重庆市中学2023年数学八上期末学业水平测试试题【含解析】

重庆市中学2023年数学八上期末学业水平测试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的21名运动员的成绩如下表所示：
成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数235443
则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（）
A．1.65m，1.70m B．1.65m，1.65m
C．1.70m，1.65m D．1.70m，1.70m
2．某射击运动员练习射击，5次成绩分别是：8、9、7、8、x（单位：环），下列说法中正确的个数是（）
x=；
①若这5次成绩的平均数是8，则8
x=；
②若这5次成绩的中位数为8，则8
x=；
③若这5次成绩的众数为8，则8
x=
④若这5次成绩的方差为8，则8
A．1个B．2个C．3个D．4个
的结果是（）
A．5±B．5C D．-5
4．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE=4，BC=9，则BD的长为（）
A．6B．5C．4D．3
5．在平面直角坐标系xOy中，A（1，3），B（5，1），点M在x轴上，当MA+MB取得最小值时，点M的坐标为()
A ．
（5，0）B ．（4，0）C ．（1，0）D ．
（0，4）6．4的平方根是（）A ．2
B ．±2
C 2
D ．2
7．下列实数中，是有理数的是（）
A 34
B ．8
-C ．3
π-D ．0.1010010001
8．已知ABC ∆的三边长分别为a b c 、、，且()()()M a b c a b c a b c =+++---那么(
)
A ．0
M >B ．0
M ≥C ．0
M =D ．0
M <9．若一个五边形的四个内角都是100︒，那么第五个内角的度数为（）
A ．120︒
B ．100︒
C ．140︒
D ．150︒
10．下列各式，能写成两数和的平方的是（）A ．221
x x +-B ．2
1x +C ．21
x x ++D ．244
x x ++二、填空题(每小题3分,共24分)
11．甲、乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天日平均气温方差大小关系为s 甲2__________s 乙2(填“＞”或“＜”)．
12．近似数2.019精确到百分位的结果是_____．13．分解因式：229x y -=______________
14．计算=．
15．若（x ﹣2）x ＝1，则x ＝___．
16．已知x 、y |2|0y +=，则24x y -的平方根为________．
有意义的x 的取值范围是_______．
18．81的平方根是__________；64
27
-的立方根是__________．三、解答题(共66分)
19．（10分）已知：如图，在△ABC 中，D 为BC 上的一点，AD 平分∠EDC ，且∠E=∠B ，DE=DC ，求证：AB=AC ．
20．（6分）基本运算（1）分解因式：
①3224a b ab -②()2
28a b ab -+（2）整式化简求值：
求[()()()2
224x y x y x y +--+]÷4y 的值，其中()0
2x -无意义，且320x y -=．
21．（6分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A ，B 的坐标分别为()2,4，()1,2-．
（1）请在图中画出平面直角坐标系；
（2）请画出ABC ∆关于x 轴对称的A B C '''∆；（3）线段BC '的长为_______．
22．（8分）如图，在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=︒，P 是线段BC 上一动点(与点B 、C 不重合)，连结AP ，延长BC 至点Q ，CQ CP =，过点Q 作QH AP ⊥于点H ，交AB 于点M .
(1)若PAC α∠=，求AMQ ∠的大小(用含α的式子表示)；(2)用等式表示MB 与PQ 之间的数量关系，并加以证明.23．（8分）（1）分解因式：322312123a b a b ab -+；
（2）化简求值：22
21112a a a a a a
---+++，其中2a =．24．（8分）如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，当△PCD 的周长最小时，在图中画出点P 的位置，并求点P 的坐标．
25．（10分）已知如图，等边ABC ∆的边长为4cm ，点,P Q 分别从B 、C 两点同时出发，点P 沿BC 向终点C 运动，速度为1/cm s ；点Q 沿CA ，AB 向终点B 运动，速度为2/cm s ，设它们运动的时间为xs ．
（1）当x 为何值时，PQ AB ∥？当x 为何值时，PQ AC ⊥？
（2）如图②，当点Q 在AB 上运动时，PQ 与ABC ∆的高AD 交于点O ，OQ 与OP 是否总是相等？请说明理由．26．（10分）解分式方程：
-2x x ﹣1＝23
4
-x ．参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)1、C
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【详解】解：共21名学生，中位数落在第11名学生处，第11名学生的跳高成绩为1.70m ，故中位数为1.70；
跳高成绩为1.65m 的人数最多，故跳高成绩的众数为1.65；故选：C ．【点睛】
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．2、A
【分析】根据中位数，平均数，众数和方差的概念逐一判断即可．
【详解】①若这5次成绩的平均数是8，则8589788x =⨯----=,故正确；②若这5次成绩的中位数为8，则x 可以任意数，故错误；
③若这5次成绩的众数为8，则x 只要不等于7或9即可，故错误；④若8x =时，方差为222
1[3(88)(98)(78)]0.45
⨯-+-+-=，故错误．所以正确的只有1个故选：A ．【点睛】
本题主要考查数据的分析，掌握平均数，中位数，众数，方差的求法是解题的关键．3、B
【解析】根据二次根式的性质进行化简，即可得到答案.
5=，故选：B.【点睛】
本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质进行计算.4、B
【分析】利用角平分线性质定理可得，角平分线上的点到角两边的距离相等，通过等量代换即可得.
【详解】解：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DC =DE =4，
∴BD =BC ﹣CD =9﹣4=1．故选：B ．【点睛】
掌握角平分线的性质为本题的关键.5、B
【分析】根据对称性，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB ′与x 轴交于点M ，根据两点之间线段最短，后求出'AB 的解析式即可得结论．
【详解】解：如图所示：作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB ′交x 轴于点M ，此时MA+MB ＝MA+MB ′＝AB ′，根据两点之间线段最短，因为：B （5，1），所以：'(5,1)
B -设直线'AB 为y kx b =+把'(1,3),(5,1)A B -代入函数解析式：
351k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得：1
4
k b =-⎧⎨
=⎩所以一次函数为：4y x =-+，所以点M 的坐标为（4，0）
故选：B ．【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握对称性质．6、B
【分析】根据平方根的定义即可求得答案．【详解】解：∵（±1）1=4，∴4的平方根是±1．故选：B ．【点睛】
本题考查平方根．题目比较简单，解题的关键是熟记定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．7、D
【分析】根据有理数的定义即可得出答案.
34、8、3π-均为无理数，0.1010010001为有理数，故答案选择D.【点睛】
本题考查的是有理数的定义，比较简单，整数和分数统称为有理数.8、D
【分析】根据三角形的三边关系即可求解.【详解】∵ABC ∆的三边长分别为a b c 、、∴a b c ++＞0，a b c +-＞0，a b c --＜0∴()()()M a b c a b c a b c =+++---＜0故选D.【点睛】
此题主要考查三角形的三边关系的应用，解题的关键是熟知两边之和大于第三边.
9、C
【分析】根据多边形的内角和计算出内角和，减去前四个内角即可得到第五个内角的度数
【详解】第五个内角的度数为(52)1804100140-⨯-⨯=，故选：C.【点睛】
此题考查多边形的内角和定理，熟记多边形的内角和公式并熟练解题是关键.10、D
【分析】直接利用完全平方公式判断得出答案．
【详解】∵x 2+1x +1=（x +2）2，∴能写成两数和的平方的是x 2+1x +1．故选D ．【点睛】
本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解答本题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、＞
【分析】根据方差的意义：方差越小则波动越小，稳定性也越好，结合气温统计图即可得出结论．
【详解】解：由气温统计图可知：乙地的气温波动小，比较稳定∴乙地气温的方差小∴2
2
s s >乙
甲故答案为：＞．【点睛】
此题考查的是比较方差的大小，掌握方差的意义：方差越小则波动越小，稳定性也越好是解决此题的关键．12、2.1
【分析】根据四舍五入法可以解答本题．【详解】2.019≈2.1(精确到百分位)，故答案为2.1．【点睛】
本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数和有效数字的含义．13、(3)(3)x y x y -+.
【分析】根据平方差公式分解即可.【详解】解：2
29(3)(3)x
y x y x y -=-+.
故答案为(3)(3)x y x y -+.【点睛】
本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是关键.
．
【解析】化简第一个二次根式，计算后边的两个二次根式的积，然后合并同类二次根式即可求解：
．15、0或1．
【解析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则求出答案．【详解】∵（x ﹣2）x ＝1，∴x ＝0时，（0﹣2）0＝1，当x ＝1时，（1﹣2）1＝1，则x ＝0或1．故答案为：0或1．【点睛】
此题主要考查了零指数幂以及有理数的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．16、3
±【分析】利用算术平方根及绝对值的非负性求出x 、y 的值，即可代入求出24x y -的平方根.
|2|0y +=，
∴x-1=0，y+2=0，∴x=1，y=-2，∴24x y -=1+8=9，∴24x y -的平方根为3±，故答案为：3±.【点睛】
此题考查算术平方根及绝对值的非负性，求一个数的平方根，能根据题意求出x 、y 的
值是解题关键.17、2
x >【分析】根据二次根式有意义以及分式有意义得条件进一步求解即可.【详解】由题意得：30x +≥，20x -≥及20x -≠，∴2x ≥且2x ≠，即2x >，故答案为：2x >.【点睛】
本题主要考查了分式与二次根式有意义的情况，熟练掌握相关概念是解题关键.18、±9
43
-
【分析】根据平方根及立方根的定义即可求出答案．【详解】根据平方根的定义可知81的平方根是±9，
6427-
的立方根是43
-．故答案为：±9，4
3-．
【点睛】
本题考查了平方根及立方根的知识，难度不大，主要是掌握平方根及立方根的定义．三、解答题(共66分)19、证明见解析
【详解】解：∵AD 平分∠EDC ∴∠ADE=∠ADC 又DE=DC ，AD=AD ∴△ADE ≌△ADC ∴∠E=∠C 又∠E=∠B ，∴∠B=∠C ∴AB=AC
20、（1）①2(21)(21)ab a a -+，②()2
2a b +；（2）52y x --，-1
【分析】（1）①先提取2ab ，再利用平方差公式即可求解；②先化简，再利用完全平方公式即可求解；
（2）先根据整式的混合运算法则化简，再根据零指数幂的性质求出x ，y 的值，代入即可求解．
【详解】（1）①322
4a b ab -=22(41)
ab a -=2(21)(21)
ab a a -+②()2
28a b ab -+22448a ab b ab
=-++22
44a ab b =++()2
2a b =+（2）[()()()2
224x y x y x y +--+]÷4y
=2222(4816)4x y x xy y y
----÷=2(208)4y xy y
--÷=52y x
--∵()02x -无意义，且320x y -=，
∴2x =，3y =代入上式得：
原式=5322-⨯-⨯=－1．
【点睛】
此题主要考查因式分解与整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
21、（1）见解析；（2）见解析；（3．
【分析】（1）利用点B 、C 的坐标画出直角坐标系；
（2）利用关于y 轴对称的点的坐标特征写出A ′、B ′、C ′的坐标，然后描点即可得到△A ′B ′C ′
（3）根据勾股定理即可求出线段BC '的长．
【详解】（1）如图所示，
（2）如图，△A ′B ′C ′为所作；
（3）BC '
．
【点睛】
本题考查了作图−轴对称变换：在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
22、(1)∠AMQ=45°+α；(2)22
MB PQ =，证明见解析.【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；
（2）连接AQ ，作ME ⊥QB ，由AAS 证明△APC ≌△QME ，得出PC=ME ，△MEB 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】(1)在等腰直角ABC ∆中，PAC α∠=，
所以45PAB α∠=︒-，
则在Rt AHM ∆中，9045AMQ PAB α
∠=︒-∠=︒+(2)线段MB 与PQ 之间的数量关系为：22
MB PQ =.证明如下：如图，连结AQ ，过点M 作ME QB ⊥，E 为垂足.
因为AC QP ⊥，CQ CP =，
所以AP AQ =，QAC PAC α∠=∠=，
所以45QAM AMQ α∠=+︒=∠，
故有AP AQ QM ==.
因为90MQE APC PAC APC ∠+∠=∠+∠=︒，
所以MQE PAC ∠=∠.
在Rt APC ∆和Rt QME ∆中，MQE PAC ACP QEM AP QM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
；
所以Rt APC Rt QME ∆≅∆，
所以PC ME =，
在等腰直角三角形MEB ∆
中，MB =
，
所以MB =
，又12
PC PQ =，所以22MB PQ =
.【点睛】
本题主要考查三角形的基本概念和全等三角形的判定与性质，基础知识扎实是解题关键
23、（1）()2
32ab a b -；（2）241(1)(2)a a a a a ++++，1324【分析】(1)先提公因式，再运用完全平方公式进行第二次分解即可；
(2)通分并利用同分母分式的加法法则计算，化成最简式后再代入求值即可．
【详解】(1)3223
12123a b a b ab -+()
22
344ab a ab b =-+()232ab a b =-；(2)2221112a a a a a a
---+++22111(2)
a a a a a a --=-+++22(2)(1)(1)(2)(1)(1)(1)(2)(1)(2)(1)(2)
a a a a a a a a a a a a a a a a +-+++-=-+++++++
2323224221(1)(2)(1)(2)(1)(2)
a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--+--=-+++++++2323224221(1)(2)
a a a a a a a a a a a +--++++--=++241(1)(2)
a a a a a ++=++当2a =时，原式224212(21)(22)
+⨯+=++1324
=．【点睛】
本题考查了因式分解和分式的化简求值，熟知混合运算的法则是解答此题的关键．
24、图见详解；P (197，127
)【分析】过C 作CF AB ⊥于F ，延长CF 到E ，使CF FE =，连接DE ，交AB 于P ，连接CP ，DP CP DP EP ED +=+=的值最小，即可得到P 点；通过A 和B 点的坐标，运用待定系数法求出直线AB 的函数表达式，再通过D 和E 点的坐标，运用待定系数法求出直线DE 的函数表达式，联合两个表达式解方程组求出交点坐标即可．
【详解】解：如图所示，过C 作CF AB ⊥于F ，延长CF 到E ，使CF FE =，连接DE ，交AB 于P ，连接CP ;
∵△PCD 的周长=CD DP CP
++∴DP CP DP EP ED +=+=时，可取最小值，图中P 点即为所求；
又∵BD =3，DC =1
∴平面直角坐标系中每一个小方格的边长为1，即：A(5，4)，B(1，0)，D(4，0)，E(1，4)
设直线AB 的解析式为AB AB AB y k x b =+，代入点A 和B 得：
540AB AB k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：11
AB AB k b =⎧⎨=-⎩∴1
AB y x =-设直线DE 的解析式为DE DE DE y k x b =+,代入点D 和E 得：
404DE DE DE DE k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：43163DE DE k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴416+33
DE y x =-∴联合两个一次函数可得：∴1416+33y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩解得197127x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴P (197，127
)【点睛】
本题主要考查了轴对称最短路径的画法，待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组的解，求出一次函数的解析式组建二元一次方程组是解题的关键．
25、（1）当43x =时，PQ ∥AB ，当45
x =时，PQ AC ⊥；（2）OP=OQ ，理由见解析【分析】（1）当PQ ∥AB 时，△PQC 为等边三角形，根据PC=CQ 列出方程即可解出x 的值，当PQ ⊥AC 时，可得1=2
QC PC ，列出方程解答即可；（2）作QH ⊥AD 于点H ，计算得出QH=DP ，从而证明△OQH ≌△OPD （AAS ）即可．
【详解】解：（1）∵当PQ ∥AB 时，
∴∠QPC=∠B=60°，
又∵∠C=60°
∴△PQC 为等边三角形
∴PC=CQ ，
∵PC=4-x ，CQ=2x ，
由4-x=2x 解得：43
x =
，∴当43x =时，PQ ∥AB ；若PQ ⊥AC ，
∵∠C=60°，
∴∠QPC=30°，∴1=2
QC PC ，即12(4)2
x x =-，解得：4
5x =∴当45
x =时，PQ AC ⊥（2）OP=OQ ，理由如下：
作QH ⊥AD 于点H ，
∵AD ⊥BC ，
∠QAH=30°，1=22
BD BC =∴11(24)222
QH AQ x x ==-=-，∵DP=BP-BD=x-2，
∴DP=QH ，
∴在△OQH 与△OPD 中
QOH POD QHO PDO QH PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△OQH ≌△OPD （AAS ）
∴OQ=OP
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质，全等三角形的性质及判定，几何中的动点问题，解题的关键是灵活运用等边三角形及全等三角形的性质及判定．
26、x＝1-2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：x2+2x﹣x2+4＝3，
解得：x＝﹣1 2，
经检验x＝﹣1
2是分式方程的解．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，解分式方程时注意检验.。