2019高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式高效演练 新人教A版选修2-3

第1课时 排列与排列数公式

A 级 基础巩固

一、选择题

1．从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少个不同的和？②相除可

得多少个不同的商？③作为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆

方程？④作为双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程？

上面四个问题属于排列问题的是( )

A ．①②③④

B ．②④

C ．②③

D ．①④

解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；除法不满足交换律，如53≠3

5，所以

②是排列问题．

若方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线x 2

a 2

－y 2

b

2＝1中不管a >b 还是a <b ，方程均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线．故③不是排列问题，④是排列问题．

答案：B

2．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法的种数为( ) A ．80 B ．240 C ．480 D ．40

解析：先排甲、乙外的四个人，有A 4

4种，再将甲、乙插入四个人形成的五个空当中，有A 2

5种排法，则甲、乙两人不相邻的不同排法共有A 44A 2

5＝480(种)．

答案：C

3．北京、上海、香港三个民航站之间的直达航线，需要准备不同的飞机票的种数为( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12

解析：这个问题就是从北京、上海、香港三个民航站中，每次取出两个站，按照起点站在前、终点站在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排列．

答案：B

4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )

A ．180种

B ．360种

C ．15种

D ．30种

解析：由排列定义知选派方案有A 4

6＝6×5×4×3＝360(种)． 答案：B

5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( ) A ．24个 B ．30个 C ．40个 D ．60个

解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A 2

4个，另一类是4作个位数，也有A 2

4个．因此符合条件的偶数共有A 2

4＋A 2

4＝24(个)．

答案：A 二、填空题

6．若A m

10＝10×9×…×5，则m ＝_________________________. 解析：由10－(m －1)＝5，得m ＝6. 答案：6

7．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．

解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A 4

8＝8×7×6×5＝1 680(种)．

答案：1 680

8．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______，其中真分数的个数是____．

解析：第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)，其中真分数有23，25，27，35，37，5

7

，共6个．

答案：12 6

三、解答题

9．求下列各式中n 的值： (1)90A 2

n ＝A 4

n ； (2)A 4n A n －4

n －4＝42A n －2

n －2. 解：(1)因为90A 2

n ＝A 4

n ，

所以90n (n －1)＝n (n －1)(n －2)(n －3)． 所以n 2

－5n ＋6＝90. 所以(n －12)(n ＋7)＝0. 解得n ＝－7(舍去)或n ＝12. 所以满足90A 2

n ＝A 4

n 的n 的值为12.

(2)由A 4n A n －4n －4＝42A n －2

n －2，得n ！（n －4）！

·(n －4)！＝42(n －2)！.

所以n (n －1)＝42.

所以n 2

－n －42＝0.解得n ＝－6(舍去)或n ＝7.

10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数． (1)能被5整除的四位数有多少个？ (2)这些四位数中偶数有多少个？

解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A 3

6＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，4，6，有A 1

3种排法，其他位上有A 3

6种排法，由乘法原理知，四位数中偶数共有A 1

3·A 3

6＝360(个)．

B 级 能力提升

1．满足不等式A 7

n

A 5n ＞12的n 的最小值为( )

A ．12

B ．10

C ．9

D ．8

解析：由排列数公式得n ！（n －5）！

（n －7）！n ！

＞12，即(n －5)(n －6)＞12，解得n ＞9或n ＜2.

又n ≥7，所以n ＞9.又n ∈N *

，所以n 的最小值为10.

答案：B

2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A ，B ，C ，所得直线经过坐标原点的有________条．

解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A ，B ，有A 2

6种．

所以符合条件的直线有A 2

6＝30(条)． 答案：30

3．一条铁路线原有m 个车站，为了适应客运需要，新增加了n (n ≥1，n ∈N *

)个车站，因而客运车票增加了58种，问：原来这条铁路线有多少个车站？现在又有多少个车站？