第一章 随机事件与概率

求矩阵的秩、求逆矩阵等）； 第三章 向量的线性相关性讨论、矩阵及向量组的秩的
讨论；用初等变换求向量组的秩和最大无关组； 第四章 带参数的非齐次线性方程组解的讨论、齐次或
非齐次解的结构的讨论； 第五章 方阵的特征值及特征向量的讨论、用正交矩阵
化实对称阵为对角阵（或用正交变换化二次型 为标准形）、正定性判别。
即 *,* 1 , * 2 , , * nr 线性无关。 第2页
设 *是非齐次线性方程组 AX b 的一个解，
1 ,2 , ,nr 是对应齐次线性方程组的一个基础
解系，证明：
练习册P29 第5题
1) *,1 ,2 , ,nr 线性无关； 2) *,* 1, * 2 , , * nr 线性无关。
证 证： 1）反证。若 *,1 ,2 , ,nr 线性相关，
法
由于 1 ,2 , ,nr 线性无关，则 * 可由
二
1 ,2 , ,nr 线性表出
* k11 k22 knr nr
从而， *是齐次方程组的解，与题设矛盾。
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复习要点
第一章 行列式的性质及计算； 第二章 伴随矩阵的性质、用矩阵的初等变换解题（如
设 *是非齐次线性方程组 AX b 的一个解，
1 ,2 , ,nr 是对应齐次线性方程组的一个基础
解系，证明：
练习册P29 第5题
1) *,1 ,2 , ,nr 线性无关；
2) *,* 1, * 2 , , * nr 线性无关。
证 证 1）设有 k0* k11 k22 knr nr O （*）
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7、若二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2x12 x22 x32 2x1 x2 tx2 x3
是正定的，则 t 的取值范围是 2 t 2 。
8、设 A 是3阶矩阵，其特征值为1，-1，2，则
A2+3A-2E 的特征值为 2，- 4，8 。
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2 设 A为 n 阶可逆矩阵，且每一行元素之和皆等于d, 试证（1）d 是 A 的特征值； （2）A 的逆也是各行元素之和皆相等的矩阵。
1 B 1
1 λ
λ 1
4
λ
2
行 1 ~0
1 λ 1
λ 4
λ
1 λ2 4
1
1
2
4
0
2
2 λ
-8
行 1 1
λ
4
~0 2
2 λ
8
0
0
(λ
1)(4 λ )
2λ (λ
- 4)
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x1 x1
x2 λ λ x2
x3 x3
4 λ2
x1 x2 2x3
4
故当λ≠4且λ≠－1时，方程组有唯一解。
。
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4、设
A
a c
b d
且ad
bc
0,
则A
1
=
ad
1
bc
d c
b a
。
5、设向量组 1 ,2 , ,r与1 , 2 , , t 等价，且 1 , 2 , , t 线性无关，则 r 与 t 间满足 r t 。
6.
设方阵A
1 2
2 x
4 2
与
5
y
相似,
4 2 1
4
则x, y的值 x 4, y 5 。
故有
A1
1
1 d
1
1 d
Leabharlann Baidu
… … …
1
1
1
d
1 这表明A1的各行元素之和相等，皆为 d .
证毕
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3
设有方程组
x1 x1
x2 λ λ x2
x3 x3
4 λ
2
x1 x2 2x3
4
问λ为何值时，该方程组有唯一解，无解，无穷多
解？并在有无穷多解时求其通解。
解 增广矩阵
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线性代数中的 “一、二、三、四、五、六”
一种基本运算： 矩阵的初等变换。
两大主线：
向量与矩阵。
三种矩阵关系： 等价、相似、合同。
四个难点： 1. 矩阵和向量组的秩; 2. 伴随矩阵；
3. 相似变换; 4. 特征值和特征向量的讨论.
五大板块： 行列式、矩阵、向量、方程组、二次型 。
六个重要知识点：
1. 行列式的性质与计算; 2. 矩阵可逆的各种等价条件;
3. 矩阵秩与向量组的秩的讨论; 4. 向量组的相关性讨论;
5. 线性方程组的解的讨论; 6. 二次型化简（或对称阵化
为对角阵）。
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2) *,* 1, * 2 , , * nr 线性无关。
故知 * ,1 ,2 , ,nr 线性无关。
1 1 4 4 行 1 0 3 0 当λ= 4时， B 1 4 1 16 ~ 0 1 1 4
2）设有
k0* k1(* 1 ) k2( * 2 ) knr ( * nr ) 0
(k0 k1 knr ) * k11 k22 knr nr 0
k0 k1 knr 0
由(1)知：
k1
0
k0 k1 knr 0
knr 0
证 由题知
1 d 1
A
1
d
d
1
… … …
1 d 1
故 d为A的特征值
由于A可逆，知d 0, 故（*）式可变形为
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2 设 A为 n 阶可逆矩阵，且每一行元素之和皆等于d,
试证（1）d 是 A 的特征值；
（2）A 的逆也是各行元素之和皆相等的矩阵。
1 1 1 d
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一、填空
1、6 阶行列式中项 a23a41a35a16a52a64 的符号为 + 。
2、已知向量组 a1 1 2 1 1, a2 2 0 t 0 a3 0 4 5 2 线性相关。则 t= 3 。
3、设 A，B 同为 n 阶矩阵，A 2, B 3,
则 2A* B 1
1 2 2n1 3
法
两边用A左乘，得 k0 A* O， 即 k0b O
一
因为 b O， 故 k0 0. 将此代入(*)中，得
k11 k22 knr nr O
由 1 ,2 , ,nr 线性无关 k1 knr 0
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2) *,* 1, * 2 , , * nr 线性无关。
故知 * ,1 ,2 , ,nr 线性无关。
2）不妨设为列向量情形
B (*, * 1, * 2 , , * nr ) 列(*, 1, 2 , ,nr ) A
故 R(B) R( A)
由(1)知 * ,1 ,2 , ,nr 线性无关, R( A) n r 1
R(B) R(*, * 1, * 2,, * nr ) n r 1 所以 *,* 1, * 2 , , * nr 线性无关。