高二上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案

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云天化中学2020～2021学年秋季学期半期测试题
高二文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合{|22}A x x =-，{|1}B x x =∈N ，则A B ⋂=（ ） A ．{2,1}-- B ．{2,1,0}-- C ．{0,1} D ．{1}
2．平面向量a 与b 的夹角为60°，(2,0)a =，||1b =，则|2|a b +等于（ ）
A ．
B ．
C ．12
D 3．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A ．若命题p ：0x ∃∈R ，01x
e <，则命题p ⌝：x ∀∈R ，1x
e
B ．“sin x =
3
x π
=” C ．若||||||a b a b +=-，则a b ⊥
D ．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥ 4．设{}n a 是等差数列，若23a =，713a =，则数列{}n a 前8项的和为（ ） A ．128 B ．80 C ．64 D ．56
5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．12π
B ．18π
C ．24π
D ．36π
6．设双曲线22
221(0)x y a b a b
-=>>的虚轴长为2，焦距为 ）
A ．y =
B ．2y x =±
C ．2y x =±
D ．1
2
y x =±
7．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a 满足(
)|1|
2(a f f ->，
则a 的取值范围是（ ）
A ．(,2)-∞
B ．(0,2)
C ．(1,2)
D ．(2,)+∞ 8．已知1sin 35πθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭，则sin 26πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
（ ） A ．225-
B ．2325-
C ．225
D ．23
25
9．已知直线:(21)(1)10()l k x k y k ++++=∈R 与圆2
2
(1)(2)25x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长
||AB 的取值范围是（ ）
A ．[4,10]
B ．[3,5]
C ．[8,10]
D ．[6,10] 10．函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，若其图象向右平移
6
π
个单位后得到函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ）
A ．关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭对称 B ．在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增
C ．关于直线3
x π
=
对称 D ．在6
x π
=
处取最大值
11．在如图所示的三棱锥V ABC -中，已知AB BC =，90VAB VAC ABC ∠=∠=∠=，P 为线段VC 的中点，则（ ）
A ．P
B 与A
C 不垂直 B ．PB 与VA 平行
C ．点P 到点A ，B ，C ，V 的距离相等
D ．PB 与平面ABC 所成的角大于VBA ∠ 12．已知函数3log ,03,
()|4|,3,x x f x x x <⎧=⎨->⎩
若函数()()2h x f x mx =-+有三个不同的零点，则实数m 的取值
范围是（ ）
A ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．1,(1,)2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝
⎭
C ．1,[1,)2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝
⎭ D ．1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区城内作答，在试题卷上作答无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设x ，y 满足约束条件220,10,240,x y x y x y +-⎧⎪
--⎨⎪+-≤⎩
则目标函数2z x y =-的最大值是_________．
14．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，
sin cos 3B b A π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
，2bc =，
则ABC 的面积是_________．
15．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为________．
16．设1F ，2F 是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C
的一条渐
近线的垂线，垂足为P
．若1|PF OP =，则C 的离心率为_________．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分） 求下列椭圆的标准方程： （Ⅰ）焦点在x 轴上，离心率35e =
，且经过点A ； （Ⅱ）以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且与双曲线22
135
y x -=有相同的焦点． 18．（本小题满分12分）
ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．
（Ⅰ）求角C ；
（Ⅱ）若c =
ABC
S
=
，求ABC 的周长． 19．（本小题满分12分）
如图所示，在梯形ABCD 中，//,,1,AD BC AB BC AB BC PA ⊥==⊥平面ABCD ，CD PC ⊥．
（Ⅰ）设M 为PC 的中点，证明：CD AM ⊥； （Ⅱ）若2PA AD ==，求点A 到平面PCD 的距离． 20．（本小题满分12分）
在数列{}n a 中，112a =，()1122n
n n a a n *+⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭
N ，数列{}n b 满足()2n n n b a n *
=⋅∈N ．
（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2
log n n
n
c a =，求数列12n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ． 21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PAD 为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是,AD CD 的中点．
（Ⅰ）证明：BD ⊥平面PEF ；
（Ⅱ）若M 是PB 棱上一点，且3MB PM =，求三棱锥M PAD -与三棱锥P DEF -的体积之比． 22．（本小题满分12分）
设椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为()2,0． （Ⅰ）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （Ⅱ）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．
云天化中学2020～2021学年秋季学期半期测试题
高二文科数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）因为焦点在x 轴上，即设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b
+=>>，
∵椭圆经过点
A ，∴2
256415a b +=， ① 由已知35e =，∴35c a =，∴35c a =，∴2
222235b a c a a ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
，
即2
2
1625
b a =
， ② 把②代入①，得
225201a a
+=，解得2
25a =，∴216b =， ∴椭圆的标准方程为
22
12516
x y +=． （5分） （Ⅱ）依题意知椭圆的焦点在y 轴上，设方程为22
221(0)y x a b a b
+=>>，
且2
22
2
232,9,81,a b a a b b ⎧=⨯⎧=⎪⇒⎨⎨-==⎪⎩⎩
∴椭圆的标准方程为2
2
19
y x +=． （10分） 18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， ∴2cos sin()sin C A B C +=，
∵A B C π++=，∴sin()sin A B C +=，∴2cos sin sin C C C =，
又∵(0,)C π∈，∴sin 0C >，∴12cos 1cos 2C C =⇒=
，∵(0,)C π∈，∴3
C π
=． （6分）
（Ⅱ）11sin 6222
ABC
S
ab C ab ab =
⇒=⋅⇒=， 又∵2222cos a b ab C c +-=，∴22
13a b +=，∴2
()255a b a b +=⇒+=，
∴ABC 的周长为5+ （12分） 19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA CD ⊥．
又PC CD ⊥，PA PC P ⋂=，PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， ∴CD ⊥平面PAC ．
又M 为PC 的中点，所以AM ⊂平面PAC ，所以CD AM ⊥． （5分） （Ⅱ）解：如图，取AD 的中点K ，连接CK ．
∵,2,1AD BC AD AB BC ===∥，∴1AK KD ==，AK BC ∥， 故四边形ABCK 为平行四边形， 又AB BC ⊥，∴ABCK 为矩形，
则1AC CK AB =
==．所以CD =，
在Rt PAC 中，∵2PA AD ==，∴PC =
设A 到平面PCD 的距离为h ，由P ACD A PCD V V --=， 所以11
3
3
ACD
PCD
PA S
h S ⨯⨯=⨯⨯，
所以1111
2213232
h ⨯⨯
⨯⨯=⨯⨯h =，
所以A 与平面PCD ． （12分） 20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：由1122n
n n a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1
1221n n n n a a ++=-，而2n n n b a =，
∴11n n b b +=-，即1
1n n b b +-=， 又1121b a ==，
∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列． 于是1(1)12n
n n b n n a =+-⨯==，∴2
n n n
a =
． （6分） （Ⅱ）解：∵2
2log log 2n n n n c n a ===，∴122112(1)1n n c c n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
．
∴111111
1112122334
11n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+
+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
122111n n n ⎛
⎫=-=
⎪++⎝⎭
． （12分） 21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图，连接AC ，∵PA PD =且E 是AD 的中点，
∴PE AD ⊥．
又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD ， ∴PE ⊥平面ABCD ．
又BD ⊂平面ABCD ，∴BD PE ⊥．
又ABCD 为菱形，且E ，F 分别为棱AD ，CD 的中点，∴//EF AC ， ∵BD AC ⊥，∴BD EF ⊥，
又BD PE ⊥，PE EF E ⋂=，∴BD ⊥平面PEF ． （6分） （Ⅱ）解：如图，连接MA ，MD ，∵3MB PM =，∴14PM PB =，∴11
44
M PAD B PAD P ABD V V V ---==，又底面ABCD 为菱形，E ，F 分别是AD ，CD 的中点． ∴1111
2444
P
DEF F PED C PED C PAD P ADC P ABD V V V V V V ------==
===，故1M PAD P DEF V V --=．
∴三棱锥M PAD -与三棱锥P DEF -的体积之比为1∶1． （12分）
22．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x =．
由己知可得，点A
的坐标为⎛ ⎝⎭
或1,2⎛- ⎝⎭
． 所以AM
的方程为2y x =-
+
2
y x =- （4分） （Ⅱ）证明：当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=．
当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．
当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，()11,A x y ，()22,B x y ，
则12x x <
<MA ，MB 的斜率之和为12
1222
MA MB y y k k x x +=
+--． 由11y kx k =-，22y kx k =-，得()()()
12121223422MA MB
kx x k x x k k k x x -+++=--．
将(1)y k x =-代入2
212x y +=，得()2222214220k x k x k +-+-=． 所以，2212122
2422
,2121
k k x x x x k k -+==++． 则()33312122441284234021
k k k k k
kx x k x x k k --++-++=
=+， 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠． （12分）。