高三数学一轮复习精品学案3：§9.6 双曲线

§9.6 双曲线
考纲展示
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
2.了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．
3.理解数形结合的思想． 考点1 双曲线的定义 第1步 回顾基础 一、自读自填 双曲线的定义
平面内与两个定点F 1，F 2的________等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做________，两焦点间的距离叫做________．
集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当________时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当________时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当________时，P 点不存在． 二、连接教材
(1)已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．双曲线上一点P 到F 1，F 2距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为________．
(2)双曲线的方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为________． 三、易错问题
双曲线的定义：关注定义中的条件．
(1)动点P 到两定点A (0，－2)，B (0,2)的距离之差的绝对值等于4，则动点P 的轨迹是________． (2)动点P 到点A (－4,0)的距离比到点B (4,0)的距离多6，则动点P 的轨迹是________． 第2步 自主练透
典题1 (1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．
(2)已知F 是双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的
最小值为________．
点石成金 双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系． 考点2 双曲线的标准方程与性质
第1步 回顾基础 一、自读自填
双曲线的标准方程和几何性质
x ≤－a 或 y ≤－a 或 (1)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 2
9＝1的( )
A ．焦距相等
B ．实半轴长相等
C ．虚半轴长相等
D ．离心率相等
(2)设双曲线x 2a 2－y 2
9＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为________．
三、易错问题
双曲线的标准方程：关注实轴的位置．
双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，虚轴长为23，则双曲线方程为________．
四、通性通法
求双曲线的标准方程：待定系数法．
对称轴为坐标轴，经过点P (3,2)，Q (－6,7)的双曲线是________． 第2步 多角探明
考情聚焦 双曲线的标准方程和几何性质是每年高考命题的热点，尤其是渐近线与离心率问题，考查的力度比较大． 主要有以下几个命题角度： 角度一
求双曲线的标准方程
典题2 (1)过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线
相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 2
12＝1 B.x 27－y 2
9＝1 C.x 28－y 2
8
＝1 D.x 212－y 2
4
＝1 (2)设双曲线与椭圆x 227＋y 2
36＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，
则此双曲线的标准方程是________． 点石成金 求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程，并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝
λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值． 角度二
已知离心率求渐近线方程
典题3 若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )
A.y ＝±2x
B.y ＝±2x
C.y ＝±12x
D.y ＝±
22
x 角度三
已知渐近线求离心率
典题4 已知双曲线的一条渐近线方程为2x －y ＝0，则该双曲线的离心率为________． 角度四
由离心率或渐近线方程求双曲线方程
典题5 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A.x 2
－y 2
4
＝1
B.x 24－y 2
＝1 C.y 24－x 2
＝1 D.y 2
－x 2
4
＝1
角度五
利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围
典题6 已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A.(1，5)
B.(1， 5 』
C.(5，＋∞)
D.『5，＋∞)
点石成金 解决有关渐近线与离心率关系问题的两个注意点
(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝b a 或|m |＝a
b 讨论．
(2)注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用．
考点3 直线与双曲线的位置关系
第1步 师生共研
典题7 若双曲线E ：x 2a 2－y 2
＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交
于A ，B 两点． (1)求k 的取值范围；
(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC ＝m (OA ＋OB )，求k ，m 的值．
点石成金 研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定. 第2步 跟踪训练
已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，求双曲线E 的方程．
第3步 课堂归纳 方法技巧
1.双曲线标准方程的求法
(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2
n ＝1(mn >0)，这样
可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，这种形式在解题时更简便； (2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；
(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2
b 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定
λ的值．
2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程．
3.双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
4.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2
a
.
5.过双曲线焦点F 1的弦AB 与双曲线交在同支上，则AB 与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |.
易错防范
1.在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线还是双曲线的某一支．
2.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是
y ＝±a b
x .
3.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．
4.要牢记在双曲线中c 2＝a 2＋b 2，离心率e >1这两点是不同于椭圆的．
——★ 参 考 答 案 ★——
考点1 双曲线的定义 第1步 回顾基础 一、自读自填
『答案』距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 (1)a <c (2)a ＝c (3)a >c
二、连接教材 (1)『答案』x 29－y 2
16
＝1
『解析』由已知可知，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3，∴b ＝4， 故所求方程为x 29－y 2
16＝1.
(2)『答案』⎝⎛
⎭
⎫
62，0
『解析』将双曲线方程化为标准方程为
x 2－
y 212
＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32， ∴c ＝
62，故右焦点坐标为⎝⎛⎭
⎫6
2，0. 三、易错问题 (1)『答案』两条射线
『解析』因为||P A |－|PB ||＝4＝|AB |，
所以动点P 的轨迹是以A ，B 为端点，且没有交点的两条射线． (2)『答案』双曲线的右支，即x 29－y 2
7＝1(x ≥3)
『解析』依题意有|P A |－|PB |＝6<8＝|AB |，
所以动点P 的轨迹是双曲线，但由|P A |－|PB |＝6知， 动点P 的轨迹是双曲线的右支，即x 29－y 2
7＝1(x ≥3)．
第2步 自主练透 典题1
(1)『答案』x 2－
y 2
8
＝1(x ≤－1) 『解析』如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .
根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，
所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，
即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，
所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|.
根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8. 故点M 的轨迹方程为x 2－
y 2
8
＝1(x ≤－1)． (2)『答案』9 『解析』如图所示，
设双曲线的右焦点为E ，则E (4,0)．
由双曲线的定义及标准方程得|PF |－|PE |＝4， 则|PF |＋|P A |＝4＋|PE |＋|P A |.
由图可得，当A ，P ，E 三点共线时， (|PE |＋|P A |)min ＝|AE |＝5， 从而|PF |＋|P A |的最小值为9. 考点2 双曲线的标准方程与性质 第1步 回顾基础 一、自读自填
『答案』坐标轴 原点 (－a,0) (a,0) (0，－a ) (0，a ) a 2＋b 2 2a 2b 二、连接教材 (1) 『答案』A
『解析』由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等，故选A. (2)『答案』a
『解析』双曲线x 2a 2－y 2
9＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0，与已知方程比较可得a ＝2.
三、易错问题 『答案』x 2－
y 23＝1或y 29－x 2
3
＝1 『解析』当实轴在x 轴上时，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)．
由已知可知b
a
＝3，b ＝3，
所以a 2
＝1，即所求方程为x 2
－y 2
3
＝1.
当实轴在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)．
由已知可得b ＝3，a
b ＝3，
所以
a 2＝9，即所求方程为
y 29－x 2
3
＝1. 四、通性通法 『答案』5x 233－y 2
11
＝1
『解析』由于不能确定双曲线的焦点在哪个轴上， 故可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)． ∵所求双曲线经过P (3,2)，Q (－6,7)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
9A ＋4B ＝1，36A ＋49B ＝1，解得A ＝533，B ＝－111.
故所求双曲线方程为5x 233－y 2
11＝1.
第2步 多角探明 角度一
典题2 (1)『答案』A
『解析』由双曲线方程知右顶点为(a,0)， 设其中一条渐近线方程为y ＝b
a x ，
可得点A 的坐标为(a ，b )．
设右焦点为F (c,0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16， 所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，
又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c
2＝2，
所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12. 故双曲线的方程为x 24－y 2
12＝1，故选A.
(2)『答案』y 24－x 2
5
＝1
『解析』解法一：椭圆x 227＋y 2
36＝1的焦点坐标是(0，±3)，
设双曲线方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
根据定义知2a ＝|(15－0)2＋(4－3)2－(15－0)2＋(4＋3)2|＝4，
故a ＝2.又b 2＝32－a 2＝5， 故所求双曲线的方程为y 24－x 2
5
＝1.
解法二：椭圆x 227＋y 2
36＝1的焦点坐标是(0，±3)．
设双曲线方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
则a 2＋b 2＝9，
又点(15，4)在双曲线上，所以16a 2－15
b 2
＝1， 解得a 2＝4，b 2＝5.
故所求双曲线的方程为y 24－x 2
5
＝1.
解法三：设双曲线的方程为x 227－λ＋y 2
36－λ＝1(27<λ<36)，
由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1， 解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)． 故所求双曲线方程为y 24－x 2
5＝1.
角度二
典题3 『答案』B
『解析』在双曲线中离心率e ＝c
a ＝
1＋⎝⎛⎭⎫b a 2 ＝3，可得b
a
＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x . 角度三
典题4 『答案』5或
52
『解析』根据双曲线的渐近线方程知b a ＝2或a
b ＝2.则e ＝
1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝5或52
. 角度四
典题5 『答案』C
『解析』由双曲线焦点在y 轴上，排除选项A ，B ，选项C 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选C. 角度五
利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围 典题6 『答案』C
『解析』∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a
＞2， ∴e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2 ＞1＋4＝ 5.
即双曲线离心率的取值范围为(5，＋∞)．
考点3 直线与双曲线的位置关系
第1步 师生共研
典题7 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝2，a 2＝c 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝1，c 2＝2， 故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －1，x 2－y 2＝1， 得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①
∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
k >1，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)>0， 即⎩⎨⎧
k >1，－2<k <2，
∴1＜k ＜ 2.
故k 的取值范围为(1，2)．
(2)由①得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1
， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63， 整理得28k 4－55k 2＋25＝0，
∴k 2＝57或k 2＝54
. 又1＜k ＜2，∴k ＝52
， ∴x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8. 设C (x 3，y 3)，由OC ＝m (OA ＋OB )，
得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )．
∵点C 是双曲线上一点， ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14
.
故k ＝52，m ＝±14. 第2步 跟踪训练
解：设双曲线E 的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)， 由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22
a 2－y 22
b 2＝1，
两式作差，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2
x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2
， 又AB 的斜率是－15－0－12－3
＝1， 所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5.
所以双曲线E 的标准方程是x 24－y 2
5
＝1.。