江苏省六合高级中学高三数学第二学期期中考试试卷

江苏省六合高级中学2012届高三第二学期期中考试
数学Ⅰ（正题卷）
一、填空题：（每题5分，共70分）
1、设集合{}07U x x x =<<∈Z ，，A ={2，3，5}，B ={1，4}，则()
(
)U U
A B 痧= ▲ .
2、已知复数i z 43+=（i 为虚数单位），则复数i z 5+的虚部为 ▲
3、命题“∃R x ∈，012
≤++x x ”的否定是 ▲
4、过点A(2,6)，且垂直于直线x-y-2=0的直线方程为 ▲
5、两条平行直线02125=--y x 与024125=+-y x 之间的距离等于 ▲
6、曲线y = 2e x
在x=0处的切线方程是 ▲
7、用长、宽分别是π3与π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱底面的半径为_ ▲ 8、函数x x y -=（x ≥0）的单调减区间为 ▲
9、与双曲线
13
52
2=-y x 有公共渐近线，且一条准线方程为25=x 的双曲线方程为 ▲ 10、函数33x x y -=，]3,0[∈x 的值域是__ ▲ __
11、若圆222t y x =+与圆0248622=+-++y x y x 外切，则正数t 的值是 ▲ 12、已知平面内两点)1,4(-A ，)1,3(--B ，直线2+=kx y 与线段AB 恒有公共点，则实数k
的取值范围是 ▲
13、如图，已知12,F F 是椭圆C ：122
22=+n
y m x )0(>>n m 的左、右
焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆2
2
2
n y x =+相切于点
Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为 ▲ .
14、设0a >，函数x x x g x
a
x x f ln )(,)(-=+
=，若对任意的12,[1,]x x e ∈，都有
12()()f x g x ≥成立，则a 的取值范围为 ▲
二、解答题：（14分+14分+14分+16分+16分+16分，共90分） 15、（本小题满分14分）
已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边，且B b A c C a cos 2cos cos =+ （1）求角B 的大小；（2）求sinA+sinC 的取值范围。

16、（本小题满分14分）
如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，AA 1=2，点P 为DD 1的中点.
（1）求证：直线1BD ∥平面PAC ；
（2）求证：平面PAC ⊥平面1BDD ； （3）求三棱锥D —PAC 的体积。

17、（本小题满分14分）
已知椭圆C 的中心O 在原点，长轴在x 轴上，焦距为6，短轴长为8，（1）求椭圆C 的方程；（2）过点)0,5(-作倾斜角为4
π
的直线交椭圆C 于A 、B 两点，求ABO ∆的面积。

18、（本小题满分16分）
某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知AB =AC =18km ，现计划在BC 边的高AO 上一点P 处建造一个变电站. 记P 到三个村庄的距离之和为y ，（1）设PBO α∠=，把y 表示成α的函数关系式；（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和
最小？
19、（本小题满分16分）
已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作
圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B ． （1）若60APB ∠=，试求点P 的坐标；
（2）若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当CD =求直线CD 的方程；ks.5u
（3）经过,,A P M 三点的圆是否经过异于点M 的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不
经过，请说明理由。

20、（本小题满分16分）
已知函数)(x f ＝2
2
3
a bx ax x +--，R x ∈，a ,
b 为常数。

（1）若函数)(x f 在x ＝1处有极值10，求实数a ,b 的值；
（2）若a ＝0，(I)方程)(x f ＝2在x ∈[－4,4]上恰有3个不相等的实数解，求实数b 的取值范围；(II)不等式)(x f ＋2b ≥0对∀x ∈[1，4]恒成立，求实数b 的取值范围。

江苏省六合高级中学2012届高三第二学期期中考试
数学Ⅱ（附加题）
（特别提醒：请同学们选做矩阵与变换、坐标系与参数方程．．．．．．．．．．．．．．） 命题人：石玉宏、孟德 一审：周德建 二审：杨宗前
21.【选做题】在下面A 、B 、C 、D 四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分。

A ．选修4－1：几何证明选讲
如图所示，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF//CB ，EF 交AD 的延长线于点F ，FG 切圆O 于点G 。

（1）求证：△DEF ∽△EFA ；
（2）如果FG=1，求EF 的长。

B ．选修4－2：矩阵与变换
设M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y 方向伸长为原来5倍的伸压变换。

（1）求直线4101x y -=在M 作用下的方程； （2）求M 的特征值与特征向量。

C ．选修4－4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合。

若曲线C 1的方
程为28sin 15ρρθ=-，曲线C 2的方程为,
(
x y ααα
⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）。

（1）将C 1的方程化为直角坐标方程； （2）若C 2上的点Q 对应的参数为3=
4
π
α，P 为C 1上的动点，求PQ 的最小值。

D ．选修4－4：不等式选讲
设函数()|1||1|f x x x =-++，若不等式|||2|||()a b a b a f x +--≤⋅对任意,a b R ∈且0a ≠恒成立，求实数x 的范围。

22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4. （1）设AD AB λ=，异面直线AC 1与CD 所成角的余弦值为
9
25
，求λ的值； （2）若点D 是AB 的中点，求二面角D －CB 1－B 的余弦值。

23．（本小题10分）
在0,1,2,3，……，9这是个自然数中，任取三个不同的数字。

（1）求组成的三位数中是3的倍数的有多少个？ （2）将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设ξ为三个数字中相邻自然数的组数（例
如：若取出的三个数字为0,1,2，则相邻的组为0,1和1,2，此时ξ的值是2），求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ。

江苏省六合高级中学2012届高三第二学期期中考试
数学参考答案及评分标准
一、填空题
1、{6}
2、8
11、4 12、]1,41[ 13、3
5
14、),2[∞+-e 二、解答题
(3) 由于PD ⊥平面ADC ，（12分） 所以PAC D V -=6
1
PD S 31V ADC ADC -P =⋅=
∆ （14分）
17、解：（1）设椭圆方程为：)0(122
22>>=+b a b y a x ，由题意得：5,4,3===a b c
所以椭圆C 方程为
116
2522=+y x （7分）
（2）不妨设A （-5，0），直线AB 方程为：5+=x y ，由⎪⎩⎪
⎨⎧=+
+=116
2552
2y x x y 得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=411604145y x （11分） 所以4140041160521||21=⨯⨯=⋅=∆B OAB y OA S （14分）
说明：用根与系数关系和弦长公式去做，同样给分。

18、解：（1）由等腰直角三角形ABC 中AB=AC=18km 得：OB =OA =29km ，
又π4ABC ∠=，所以π04α≤≤. ……2分
所以点P 到A 、B 、C 的距离之和为
α
α
ααcos sin 22929)tan 2929(cos 2922-⨯
+=-+⨯
=+=PA PB y (7分) 故所求函数关系式为α
α
cos sin 22929-⨯
+=y . (π04α≤≤) (8分
)
答：变电站建于距O 点
处时，它到三个小区的距离之和最小. (16分)
19、解：（1）设(2
,)P mm ，由题可知2MP =，所以22
(2)(2)4m m +-=，解之得：
40,5
m m ==, 故所求点P 的坐标为(0,0)P 或84
(,)55
P ．( 5分)
（2）设直线CD 的方程为：1(2)y k x -=-，易知k 存在，由题知圆心M 到直线CD 的距离
为
2
=
( 7分) 解得，1k =-或17k =-，ks.5u 故所求直线CD 的方程为：30x y +-=或790x y +-=．( 10分) （3）设(2,)P m m ，MP 的中点(,
1)2
m
Q m +，因为PA 是圆M 的切线
所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为：2
222()(1)(1)22
m m
x m y m -+-
-=+- (12分) 化简得：0)22(222=-+--+y x m y y x ，此式是关于m 的恒等式，故
（14分） 解得02x y =⎧⎨=⎩或⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
=
=
5
254y x 所以经过,,A P M 三点的圆必过异于点M 的定点)5
2,54( (16分
)
（2）(I)由f (x )＝2，得f (x )－2＝0，令g (x )＝f (x )－2＝x 3
－bx －2，则方程g (x )＝0在x
∈[－4,4]上恰有3个不相等的实数解。

∵g’(x )＝3x 2
－b ，
（ⅰ）若b ≤0，则g’(x )≥0恒成立，且函数g (x )不为常函数，∴g (x )在区间[－4,4]上为增函数，不合题意，舍去。

（6分）
（ⅱ）若b ＞0，则函数g (x )在区间(－∞，－b
3
)上为增函数，在区间(－
b
3
，
b
3
)
上为减函数，在区间(
b
3
，＋∞)上为增函数，由方程g (x )＝0在x ∈[－4,4]上恰有3
个不相等的实数解，可得⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧≥<>-≤-0
)4(0)3(0)3
(0)4(g b g b g g （9分）
解得⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧≤>>≤2310
3
233b b b b ∴b ∈]231,3( （ 10分 ）
(II)法一：由不等式f (x )＋2b ≥0，得x 3
－bx ＋2b ≥0，即(x －2)b ≤x 3
，
（ⅰ）若x －2＝0即x ＝2时，b ∈R ； （11分）
（ⅱ）若x －2＜0即x ∈[1,2)时，b ≥
x 3
x －2
在区间[1,2)上恒成立，令h (x )＝
x 3
x －
2
，则b
≥h (x )max 。

∵h’(x )＝2x 2
(x －3)(x －2)2，∴h’(x )＜0在x ∈[1,2)上恒成立，所以h (x )在区间[1,2)上是减函数，∴h (x )max ＝h (1)＝－1，∴b ≥－1。

（13分）
（ⅲ）若x －2＞0即x ∈(2,4]时，b ≤x 3
x －2在区间(2,4]上恒成立，则b ≤h (x )min 。

由（ⅱ）可知，函数h (x )在区间(2,3)上是减函数，在区间(3,4]上是增函数， ∴h (x )min ＝h (3)＝27，∴b ≤27 (15分)
综上所述，b ∈[－1，27] (16分)
法二：02)(≥+b x f 023≥+-b bx x 设b bx x x T 2)(3+-= b x x T -=2/3)(
（11分）
当0≤b 时，03)(2/≥-=b x x T ，)(x T 在[1,4]上为增函数, b T x T +==1)1()(min ， 所以01≥+b ， 01≤≤-b （12分）
当0>b 时，)(x T 在区间(－∞，－
b 3)上为增函数，在区间(－b 3，b 3)上为减函数，在区间(b
3，＋∞)上为增函数， 若13
≤b ，即30≤<b 时，)(x T 在[1,4]上为增函数, b T x T +==1)1()(min 所以01≥+b ， 30≤<b （13分） 若43
1<<b 时，483<<b 时，)(x T 在]3,1[b 上为减函数，在]4,3[b 上为增函数， 所以0)3
()(min ≥=b T x T ， 得273≤<b （14分） 若43
≥b 时，即48≥b 时，)(x T 在[1,4]上为减函数, 0264)4()(min ≥-==b T x T ， 得32≤b ，舍去。

（15分）
故 b 的取值范围是]27,1[- (16分)
21．【选做题】
A ．选修4－1：几何证明选讲
(1)因为EF ∥CB ，所以BCE FED ∠=∠，又BAD BCD ∠=∠，所以BAD FED ∠=∠，
又EFD EFD ∠=∠，所以△DEF ∽△EFA ．……………………………………6分
（2）由（1）得，EF FD FA EF =，2EF FA FD =⋅． 因为FG 是切线，所以2FG FD FA =⋅，所以1EF FG ==．…………………10分
B ．选修4—2：矩阵与变换
（1）1005⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
M ．………………………………………………………………………2分 设(,)x y ''是所求曲线上的任一点，1005x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以,5,x x y y '=⎧⎨'=⎩所以,1,5x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩
代入4101x y -=得，421x y ''-=， 所以所求曲线的方程为124=-y x ．……………………………………………4分
（2）矩阵M 的特征多项式1
0()(1)(5)005
f λλλλλ-==--=-， 所以M 的特征值为5,121==λλ．………………………………………………6分
当11=λ时，由111λ=M αα，得特征向量110⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α； 当52=λ时，由222λ=M αα，得特征向量201⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
α．………………………10分 C ．选修4－4：坐标系与参数方程
（1）228150x y y +-+=．…………………………………………………………4分
（2）当34
απ=时，得(2,1)Q -，点Q 到1C
， 所以PQ
1．………………………………………………10分
D ．选修4—5：不等式选讲 由2()a b a b f x a +--≥
，对任意的,a b ∈R ，且0a ≠恒成立， 而223a b a b a b a b
a
a +--++-=≤，()3f x ≥，即113x x -++≥， 解得32x -≤，或32x ≥，所以x 的范围为33,22x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩
⎭≤或≥． …………10分 22．(1)以1,,CA CB CC 分别为x y z ,,
因为3AC =,4BC =，14AA =，所以(300)A ，，， (0,4,0)B ，(000)C ，，，1(0,0,4)C =， 所以1(3,0,4)AC =-，因为AD AB λ=，
所以点(33,4,0)D λλ-+，所以(33,4,0)CD λλ=-+，因为异面直线1AC 与CD 所成角的余弦值为925
， 所以 19|cos ,|25
AC CD <>=，解得12λ=．……………4分 (2)由（1）得1(044)B ，，，因为 D 是AB 的中点，所以3(20)2D ，，， 所以3(20)2CD =，，，1(044)CB =，，，平面11CBB C 的法向量 1n (1,0,0)=， 设平面1DB C 的一个法向量2000(,,)x y z =n ，
则1n ，2n 的夹角（或其补角）的大小就是二面角1D CB B --的大小,
由2210,0,CD CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0000320,2440,x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令04x =，则03y =-，03z =， 所以2n (4,3,3)=-，
1212
2cos ||||⋅<>===⋅，n n n n n n 所以二面角1D B C B --． …………………………………10分。