2020年甘肃省天水市中考数学试卷-解析版

2020年甘肃省天水市中考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列四个实数中，是负数的是()A. −(−3)B. (−2)2C. |−4|D. −√52.天水市某网店2020年父亲节这天的营业额为341000元，将数341000用科学记数法表示为()A. 3.41×105B. 3.41×106C. 341×103D. 0.341×1063.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是()A. 文B. 羲C. 弘D. 化4.某小组8名学生的中考体育分数如下：39，42，44，40，42，43，40，42.该组数据的众数、中位数分别为()A. 40，42B. 42，43C. 42，42D. 42，415.如图所示，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P=70°，则∠ACB的度数为()A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°6.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A. B. C. D.7.若函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则函数y=ax+b和y=c在同一平面直角坐标系中的图象大致是()xA.B.C.D.8. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高1.5m ，测得AB =1.2m ，BC =12.8m ，则建筑物CD 的高是( )A. 17.5mB. 17mC. 16.5mD. 18m 9. 若关于x 的不等式3x +a ≤2只有2个正整数解，则a 的取值范围为( )A. −7<a <−4B. −7≤a ≤−4C. −7≤a <−4D. −7<a ≤−4 10. 观察等式：2+22=23−2；2+22+23=24−2；2+22+23+24=25−2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100=S ，用含S 的式子表示这组数据的和是( )A. 2S 2−SB. 2S 2+SC. 2S 2−2SD. 2S 2−2S −2二、填空题（本大题共8小题，共32.0分） 11. 分解因式：m 3n −mn =______．12. 一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x 2−8x +12=0的根，则该三角形的周长为______．13. 已知函数y =√x+2x−3，则自变量x 的取值范围是______．14. 已知a +2b =103，3a +4b =163，则a +b 的值为______．15. 如图所示，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是______．16. 如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的底面半径是______．17.如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2,3)，则点F的坐标为______．18.如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.若DF=3，则BE的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19.(1)计算：4sin60°−|√3−2|+20200−√12+(14)−1．(2)先化简，再求值：1a−1−a−1a2+2a+1÷a−1a+1，其中a=√3．20.为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．请结合图中的信息，解决下列问题：(1)此次调查中接受调查的人数为______人；(2)请你补全条形统计图；(3)扇形统计图中“满意”部分的圆心角为______度；(4)该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性．请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．(k≠0)的图象21.如图所示，一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=kx交于第二、四象限的点A(−2,a)和点B(b,−1)，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．(1)分别求出a和b的值；(2)结合图象直接写出mx+n>k中x的取值范围；x(3)在y轴上取点P，使PB−PA取得最大值时，求出点P的坐标．22.为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A 处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P 在北偏东45°方向上．(1)求∠APB的度数；(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？(参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)23.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若BD=2√3，AB=6，求阴影部分的面积(结果保留π)．24.性质探究如图(1)，在等腰三角形ABC中，∠ACB=120°，则底边AB与腰AC的长度之比为______．理解运用(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2√3，则它的面积为______；(2)如图(2)，在四边形EFGH中，EF=EG=EH，在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN.若∠FGH=120°，EF=20，求线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为______.(用含α的式子表示)25.天水市某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．(1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？(3)“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m(10<m<20)元，B种商品售价不变，在(2)的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．26.如图所示，拋物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A(−2,0)，点C的坐标为C(0,6)，对称轴为直线x=1.点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m(1<m<4)，连接AC，BC，DC，DB．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的3时，求m的4值；(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A.−(−3)=3，是正数，不符合题意；B.(−2)2=4，是正数，不符合题意；C.|−4|=4，是正数，不符合题意；D.−√5是负数，符合题意；故选：D．根据相反数的定义、乘方的定义、绝对值的性质及负数和正数的概念判断可得．本题主要考查实数，解题的关键是掌握相反数的定义、乘方的定义、绝对值的性质及负数和正数的概念．2.【答案】A【解析】解：341000=3.41×105，故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：根据正方体表面展开图可知，“相间、Z端是对面”，因此“伏与化”相对，“弘与文”相对，“扬与羲”相对，故选：D．根据正方体的展开图的特点，得出相对的面，进而得出答案．本题考查正方体的表面展开图的特征，掌握正方体展开图的对面的判定方法是正确选择的前提．4.【答案】C【解析】解：将这组数据重新排列为39，40，40，42，42，42，43，44，=42，所以这组数据的众数为42，中位数为42+422故选：C．先将数据按照从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解可得．本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．5.【答案】B【解析】解：连接OA、OB，如图，∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB+∠P=180°，∵∠P=70°，∴∠AOB=110°，∴∠ACB=12∠AOB=55°．故选：B．连接OA、OB，如图，根据切线的性质得OA⊥PA，OB⊥PB，则利用四边形内角和计算出∠AOB=110°，然后根据圆周角定理得到∠ACB的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆心角定理．6.【答案】C【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7.【答案】B【解析】解：∵由函数图象交y轴的正坐标可知c>0，∴反比例函数y=cx的图象必在一、三象限，故C、D错误；∵据二次函数的图象开口向上可知a>0，对称轴在y轴的右侧，b<0，∴函数y=ax+b的图象经过一三四象限，故A错误，B正确．故选：B．先根据二次函数的图象开口向上可知a>0，对称轴在y轴的右侧可知b<0，再由函数图象交y轴的正坐标可知c>0，利用排除法即可得出正确答案．本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB//DC，∴△ABE∽△ACD，∴ABAC =BECD，∵BE=1.5m，AB=1.2m，BC=12.8m，∴AC=AB+BC=14m，∴1.214=1.5DC，解得，DC=17.5，即建筑物CD的高是17.5m，故选：A．根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9.【答案】D【解析】解：∵3x+a≤2，∴3x≤2−a，，则x≤2−a3∵不等式只有2个正整数解，∴不等式的正整数解为1、2，<3，则2≤2−a3解得：−7<a≤−4，故选：D．先解不等式得出x≤2−a，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得3<3，解之可得答案．出2≤2−a3本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出某一字母的不等式组．10.【答案】A【解析】解：∵2100=S，∴2100+2101+2102+⋯+2199+2200=S+2S+22S+⋯+299S+2100S=S(1+2+22+⋯+299+2100)=S(1+2100−2+2100)=S(2S−1)=2S2−S．故选：A．根据已知条件和2100=S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102， (2199)2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．本题考查了规律型−数字的变化类、列代数式，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．11.【答案】mn(m−1)(m+1)【解析】解：m3n−mn=mn(m2−1)=mn(m−1)(m+1)，故答案为：mn(m−1)(m+1)．先提出公因式mn，再利用平方差公式即可解答．本题考查了提公因式法和公式法进行分解因式，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．12.【答案】13【解析】解：∵x2−8x+12=0，∴(x−2)(x−6)=0，∴x1=2，x2=6，∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2−8x+12=0的根，2+2<5，2+ 5>6，∴三角形的第三边长是6，∴该三角形的周长为：2+5+6=13．故答案为：13．先利用因式分解法解方程x2−8x+12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求．本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．13.【答案】x ≥−2且x ≠3【解析】解：根据题意得：x +2≥0且x −3≠0， 解得：x ≥−2且x ≠3． 故答案为：x ≥−2且x ≠3．根据被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围．本题考查了函数自变量的取值范围问题，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，考虑被开方数为非负数． 14.【答案】1【解析】解：a +2b =103①，3a +4b =163②，②−①得2a +2b =2， 解得a +b =1． 故答案为：1． 用方程3a +4b =163减去a +2b =103，即可得出2a +2b =2，进而得出a +b =1．此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键．15.【答案】√22【解析】解：如图，连接AB ．∵OA =AB =√10，OB =2√5， ∴OB 2=OA 2+AB 2， ∴∠OAB =90°，∴△AOB 是等腰直角三角形， ∴∠AOB =45°， ∴sin∠AOB =√22， 故答案为√22．如图，连接AB.证明△OAB 是等腰直角三角形即可解决问题．本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16.【答案】83【解析】解：设圆锥的底面半径为r ， 由题意得，120π×8180=2πr ，解得，r =83，故答案为：83．根据半径为8，圆心角为120°的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可． 本题考查弧长的计算方法，明确扇形的弧长与圆锥底面周长的关系是正确解答的关键． 17.【答案】(−1,5)【解析】解：如图，过点E 作x 轴的垂线EH ，垂足为H.过点G作x 轴的垂线EG ，垂足为G ，连接GE 、FO 交于点O′．∵四边形OEFG 是正方形，∴OG =EO ，∠GOM =∠OEH ，∠OGM =∠EOH ，在△OGM 与△EOH 中，{∠OGM =∠EOH OG =EO ∠GOM =∠OEH∴△OGM≌△EOH(ASA)∴GM =OH =2，OM =EH =3，∴G(−3,2)．∴O′(−12,52). ∵点F 与点O 关于点O′对称，∴点F 的坐标为(−1,5)．故答案是：(−1,5)．结合全等三角形的性质可以求得点G 的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F 的坐标．考查了正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，根据题意求得点G 的坐标是解题的难点．18.【答案】2【解析】解：由题意可得，△ADF≌△ABG ，∴DF =BG ，∠DAF =∠BAG ，∵∠DAB =90°，∠EAF =45°，∴∠DAF +∠EAB =45°，∴∠BAG +∠EAB =45°，∴∠EAF =∠EAG ，在△EAG 和△EAF 中，{AG =AF ∠EAG =∠EAF AE =AE，∴△EAG≌△EAF(SAS)，∴GE =FE ，设BE =x ，则GE =BG +BE =3+x ，CE =6−x ，∴EF =3+x ，∵CD =6，DF =3，∴CF =3，∵∠C =90°，∴(6−x)2+32=(3+x)2，解得，x=2，即CE=2，故答案为：2．根据旋转的性质可知，△ADF≌△ABG，然后即可得到DF=BG，∠DAF=∠BAG，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG≌△EAF，再根据DF=3，AB=6和勾股定理，可以得到DE的长，本题得以解决．本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19.【答案】解：(1)原式=4×√32−(2−√3)+1−2√3+4=2√3−2+√3+1−2√3+4=3+√3；(2)原式=1a−1−a−1(a+1)2⋅a+1a−1=1a−1−1a+1=a+1(a+1)(a−1)−a−1(a+1)(a−1)=2(a+1)(a−1)=2a2−1，当a=√3时，原式=(3)2−1=2 3−1=2 2=1．【解析】(1)先代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数幂、化简二次根式、计算负整数指数幂，再计算乘法、去括号，最后计算加减可得；(2)先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．本题主要考查实数的混合运算与分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．20.【答案】50 144【解析】解：(1))∵非常满意的有18人，占36%，∴此次调查中接受调查的人数：18÷36%=50(人)；故答案为：50；(2)此次调查中结果为满意的人数为：50−4−8−18=20(人)；(3)扇形统计图中“满意”部分的圆心角为：360°×2050=144°；故答案为：144°；(4)画树状图得：∵共有12种等可能的结果，选择回访市民为“一男一女”的有8种情况， ∴选择回访的市民为“一男一女”的概率为：812=23．(1)由非常满意的有18人，占36%，即可求得此次调查中接受调查的人数；(2)用总人数减去其他满意程度的人数，求出满意的人数，从而补全统计图；(3)用360°乘以满意的人数所占的百分比即可得出答案；(4)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选择回访市民为“一男一女”的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21.【答案】解：(1)∵△AOC 的面积为4，∴12|k|=4，解得，k =−8，或k =8(不符合题意舍去)，∴反比例函数的关系式为y =−8x ，把点A(−2,a)和点B(b,−1)代入y =−8x 得，a =4，b =8；答：a =4，b =8；(2)根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx +n >k x 的解集为x <−2或0<x <8；(3)∵点A(−2,4)关于y 轴的对称点A′(2,4)，又B(8,−1)，则直线A′B 与y 轴的交点即为所求的点P ，设直线A′B 的关系式为y =cx +d ，则有{2c +d =48c +d =−1，解得，{c =−56d =173， ∴直线A′B 的关系式为y =−56x +173， ∴直线y =−56x +173与y 轴的交点坐标为(0,173)， 即点P 的坐标为(0,173).【解析】(1)根据△AOC 的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定k 的值，进而确定反比例函数的关系式，代入可求出点A 、B 的坐标，求出a 、b 的值；(2)根据图象直接写出mx +n >k x 的解集；(3)求出点A(−2,4)关于y 轴的对称点A′(2,4)，根据题意直线A′B 与y 轴的交点即为所求的点P ，求出直线A′B 的关系式，进而求出与y 轴的交点坐标即可．本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，轴对称的性质和应用，把点的坐标代入是求函数关系式常用方法，作对称点是求线段和或差最小值的常用方法．22.【答案】解：(1)由题意得，∠PAB =90°−60°=30°，∠APB =90°+45°=135°，∴∠APB =180°−∠PAB −∠APB =180°−30°−135°=15°；(2)作PH ⊥AB 于H ，如图：则△PBH 是等腰直角三角形，∴BH =PH ，设BH =PH =x 海里，由题意得：AB =40×3060=20(海里)，在Rt △APH 中，tan∠PAB =tan30°=PH AH =√33， 即x 20+x =√33， 解得：x =10√3+10≈27.32>25，且符合题意，∴海监船继续向正东方向航行安全．【解析】(1)由题意得，∠PAB =30°，∠APB =135°由三角形内角和定理即可得出答案； (2)作PH ⊥AB 于H ，则△PBH 是等腰直角三角形，BH =PH ，设BH =PH =x 海里，求出AB =20海里，在Rt △APH 中，由三角函数定义得出方程，解方程即可．本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．23.【答案】(1)证明：连接OD ，如图：∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ，∵AD 平分∠CAB ，∴∠OAD =∠CAD ，∴∠CAD =∠ODA ，∴AC//OD ，∴∠ODB =∠C =90°，即BC⊥OD，又∵OD为⊙O的半径，∴直线BC是⊙O的切线；(2)解：设OA=OD=r，则OB=6−r，在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2，∴r2+(2√3)2=(6−r)2，解得：r=2，∴OB=4，∴OD=√OB2−BD2=√42−(2√3)2=2，∴OD=12OB，∴∠B=30°，∴∠DOB=180°−∠B−∠ODB=60°，∴阴影部分的面积S=S△ODB−S扇形DOF =12×2√3×2−60π×22360=2√3−2π3．【解析】(1)连接OD，求出OD//AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；(2)根据勾股定理求出OD=2，求出OB=4，得出∠B=30°，再分别求出△ODB和扇形DOF的面积即可．本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，扇形的面积计算、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握切线的判定与性质和勾股定理是解此题的关键．24.【答案】√3：1 √32sinα：1【解析】解：性质探究：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．∵CA=CB，∠ACB=120°，CD⊥AB，∴∠A=∠B=30°，AD=BD，∴AB=2AD=2AC⋅cos30°=√3AC，∴AB：AC=√3：1．故答案为√3：1．理解运用：(1)设CA=CB=m，则AB=√3m，由题意2m+√3m=4+2√3，∴m=2，∴AC=CB=2，AB=2√3，∴AD=DB=√3，CD=AC⋅sin30°=1，∴S△ABC=12⋅AB⋅CD=√3．故答案为√3．(2)如图2中，连接FH．∵∠FGH=120°，EF=EG=EH，∴∠EFG=∠EGF，∠EHG=∠EGH，∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH=120°，∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH=360°，∴∠FEH=360°−120°−120°=120°，∵EF=EH，∴△EFH是顶角为120°的等腰三角形，∴FH=√3EF=20√3，∵FM=MG.GN=GH，∴MN=12FH=10√3．类比拓展：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．∵CA=CB，∠ACB=2α，CD⊥AB，∴∠A=∠B=30°，AD=BD，∠ACD=∠BCD=α∴AB=2AD=2AC⋅sinα∴AB：AC=2sinα：1．故答案为2sinα：1．性质探究：如图1中，过点C作CD⊥AB于D.解直角三角形求出AB(用AC表示)即可解决问题．理解运用：①利用性质探究中的结论，设CA=CB=m，则AB=√3m，构建方程求出m即可解决问题．②如图2中，连接FH.求出FH，利用三角形中位线定理解决问题即可．类比拓展：利用等腰三角形的性质求出AB与AC的关系即可．本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，学会构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】解：(1)设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是(x−20)元，由题意得：2000x =1200x−20，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，50−20=30，答：A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元；(2)设购买A种商品a件，则购买B商品(40−a)件，由题意得：{50a +30(40−a)≤1560a ≥12(40−a)， 解得403≤a ≤18，∵a 为正整数，∴a =14、15、16、17、18，∴商店共有5种进货方案；(3)设销售A 、B 两种商品共获利y 元，由题意得：y =(80−50−m)a +(45−30)(40−a)=(15−m)a +600， ①当10<m <15时，15−m >0，y 随a 的增大而增大，∴当a =18时，获利最大，即买18件A 商品，22件B 商品，②当m =15时，15−m =0，y 与a 的值无关，即(2)问中所有进货方案获利相同，③当15<m <20时，15−m <0，y 随a 的增大而减小，∴当a =14时，获利最大，即买14件A 商品，26件B 商品．【解析】(1)设A 种商品每件的进价是x 元，根据用2000元购进A 种商品和用1200元购进B 种商品的数量相同，列分式方程，解出可得结论；(2)设购买A 种商品a 件，根据用不超过1560元的资金购进A 、B 两种商品共40件，A 种商品的数量不低于B 种商品数量的一半，列不等式组，解出取正整数可得结论；(3)设销售A 、B 两种商品共获利y 元，根据y =A 商品的利润+B 商品的利润，根据m 的值及一次函数的增减性可得结论．本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程可不等式组求解，分式方程要注意检验．26.【答案】解：(1)由题意得：{−b 2a =14a −2b +c =0c =6，解得：{a =−34b =32c =6，∴抛物线的函数表达式为：y =−34x 2+32x +6；(2)过点D 作DE ⊥x 轴于E ，交BC 于G ，过点C 作CF ⊥ED 交ED 的延长线于F ，如图1所示：∵点A 的坐标为(−2,0)，点C 的坐标为(0,6)，∴OA =2，OC =6，∴S △AOC =12OA ⋅OC =12×2×6=6，∴S △BCD =34S △AOC =34×6=92，当y =0时，−34x 2+32x +6=0，解得：x 1=−2，x 2=4，∴点B 的坐标为(4,0)，设直线BC 的函数表达式为：y =kx +n ，则{0=4k +n 6=n， 解得：{k =−32n =6， ∴直线BC 的函数表达式为：y =−32x +6， ∵点D 的横坐标为m(1<m <4)，∴点D 的坐标为：(m,−34m 2+32m +6)，点G 的坐标为：(m,−32m +6)，∴DG =−34m 2+32m +6−(−32m +6)=−34m 2+3m ，CF =m ，BE =4−m ， ∴S △BCD =S △CDG +S △BDG =12DG ⋅CF +12DG ⋅BE =12DG ×(CF +BE)=12×(−34m 2+3m)×(m +4−m)=−32m 2+6m ， ∴−32m 2+6m =92，解得：m 1=1(不合题意舍去)，m 2=3，∴m 的值为3；(3)由(2)得：m =3，−34m 2+32m +6=−34×32+32×3+6=154，∴点D 的坐标为：(3,154)，分三种情况讨论：①当DB 为对角线时，如图2所示：∵四边形BNDM 是平行四边形，∴DN//BM ，∴DN//x 轴，∴点D 与点N 关于直线x =1对称，∴N(−1,154)， ∴DN =3−(−1)=4，∴BM =4，∵B(4,0)，∴M(8,0)；②当DM 为对角线时，如图3所示：由①得：N(−1,154)，DN =4，∵四边形BNDM 是平行四边形，∴DN =BM =4，∵B(4,0)，∴M(0,0)；③当DN 为对角线时，∵四边形BNDM 是平行四边形，∴DM =BN ，DM//BN ，∴∠DMB =∠MBN ，∴点D 与点N 的纵坐标相等，∵点D(3,154)， ∴点N 的纵坐标为：−154， 将y =−154代入y =−34x 2+32x +6中，得：−34x 2+32x +6=−154，解得：x 1=1+√14，x 2=1−√14，当x =1+√14时，如图4所示：则N(1+√14,−154)，分别过点D 、N 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、Q ，在Rt △DEM 和Rt △NQB 中，{DM =BN DE =NQ， ∴Rt △DEM≌Rt △NQB(HL)，∴BQ =EM ，∵BQ =1+√14−4=√14−3，∴EM =√14−3，∵E(3,0)，∴M(√14,0)；当x =1−√14时，如图5所示：则N(1−√14,−154)，同理得点M(−√14,0)；综上所述，点M 的坐标为(8,0)或(0,0)或(√14,0)或(−√14,0)．【解析】(1)由题意得出方程组，解方程组即可；(2)过点D 作DE ⊥x 轴于E ，交BC 于G ，过点C 作CF ⊥ED 交ED 的延长线于F ，求出点B 的坐标为(4,0)，由待定系数法求出直线BC 的函数表达式为y =−32x +6，则点D 的坐标为(m,−34m 2+32m +6)，点G 的坐标为(m,−32m +6)，求出S △BCD =−32m 2+6m =92，解方程即可； (3)求出点D 的坐标为(3,154)，分三种情况，①当DB 为对角线时，证出DN//x 轴，则点D 与点N 关于直线x =1对称，得出N(−1,154)求出BM =4，即可得出答案； ②当DM 为对角线时，由①得N(−1,154)，DN =4，由平行四边形的性质得出DN =BM =4，进而得出答案；③当DN 为对角线时，点D 与点N 的纵坐标相等，N(1+√14,−154)或N(1−√14,−154)，再分两种情况解答即可．本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求函数的解析式、坐标与图形性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．。