信号与系统期末考试试题(有答案的)

信号与系统期末考试试题
一、选择题（共10题，每题3分 ，共30分，每题给出四个答案，其中只有一个正确的）
1、 卷积f 1(k+5)*f 2(k-3) 等于 。

（A ）f 1(k)*f 2(k) （B ）f 1(k)*f 2(k-8)（C ）f 1(k)*f 2(k+8)（D ）f 1(k+3)*f 2(k-3)
2、 积分
dt t t ⎰
∞
∞
--+)21()2(δ等于 。

（A ）1.25（B ）2.5（C ）3（D ）5 3、 序列f(k)=-u(-k)的z 变换等于 。

（A ）
1-z z （B ）-1-z z
（C ）11-z （D ）1
1--z
4、 若y(t)=f(t)*h(t),则f(2t)*h(2t)等于 。

（A ）
)2(41t y （B ）)2(21t y （C ）)4(41t y （D ）)4(2
1
t y 5、 已知一个线性时不变系统的阶跃相应g(t)=2e -2t
u(t)+)(t δ,当输入f(t)=3e —t
u(t)
时，系统的零状态响应y f (t)等于
（A ）(-9e -t +12e -2t )u(t) （B ）(3-9e -t +12e -2t )u(t)
（C ）)(t δ+(-6e -t +8e -2t )u(t) （D ）3)(t δ +(-9e -t +12e -2t )u(t)
6、 连续周期信号的频谱具有
（A ） 连续性、周期性 （B ）连续性、收敛性 （C ）离散性、周期性 （D ）离散性、收敛性
7、 周期序列2)455.1(0
+k COS π的 周期N 等于
（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4 8、序列和
()∑∞
-∞
=-k k 1δ等于
（A ）1 (B) ∞ (C) ()1-k u (D) ()1-k ku
9、单边拉普拉斯变换()s
e s s s F 22
12-+=
的愿函数等于 ()()t tu A ()()2-t tu B ()()()t u t C 2- ()()()22--t u t D 10、信号()()23-=-t u te
t f t
的单边拉氏变换()s F 等于
()A ()()()232372+++-s e s s ()()
2
23+-s e B s
()
()
()2
323++-s se C s ()()
33
2++-s s e D s
二、填空题（共9小题，每空3分，共30分）
1、卷积和[（0.5）k+1u(k+1)]*)1(k -δ=________________________
2、单边z 变换F(z)=
1
2-z z
的原序列f(k)=______________________ 3、已知函数f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)=1
+s s
，则函数y(t)=3e -2t ·f(3t)
的单边拉普拉斯变换Y(s)=_________________________
4、频谱函数F(j ω)=2u(1-ω)的傅里叶逆变换f(t)=__________________
5、单边拉普拉斯变换s
s s s s F +++=221
3)(的原函数
f(t)=__________________________ 6、已知某离散系统的差分方程为
)1(2)()2()1()(2-+=----k f k f k y k y k y ，则系统的单位序列响应
h(k)=_______________________
7、已知信号f(t)的单边拉氏变换是F(s),则信号⎰-=2
)()(t dx x f t y 的单边拉
氏变换Y(s)=______________________________
8、描述某连续系统方程为
()()()()()t f t f t y t y t y +=++'
'
'
'52
该系统的冲激响应h(t)=
9、写出拉氏变换的结果()=t u 66 ，=k t 22
三、（8分）
四、（10分）如图所示信号()t f ，其傅里叶变换
()()[]t f jw F F =，求（1） ()0F （2）()⎰∞
∞
-dw jw F
六、（10分）某LTI 系统的系统函数()1
222
++=s s s s H ，已知初始状态
()(),20,00=='=--y y 激励()(),t u t f =求该系统的完全响应。

信号与系统期末考试参考答案
一、选择题（共10题，每题3分 ，共30分，每题给出四个答案，其中只有一个正确的）
1、D
2、A
3、C
4、B
5、D
6、D
7、D
8、A
9、B 10、A
二、填空题（共9小题，每空3分，共30分）
1、()()k u k
5.0 2、)()
5.0(1
k u k + 3、52
++s s 4、()t
j e t jt πδ+
5、)()()(t u e t u t t -++δ
6、()[
]
()k u k 1
5
.01+-+ 7、 ()s F s e s
2-
8、()()t u t e t 2cos - 9、
s
66
， 22k!/S k+1
四、（10分） 解：1）
2
)()0()()(==∴=⎰
⎰
∞
∞
--∞
∞
-dt t f F dt
e t
f F t j ωω
2）
ωωπ
ωd e F t f t j ⎰
∞
∞
-=
)(21
)(
ππωω4)0(2)(==∴⎰∞∞
-f d F
六、（10分） 解：
由)(S H 得微分方程为
)()()(2)(t f t y t y t y ''=+'+''
)()()0(2)(2)0()0()(22S F S S Y y S SY y Sy S Y S =+-+'-----
1
2)
0()0()2()(12)(2
22++'+++++=∴--S S y y S S F S S S S Y 将S
S F y y 1
)(),0(),0(=
'--代入上式得 2
22)
1(1
)1(1)1(2)(+-++++=
S S S S S Y 1
1
)1(12+++=
S S
)()()(t u e t u te t y t t --+=∴
二、写出下列系统框图的系统方程，并求其冲激响应。

（ 15分）
解：x ”(t) + 4x ’(t)+3x(t) = f(t) y(t) = 4x ’(t) + x(t)
则：y ”(t) + 4y ’(t)+ 3y(t) = 4f ’(t) + f(t)
根据h(t)的定义 有
h ”(t) + 4h ’(t) + 3h(t) = δ(t) h ’(0-) = h(0-) = 0 先求h ’(0+)和h(0+)。

因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。

h ”(t)中含δ(t)，h ’(t)含ε(t)，h ’(0+)≠h ’(0-)，h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。

积分得
[h ’(0+) - h ’(0-)] + 4[h(0+) - h(0-)] +3 = 1 考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0
h ’(0+) =1 + h ’(0-) = 1
对t>0时，有 h ”(t) + 4h ’(t) + 3h(t) = 0 故系统的冲激响应为一齐次解。

微分方程的特征根为-1，-3。

故系统的冲激响应为
h(t)=(C1e -t + C2e -3t
)ε(t)
代入初始条件求得C1=0.5,C2=-0.5, 所以
h(t)=(0.5 e-t– 0.5e-3t)ε(t)
三、描述某系统的微分方程为 y”(t) + 4y’(t) + 3y(t) = f(t) 求当f(t) = 2e-2t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的解；（ 15分）
解: (1) 特征方程为λ2 + 4λ+ 3 = 0 其特征根λ1= –1，λ2= –2。

齐次解为 y h(t) = C1e -t + C2e -3t
当f(t) = 2e–2 t时，其特解可设为
y p(t) = Pe -2t
将其代入微分方程得
P*4*e -2t + 4(–2 Pe-2t) + 3Pe-t = 2e-2t
解得 P=2
于是特解为 y p(t) =2e-t
全解为： y(t) = y h(t) + y p(t) = C1e-t + C2e-3t + 2e-2t
其中待定常数C1,C2由初始条件确定。

y(0) = C1+C2+ 2 = 2，
y’(0) = –2C1–3C2–1= –1
解得 C1 = 1.5 ，C2 = –1.5
最后得全解 y(t) = 1.5e– t – 1.5e – 3t +2 e –2 t , t≥0
三、描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的解；（ 15分）
解: (1) 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= –2，λ2= –3。

齐次解为 y h(t) = C1e -2t + C2e -3t
当f(t) = 2e– t时，其特解可设为
y p(t) = Pe -t
将其代入微分方程得
Pe -t + 5(– Pe-t) + 6Pe-t = 2e-t
解得 P=1
于是特解为 y p(t) = e-t
全解为： y(t) = y h(t) + y p(t) = C1e-2t + C2e-3t + e-t
其中待定常数C1,C2由初始条件确定。

y(0) = C1+C2+ 1 = 2，
y’(0) = –2C1–3C2–1= –1
解得 C1 = 3 ，C2 = – 2
最后得全解 y(t) = 3e– 2t – 2e – 3t + e – t , t≥0
（12分）
)
e
e
1(
e
2
s
s
s
s
s
-
-
-
-
-
312
()13
k k k F s m n s s s =
++<++解：部分分解法　（）10
0()10(2)(5)100
(1)(3)3
s s k sF s s s s s ===++=
=
++其中21
1
(1)()10(2)(5)
20
(3)s s k s F s s s s s =-=-=+++=
=-+解：33
3
(3)()10(2)(5)10
(1)3s s k s F s s s s s =-=-=+++=
=-
+1002010
()313(3)
F s s s s ∴=
--
++解：)
(e 310e 203100)(3t t f t t ε⎪⎭
⎫
⎝⎛--=∴--32597
(),
(1)(2)s s s F s s s +++=++已知求其逆变换
12
()212
k k F s s s s =++
+++解：分式分解法　11
22
3
(1)2
(1)(2)3
1
1s s s k s s s s k s =-=-+=+⋅=+++=
=-+其中 21()212
F s s s s ∴=++
-
++)
()e e 2()(2)(')(2t t t t f t t εδδ---++=∴
六、有一幅度为1，脉冲宽度为2ms 的周期矩形脉冲，其周期为8ms ，如图所示,求频谱并画出频谱图频谱图。

（10分）
解：付里叶变换为
Fn 为实数，可直接画成一个频谱图。

周期信号 f (t ) =
试求该周期信号的基波周期T ，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图，并求f (t ) 的平均功率。

解 首先应用三角公式改写f (t )的表达式，即
显然1是该信号的直流分量。

的周期T1 = 8 的周期T2 = 6
Ω
Ω=
Ω
-=
-
Ω-n n T
jn T t
jn )2sin(
2e 122
τ
τ
τ
F n
ω0τπ2τ
π2-τπ441f(t)t
T
-T
…1
2
τ
-
2
τ
⎪
⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--63sin 41324cos 211ππππ
t t ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=263cos 41324cos 211)(πππ
πππt t t f ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+34cos 2
1ππt ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-323cos 4
1ππ
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T = π/12，根据帕斯瓦尔等式，其功率为
P=
是f(t)的[π/4]/[π/12 ]=3次谐波分量；
是f(t)的[π/3]/[π/12 ]=4次谐波分量； 画出f (t )的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
二、计算题（共15分）已知信号)()(t t t f ε=
1、分别画出
01)(t t t f -=、)()()(02t t t t f ε-=、)()(03t t t t f -=ε和
)()()(004t t t t t f --=ε的波形,其中 00>t 。

（5分）
2、指出)(1t f 、)(2t f 、)(3t f 和)(4t f 这4个信号中，哪个是信号)(t f 的延时0t 后的波形。

并指出哪些信号的拉普拉斯变换表达式一样。

（4分）
3、求)(2t f 和)(4t f 分别对应的拉普拉斯变换)(2s F 和)(4s F 。

（6分）
1、（4分）
2、)(4t f 信号)(t f 的延时0t 后的波形。

（2分）
32
37
41212121122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+34
cos 21ππt ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-323cos 41ππ (a)(b)o A n
12π6π4π3π2
A 2141ωo ω3π3π4
π6π12π3
2π
-n ϕ1
3、s
t s s F s F 0
2121)()(-==（2分）
2
41)(st e s
s F -=。

（2分） 三、计算题（共10分）如下图所示的周期为π2秒、幅值为1伏的方波)(t u s 作用于RL
电路，已知Ω=1R ，H L 1=。

1、 写出以回路电路)(t i 为输出
的电路的微分方程。

2、 求出电流)(t i 的前3次谐波。

解“
1、⎪⎩
⎪⎨⎧
<<-<<-<<=π
π
ππππt t t t u s 2,2,022,1)(。

（2分）
2、∑=+=5
1
0)cos(21
)(n n s nt a a t u
)5cos(52)3cos(32)cos(221)cos()2sin(22151t t t nt n n n π
ππππ+-+=+=∑= （3分）
3、)()()(t u t i t i s =+'（2分）
4、)3sin(51)3cos(151)sin(1)cos(121)(t t t t t i π
πππ--++=
（3分） 四、计算题（共10分）已知有一个信号处理系统，输入信号)(t f 的最高频率为
m m f ωπ2=，抽样信号)(t s 为幅值为1，脉宽为τ，周期为S T （τ>S T ）的矩形脉冲序
列，经过抽样后的信号为)(t f S ，抽样信号经过一个理想低通滤波器后的输出信号为)(t y 。

)(t f 和)(t s 的波形分别如图所示。

1、试画出采样信号)(t f S 的波形；（4分）
2、若要使系统的输出)(t y 不失真地还原输入信号)(t f
，问
该理想滤波器的截止频率c ω和抽样信号)(t s 的频率s f ，分别应该满足什么条件？（6分） 解：
1、（4分）
2、理想滤波器的截止频率m c ωω=,抽样信号)(t s 的频率m s f f 2≥。

（6分） 五、计算题（共15分）某LTI 系统的微分方程为：)(6)(2)(6)(5)(t f t f t y t y t y +'=+'+''。

已知)()(t t f ε=，2)0(=-y ，1)0(='-y 。

求分别求出系统的零输入响应、零状态响应和全响应)(t y zi 、)(t y zs 和)(t y 。

解：
1、s
e s dt e dt e t s F st st st 1|1)()(0
00=-===∞-∞-∞-⎰⎰ε。

（2分） 2、)(6)0(2)(2)(6)0(5)(5)0()()(2s F f s sF s Y y s sY y s sy s Y s +-=+-+'-----（3
分）
3、3
5
276511265)0(5)0()0()(22+-+=+++=+++'+=---s s s s s s s y y sy s Y zi
21
112216532)(2
+-=⋅+=⋅+++=
s s s s s s s s s Y zs ）（ s
s s s s s s s Y zi 1
653265112)(22⋅+++++++=（5分）
4、)()57()(32t e e t y t t zi ε---=
)()1()(2t e t y t zs ε--=
)()561()(32t e e t y t t ε---+=（5分）。

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