20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，AC ⊥AB ，AC ＝AB ＝4，AA 1＝6，点E ，F 分别为CA 1，AB 的中点．(1)证明：EF ∥平面BCC 1B 1；(2)求B 1F 与平面AEF 所成角的正弦值．[解] (1)证明：如图，连接EC 1，BC 1，因为三棱柱A 1B 1C 1ABC 为直三棱柱，所以E 为AC 1的中点．又因为F 为AB 的中点，所以EF ∥BC 1.又EF ⊄平面BCC 1B 1，BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以EF ∥平面BCC 1B 1.(2)以A 1为原点，A 1C 1，A 1B 1，A 1A 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A 1xyz ，则A (0,0,6)，B 1(0,4,0)，E (2,0,3)，F (0,2,6)， 所以B 1F →＝(0，－2,6)，AE →＝(2,0，－3)，AF →＝(0,2,0)， 设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝2x －3z ＝0，n ·AF →＝2y ＝0，令x ＝3，得n ＝(3,0,2)，记B 1F 与平面AEF 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈B 1F →，n 〉|＝|B 1F →·n ||B 1F →|·|n |＝313065.21．(本小题满分12分)如图所示的几何体中，BE ⊥BC ，EA ⊥AC ，BC ＝2，AC ＝22，∠ACB ＝45°，AD ∥BC ，BC ＝2AD ．(1)求证：AE ⊥平面ABCD ；(2)若∠ABE ＝60°，点F 在EC 上，且满足EF ＝2FC ，求平面FAD 与平面ADC 的夹角的余弦值．[解] (1)证明：在△ABC 中，BC ＝2，AC ＝22，∠ACB ＝45°，由余弦定理可得AB 2＝BC 2＋AC 2－2×BC ×AC ×cos 45°＝4，所以AB ＝2(负值舍去)，因为AC 2＝AB 2＋BC 2，所以△ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ． 又BE ⊥BC ，AB ∩BE ＝B ， 所以BC ⊥平面ABE .因为AE ⊂平面ABE ，所以BC ⊥AE ， 因为EA ⊥AC ，AC ∩BC ＝C ， 所以AE ⊥平面ABCD ．(2)由题易得EB ＝2AB ＝4，由(1)知，BC ⊥平面ABE ，所以平面BEC ⊥平面ABE ，如图，以B 为原点，过点B 且垂直于平面BEC 的直线为z 轴，BE ，BC 所在直线分别为x ，y 轴，建立空间直角坐标系Bxyz ，则C (0,2,0)，E (4,0,0)，A (1,0，3)，D (1,1，3)，因为EF ＝2FC ，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，0，易知AD →＝(0,1,0)，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，－3，设平面FAD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AD →·n ＝0，AF →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，13x ＋43y －3z ＝0，令z ＝3，则x ＝9，所以n ＝(9,0，3)．由(1)知EA ⊥平面ABCD ，所以EA →＝(－3,0，3)为平面ABCD 的一个法向量． 设平面FAD 与平面ADC 的夹角为α， 则cos α＝|EA →·n ||EA →|·|n |＝2423×221＝277，所以平面FAD 与平面ADC 的夹角的余弦值为277.22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，∠ADP ＝90°，平面ADP ⊥平面ABCD ，F 为棱PD 的中点．(1)在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF ∥平面PCE ？并说明理由；(2)当二面角D FC B 的余弦值为14时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角．[解] (1)在棱AB 上存在点E ，使得AF ∥平面PCE ，且E 为棱AB 的中点． 理由如下：如图，取PC 的中点Q ，连接EQ ，FQ ， 由题意得，FQ ∥DC 且FQ ＝12CD ，因为AE ∥CD 且AE ＝12CD ，所以AE ∥FQ 且AE ＝FQ .所以四边形AEQF 为平行四边形． 所以AF ∥EQ .又EQ ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，所以AF ∥平面PCE .(2)连接BD ，DE .由题意知△ABD 为正三角形，所以ED ⊥AB ，即ED ⊥CD ， 又∠ADP ＝90°，所以PD ⊥AD ，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ∩平面ABCD ＝AD ，所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设FD ＝a ，则由题意知F (0,0，a )，C (0,2,0)，B (3，1,0)，则FC →＝(0,2，－a )，CB →＝(3，－1,0)， 设平面FBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·FC →＝2y －az ＝0，m ·CB →＝3x －y ＝0，令x ＝1，则y ＝3，z ＝23a，所以m ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，3，23a ，易知平面DFC 的一个法向量n ＝(1,0,0)， 因为二面角D FC B 的余弦值为14，所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m ||n |＝14，即14＋12a2＝14，解得a ＝1(负值舍去)． 因为PD ⊥平面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ， 所以∠PBD 为直线PB 与平面ABCD 所成的角， 由题意知在Rt△PBD 中，tan∠PBD ＝PD BD ＝2FDBD＝1，所以∠PBD ＝45°，所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为45°.。
期末复习综合测试题(2)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册
模块一复习测试题二一．选择题（共10小题）1．若集合{|15}A x N x =∈,a =则下面结论中正确的是( ) A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉2．已知实数1a >,1b >,则4a b +是22log log 1a b ⋅的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞,3]B ．[1-,)+∞C ．[1-,3]D ．[3,)+∞4．若函数2()44f x x x m =--+在区间[3,5)上有零点,则m 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．[4,9)C ．[1,9)D ．[1,4]5．已知2x >,则12y x x =+-的( ) A ．最小值是2 B ．最小值是4 C ．最大值是2 D ．最大值是46．已知函数12x y +=的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y +=对称,则函数()y f x =的反函数是( )A ．21log ()y x =--B ．2log (1)y x =--C ．12x y -+=-D ．12x y -+=7．已知cos()3παα+=为锐角）,则sin (α= )A B C D8．设函数()sin f x x x =,[0x ∈,2]π,若01a <<,则方程()f x a =的所有根之和为()A ．43π B ．2π C ．83π D ．73π 二．多选题（共4小题）9．若集合M N ⊆,则下列结论正确的是( ) A ．MN N =B ．M N N =C ．()M M N ∈D ．()M N N ⊆10．下列说法中正确的有( )A ．不等式2a b ab +恒成立B ．存在a ,使得不等式12a a+成立 C ．若a ,(0,)b ∈+∞,则2b a a b+ D ．若正实数x ,y 满足21x y +=,则218x y+ 11．已知函数||()1x f x x =+,则( ) A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[0,)+∞上单调递增C ．函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞D ．方程2()10f x x +-=有两个实数根12．下列选项中,与11sin()6π-的值相等的是( ) A ．22cos 151︒-B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒-︒︒C ．2sin15sin 75︒︒D ．tan30tan151tan30tan15o oo o+-三．填空题（共4小题）13．化简32a b-= （其中0a >,0)b >．14．高斯是德国的著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,例如:[ 3.4]4-=-,[2.7]2=．已知函数21()15x x e f x e =-+,则函数[()]y f x =的值域是 ． 15．若1lgx lgy +=,则25x y+的最小值为 ． 16．若42x ππ<<,则函数32tan 2tan y x x =的最大值为 ．四．参考解答题（共8小题） 17．已知0x >,0y >,且440x y +=． （Ⅰ）求xy 的最大值; （Ⅱ）求11x y+的最小值． 18．已知函数2()21f x x ax a =--+,a R ∈．（Ⅰ）若2a =,试求函数()(0)2f x y x x=>的最小值; （Ⅱ）对于任意的[0x ∈,2],不等式()f x a 成立,试求a 的取值范围; （Ⅲ）存在[0a ∈,2],使方程()2f x ax =-成立,试求x 的取值范围． 19．解方程 （1）231981xx-=（2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++20．设函数33()sin cos 2323x x f x ππ=-． （1）求()f x 的最小正周期;（2）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,求当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值．21．已知函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的详细解析式及对称中心坐标;（Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,再向右平移6π个单位,最后将图象向上平移1个单位后得到()g x 的图象,求函数()y g x =在3[,]124x ππ∈上的单调减区间和最值．22．已知函数2()3sin 2cos 12xf x x =-+． （Ⅰ）若()23()6f παα=+,求tan α的值;（Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象,且关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解,求m 的取值范围．模块一复习测试题二参考正确答案与试题详细解析一．选择题（共10小题）1．若集合{|15}A x N x =∈,a =则下面结论中正确的是( ) A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉【详细分析】利用元素与集合的关系直接求解．【参考解答】解:集合{|15}{0A x N x =∈=,1,2,3},a =a A ∴∉．故选:D ．【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意元素与集合的关系的合理运用．2．已知实数1a >,1b >,则4a b +是22log log 1a b ⋅的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【详细分析】根据充分必要条件的定义以及基本不等式的性质判断即可． 【参考解答】解:1a >,1b >, 2log 0a ∴>,2log 0b >,2a b ab +,4a b +,故4ab ,222222222log log log ()log 4log log ()[]()1222a b ab a b +⋅==,反之,取16a =,152b =,则1522224log log log 16log 215a b ⋅=⋅=<, 但4a b +>,故4a b +是22log log 1a b ⋅的充分不必要条件, 故选:A ．【点评】本题考查了充分必要条件,考查基本不等式的性质,是一道基础题．3．若命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞,3]B ．[1-,)+∞C ．[1-,3]D ．[3,)+∞【详细分析】直接利用命题的否定和一元二次方程的解的应用求出结果．【参考解答】解:命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则命题“[0x ∃∈,3],使得220x x m --= “成立是真命题, 故222(1)1m x x x =-=--． 由于[0x ∈,3],所以[1m ∈-,3]． 故选:C ．【点评】本题考查的知识要点:命题的否定的应用,一元二次方程的根的存在性的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．4．若函数2()44f x x x m =--+在区间[3,5)上有零点,则m 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．[4,9)C ．[1,9)D ．[1,4]【详细分析】判断出在区间[3,5)上单调递增,(3)0(5)0f f ⎧⎨>⎩得出即1090m m -⎧⎨->⎩即可．【参考解答】解:函数2()44f x x x m =--+,对称轴2x =,在区间[3,5)上单调递增 在区间[3,5)上有零点,∴(3)0(5)0f f ⎧⎨>⎩即1090m m -⎧⎨->⎩ 解得:19m <, 故选:C ．【点评】本题考查了二次函数的单调性,零点的求解方法,属于中档题． 5．已知2x >,则12y x x =+-的( ) A ．最小值是2 B ．最小值是4 C ．最大值是2 D ．最大值是4【详细分析】直接利用不等式的基本性质和关系式的恒等变换的应用求出结果． 【参考解答】解:已知2x >,所以20x ->,故11222(2)2422y x x x x x =+=-++-=--（当3x =时,等号成立）． 故选:B ．【点评】本题考查的知识要点:不等式的基本性质,关系式的恒等变换,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题．6．已知函数12x y +=的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y +=对称,则函数()y f x =的反函数是( )A ．21log ()y x =--B ．2log (1)y x =--C ．12x y -+=-D ．12x y -+=【详细分析】设(,)P x y 为()y f x =的反函数图象上的任意一点,则P 关于y x =的对称点(,)P y x '一点在()y f x =的图象上,(,)P y x '关于直线0x y +=的对称点(,)P x y ''--在函数12x y +=的图象上,代入详细解析式变形可得．【参考解答】解:设(,)P x y 为()y f x =的反函数图象上的任意一点, 则P 关于y x =的对称点(,)P y x '一点在()y f x =的图象上,又函数()y f x =的图象与函数12x y +=的图象关于直线0x y +=对称,(,)P y x ∴'关于直线0x y +=的对称点(,)P x y ''--在函数12x y +=的图象上,∴必有12x y -+-=,即12x y -+=-,()y f x ∴=的反函数为:12x y -+=-;故选:C ．【点评】本题考查反函数的性质和对称性,属中档题7．已知cos()3παα+=为锐角）,则sin (α= )A B C D 【详细分析】由11sin sin[()]33ααππ=+-,结合已知及两角差的正弦公式即可求解．【参考解答】解:cos()3παα+=为锐角）,∴1sin()3απ+=,则11111sin sin[()]sin())33233ααππαπαπ=+-=++,1(2=-,=故选:C ．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式,诱导公式,难度不大,属于基础题．8．设函数()sin f x x x =,[0x ∈,2]π,若01a <<,则方程()f x a =的所有根之和为( )A ．43π B ．2π C ．83π D ．73π 【详细分析】把已知函数详细解析式利用辅助角公式化积,求得函数值域,再由a 的范围可知方程()f x a =有两根1x ,2x ,然后利用对称性得正确答案．【参考解答】解:1()sin 2(sin )2sin()23f x x x x x x π=+=+=+,[0x ∈,2]π,()[2f x ∴∈-,2],又01a <<,∴方程()f x a =有两根1x ,2x ,由对称性得12()()33322x x πππ+++=,解得1273x x π+=．故选:D ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数,考查函数零点的判定及应用,正确理解题意是关键,是基础题．二．多选题（共4小题）9．若集合M N ⊆,则下列结论正确的是( ) A ．MN N =B ．M N N =C ．()M M N ∈D ．()M N N ⊆【详细分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解． 【参考解答】解:集合M N ⊆,∴在A 中,M N M =,故A 错误;在B 中,M N N =,故B 正确;在C 中,()M M N ⊆,故C 错误;在D 中,M N N N =⊆,故D 正确．故选:BD ．【点评】本题考查了子集、并集、交集定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题． 10．下列说法中正确的有( )A ．不等式2a b ab +恒成立B ．存在a ,使得不等式12a a+成立 C ．若a ,(0,)b ∈+∞,则2b a a b+ D ．若正实数x ,y 满足21x y +=,则218x y+ 【详细分析】结合基本不等式的一正,二定三相等的条件检验各选项即可判断．【参考解答】解:不等式2a b ab +恒成立的条件是0a ,0b ,故A 不正确;当a 为负数时,不等式12a a+成立．故B 正确; 由基本不等式可知C 正确;对于212144()(2)4428y x y x x y x y x y x y x y+=++=+++=, 当且仅当4y x x y =,即12x =,14y =时取等号,故D 正确． 故选:BCD ．【点评】本题考查基本不等式的应用,要注意应用条件的检验．11．已知函数||()1x f x x =+,则( ) A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[0,)+∞上单调递增C ．函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞D ．方程2()10f x x +-=有两个实数根【详细分析】根据函数的奇偶性判断A ,根据函数的单调性判断B ,结合图象判断C ,D 即可．【参考解答】解:对于||:()()1x A f x f x x --=≠--+,()f x 不是奇函数,故A 错误; 对于:0B x 时,1()111x f x x x ==-++在[0,)+∞递增,故B 正确; 对于C ,D ,画出函数()f x 和21y x =-的图象,如图示:,显然函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞,故C 正确,()f x 和21y x =-的图象有3个交点,故D 错误;故选:BC ．【点评】本题考查了函数的单调性,奇偶性问题,考查数形结合思想,转化思想,是一道中档题．12．下列选项中,与11sin()6π-的值相等的是( ) A ．22cos 151︒-B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒-︒︒C ．2sin15sin 75︒︒D ．tan30tan151tan30tan15o oo o+- 【详细分析】求出11sin()6π-的值．利用二倍角的余弦求值判断A ;利用两角和的余弦求值判断B ;利用二倍角的正弦求值判断C ;利用两角和的正切求值判断D ．【参考解答】解:111sin()sin(2)sin 6662ππππ-=-+==． 对于A ,22cos 1531cos30o -=︒=对于B ,1cos18cos42sin18sin 42cos(1842)cos602︒︒-︒︒=︒+︒=︒=; 对于C ,12sin15sin 752sin15cos15sin302︒︒=︒︒=︒=; 对于D ,tan30tan15tan(3015)tan 4511tan30tan15o oo o+=︒+︒=︒=-．∴与11sin()6π-的值相等的是BC ． 故选:BC ．【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查诱导公式、倍角公式及两角和的三角函数,是基础题．三．填空题（共4小题）13．化简32a b -= a （其中0a >,0)b >．【详细分析】根据指数幂的运算法则即可求出．【参考解答】解1311132322()b b bb ⨯=== 原式2111()3322a b a ---==,故正确答案为:a ．【点评】本题考查了指数幂的运算,属于基础题．14．高斯是德国的著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,例如:[ 3.4]4-=-,[2.7]2=．已知函数21()15x x e f x e =-+,则函数[()]y f x =的值域是 {1-,0,1} ．【详细分析】先利用分离常数法将函数化为92()51x f x e =-+,进而求出()f x 的值域,再根据[]x 的定义可以求出[()]f x 的所有可能的值,进而得到函数的值域．【参考解答】解:212(1)212192()215151551x x x x x x e e f x e e e e+-=-=-=--=-++++, 0x e >,11x e ∴+>,∴2021x e <<+,∴19295515x e -<-<+, 即19()55f x -<<,①当1()05f x -<<时,[()]1f x =-, ②当0()1f x <时,[()]0f x =,③当91()5f x <<时,[()]1f x =, ∴函数[()]y f x =的值域是:{1-,0,1},故正确答案为:{1-,0,1}．【点评】本题主要考查了新定义运算的求解,关键是能通过分离常数的方式求得已知函数的值域,是中档题．15．若1lgx lgy +=,则25x y+的最小值为 2 ． 【详细分析】根据对数的基本运算,结合不等式的解法即可得到结论．【参考解答】解:1lgx lgy +=,1lgxy ∴=,且0x >,0y >,即10xy =, ∴25251022210x y x y +=, 当且仅当25x y =,即2x =,5y =时取等号, 故正确答案为:2【点评】本题主要考查不等式的应用,利用对数的基本运算求出10xy =是解决本题的关键,比较基础．16．若42x ππ<<,则函数32tan 2tan y x x =的最大值为 16- ．【详细分析】直接利用三角函数的性质和关系式的恒等变换的应用及二次函数的性质的应用求出结果．【参考解答】解:若42x ππ<<,则tan (1,)x ∈+∞, 另22tan tan 21tan x x x=-, 设tan x t =,(1)t >, 则422222244416111111()()24t y t t t t ===-----,当且仅当t =时,等号成立．故正确答案为:16-．【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的变换,关系式的变换和二次函数的性质,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题．四．参考解答题（共8小题）17．已知0x >,0y >,且440x y +=．（Ⅰ）求xy 的最大值; （Ⅱ）求11x y+的最小值． 【详细分析】（1）由已知得,40424x y xy =+=解不等式可求,（2）由题意得,11111()(4)40x y x y x y +=++,展开后结合基本不等式可求． 【参考解答】解:（1）0x >,0y >,40424x y xy ∴=+=当且仅当4x y =且440x y +=即20x =,5y =时取等号,解得,100xy ,故xy 的最大值100．（2）因为0x >,0y >,且440x y +=．所以111111419()(4)(5)(540404040y x x y x y x y x y +=++=+++=, 当且仅当2x y =且440x y +=即403x =,203y =时取等号, 所以11x y +的最小值940． 【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用,属于中档题18．已知函数2()21f x x ax a =--+,a R ∈．（Ⅰ）若2a =,试求函数()(0)2f x y x x =>的最小值; （Ⅱ）对于任意的[0x ∈,2],不等式()f x a 成立,试求a 的取值范围;（Ⅲ）存在[0a ∈,2],使方程()2f x ax =-成立,试求x 的取值范围．【详细分析】（Ⅰ）对式子变形后,利用基本不等式即可求得结果;（Ⅱ）先由题设把问题转化为:2210x ax --对于任意的[0x ∈,2]恒成立,构造函数2()21g x x ax =--,[0x ∈,2],利用其最大值求得a 的取值范围;（Ⅲ）由题设把问题转化为:方程21a x =-在[0a ∈,2]有解,解出x 的范围．【参考解答】解:（Ⅰ）当2a =时,2()41111()22212222f x x x y x x x x -+===+-⨯-=-（当且仅当1x =时取“= “),1min y ∴=-;（Ⅱ）由题意知:221x ax a a --+对于任意的[0x ∈,2]恒成立,即2210x ax --对于任意的[0x ∈,2]恒成立,令2()21g x x ax =--,[0x ∈,2],则(0)10(2)340g g a =-⎧⎨=-⎩,解得:34a , a ∴的取值范围为3[4,)+∞; （Ⅲ）由()2f x ax =-可得:210x a -+=,即21a x =-, [0a ∈,2],2012x ∴-,解得:11x -,即x 的取值范围为[1-,1]．【点评】本题主要考查基本不等式的应用、函数的性质及不等式的解法,属于中档题．19．解方程 （1）231981x x -= （2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++【详细分析】（1）直接利用有理指数幂的运算法则求解方程的解即可．（2）利用对数运算法则,化简求解方程的解即可．【参考解答】解:（1）231981x x -=,可得232x x -=-,（2分） 解得2x =或1x =;（4分）（2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++,可得44log (3)log (21)(3)x x x -=++,3(21)(3)x x x ∴-=++,（2分）得4x =-或0x =,经检验0x =为所求．（4分）【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系,对数方程的解法,考查计算能力．20．设函数3()cos 323x x f x ππ=-． （1）求()f x 的最小正周期;（2）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,求当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值． 【详细分析】（1）利用辅助角公式化积,再由周期公式求周期;（2）由对称性求得()g x 的详细解析式,再由x 的范围求得函数最值．【参考解答】解:（1）3()cos sin()32333x x f x x ππππ=-=-． ()f x ∴的最小正周期为263T ππ==;（2）函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,()()3sin()33x g x f x ππ∴=-=-． [0x ∈,3]2,∴[333x πππ-∈-,]6π, sin()[33xππ∴-∈,1]2,()[g x ∈,3]2． ∴当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值为32． 【点评】本题考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质,考查三角函数最值的求法,是中档题．21．已知函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的详细解析式及对称中心坐标;（Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,再向右平移6π个单位,最后将图象向上平移1个单位后得到()g x 的图象,求函数()y g x =在3[,]124x ππ∈上的单调减区间和最值．【详细分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A ,B ,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出ϕ的值,可得函数的详细解析式,再根据余弦函数的图象的对称性,得出结论． （Ⅱ）由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的单调性、定义域和值域,得出结论．【参考解答】解:（Ⅰ）由函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象知: 1(3)22A --==,1(3)12B +-==-,72212T πππωω-==⇒=, ()2cos(2)1f x x ϕ∴=+-,把点(,1)12π代入得:cos()16πϕ+=, 即26k πϕπ+=,k Z ∈． 又||2πϕ<,∴6πϕ=-,∴()2cos(2)16f x x π=--． 由图可知(,1)3π-是其中一个对称中心, 故所求对称中心坐标为:(,1)32k ππ+-,k Z ∈． （Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,可得1cos(2)62y x π=--的图象,再向右平移6π个单位,可得11cos(2)sin 2222y x x π=--=- 的图象, 最后将图象向上平移1个单位后得到1()sin 22g x x =+的图象． 由22222k x k ππππ-++,k Z ∈,可得增区间是[4k ππ-,]4k ππ+,当3[,]124x ππ∈时,函数的增区间为[,]124ππ． 则32[,]62x ππ∈,当22x π=即,4x π=时,()g x 有最大值为32, 当322x π=,即34x π=时,()g x 有最小值为11122-+=-． 【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求详细解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A 、B ,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出ϕ的值,余弦函数的图象的对称性．函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的单调性、定义域和值域,属于中档题．22．已知函数2()2cos 12x f x x =-+．（Ⅰ）若()()6f παα=+,求tan α的值; （Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象,且关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解,求m 的取值范围． 【详细分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换,化简()f x 的详细解析式,根据条件,求得tan α的值． （Ⅱ）根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,求得()g x 的详细解析式,再利用正弦函数的定义域和值域,求得()g x 的范围,可得m 的范围．【参考解答】解:（Ⅰ）2()2cos 1cos 2sin()26x f x x x x x π-+-=-,()()6f παα=+,∴sin()6παα-=,∴1cos 2ααα-=,即cos αα-=,∴tan α=（Ⅱ）把()f x 图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数()g x 的图象, 所以函数()g x 的详细解析式为()(2)2sin(2)6g x f x x π==-, 关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解, 等价于求()g x 在[0,]2π上的值域, 因为02x π,所以52666x πππ--, 所以1()2g x -,故m 的取值范围为[1-,2]．【点评】本题主要考查三角恒等变换,函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域,属于中档题．。
高中数学(人教版A版必修一)全册课时练习及期末测试题(含答案)
第一章集合与函数概念§1.1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．1．元素与集合的概念(1)把________统称为元素，通常用__________________表示．(2)把________________________叫做集合(简称为集)，通常用____________________表示．2．集合中元素的特性：________、________、________.3．集合相等：只有构成两个集合的元素是______的，才说这两个集合是相等的．4．元素与集合的关系关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果________的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A 不属于如果________中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号________________________一、选择题1．下列语句能确定是一个集合的是()A．著名的科学家B．留长发的女生C．2010年广州亚运会比赛项目D．视力差的男生2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()A．1B．－2C．6D．25．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()A．2B．3C．0或3D．0,2,3均可6．由实数x、－x、|x|、x2及－3x3所组成的集合，最多含有()A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素二、填空题7．由下列对象组成的集体属于集合的是______．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．9．用符号“∈”或“∉”填空－2_______R，－3_______Q，－1_______N，π_______Z.三、解答题10．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.能力提升12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q 中元素的个数是多少？13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．第一章集合与函数概念§1.1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义知识梳理1．(1)研究对象小写拉丁字母a，b，c，…(2)一些元素组成的总体大写拉丁字母A，B，C，… 2.确定性互异性无序性3．一样 4.a是集合A a不是集合A 5.N N*或N＋Z Q R作业设计1．C[选项A、B、D都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．] 2．C[由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”，故选C.]3．D[集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.]4．C[因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选C.]5．B[由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．]6．A[方法一因为|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．方法二令x＝2，则以上实数分别为：2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含2个元素．] 7．①④解析①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④. 8．－1解析当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.9．∈∈∉∉10．解(1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确．因为个子高没有明确的标准．11．解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－3 2.则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．当a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3，∴a＝－3 2.12．解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．13．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．第2课时集合的表示课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．列举法把集合的元素____________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________．不等式x－7<3的解集为__________．所有偶数的集合可表示为________________．一、选择题1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合3表示成列举法，正确的是()A．{2,3}B．{(2,3)}C．{x＝2，y＝3}D．(2,3)4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1,1}B．{1}C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}5．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有() A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．2∈A6()A．BC．{1,2}D．{(1,2)}二、填空题7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，86－x∈N}＝______________.8．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号)①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)①M＝{π}，N＝{3.14159}；②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；③M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}；④M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}．三、解答题10．用适当的方法表示下列集合①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；③不等式x－2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．能力提升12．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1}B．{y|(y－1)2＝0}C．{x＝1}D．{1}13．已知集合M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是()A．x0∈NB．x0∉NC．x0∈N或x0∉ND．不能确定1．在用列举法表示集合时应注意：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第2课时 集合的表示知识梳理1．一一列举 2.描述法 {x |x <10} {x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z } 作业设计1．B [{x ∈N ＋|x －3<2}＝{x ∈N ＋|x <5}＝{1,2,3,4}．]2．D [集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.]3．B [解方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝5，2x －y ＝1.得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3.所以答案为{(2,3)}．]4．B [方程x 2－2x ＋1＝0可化简为(x －1)2＝0， ∴x 1＝x 2＝1，故方程x 2－2x ＋1＝0的解集为{1}．] 5．B6．C [方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故C 不符合．]7．{5,4,2，－2} 解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ， ∴6－x ＝1,2,4,8.此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}． 8．②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标； ②中P ＝Q ；③中P 表示的是点集，Q 表示的是数集． 9．④解析 只有④中M 和N 的元素相等，故答案为④. 10．解 ①∵方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1， ∴解集为{0，－1}；②{x |x ＝2n ＋1，且x <1000，n ∈N }；③{x|x>8}；④{1,2,3,4,5,6}．11．解因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．12．C[由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}＝{1}，而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合，故选C.]13．A[M＝{x|x＝2k＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋24，k∈Z}，∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，∴x0∈M时，一定有x0∈N，故选A.]1.1.2集合间的基本关系课时目标 1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集、真子集，并能判断给定集合间的关系.3.在具体情境中，了解空集的含义．1．子集的概念一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作______(或______)，读作“__________”(或“__________”)．2．Venn图：用平面上______曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．集合相等与真子集的概念定义符号表示图形表示集合相等如果__________，就说集合A与B相等A＝B真子集如果集合A⊆B，但存在元素__________，称集合A是B的真子集A B(或B A)(1)定义：______________的集合叫做空集．(2)用符号表示为：____.(3)规定：空集是任何集合的______．5．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即________．(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么___________________________．一、选择题1．集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是()A．P＝Q B．C．Q D．P∩Q＝∅2．满足条件M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是()A．3B．6C．7D．83．对于集合A、B，“A⊆B不成立”的含义是()A．B是A的子集B．A中的元素都不是B中的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A4．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A，则A≠∅.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．35．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是()A．S P M B．S＝MC．S P＝M D．P＝S题号二、填空题7．已知M＝{x|x≥22，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π}M；③πM；④{π}∈M.其中正确的有________．(填序号)8．已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若B，则实数a的取值范围是________．9．已知集合{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．三、解答题10．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B⊆A，求实数a 的取值范围．11．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若B⊆A，求实数m的取值范围．能力提升12．已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．13．已知集合{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个.1．子集概念的多角度理解(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.拓展当A不是B的子集时，我们记作“A B”(或A)．2．对元素与集合、集合与集合关系的分析与拓展(1)元素与集合之间的关系是从属关系，这种关系用符号“∈”或“∉”表示．(2)集合与集合之间的关系有包含关系，相等关系，其中包含关系有：含于(⊆)、包含(⊇)、真包含于()、真包含)等，用这些符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的．1．1.2 集合间的基本关系知识梳理1．任意一个 A ⊆B B ⊇A A 含于B B 包含A 2.封闭 3．A ⊆B 且B ⊆A x ∈B ，且x ∉A 4.(1)不含任何元素 (2)∅ (3)子集 5.(1)A ⊆A (2)A ⊆C 作业设计1．B [∵P ＝{x |y ＝x ＋1}＝{x |x ≥－1}，Q ＝{y |y ≥0} ∴Q ，∴选B.]2．C [M 中含三个元素的个数为3，M 中含四个元素的个数也是3，M 中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．] 3．C4．B [只有④正确．] 5．B [由N ＝{－1,0}，知M ，故选B.]6．C [运用整数的性质方便求解．集合M 、P 表示成被3整除余1的整数集，集合S 表示成被6整除余1的整数集．] 7．①②解析 ①、②显然正确；③中π与M 的关系为元素与集合的关系，不应该用”符号；④中{π}与M 的关系是集合与集合的关系，不应该用“∈”符号． 8．a ≥2解析 在数轴上表示出两个集合，可得a ≥2. 9．6解析 (1)若A 中有且只有1个奇数， 则A ＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}； (2)若A 中没有奇数，则A ＝{2}或∅. 10．解 A ＝{－3,2}．对于x 2＋x ＋a ＝0， (1)当Δ＝1－4a <0，即a >14时，B ＝∅，B ⊆A 成立； (2)当Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14时，B ＝{－12}，B ⊆A 不成立；(3)当Δ＝1－4a >0，即a <14时，若B ⊆A 成立， 则B ＝{－3,2}， ∴a ＝－3×2＝－6.综上：a 的取值范围为a >14或a ＝－6. 11．解 ∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅， 则m ＋1>2m －1，∴m <2.②若B ≠∅，将两集合在数轴上表示，如图所示．要使B ⊆A ，则⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得⎩⎨⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.由①、②，可知m ≤3. ∴实数m 的取值范围是m ≤3.12．解 (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B . (2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a }． 又∵B ＝{x |－1<x <1}，A ⊆B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.(3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a }．∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a ＝0或a ≥2或a ≤－2.13．5解析若A中有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}，若A中有2个奇数，则A＝{1,3}．1.1.3集合的基本运算第1课时并集与交集课时目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．(1)定义：一般地，________________________的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作________．(2)并集的符号语言表示为A∪B＝_________________________________________________________________ _______.(3)并集的图形语言(即Venn图)表示为下图中的阴影部分：(4)性质：A∪B＝________，A____，A∪B＝A⇔________，A____A∪B.2．交集(1)定义：一般地，由________________________元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作________．(2)交集的符号语言表示为A∩B＝_________________________________________________________________ _______.(3)(4)性质：A∩B＝______，A∩____，A∩B＝A⇔________，1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{1,2}D．{0}2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B等于()A．{x|x<1}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|－1≤x≤1}D．{x|－1≤x<1}3．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是()A．A⊆B B．B⊆CC．A∩B＝C D．B∪C＝A4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N 为()A．x＝3，y＝－1B．(3，－1)C．{3，－1}D．{(3，－1)}5．设集合A＝{5,2a}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则a＋b等于() A．1B．2C．3D．46．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则()A．N∈M B．M∪N＝MC．M∩N＝M D．M>N二、填空题7．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B ∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝______，b＝______.三、解答题10．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝∅.求p，q的值．11．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．能力提升12．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为()A．0B．2C．3D．613．设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．1．1.3 集合的基本运算 第1课时 并集与交集知识梳理一、1.由所有属于集合A 或属于集合B A ∪B 2.{x |x ∈A ，或x ∈B } 4.B ∪A A A B ⊆A ⊆ 二、1.属于集合A 且属于集合B 的所有 A ∩B 2.{x |x ∈A ，且x ∈B } 4.B ∩A A ∅ A ⊆B ⊆ 作业设计 1．A2．D [由交集定义得{x |－1≤x ≤2}∩{x |x <1}＝{x |－1≤x <1}．]3．D [参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此A ＝B ∪C .] 4．D [M 、N 中的元素是平面上的点，M ∩N 是集合，并且其中元素也是点，解⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.] 5．C [依题意，由A ∩B ＝{2}知2a ＝2， 所以，a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3，故选C.] 6．B [∵M ，∴M ∪N ＝M .] 7．0或1解析 由A ∪B ＝A 知B ⊆A ， ∴t 2－t ＋1＝－3① 或t 2－t ＋1＝0② 或t 2－t ＋1＝1③①无解；②无解；③t ＝0或t ＝1. 8．1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1. 9．－1 2解析 ∵B ∪C ＝{x |－3<x ≤4}，∴ (B ∪C ) ∴A ∩(B ∪C )＝A ，由题意{x |a ≤x ≤b }＝{x |－1≤x ≤2}， ∴a ＝－1，b ＝2.10．解 由A ∩C ＝A ，A ∩B ＝∅，可得：A ＝{1,3}， 即方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实根为1,3. ∴⎩⎨⎧ 1＋3＝－p 1×3＝q ，∴⎩⎨⎧p ＝－4q ＝3. 11．解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A . ∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝{－1a }，∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12.综上，得a＝0或a＝1 2.12．D[x的取值为1,2，y的取值为0,2，∵z＝xy，∴z的取值为0,2,4，所以2＋4＝6，故选D.] 13．解符合条件的理想配集有①M＝{1,3}，N＝{1,3}．②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}．③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．共3个．第2课时补集及综合应用课时目标 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.2.熟练掌握集合的基本运算．1．全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为________，通常记作________．2．补集自然语言对于一个集合A，由全集U中________________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________符号语言∁U A＝____________图形语言3.补集与全集的性质(1)∁U U＝____；(2)∁U∅＝____；(3)∁U(∁U A)＝____；(4)A∪(∁U A)＝____；(5)A∩(∁UA)＝____.一、选择题1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A等于()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁U M等于()A．{x|－2<x<2}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|x<－2或x>2}D．{x|x≤－2或x≥2}3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，则A∩(∁U B)等于() A．{2}B．{2,3}C．{3}D．{1,3}4．设全集U和集合A、B、P满足A＝∁U B，B＝∁U P，则A与P的关系是() A．A＝∁U P B．A＝PC．A P D．P5．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩∁I S D．(M∩P)∪∁I S6．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是()A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)二、填空题7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁U A＝____________________，∁U B＝________________，∁B A＝____________.9．已知全集U，B，则∁U A与∁U B的关系是____________________．三、解答题10．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁U A＝{5}，求实数a，b的值．11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(∁U B)＝A，求∁U B.能力提升12．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A等于()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}13．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？1．全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(3)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x ∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．2．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.第2课时补集及综合应用知识梳理1．全集U 2.不属于集合A∁U A{x|x∈U，且x∉A}3．(1)∅(2)U(3)A(4)U(5)∅作业设计1．D[在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成∁U A.]2．C[∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁U M＝{x|x<－2或x>2}．]3．D[由B＝{2,5}，知∁U B＝{1,3,4}．A∩(∁U B)＝{1,3,5}∩{1,3,4}＝{1,3}．]4．B[由A＝∁U B，得∁U A＝B.又∵B＝∁U P，∴∁U P＝∁U A.即P＝A，故选B.]5．C[依题意，由图知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a ∈∁I S，所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁I S，故选C.]6．D[由A∪B＝{1,3,4,5,6}，得∁U(A∪B)＝{2,7}，故选D.]7．－3解析∵∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.8．{0,1,3,5,7,8}{7,8}{0,1,3,5}解析由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得∁A＝{0,1,3,5,7,8}，∁U B＝{7,8}，∁B A＝{0,1,3,5}．U9．∁U∁U A解析画Venn图，观察可知∁U∁U A.10．解∵∁U A＝{5}，∴5∈U且5∉A.又b ∈A ，∴b ∈U ，由此得⎩⎨⎧a 2＋2a －3＝5，b ＝3.解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝3经检验都符合题意．11．解 因为B ∪(∁U B )＝A ，所以B ⊆A ，U ＝A ，因而x 2＝3或x 2＝x . ①若x 2＝3，则x ＝±3.当x ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，3}，此时∁U B ＝{3}； 当x ＝－3时，A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，－3}，此时∁U B ＝{－3}．②若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，A 中元素x 与1相同，B 中元素x 2与1也相同，不符合元素的互异性，故x ≠1；当x ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}， U ＝A ＝{1,3,0}，从而∁U B ＝{3}． 综上所述，∁U B ＝{3}或{－3}或{3}．12．D [借助于Venn 图解，因为A ∩B ＝{3}，所以3∈A ，又因为(∁U B )∩A ＝{9}，所以9∈A ，所以选D.]13.解 如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a ，b ，x .根据题意有⎩⎨⎧a ＋x ＝20，b ＋x ＝11，a ＋b ＋x ＝30－4.解得x ＝5，即两项都参加的有5人．§1.1习题课课时目标 1.巩固和深化对基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．1．若A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|x－3<0}，则A∩B等于()A．{x|x>－1}B．{x|x<3}C．{x|－1<x<3}D．{x|1<x<3}2．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于() A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}3．设集合A＝{x|x≤13}，a＝11，那么()A．A B．a∉AC．{a}∉A D．{a A4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(∁I M)∩(∁I N)等于()A．∅B．{d}C．{b，e}D．{a，c}5．设A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，则集合A与B的关系为____________．6．设A＝{x∈Z|－6≤x≤6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5,6}，求：(1)A∪(B∩C)；(2)A∩(∁A(B∪C))．一、选择题1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P2．符合条件{a P⊆{a，b，c}的集合P的个数是()A．2B．3C．4D．53．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是()A．M＝P B．PC．M D．M与P没有公共元素4．如图所示，M，P，S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩S)∩(∁S P) D．(M∩P)∪(∁V S)5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3<x<5}，则能使A⊇B成立的实数a的范围是()A．{a|3<a≤4}B．{a|3≤a≤4}C．{a|3<a<4}D．∅二、填空题6．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．7．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为____．8．已知全集U＝{3,7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}，∁U A＝{5}，则a＝________.9．设U＝R，M＝{x|x≥1}，N＝{x|0≤x<5}，则(∁U M)∪(∁U N)＝________________.三、解答题10．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．11．某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B 者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？能力提升12．对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有几个？13．设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，求集合M∩N的长度的最小值．1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解交、并、补集的意义，并能将题目中符号语言准确转化为文字语言．2．集合运算的法则可借助于Venn图理解，无限集的交集、并集和补集运算可结合数轴，运用数形结合思想．3．熟记一些常用结论和性质，可以加快集合运算的速度．4．在有的集合题目中，如果直接去解可能比较麻烦，若用补集的思想解集合问题可变得更简单．§1.1习题课双基演练1．C[∵A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<3}，∴A∩B＝{x|－1<x<3}，故选C.]2．A[画出数轴，将不等式－3<x≤5，x<－5，x>5在数轴上表示出来，不难看出M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]3．D4．A[∵∁I M＝{d，e}，∁I N＝{a，c}，∴(∁I M)∩(∁I N)＝{d，e}∩{a，c}＝∅.]5．A＝B解析4k－3＝4(k－1)＋1，k∈Z，可见A＝B.6．解∵A＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}(1)又∵B∩C＝{3}，∴A∪(B∩C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．(2)又∵B∪C＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁A(B∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}∴A∩(∁A(B∪C))＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．作业设计1．B[Q＝{x|－2<x<2}，可知B正确．]2．B[集合P内除了含有元素a外，还必须含b，c中至少一个，故P＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3个．]3．B[∵a∈N*，∴x＝a2＋1＝2,5,10，….∵b∈N*，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，….∴P.]4．C [阴影部分是M ∩S 的部分再去掉属于集合P 的一小部分，因此为(M ∩S )∩(∁S P )．]5．B [根据题意可画出下图．∵a ＋2>a －1，∴A ≠∅.有⎩⎨⎧a －1≤3，a ＋2≥5.解得3≤a ≤4.]6．a ≤2解析 如图中的数轴所示，要使A ∪B ＝R ，a ≤2. 7．1解析 当x ＝1时，x －1＝0∉A ，x ＋1＝2∈A ； 当x ＝2时，x －1＝1∈A ，x ＋1＝3∈A ； 当x ＝3时，x －1＝2∈A ，x ＋1＝4∉A ； 当x ＝5时，x －1＝4∉A ，x ＋1＝6∉A ； 综上可知，A 中只有一个孤立元素5. 8．4解析 ∵A ∪(∁U A )＝U ， 由∁U A ＝{5}知，a 2－2a －3＝5， ∴a ＝－2，或a ＝4.当a ＝－2时，|a －7|＝9,9∉U ，∴a ≠－2. a ＝4经验证，符合题意． 9．{x |x <1或x ≥5}解析 ∁U M ＝{x |x <1}，∁U N ＝{x |x <0或x ≥5}， 故(∁U M )∪(∁U N )＝{x |x <1或x ≥5}或由M ∩N ＝{x |1≤x <5}，(∁U M )∪(∁U N )＝∁U (M ∩N ) ＝{x |x <1或x ≥5}． 10．解 (1)∵B ＝{x |x ≥2}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}．(2)∵C＝{x|x>－a2}，B∪C＝C⇔B⊆C，∴－a2<2，∴a>－4.11.解由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B 表示答错B的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A∪B∪C中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有50－32＝18人．12．解依题意可知，“孤立元”必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个．13．解在数轴上表示出集合M与N，可知当m＝0且n＝1或n－13＝0且m＋34＝1时，M∩N的“长度”最小．当m＝0且n＝1时，M∩N＝{x|23≤x≤34}，长度为34－23＝112；当n＝13且m＝14时，M∩N＝{x|14≤x≤13}，长度为13－14＝112.综上，M∩N的长度的最小值为1 12.§1.2函数及其表示1．2.1 函数的概念课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．1．函数(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的__________，使对于集合A 中的____________，在集合B中都有________________和它对应，那么就称f：________为从集合A到集合B的一个函数，记作__________________．其中x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________，与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．(2)值域是集合B的________．2．区间(1)设a，b是两个实数，且a<b，规定：①满足不等式__________的实数x的集合叫做闭区间，表示为________；②满足不等式__________的实数x的集合叫做开区间，表示为________；③满足不等式________或________的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为______________．(2)实数集R可以用区间表示为__________，“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“__________”，“－∞”读作“________”．我们把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为________，________，________，______.一、选择题1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()①y是x的函数②对于不同的x，y的值也不同③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来A．1个B．2个C．3个D．4个2．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有()A．①②③④B．①②③C．②③D．②3．下列各组函数中，表示同一个函数的是()A．y＝x－1和y＝x2－1 x＋1B．y＝x0和y＝1C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2D．f(x)＝(x)2x和g(x)＝x(x)24．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有()A．10个B．9个C．8个D．4个5．函数y＝1－x＋x的定义域为()A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}6．函数y＝x＋1的值域为()A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，0] D．(－∞，－1]二、填空题7．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：8．如果函数f (x )满足：对任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )f (b )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋f (4)f (3)＋f (5)f (4)＋…＋f (2011)f (2010)＝________. 9．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为______________．10．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________． 三、解答题11．已知函数f (1－x 1＋x )＝x ，求f (2)的值．能力提升12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1．函数的判定判定一个对应关系是否为函数，关键是看对于数集A中的任一个值，按照对应关系所对应数集B中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．2．由函数式求函数值，及由函数值求x，只要认清楚对应关系，然后对号入座就可以解决问题．3．求函数定义域的原则：①当f (x )以表格形式给出时，其定义域指表格中的x 的集合；②当f (x )以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f (x )以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x 的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．§1.2 函数及其表示 1．2.1 函数的概念知识梳理1．(1)对应关系f 任意一个数x 唯一确定的数f (x ) A →B y ＝f (x )，x ∈A 自变量 定义域 函数值 值域 (2)子集2．(1)①a ≤x ≤b [a ，b ] ②a <x <b (a ，b ) ③a ≤x <b a <x ≤b [a ，b )，(a ，b ] (2)(－∞，＋∞) 正无穷大 负无穷大 [a ，＋∞) (a ，＋∞) (－∞，b ] (－∞，b ) 作业设计1．B [①、③正确；②不对，如f (x )＝x 2，当x ＝±1时y ＝1；④不对，f (x )不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．]2．C [①的定义域不是集合M ；②能；③能；④与函数的定义矛盾．故选C.]3．D [A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.]4．B [由2x 2－1＝1,2x 2－1＝7得x 的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．] 5．D [由题意可知⎩⎨⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.]6．B 7．3 2 1解析 g [f (1)]＝g (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝2，g [f (3)]＝g (1)＝1. 8．2010解析 由f (a ＋b )＝f (a )f (b )，令b ＝1，∵f (1)＝1， ∴f (a ＋1)＝f (a )，即f (a ＋1)f (a )＝1，由a 是任意实数， 所以当a 取1,2,3，…，2010时，得f (2)f (1)＝f (3)f (2)＝…＝f (2011)f (2010)＝1.故答案为2010.9．{－1,1,3,5,7}解析 ∵x ＝1,2,3,4,5，∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7. 10．[0，13]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12，－23≤x ≤13，即x ∈[0，13]．11．解 由1－x 1＋x＝2，解得x ＝－13，所以f (2)＝－13.12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11∶00至12∶00他骑了13千米．(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h )]h 2＝h 2＋2h (m 2)．。
高中数学必修1综合测试卷(三套+含答案)
高一数学必修一综合测试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ） A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．1或1-或02、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ )A 、奇函数，且在(0,1）上是增函数B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数3。
已知b ax y x f B y A x R B A +=→∈∈==:,,,是从A 到B 的映射,若1和8的原象分别是3和10，则5在f 下的象是（ ）A .3B .4C 。
5D .6 4。
下列各组函数中表示同一函数的是( ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y , )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(, ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x fA 、⑴、⑵B 、 ⑵、⑶C 、 ⑷D 、 ⑶、⑸5．若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,,且在[)+∞,0上是减函数，则)252()23(2++-a a f f 与的大小关系是（ ）A ．)23(-f >)252(2++a a f B ．)23(-f <)252(2++a a f C ．)23(-f ≥)252(2++a a f D ．)23(-f ≤)252(2++a a f6。
设⎪⎩⎪⎨⎧-=-)1(log 2)(231x ex f x )2()2(≥<x x 则[])2(f f =（ ） A 。
2 B .3 C .9 D 。
187．函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是（ ）8。
人教版高中数学必修一期末测试题及答案
人教版高中数学必修一期末测试题一、选择题(每小题5分,共60分)1．设全集U ＝R ，A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∩U B ＝( )． A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |x ＜0}D ．{x |x ＞1}2．下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是( )．A B C D3．已知函数 f (x )＝x 2＋1，那么f (a ＋1)的值为( )． A ．a 2＋a ＋2B ．a 2＋1C ．a 2＋2a ＋2D ．a 2＋2a ＋14．下列等式成立的是( )． A ．log 2(8－4)＝log 2 8－log 2 4 B ．4log 8log 22＝48log 2C ．log 2 23＝3log 2 2D ．log 2(8＋4)＝log 2 8＋log 2 45．下列四组函数中，表示同一函数的是( )．A ．f (x )＝|x |，g (x )＝2xB ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xC ．f (x )＝1－1－2x x ，g (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝1＋x ·1－x ，g (x )＝1－2x6．幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( ). A ．一定经过点(0，0) B ．一定经过点(1，1) C ．一定经过点(－1，1)D ．一定经过点(1，－1)7．国内快递重量在1 000克以内的包裹邮资标准如下表：如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 300 km 的某地，他应付的邮资是( ). A ．5.00元B ．6.00元C ．7.00元D ．8.00元8．方程2x＝2－x 的根所在区间是( ). A ．(－1，0)B ．(2，3)C ．(1，2)D ．(0，1)9．若log 2 a ＜0，b⎪⎭⎫⎝⎛21＞1，则( ).A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜010．函数y ＝x 416－的值域是( ). A ．[0，＋∞)B ．[0，4]C ．[0，4)D ．(0，4)11．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( ). A ．f (x )＝x1 B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧0≤ 30log 2x x f x x )，＋(＞，，则f (－10)的值是( ).A ．－2B ．－1C ．0D ．1二、填空题(每小题4分 , 共16分)13．A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |x ＞a }，若A ⊆B ，则a 取值范围是 ． 14．若f (x )＝(a －2)x 2＋(a －1)x ＋3是偶函数，则函数f (x )的增区间是 ． 15．函数y ＝2－log 2x 的定义域是 ． 16．求满足8241－x ⎪⎭⎫⎝⎛＞x －24的x 的取值集合是 ．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知全集R U =, A =}52{<≤x x ，集合B 是函数lg(9)y x =-的定义域．（1）求集合B ；（2）求)(B C A U ．（8分）18．(12分) 已知函数f (x )＝lg(3＋x )＋lg(3－x )．(1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由．19．(12分)已知函数(),2c bx x x f ++=且()01=f ．（１）若0b =,求函数()x f 在区间[]3,1-上的最大值和最小值；（２）要使函数()x f 在区间[]3,1-上单调递增，求b 的取值范围.（12分）20．(12分)探究函数),0(,4)(+∞∈+=x xx x f 的图像时，.列表如下：⑴ 函数)0(4)(>+=x xx x f 的递减区间是 ，递增区间是 ； ⑵ 若对任意的[]1,3,()1x f x m ∈≥+恒成立，试求实数m 的取值范围．21. (12分)求函数212log (43)y x x =-+的单调增区间.22．(14分) 已知0,1a a >≠且， ()211x x a f x a a a ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭．（１）判断()f x 的奇偶性并加以证明； （２）判断()f x 的单调性并用定义加以证明；（３）当()f x 的定义域为(1,1)-时，解关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-<．参考答案一、选择题 1．B解析：U B ＝{x |x ≤1}，因此A ∩U B ＝{x |0＜x ≤1}．2．C 3．C 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．D解析：由log 2 a ＜0，得0＜a ＜1，由b⎪⎭⎫⎝⎛21＞1，得b ＜0，所以选D 项．10．C解析：∵ 4x＞0，∴0≤16－ 4x＜16，∴x 416－∈[0，4)．11．A解析：依题意可得函数应在(0，＋∞)上单调递减，故由选项可得A 正确． 12．A 13．D 14．B解析：当x ＝x 1从1的右侧足够接近1时，x－11是一个绝对值很大的负数，从而保证 f (x 1)＜0；当x ＝x 2足够大时，x－11可以是一个接近0的负数，从而保证f (x 2)＞0．故正确选项是B ． 二、填空题15．参考答案：(－∞，－2)． 16．参考答案：(－∞，0)． 17．参考答案：[4，＋∞)． 18．参考答案：(－8，＋∞)． 三、解答题19．参考答案：(1)由⎩⎨⎧0303＞－＞＋x x ，得－3＜x ＜3，∴ 函数f (x )的定义域为(－3，3)． (2)函数f (x )是偶函数，理由如下：由(1)知，函数f (x )的定义域关于原点对称， 且f (－x )＝lg(3－x )＋lg(3＋x )＝f (x )， ∴ 函数f (x )为偶函数．20．参考答案：(1)证明：化简f (x )＝⎩⎨⎧1221 ≥22＜－，－)－(－，＋)＋(x x a x x a因为a ＞2，所以，y 1＝(a ＋2)x ＋2 (x ≥－1)是增函数，且y 1≥f (－1)＝－a ； 另外，y 2＝(a －2)x －2 (x ＜－1)也是增函数，且y 2＜f (－1)＝－a ． 所以，当a ＞2时，函数f (x )在R 上是增函数．(2)若函数f (x )存在两个零点，则函数f (x )在R 上不单调，且点(－1，－a )在x 轴下方，所以a 的取值应满足⎩⎨⎧0022＜－)＜－)(＋(a a a 解得a 的取值范围是(0，2)． 21．参考答案：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为500003600 3－＝12，所以这时租出了100－12＝88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛50000 3100－－x (x －150)－50000 3－x ×50＝－501(x －4 050)2＋307 050． 所以，当x ＝4 050 时，f (x )最大，其最大值为f (4 050)＝307 050． 当每辆车的月租金定为4 050元时，月收益最大，其值为307 050元．。
人教版高中数学选择性必修第一册-综合检测卷(含解析)
人教版高中数学选择性必修第一册综合检测卷（原卷版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1，3)，(4，3＋3)，则此直线的倾斜角是()A.π6B.π4C.π3D.2π32．(2019·北京，理)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则()A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b3.如图，在三棱锥O －ABC 中，D 是棱AC 的中点，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则BD →＝()A.12a －b ＋12c B ．a ＋b －c C ．a －b ＋cD ．－12a ＋b －12c4．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段AB 的中点坐标是()A ．(2，6)B ．(3，2)C ．(6，4)D ．(4，6)5．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为()A ．a 2 B.14a 2C.12a 2 D.34a 26．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为()A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝07.四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，且AB ＝BC ＝2，AD ＝3，PA ⊥平面ABCD 且PA ＝2，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为()A.427B.77C.33D.638．(2019·课标全国Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为()A.2B.3C ．2 D.5二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列说法正确的是()A ．在两坐标轴上截距相等的直线可以用方程x a ＋ya＝1表示B ．存在实数m ，使得方程x ＋my －2＝0能表示平行于y 轴的直线C ．经过点P (1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y －1＝tan θ(x －1)D ．点(0，2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为(1，1)10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1和C 1D 1的中点，则下列结论正确的是()A ．A 1C 1∥平面CEFB ．B 1D ⊥平面CEF C.CE →＝12DA →＋DD 1→－DC→D ．若正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1边长为2，点B 1到平面CEF 的距离为111．已知P 是椭圆C ：x 26＋y 2＝1上的动点，Q 是圆D ：(x ＋1)2＋y 2＝15上的动点，则()A ．C 的焦距为5B ．C 的离心率为306C ．圆D 在C 的内部D ．|PQ |的最小值为25512．已知动点P 到两定点M (－2，0)，N (2，0)的距离乘积为常数16，其轨迹为C ，则()A ．C 一定经过原点B ．C 关于x 轴、y 轴对称C ．△MPN 的面积的最大值为43D ．C 在一个面积为64的矩形内三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________．14．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，点A (4，2)，则线段AP 中点M 的轨迹方程是________________；点M 的轨迹与圆C 相交，则过交点的直线方程是________．(本题第一空2分，第二空3分)15．已知点F2为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx交双曲线C于A，B两点，若∠AF2B＝2π3，S△AF2B＝23，则双曲线C的虚轴长为________．16．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F1(1，0)，离心率为e.设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若0<k≤3，则e的取值范围为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知三角形的顶点A(2，3)，B(0，－1)，C(－2，1)．(1)求直线AC的方程；(2)从①，②这两个问题中选择一个作答．①求点B关于直线AC的对称点D的坐标．②若直线l过点B且与直线AC交于点E，|BE|＝3，求直线l的方程．18．(12分)已知圆C经过三点O(0，0)，A(1，3)，B(4，0)．(1)求圆C的方程；(2)求过点P(3，6)且被圆C截得弦长为4的直线的方程．19．(12分)(2019·课标全国Ⅱ，文)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．20.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，且△PCD是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是矩形，BC＝22，M为BC的中点．(1)求证：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小；(3)求点D到平面AMP的距离．21．(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠AA1C1＝60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D.(1)求证：BD⊥平面AA1C1；(2)设点E是直线B1C1上一点，且DE∥平面AA1B1B，求平面EBD与平面ABC1夹角的余弦值．22．(12分)已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP 到点N ，且PM →·PF →＝0，|PM →|＝|PN →|.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)直线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－4，且46≤|AB →|≤430，求直线l 的斜率k 的取值范围．1．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为()A.54B.52C.32D.542．已知四面体顶点A (2，3，1)，B (4，1，－2)，C (6，3，7)和D (－5，－4，8)，则顶点D 到平面ABC 的距离为()A ．8B ．9C ．10D ．113.如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2.下列结论中正确的是()A.SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0B.SA →－SB →＋SC →－SD →＝0C.SA →·SB →＋SC →·SD →＝0D.SA →·SC →＝04．已知A 是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点，F 是抛物线C ：y 2＝－8ax 的焦点．若在双曲线的渐近线上存在点P ，使得AP →⊥FP →，则E 的离心率的取值范围是()A ．(1，2)，324D ．(2，＋∞)5.如图，在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ，点M 为PA 的中点，BD →＝λBN →.若MN ⊥AD ，则实数λ为()A ．2B ．3C ．4D ．56．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的左、右焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |＋|BN |＝()A ．4B ．8C ．12D ．167．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点(异于点B )，则|PB ||PA |的最大值是()A ．2B ．4C.2D ．228．【多选题】若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则()A ．b ＋c ，b －c ，a 共面B ．b ＋c ，b －c ，2b 共面C ．b ＋c ，a ，a ＋b ＋c 共面D ．a ＋c ，a －2c ，c 共面9.【多选题】如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 中，AB ＝3AD ＝3AA 1＝3，点P 为线段A 1C 上的动点，则下列结论正确的是()A ．当A 1C →＝2A 1P →时，B 1，P ，D 三点共线B ．当AP →⊥A 1C →时，AP →⊥D 1P→C ．当A 1C →＝3A 1P →时，D 1P ∥平面BDC 1D ．当A 1C →＝5A 1P →时，A 1C ⊥平面D 1AP10．【多选题】已知抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，且|AF |＝3|BF |，M 为AB 中点，则下列结论正确的是()A ．∠CFD ＝90°B ．△CMD 为等腰直角三角形C ．直线AB 的斜率为±3D ．△AOB 的面积为411．【多选题】a ，b 为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴旋转，则下列结论正确的是()A ．直线AB 与a 所成角的最小值为π4B ．直线AB 与a 所成角的最大值为π3C ．当直线AB 与a 所成的角为π3时，AB 与b 所成的角为π6D ．当直线AB 与a 所成的角为π3时，AB 与b 所成的角为π312．【多选题】古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B(4，0)，点P满足|PA||PB|＝12.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是()A．轨迹C的方程为(x＋4)2＋y2＝9B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得|PD||PE|＝1 2C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|13．已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x－my－1＝0平行，则实数m的值为________，动直线l被圆C：x2＋y2＋2x－24＝0截得弦长的最小值为________．14．已知M(－2，0)，N(2，0)，点P(x，y)为坐标平面内的动点，满足|MN→|·|MP→|＋MN→·NP→＝0，则动点P的轨迹方程为________．15．已知直线l：4x－3y＋6＝0，抛物线C：y2＝4x上一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为________，P到直线l距离的最小值为________．16．已知直线l：y＝－x＋1与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点为(1)求此椭圆的离心率；(2)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2＋y2＝5上，求此椭圆的方程．17.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE－BCF和一个正四棱锥P－ABCD组合而成的，AD⊥AF，AE＝AD＝2.(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；(2)求正四棱锥P－ABCD的高h，使得二面角C－AF－P的余弦值是22318.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝3，∠ABC＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)求二面角A－A1C－B的正切值大小．19.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC ∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点．(1)求二面角O1－BC－D的大小；(2)求点E到平面O1BC的距离．20．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，若|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值及使得|PM|取得最小值的点P的坐标．21．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若OM→·ON→＝12，其中O为坐标原点，求△OMN的面积．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的短轴长为2，椭圆C上的点到右焦点距离的最大值为2＋ 3.过点P(m，0)作斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，其中m>0，k>0，D是线段AB的中点，直线OD交椭圆C于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若m＝1，OM→＋3OD→＝0，求k的值；(3)若存在直线l，使得四边形OANB为平行四边形，求m的取值范围．人教版高中数学选择性必修第一册综合检测卷（解析版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1，3)，(4，3＋3)，则此直线的倾斜角是()A.π6B.π4C.π3D.2π3答案A解析设直线的倾斜角为α，则tan α＝3＋3－34－1＝33，∴α＝π6.故选A.2．(2019·北京，理)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则()A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b答案B 解析椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2.故选B.3.如图，在三棱锥O －ABC 中，D 是棱AC 的中点，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则BD →＝()A.12a －b ＋12c B ．a ＋b －c C ．a －b ＋c D ．－12a ＋b －12c答案A解析OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋12AC →＝OA →＋12(OC →－OA →)＝12OA →＋12OC →，因此BD →＝OD →－OB →＝12OA→－OB →＋12OC →＝12a －b ＋12c .4．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段AB 的中点坐标是()A ．(2，6)B ．(3，2)C ．(6，4)D ．(4，6)答案B解析设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．将y ＝x －1代入y 2＝4x ，整理得x 2－6x ＋1＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝6，则x 1＋x 22＝3，y 1＋y 22＝x 1＋x 2－22＝6－22＝2，所以所求点的坐标为(3，2)．故选B.5．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为()A ．a 2 B.14a 2C.12a 2 D.34a 2答案B解析在正四面体ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，AE →＝AB →＋BE →，AF →＝12AD →，所以AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·12→＝12AB →·AD →＋12BE →·AD →.因为ABCD 是正四面体，所以BE ⊥AD ，∠BAD ＝π3，即BE →·AD →＝0，AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos π3＝12a 2，所以AE →·AF →＝14a 2.故选B.6．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为()A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0答案D解析由题意设圆心坐标为C (a ，0)(a >0)，∵圆C 与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，∴|3a ＋0＋4|9＋16＝2，解得a ＝2.∴圆心为C (2，0)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.故选D.7.四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，且AB ＝BC ＝2，AD ＝3，PA ⊥平面ABCD 且PA ＝2，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为()A.427 B.77C.33D.63答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0，0，2)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，3，0)．PB →＝(2，0，－2)，CD →＝(－2，1，0)，PD →＝(0，3，－2)．设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，2x ＋y ＝0，y －2z ＝0.取x ＝1得n ＝(1，2，3)．cos 〈PB →，n 〉＝PB →·n |PB →||n |＝－422×14＝－77，可得PB 与平面PCD 所成角的正弦值为77.故选B.8．(2019·课标全国Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为()A.2B.3C ．2 D.5答案A解析如图，由题意知以OF ＋y 2＝c 24①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2c，所以|PQ |＝由|PQ |＝|OF |，得c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝ 2.故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列说法正确的是()A ．在两坐标轴上截距相等的直线可以用方程x a ＋ya ＝1表示B ．存在实数m ，使得方程x ＋my －2＝0能表示平行于y 轴的直线C ．经过点P (1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y －1＝tan θ(x －1)D ．点(0，2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为(1，1)答案BD 解析对于A ，若直线过原点，则在两坐标轴上的截距都为零，故不能用方程x a ＋ya＝1表示，所以A 错误；对于B ，当m ＝0时，平行于y 轴的直线方程为x ＝2，所以B 正确；对于C ，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，故不能用y －1＝tan θ(x －1)表示，所以C 错误；对于D y ＝x ＋1上，且(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，所以D 正确．故选BD.10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1和C 1D 1的中点，则下列结论正确的是()A ．A 1C 1∥平面CEFB ．B 1D ⊥平面CEF C.CE →＝12DA →＋DD 1→－DC→D ．若正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1边长为2，点B 1到平面CEF 的距离为1答案AC解析对于A ，因为E ，F 分别是A 1D 1和C 1D 1的中点，所以EF ∥A 1C 1，且EF ⊂平面CEF ，故A 1C 1∥平面CEF 成立，A 正确；对于B ，以点D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，设正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0，0，0)，C (0，2，0)，A (2，0，0，)，B 1(2，2，2)，D 1(0，0，2)，E (1，0，2)，F (0，1，2)，B 1D →＝(－2，－2，－2)，FC →＝(0，1，－2)，因为B 1D →·FC →＝0－2＋4＝2≠0，所以B 1D →与FC →不垂直，又CF ⊂平面CEF ，所以B 1D 与平面CEF 不垂直，B 错误；对于C ，12DA →＋DD 1→－DC →＝12(2，0，0)＋(0，0，2)－(0，2，0)＝(1，－2，2)，又CE →＝(1，－2，2)，所以CE →＝12DA→＋DD 1→－DC →成立，C 正确；对于D ，连接B 1E ，EF →＝(－1，1，0)，EC →＝(－1，2，－2)，设平面EFC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )·n ＝0，·n ＝0，x ＋y ＝0，x ＋2y －2z ＝0，令x ＝2，得n ＝(2，2，1)，又B 1E →＝(－1，－2，0)，所以点B 1到平面CEF 的距离d ＝|B 1E →·n ||n |＝63＝2，D 错误．故选AC.11．已知P 是椭圆C ：x 26＋y 2＝1上的动点，Q 是圆D ：(x ＋1)2＋y 2＝15上的动点，则()A ．C 的焦距为5B ．C 的离心率为306C ．圆D 在C 的内部D ．|PQ |的最小值为255答案BC解析∵x 26＋y 2＝1，∴a ＝6，b ＝1，∴c ＝a 2－b 2＝6－1＝5，则C 的焦距为25，e ＝ca＝56＝306.设P (x ，y )(－6≤x ≤6)，则|PD |2＝(x ＋1)2＋y 2＝(x ＋1)2＋1－x 26＝＋45≥45>15，可知圆D 在C 的内部，且|PQ |的最小值为45－15＝55.故选BC.12．已知动点P 到两定点M (－2，0)，N (2，0)的距离乘积为常数16，其轨迹为C ，则()A ．C 一定经过原点B ．C 关于x 轴、y 轴对称C ．△MPN 的面积的最大值为43D ．C 在一个面积为64的矩形内答案BCD解析设点P 的坐标为(x ，y )，由题意可得（x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2＝16.对于A ，将原点坐标(0，0)代入方程得2×2＝4≠16，故A 错误；对于B ，设点P 关于x 轴、y 轴的对称点分别为P 1(x ，－y )，P 2(－x ，y )，因为（x ＋2）2＋（－y ）2·（x －2）2＋（－y ）2＝（x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2＝16，（－x ＋2）2＋y 2·（－x －2）2＋y 2＝（x －2）2＋y 2·（x ＋2）2＋y 2＝16，所以点P 1，P 2都在曲线C 上，所以曲线C 关于x 轴、y 轴对称，故B 正确；对于C ，设|PM |＝a ，|PN |＝b ，∠MPN ＝θ(0<θ<π)，则ab ＝16，由余弦定理得cos θ＝a 2＋b 2－162ab ＝a 2＋b 2－1632≥2ab －1632＝12，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立，则θ，π3，所以sin θ≤32，则△MPN 的面积S △MPN ＝12ab sin θ≤12×16×32＝43，故C正确；对于D ，由16＝（x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2≥（x ＋2）2·（x －2）2＝|x 2－4|，可得－16≤x 2－4≤16，得0≤x 2≤20，解得－25≤x ≤25，由C 知，S △MPN ＝12|MN |·|y |＝12×4×|y |≤43，得|y |≤23，因为45×43＝1615<64，所以曲线C 在一个面积为64的矩形内，故D 正确．故选BCD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________．答案23a －13b ＋23c 解析PG →＝PB →＋BG→＝PB →＋23BD→＝PB →＋23(BA →＋BC →)＝PB →＋23[(PA →－PB →)＋(PC →－PB →)]＝PB →＋23(PA →－2PB →＋PC →)＝23PA →－13PB →＋23PC →＝23a －13b ＋23c .14．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，点A (4，2)，则线段AP 中点M 的轨迹方程是________________；点M 的轨迹与圆C 相交，则过交点的直线方程是________．(本题第一空2分，第二空3分)答案(x －2)2＋(y －1)2＝12x ＋y －4＝0解析设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，＝x 1＋42，＝y 1＋22，1＝2x －4，1＝2y －2.因为x 12＋y 12＝4，所以(2x －4)2＋(2y －2)2＝4.整理得(x －2)2＋(y －1)2＝1.①又圆C ：x 2＋y 2＝4，②由①－②得2x ＋y －4＝0，即为所求直线方程．15．已知点F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx 交双曲线C 于A ，B两点，若∠AF 2B ＝2π3，S △AF 2B ＝23，则双曲线C 的虚轴长为________．答案22解析由题意知点B 与点A 关于原点对称，设双曲线的左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1，由对称性可知四边形AF 1BF 2是平行四边形，所以∠F 1AF 2＝π3，设|AF 2|＝m ，不妨设点A 在点B 右侧，则|AF 1|＝2a ＋m .在△AF 1F 2中，由余弦定理可得4c 2＝m 2＋(m ＋2a )2－m (m ＋2a )，化简得4c 2－4a 2＝m 2＋2ma ，即4b 2＝m (m ＋2a )．又S △AF 2B ＝12m (m ＋2a )·32＝23，所以b 2＝2，所以2b ＝2 2.16．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 1(1，0)，离心率为e .设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上．设直线AB 的斜率为k ，若0<k ≤3，则e 的取值范围为________．答案[3－1，1)解析设A (m ，n )，则B (－m ，－n )，则k ＝nm，因为原点O 在以线段MN 为直径的圆上，所以OM ⊥ON ，又因为M 为AF 1的中点，所以OM ∥BF 1，同理ON ∥AF 1，所以四边形OMF 1N 是矩形，即AF 1⊥BF 1，而AF 1→＝(1－m ，－n )，BF 1→＝(1＋m ，n )，所以(1－m )(1＋m )－n 2＝0，即m 2＋n 2＝1，又m 2a 2＋n 2b 2＝1，于是有m 2a 2＋n 2b 2＝m 2＋n 2，从而1a 2－11－1b 2＝n 2m 2＝k 2≤3，即1a 2＋3b2≥4，将b 2＝a 2－1代入上式，整理得4a 4－8a 2＋1≤0，解得2－32≤a 2≤2＋32，又a >c ＝1，所以4－23≤1a2<1，即3－1≤e <1.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知三角形的顶点A (2，3)，B (0，－1)，C (－2，1)．(1)求直线AC 的方程；(2)从①，②这两个问题中选择一个作答．①求点B 关于直线AC 的对称点D 的坐标．②若直线l 过点B 且与直线AC 交于点E ，|BE |＝3，求直线l 的方程．思路分析(1)由A (2，3)，C (－2，1)，可求出直线AC 的斜率，由点斜式即可写出直线的方程；(2)选①由对称点的性质即可求出；选②设出E ，12t ＋t 的值，根据B ，E 两点的坐标即可求出直线的方程．解析(1)因为直线AC 的斜率为k AC ＝12，所以直线AC 的方程为y －3＝12(x －2)，即直线AC 的方程为x －2y ＋4＝0.(2)选择问题①：设D 的坐标为(m ，n )，·12＝－1，2·n －12＋4＝0，＝－125，＝195.所以点D －125，选择问题②：设E，12t ＋|BE |＝33，解得t ＝0或t ＝－125.所以E 的坐标为(0，2)－125，所以直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＋4＝0.18．(12分)已知圆C 经过三点O (0，0)，A (1，3)，B (4，0)．(1)求圆C 的方程；(2)求过点P (3，6)且被圆C 截得弦长为4的直线的方程．解析(1)由题意，设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，＝0，＋9＋D ＋3E ＋F ＝0＋4D ＋F ＝0，＝－4，＝－2，＝0.所以圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5.(2)由(1)知圆心坐标为C (2，1)，半径为5，弦长为4时，圆心C 到直线的距离为1.①若直线斜率不存在，则直线方程为x ＝3，经检验符合题意；②若直线斜率存在，设直线斜率为k ，则直线方程为y －6＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋6＝0，则|5－k |1＋k 2＝1，解得k ＝125，所以直线方程为y －6＝125(x －3)，即12x －5y －6＝0.综上可知，直线方程为x ＝3或12x －5y －6＝0.19．(12分)(2019·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．解析(1)若△POF 2为等边三角形，则P ，±32c ，代入方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得c 24a2＋3c 24b2＝1，解得e 2＝4±23，所以e ＝3－1(3＋1已舍去)．(2)由题意可得|PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ，因为PF 1⊥PF 2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2，所以(|PF 1→|＋|PF 2→|)2－2|PF 1→|·|PF 2→|＝4c 2，所以2|PF 1→|·|PF 2→|＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以|PF 1→|·|PF 2→|＝2b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1→|·|PF 2→|＝b 2＝16，解得b ＝4.因为(|PF 1→|＋|PF 2→|)2≥4|PF 1→|·|PF 2→|，即(2a )2≥4|PF 1→|·|PF 2→|，即a 2≥|PF 1→|·|PF 2→|，所以a 2≥32，所以a ≥42，即a 的取值范围为[42，＋∞)．20.(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，且△PCD 是边长为2的等边三角形，四边形ABCD 是矩形，BC ＝22，M 为BC 的中点．(1)求证：AM ⊥PM ；(2)求二面角P －AM －D 的大小；(3)求点D 到平面AMP 的距离．解析以点D 为原点，分别以直线DA ，DC 为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D (0，0，0)，P (0，1，3)，A (22，0，0)，M (2，2，0)，PM →＝(2，1，－3)，AM →＝(－2，2，0)．(1)证明：∵PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2，0)＝0，即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM .(2)设n ＝(x ，y ，z )为平面PAM 的法向量，·PM →＝0，·AM →＝0，y －3z ＝0，＋2y ＝0，取y ＝1，得n ＝(2，1，3)．取p ＝(0，0，1)，显然p 为平面ABCD 的一个法向量，∵cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝36＝22，∴二面角P －AM －D 的大小为45°.(3)设点D 到平面AMP 的距离为d ，由(2)可知n ＝(2，1，3)为平面AMP 的一个法向量，∴d ＝|DA →·n ||n |＝|22×2|2＋1＋3＝263，即点D 到平面AMP 的距离为263.21．(12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝BC 1＝2，∠AA 1C 1＝60°，平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，AC 1与A 1C 相交于点D .(1)求证：BD ⊥平面AA 1C 1；(2)设点E 是直线B 1C 1上一点，且DE ∥平面AA 1B 1B ，求平面EBD 与平面ABC 1夹角的余弦值．解析(1)证明：由已知得侧面AA 1C 1C 是菱形，D 是AC 1的中点．∵BA ＝BC 1，∴BD ⊥AC 1.∵平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，且BD ⊂平面ABC 1，平面ABC 1∩平面AA 1C 1C ＝AC 1，∴BD ⊥平面AA 1C 1C .(2)设点F 是A 1C 1的中点，连接DF ，EF ，∵点D 是AC 1的中点，∴DF ∥平面AA 1B 1B .又∵DE ∥平面AA 1B 1B ，∴平面DEF ∥平面AA 1B 1B .又∵平面DEF ∩平面A 1B 1C 1＝EF ，平面AA 1B 1B ∩平面A 1B 1C 1＝A 1B 1，∴EF ∥A 1B 1.∴点E 是B 1C 1的中点．如图，以D 为原点，以DA 1，DA ，DB 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由已知可得AC 1＝2，AD ＝1，BD ＝A 1D ＝DC ＝3，BC ＝6，∴D (0，0，0)，A (0，1，0)，A 1(3，0，0)，B (0，0，3)，C 1(0，－1，0)．设平面EBD 的法向量是m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥DB →，得3z ＝0⇒z ＝0.又DE →＝12(DC 1→＋DB 1→)＝12(DC 1→＋DB →＋AA 1→)1由m ⊥DE →，得(x ，y ，z10⇒32x －y ＝0.令x ＝1，得y ＝32，∴m ，32，∵平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，DA 1⊥AC 1，∴DA 1⊥平面ABC 1.∴DA 1→是平面ABC 1的一个法向量，DA 1→＝(3，0，0)．∴cos 〈m ，DA 1→〉＝31＋34×3＝277，∴平面EBD 与平面ABC 1夹角的余弦值是277.22．(12分)已知定点F (1，0)，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且PM →·PF →＝0，|PM →|＝|PN →|.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)直线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－4，且46≤|AB →|≤430，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析(1)由题意知P 为线段MN 的中点，设N (x ，y )，则M (－x ，0)，由PM →·PF →＝0x，∴(－x )·10，∴y 2＝4x (x ＞0)，∴点N 的轨迹方程为y 2＝4x (x >0)．(2)设l 与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．当l 与x 轴垂直时，则由OA →·OB →＝－4，得y 1＝22，y 2＝－22，|AB |＝42<46，不合题意．故l 与x 轴不垂直．可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则由OA →·OB →＝－4，得x 1x 2＋y 1y 2＝－4.由点A ，B 在抛物线y 2＝4x (x >0)上有y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，故y 1y 2＝－8.又2＝4x ，＝kx ＋b ，联立消x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0.∴4bk ＝－8，b ＝－2k.∴Δ＝16(1＋2k 2)，|AB |2y1－y 2)2∵46≤|AB |≤430，∴96480.解得直线l的斜率取值范围为－1，－12∪12，1.1．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为()A.54B.52C.32D.54答案B2．已知四面体顶点A(2，3，1)，B(4，1，－2)，C(6，3，7)和D(－5，－4，8)，则顶点D 到平面ABC的距离为()A．8B．9C．10D．11答案D解析设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则·AB→＝0，·AC→＝0，x，y，z）·（2，－2，－3）＝0，x，y，z）·（4，0，6）＝0.x－2y－3z＝0，x＋6z＝0＝2x，＝－23x，令x＝1，则n，2AD→＝(－7，－7，7)，故所求距离为|AD→·n||n|＝|－7－14－143|1＋4＋49＝11.3.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2.下列结论中正确的是()A.SA→＋SB→＋SC→＋SD→＝0B.SA→－SB→＋SC→－SD→＝0C.SA→·SB→＋SC→·SD→＝0D.SA→·SC→＝0答案B解析本题考查空间向量的加减运算和数量积．由题意易知A错误；因为SA→－SB→＋SC→－SD→＝BA→＋DC→＝0，所以B正确；因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以SA →·SB →＝2×2×cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2×2×cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →≠0，所以C 错误；连接AC ，在△SAC 中，SA ＝SC ＝2，AC ＝2，所以∠ASC ≠90°，所以cos ∠ASC ≠0，又SA →·SC →＝2×2×cos ∠ASC ，所以SA →·SC →≠0，所以D 错误．故选B.4．已知A 是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点，F 是抛物线C ：y 2＝－8ax 的焦点．若在双曲线的渐近线上存在点P ，使得AP →⊥FP →，则E 的离心率的取值范围是()A ．(1，2)，324D ．(2，＋∞)答案B解析由题意得，A (－a ，0)，F (－2a ，0)，不妨设0，ba x AP →⊥FP →，得AP →·FP →＝0⇒0＋a ，b a x 0＋2a ，ba x 0⇒c 2a 2x 02＋3ax 0＋2a 2＝0.因为在双曲线E 的渐近线上存在点P ，所以Δ≥0，即9a 2－4×2a 2×c 2a 2≥0，9a 2≥8c 2⇒e 2≤98⇒－324≤e ≤324，又因为E 为双曲线，所以1<e ≤324.故选B.5.如图，在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ，点M 为PA 的中点，BD →＝λBN →.若MN ⊥AD ，则实数λ为()A ．2B ．3C ．4D ．5答案C解析连接AC 交BD 于点O ，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA ＝AB ＝2，则A (2，0，0)，D (0，－2，0)，P (0，0，2)，0B (0，2，0)，∴BD →＝(0，－22，0)，设N (0，b ，0)，则BN →＝(0，b －2，0)．∵BD＝λBN →，∴－22＝λ(b －2)，∴b ＝2λ－22λ，∴N，2λ－22λ，，→－22，2λ－22λ，－AD →＝(－2，－2，0)，∵AD ⊥MN ，∴AD →·MN →＝1－2λ－4λ＝0，解得λ＝4.故选C.6．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的左、右焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |＋|BN |＝()A ．4B ．8C ．12D ．16答案B解析设MN 的中点为D ，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，如图，连接DF 1，DF 2.∵F 1是MA 的中点，D 是MN 的中点，∴F 1D 是△MAN 的中位线，∴|DF 1|＝12|AN |，同理|DF 2|＝12|BN |，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)．∵点D 在椭圆上，根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知，|DF 1|＋|DF 2|＝4，∴|AN |＋|BN |＝8.故选B.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点(异于点B )，则|PB ||PA |的最大值是()A ．2B ．4C.2D ．22答案A解析设点P (x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝2，所以|PB |2|PA |2＝（x 0－1）2＋（y 0＋1）2x 02＋（y 0＋2）2＝x 02＋y 02－2x 0＋2y 0＋2x 02＋y 02＋4y 0＋4＝－2x 0＋2y 0＋44y 0＋6＝－x 0＋y 0＋22y 0＋3，令λ＝－x 0＋y 0＋22y 0＋3，则λ≠0，x 0＋(2λ－1)y 0＋3λ－2＝0，由题意，知直线x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0与圆x 2＋y 2＝2有公共点，所以|3λ－2|1＋（2λ－1）2≤2，得λ2－4λ≤0，得0<λ≤4，所以|PB ||PA |的最大值为2.8．【多选题】若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则()A ．b ＋c ，b －c ，a 共面B ．b ＋c ，b －c ，2b 共面C ．b ＋c ，a ，a ＋b ＋c 共面D ．a ＋c ，a －2c ，c 共面答案BCD解析易知b ＋c ，b －c ，a 不共面；因为2b ＝(b ＋c )＋(b －c )，所以b ＋c ，b －c ，2b 共面；因为a ＋b ＋c ＝(b ＋c )＋a ，所以b ＋c ，a ，a ＋b ＋c 共面；因为a ＋c ＝(a －2c )＋3c ，所以a ＋c ，a －2c ，c 共面．故选BCD.9.【多选题】如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 中，AB ＝3AD ＝3AA 1＝3，点P 为线段A 1C 上的动点，则下列结论正确的是()A ．当A 1C →＝2A 1P →时，B 1，P ，D 三点共线B ．当AP →⊥A 1C →时，AP →⊥D 1P→C ．当A 1C →＝3A 1P →时，D 1P ∥平面BDC 1D ．当A 1C →＝5A 1P →时，A 1C ⊥平面D 1AP答案ACD解析在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接AC ，以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB ＝3AD ＝3AA 1＝3，所以AD ＝AA 1＝1，则A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，C (0，3，0)，C 1(0，3，1)，D 1(0，0，1)，D (0，0，0)，B (1，3，0)，则A 1C →＝(－1，3，－1)，D 1A →＝(1，0，－1)，DC 1→＝(0，3，1)，DB →＝(1，3，0)，A 1D 1→＝(－1，0，0)．当A 1C →＝2A 1P →时，P 为A 1C 的中点，根据长方体结构特征，可知P 为体对角线的中点，因此P 也为B 1D 的中点，所以B 1，P ，D 三点共线，故A 正确；当AP →⊥A 1C →时，AP ⊥A 1C ，由题意可得A 1C ＝1＋1＋3＝5，AC ＝1＋3＝2，因为S △A 1AC ＝12AA 1·AC ＝12A 1C ·AP ，所以AP ＝255，所以A 1P ＝55，即点P 为靠近点A 1的五等分点，所以，35，D 1P →，35，－AP →＝－15，35，D 1P →·AP →＝－425＋325－425＝－15≠0，所以AP →与D 1P →不垂直，故B 错误；当A 1C →＝3A 1P →时，A 1P →＝13A 1C →－13，33，－BDC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，·DC 1→＝0，·DB →＝0，＋z ＝0，＋3y ＝0，令y ＝1，可得n ＝(－3，1，－3)，又D 1P →＝A 1P →－A 1D 1→＝，33，－D 1P →·n ＝0，因此D 1P →⊥n ，所以D 1P →∥平面BDC 1，故C 正确；当A 1C →＝5A 1P →时，A 1P →＝15A 1C →－15，35，－所以D 1P →＝A 1P →－A 1D 1→，35，－所以A 1C →·D 1P →＝0，A 1C →·D 1A →＝0，因此A 1C ⊥D 1P ，A 1C ⊥D 1A ，又D 1P ∩D 1A ＝D 1，所以A 1C ⊥平面D 1AP ，故D 正确．故选ACD.10．【多选题】已知抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，且|AF |＝3|BF |，M 为AB 中点，则下列结论正确的是()A ．∠CFD ＝90°B ．△CMD 为等腰直角三角形C ．直线AB 的斜率为±3D ．△AOB 的面积为4答案AC解析如图，过点M 向准线l 作垂线，垂足为N ，F (1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为|AF |＝|AC |，所以∠AFC ＝∠ACF ，又因为∠OFC ＝∠ACF ，所以∠OFC ＝∠AFC ，所以FC 平分∠OFA ，同理可知FD 平分∠OFB ，所以∠CFD ＝90°，故A 正确；假设△CMD 为等腰直角三角形，则∠CFD ＝∠CMD ＝90°，则C ，D ，F ，M 四点共圆且圆的半径为12|CD |＝|MN |，又因为|AF |＝3|BF |，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AC |＋|BD |＝2|MN |＝4|BF |，所以|MN |＝2|BF |，所以|CD |＝2|MN |＝4|BF |，所以|CD |＝|AB |，显然不成立，故B 错误；设直线AB的方程为x ＝my ＋12＝4x ，＋1，所以y 2－4my －4＝01＋y 2＝4m ，1y 2＝－4，又因为|AF |＝3|BF |，所以y 1＝－3y 22y 2＝4m ，3y 22＝－4，所以m 2＝13，所以1m ＝±3，所以直线AB 的斜率为±3，故C 正确；取m ＝331＋y 2＝433，1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝833，所以S △AOB ＝12·|OF |·|y 1－y 2|＝12×1×833＝433D 错误．故选AC.11．【多选题】a ，b 为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴旋转，则下列结论正确的是()A ．直线AB 与a 所成角的最小值为π4B ．直线AB 与a 所成角的最大值为π3C ．当直线AB 与a 所成的角为π3时，AB 与b 所成的角为π6D ．当直线AB 与a 所成的角为π3时，AB 与b 所成的角为π3答案AD解析由题意知，a ，b ，AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体的棱长为1，则AC ＝1，AB ＝2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，BC 长为半径的圆，设CB 旋转到直线a 上时为CE ，旋转到直线b 上时为CD ，以C 为坐标原点，以CD 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则D (1，0，0)，A (0，0，1)，设B 点在运动过程中的坐标为(cos θ，sin θ，0)，其中θ为射线CD 绕端点C 旋转到CB 形成的角，θ∈[0，2π)，∴AB 在运动过程中对应的向量AB →＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB →|＝2，设AB 与a 所成的角为α，α∈0，π2，则cos α＝22|sin θ|∈0，22，∴α∈π4，π2，故A 正确，B错误；设AB 与b 所成的角为β，β∈0，π2，则cos β＝22|cos θ|，当AB 与a 所成的角为π3，即α＝π3时，|sin θ|＝2cos α＝2cos π3＝22，∵cos 2θ＋sin 2θ＝1，∴cos β＝22|cos θ|＝12，∵β∈0，π2，∴β＝π3，此时AB 与b所成的角为π3，故D 正确，C 错误．故选AD.12．【多选题】古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A (－2，0)，B (4，0)，点P 满足|PA ||PB |＝12.设点P 的轨迹为C ，下列结论正确的是()A ．轨迹C 的方程为(x ＋4)2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得|PD ||PE |＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得|MO |＝2|MA |答案BC解析设P (x ，y )，则（x ＋2）2＋y 2（x －4）2＋y 2＝12，化简得(x ＋4)2＋y 2＝16，所以A 错误；假设在x轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得|PD ||PE |＝12，设D (m ，0)，E (n ，0)，则（x －n ）2＋y 2＝2（x －m ）2＋y 2，化简得3x 2＋3y 2－(8m －2n )x ＋4m 2－n 2＝0，由轨迹C 的方程为x 2＋y 2＋8x ＝0，可得8m －2n ＝－24，4m 2－n 2＝0，解得m ＝－6，n ＝－12或m ＝－2，n ＝4(舍去)，即在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使|PD ||PE |＝12，所以B 正确；当A ，B ，P 三点不共线时，由|OA ||OB |＝12＝|PA ||PB |，可得射线PO 是∠APB 的平分线，所以C 正确；假设在C 上存在点M ，使得|MO |＝2|MA |，可设M (x ，y )，则有x 2＋y 2＝2（x ＋2）2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋163x ＋163＝0，与x 2＋y 2＋8x ＝0联立，得x ＝2，不合题意，故不存在点M ，所以D 错误．故选BC.13．已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x －my －1＝0平行，则实数m 的值为________，动直线l 被圆C ：x 2＋y 2＋2x －24＝0截得弦长的最小值为________．答案－1223解析由题得m ×(－m )－(－1)×1＝0，所以m ＝±1.当m ＝1时，两直线重合，舍去，故m ＝－1.因为圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －24＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝25，所以圆心为C (－1，0)，半径为5.由于直线l ：mx －y －1＝0过定点P (0，－1)，所以过点P 且与PC 垂直的弦的弦长最短，且最短弦长为2×52－（2）2＝223.14．已知M (－2，0)，N (2，0)，点P (x ，y )为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P 的轨迹方程为________．答案y 2＝－8x 解析由题意，知MN →＝(4，0)，|MN →|＝4，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )．由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0，化简整理，得y 2＝－8x .15．已知直线l ：4x －3y ＋6＝0，抛物线C ：y 2＝4x 上一动点P 到直线l 与到y 轴距离之和的最小值为________，P 到直线l 距离的最小值为________．答案134解析设抛物线C ：y 2＝4x 上的点P 到直线4x －3y ＋6＝0的距离为d 1，到准线的距离为d 2，到y 轴的距离为d 3，由抛物线方程可得焦点坐标为F (1，0)，准线方程为x ＝－1，则d 3＝d 2－1，|PF |＝d 2，因此d 1＋d 3＝d 1＋d 2－1＝d 1＋|PF |－1，因为d 1＋|PF |的最小值是焦点F 到直线4x －3y ＋6＝0的距离，即|4＋6|42＋（－3）2＝2，所以d 1＋d 3＝d 1＋|PF |－1的最小值为2－1＝1；设平行于直线l 且与抛物线C ：y 2＝4x 相切的直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由x －3y ＋m ＝0，2＝4x ，得y 2－3y ＋m ＝0，因为直线4x －3y ＋m ＝0与抛物线C ：y 2＝4x 相切，所以Δ＝(－3)2－4m ＝0，解得m ＝94，因此该切线方程为4x －3y ＋94＝0，所以两平行线间的距离为6－9442＋（－3）2＝34，即P 到直线l 距离的最小值为34.16．已知直线l ：y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为(1)求此椭圆的离心率；(2)若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点在圆x 2＋y 2＝5上，求此椭圆的方程．解析(1)x ＋1，＋y 2b 2＝1，得(b 2＋a 2)x 2－2a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，∴Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)(a 2－a 2b 2)>0⇒a 2＋b 2>1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2a 2b 2＋a 2.∵线段AB ，∴2a 2b 2＋a 2＝43，得a 2＝2b 2.又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝2c 2，∴e ＝22.(2)设椭圆的右焦点为F (c ，0)，则点F 关于直线l ：y ＝－x ＋1的对称点为P (1，1－c )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝5上，∴1＋(1－c )2＝5，即c 2－2c －3＝0.∵c >0，∴c ＝3，又a 2＝2c 2且a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝32，b ＝3，∴椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.17.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE －BCF 和一个正四棱锥P －ABCD 组合而成的，AD ⊥AF ，AE ＝AD ＝2.(1)证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；(2)求正四棱锥P －ABCD 的高h ，使得二面角C －AF －P 的余弦值是223解析(1)证明：在直三棱柱ADE －BCF 中，AB ⊥平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以AB ⊥AD .又AD ⊥AF ，AB ∩AF ＝A ，AB ⊂平面ABFE ，AF ⊂平面ABFE ，所以AD ⊥平面ABFE .因为AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABFE .(2)由(1)知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点，AB ，AE ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A (0，0，0)，F (2，2，0)，C (2，0，2)，P (1，－h ，1)，AF →＝(2，2，0)，AC →＝(2，0，2)，AP →＝(1，－h ，1)．设平面AFC 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，·AF →＝2x 1＋2y 1＝0，·AC →＝2x 1＋2z 1＝0，取x 1＝1，则y 1＝z 1＝－1，所以m ＝(1，－1，－1)．设平面AFP 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，·AF →＝2x 2＋2y 2＝0，·AP →＝x 2－hy 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝－1－h ，所以n ＝(1，－1，－1－h )．因为二面角C －AF －P 的余弦值为223，所以|cos 〈m ·n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝|1＋1＋1＋h |3×2＋（h ＋1）2＝223，解得h ＝1或h ＝－35(舍)，所以正四棱锥P －ABCD 的高h ＝1.18.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.。
人教版高一数学必修1测试题(含答案)
人教版高一数学必修1测试题(含答案) 人教版数学必修I测试题一、选择题（共10题，每题5分，共50分）1、设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，B={2,5}，则A∩(CU B)=（）A、{2}B、{2,3}C、{3}D、{1,3}2、已知集合M={0,1,2}，N={xx=2a,a∈M}，则集合MN （）A、{}B、{0,1}C、{1,2}D、{0,2}3、函数y=1+log2x，(x≥4)的值域是（）A、[2,+∞)B、(3,+∞)C、[3,+∞)D、(-∞,+∞)4、在y=1/x2，y=2x，y=x2+x，y=3x5四个函数中，幂函数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个5、如果a>1,b<-1,那么函数f(x)=ax+b的图象在（）A第一、二、三象限 B第一、三、四象限C第二、三、四象限 D第一、二、四象限6、设集合M={x|x2-6x+5=0}，N={x|x2-5x=0}，则MN等于（）A.{}B.{5}C.{1,5}D.{-1,-5}7、若102x=25，10x则等于（）A、-15B、5C、11/50D、6258、函数y=ax+2(a且a≠1)图象一定过点()A（0,1）B（0,3）C（1,0）D（3,0）9、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟。
骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合是（）10、若f(2x)=x2，则f(3)=（）A、9B、49/4C、9/4D、3/2二、填空题（共4题，每题4分，共16分）11、函数y=x+1+1/(2-x)的定义域为(-∞,2)U(2,∞)。
12、f(x)=x2+1,x≤0；f(x)= -2x,x>0.若f(x)=10，则x=-2.13、函数f(x)=2+log5(x+3)在区间[-2，2]上的值域是[2,3]。
人教版高一数学必修一期末综合练习题(含答案)
人教版高一数学必修一期末综合练习题(含答案)人教版高一数学必修一期末综合练题（含答案）一、单选题1.已知实数a，b，c满足lga=10=b，则下列关系式中不可能成立的是（）A。
a>b>cB。
a>c>bC。
c>a>bD。
c>b>a2.已知函数f（x）=x（e^x+a），若函数f（x）是偶函数，记a=m，若函数f（x）为奇函数，记a=n，则m+2n的值为（）A。
0B。
1C。
2D。
-13.命题：“对于任意实数x，x^2+x>0” 的否定是( )A。
存在实数x，使得x^2+x≤0B。
对于任意实数x，x^2+x≤0C。
存在实数x，使得x^2+x＜0D。
对于任意实数x，x^2+x≥04.已知sin2α=-1/2，则cos(α+π/3)=（）A。
-1/3B。
-2/3C。
1/3D。
2/35.已知ω＞0，函数f(x)=cos(ωx+π/2)，则ω的取值范围是（）A。
(0,π/12]B。
(0,π/6]C。
(0,π/4]D。
(0,π/2]6.为了得到函数y=cos2x的图象，只需将函数y=sin(2x-π/2)的图象上所有点A。
向右平移π个单位B。
向左平移π个单位C。
向右平移π/2个单位D。
向左平移π/2个单位7.下列函数中，与函数y=x相同的是（）A。
y=1/xB。
y=x^2C。
y=√xD。
y=|x|8.若2sinx-cos(π/2+x)=1，则cos2x=（）A。
-8/9B。
-7/9C。
7/9D。
8/99.设A={x|x^2-4x+3≥0}，B={x|x^2-6x+5≤0}，则“A包含于B”是“B包含于A”的（）A。
充分必要条件B。
必要不充分条件C。
充分不必要条件D。
既不充分也不必要条件10.已知集合A={x|y=ln(x+1)}，集合B={x|x≤2}，则A∩B等于（）A。
(-1,2]B。
[0,2]C。
(0,∞)D。
(5,6]11.已知集合P={x|x-3≤2，x∈R}，Q={3,5,6}，则P∩Q=（）A。
人教版高中数学选择性必修第一册-第1章-空间向量与立体几何-章末检测卷(含答案)
第一章空间向量与立体几何章末检测卷（原卷版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝()A ．{0}B ．{1}C ．{1，2}D ．{0，1，2}2．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{x |3≤x ≤7，x ∈N }，则∁U A ＝()A ．{1，2}B ．{3，4，5，6，7}C ．{1，3，4，7}D ．{1，4，7}3．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合B 的子集的个数为()A ．3B ．4C ．7D ．84．若存在量词命题“∃x ∈R ，x 2－3x ＋5≤0”，则其否定是()A ．∃x ∈R ，x 2－3x ＋5≥0B ．∃x ∈R ，x 2－3x ＋5>0C ．∀x ∈R ，x 2－3x ＋5≥0D ．∀x ∈R ，x 2－3x ＋5>05．若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，则A ⊆B 的一个充分不必要条件是()A ．b ≥2B ．1<b ≤2C ．b ≤1D ．b <16．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，N ＝{x |ax ＝1}，若N ⊆M ，则实数a 的取值集合为()A ．{1}B ．{－1，1}C ．{1，0}D ．{1，－1，0}7．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．1或28．已知条件p ：4x －m <0，q ：1≤3－x ≤4，若p 是q 的一个必要不充分条件，则实数m 的取值范围为()A ．{m |m ≥8}B ．{m |m >8}C ．{m |m >－4}D ．{m |m ≥－4}二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列选项中的两个集合相等的是()A ．P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝2(n ＋1)，n ∈Z }B ．P ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，Q ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N *}C ．P ＝{x |x 2－x ＝0}，Q ＝{xx ＝1＋（－1）n 2，n ∈Z }D ．P ＝{y |y ＝x ＋1}，Q ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}10．对任意实数a ，b ，c ，下列命题是真命题的有()A ．“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件B ．“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件C ．“a <5”是“a <3”的必要条件D ．“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件11．已知集合A ＝{x |x 2＝x }，集合B 中有两个元素，且满足A ∪B ＝{0，1，2}，则集合B 可以是()A ．{0，1}B ．{0，2}C ．{0，3}D ．{1，2}12．我们把含有有限个元素的集合A 叫做有限集，用card(A )表示有限集合A 中元素的个数．例如，A ＝{x ，y ，z }，则card(A )＝3.若非空集合M ，N 满足card(M )＝card(N )，且M ⊆N ，则下列说法正确的是()A ．M ∪N ＝MB ．M ∩N ＝NC ．M ∪N ＝ND ．M ∩N ＝∅三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知集合A ＝{1，3，4，7}，B ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈A }，则集合A ∪B 中元素的个数为________．14．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是___________________________．15．已知集合A ＝{－2，3，4，6}，集合B ＝{3，a ，a 2}，若B ⊆A ，则实数a ＝________；若A ∩B ＝{3，4}，则实数a ＝________．(本题第一空2分，第二空3分)16．若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M 1，0，12，2，空子集中“伙伴关系集合”的个数是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合U ＝{x |1<x ≤7}，A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3≤x <7}．求(1)A ∩B ；(2)A ∪B ；(3)(∁U A )∩(∁U B )．18．(12分)已知集合P ＝{2，x ，y }，Q ＝{2x ，2，y 2}，且P ＝Q ，求x ，y 的值．19．(12分)写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0.20．(12分)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }．(1)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝{x |1<x <2}，求实数m 的值；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．21．(12分)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，集合B ＝{x |2m <x <1}．(1)若B ≠∅，且“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若B ∩(∁R A )中只有一个整数，求实数m 的取值范围．22．(12分)在①A ∩B ＝∅，②A ∩(∁R B )＝A ，③A ∩B ＝A 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合A ＝{x |a －1<x <2a ＋3}，B ＝{x |－7≤x ≤4}，若________，求实数a 的取值范围．1．已知集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，则满足B ∪A ＝A 的非空集合B 的个数为()A ．31B ．63C ．64D ．622．设集合A ＝{x |1<x ≤2}，B ＝{x |x <a }，若A ∪B ＝B ，则a 的取值范围是()A ．{a |a ≥1}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥2}D ．{a |a >2}3．已知M ＝{x |y ＝x 2－2}，N ＝{y |y ＝x 2－2}，则M ∩N 等于()A ．NB ．MC ．RD ．∅4．已知表示集合A ＝{x |x >－2}和B ＝{x |x <3}关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示的集合为()A ．{x |－2<x <3}B ．{x |x ≤－2}C ．{x |x ≥3}D ．{x |x <3}5．已知非空集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．6．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－bx ＋2＝0}，问是否存在实数a，b同时满足B A，A∩C＝C？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．第一章空间向量与立体几何章末检测卷（解析版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝()A ．{0}B ．{1}C ．{1，2}D ．{0，1，2}答案C解析由题意得A ＝{x |x ≥1}，B ＝{0，1，2}，所以A ∩B ＝{1，2}．故选C.2．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{x |3≤x ≤7，x ∈N }，则∁U A ＝()A ．{1，2}B ．{3，4，5，6，7}C ．{1，3，4，7}D ．{1，4，7}答案A解析由题意知A ＝{3，4，5，6，7}，所以∁U A ＝{1，2}．故选A.3．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合B 的子集的个数为()A ．3B ．4C ．7D ．8答案D解析由题意知，B ＝{0，1，2}，则集合B 的子集的个数为23＝8.故选D.4．若存在量词命题“∃x ∈R ，x 2－3x ＋5≤0”，则其否定是()A ．∃x ∈R ，x 2－3x ＋5≥0B ．∃x ∈R ，x 2－3x ＋5>0C ．∀x ∈R ，x 2－3x ＋5≥0D ．∀x ∈R ，x 2－3x ＋5>0答案D5．若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，则A ⊆B 的一个充分不必要条件是()A ．b ≥2B ．1<b ≤2C ．b ≤1D ．b <1答案D解析由A ⊆B 得b ≤1，结合选项知A ⊆B 的一个充分不必要条件为b <1.6．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，N ＝{x |ax ＝1}，若N ⊆M ，则实数a 的取值集合为()A ．{1}B ．{－1，1}C ．{1，0}D ．{1，－1，0}答案D解析由已知得M ＝{－1，1}，当a ＝0时，N ＝∅，满足N ⊆M ；当a ≠0时，由1a ＝－1得a ＝－1，满足条件；由1a＝1得a ＝1，满足条件．所以实数a 的取值集合为{－1，0，1}．故选D.7．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．1或2答案B解析当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1，2}，A ∩B ＝{1，2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅.故a 的值为2.故选B.8．已知条件p ：4x －m <0，q ：1≤3－x ≤4，若p 是q 的一个必要不充分条件，则实数m 的取值范围为()A ．{m |m ≥8}B ．{m |m >8}C ．{m |m >－4}D ．{m |m ≥－4}答案B解析由4x －m <0，得x <m 4，由1≤3－x ≤4，得－1≤x ≤2.∵p 是q 的一个必要不充分条件，∴m 4>2，即m >8.故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列选项中的两个集合相等的是()A ．P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝2(n ＋1)，n ∈Z }B ．P ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，Q ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N *}C ．P ＝{x |x 2－x ＝0}，Q ＝{xx ＝1＋（－1）n 2，n ∈Z }D ．P ＝{y |y ＝x ＋1}，Q ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}答案AC解析对于A ，P ，Q 都表示所有偶数组成的集合，所以P ＝Q ；对于B ，P 是由所有正奇数组成的集合，Q 是由所有大于1的正奇数组成的集合，所以P ≠Q ；对于C ，P ＝{0，1}，当n 为奇数时，x ＝1＋（－1）n 2＝0，当n 为偶数时，x ＝1＋（－1）n 2＝1，所以Q ＝{0，1}，P ＝Q ；对于D ，集合P 表示数集，而集合Q 表示点集，所以P ≠Q .故选AC.10．对任意实数a ，b ，c ，下列命题是真命题的有()A ．“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件B ．“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件C ．“a <5”是“a <3”的必要条件D ．“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件答案CD解析对于A ，因为a ＝b 时ac ＝bc 成立，ac ＝bc ，c ＝0时a ＝b 不一定成立，所以“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充分不必要条件，故A 错；对于B ，a ＝－1，b ＝－2时，a >b ，a 2<b 2，a ＝－2，b ＝1时，a 2>b 2，a <b ，所以“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件，故B 错；对于C ，因为“a <3”时一定有“a <5”成立，所以“a <5”是“a <3”的必要条件，故C 正确；对于D ，“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，故D 正确．故选CD.11．已知集合A ＝{x |x 2＝x }，集合B 中有两个元素，且满足A ∪B ＝{0，1，2}，则集合B 可以是()A ．{0，1}B ．{0，2}C ．{0，3}D ．{1，2}答案BD12．我们把含有有限个元素的集合A 叫做有限集，用card(A )表示有限集合A 中元素的个数．例如，A ＝{x ，y ，z }，则card(A )＝3.若非空集合M ，N 满足card(M )＝card(N )，且M ⊆N ，则下列说法正确的是()A ．M ∪N ＝MB ．M ∩N ＝NC ．M ∪N ＝ND ．M ∩N ＝∅答案ABC解析非空集合M ，N 满足card(M )＝card(N )，且M ⊆N ，即M ，N 元素个数相同，且M ⊆N ，∴M ＝N ，∴A 、B 、C 正确．又∵M ，N 是非空集合，∴M ∩N ≠∅，D 不对．故选ABC.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知集合A ＝{1，3，4，7}，B ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈A }，则集合A ∪B 中元素的个数为________．答案6解析由已知得，B ＝{3，7，9，15}，所以A ∪B ＝{1，3，4，7，9，15}，所以集合A ∪B 中元素的个数为6.14．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是___________________________．答案∀x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠015．已知集合A ＝{－2，3，4，6}，集合B ＝{3，a ，a 2}，若B ⊆A ，则实数a ＝________；若A ∩B ＝{3，4}，则实数a ＝________．(本题第一空2分，第二空3分)答案－22或4解析∵集合A ＝{－2，3，4，6}，集合B ＝{3，a ，a 2}，B ⊆A ，∴a ＝－2.∵A ∩B ＝{3，4}，∴a ＝4或a 2＝4，∴a ＝2或4(a ＝－2时不符合题意)．16．若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M1，0，12，2，空子集中“伙伴关系集合”的个数是________．答案3解析“伙伴关系集合”有3个：{－1}1，12，四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合U ＝{x |1<x ≤7}，A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3≤x <7}．求(1)A ∩B ；(2)A ∪B ；(3)(∁U A )∩(∁U B )．解析(1)A ∩B ＝{x |3≤x <5}．(2)A ∪B ＝{x |2≤x <7}．(3)∁U A ＝{x |1<x <2或5≤x ≤7}，∁U B ＝{x |1<x <3或x ＝7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{x |1<x <2或x ＝7}．18．(12分)P ＝{2，y }，Q ＝{2x ，2，y 2}，且P ＝Q ，求x，y 的值．解析∵P ＝Q＝2x ，＝y 2＝y 2，＝2x ，＝0，＝0或1＝0，＝0＝14，＝12.由元素的互异性可知x ≠y ，故x ＝0，y ＝1或x ＝14，y ＝12.19．(12分)写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0.解析(1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是綈p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”．注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实数根，因为綈p 是真命题，所以原命题是一个假命题．(2)这一命题的否定形式是綈p ：“对所有实数x ，都有x 2＋x ＋1>0”．利用配方法可以证得綈p 是一个真命题，所以原命题是一个假命题．20．(12分)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B＝{x |2m <x <1－m }．(1)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝{x |1<x <2}，求实数m 的值；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解析(1)由A ⊆B －m >2m，m ≤1，－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为{m |m ≤－2}．(2)m ≤1，－m ＝2≤12，＝－1，∴m ＝－1.(3)由A ∩B ＝∅，得当2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；当2m <1－m ，即m <13时，需<13，－m ≤1<13，m ≥3，得0≤m <13或m 无解，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为{m |m ≥0}．21．(12分)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，集合B ＝{x |2m <x <1}．(1)若B ≠∅，且“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若B ∩(∁R A )中只有一个整数，求实数m 的取值范围．解析(1)由题意知B ≠∅且B A ，∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴－1≤2m <1⇒－12≤m <12.(2)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x <－1或x >2}．①当m <12时，B ＝{x |2m <x <1}，若B ∩(∁R A )中只有一个整数，则－3≤2m <－2，得－32≤m <－1；②当m ≥12时，不符合题意．综上，m 的取值范围是－32≤m <－1.22．(12分)在①A ∩B ＝∅，②A ∩(∁R B )＝A ，③A ∩B ＝A 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合A ＝{x |a －1<x <2a ＋3}，B ＝{x |－7≤x ≤4}，若________，求实数a 的取值范围．解析若选择①A ∩B ＝∅，则当A ＝∅，即a －1≥2a ＋3，即a ≤－4时，满足题意；当a >－4>－4，a ＋3≤－7>－4，－1≥4，解得a ≥5.综上可知，实数a 的取值范围是{a |a ≤－4或a ≥5}．若选择②A ∩(∁R B )＝A ，则A 是∁R B 的子集，∁R B ＝{x |x ＜－7或x ＞4}，当a －1≥2a ＋3，即a ≤－4时，A ＝∅，满足题意；当a >－4>－4，a ＋3≤－7>－4，－1≥4，解得a ≥5.综上可得，实数a 的取值范围是{a |a ≤－4或a ≥5}．若选择③A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，当a －1≥2a ＋3，即a ≤－4时，A ＝∅，满足题意；当a >－4－1≥－7，a ＋3≤4，解得－4<a ≤12.综上可知，实数a 1．已知集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，则满足B ∪A ＝A 的非空集合B 的个数为()A ．31B ．63C ．64D ．62答案B解析∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∵A ＝{1，2，3，4，5，6}，∴满足A ∪B ＝A 的非空集合B 的个数为26－1＝63.2．设集合A ＝{x |1<x ≤2}，B ＝{x |x <a }，若A ∪B ＝B ，则a 的取值范围是()A ．{a |a ≥1}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥2}D ．{a |a >2}答案D解析由A ∪B ＝B 得A ⊆B ，又A ＝{x |1<x ≤2}，B ＝{x |x <a }，故a >2.3．已知M ＝{x |y ＝x 2－2}，N ＝{y |y ＝x 2－2}，则M ∩N 等于()A ．NB ．MC ．RD ．∅答案A解析M ＝{x |y ＝x 2－2}＝R ，N ＝{y |y ＝x 2－2}＝{y |y ≥－2}，故M ∩N ＝N .4．已知表示集合A ＝{x |x >－2}和B ＝{x |x <3}关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示的集合为()A ．{x |－2<x <3}B ．{x |x ≤－2}C ．{x |x ≥3}D ．{x |x <3}答案B解析∵A ＝{x |x >－2}，B ＝{x |x <3}，∴A ∪B ＝R .设U ＝R ，则∁U A ＝{x |x ≤－2}，∴题图中阴影部分所表示的集合为(∁U A )∩B ＝{x |x ≤－2}．5．已知非空集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析因为P 是非空集合，所以2a ＋1≥a ＋1，即a ≥0.(1)当a ＝3时，P ＝{x |4≤x ≤7}，∁R P ＝{x |x <4或x >7}，Q ＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}．(2)“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，即P Q ，＋1≥－2，a ＋1≤5，≥0，且a ＋1≥－2和2a ＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围为{a |0≤a ≤2}．6．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－bx ＋2＝0}，问是否存在实数a ，b 同时满足B A ，A ∩C ＝C ？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，请说明理由．解析∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}，B ＝{x |(x －1)[x －(a －1)]＝0}，又B A ，∴a －1＝1，即a ＝2.∵A ∩C ＝C ，∴C ⊆A ，则C 中的元素有以下三种情况：(1)若C ＝∅，即方程x 2－bx ＋2＝0无实根，∴Δ＝b 2－8<0，－22<b <22，符合题意．(2)若C ＝{1}或C ＝{2}，即方程x 2－bx ＋2＝0有两个相等的实根，∴Δ＝b 2－8＝0，b ＝±22，此时C ＝{2}或C ＝{－2}，不符合题意，舍去．(3)若C ＝{1，2}，则b ＝1＋2＝3，而两根之积恰好等于2，符合题意．故同时满足B A ，A ∩C ＝C 的实数a ，b 存在，a ＝2，－22<b <22或b ＝3.。
(完整版)高中数学人教A版高一年级第一学期期末(必修1+必修4)数学考试卷(WORD文档有答案)
实数 k 的取值范围； 3
（ 2）若函数 f (x) 的图象过点 P(1, ) ，是否存在正数 2
m( m
1) ，使函数
g ( x) log m[ a 2x a 2x mf ( x)] 在 [1,log 2 3] 上的最大值为 0？
若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由．
高一数学试题答案
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高一数学试题答案
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3.14) 。 (12) 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 f x ， 满 足 对 任 意 的 x R 有 f x 2
f x ， 且 当 x 2,3 时 ，
fx
2x 2 12x 18 ，若函数 y f (x) log a x 1 在 R 上至少有六个零点， 则 a 的取值范围是
3
，故选 A ．
3
（13） 2
1
（ 14）
2
（ 15） 5 , 4
5 （或 a ）
4
9
（ 16）
4
（13）【解析】函数 f x 的图象过点 2,4 ，可得 4 a 2 ，又 a 0 ，解得 a 2 ． （14）【解析】 cos18o cos42o cos72o sin 42o cos18o cos42o sin18o sin 42o cos60o 1 ．
D． 3
0，
) 的图象的一部分，
则该解析式为（
）
A ． y 2 sin(2x )
3
3
C． y
2 sin(y 2 sin( x ) 3 24
D． y
2 sin(2 x
2 )
3
3
y
2
7
35
【人教版】高中数学必修一期末试卷带答案
一、选择题1．对于函数()f x ﹐若集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有k 个元素，则称函数()f x 是“k 阶准偶函数”.若函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．[)0,2C ．[)0,4D ．[)2,42．具有性质：1()()f f x x=-的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数：①1ln 1x y x -=+；②2211x y x -=+；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->其中满足“倒负”变换的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①3．函数f(x)＝2log ,02,0x x x a x >⎧⎨-+≤⎩有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a<0B ．0<a<C ． <a<1D ．a≤0或a>14．函数2y 34x x =--+ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 5．已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．[]1,2D ．(]0,2 6．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（ ）A ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦7．已知2()25x f x +=-，()()20g x ax a =+>，若对任意的[]11,2x ∈-，存在[]00,1x ∈，使()()10g x f x =，则a 的取值范围是（ ）A ．1(0,]2B ．1[,3]2C ．[)3,+∞D ．(]0,38．已知函数()31,03,0x x x f x e x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则()()232f x f x ->的解集为（ ）A ．()(),31,-∞-⋃+∞B ．()3,1-C ．()(),13,-∞-+∞ D ．()1,3-9．若函数22,2()13,22x ax x f x a x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．115,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,215⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．41,152⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．152,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（ ）①1A ．4B ．3C ．2D ．111．已知函数()f x =M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则()R MC N =（ ）A ．{|1}<x xB ．{|1}x x ≥C ．φD ．{|11}x x -≤<12．已知集合{0,1,2,3,4},{|21,}A B x x n n A ===+∈，则A B 等于（ ）A ．{}1,3,5B ．{}3C ．{}5,7,9D ．{}1,3二、填空题13．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，当03x ≤≤时，()2f x x =-，当3x ≥时，()()2f x f x =-，则函数()()log 1a y f x x a =->的零点个数为8个，则实数a 的取值范围是______.14．已知函数1,0()ln ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，给出下列三个结论： ①当2a =-时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞；②若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③若1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-.恰有3个零点1x ，2x ，3x ，且1231x x x =-．其中，所有正确结论的序号是______．15．对于函数()f x 定义域中任意的1x 、()212x x x ≠，有如下结论： ①()()()1212f x x f x f x +=⋅；②()()()1212f x x f x f x ⋅=+；③()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦；④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭． 当()2xf x =时；上述结论正确的是__________．（写出所有正确的序号）16．有以下结论：①将函数xy e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象； ②函数()x f x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称③对于函数()xf x a =(a >0,且1a ≠)，一定有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭④函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方.其中正确结论的序号为_________.17．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i N ∈，定义()1,,0,i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集A ，B ，使得任意*i N ∈都满足()0i AB ϕ=且()1A B ⋃=；②任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意*i N ∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋃=+； ③设{}*2,A x x n n N==∈，{}*42,B x x n n N ==-=，对任意*i N∈，都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=其中正确结论的序号为______.18．函数f (x )是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式()cos f x x<0的解集为________．19．我们将b a -称为集合{|}M x a x b =≤≤的“长度”，若集合2{|}3M x m x m =≤≤+，{|0.5}N x n x n =-≤≤，且集合M 和集合N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，则集合M N ⋂的“长度”的最小值是________20．已知集合2{1,9,},{1,}A x B x ==，若A B A ⋃=，则x 的值为_________.三、解答题21．我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法.在动植物的体内都含有微量的放射性14C ，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 会自动衰变，经过5570年(叫做14C 的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若14C 的原始含量为a ，则经过t 年后的残余量a '(与a 之间满足·)kta a e -'=.现测得出土的古莲子中14C 残余量占原始量的87.9%，试推算古莲子是多少年前的遗物.(注：计算结果精确到个位数；20.693ln ≈，2log 0.8790.186≈-.)22．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年：当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年.（1）当020x <≤时，求v 关于x 的函数解析式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值. 23．化简与求值：（1）2ln 43(0.125)e -++；（2）若1122x x -+=1x x --的值.24．（1）若223a a -+=，求1a a --和33a a --的值；（2）计算33(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)+⋅+的值.25．已知函数()2()01axf x a x =≠+. （1）判断函数()f x 在()1,1-上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （2）若2a =，函数满足44()55f x -≤≤，求x 的取值范围. 26．已知集合{}2230A x x x =--≤，{}22210B x x mx m =-+-≤. （1）若332A B x x ⎧⎫⋃=-≤≤⎨⎬⎩⎭，求实数m 的值； （2）x A ∈是x B ∈的________条件，若实数m 的值存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.(请在①充分不必要，②必要不充分，③充要；中任选一个，补充到空白处)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据“2阶准偶函数”定义，分0a <，0a >，0a =三种情况分析即可得答案. 【详解】解：根据题意，函数21,()2,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素.当0a <时，函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩有一段部分为2,y x x a =>，注意的函数2yx 本身具有偶函数性质，故集合()(){}0,x x f x f x >=-中不止有两个元素，矛盾，当0a >时，根据“2阶准偶函数”的定义得()f x 的可能取值为2x 或12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx ，故当122xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，该方程无解，当22x x =，解得2x =或4x =，故要使得集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素，则需要满足2a <，即02a <<；当0a =时，函数21,0()2,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，()f x 的取值为2x ，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx ，根据题意得22x x =满足恰有两个元素，故0a =满足条件. 综上，实数a 的取值范围是[)0,2. 故选：B 【点睛】本题解题的关键是根据新定义的“2阶准偶函数”，将问题转化为研究函数()f x ，()f x -可能取何值，进而根据22x x =方程有两个解2x =或4x =求解.考查运算求解能力与综合分析能力，是中档题.2．C解析：C 【解析】①1ln 1x y x -=+；1111()ln ln ()111x x f f x x x x--==≠-++所以不符合题意；②2211x y x -=+；22221111()()111x x f f x x x x --===-++所以符合题意；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->当01x <<时11x >，故1()()f x f x x =-=-，当1,x =时11x =显然满足题意，当1x >时，101x <<，故11()()f f x x x==-符合题意，综合得选C 点睛：新定义倒负函数，根据题意逐一验证()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是否成立，在计算中要注意对数的公式得灵活变幻，对于分段函数要注意逐段去讨论3．A解析：A 【分析】函数y=f （x ）只有一个零点，分段函数在0x >时，2log y x = 存在一个零点为1，在0x ≤无零点，所以函数图象向上或向下平移，图像必须在x 轴上方或下方,解题中需要注意的是：题目要求找出充分不必要条件，解题中容易选成充要条件. 【详解】当0x >时，y=2log x ，x=1是函数的一个零点，则当0y 2xx a ≤=-+，无零点，由指数函数图像特征可知：a≤0或a>1 又题目求函数只有一个零点充分不必要条件，即求a≤0或a>1的一个真子集， 故选A 【点睛】本题考查函数零点个数问题，解决问题的关键是确定函数的单调性，利用单调性和特殊点的函数值的正负确定零点的个数；本题还应注意题目要求的是充分不必要条件，D 项是冲要条件，容易疏忽而出错.4．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C5．A解析：A【分析】根据条件判断()f x 的奇偶性和单调性，把不等式212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+转化为2log 1a ≤进行求解即可.【详解】当0x <时，0x ->，则2()2()f x x x f x -=-=， 当0x >时，0x -<，则2()2()-=+=f x x x f x ， ∴函数()f x 为偶函数，∴222122(log )(log )(log )(log )2(log )f a f a f a f a f a +=+-=.又当0x ≥时，函数()f x 单调递增，∴22(log )2(1)f a f ≤可转化为2((log 1))f a f ≤，则2log 1a ≤， ∴21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解. 【详解】由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，ln y t =在定义域内单调递增，234t x x =-++对称轴为32x =，开口向下， 所以 234t x x =-++在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减， 所以2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题7．A解析：A 【分析】根据指数函数的性质求出()f x 在[0,1]上的值域A ，利用一次函数的单调性求出()g x 在[1,2]-上的值域B ，由题得B A ⊆，再根据集合的包含关系即可求解.【详解】2()25x f x +=-，[]00,1x ∈，()()min 01f x f ∴==-，()()max 13f x f ==， ∴()f x 在[0,1]上的值域为[]1,3A =-，又()2(0)g x ax a =+>在[1,2]-上单调递增，∴()g x 在[1,2]-上的值域为[]2,22B a a =-++，由题意可得B A ⊆，021223a a a >⎧⎪∴-+≥-⎨⎪+≤⎩，解得102a <≤.故选：A 【点睛】本题考查函数的单调性求值域、集合的包含关系求参数的取值范围.探讨方程()()0f x g m -=解的存在性，通常可将方程转化为()()f x g m =，通过确认函数()f x 或()g m 的值域，从而确定参数或变量的范围8．B解析：B 【分析】先分析分段函数的单调性，然后根据单调性将关于函数值的不等式转化为关于自变量的不等式，从而求解出解集. 【详解】 因为313y x =在R 上单调递增，所以313y x =在(),0-∞上单调递增， 又因为xy e =在R 上单调递增，所以xy e =在[)0,+∞上单调递增，且0311003e =>=⋅，所以()f x 在R 上单调递增， 又因为()()232f x f x ->，所以232xx ->，解得()3,1x ∈-，故选：B. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解求解关于函数值的不等式的思路： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性；（2）根据单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式，从而求解出不等式的解集.9．D解析：D 【分析】若函数()f x 在R 上递减，则必须满足当(],2x ∈-∞时，函数22y x ax =-递减，且()2,x ∈+∞时132y a x=-也递减，且端点处的函数值必须满足条件． 【详解】 易知函数132y a x=-在(2,)+∞上单调递减，要使函数()f x 在R 上单调递减， 则函数22y x ax =-在(,2]-∞上单调递减，所以2a ≥， 当2x =时，2244x ax a -=-，113324a a x -=-，要使()f x 在R 上单调递减， 还必须14434a a -≥-，即154a ≤，所以1524a ≤≤.故选：D ． 【点睛】解答本题时，首先要保证原函数在每一段上都递减，另外，解答时容易忽略掉端点的函数值的大小关系.10．C解析：C 【分析】①②③都可以写成m a =+,a b 是否是有理数，④计算.【详解】①当1a +=+时，可得1,a b π==，这与,a b Q ∈矛盾，3==3a ∴+=，可得3,1a b == ，都是有理数，所以正确，2122==-，1a ∴+=，可得11,2a b ==-，都是有理数，所以正确，④2426=+=而(22222a a b +=++，,a b Q ∈，(2a ∴+是无理数，不是集合M 中的元素，只有②③是集合M 的元素. 故选：C 【点睛】本题考查元素与集合的关系，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.11．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法求得,M N ，再求得()R M C N .【详解】由210x ->解得11x -<<，由10x +>解得1x >-.所以{}|1R C N x x =≤-，故()R MC N ={|1}<x x ，故选A.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合补集和并集的运算，属于基础题.12．D解析：D 【分析】首先求得集合B ，然后进行交集运算即可. 【详解】由题意可得：{}1,3,5,7,9B =，则{}1,3A B =.故选D . 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【分析】由题意可得为偶函数由当时可得时的图像可将在的图像向右平移（为正整数）个单位在轴左边的图像与右边的图像关于轴对称作出的图像和函数的图像通过图像可得实数的取值范围【详解】定义在上的函数满足可得为 解析：()3,5【分析】由题意可得()f x 为偶函数，由当3x ≥时，()()2f x f x =-，可得3x ≥时的图像，可将()f x 在[]0,3的图像向右平移2k （k 为正整数）个单位，在y 轴左边的图像与右边的图像关于y 轴对称，作出()f x 的图像和函数()log1a y x a =>的图像，通过图像可得实数a 的取值范围. 【详解】定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-， 可得()f x 为偶函数， 图像关于y 轴对称，又当03x ≤≤时，()2f x x =-， 当3x ≥时，()()2f x f x =-，可得3x ≥时的图像，可将()f x 在[]0,3的图像向右平移2k （k 为正整数）个单位， 在y 轴左边的图像与右边的图像关于y 轴对称， 作出()f x 的图像和函数()log 1a y x a =>的图像， 当0x >时，只需()log 1a y x a =>与()y f x =有4个交点， 故log 31log 51a a<⎧⎨>⎩，解得35a <<，故实数a 的取值范围是()3,5. 故答案为：()3,5 【点睛】本题考查了函数的零点个数求参数的取值范围、考查了函数的奇偶性、周期性的应用，考查了数形结合的思想，属于中档题.14．②③【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设进而可得令验证后即可判断③；即可得解【详解】对于①当时由所以函数在区间不单调递减故①解析：②③ 【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设12301x x x <<<<，进而可得11b x a-=，2bx e -=，3b x e =，令111b x a-==-验证后即可判断③；即可得解. 【详解】对于①，当2a =-时，由201e -<<，22(0)1()ln 2f f e e --=<==，所以函数()f x 在区间(,1)-∞不单调递减，故①错误；对于②，函数1,0()ln ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩可转化为1,0()ln ,01ln ,1ax x f x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，画出函数的图象，如图：由题意可得若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞，故②正确；对于③，令()0y f x b =-=即()f x b =，结合函数图象不妨设12301x x x <<<<， 则1231ln ln ax x x b +=-==， 所以11b x a-=，2b x e -=，3bx e =，所以231b b x x e e -⋅=⋅=， 令111b x a-==-即1b a =-+， 当0a <时，11b a =-+>，()0y f x b =-=存在三个零点，且1231x x x =-，符合题意； 当01a <<时，011b a <=-+<，()0y f x b =-=存在三个零点，且1231x x x =-，符合题意； 故③正确. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了分段函数单调性、最值及函数零点的问题，考查了运算求解能力与数形结合思想，合理使用函数的图象是解题的关键，属于中档题.15．①④【分析】根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④【详解】对于①：因为所以故①正确；对于②：取所以所以不恒成立故②错误；对解析：①④ 【分析】根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④. 【详解】对于①：因为()()()12121212122,222x x x x x x f x x f x f x +++=⋅=⋅=，所以()()()1212f x x f x f x +=⋅，故①正确；对于②：取121,2x x ==，所以()()()()121224,246f x x f f x f x ⋅==+=+=，所以()()()1212f x x f x f x ⋅=+不恒成立，故②错误；对于③：因为()2xf x =是R 上的增函数，所以()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦，故③错误；对于④：因为()()121212122222,=222x x x x f x f x x x f ++++⎛⎫= ⎪⎝⎭，且121212*********22222222422220242x x x x x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅-⋅--==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，故④正确， 所以正确的有：①④， 故答案为：①④. 【点睛】结论点睛：可直接判断函数单调性的几种变形形式： （1）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->或()()12120f x f x x x ->- 成立，则()f x 为单调递增函数；（2）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x --<或()()12120f x f x x x -<- 成立，则()f x 为单调递增函数. 16．②③④【分析】①根据图象的平移规律直接判断选项；②根据指对函数的对称性直接判断；③根据指数函数的图象特点判断选项；④先求的范围再和0比较大小【详解】①根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象解析：②③④ 【分析】①根据图象的平移规律，直接判断选项；②根据指对函数的对称性，直接判断；③根据指数函数的图象特点，判断选项；④先求22x x -+的范围，再和0比较大小. 【详解】①根据平移规律可知xy e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象，所以①不正确；②根据两个函数的对称性可知函数()xf x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称，正确；③如下图，设1a >，122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭对应的是曲线上横坐标为122x x +的点C 的纵坐标，()()122f x f x +是线段AB 的中点D 的纵坐标，由图象可知()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，同理，当01a <<时，结论一样，故③正确；④2217721244x x x ⎛⎫-+=-+≥> ⎪⎝⎭ 根据函数的单调性可知()222log 2log 10x x -+>=，所以函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方，故④正确. 故答案为：②③④ 【点睛】思路点睛：1.图象平移规律是“左＋右－”，相对于自变量x 来说，2.本题不易判断的就是③，首先理解122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭和()()122f x f x +的意义，再结合图象判断正误. 17．①③【分析】根据题目中给的新定义对于或可逐一对命题进行判断举实例证明存在性命题是真命题举反例可证明全称命题是假命题【详解】∵对于定义∴对于①例如集合是正奇数集合是正偶数集合①正确；对于②例如：当时；解析：①③【分析】根据题目中给的新定义，对于()*,0i i N A ϕ∈=或1，可逐一对命题进行判断，举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题． 【详解】∵对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩， ∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*AB A B N ∴=∅=，()()01i i A B A B ϕϕ∴==;，①正确；对于②， 例如：{}{}{}1232341234A B AB ===,,,,,,,,,，当2i =时，()1i A B ϕ⋃=；()()1,1i i A B ϕϕ==；()()()i i i A B A B ϕϕϕ∴≠+； ②错误；对于③， {}*2,A x x n n N ==∈，{}*42,B x x n n N ==-=，明显地，,A B 均为偶数集，A B ∴≠∅，()1i AB ϕ=，若i 为偶数，则()i A B ∈，则i A ∈且i B ∈；()()1i i A B ϕϕ∴⋅=，则有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=；若i 为奇数，此时，()0i A B ϕ=，则i A ∉且i B ∉，()()0,0i i A B ϕϕ==，()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=∴也成立；③正确∴所有正确结论的序号是：①③； 故答案为：①③ 【点睛】关键点睛：解题关键在于对题目中新定义的理解和应用，结合特殊值法和反证法进行证明，难度属于中档题.18．【解析】在区间上不等式不成立在区间上要使不等式成立则所以所以在区间上不等式的解集为再由偶函数的对称性知在区间上不等式的解集为所以不等式的解集为点睛：本题考查偶函数的对称性及数形结合数学思想属于中档题 解析：(,1)(1,)22ππ--⋃【解析】在区间[]0,1 上，()0,cos 0f x x ≥>，不等式不成立，在区间[]1,4 上，()0f x ≤，要使不等式()0cos f x x <成立，则cos 0x >，所以(1,)2x π∈，所以在区间[]0,4上，不等式的解集为(1,)2π，再由偶函数的对称性知，在区间[)4,0-上，不等式的解集为(,1)2π--，所以不等式的解集为(,1)(1,)22ππ--⋃． 点睛：本题考查偶函数的对称性及数形结合数学思想，属于中档题．19．【分析】当集合的长度的最小值时与应分别在区间的左右两端由此能求出的长度的最小值【详解】由题的长度为的长度为当集合的长度的最小值时与应分别在区间的左右两端故的长度的最小值是故答案为:【点睛】本题考查交解析：16【分析】当集合M N ⋂的“长度”的最小值时,M 与N 应分别在区间[]0,1的左右两端,由此能求出M N ⋂的“长度”的最小值 【详解】由题,M 的“长度”为23,N 的“长度”为12, 当集合M N ⋂的“长度”的最小值时,M 与N 应分别在区间[]0,1的左右两端, 故M N ⋂的“长度”的最小值是2111326+-=, 故答案为:16【点睛】本题考查交集的“长度”的最小值的求法,考查新定义的合理运用20．或0【分析】由题意利用集合的包含关系和集合运算的互异性即可确定x 的值【详解】由可知B ⊆A 则或解得：或或当时满足题意；当时满足题意；当时满足题意；当时不满足集合元素的互异性舍去综上可得：x 的值为或0故解析：3,3-或0 【分析】由题意利用集合的包含关系和集合运算的互异性即可确定x 的值. 【详解】由A B A ⋃=可知B ⊆A ，则29x =或2x x =， 解得：3x =±或0x =或1x =，当3x =时，{}{}1,9,3,1,9A B ==，满足题意； 当3x =-时，{}{}1,9,3,1,9A B =-=，满足题意； 当0x =时，{}{}1,9,0,1,0A B ==，满足题意； 当1x =时，不满足集合元素的互异性，舍去. 综上可得：x 的值为3,3-或0. 故答案为：3,3-或0. 【点睛】本题主要考查并集的定义，集合中元素的互异性，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题21．古莲子约为1036年前的遗物 【分析】由14C 的半衰期，计算可得k ，再由两边取2为底的对数，计算可得所求值. 【详解】 由题意可得55701·2k a a e -=， 即557012k e -=， 解得25570ln k =， 由0.879?kt a a e -=， 即0.879kt e -=，两边取2为底的对数，可得2222log 0.879log ?·log 5570ln kt e t e =-=-， 5570t-=， 则55700.1861036t =⨯≈. 则古莲子约为1036年前的遗物. 【点睛】本题主要考查函数在实际问题中的运用以及指数与对数的运算，还考查了函数思想和运算能力，属于中档题.22．（1）()()2,04,15,420,82x x N v x x x N**⎧≤<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩；（2）当养殖密度x 为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大为252千克/立方米. 【分析】（1）由题意：当04x ≤<时，()2v x =．当420x ≤时，设()v x ax b =+，()v x ax b =+在[4，20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，能求出函数()v x ．（2）依题意并由（1），22,04,*()12,420,*85x x x N f x x x x x N ≤<∈⎧⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩，根据分段函数的性质求出各段的最大值，再取两者中较大的即可，由此能求出结果． 【详解】解：（1）由题意：当04x ≤<时，()2v x =．当420x ≤≤时，设()v x ax b =+，显然()v x ax b =+在[4，20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得18a =-，52b =， 故函数**2,04,()15.420,82x x N v x x x x N⎧≤<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩ （2）依题意并由（1）得22,04,*()12,420,*85x x x N f x x x x x N ≤<∈⎧⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩，当04x ≤<时，()f x 为增函数， 且()4428f =⨯=．当420x ≤≤时，22121()(10)12.5858f x x x x =-+=--+，()(10)12.5max f x f ==．所以，当020x ≤≤时，()f x 的最大值为12.5． 当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米． 【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型. (2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值． 23．（1）14；（2） 【分析】（1）利用幂的运算法则和对数的运算法则计算；（2）利用完全平方公式求得1x x -+，再求得22x x -+，然后可求得1x x --． 【详解】(1)原式=236342464⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭++=++＝14;-(2)由1122x x -+=1+25x x -+=，所以13x x -+=所以2222+29=7x x x x --+=+， 则1222()2=5x x x x ---=-+ 所以1=x x -- 【点睛】幂的运算法则从整数范围推广到有理数范围，实数范围后，乘法公式也随之推广过来，即公式222()2a b a ab b +=++，222()2a b a ab b -=-+，22()()a b a b a b +-=-中,a b 是是分数指数幂时，公式也适用，解题时要注意体会．24．（1）1,4±±；（2）1. 【分析】（1）利用完全平方公式和立方差公式计算． （2）由对数的运算法则计算． 【详解】（1）1222()2321a a a a ---=-+=-=，所以11a a --=±，33122()(1)1(31)4a a a a a a ----=-++=±⨯+=±；（2）lg 2lg5lg(25)1+=⨯=．3322(lg 2)3lg 2lg5(lg5)(lg 2lg5)(lg 2lg 2lg5lg 5)3lg 2lg5+⋅+=+-++ 2222lg 2lg 2lg5lg 53lg 2lg5lg 22lg 2lg5lg 5=-++=++2(lg 2lg 5)1=+=．【点睛】本题考查幂的运算法则和对数的运算法则，掌握幂与对数运算法则是解题基础． 25．（1）答案见解析；（2）(][)11,2,2,22⎡⎤-∞--+∞⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先设﹣1＜x 1＜x 2＜1，然后利用作差法比较f （x 2）与f （x 1）的大小即可判断函数的单调性，（2）把a ＝2代入后，然后把分式不等式转化为二次不等式组求解即可． 【详解】（1）当0a >时，函数()f x 在()1,1-上是增函数；当0a <时，()f x 在()1,1-上是减函数. 理由如下：当0a >时，任取1211x x -<<<，21212221()()11ax ax f x f x x x -=-++ 21122221()(1)(1)(1)a x x x x x x --=++. 因为111x -<<，211x -<<，∴1211x x -<<，1210x x ->，2212(1)(1)0x x ++>，210x x ->，所以21122212()(1)0(1)(1)x x x x x x -->++， 当0a >时，得21()()f x f x >，故函数()f x 在()1,1-上是增函数；同理可证，当0a <时，21()()f x f x <，所以函数()f x 在()1,1-上是减函数，得证. （2）2a =时，得22()1xf x x =+，∴44()55f x -≤≤，即2424515x x -≤≤+，∴222520112,,2222520x x x x x x x ⎧++≥⇒≤--≤≤≥⎨-+≥⎩. 由此可得，x 的取值范围是(][)11,2,2,22⎡⎤-∞--+∞⎢⎥⎣⎦.【点睛】过程点睛：用定义证明单调性时，第一步，任取12,x x 并规定大小；第二步，将函数值作差并化简；第三步，判断每个因式符号进而得到函数值大小；第四步，下结论. 26．（1）12-；（2）答案见解析. 【分析】(1)首先求出集合A 、B ，再根据并集的结果得到方程，解得即可； （2）若选①，则A B ，若选②，BA ，若选③，AB =，得到不等式组，解得即可； 【详解】解:（1）对()()2:23013013A x x x x x --≤⇒+-≤⇒-≤≤即{}13A x x =-≤≤对()()22:210110B x mx m x m x m -+-≤⇔--⋅-+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦11m x m ⇒-≤≤+，即{}11B x m x m =-≤≤+ 332A B x x ⎧⎫⋃=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则312m -=-，即12m =-经检验满足题意.（2）选①，1131m AB m -≤-⎧⇒⎨≤+⎩，此时m 必无解.即不存在实数m ，使得题意成立选②，110213m BA m m -≤-⎧⇒⇒≤≤⎨+≤⎩选③，1113m A B m -=-⎧=⇒⇒⎨+=⎩此时m 无解，即不存在实数m ，使得题意成立； 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，并集的结果求参数的值，以及集合的包含关系求参数的取值范围，属于中档题.。
人教版高中数学必修一综合测试题及答案
人教版高中数学必修一测试题一一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共60分)1.已知A ={x |y =x ,x ∈R },B ={y |y =x 2,x ∈R },则A ∩B 等于 （ ）A.{x |x ∈R }B.{y |y ≥0}C.{(0,0),(1,1)}D.∅2. 函数2x y -=的单调递增区间为 （ ）A ．]0,(-∞B ．),0[+∞C ．),0(+∞D ．),(+∞-∞ 3. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 （ ）A.f (x )=3-xB.f (x )=x 2-3xC.f (x )=-11+xD.f (x )=-|x |4.函数f (x )=x 2+2(a －1)x +2在区间(-∞,4］上递减,则a 的取值范围是 （ ）A.［-3,+∞］B.(-∞,-3)C.(-∞,5］D.［3,+∞)5..当10<<a 时,在同一坐标系中,函数x y a y a xlog ==-与的图象是 （ ）.A B C D 6. 函数y =1-x +1(x ≥1)的反函数是 （ ）A.y =x 2-2x +2(x ＜1)B.y =x 2-2x +2(x ≥1)C.y =x 2-2x (x ＜1)D.y =x 2-2x (x ≥1)7. 已知函数f (x )=12++mx mx 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是 （ ）A.0<m ≤4B.0≤m ≤1C.m ≥4D.0≤m ≤48.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折 优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是 （ ）A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元9. 二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y =(ab )x的图象只可能是 （ ）D10. 已知函数f (n )=⎩⎨⎧<+≥-),10)](5([),10(3n n f f n n 其中n ∈N ，则f (8)等于 （ ）A.2B.4C.6D.711、如图，设a,b,c,d>0，且不等于1，y=ax , y=bx , y=cx ,y=dx 在同一坐标系中的图象如图， 则a,b,c,d 的大小顺序（ ） A 、a<b<c<d B 、a<b<d<cC 、b<a<d<cD 、b<a<c<d12.已知0<a<1,b<-1,函数f(x)=a x +b 的图象不经过: （ ）A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知f (x )=x 2－1(x <0)，则f －1(3)=_______. 14． 函数)23(log 32-=x y 的定义域为______________15.某工厂8年来某产品产量y 与时间t 年的函数关系如下图，则：①前3年总产量增长速度增长速度越来越快； ②前3年中总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产； ④第3年后，这种产品年产量保持不变. 以上说法中正确的是_______.16. 函数y =⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<+≤+1)( 5-1),(030),(32x x x x x x 的最大值是_______.三、解答题。
2020秋新人教版高中数学必修一综合测试卷期末考试卷
综合质量评估(时间:120分钟分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B= ()A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)解析:A∪B={x|-1<x<2}∪{x|x>1}={x|x>-1},故选C.答案:C2.若幂函数f(x)=x m在区间(0,+∞)上单调递减,则实数m的值可能为()A.1B.12C.-1D.2解析:因为幂函数f(x)=x m在区间(0,+∞)上单调递减,所以m<0,由选项可知实数m的值可能为-1.故选C.答案:C3.若x=20.2,y=lg 25,z=(25)75,则下列结论正确的是()A.x<y<zB.y<z<xC.z<y<xD.z<x<y解析:因为x=20.2>20=1,y=lg 25<lg 1=0,0<z=(25)75<(25)=1,所以y<z<x.故选B.答案:B4.若函数f(x)=4sin(ωx+φ)(ω>0)在同一周期内,当x=π6时取最大值,当x=-π3时取最小值,则φ的值可能为()A.π12B.π6C.π3D.7π6解析:f (x )=4sin(ωx +φ)(ω>0), 由题意可知T 2=π6+π3=π2,即T =π.所以T =2πω=π,解得ω=2.则f (π6)=4sin(2×π6+φ)=4,所以φ=π6+2k π(k ∈Z).当k =0时,φ=π6,此时,f (-π3)=-4满足题意,由此可知φ的一个可能值为π6,故选B .答案:B5.(浙江高考)若a >0,b >0,则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析:因为a >0,b >0,a +b ≤4,所以ab ≤(a+b 2)2≤(42)2=4;反之,若ab ≤4,不妨设a =8,b =12,则a +b =8+12>4,故由“ab ≤4”不能推出“a +b ≤4”,故选A .答案:A6.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图象可能是 ( )A B C D解析:在汽车经过启动后的加速行驶阶段,路程随时间上升的速度越来越快,故图象的前边部分为凹升的形状;在汽车的匀速行驶阶段,路程随时间上升的速度保持不变,故图象的中间部分为线段;在汽车减速行驶之后停车阶段,路程随时间上升的速度越来越慢,故图象的后边部分为凸升的形状.分析四个选项中的图象,只有A 选项满足要求,故选A .答案:A7.(全国卷Ⅰ)tan 255°= ( ) A .-2-√3B .-2+√3C.2-√3D.2+√3解析:tan 255°=tan(180°+75°) =tan 75°=tan(45°+30°) =tan45°+tan30°1-tan45°tan30°=1+√331-1×√33=2+√3.答案:D8.若函数f (x )=|x |·1-2x2x +1,x ∈[-2 020,2 020]的值域是[m ,n ],则f (m +n )= ( )A.22 020 B .2 0202-12 020C.2D.0 解析:f (-x )=|-x |·1-2-x2-x +1=|x |·2x -11+2x=-|x |·1-2x2x +1=-f (x ),即函数f (x )是奇函数,其图象关于原点对称.因为函数f (x )在区间[-2 020,2 020]上的值域是[m ,n ],且区间[-2 020,2 020]关于原点对称,所以m +n =0,则f (m +n )=f (0)=0,故选D .答案:D二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 ()A.y=xB.y=x2C.y=1x D.y=(12)x解析:根据题意,依次分析选项:对于选项A,y=x,是正比例函数,在区间(0,+∞)上单调递增,符合题意; 对于选项B,y=x2,是二次函数,在区间(0,+∞)上单调递增,符合题意;对于选项C,y=1x,是反比例函数,在区间(0,+∞)上单调递减,不符合题意;对于选项D,y=(12)x,是指数函数,在区间(0,+∞)上单调递减,不符合题意.故选AB.答案:AB10.已知a,b,c,d是实数,则下列一定正确的有 ()A.a2+b2≥(a+b)22 B.a+1a≥2C.若1a >1b,则a<bD.若a<b<0,c<d<0,则ac>bd解析:由于2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以a2+b2≥12(a+b)2,故A选项正确;B选项中,当a=-1时,显然不成立,故B项错误;C选项中,当a=1,b=-1时,显然有1a >1b ,但a>b,故C项错误;D选项中,若a<b<0,c<d<0,则-a>-b>0,-c>-d>0,则根据不等式的性质可知ac>bd>0,故D项正确.故选AD.答案:AD11.(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知a>0,b>0,且a+b=1, 则()A.a2+b2≥12B.2a-b>12C.log2a+log2b≥-2D.√a+√b≤√2答案:ABD12.若函数f(x)是偶函数,且f(5-x)=f(5+x),若g(x)=f(x)sin πx,h(x)=f(x)cos πx,则下列说法正确的是()A.函数y=h(x)的最小正周期是10B.对任意的x∈R,都有g(x+5)=g(x-5)C.函数y=h(x)的图象关于直线x=5对称D.函数y=g(x)的图象关于点(5,0)中心对称解析:由于f(x)是偶函数,且f(5-x)=f(5+x),所以函数f(x)是周期为10的周期函数,不妨设f(x)=cos π5x.对于A选项,由于h(x+5)=cos(π5x+π)cos(πx+5π)=cos π5x cos πx=h(x),所以函数h(x)的最小正周期为5,故A选项说法错误;对于B选项,函数g(x)=cos π5x sin πx,由于10是cosπ5x,sin πx的周期,故10是g(x)的周期,故g(x+5)=g(x-5),故B选项说法正确;对于C选项,由于h(5-x)=cos(π-π5x)cos(5π-πx)=cos π5x cos πx=h(x),结合前面分析可知h(5+x)=h(5-x),故C选项说法正确; 对于D选项,g(5+x)=cos(π5x+π)sin(πx+5π)=cos π5x sin πx,g(5-x)=cos(π-π5x)sin(5π-πx)=-cos π5x sin πx=-g(5+x),故函数g (x )关于(5,0)对称,D 选项说法正确. 答案:BCD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上) 13.(本题第一空2分,第二空3分)若二次函数f (x )=x 2+mx -3的两个零点为1和n ,则n =-3;若f (a )≤f (3),则a 的取值范围是[-5,3].解析:依题意可知f (1)=0,即1+m -3=0,所以m =2,所以f (x )=x 2+2x -3=(x -1)(x +3),所以f (x )的另一个零点为-3,即n =-3.由f (a )≤f (3),得a 2+2a -3≤12,即a 2+2a -15=(a +5)·(a -3)≤0,解得-5≤a ≤3.14.(全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数,且当x <0时,f (x )=-e ax .若f (ln 2)=8,则a =-3. 解析:因为ln 2>0,所以f (ln 2)=-f (-ln 2)= e -a ln 2=(e ln 2)-a =2-a =8,所以a =-3.15.(全国卷Ⅰ)函数f (x )=sin(2x +3π2)-3cos x 的最小值为-4.解析:f (x )=sin(2x +3π2)-3cos x =-cos 2x -3cos x =-2cos 2x -3cos x +1=-2(cos x +34)2+178,因为-1≤cos x ≤1,所以-4≤f (x )≤178,即最小值为-4.16.已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,若实数a 满足f (2|a -1|)>f (-√2),则a 的取值范围是(12,32).解析:因为f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,所以f (x )在区间[0,+∞)上单调递减,则由f (2|a -1|)>f (-√2),得f (2|a -1|)>f (√2),即2|a -1|<√2,则|a -1|<12,即12<a <32.四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)在①{x |a -1≤x ≤a },②{x |a ≤x ≤a +2},③{x |√a ≤x ≤√a +3}这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中.若问题中的a 存在,求a 的值;若a 不存在,请说明理由.已知集合A = ,B ={x |x 2-4x +3≤0}.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解:由题意,知A 不为空集,B ={x |x 2-4x +3≤0}={x |1≤x ≤3}.因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件,所以A ⫋B.当选条件①时,{a -1≥1,a <3或{a -1>1,a ≤3,解得2≤a ≤3.所以实数a 的取值范围是[2,3]. 当选条件②时,{a ≥1,a +2<3或{a >1,a +2≤3,不等式组无解,所以不存在a 的值满足题意. 当选条件③时,{√a ≥1,√a +3<3或{√a >1,√a +3≤3,不等式组无解,所以不存在a 的值满足题意.18.(12分)已知a ∈R,若关于x 的不等式(1-a )x 2-4x +6>0的解集是(-3,1). (1)解不等式2x 2+(2-a )x -a >0;(2)若ax 2+bx +3≥0的解集为R,求实数b 的取值范围. 解:(1)由题意,知1-a <0,且-3和1是关于x 的方程 (1-a )x 2-4x +6=0的两个根,则{1-a <0,41-a =-2,61-a =-3,解得a =3,则2x 2+(2-a )x -a >0即2x 2-x -3>0, 解得x <-1或x >32.故不等式2x 2+(2-a )x -a >0的解集为(-∞,-1)∪(32,+∞).(2)ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0,若此不等式的解集为R,则b2-4×3×3≤0,解得-6≤b≤6.故实数b的取值范围为[-6,6].19.(12分)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)[ω>0,A>0,φ∈(0,π2)]的部分图象如图所示,其中点P是图象的一个最高点.(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知α∈(π2,π),且sin α=513,求f(α2).解:(1)由图象,知函数的最大值为2,则A=2.由题图可得周期T=4[π12-(-π6)]=π,由2πω=π,得ω=2.又由题意,知2×π12+φ=2kπ+π2,k∈Z,及φ∈(0,π2),所以φ=π3.所以f(x)=2sin(2x+π3).(2)由α∈(π2,π),且sin α=513,得cos α=-√1-sin2α=-1213,所以f(α2)=2sin(2·α2+π3)=2(sin αcos π3+cos αsin π3)=5-12√313.20.(12分)已知函数f(x)=(x+1)(x-t)x2为偶函数.(1)求实数t的值.(2)是否存在实数b >a >0,使得当x ∈[a ,b ]时,函数f (x )的值域为[2-2a,2-2b]?若存在,请求出实数a ,b 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)因为函数f (x )=(x+1)(x -t )x 2为偶函数,所以f (-x )=f (x ), 所以(-x+1)(-x -t )x 2=(x+1)(x -t )x 2,所以t =1. (2)由(1)知f (x )=(x+1)(x -1)x 2=1-1x 2,所以f (x )在区间[a ,b ]上是增函数. 若x ∈[a ,b ]时,f (x )的值域为[2-2a,2-2b ],则{f (a )=1-1a 2=2-2a,f (b )=1-1b2=2-2b,解得a =b =1.又因为b >a ,所以不存在满足要求的实数a ,b. 21.(12分)(浙江高考)设函数f (x )=sin x ,x ∈R . (1)已知θ∈[0,2π),函数f (x +θ)是偶函数,求θ的值; (2)求函数y =[f (x +π12)]2+[f (x +π4)]2的值域.解:(1)因为f (x +θ)=sin(x +θ)是偶函数,所以对任意实数x 都有sin(x +θ)=sin(-x +θ),即sin x cos θ+cos x sin θ=-sin x cos θ+cos x sin θ, 故2sin x cos θ=0,所以cos θ=0. 又因为θ∈[0,2π),所以θ=π2或3π2.(2)y =[f (x +π12)]2+[f (x +π4)]2=sin 2(x +π12)+sin 2(x +π4)=1-cos(2x+π6)2+1-cos(2x+π2)2=1-12(√32cos 2x -32sin 2x )=1-√32cos(2x +π3).因此,函数的值域是[1-√32,1+√32].22.(12分)生态文明建设关系人民福祉,关乎民族未来.某市通宵营业的大型商场为响应节能减排的号召,在气温超过28 ℃时才开启中央空调降温,否则关闭中央空调.该市夏季一天的气温y (单位:℃)随时间t (0≤t ≤24,单位:h)的大致变化曲线如图所示,若该曲线近似满足函数y =A sin(ωt +φ)+b (A >0,ω>0,|φ|<π).(1)求函数y =f (t )的解析式.(2)请根据(1)中的结论,判断该商场的中央空调应在本天内何时开启?何时关闭?解:(1)由题图,知T =2×(14-2)=24, 所以2πω=24,得ω=π12.由题图,知b =16+322=24,A =32-162=8,所以f (t )=8sin(π12t +φ)+24.将点(2,16)代入函数解析式,得 8sin(π12×2+φ)+24=16,得π6+φ=2k π-π2(k ∈Z),即φ=2k π-23π(k ∈Z).又因为|φ|<π,所以φ=-23π.所以f (t )=8sin(π12t -23π)+24(0≤t ≤24).(2)依题意,令8sin(π12t -23π)+24>28,得sin(π12t-23π)>12,所以2kπ+π6<π12t-23π<2kπ+56π(k∈Z).解得24k+10<t<24k+18(k∈Z),令k=0,得10<t<18,故中央空调应在本天10时开启,18时关闭.。
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新版人教版高中数学必修一期末综合测试
题含答案
1.与函数y=x为同一函数的是（）。
A。
y=xlogx
B。
y=1/x
C。
y=logax (a>0.a≠1)
D。
y=logx (x>0.x≠1)
2.2017年12月15日，XXX举行了第39届教育研讨会。
在听课环节中，第一节课进入学报二厅听课的人数为a，第二节课进入学报二厅听课的人数增加了10%，第三节课进入学报二厅听课的人数又比第二节减少了10%。
设第三节课进入学报二厅听课的人数为b，则（）。
A。
a=b
B。
a<b
C。
a>b
D。
无法比较大小
3.已知函数f(x)是奇函数，g(x)为偶函数，若f(x)+g(x)=ex，则f(1)等于（）。
A。
e/2
B。
e/3
C。
e/4
D。
e/6
多选题：
11.已知函数f(x)=cos2x cosθ-sin2x sinθ，其中＜θ＜π/2，
图象的一个对称中心为(π/6.)，则下列说法正确的是（）。
A。
函数f(x)的最小正周期为π/2
B。
函数f(x)的最小正周期为π
C。
函数f(x)在区间[0.π/2]上是增函数
D。
函数f(x)在区间[π/6.5π/6]上是减函数
1.设函数f(x)的定义域为D，若存在[a,b]⊆D，使f(x)在[a,b]上的值域为[a^2,b^2]，则称f(x)为“倍缩函数”。
若函数
f(x)=ln(x)+t为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（-∞,ln2-1]。
2.函数f(x)在[0,π/6]上单调递减。
3.命题“对于任意x>1，x^2+1≥2x”的否定为“存在x>1，使
得x^2+1<2x”。
4.给出四个命题：①映射就是一个函数；②f(x)=log2(x-
3)+2-x是函数；③函数y=f(x)的图像与y轴最多有一个交点；
④f(x)=-x^3与g(x)=x-x表示同一个函数。
其中正确的有2个。
5.下列不等式的证明过程正确的是：若a,b∈R，则
a+b/ab≥2，且a/4-2a/b≤-4.
6.已知函数f(x)=log2(x)，且f(a)=2，则a=4.
7.XXX真包含于A，则实数a的取值范围是(2,3)。
8.函数f(x)=x-6x^2+8在区间(2/3,2)上单调递减。
9.求集合AB，已知集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，且
A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,4}，则AB={2,3}。
10.函数y=2sinx+|sinx|在[0,2π]内的图像如下：（插入图片）
20.已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的周期为
$2$ 的奇函数，当 $|x|<1$ 时，$f(x)=\frac{1}{x}$，求 $f(-
\frac{5}{2})+f(0)$。
解答：由于 $f(x)$ 是周期为 $2$ 的奇函数，所以 $f(-
\frac{5}{2})=f(\frac{3}{2})$，又因为 $\frac{1}{x}$ 在
$|x|<1$ 时成立，所以 $f(\frac{3}{2})=-2$。
又因为 $f(x)$ 是奇
函数，所以 $f(0)=0$。
因此，$f(-\frac{5}{2})+f(0)=-2+0=-2$。
21.在 $\triangle ABC$ 中，三内角 $A$、$B$、$C$ 所对的边分别为 $a$、$b$、$c$，且 $(b+c)^2=a^2+3bc$。
1）求角 $A$ 的大小；
2）求 $\sin B+\sin C$ 的取值范围。
解答：（1）根据余弦定理，有$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，代入 $(b+c)^2=a^2+3bc$ 可得 $b^2+2bc\cos A+c^2=0$。
因为$\triangle ABC$ 是一个三角形，所以 $b,c>0$，所以上式的左
边为非负数，因此必有 $b=c$ 和 $\cos A=-\frac{1}{2}$。
由于$A$ 是一个锐角，所以 $A=120^\circ$。
2）根据正弦定理，有 $\sin B+\sin
C=2\sin\frac{B+C}{2}\cos\frac{B-
C}{2}=2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B-C}{2}$。
由于
$A=120^\circ$，所以 $\cos\frac{A}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
又因为 $|\cos\frac{B-C}{2}|\leq 1$，所以 $\sin B+\sin C$ 的取
值范围为 $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$。
22.设全集 $U=\mathbb{R}$，$A=\{x|x^2+px+12=0\}$，
$B=\{x|x^2-5x+q=0\}$，若 $A\cup B=\{1,2,3\}$，求 $p$ 和 $q$。
解答：由于 $A\cup B=\{1,2,3\}$，所以 $1,2,3$ 必须是
$A$ 和 $B$ 的根。
因为 $A$ 的两个根的和为 $-p$，积为 $12$，所以 $A$ 的两个根为 $-3$ 和 $-4$。
因为 $B$ 的两个根的和为$5$，积为 $q$，所以 $B$ 的两个根为 $1$ 和 $4$。
因此，
$p=-(-3-4)=7$，$q=1\times 4=4$。