第2课时 两个计数原理的综合应用学案2020-2021学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第2课时两个计数原理的综合应用
知识点一两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理分步乘法计数原理
相同点
不同点
不同点
知识点二两个计数原理的应用：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步．
(1)分类要做到，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理，得到总数．(2)分步要做到，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数，得到总数．
思考分类“不重不漏”的含义是什么？
答案“不重”即各类之间没有交叉点，“不漏”即各类的并集是全集．
1．一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，从中任选1名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法______种，若从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法___种．
2．有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是________．
3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有________种行车路线．
4．多项式(a1＋a2＋a3)(b1＋b2)＋(a4＋a5)(b3＋b4)展开式共有________项．
一、组数问题
例1 用0,1,2,3,4五个数字．
(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？
(2)可以排成多少个三位数？
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？延伸探究：由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？
反思感悟对于组数问题，应掌握以下原则：(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成，如果正面分类较多，可采用间接法求解．(2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位．
跟踪训练1 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2 000大的四位偶数？
二、占位模型中标准的选择
例2 (1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？
(2)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有多少种报名方法？
(3)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？
跟踪训练2 某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左数第2个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选择(数字可以重复)．若某车主第1个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有( )
A．180种 B．360种 C．720种 D．960种
三、涂色问题
例3 将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
延伸探究：本例中的区域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有多少种？
反思感悟解决涂色问题的一般思路(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题．
跟踪训练3 如图所示，将四棱锥S －ABCD 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，现有5种颜色可供使用，求不同的染色方法． 三、种植问题
例4 将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有________种．
跟踪训练4 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．
1．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数是( )
A ．56
B ．65 C.
5×6×5×4×3×2
2
D ．6×5×4×3×2
2．如果x ，y ∈N ，且1≤x ≤3，x ＋y <7，则满足条件的不同的有序自然数对(x ，y )的个数是( ) A ．5 B ．12 C ．15 D ．4
3．已知集合S ＝{a 1，a 2}，T ＝{b 1，b 2}，则从集合S 到T 的对应关系共有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4.如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种．
5.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个．
1．知识清单：(1)两个计数原理的区别与联系．(2)两个计数原理的应用：组数问题、占位模型中标准的选择、涂色问题及种植问题． 2．方法归纳：分类讨论、正难则反．
3．常见误区：分类标准不明确，会出现重复或遗漏问题．
1．把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有( ) A ．24种 B ．4种 C ．43种 D ．34种
2．由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为( )
A ．15
B ．12
C ．10
D ．5
3．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( ) A ．360种 B ．50种 C ．60种 D ．90种
5．有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有()
A ．4 320种
B ．2 880种
C ．1 440种
D ．720种
6.如图所示，在A ，B 间有4个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致线路不通，现发现A ， B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．
7．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共
有________种不同的取法．
8．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种． 9．(1)有8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？ (2)4位旅客到3个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？
10.用6种不同的颜色为如图所示的广告牌涂色，要求在A ，B ，C ，D 四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的涂色方法？。