高中数学竞赛辅导课件：立体几何

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竞赛辅导─立体几何
关于求距离、求角、求面积与体积，以及位 置关系的判定等问题,需要用到的知识点见教程 介绍.
今天我们主要是通过一些例题来体会处理这 些问题的基本思想方法:
一、学会转化；二、掌握基本功法.(如坐标 法、作出图形求解法)
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一、点、线、面间关系的转化
立体几何的知识告诉我们，最核心的内 容是线面间的的垂直、平行关系，而它们又 通过判定定理、性质定理而相互转化。定理 的应用过程实质上就是下述诸关系的联系与 转化。
=MC2 = ，从而∠
M3 Aa2C,=在6∆00A，MC即中二，面由角余α—弦定
BD1—β 的度数为600。
思考一. 如图，设正三棱锥 S—ABC 的底面边长 为 a，侧棱长为 2a，过 A 作与侧棱 SB、SC 都相 交的截面 AEF，求这个截面周长的最小值. 分析：沿侧棱 SA 将三棱锥的侧面 展开如图，求 AEF 周长最小值 问题就转化成了求 A、A'两点间 的最短距离.
面BDE的距离就是AC到BD的 距离.
这时，AC上任一点到面BDE的距离
就是所求.
由DC⊥α知，DC⊥AC;又AD⊥ AB，根据三垂线定理 ， AC⊥ AB.但AB∥AC,故AC ⊥ CE.从而AC ⊥ 面CDE 。又 BE∥AC ,得BE ⊥ 面CDE, 进而面BDE⊥面CDE，
在Rt∆CDE上作高CH，由Rt∆ACD中, ∠ CAD = 300为二
1、 截面法 2、隔离法 3、展平法 4、投影法
例2、 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设∆C1 D1 B
所在的半平面为α ，∆C D1 B所在的半平面为 β，BD1
所在的直线是 α与 β 的交线。求二面角
分析的度数因为二面角的平面角的度数是 D1
α—BD1
—β
C1
由相应平面角的来表示的，所以解
竞赛辅导─立体几何
立体几何是中学数学中的基本的内容,通过对立体几
何的学习,可以培养观察能力、空间想像能力.
数学竞赛中的立体几何问题，主要涉及求角（线线角、
线面角、二面角）、求距离（点点距、点线距、点面距、
异面直线间的距离、平行的线线距、平行的线面距、平行
的面面距）、求面积（侧面、截面、表面）与体积，以及
二、再转化为点面距离 三、计算距离
D
AH
C
B E
解法二 用体积法计算
VD-BCE=VC-BDE.
解法三 外接于一个长方体用补形的方法解决
D H A
C
B E
练习 1.(2001 年全国高中数学联赛题) 正方体 ABCD─A1B1C1D1 的棱长为 1, 则直线 A1C1 与 BD1 的距离是___66_.
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1答案
分析：沿侧棱 SA 将三棱锥的侧面展开如图，求 AEF 周长最小值问题就转化成了求 A、A'两 点间的最短距离.
设 ASB ，则由余弦定理得 cos 7
8
所以 cos3 4cos3 cos 7
128 可求得 AA' 11 a
4 即所求截面周长的最小值为 11 a
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思考三．（2007 安徽预赛试题）设平行四边形
ABCD 中，AB=4，AD=2，BD=2 3 ，则平行
题的一个方向是找平面角。 A1
B1
解
在平面 A B C1 D1 上，由
点 A 向 B D1 引垂线，与BD 1 交
于M,与BC1 交于N，连CM，由
于正方体关于面BB1D1D的对称
性，必有CM⊥BD1 ，因此， ∠
NMC就是二面角的平面
M D
N C
设正方体的棱长为，则AC2 2
A
B
=CD12 =2a2 ，AM2 理得 ∠ AMC=1200
面角的平面角. AD =10, 得AC = 53 , CD = 5; 又在Rt∆ABC 中，
∠ACB = 600 ,有CE=AB = 3AC = 15, 最后在 Rt∆ACD
中，由CE=AB =15, 得DE = 5 10 , 从而CH = CD CE = 3 10
DE
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三个步骤: 一、线线距离转化为线面距离
位置关系的判定等，并多以选择题、填空题以及求解角、
距、积的形式出现.
另外,空间向量的工具运用, 为求立体几何的空间角
和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索
性试题提供了简便、快速的解法,它的实用性是其它方法
无法比拟的，因此可加强运用向量方法解决几何问题的意
识，提高使用向量的熟练程度和自觉性.
4 说明：这类问题通常都是将几何体的侧面展开， 空间问题转化成平面问题来解决。
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思考二（. 2008 全国预赛试题） 一 个半径为 1 的小球在一个内壁棱
长为 4 6 的正四面体容器内可向
各个方向自由运动。则该小球永 远不可能接触到的容器内壁的面 积是__________.
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练习.（2006天津）在一个棱长为5的正 方体封闭的盒内，有一个半径等于1的 小球，若小球在盒内任意地运动，则 小球达不到的空间的体积的大小等于44_ 3_13
点面 点点 —— 点线 ———————— 线面 —— 面面
线线
例1. (如图) 二面角α — AB —β 的平面角为 300，在β 上作
AD⊥AB，AD=10，过D作 CD⊥α 于D,若∠ACB = 600，求AC与BD的 距离。
解
作BE∥AC，CE∥AB,连
EC,ED，则AC∥面BCE，直线AC到
则 x2 y2 等于（ D ）A16B25
C3
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D 12
练习 4.在四面体 ABCD 中,设 AB 1,CD 3 ,
直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为 ,则四面体
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ABCD 的体积等于_______.(2003 年全国高中数
学联赛题)
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二、 平 面 化 的 思 考
在空间,选取一个恰当的平面,使问题在这个平面上获得 突破性的进展,甚至全部解决,是一种自然而重要的思考,怎样 选取平面呢?有以下几个主要方法
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练习 2.(2003 年全国高中数学联赛山东题)
正方体 ABCD─A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E
是棱 CD 的中点,求直线 A1C1 与 B1E 的距
离.
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练习 3、（2005 福建预赛试题） 正四面体 ABCD 的棱长为 1，E 是△ABC 内 一点，点 E 到边 AB,BC,CA 的距离之和为 x， 点 E 到平面 DAB,DBC,DCA 的距离之和为 y，